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05 抛体运动
[-考点-08-] 平抛运动的临界和极值问题
1．平抛运动的临界问题有两种常见情形
(1)物体的最大位移、最小位移、最大初速度、最小初速度；
(2)物体的速度方向恰好为某一方向．
2．解题技巧
在题中找出有关临界问题的关键字，如“恰好不出界”“刚好飞过壕
沟”“速度方向恰好与斜面平行”“速度方向与圆周相切”等，然后利
用平抛运动对应的位移规律或速度规律进行解题．
1．与平抛运动相关的临界情况
(1)有些题目中“刚好”“恰好”“正好”等字眼，明显表明题述的过程
中存在临界点．
(2)如题目中有“取值范围”“多长时间”“多大距离”等词语，表明题
述过程中存在着“起止点”，而这些“起止点”往往就是临界点．
(3)若题目中有“最大”“最小”“至多”“至少”等字眼，表明题述过
程中存在着极值，这些极值也往往是临界点．
2．分析平抛运动中的临界情况关键是确定临界轨迹．
当受水平位移限制时，其临界轨迹为自抛出点到水平位移端点的一条抛
物线；当受下落高度限制时，其临界轨迹为自抛出点到下落高度端点的
一条抛物线，确定轨迹后再结合平抛运动的规律即可求解．
典例如图所示，排球场的长为18 m，球网的高度为2 m．运动员站在离
网3 m 远的线上，正对球网竖直跳起，把球垂直于网水平击出．(取g＝
10 m/s2，不计空气阻力)
(1)设击球点的高度为2.5 m，问球被水平击出时的速度v0在什么范围内
才能使球既不触网也不出界？
(2)若击球点的高度小于某个值，那么无论球被水平击出时的速度为多大，
球不是触网就是出界，试求出此高度．
1．(2023·甘肃·期中)如图所示，在水平路面上一运动员驾驶摩托车跨越
壕沟，壕沟两侧的高度差为0.8 m，水平距离为8 m，则运动员跨过壕沟
的初速度至少为(取g＝10 m/s2)( )
A．0.5 m/s B．2 m/s
C．10 m/s D．20 m/s
2.如图所示，一网球运动员将网球(可视为质点)从O 点水平向右击出，
网球恰好擦网通过落在对方场地的A 点，A 点到球网的水平距离是击
球点到球网的水平距离的2 倍．已知球网的高度为h，重力加速度为
g，不计空气阻力，则网球击出后在空中飞行的时间为( )
A.
B.
C.
D.
3.(多选)如图所示，水平面上放置一个直径d＝
1 m、高h＝1 m 的无盖薄油桶，沿油桶底面直径AB 距左桶壁s＝2 m
处的正上方有一点P，P 点的高度H＝3 m，从P 点沿直径AB 方向水
平抛出一小球，不考虑小球的反弹和空气阻力，下列说法正确的是
(取g＝10 m/s2，CD 为桶顶平行AB 的直径)( )
A．小球的速度范围为 m/s<v< m/s 时，小球击中油桶的内壁
B．小球的速度范围为 m/s<v< m/s 时，小球击中油桶的下底
C．小球的速度范围为 m/s<v< m/s 时，小球击中油桶外壁
D．若P 点的高度变为1.8 m，则小球无论初速度多大，均不能直接
落在桶底(桶边沿除外)
4.利用手机可以玩一种叫“扔纸团”的小游戏．如图所示，游戏时，
游戏者滑动屏幕将纸团从P 点以速度v 水平抛向固定在水平地面上的
圆柱形废纸篓，纸团恰好从纸篓的上边沿入篓并直接打在纸篓的底角．
若要让纸团进入纸篓中并直接击中篓底正中间，下列做法可行的是(
)
A．在P 点将纸团以小于v 的速度水平抛出
B．在P 点将纸团以大于v 的速度水平抛出
C．在P 点正上方某位置将纸团以小于v 的速度水平抛
出
D．在P 点正下方某位置将纸团以大于v 的速度水平抛
出
5.某科技比赛中，参赛者设计了一个轨道模型，如图所示．模型放到
0.8 m 高的水平桌子上，最高点距离水平地面2 m，右端出口水平．
现让小球在最高点由静止释放，忽略阻力作用，为使小球飞得最远，
右端出口距离桌面的高度应设计为( )
A．0
B．0.1 m
C．0.2 m
D．0.3 m
6.如图所示，M、N 是两块挡板，挡板M 高h′＝10 m，其上边缘与挡板
N 的下边缘在同一水平面．从高h＝15 m 的A 点以速度v0水平抛出一小
球(可视为质点)，A 点与两挡板的水平距离分别为d1＝10 m，d2＝20 m．
N 板的上边缘高于A 点，若能使小球直接进入挡板M 的右边区域，则小
球水平抛出的初速度v0的大小可能是下列给出数据
中的哪个(g 取10 m/s2，空气阻力不计)( )
A．8 m/s
B．4 m/s
C．15 m/s
D．21 m/s
7.套圈游戏是一项趣味活动，如图，某次游戏中，
一小孩从距地面高0.45 m 处水平抛出半径为0.1 m
的圆环(圆环面始终水平)，套住了距圆环前端水平距离为1.0 m、高度为
0.25 m 的竖直细圆筒．若重力加速度大小取g＝10
m/s2，忽略空气阻力，则小孩抛出圆环的初速度可能是(
)
A．4.3 m/s
B．5.6 m/s
C．6.5 m/s
D．7.5 m/s
8.一阶梯如图所示，其中每级台阶的高度和宽度都是0.4 m，一小球(可
视为质点)以水平速度v 从图示位置飞出，不计空气阻力，g 取10 m/s2，
欲打在第4 级台阶上，则v 的取值范围是( )
A. m/s<v≤2 m/s B．2 m/s<v≤3.5 m/s
C. m/s<v< m/s D．2 m/s<v< m/s
9.如图所示，窗子上、下沿间的高度H＝1.6 m，墙的厚
度d＝0.4 m，某人在离墙壁距离L＝1.4 m、距窗子上沿h＝0.2 m 处的P
点，将可视为质点的小物件以速度v 水平抛出，小物件直接穿过窗口并
落在水平地面上，取g＝10 m/s2，不计空气阻力．则v 的取值范围是(
)
A．v＞7 m/s
B．v＜2.3 m/s
C．3 m/s＜v＜7 m/s
D．2.3 m/s＜v＜3 m/s
10.(2023·湖北·期中)如图所示，边长为
a 的正方体无盖盒子放置在水平地面上，O 为直线B′A′延长线上的一点，
且与A′的距离为a，将小球(可视为质点)从O 点正上方距离2a 处以某一
速度水平抛出，不计空气阻力，重力加速度为g。为使小球能落在盒子
内部，调整抛出方向，则小球抛出时的速度最大不超过( )
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A.
B.
C.
D.
11.如图所示，乒乓球的发球器安装在足够大的水平桌面上，可绕竖直转
轴OO′转动，发球器O′A 部分水平且与桌面之间的距离为h，O′A 部分的
长度也为h，重力加速度为g。打开开关后，发球器可将乒乓球从A 点以
初速度v0水平发射出去，≤v0≤2。设发射出去的所有乒乓球都能落到桌
面上，乒乓球可视为质点，空气阻力不计。若使该发球器绕转轴OO′在
90°的范围内来回缓慢地水平转动，持续发射足够长时间后，乒乓球第一
次与桌面碰撞区域的面积S 是( )
A.2πh2
B.3πh2
C.4πh2
D.8πh2
12．在清晨，武汉吉庆街的面香扑鼻而来，其中刀削面引人注目．如图
甲所示，拿一块面团放在锅旁边较高处，用刀片飞快地削下一片片很薄
的面片，使面片飞向旁边的锅里．假设某一面片初速度水平，飞出时离
锅内水面的竖直距离h＝0.80 m，离锅正中心的水平距离为0.6 m，锅的
半径为0.2 m，如图乙所示．不计空气阻力，取重力加速度g＝10 m/s2，
求：
(1)面片落入锅中所用的时间t.
(2)面片要落入锅中初速度大小的取值范围．
13.在真空环境内探测微粒在重力场中能量的简化装置如图所示.P 是
个微粒源，能持续水平向右发射质量相同、初速度不同的微粒.高度
为h 的探测屏AB 竖直放置，离P 点的水平距离为L，上端A 与P 点
的高度差也为h.
(1)若微粒打在探测屏AB 的中点，求微粒在空中飞行的时间；
(2)求能被屏探测到的微粒的初速度范围.
14．某同学对着墙壁练习打网球，假定球在墙面上以20 m/s 的速度沿
水平方向反弹，球在墙面上反弹点距地面的高度在1.25 m 至1.80 m
之间，忽略空气阻力，g 取10 m/s2，则球反弹后到第一次落地( )
A．飞行的最短时间为0.6 s
B．飞行的最长时间为1.1 s
C．飞行的最远水平距离为10 m
D．飞行的最大位移将超过12 m
15.如图，在某次比赛中，排球从底线A 点的正上方以某一速度水平
发出，排球正好擦着球网落在对方底线的B 点上，且AB 平行于边界
CD.已知网高为h，球场的长度为s，重力加速度为g，不计空气阻力
且排球可看成质点，则排球被发出时，击球点的高度H 和水平初速
度v 分别为( )
A．H＝2h
B．H＝h
C．v＝
D．v＝
16.一带有乒乓球发射机的乒乓球台如图所示．水平台面的长和宽分别为
L1和L2，中间球网高度为h.发射机安装于台面左侧边缘的中点，能以不
同速率向右侧不同方向水平发射乒乓球，发射点距台面高度为3h.不计空
气的作用，重力加速度大小为g.若乒乓球的发射速率v 在某范围内，通
过选择合适的方向，就能使乒乓球落到球网右侧台面上，则v 的最大取
值范围是( )
A.＜v＜L1
B.＜v＜
C.＜v＜
D.＜v＜
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