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03 相互作用——力
[-考点-08-] 静态平衡问题
静态平衡问题常用方法
1．合成法：物体受三个共点力的作用而平衡，则任意两个力的合力一定与第三个
力大小相等、方向相反，据此画出这两个力合成的平行四边形，利用几何知识求解．
2．正交分解法：物体受到三个或三个以上力的作用而平衡，将物体所受的力分解
到相互垂直的x、y 轴上，则x 轴与y 轴上各分力的合力均为零．
3．相似三角形法：在三力平衡问题中，矢量三角形与空间几何三角形相似，可利
用相似比进行计算.
4．矢量三角形法：把表示三个力的有向线段构成一个闭合的三角形，常用于非特
殊角的一般三角形．
5．整体法与隔离法：将加速度相同的几个物体作为一个整体来分析的方法称为整
体法;将研究对象与周围物体分隔开来分析的方法称为隔离法.
分析平衡问题的基本思路
1．明确平衡状态(合力为零)．
2．巧选研究对象．
3．受力分析(画出规范的受力分析图)．
4．列平衡方程(灵活运用力的合成法、效果分解法、正交分解法)．
5．求解或讨论(解的结果及物理意义)．
典例1 (合成法)(2020·全国卷Ⅲ·17)如图，悬挂甲物体的细线拴牢在一不可伸长的轻质
细绳上O 点处；绳的一端固定在墙上，另一端通过光滑定滑轮与物体乙相连．甲、乙
两物体质量相等．系统平衡时，O 点两侧绳与竖直方向的夹角分别为α 和β.若α＝
70°，则β 等于( )
A．45° B．55° C．60° D．70°
答案 B
解析 取O 点为研究对象，O 点在三力的作用下处于平衡状态，对其受力分析如图所
示，FT1＝FT2，两力的合力与F 等大反向，根据几何关系可得2β＋α＝180°，所以β＝
55°，故选B.
1
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典例2 (正交分解法)(2022·江西八所重点中学联考)如图甲所示，推力F 垂直斜面作用
在斜面体上，斜面体静止在竖直墙面上，若将斜面体改成如图乙所示放置，用相同大
小的推力F 垂直斜面作用到斜面体上，则下列说法正确的是( )
A．墙面受到的压力一定变小
B．斜面体受到的摩擦力一定变小
C．斜面体受到的摩擦力可能变大
D．斜面体可能沿墙面向上滑动
答案 B
解析 受力分析如图所示
甲图中，FN1＝Fcos θ，Ff1＝mg＋Fsin θ≤Ffm；乙图中，FN2＝Fcos θ，所以墙面受到
的压力不变，A 项错误；若Fsin θ＝mg，则Ff2＝0，若Fsin θ＞mg，则Ff2方向向下，
Ff2＝Fsin θ－mg，若Fsin θ＜mg，则Ff2方向向上，Ff2＝mg－Fsin θ，所以斜面体受
到的摩擦力一定变小，B 项正确，C 项错误；因为墙面受到的压力没有变，所以Ffm不
变，甲图中，Ff1＝mg＋Fsin θ≤Ffm，推不动斜面体，乙图中，Ff2＝Fsin θ－mg，肯定
比Ffm小，所以斜面体肯定不沿墙面向上滑动，D 项错误．
典例3 (相似三角形法)(2022·重庆市三峡联盟模拟)如图所示，一轻杆两端固定两个小
球A、B，A 球的质量是B 球质量的3 倍，轻绳跨过滑轮连接A 和B，一切摩擦不计，
平衡时OA 和OB 的长度之比为( )
A．1∶2
B．2∶1
2
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C．1∶3
D．1∶4
答案 C
解析 设绳上拉力为FT，OA 长L1，OB 长L2，过O 点做竖直向下的辅助线交与AB 为
C 点，如图所示，利用力的三角形和长度三角形相似有＝；＝得＝，故A、B、D 错误，
C 正确．
典例4 (矢量三角形法)(2023·全国·专题练习)如图所示，长度为L1的木棒一端支在光滑
竖直墙上的A 点，另一端B 点被轻质细线斜拉着挂在墙上的C 点而处于静止状态，细
线与木棒之间的夹角为
，A、C 两点之间的距离为L2，墙对木棒的支持力为F，重力
加速度为g，下列说法正确的是( )
A．细线与竖直墙之间的夹角的正弦值为
B．木棒受到三个力（或延长线）可能不交同一点
C．细线对木棒的拉力大小为
D．木棒的质量为
答案 C
解析 A．设细线与竖直墙之间的夹角为
，在△ABC 中由正弦定理可得
.
解得
.故A 错误；B．根据共点力平衡的原理，木棒受到的三个力（或延
长线）一定交于同一点，故B 错误；CD．设细线的拉力为T，木棒的质量为m，对木
3
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棒受力分析如图，由力的平衡条件有
，
.结合
综
合解得
，
.故C 正确，D 错误.故选C.
典例5 (整体法与隔离法)(2022·黑龙江鹤岗市第一中学高三月考)如图甲所示，A、B 两
小球通过两根轻绳连接并悬挂于O 点，已知两轻绳OA 和AB 的长度之比为∶1，A、B
两小球质量分别为2m 和m，现对A、B 两小球分别施加水平向右的力F1和水平向左的
力F2，两球恰好处于如图乙的位置静止，此时B 球恰好在悬点O 的正下方，轻绳OA
与竖直方向成30°，则( )
A．F1＝F2
B．F1＝F2
C．F1＝2F2
D．F1＝3F2
答案 C
解析 由题意知两轻绳OA 和AB 的长度之比为∶1，B 球恰好在悬点O 的正下方，由几
何关系可知，OA 与AB 垂直；以B 球为研究对象，受力示意图如图甲所示，由平衡条
件得F2＝mgtan (90°－30°)＝mg，以A、B 两球整体为研究对象，受力示意图如图乙所
示，由平衡条件得F1－F2＝3mgtan 30°＝mg，可得F1＝2mg，即F1＝2F2，故C 正确．
4
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1.(2021·江苏省1 月适应性考试·3)如图所示，对称晾挂在光滑等腰三角形衣架上的衣服质量
为M，衣架顶角为120°，重力加速度为g，则衣架右侧对衣服的作用力大小为( )
A.Mg
B.Mg
C.Mg
D．Mg
答案 B
解析 对衣服进行受力分析，如图所示：
由几何关系知，衣架左、右侧对衣服的作用力FN 与竖直方向的夹角为30°，则有2FNcos
30°＝Mg，得FN＝Mg，故选B.
2.如图所示，小圆环A 吊着一个质量为m2的物块并套在另一个竖直放置的大圆环上，有一
细绳一端拴在小圆环A 上，另一端跨过固定在大圆环最高点B 的一个小滑轮后吊着一个质
量为m1的物块．如果小圆环A、滑轮、绳子的大小和质量以及相互之间的摩擦都可以忽略
不计，绳子不可伸长，平衡时弦AB 所对的圆心角为α，则两物块的质量之比m1∶m2应为(
)
A．cos
B．sin
C．2sin
D．2cos
答案 C
解析 对小圆环A 受力分析，如图所示，FT2与FN的合力F 与FT1大小相等，由矢量三角形
与几何三角形相似，可知＝，其中FT2＝m2g，F＝FT1＝m1g，联立解得＝2sin ，C 正确．
5
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3.(多选)如图所示，轻质光滑滑轮两侧用轻绳连着两个物体A 与B，物体B 放在水平地面上，
A、B 均静止．已知A 和B 的质量分别为mA、mB，绳与水平方向的夹角为θ(θ<90°)，重力
加速度为g，则( )
A．物体B 受到的摩擦力可能为零
B．物体B 受到的摩擦力大小为mAgcos θ
C．物体B 对地面的压力可能为零
D．物体B 对地面的压力大小为mBg－mAgsin θ
答案 BD
解析 轻绳拉力FT＝mAg，对B，在水平方向有Ff＝FTcos θ＝mAgcos θ，在竖直方向地面
对B 的支持力FN＝mBg－FTsin θ＝mBg－mAgsin θ，由牛顿第三定律可知，选项B、D 正确；
当mBg＝mAgsin θ 时，FN＝0，此时物体B 不可能静止，选项A、C 错误．
4.如图所示，两个质量均为m 的小球通过两根轻弹簧A、B 连接，在水平外力F 作用下，系
统处于静止状态，弹簧实际长度相等．弹簧A、B 的劲度系数分别为kA、kB，且原长相等．
弹簧A、B 与竖直方向的夹角分别为θ 与45°.设A、B 中的拉力分别为FA、FB，小球直径相
比弹簧长度可忽略，重力加速度为g，则( )
A．tan θ＝
B．kA＝kB
C．FA＝mg
D．FB＝2mg
答案 A
解析 对下面的小球进行受力分析，如图甲所示．根据平衡条件得：F＝mgtan 45°＝mg，
FB＝＝mg；对两个小球整体受力分析，如图乙所示，根据平衡条件得：tan θ＝，又F＝
mg，解得tan θ＝，FA＝＝mg，由题图可知两弹簧的形变量相等，则有：x＝＝，解得：＝
＝，故A 正确，B、C、D 错误．
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5.(多选)如图所示，质量为M、半径为R 的半球形物体A 放在水平地面上，通过最高点处大
小不计的钉子用水平细线拉住一质量为m、半径为r 的光滑球B.重力加速度为g，则( )
A．A 对地面的压力等于(M＋m)g
B．A 对地面的摩擦力方向向左
C．A 对B 的支持力大小为mg
D．细线对B 的拉力大小为mg
答案 AC
解析 对A、B 整体受力分析，受重力和支持力，相对地面无相对滑动趋势，故不受摩擦
力，根据平衡条件知，支持力等于整体的重力，根据牛顿第三定律知，整体对地面的压力
与地面对整体的支持力大小相等，故A 对地面的压力等于(M＋m)g，故A 正确，B 错误；
对B 受力分析，如图所示，根据平衡条件得：F＝，FT＝mgtan θ，其中cos θ＝，tan θ
＝，故F＝mg，FT＝mg，故C 正确，D 错误．
6.三个相同的建筑管材(可看作圆柱体)静止叠放于水平地面上，其截面示意图如图所示，每
个管材的质量均为m.各管材间接触，设管材间光滑、管材与地面间粗糙．重力加速度为
g，对此下列说法中正确的是( )
A．管材与地面接触处的压力大小为mg
B．上下管材接触处的压力大小为mg
C．管材与地面接触处没有摩擦力
D．下方两管材之间一定有弹力
答案 B
解析 由对称性知，上面管材的受力情况左右对称，下面两个管材的受力情况相同，整体
分析三个管材竖直方向受力平衡，有2F 地＝3mg，则F 地＝mg，即管材与地面接触处的压
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力大小为mg，故A 错误；隔离上面管材，其受力如图所示，则2Fcos 30°＝mg，解得：F
＝mg，故B 正确；隔离下面管材，左右两管材不挤压，则下方两管材之间没有弹力，左右
两管材相对于地面有向外的运动趋势，所以地面对两管材有摩擦力，故C、D 错误．
7．如图所示，三个重均为100 N 的物块，叠放在水平桌面上，各接触面水平，水平拉力F
＝20 N，作用在物块2 上，三条轻质绳结于O 点，与物块3 连接的绳水平，与天花板连接
的绳与水平方向成45°角，竖直绳悬挂重为20 N 的小球P.整个装置处于静止状态．则(
)
A．物块1 和2 之间的摩擦力大小为20 N
B．水平绳的拉力大小为20 N
C．桌面对物块3 的支持力大小为320 N
D．物块3 受4 个力的作用
答案 B
解析 对物块1 受力分析，受重力和支持力，假如受水平方向的摩擦力，则不能保持平衡，
故物块1 和物块2 间的摩擦力为零，A 错误；对O 点受力分析，受到三根绳子的拉力，如
图，根据平衡条件有，x 方向：FT2cos 45°＝FT1，y 方向：FT2sin 45°＝GP，解得FT1＝GP＝20
N，所以水平绳中的拉力大小为20 N，B 正确；对物块1、2、3 整体受力分析，受重力、
支持力、向左的拉力、水平绳的拉力，竖直方向：FN＝3G＝300 N，C 错误；对物块1 和物
块2 整体研究，受重力、支持力、向左的拉力F 和向右的静摩擦力Ff23，根据平衡条件得：
Ff23＝F＝20 N；对物块3 受力分析，2、3 间向左的摩擦力为20 N，水平绳向右的拉力也为
20 N，则3 与桌面间摩擦力为零，故3 受重力、支持力、压力、2 对3 的摩擦力、绳子拉力，
共5 个力作用，D 错误．
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8.用三根轻绳将质量为m 的物块悬挂在空中，如图所示．已知ac 和bc 与竖直方向的夹角分
别为30°和60°，重力加速度为g，则ac 绳和bc 绳中的拉力大小分别为( )
A.mg，mg
B.mg，mg
C.mg，mg
D.mg，mg
答案 A
解析 对结点c 受力分析如图所示，设ac 绳上的拉力为F1、bc 绳上的拉力为F2，根据平衡
条件知F1、F2的合力F 与重力mg 等大、反向，由几何知识得F1＝Fcos 30°＝mg，F2＝Fsin
30°＝mg.选项A 正确．
9.如图所示，两根完全相同的轻弹簧a、b 上端固定在竖直墙壁上，下端连接在小球上．小
球静止时，弹簧a、b 与竖直方向的夹角分别为53°和37°(sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8)，则
a、b 两弹簧的伸长量之比为( )
A. B. C. D.
答案 A
解析 对小球受力分析，受到重力和两个弹簧的弹力，如图所示，
9
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则有：＝＝，而Fa＝kxa，Fb＝kxb，解得＝.故A 正确，B、C、D 错误．
10．(2019·全国卷Ⅲ)用卡车运输质量为m 的匀质圆筒状工件，为使工件保持固定，将其置
于两光滑斜面之间，如图所示．两斜面Ⅰ、Ⅱ固定在车上，倾角分别为30°和60°.重力加速
度为g.当卡车沿平直公路匀速行驶时，圆筒对斜面Ⅰ、Ⅱ压力的大小分别为F1、F2，则(
)
A．F1＝mg，F2＝mg
B．F1＝mg，F2＝mg
C．F1＝mg，F2＝mg
D．F1＝mg，F2＝mg
答案 D
解析 分析可知工件受力平衡，对工件受到的重力按照压紧斜面Ⅰ和Ⅱ的效果进行分解，
如图所示，结合几何关系可知工件对斜面Ⅰ的压力大小为F1＝mgcos 30°＝mg，对斜面Ⅱ的
压力大小为F2＝mgsin 30°＝mg，选项D 正确，A、B、C 错误．
11.如图所示是某幼儿园的一部直道滑梯，其滑道倾角为θ.一名质量为m 的幼儿在此滑道上
匀速下滑．若不计空气阻力，重力加速度为g，则该幼儿( )
A．所受摩擦力为mgsin θ
B．所受摩擦力为mgcos θ
C．对滑道压力为mgsin θ
D．对滑道压力为mgtan θ
答案 A
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解析 对幼儿进行受力分析，由平衡条件得
沿倾斜滑道方向：Ff＝mgsin θ，A 正确，B 错误；垂直倾斜滑道方向：FN＝mgcos θ，C、
D 错误．
12.(多选)如图所示，两根等长的轻绳将日光灯悬挂在天花板上，两绳与竖直方向的夹角都
为45°，日光灯保持水平，所受重力为G.则( )
A．两绳对日光灯拉力的合力大小等于G
B．两绳的拉力和重力不是共点力
C．两绳的拉力大小均为G
D．两绳的拉力大小均为
答案 AC
解析 对日光灯受力分析如图，两绳拉力的作用线与重力作用线的延长线交于一点，这三
个力是共点力，B 选项错误；由于日光灯在两绳拉力和重力作用下处于静止状态，所以两
绳的拉力的合力与重力G 等大反向，A 选项正确；由于两个拉力的夹角为直角，且都与竖
直方向成45°角，则由力的平行四边形定则可知G＝，且F1＝F2，故F1＝F2＝G，C 选项正
确，D 选项错误．
13.(2021·大庆市东风中学阶段练习)如图所示，质量为m 的小球套在竖直固定的光滑圆环上，
轻绳一端固定在圆环的最高点A，另一端与小球相连，小球静止时位于环上的B 点，此时
轻绳与竖直方向的夹角为60°，则轻绳对小球的拉力大小为(重力加速度为g)( )
A．mg
B.mg
C．2mg
D.mg
答案 A
11
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解析 对B 点处的小球受力分析，如图所示，则有
FTsin 60°＝FNsin 60°;FTcos 60°＋FNcos 60°＝mg.解得FT＝FN＝mg，A 正确．
14．(多选)(2021·西安市周至中学高一期末)将两个相同的光滑斜面固定在水平地面上，并
将两块光滑的挡板AB 和CD 分别固定在斜面上，其中一块与斜面垂直，另一块沿竖直面，
然后将两个重力为G、表面粗糙的相同小球分别置于两斜面的挡板上，分别如图甲、乙所
示，斜面倾角为θ，下列说法正确的是( )
A．挡板对小球的支持力之比为1∶1
B．挡板对小球的支持力之比为cos θ∶1
C．斜面对小球的支持力之比为1∶1
D．斜面对小球的支持力之比为cos2θ∶1
答案 BD
解析 由于斜面和挡板均光滑，小球不受摩擦力，分别以小球为研究对象，受力分析如图
甲、乙所示
正交分解得FN1＝Gsin θ，FN2＝Gcos θ;FN3＝Gtan θ，FN4＝;所以＝cos θ，＝cos2θ，B、D
正确．
15.如图所示，一质量为M 的楔形木块放在水平桌面上，它的顶角为90°，两底角为α 和
β；a、b 为两个位于斜面上质量均为m 的小木块，已知所有接触面都是光滑的，重力加速
度为g.现发现a、b 沿斜面下滑，而楔形木块静止不动，这时楔形木块对水平桌面的压力等
于( )
12
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A．Mg＋mg
B．Mg＋2mg
C．Mg＋mg(sin α＋sin β)
D．Mg＋mg(cos α＋cos β)
答案 A
解析 对木块a 受力分析，如图，受重力和支持力，由几何关系，得到：FN1＝mgcos α，
由牛顿第三定律得木块a 对楔形木块的压力为：FN1′＝mgcos α①
同理，木块b 对楔形木块的压力为：FN2′＝mgcos β②
对楔形木块受力分析，如图，
根据共点力平衡条件，得到：
FN2′cos α－FN1′cos β＝0③
F 支－Mg－FN1′sin β－FN2′sin α＝0④
根据题意有：α＋β＝90°⑤
由①②③④⑤解得：F 支＝Mg＋mg
根据牛顿第三定律，楔形木块对水平桌面的压力等于Mg＋mg
故选A.
16.(2021·连云港市高一上期末)如图所示，竖直平面内有半径为R 的光滑半圆弧形轻杆，圆
心为O，其直径AB 位于水平桌面上，原长为R 的轻弹簧一端固定在A 点，另一端连接着
质量为m 的小球，小球套在弧形杆上的C 点处于静止状态．已知OC 与水平面间的夹角为
θ＝60°，重力加速度为g.
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(1)画出小球的受力示意图；
(2)求小球对弧形杆的弹力大小；
(3)求弹簧的劲度系数．
答案 见解析
解析 (1)小球的受力示意图如图所示
(2)FN＝2mgcos 30°
解得FN＝mg
由牛顿第三定律得
FN′＝FN＝mg
(3)AC 长为L＝2Rcos 30°＝R
F 弹＝k(L－R)＝mg
解得k＝.
17.(多选)(2023·湖南长沙·校考)两个可视为质点的小球a 和b，用质量可忽略的刚性细杆相
连，放置在一个光滑的半球面内，如图所示．已知小球a 和b 的质量之比为
＝
，细
杆长度是球面半径的
倍.两小球处于平衡状态时，设半球面对小球a 的支持力为Fa，对
小球b 的支持力为Fb，细杆与水平面的夹角为θ，则( )
A．θ＝45°
B．θ＝15°
C．
D．
答案 BC
解析 因杆可以绕任一点转动，若杆对a、b 的作用力不沿杆，则杆不可能处于平衡状态，
故杆对ab 球的弹力一定沿杆，且对两球的作用力大小一定相等.设细杆对两球的弹力大小
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为T，小球a、b 的受力情况如图所示：
其中球面对两球的弹力方向指向圆心，设球面的半径为R，即有：
解得：
.故
的方向为向上偏右，即
.
的方向为向上偏
左，即
.两球都受到重力、细杆的弹力和球面的弹力的作用，过O
点作竖直线交ab 于c 点，则Oac 与左侧力三角形相似；Obc 与右侧力三角形相似；则由几
何关系可得：
，
.解得：
.取a、b 及细杆组成的
整体为研究对象，由平衡条件得：
.即
解得：
.故BC 正确，AD 错误。
15
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