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考点巩固卷45
弹簧模型在动量中的综合应用
建议用时：50 分钟
考点序号
考点
题型分布
考点1
弹簧模型在动量中的综合应用
4 单选+8 多选+3 解答
考点01：弹簧模型在动量中的综合应用（4 单选+8 多选+3 解答）
一、单选题
1．如图，质量均为
的物块A、B 用轻弹簧相连，放在光滑水平面上，B 与竖直墙面紧靠。另一个质
量为
的物块C 以某一初速度向A 运动，C 与A 碰撞后粘在一起不再分开，它们共同向右运动并压缩弹簧，
弹簧储存的最大弹性势能为6.0J，最后弹簧又弹开，A、B、C 一边振动一边向左运动。那么下列说法错误
的是（ ）
A．从C 触到A，到B 离开墙面这一过程，系统的动量不守恒，机械能损失
B．B 离开墙面以后的运动过程中，B 的最大速度为
C．C 的初动能为9J
D．B 离开墙面后，弹簧的最大弹性势能为1.5J
【答案】B
【详解】AC．从C 触到A，到B 离开墙面这一过程，C 与A 碰撞后粘在一起不再分开，是非弹性碰撞，机
械能有损失，C、A 共同向右运动并压缩弹簧过程中，B 受到墙面的作用力，系统的动量不守恒；设C 的初
速度为v0，初动能为
，对C 与A 碰撞过程，取向右为正方向，由动量守恒定律得
C、A 向右压缩弹簧的过程，由机械能守恒得
得
1
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初动能为
联立解得
，
，
机械能损为
AC 正确；
B．当B 刚离开墙壁时C、A 的速度大小等于v1，方向向左。当弹簧由拉伸第二次恢复原长时B 的速度最大，
取向左为正方向，根据动量守恒定律和机械能守恒定律得
，
解得B 的最大速度为
B 错误；
D．B 离开墙面后，当三个物体的速度相同时弹簧的弹性势能最大，根据动量守恒定律和
机械能守恒定律得
，
联立解得B 离开墙面后，弹簧的最大弹性势能为
D 正确。
本题选择错误的，故选B。
2．如图所示，质量为3m 的小物块B 静止放在光滑水平面上，左端固定一轻质弹簧，弹簧劲度系数为k，
质量为m 的小物块A 以初速度v0与弹簧碰撞并压缩弹簧，经时间t 物块A、B 速度大小相同，此过程中小物
块B 运动的位移为d，之后弹簧弹开，已知两物块始终在同一直线上运动，v0t=d0，下列说法中正确的是（
）
A．当弹簧恢复原长时，物块A、B 的速度相同
2
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B．从开始压缩弹簧到弹簧压缩到最短，A 物块的位移为d0-3d
C．从开始压缩弹簧到弹簧完全弹开，弹簧的最大弹力为4kd
D．从开始压缩弹簧到弹簧完全弹开，经历的时间为3t
【答案】B
【详解】A．从物块A 与弹簧接触到分离过程，有
解得
，
由此可知，A、B 速度大小相等，但方向相反，故A 错误；
B．弹簧压缩到最短时，A、B 共速，根据动量守恒有
解得
根据牛顿第二定律，A、B 加速度任意时刻之比都为3:1，故平均加速度之比也为3:1，对B，有
故B 正确；
C．弹簧的压缩量为
故C 错误；
D．从压缩弹簧到弹簧完全弹开，物块B 速度由0 增大至
，与由
增大至
的过程中受到的弹力对称，
速度变化相同，故两段时间相同，从开始压缩弹簧到弹簧恢复原长，经历的时间为2t，故D 错误。
故选B。
3．如图甲所示，一轻质弹簧的两端分别与质量是
、
的A、B 两物块相连，它们静止在光滑水平面上。
现使A 瞬时获得水平向右的速度
并从此时刻开始计时，两物块的速度随时间变化的规律如图乙所
3
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示，已知
，下列说法正确的是（ ）
A．物块B 的质量为3kg
B．弹簧的最大弹性势能为4.5J
C．
时刻A、B 的动能之比为
D．从
到
时刻弹簧由伸长状态恢复到原长
【答案】D
【详解】A．由图乙可知，
时刻两物块速度相同，均为
根据动量守恒可得
解得物块B 的质量为
故A 错误；
B．当两物块速度相同时，弹簧弹性势能最大，根据能量守恒可得
故B 错误；
C．
时刻，由图乙可知A、B 速度分别为
，
A、B 的动能之比为
故C 错误；
4
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D．由图乙可知，B 的速度在
时刻最大，可知此时弹簧恢复原长，此后B 开始做减速运动，弹簧处于拉伸
状态；
时刻，两物块速度再一次相同，此时弹簧伸长量最大，
时刻，弹簧刚好再次恢复原长，则从
到
时刻弹簧由伸长状态恢复到原长，故D 正确。
故选D。
4．如图所示，滑块A、B、C 位于光滑水平面上，已知A、B、C 的质量均为1 kg。滑块B 的左端连有轻质弹
簧，弹簧开始处于自由伸长状态.现使滑块A 以
速度水平向右运动，弹簧被压缩到最短时，B 与C
恰好相碰并粘接在一起，然后继续运动。假设B 和C 碰撞过程时间极短，则B 和C 碰撞过程中整个系统损
失的机械能为（ ）
A．0.25 J
B．0.50 J
C．0.75 J
D．1.00 J
【答案】A
【详解】对A、B 系统，A、B 速度相等时，弹簧被压缩到最短，根据动量守恒定律有
代入数据，解得
弹簧被压缩到最短时，B 的速度为
，此时B 与C 发生完全非弹性碰撞，对B、C 组成的系统，由
动量守恒定律得
代入数据，解得
只有B 与C 发生非弹性碰撞，有机械能损失，则损失的系统机械能为
故选A。
二、多选题
5．如图所示，质量为
的物块P 与长木板Q 之间有一轻弹簧，静止在光滑的水平地面上，P 与弹簧拴接，
5
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Q 与弹簧接触但不拴接，Q 的上表面粗糙。
时，物块P 以初速度
向左运动，
时间内物块P 与
长木板Q 的
图像如图所示，
时刻，把质量为
的物块M 放在Q 的最左端，图中末画出，M 最终
末从Q 上滑出，则（ ）
A．物体Q 的质量为
B．
时刻弹簧的弹性势能为
C．M 和Q 之间由于摩擦作用的发热量为
D．弹簧可以和Q 发生二次作用
【答案】AC
【详解】A．
时刻，
所受弹力最大且大小相等，由牛顿第二定律可得
则物体
的质量为
，故A 正确；
B．
时刻，弹簧压缩到最短，
和
速度相等，根据动量守恒
根据能量守恒可得最大弹性势能为
6
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故B 错误；
C．
时间内，根据动量守恒
根据机械能守恒
联立解得
2t0时刻，
和弹簧分离，
和
之间动量守恒，有
解得
产生的热量为
故C 正确；
D．由上分析可知
和
共速时
弹簧不能和
发生二次作用，故D 错误。
故选AC。
6．如图所示，一足够长的圆筒竖直固定放置，物块A、B、C 的质量均为m，B、C 之间用劲度系数为k 的
7
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轻质弹簧连接，物块B、C 静止。现将A 从B 的正上方
处静止释放，之后A、B 碰撞时间极短并粘合在
一起。已知C 与圆筒间最大静摩擦力为
，最大静摩擦力等于滑动摩擦力；弹簧的弹性势能表达式为
，式中x 为弹簧的形变量；重力加速度大小为g。下列说法正确的是（ ）
A．A、B 碰撞结束时速度的大小为
B．A、B 碰后整体第一次达到的最大速率为
C．从A 静止释放到最终A、B、C 及弹簧组成的系统共损失机械能为
D．A、B 碰后整体将做简谐运动
【答案】AB
【详解】A．根据题意，设A 碰撞前瞬间速度为
，A、B 撞后共同速度为
，对A 自由下落过程列动能定
理
解得
A、B 碰撞过程满足动量守恒
8
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解得
故A 正确；
B．A、B 碰撞后整体运动到速度最大处满足加速度为0，既
解得
从A、B 撞后到速度最大列能量守恒定律
解得
故B 正确；
CD．A、B 碰撞过程损失的机械能为
解得
假设C 不动，A、B 碰撞后整体做简谐运动，关于速度最大的平衡位置下方也有一处速度为
，根据简谐运
动的对称性，该处的合外力方向向上，大小与碰撞点相等为
，对A、B 整体受力分析得到此处弹簧弹力
应该为
，此时C 物块受力分析知C 受到向下的力共为
，C 将开始运动，A、B 整体运动不是简谐运
动，C 运动后也将有摩擦内能生成，故CD 错误。
故选AB。
7．如图所示，倾角为
、足够长的光滑斜面固定在水平地面上，下端有一垂直斜面的固定挡板。质
量均为
的小球a、b 用劲度系数为k 的轻质弹簧连接并放置在斜面上，小球b 靠在挡板上，两小球均保持
9
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静止。现对小球a 施加一平行斜面向上、大小为
的恒力。已知弹簧的弹性势能
与其形变量
满
足
，弹簧与斜面平行且形变始终处于弹性限度内，重力加速度大小为g。在以后的运动中，下列
分析正确的是（ ）
A．小球a、b 和弹簧组成的系统机械能守恒
B．小球b 脱离挡板后，系统的总动量保持不变
C．小球b 刚要运动时，小球a 的动能为
D．小球b 脱离挡板以后的运动过程中，系统动能可能为
【答案】BCD
【详解】A．小球a、b 和弹簧组成的系统受外力F 做正功，机械能增大，故A 错误；
B．根据分析，小球b 脱离挡板后，将小球a,小球b 以及弹簧看作一个整体，则整体受到的合外力为0，根
据所学的知识可知符合动量守恒的条件，因此系统总的动量保持不变。故B 正确；
C．初始状态时，弹簧处于压缩状态，根据受力分析可得
小球b 刚要运动时
解得
初末状态中弹簧形变量相同，弹性势能相同。则弹力做的总功为0。根据动能定理可得
解得
10
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故C 正确；
D．小球b 刚要运动时，根据上述分析可知小球a 的速度为：
弹簧弹性势能最大时两小球的速度相等此时系统动能最小，系统总动量守恒，选择初速度的方向为正方向，
根据动量守恒和能量守恒定律可得：
系统动能为
故D 正确；
故选BCD。
8．如图所示，有一个质量为
的物体A 和一个质量为M 的物体B 用轻弹簧连接，放在光滑的水平地
面上。二者初始静止，弹簧原长为
，劲度系数为k，弹性势能表达式
（x 为弹簧的形变量）。
现用一质量为m 的子弹沿水平方向以初速度
打中物体A，并留在物体A 中（子弹与物体A 达到相对静止
的时间极短），然后压缩弹簧至最短，之后弹簧恢复原长，最后被拉长至最长。则下列说法正确的是（
）
A．整个过程中子弹、物体A、物体B 三者组成的系统动量守恒、机械能守恒
B．弹簧被压缩至最短时物体B 的速度大小为
C．整个过程中弹簧的最大弹性势能为
D．物体B 的最大加速度大小为
11
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【答案】BD
【详解】A．水平地面光滑，子弹、物体A、物体B 三者组成的系统所受合外力为零，因此动量守恒，子弹
打入物体A 过程中，由于摩擦生热，故机械能不守恒，选项A 错误；
B．当三者共速时，弹簧被压缩至最短，设共同速度为
，根据动量守恒定律有
解得
选项B 正确；
C．当弹簧压缩至最短或伸长至最长时，弹性势能最大，此时三者共速，子弹打入物体A 并留在A 中时，
设此时A 的速度大小为
，对子弹与物体A，根据动量守恒定律
解得
从子弹打入物体A 后至AB 共速，弹性势能增加量等于系统动能减少量，故最大弹性势能为
选项C 错误；
D．当弹簧形变量最大时，弹力最大，物体B 的加速度最大
根据牛顿第二定律得
联立二式得
选项D 正确。
故选BD。
9．如图所示，光滑水平面上质量为2M 的物体A 以速度v 向右匀速滑动，质量为M 的B 物体左端与轻质弹
簧连接并静止在光滑水平面上，在物体A 与弹簧接触后，以下判断正确的是（ ）
12
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A．在物体A 与弹簧接触过程中，弹簧对A 的弹力冲量大小为
B．在物体A 与弹簧接触过程中，弹簧对B 的弹力做功的功率一直增大
C．从A 与弹簧接触到A、B 相距最近的过程中，弹簧对A、B 做功的代数和为0
D．从A 与弹簧接触到A、B 相距最近的过程中，最大弹性势能为
【答案】AD
【详解】A．根据动量守恒定律得
根据机械能守恒定律得
解得
根据动量定理得
解得
A 正确；
B．在物体A 与弹簧接触到弹簧最短的过程中，弹簧的弹力和B 的速度都增大，弹簧对B 的弹力做功的功率
增大；在弹簧接近原长时，B 的速度接近
，而弹簧的弹力几乎等于零，弹簧对B 的弹力做功的功率几
乎等于零，所以在物体A 与弹簧接触过程中，弹簧对B 的弹力做功的功率先增大后减小，B 错误；
CD．根据动量守恒定律得
13
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解得
弹簧对A、B 做功分别为
弹簧对A、B 做功的代数和为
最大弹性势能为
C 错误，D 正确。
故选AD。
10．如图所示，足够长光滑水平面上，一轻质弹簧左端与质量为2m 的B 滑块相连，右端与质量为m 的滑
块A 接触而不固连，弹簧处于原长，现给A 施加一瞬间冲量使其获得一个水平向左的初速度
，经一段时
间后滑块A 与弹簧分离，其间弹簧的最大弹性势能为
，则下列说法正确的是（ ）
A．A 与弹簧分离前任一时刻，A 与B 的动量之比为
B．若事先将B 固定，弹簧的最大弹性势能为
C．两者分离后A、B 的动能之比为
D．若事先在距B 左侧很远处固定一刚性挡板，则最终B 不可能追上A
【答案】BC
【详解】A．A 与弹簧分离之前任一时刻，A 与B 受到的弹力始终大小相等，方向相反，因而受到的冲量的
14
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大小相等，但A 具有一定的初速度，因而两者的速度大小不一定相等，即动量大小之比不一定为
，A 错
误；
B．A、B 运动过程中，二者相对静止时，弹性势能最大，由动量守恒定律有
即
B 固定，则A 速度减小为0 时弹性势能最大，可得
B 正确；
C．整个过程系统根据动量守恒及机械能守恒可得
解得
即有
即两者分离后A、B 的动能之比为
，选项C 正确；
D．由前面分析可知B 与档板发生弹性碰撞反向运动时
，则B 可追上A，选项D 错误。
故选BC。
11．质量分别为
、
的A、B 两物体连接在轻质弹簧两端，用轻质细线拴住A、B，弹簧被压缩，整体放
置在光滑的水平面上处于静止状态。如图甲所示，若A 靠在墙角，突然烧断细线，当弹簧恢复原长时，B
的速度为v，如图乙所示，若A 不靠在墙角，也突然烧断细线。规定水平向右为正方向，下列说法正确的
是（ ）
15
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A．烧断细线之前弹簧的弹性势能为
B．对甲图，烧断细线后当弹簧压缩量最大时，弹簧的弹性势能为
C．对乙图，烧断细线后当弹簧恢复原长时，A、B 的动能之比
D．对乙图，烧断细线后当弹簧恢复原长时，A 的动量为
【答案】BD
【详解】A．根据能量守但定律可得，烧断细线之前弹簧的弹性势能为
故A 错误；
B．对甲图，烧断细线后当A 离开墙角后，系统的动量守恒，当弹簧压缩量最大时A、B 达到共同速度，由
动量守恒定律可得
由能量守恒定律可得弹簧的弹性势能为
联立解得
故B 正确；
C．对乙图，烧断细线后系统的动量守恒且为0，则A、B 的动量总是等大反向，当弹簧恢复原长时设A、B
的动量大小均为p，由能量守恒定律可得
16
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联立解得
故C 错误；
D．由能量守恒定律可得
又
联立解得
又
联立解得
则A 的动量为
，故D 正确。
故选BD。
12．如图所示，物块A 的质量为1kg，物块B 及小车C 的质量均为2kg，小车足够长。物块A、B 与小车C
之间的动摩擦因数均为0.1，地面光滑，两物块间夹一轻质弹簧，弹簧与物块不连接。初始时双手摁住两
个物块，弹簧处于压缩状态，弹簧弹力为
，重力加速度
取
，现双手同时放开，则下列说法正确
的是（ ）
A．无论弹力
为多大，最终三者速度均为0
B．若
，则释放物块后，A、C 发生相对滑动
C．若
，则释放物块后，A、C 之间及B、C 之间均发生相对滑动
17
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D．若释放物块的瞬间，物块A、B 均相对于小车滑动，则全过程中弹簧减少的机械能大于系统内摩擦
产生的热能
【答案】AB
【详解】A．由系统的动量守恒易知，无论弹力
为多大，最终三者均静止，A 正确。
B．由于A、C 之间的最大静摩擦力小于B、C 之间的最大静摩擦力，故随着
逐渐增大A、C 之间先发生相
对滑动。对A 分析可知，当
时，A、C 之间相对滑动，B 正确。
C．B、C 之间将相对滑动时，对C 分析
对B、C 整体分析可知
得
可知
时，A、C 之间发生相对滑动，B、C 之间未发生相对滑动，C 错误；
D．若释放物块的瞬间，物块A、B 均相对于小车滑动，系统最终也将处于静止状态，全过程中弹簧减少的
机械能即为减少的弹性势能，根据能量关系可知等于系统内摩擦产生的热能，D 错误。
故选AB。
三、解答题
13．如图所示，竖直轻弹簧下端固定在地面上，上端与物体B 连接。B 物体质量为
，平衡时，弹簧的压
缩量为
。另一个质量也为
的物体A，从物体B 正上方相距
处自由落下，与物体B 相撞并立刻一起向
下运动，但互不粘连。它们到达最低点后又向上运动，恰能一起回到
点。重力加速度大小为
，求：
（1）碰撞前，弹簧的弹性势能；
（2）若将A 物体从距离B 物体
处重新释放，A 上升到达的最高点与
点的距离。
18
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【答案】（1）
；（2）
【详解】（1）A 自由下落过程，有
A、B 碰撞过程，满足动量守恒，则有
A、B 碰后恰能一起回到
点，则有
联立解得碰撞前，弹簧的弹性势能为
（2）若将A 物体从距离B 物体
处重新释放，A 自由下落过程，有
A、B 碰撞过程，满足动量守恒，则有
A、B 碰后一起回到
点，则有
A、B 在
点之后分离，A 继续上升过程有
联立解得
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14．如图所示，轻弹簧连接着两个质量均为
的小球2、3，静止于光滑水平桌面上。另一个质量为
的小球1 以速度
撞向小球2，
的方向沿着两小球2 和3 连线方向，已知小球之间的碰
撞为弹性碰撞且球1 与球2 之间不会发生二次碰撞，求：
（1）第一次碰撞刚结束时三个小球的速度分别是多少？
（2）经计算可知，在小球1 和2 发生第一次碰撞后的1.57s，弹簧第一次压缩到最短，求此时弹簧的弹性
势能。
（3）在小球1 和2 发生第一次碰撞后的1.57s 内，小球3 的位移为5.7m。求此时小球1 和小球2 之间的距
离。
【答案】（1）
，
，
；（2）
；（3）
【详解】（1）对小球1 和小球2 组成的系统，根据动量守恒定律和机械能守恒定律有
，
解得
，
此时小球3 还没有反应过来，其速度为0。
（2）碰撞后，小球2 和小球3 组成的系统动量守恒，则有
解得
小球2 和小球3 及弹簧组成的系统机械能守恒，则有
解得
20
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（3）根据题意可知，发生第一次碰撞后的
，小球2 和小球3 达到共速，根据小球的运动情况画出两
小球的
图像，如图所示
在运动过程中两小球的加速度大小始终相等，可知两条图线上下对称，根据
图像的面积代表物体的位
移可以得出小球2 的位移为
而在此段时间内小球1 一直保持匀速直线运动，故小球1 的位移为
故
时小球1、2 之间的距离为
15．如图甲所示，物块A、B 的质量分别是
和
，用轻弹簧拴接两物块放在光滑的水平地
面上，物块B 的右侧与竖直墙面接触。另有一物块C 从
时刻起，以一定的速度向右运动，在
时与
物块
相碰，并立即与
粘在一起不再分开，物块C 的
图像如图乙所示。
（1）物块C 的质量
；
（2）物块B 离开墙壁前，弹簧的最大弹性势能；
（3）物块B 离开墙壁后，物块B 的最大速度值。
【答案】（1）
；（2）
；（3）
21
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【详解】（1）由题图乙知，
与
碰前速度为
，碰后速度为
与
碰撞过程动量
守恒，以
的初速度方向为正方向，由动量守恒定律得
解得
（2）当
与
速度为0 时，弹性势能最大
（3）物块
离开墙壁后，系统动量守恒、机械能守恒，物块
的最大速度时，弹簧处于原长，则
解得
故物块
离开墙壁后，物块
的最大速度为
22
