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训练十四 带电粒子在电场中的力电综合问题
题型一 带电粒子在重力场和电场中的圆周运动
知识梳理
1．等效重力场
物体仅在重力场中的运动是最常见、最基本的运动，但是对于处在匀强电场和重力场中物体的运动问题就
会变得复杂一些．此时可以将重力场与电场合二为一，用一个全新的“复合场”来代替，可形象称之为
“等效重力场”．
2.
3．举例
例1 (多选)(2023·福建省福州第十五中学质检)如图所示，带电小球(可视为质点)用绝缘细线悬挂在O
点，在竖直平面内做完整的变速圆周运动，小球运动到最高点时，细线受到的拉力最大．已知小球运动所
在的空间存在竖直向下的匀强电场，电场强度大小为E，小球质量为m、带电荷量为q，细线长为l，重力
加速度为g，则( )
1
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A．小球带正电 B．静电力大于重力
C．小球运动到最低点时速度最大 D．小球运动过程最小速度至少为v＝
变式训练1 (多选)(2023·重庆市八中高三检测)如图甲所示，空间有一水平向右的匀强电场，电场强度
大小为E＝1×104 V/m，其中有一个半径为R＝2 m 的竖直光滑圆环轨道，环内有两根光滑的弦轨道AB 和
AC，A 点所在的半径与竖直直径BC 成37°角．质量为m＝0.08 kg、电荷量为q＝＋6×10－5 C 的带电小环
(视为质点)穿在弦轨道上，从A 点由静止释放，可分别沿AB 和AC 到达圆周上的B、C 点．现去掉弦轨道AB
和AC，如图乙所示，让小环穿在圆环轨道上且恰好能做完整的圆周运动．不考虑小环运动过程中电荷量
的变化．下列说法正确的是(cos 37°＝0.8，g 取10 m/s2)( )
A．小环在弦轨道AB 和AC 上运动时间之比为1∶1
B．小环做圆周运动过程中经过C 点时动能最大
C．小环做圆周运动过程中动能最小值是1 J
D．小环做圆周运动过程中对圆环轨道的最大压力是5 N
变式训练2 如图所示，现有一个小物块质量为m＝80 g、带正电荷 q＝2×10－4 C，与水平轨道之间的动
摩擦因数 μ＝0.2，在水平轨道的末端N 处连接一个光滑竖直的半圆形轨道，半径为R＝40 cm.整个轨道
处在一个方向水平向左、电场强度大小E＝4×103 V/m 的匀强电场中，取g＝10 m/s2.
(1)若小物块恰能运动到轨道的最高点L，那么小物块应从距N 点多远处的A 点释放？
(2) 如果小物块在(1)中的位置A 释放，当它运动到P 点(轨道中点)时轨道对它的支持力等于多少？
(3)如果小物块在(1)中的位置A 释放，当它运动到NP 间什么位置时动能最大，最大动能是多少？(结果保
留两位有效数字)
2
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题型二 电场中的力电综合问题
知识梳理
1．动力学的观点
(1)由于匀强电场中带电粒子所受静电力和重力都是恒力，可用正交分解法．
(2)综合运用牛顿运动定律和运动学公式，注意受力分析要全面，特别注意重力是否需要考虑的问题．
2．能量的观点
(1)运用动能定理，注意过程分析要全面，准确求出过程中的所有力做的功，判断是对分过程还是对全过
程使用动能定理．
(2)运用能量守恒定律，注意题目中有哪些形式的能量出现．
①若带电粒子只在静电力作用下运动，其动能和电势能之和保持不变．
②若带电粒子只在重力和静电力作用下运动，其机械能和电势能之和保持不变．
3．动量的观点
(1)运用动量定理，要注意动量定理的表达式是矢量式，在一维情况下，各个矢量必须选同一个正方向．
(2)运用动量守恒定律，除了要注意动量守恒定律的表达式是矢量式，还要注意题目表述是否为某方向上
动量守恒．
例3 (2023·湖南株洲市模拟)如图，一带电的平行板电容器固定在绝缘底座上，底座置于光滑水平面
上，一光滑绝缘轻杆左端固定在电容器的左极板上，并穿过右极板上的小孔，电容器极板连同底座总质量
为2m，底座锁定在水平面上时，套在杆上质量为m 的带电环以某一初速度由小孔进入电容器后，最远能到
达距离右极板为d 的位置．底座解除锁定后，将两极板间距离变为原来的2 倍，其他条件不变，则带电环
进入电容器后，最远能到达的位置距离右极板( )
A.d B．d C.d D.d
变式训练3 如图所示，不带电物体A 和带电的物体B 用跨过定滑轮的绝缘轻绳连接，A、B 的质量分别为
2m 和m，劲度系数为k 的轻弹簧一端固定在水平面上，另一端与物体A 相连，倾角为θ 的斜面处于沿斜面
向上的匀强电场中，整个系统不计一切摩擦．开始时，物体B 在一沿斜面向上的外力F＝3mgsin θ 的作用
下保持静止且轻绳恰好伸直，然后撤去外力F，直到物体B 获得最大速度，且弹簧未超过弹性限度(已知弹
簧形变量为x 时弹性势能为kx2)，重力加速度为g，则在此过程中( )
A．物体B 带负电，受到的静电力大小为mgsin θ
B．物体B 的速度最大时，弹簧的伸长量为
C．撤去外力F 的瞬间，物体B 的加速度大小为3gsin θ
3
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D．物体B 的最大速度为gsin θ
变式训练4 (2019·全国卷Ⅱ·24)如图，两金属板P、Q 水平放置，间距为d.两金属板正中间有一水平
放置的金属网G，P、Q、G 的尺寸相同．G 接地，P、Q 的电势均为φ(φ>0)．质量为m，电荷量为q(q>0)的
粒子自G 的左端上方距离G 为h 的位置，以速度v0平行于纸面水平射入电场，重力忽略不计．
(1)求粒子第一次穿过G 时的动能，以及它从射入电场至此时在水平方向上的位移大小；
(2)若粒子恰好从G 的下方距离G 也为h 的位置离开电场，则金属板的长度最短应为多少？
强基固本练
1.如图所示，一个电荷量为－Q 的点电荷甲，固定在绝缘水平面上的O 点．另一个电荷量为＋q、质量为m
的点电荷乙，从A 点以初速度v0沿它们的连线向甲运动，运动到B 点时的速度为v，且为运动过程中速度
的最小值．已知点电荷乙受到的阻力大小恒为Ff，A、B 间距离为L0，静电力常量为k，则下列说法正确的
是( )
A．点电荷乙从A 点向甲运动的过程中，加速度逐渐增大
B．点电荷乙从A 点向甲运动的过程中，其电势能先增大再减小
C．OB 间的距离为
D．在点电荷甲形成的电场中，AB 间电势差UAB＝
2.(多选)(2023·黑龙江齐齐哈尔市八中模拟)如图所示，四分之一光滑绝缘圆弧槽B 处切线水平，一可视
为质点的带正电小球从圆弧槽A 处由静止释放，滑到B 处离开圆弧槽做平抛运动，到达水平地面的D 处，
若在装置所在平面内加上竖直向下的匀强电场，重复上述实验，下列说法正确的是( )
A．小球落地点在D 的右侧
B．小球落地点仍在D 点
C．小球落地点在D 的左侧
D．小球离开B 到达地面的运动时间减小
3.(多选)如图所示，可视为质点的质量为m 且电荷量为q 的带电小球，用一绝缘轻质细绳悬挂于O 点，绳
长为L，现加一水平向右的足够大的匀强电场，电场强度大小为E＝，小球初始位置在最低点，若给小球一
个水平向右的初速度，使小球能够在竖直面内做圆周运动，忽略空气阻力，重力加速度为g.则下列说法正
4
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确的是( )
A．小球在运动过程中机械能守恒
B．小球在运动过程中机械能不守恒
C．小球在运动过程中的最小速度至少为
D．小球在运动过程中的最大速度至少为
4.如图所示，虚线MN 下方存在着方向水平向左、范围足够大的匀强电场．AB 为绝缘光滑且固定的四分之
一圆弧轨道，轨道半径为R，O 为圆心，B 位于O 点正下方．一质量为m、电荷量为q 的带正电小球，以初
速度vA竖直向下从A 点沿切线进入四分之一圆弧轨道内侧，沿轨道运动到B 处以速度vB射出．已知重力加
速度为g，电场强度大小为E＝，sin 37°＝0.6，空气阻力不计，下列说法正确的是( )
A．从A 到B 过程中，小球的机械能先增大后减小
B．从A 到B 过程中，小球对轨道的压力先减小后增大
C．在A、B 两点的速度大小满足vA>vB
D．从B 点抛出后，小球速度的最小值为
5.(多选)(2023·福建泉州市高三质检)如图，ABC 是竖直面内的固定半圆形光滑轨道，O 为其圆心，A、C
两点等高，过竖直半径OB 的虚线右侧足够大的区域内存在沿AC 方向的匀强电场．一带正电小球从A 点正
上方P 点由静止释放，沿轨道通过B、C 两点时的动能分别为Ek和1.5Ek，离开C 点后运动到最高点D(图中
未画出)．已知P 与A 间的距离等于轨道半径，则( )
A．D 点与P 点等高
B．小球在电场中受到的静电力是其重力的两倍
C．小球在C 处对轨道的压力是其重力的两倍
D．小球通过D 点时的动能大于1.5Ek
6．(2022·辽宁卷·14)如图所示，光滑水平面AB 和竖直面内的光滑圆弧导轨在B 点平滑连接，导轨半径
为R.质量为m 的带正电小球将轻质弹簧压缩至A 点后由静止释放，脱离弹簧后经过B 点时的速度大小为，
之后沿轨道BO 运动．以O 为坐标原点建立直角坐标系xOy，在x≥－R 区域有方向与x 轴夹角为θ＝45°
的匀强电场，进入电场后小球受到的电场力大小为mg.小球在运动过程中电荷量保持不变，重力加速度为
g.求：
5
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(1)弹簧压缩至A 点时的弹性势能；
(2)小球经过O 点时的速度大小；
(3)小球过O 点后运动的轨迹方程．
7．(2023·江西南昌市名校联考)如图所示，空间中存在水平向右、电场强度大小为E＝5×103 N/C 的匀强
电场，水平传送带BC 的左端与水平面AB 在B 点平滑连接，右端与一个半径为R 的光滑圆弧轨道CD 水平相
切于C 点．xAB＝xBC＝R＝1 m，传送带顺时针转动，速率恒为v＝5 m/s，现将一质量为m＝0.5 kg、带正电
且电荷量为q＝1×10－3 C 的小滑块，从A 点由静止释放，小滑块与AB 段和BC 段间的动摩擦因数均为μ＝
0.2，取g＝10 m/s2.求：
(1)小滑块运动到水平面右端B 点时的速度大小；
(2)小滑块运动到圆弧轨道底端C 点时所受的支持力大小；
(3)小滑块对圆弧轨道CD 压力的最大值．(取1.4)
8．如图所示，空间中有一水平向右的匀强电场，电场强度的大小为E＝1.0×104 V/m.该空间有一个半径
为R＝2 m 的竖直光滑绝缘圆环的一部分，圆环与光滑水平面相切于C 点，A 点所在的半径与竖直直径BC 成
37°角．质量为m＝0.04 kg、电荷量为q＝＋6×10－5 C 的带电小球2(可视为质点)静止于C 点．轻弹簧一
端固定在竖直挡板上，另一端自由伸长时位于P 点．质量也为m＝0.04 kg 的不带电小球1 挨着轻弹簧右
端，现用力缓慢压缩轻弹簧右端到P 点左侧某点后释放．小球1 沿光滑水平面运动到C 点与小球2 发生碰
撞，碰撞时间极短，碰后两小球黏合在一起且恰能沿圆弧到达A 点．P、C 两点间距离较远，重力加速度g
取10 m/s2，不计空气阻力，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8.求：
(1)黏合体在A 点的速度大小；
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(2)弹簧的弹性势能；
(3)小球黏合体由A 点到水平面运动的时间．
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