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第3 课时 专题强化：动能定理在多过程问题中的应用
目标要求 1.会用动能定理解决多过程、多阶段的问题。2.掌握动能定理在往复运动问题中
的应用。
考点一 动能定理在多过程问题中的应用
1．应用动能定理解决多过程问题的两种思路
(1)分阶段应用动能定理
①若题目需要求某一中间物理量，应分阶段应用动能定理。
②物体在多个运动过程中，受到的弹力、摩擦力等力若发生了变化，力在各个过程中做功情
况也不同，不宜全过程应用动能定理，可以研究其中一个或几个分过程，结合动能定理，各
个击破。
(2)全过程(多个过程)应用动能定理
当物体运动过程包含几个不同的物理过程，又不需要研究过程的中间状态时，可以把几个运
动过程看作一个整体，巧妙运用动能定理来研究，从而避开每个运动过程的具体细节，大大
减少运算。
2．全过程列式时要注意
(1)重力、弹簧弹力做功取决于物体的初、末位置，与路径无关。
(2)大小恒定的阻力或摩擦力做功的数值等于力的大小与路程的乘积。
例1 (2024·安徽安庆市模拟)小球由地面竖直向上抛出，上升的最大高度为H，设所受阻
力大小恒定，选地面为参考平面，在上升至离地h 高处，小球的动能是重力势能的2 倍，到
达最高点后再下落至离地高h 处，小球的重力势能是动能的2 倍，则h 等于( )
A. B. C. D.
答案 D
解析 设小球受到的阻力大小恒为Ff，小球上升至最高点过程，由动能定理得－mgH－FfH
＝0－mv0
2，小球上升至离地高度h 处时速度设为v1，由动能定理得－mgh－Ffh＝mv1
2－
mv0
2，又由题有mv1
2＝2mgh，小球上升至最高点后又下降至离地高度h 处时速度设为v2，此
过程由动能定理得－mgh－Ff(2H－h)＝mv2
2－mv0
2，又由题有2×mv2
2＝mgh，以上各式联立
解得h＝，故选D。
例2 (2023·湖北卷·14)如图为某游戏装置原理示意图。水平桌面上固定一半圆形竖直挡板
其半径为2R、内表面光滑，挡板的两端A、B 在桌面边缘，B 与半径为R 的固定光滑圆弧轨
道
在同一竖直平面内，过C 点的轨道半径与竖直方向的夹角为60°。小物块以某一水
平初速度由A 点切入挡板内侧，从B 点飞出桌面后，在C 点沿圆弧切线方向进入轨道
1
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内侧，并恰好能到达轨道的最高点D。
小物块与桌面之间的动摩擦因数为，重力加速度大小为g，忽略空气阻力，小物块可视为质
点。求：
(1)小物块到达D 点的速度大小；
(2)B 和D 两点的高度差；
(3)小物块在A 点的初速度大小。
答案 (1) (2)0 (3)
解析 (1)由题知，小物块恰好能到达轨道的最高点D，则在D 点有m＝mg，解得vD＝
(2)由题知，小物块从C 点沿圆弧切线方向进入轨道
内侧，则在C 点有cos 60°＝
小物块从C 到D 的过程中，根据动能定理有
－mg(R＋Rcos 60°)＝mvD
2－mvC
2
则小物块从B 到D 的过程中，根据动能定理有
mgHBD＝mvD
2－mvB
2
联立解得vB＝，HBD＝0
(3)小物块从A 到B 的过程中，根据动能定理有
－μmgs＝mvB
2－mvA
2，s＝π·2R
解得vA＝。
考点二 动能定理在往复运动问题中的应用
1．往复运动问题：在有些问题中物体的运动过程具有重复性、往返性，描述运动的物理量
多数是变化的，而且重复的次数又往往是无限的或者难以确定的。
2．解题策略：此类问题多涉及滑动摩擦力或其他阻力做功，其做功的特点是与路程有关，
运用牛顿运动定律及运动学公式将非常烦琐，甚至无法解出，由于动能定理只涉及物体的初、
末状态，所以用动能定理分析这类问题可使解题过程简化。
例3 如图所示，固定斜面的倾角为θ，质量为m 的滑块从距挡板P 的距离为x0处以初速度
v0沿斜面上滑，滑块与斜面间的动摩擦因数为μ，滑块所受摩擦力小于重力沿斜面向下的分
力。若滑块每次与挡板相碰均无机械能损失，重力加速度为g，则滑块经过的总路程是(
)
2
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A.(＋x0tan θ)
B.(＋x0tan θ)
C.(＋x0tan θ)
D.(＋)
答案 A
解析 滑块最终要停在斜面底部，设滑块经过的总路程为x，对滑块运动的全程应用动能定
理得
mgx0sin θ－μmgxcos θ＝0－mv0
2，
解得x＝(＋x0tan θ)，选项A 正确。
例4 (2022·浙江1 月选考·20)如图所示，处于竖直平面内的一探究装置，由倾角α＝37°的
光滑直轨道AB、圆心为O1 的半圆形光滑轨道BCD、圆心为O2 的半圆形光滑细圆管轨道
DEF、倾角也为37°的粗糙直轨道FG 组成，B、D 和F 为轨道间的相切点，弹性板垂直轨道
固定在G 点(与B 点等高)，B、O1、D、O2和F 点处于同一直线上。已知可视为质点的滑块
质量m＝0.1 kg，轨道BCD 和DEF 的半径R＝0.15 m，轨道AB 长度lAB＝3 m，滑块与轨道
FG 间的动摩擦因数μ＝，滑块与弹性板作用后，以等大速度弹回，sin 37°＝0.6，cos 37°＝
0.8。滑块开始时均从轨道AB 上某点静止释放。
(1)若释放点距B 点的长度l＝0.7 m，求滑块到最低点C 时轨道对其支持力FN的大小；
(2)设释放点距B 点的长度为lx，求滑块第一次经F 点时的速度v 与lx之间的关系式；
(3)若滑块最终静止在轨道FG 的中点，求释放点距B 点长度lx的值。
答案 (1)7 N (2)v＝ (m/s)，其中lx≥0.85 m
(3)见解析
解析 (1)滑块由释放点到C 点过程，由动能定理有mglsin 37°＋mgR(1－cos 37°)＝mvC
2①
在C 点由牛顿第二定律有FN－mg＝m②
由①②解得FN＝7 N③
(2)要保证滑块能到F 点，必须能过DEF 的最高点，当滑块恰到最高点时根据动能定理可得
mgl1sin 37°－(3mgRcos 37°＋mgR)＝0④
解得l1＝0.85 m⑤
因此要能过F 点必须满足lx≥0.85 m⑥
3
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能过最高点，则能到F 点，由释放到第一次到达F 点，根据动能定理可得
mglxsin 37°－4mgRcos 37°＝mv2，⑦
由④⑤⑥⑦解得v＝ (m/s)，
其中lx≥0.85 m⑧
(3)设摩擦力做功为第一次到达中点时的n 倍
mglxsin 37°－mgsin 37°－nμmgcos 37°＝0，⑨
lFG＝，⑩
由⑨⑩解得lx＝ m，n＝1,3,5，…
又因为0.85 m≤lx≤lAB，lAB＝3 m，
当n＝1 时，lx1＝ m；当n＝3 时，lx2＝ m
当n＝5 时，lx3＝ m。
课时精练
1．木块在水平恒力F 的作用下，沿水平路面由静止出发前进了L，随即撤去此恒力，木块
沿原方向又前进了3L 才停下来，设木块运动全过程中地面情况相同，则摩擦力的大小Ff和
木块所获得的最大动能Ek分别为( )
A．Ff＝ Ek＝
B．Ff＝ Ek＝FL
C．Ff＝ Ek＝
D．Ff＝ Ek＝
答案 D
解析 木块运动全过程中，根据动能定理可得FL－Ff·4L＝0－0，可得Ff＝，木块在撤去恒
力时速度最大，则动能最大，根据动能定理可得FL－FfL＝Ek－0，解得木块所获得的最大
动能为Ek＝，故选D。
2．图中ABCD 是一条长轨道，其中AB 段是倾角为θ 的斜面，CD 段是水平的轨道，长为
s，BC 段是与AB 段和CD 段都相切的一小段圆弧，其长度可以忽略不计。一质量为m 的小
滑块(可视为质点)在A 点由静止释放，沿轨道下滑，最后停在D 点，A 点和D 点的位置如图
所示，现用一沿轨道方向的力推滑块，使它缓缓地由D 点回到A 点，设滑块与轨道间的动
摩擦因数均为μ，重力加速度为g，则推力对滑块做的功等于( )
A．mgh
B．2mgh
C．μmg(s＋)
D．μmg(s＋hcos θ)
答案 B
解析 滑块由A 点运动至D 点，设克服摩擦力做功为W 克fAD，由动能定理得mgh－W 克fAD＝
4
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0，即W 克fAD＝mgh，①
滑块从D 点回到A 点，由于是缓慢推，说明动能变化量为零，设克服摩擦力做功为W 克
fDA，由动能定理知当滑块从D 点被推回A 点有
WF－mgh－W 克fDA＝0，②
由A 点运动至D 点，克服摩擦力做的功为
W 克fAD＝μmgcos θ·＋μmgs，③
从D→A 的过程克服摩擦力做的功为
W 克fDA＝μmgcos θ·＋μmgs，④
联立③④得W 克fAD＝W 克fDA，⑤
联立①②⑤得WF＝2mgh，故A、C、D 错误，B 正确。
3.(2024·广东省模拟)如图所示，一篮球从距地面高H 处由静止下落，与地面作用后再竖直向
上弹回，篮球每次与地面作用都会有动能损失，损失的动能为篮球每次与地面接触前动能的
10%。不计空气阻力，篮球从开始下落到停止的过程中运动的总路程为( )
A．9H B．15H C．19H D．21H
答案 C
解析 篮球第一次到达地面时所获得的动能为Ek1＝mgH，运动的路程为s1＝H，篮球第一次
与地面作用后损失的动能为ΔEk1＝10%Ek1＝0.1mgH，反弹后上升到最高点时的高度为H1＝
0.9H
篮球第二次到达地面运动的路程为
s2＝H＋2H1＝H＋2×0.9H
篮球第二次与地面作用后损失的动能为ΔEk2＝10%Ek2＝0.1mgH1＝0.9mgH×0.1
反弹后上升到最高点时的高度为H2＝0.9H1＝0.92H
篮球第三次到达地面时运动的路程为
s3＝H＋2H1＋2H2＝H＋2×0.9H＋2×0.92H
篮球第n 次到达地面时运动的路程为sn＝H＋2×0.9H＋2×0.92H＋…＋2×0.9n－1H
根据等比数列求和公式可得
s 总＝H＋2×0.9H×
当n 趋于无穷大时，有s 总＝19H，C 正确。
4.(多选)(2023·辽宁沈阳市三模)如图所示为某探究活动小组设计的节能运输系统。斜面轨道
倾角θ＝37°，质量为M 的集装箱与轨道间的动摩擦因数为0.5，集装箱在轨道顶端时，自动
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装货装置将质量为m 的货物装入箱中，之后集装箱载着货物沿轨道无初速度滑下(货物与箱
之间无相对滑动)，当轻弹簧被压缩至最短时，自动卸货装置立刻将货物卸下，然后集装箱
恰好被弹回到轨道顶端，再重复上述过程(sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8)。下列说法正确的是(
)
A．集装箱与弹簧没有接触时，上滑与下滑的加速度大小之比为5∶2
B．集装箱与货物的质量之比为1∶4
C．若集装箱与货物的质量之比为1∶1，则集装箱不能回到轨道顶端
D．若集装箱与货物的质量之比为1∶6，则集装箱不能回到轨道顶端
答案 BC
解析 根据牛顿第二定律，上滑时，有Mgsin θ＋μMgcos θ＝Ma1，下滑时，有(M＋m)gsin
θ－μ(M＋m)gcos θ＝(M＋m)a2，所以＝，故A 错误；设顶端到弹簧压缩到最短位置间的距
离为x，集装箱从顶端滑至压缩弹簧到最短，再到返回顶端，根据动能定理，有mgxsin θ－
μ(M＋m)gcos θ·x－μMgcos θ·x＝0，可得＝，故B 正确；若集装箱与货物的质量之比为
1∶1，则mgxsin θ－μ(M＋m)gcos θ·x－μMgcos θ·x<0，说明集装箱不能回到轨道顶端，故
C 正确；若集装箱与货物的质量之比为1∶6，则mgxsin θ－μ(M＋m)gcos θ·x－μMgcos
θ·x>0，说明集装箱能回到轨道顶端，故D 错误。
5．(2023·北京市清华大学附属中学零模)如图甲所示为某单板滑雪U 型池的比赛场地，比赛
时运动员在U 型滑道内边滑行边利用滑道做各种旋转和跳跃动作，裁判员根据运动员的腾
空高度、完成的动作难度和效果评分。图乙为该U 型池场地的横截面图，AB 段、CD 段为
半径R＝4 m 的四分之一光滑圆弧雪道，BC 段为粗糙的水平雪道且与圆弧雪道相切，BC 长
为4.5 m，质量为60 kg 的运动员(含滑板)以5 m/s 的速度从A 点沿切线滑下后，始终保持在
一个竖直平面内运动，经U 型雪道从D 点竖直向上飞出，经t＝0.8 s 恰好落回D 点，然后又
从D 点返回U 型雪道。忽略空气阻力，运动员可视为质点，g＝10 m/s2。求：
(1)运动员与BC 雪道间的动摩擦因数；
(2)运动员首次运动到圆弧最低点C 点时对雪道的压力；
(3)运动员最后静止处距离B 点的距离。
答案 (1)0.1 (2)2 040 N，方向竖直向下
(3)1.5 m
解析 (1)根据题意，当运动员从D 点冲出去后做竖直上抛运动，则vD＝g，解得vD＝4 m/s
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运动员从A 运动到D，根据动能定理，有
－μmglBC＝mvD
2－mvA
2，解得μ＝0.1
(2)运动员从C 运动到D，根据动能定理可得
－mgR＝mvD
2－mvC
2
在C 点，根据牛顿第二定律，有FN－mg＝m
联立解得FN＝2 040 N，根据牛顿第三定律可得运动员运动到圆弧最低点C 点时对雪道的压
力大小为FN′＝FN＝2 040 N，方向竖直向下；
(3)运动员从A 点开始运动到最终静止，根据动能定理有mgR－μmgs＝0－mvA
2
解得s＝52.5 m＝11lBC＋3 m，所以运动员最后静止处距离B 点的距离为l＝lBC－3 m＝1.5
m。
6．如图所示轨道内，足够长的斜面与圆弧面光滑，水平地面各处粗糙程度相同，圆弧半径
为R，水平面长度LMN＝4R，现将一质量为m 的金属滑块从距水平面高h＝4R 处的P 点沿斜
面由静止释放，运动到斜面底端无能量损失，滑块滑至圆弧最高点Q 时对轨道的压力大小
恰好等于滑块重力，g＝10 m/s2，求：
(1)金属滑块与水平地面间的动摩擦因数μ；
(2)欲使滑块滑至圆弧最高点平抛后不落在斜面上，释放高度的取值范围。
答案 (1)0.25 (2)3.5R≤h≤5R
解析 (1)对滑块，在Q 点，重力和轨道对滑块的弹力提供向心力，有mg＋mg＝
对滑块，从P 到Q，根据动能定理得
mgh－μmgLMN－mg·2R＝mvQ
2
联立两式得μ＝0.25。
(2)当滑块恰好能运动到Q 点时，释放高度最小，设为h1，恰到Q 时的速度设为v1，对滑块，
在Q 点，重力提供向心力mg＝
从释放到Q 点，根据动能定理得
mgh1－μmgLMN－mg·2R＝mv1
2
联立两式得h1＝3.5R
当滑块恰好能抛到M 点时，释放高度最大，设为h2，到Q 点时的速度设为v2，滑块由Q 点
平抛到M 点，水平方向4R＝v2t，竖直方向2R＝gt2
从释放到Q 点，根据动能定理得
mgh2－μmgLMN－mg·2R＝mv2
2
联立求得h2＝5R
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故释放的高度范围为3.5R≤h≤5R。
7．如图是由弧形轨道、圆轨道(轨道底端B 略错开，图中未画出)、水平直轨道平滑连接而
成的力学探究装置。水平轨道AC 右端装有理想轻弹簧(右端固定)，圆轨道与水平直轨道相
交于B 点，且B 点位置可改变，现将B 点置于AC 中点，质量m＝2 kg 的滑块(可视为质点)
从弧形轨道高H＝0.5 m 处静止释放。已知圆轨道半径R＝0.1 m，水平轨道长LAC＝1.0 m，
滑块与AC 间的动摩擦因数μ＝0.2，弧形轨道和圆轨道均视为光滑，不计其他阻力与能量损
耗，取重力加速度g＝10 m/s2。求：
(1)滑块第一次滑至圆轨道最高点时对轨道的压力大小；
(2)轻弹簧获得的最大弹性势能；
(3)若H＝0.4 m，改变B 点位置，使滑块在整个滑动过程中不脱离轨道，求BC 长度满足的
条件。
答案 (1)60 N (2)6 J (3)0.5 m≤L≤1 m
解析 (1)从出发到第一次滑至圆轨道最高点过程，由动能定理可得
mgH－μmg－mg×2R＝mv2－0
在圆轨道最高点，由牛顿第二定律可得mg＋FN＝m，联立解得FN＝60 N，由牛顿第三定律
可知，滑块对轨道的压力大小为60 N。
(2)弹簧第一次被压缩到最短时，弹性势能有最大值；从出发到弹簧第一次被压缩到最短过
程，由动能定理可得mgH－μmgLAC＋W 弹＝0－0
又有W 弹＝0－Ep，联立解得Ep＝6 J
(3)①若滑块恰好到达圆轨道的最高点，则有mg＝m，从开始到圆轨道最高点，由动能定理
可得mg(H－2R)－μmgs1＝mv0
2－0
解得s1＝0.75 m，LBC＝LAC－s1，要使滑块不脱离轨道，BC 之间的距离应该满足LBC≥0.25 m
②若滑块刚好达到圆轨道的圆心等高处，此时的速度为零；由动能定理可得mg(H－R)－
μmgs2＝0
解得s2＝1.5 m，s2＝1.5 m＝1 m＋0.5 m
LBC′＝s2－LAC
即反弹时恰好上升到圆心等高处，如果反弹距离更大，则上升的高度更小，更不容易脱离轨
道，所以LBC′≥0.5 m，考虑到AC 的总长度等于1 m，所以LBC′≤1 m；结合①②两种情
况，符合条件的BC 长度为0.5 m≤L≤1 m。
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