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第57 讲 电磁感应中的动力学和能量问题
目 录
模拟·基础演练.........................................................................................................................1
题型01 水平单棒的动力学问题.........................................................................................1
题型02 竖直或倾斜单棒的动力学问题..............................................................................3
题型03 线框的动力学问题................................................................................................. 5
题型04 电磁感应中的能量守恒问题..................................................................................8
题型05 电磁感应中的功能关系问题................................................................................10
重难·创新演练.........................................................................................................................12
真题·实战演练.........................................................................................................................13
模拟·基础演练
考查重点：单棒动力学、线框动力学、能量守恒问题、功能关系问题……
⏳题型01 水平单棒的动力学问题
1．（25-26 高三下·辽宁沈阳）如图甲所示，水平面内粗糙导轨MN、PQ 相距为L，置于竖直向下的磁感应
强度为B 的匀强磁场中，导轨电阻不计．两根电阻均为R，质量均为m 的相同金属棒ab，cd 置于导轨上且
与导轨接触良好，电流表内阻不计。若ab 棒在水平外力F 作用下由静止开始向右运动，电流表示数随时
间变化图线如图乙所示，在t0时刻cd 棒刚要开始运动，下列说法中错误的是（ ）
A．在0~t0时间内ab 棒做匀加速直线运动
B．若在t0时刻突然撤去外力F，此时ab 棒的加速度大小为a= 2B I 0 L
m
C．在0~t0时间内，通过cd 棒的电量为I 0t0
2
D．在0~t0时间内，力F 做的功全部转化为ab 棒的焦耳热、摩擦生热和其增加的动能
2．（23-24 高二下·辽宁锦州）如图所示，间距为1m 的两根足够长的光滑平行金属导轨固定于同一绝缘水
平面内，左端通过导线连接一个阻值为1.0Ω的定值电阻R，整个导轨处在方向竖直向下、磁感应强度大小
为0.8T 的匀强磁场中，匀质金属杆CD 垂直导轨放置，在CD 杆的中点施加一个方向垂直杆、大小为2N
的水平拉力F，一段时间后CD 杆匀速运动，CD 杆与导轨始终接触良好，CD 杆接入回路的电阻为0.6 Ω，
导轨的电阻不计，下列说法正确的是（ ）
A．CD 杆匀速运动时，流过CD 杆的电流方向为由D 到C
B．CD 杆匀速运动时，流过定值电阻R 的电流为1.6A
C．CD 杆匀速运动时，CD 杆两端的电压为4.0V
D．CD 杆匀速运动时的速度大小为5m/s
3．（22-23 高三上·广东东莞）如图所示，金属棒AB 垂直跨搁在位于水平面上的两条平行光滑金属导轨上，
棒与导轨接触良好，棒AB 和导轨电阻均忽略不计。导轨左端接有电阻R，垂直于导轨平面的匀强磁场向
下穿过平面。现以水平向右的恒定外力F 拉着棒AB 从静止开始向右移动，t 秒末棒AB 速度为v，移动的
距离为L，且在t 秒内速度大小一直在变化，则下列判断正确的是（ ）
A．t 秒内AB 棒所受的安培力方向水平向左，大小保持不变
B．t 秒内外力F 做的功等于电阻R 上产生的焦耳热
C．t 秒内AB 棒做匀加速运动
D．t 秒末外力F 做功的功率小于2 FL
t
4．（2026·浙江·二模）一间距为l 的金属导轨固定在水平面上，一导体杆在x 轴的原点O 处垂直导轨静止
放置，杆的左侧连接能提供电流大小为I 的恒流源，电流方向如图中箭头所示；杆的右侧存在只随x 变化
的磁场，磁感应强度大小满足B = B0−B0
x0
x(0≤x< x0)。已知导体杆的质量为m，电阻阻值为r，与导轨间
的动摩擦因数为μ= B0 Il
2mg 。简谐运动的周期T =2π❑√
m
k ，m 为振子的质量，k 为回复力与位移大小比值的
绝对值。某时刻闭合电键S，下列说法正确的是（ ）
A．当杆运动到x =0.5 x0时，速度大小为1
4
❑√
x0 B0 Il
m
B．杆运动到x =0.5 x0过程所需时间π
2
❑√
m x0
B0ll
C．杆运动到x =0.5 x0过程，回路磁通量的变化量为3
4 B0 x0l
D．杆运动到x =0.5 x0过程，杆上产生的焦耳热为π
4 I
2r ❑√
m x0
B0 Il
5．（24-25 高三上·内蒙古）如图所示，固定在绝缘水平面上的两根足够长、电阻不计的光滑平行金属导轨
的间距为0.6 m，左端通过导线连接一个阻值为2.5Ω的定值电阻R，长度也为0.6 m、电阻为0.5Ω的金属杆
垂直于导轨放置，整个装置处在磁感应强度方向竖直向下、大小为0.5T的匀强磁场中。今在杆的中点施加
一个垂直于金属杆、大小为0.18 N的水平拉力F，使其由静止开始运动，金属杆与导轨始终接触良好，则
金属杆匀速运动时的速度大小为（ ）
A．3 m/s
B．5 m/s
C．6 m/s
D．10 m/s
题型
⏳
02 竖直或倾斜单棒的动力学问题
6．（23-24 高二上·黑龙江哈尔滨）倾斜金属导轨表面光滑，与水平方向夹角为37°，上端连一电阻
R =2Ω，导轨宽度d =1m，阻值可忽略不计，金属棒质量为0.5kg，与导轨接触良好且接入电路的电阻
r =1Ω，空间存在垂直轨道向下的匀强磁场，若金属棒刚好能在导轨上以1m /s的速度匀速下滑，
g=10 m /s
2，磁感应强度B的大小为（ ）
A．1T
B．2T
C．3T
D．4 T
7．（2026·山西晋中·三模）如图所示，倾斜的足够长光滑平行金属导轨下端接阻值为R 的定值电阻，匀强
磁场B 垂直导轨平面向下（图中未画出），电阻为r 的金属棒在沿斜面向上的恒力F 作用下由静止开始沿
导轨向上运动，不计其他电阻，金属棒与导轨始终垂直且接触良好。下列说法正确的是（ ）
A．金属棒机械能的增加量等于恒力F 和重力做功之和
B．运动过程中通过电阻R 的电荷量与金属棒的位移成正比
C．回路中电阻R 的发热功率等于金属棒克服安培力做功的功率
D．金属棒向上做加速度增大的加速直线运动
8．（2026·河南南阳·三模）如图所示，两足够长电阻不计的光滑金属导轨MN、PQ平行固定在与水平面
的夹角θ =37°的斜面上，间距为L=1m，导轨上端连接一个阻值为R =1Ω的电阻，整个装置处于垂直于
导轨平面向上的匀强磁场中。一根质量为m=1kg，接入电阻R =1Ω的金属棒垂直放置于两导轨底端并始
终与导轨良好接触。开关K闭合后，对金属棒施加一沿导轨向上的恒力F =20 N，金属棒从底端由静止开始
沿导轨上滑，当上滑距离s= 4 m时金属棒达到最大速度vm = 4 m/s。已知重力加速度g取10 m/s
2，
sin37° =0.6，cos37° =0.8，下列说法正确的是（ ）
A．金属棒刚开始运动时的加速度大小为20 m/s
2
B．磁感应强度大小为7 T
C．此过程中电阻R上产生的热量为24 J
D．此过程中通过金属棒的电荷量为❑√7 C
9．（2026·河南安阳·三模）如图所示，间距L=1 m 的平行光滑金属导轨M1M2M3、N1N2N3固定在绝缘地面
上，倾角θ=37°的倾斜部分与水平部分通过一小段光滑绝缘陶瓷在M2、N2处平滑连接，M1N1之间连接电容
C=0.2 F 的电容器，M3N3之间连接阻值R=1 Ω 的定值电阻。整个装置处在垂直倾斜导轨平面向上的匀强磁
场中，磁感应强度大小B=1 T。现将质量m=0.8 kg 的导体棒从倾斜导轨上距水平导轨高度h=1 m 处由静止
释放，到达定值电阻前已停止运动。已知重力加速度g 取10 m/s2，导体棒运动过程中始终垂直于导轨且与
导轨接触良好，导体棒和导轨电阻均忽略不计，sin 37°=0.6。下列判断正确的是（ ）
A．导体棒沿着倾斜导轨做加速度减小的加速运动B．导体棒到达M2N2时速度大小为5 m/s
C．M3、N3之间的最大电压为4 V
D．导体棒沿着水平导轨运动的距离为5 m
10．（多选）（23-24 高二下·内蒙古赤峰）如图所示，一平行金属轨道平面与水平面成θ角，两道轨上端
相连电阻R，该装置处于匀强磁场中，磁场方向垂直于轨道平面向上。质量为m的金属杆ab，从距离地面
高度h处静止释放，下滑一段距离后达到最大速度vm并刚好到达轨道底端。若运动过程中，金属杆受到的
摩擦力大小恒为f ，金属杆始终保持与导轨垂直且接触良好，轨道与金属杆的电阻均忽略不计，则从开始
下滑到达到最大速度的过程中（ ）
A．金属杆做匀加速直线运动
B．金属杆所受安培力的冲量大小为m vm
C．金属杆损失的机械能等于mgh−1
2 m vm
2
D．电路产生的焦耳热等于mgh−1
2 mvm
2 −f
h
sinθ
题型
⏳
03 线框的动力学问题
11．（25-26 高二下·江苏南京）如图甲所示光滑平行金属导轨MN、PQ所在平面与水平面成θ角，M、P
两端接一电阻R，整个装置处于方向垂直导轨平面向上的匀强磁场中。t =0时对金属棒ab施加一平行于导
轨的外力F，使金属棒由静止开始沿导轨向上运动，其速度v随时间t变化的关系如图乙所示。已知金属棒
电阻为r，导轨电阻忽略不计。下列关于外力F、闭合回路中磁通量的变化率ΔΦ
Δt 随时间t变化的图像，流
过R的电荷量q、通过电阻R的电流I随金属棒的位移x的变化图像，其中正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
12．（25-26 高二上·内蒙古呼和浩特）如图所示，一电阻为R的导线弯成边长为L的等边三角形闭合回路。
虚线MN右侧有磁感应强度大小为B的匀强磁场，方向垂直于闭合回路所在的平面向里。下列对三角形导
线以速度v向右匀速进入磁场过程中的说法正确的是（ ）
A．回路中感应电流方向为顺时针方向
B．回路中感应电动势的最大值为BLv
C．导线电流先变小后变大
D．通过导线横截面的电荷量为
❑√3 B L
2
4 R
13．（多选）（25-26 高二上·内蒙古呼和浩特）如图所示，磁感应强度为B的有界匀强磁场垂直于纸面向
里，磁场的上下边界间距为d，正方形线框的边长也为d，当线框的下边距磁场的上边界等于d时，让线框
从静止开始下落，线框刚进入磁场就匀速下落，已知线框在穿越磁场的过程中，产生的焦耳热为Q，重力
加速度为g，忽略空气的阻力，下列说法正确的是（ ）
A．线框的质量为2Q
gd
B．线框的电阻为2❑√2gd B
2d
3
Q
C．线框在进入磁场的过程中，流过某一横截面的电荷量为
❑√2gd Q
4 gB d
2
D．线框从开始下落到刚好全部离开磁场所需的运动时间为3 ❑√
d
g
14．（多选）（25-26 高三上·内蒙古乌兰察布）如图甲所示，光滑绝缘水平面上有宽度为2L 的条形磁场，
磁场方向竖直向下，磁感应强度随时间的变化规律如图乙所示，B0、t0均已知，理想边界有磁场。质量为
m、电阻为R 的匀质长方形单匝线框，其长为2L，宽为L，线框bc 边与ad 边的中点分别是e、f。在0∼t0
时间内将线框锁定，使e、f 连线刚好与磁场左边界重合。t0时刻线框获得一个向右的初速度，已知ab 边离
开磁场时线框速度大小为线框初速度的1
3。下列说法正确的是（ ）
A．cd 边在磁场中运动时，bc 边不受安培力作用
B．t =0时刻，ef 两点间的电势差为−B0 L
2
t0
C．在0∼t0内，cd 边所受安培力的冲量大小为4 B0
2 L
3
R
D．t0时刻线框的初速度为9 B0
2 L
3
2mR
15．（多选）（2026·黑龙江辽宁·一模）电磁制动是一种利用电磁感应产生的电磁力来制动的技术，广泛
应用于各种机械设备中。如图甲所示为一竖直下降的电梯内电磁制动系统核心部分模拟原理图，日字形
“
”
导线框始终处于竖直平面内，线框水平部分EF = PQ = MN = L=1.0 m，电阻均为R =2.0 Ω，PQ 与
EF 、MN间距均为L=1.0 m，线框竖直部分电阻不计，线框总质量m=600kg；线框下方有垂直纸面向
外的有界匀强磁场，场强大小B =100T，磁场高度h=1.0 m，上下边界水平，导线框以初速度v0进入磁场，
流过MN 的电流与下降路程s 的关系如图乙所示（部分），不计空气阻力，重力加速度g 取10 m /s
2。求（
）
A．线框刚进入磁场时，MN 边中电流的方向N →M
B．线框刚进入磁场时，线框的速度6.0 m /s
C．PQ 边刚进入磁场时，线框的加速度a=40
3 m /s
2
D．线框MN 边穿越磁场的过程MN 边产生的焦耳热Q
′ =9400J
⏳题型04 电磁感应中的能量守恒问题
16．（2026·重庆九龙坡·模拟预测）如图所示，某范围足够大的匀强磁场中，有两个用相同规格导线制成
的单匝圆形闭合线圈a、b，线圈a、b 的半径之比为1：2，两线圈所在平面均与磁场方向垂直。当该磁场
的磁感应强度变化一段时间后，线圈a 中产生的热量为1J，则该段时间内，线圈b 中产生的热量为
（ ）
A．0.5J
B．1J
C．4J
D．8J
17．（25-26 高三上·北京石景山）绝缘的轻质弹簧上端固定，下端悬挂一磁铁。将磁铁从弹簧原长位置由
静止释放，磁铁开始振动，由于空气阻力的影响，振动最终停止。现将一闭合铜线圈固定在磁铁正下方的
桌面上（如图所示），仍将磁铁从弹簧原长位置由静止释放，振动最终也停止，振动过程中磁铁与桌面不
相碰。则（ ）
A．有线圈时，磁铁经过更长的时间才会停止运动
B．有线圈时，系统损失的机械能等于线圈产生的热量
C．磁铁靠近线圈时，线圈有收缩趋势
D．磁铁离线圈最近时，线圈中的感应电流最大
18．（25-26 高二上·河北）如图所示，电阻不计、半径均为r 的两个正对的等大圆形金属导轨均固定在竖
直平面内，圆心O1、O2间的距离为L，A、B、C、D 为左侧导轨上的四等分点，B、D 与圆心等高，匀强
磁场的磁感应强度大小为B0，方向竖直向下。金属棒垂直于ab 两圆面跨接在导轨上，在外力F 作用下沿
圆形导轨以角速度ω 沿图示方向匀速转动。已知电表均为理想交流电表，力F 始终垂直于金属棒，金属棒
ab 接入电路的电阻为R，定值电阻的阻值为2R，不计一切摩擦阻力及其他电阻，下列说法正确的是
（ ）
A．电流表示数为B0 Lωr
3 R
B．电压表示数为B0 Lωr
❑√2
C．金属棒ab 运动到A 处时，外力F 大小为B0
2 L
2ωr
3 R
D．金属棒ab 从A 运动到C 过程中，定值电阻产生的热量为πω B0
2 L
2r
2
9 R
19．（25-26 高二上·山东济南）如图甲所示，在一个正方形金属线圈区域内存在着磁感应强度B随时间变
化的匀强磁场，磁场的方向与线圈平面垂直。金属线圈所围的面积S =200cm
2，匝数n=1000，线圈总电
阻r =1.0Ω。线圈与电阻R构成闭合回路，电阻的阻值R = 4.0Ω。匀强磁场的磁感应强度随时间变化的情
况如图乙所示。磁感应强度B的参考正方向如图甲中所示，以下说法正确的是（ ）
A．在t =2.0s时，穿过线圈的磁通量大小是60 Wb
B．在t =2.0s时，电阻R中电流大小是1A
C．在t =5.0s时，线圈端点a、b的电势差U ab是4 V
D．4.0~6.0s 内电阻R中产生的热量QR是5.12J
20．（多选）（25-26 高二上·四川眉山）用电阻率为ρ、横截面积为S 的硬质均匀细导线做成边长为a的n
匝正方形线框，垂直线框平面的磁场充满其内接圆，t =0时刻磁感应强度的方向如图甲所示，磁感应强度
B随时间t的变化关系如图乙所示，则在0~2t0时间内（ ）
A．正方形线框中的感应电流方向先顺时针后逆时针
B．正方形线框中感应电动势的大小为n B0 π a
2
4t0
C．正方形线框中电流的大小nπa B0 S
16 ρt0
D．正方形线框中产生的热量为n π
2a
3 B0❑
2S
32 ρt0
⏳题型05 电磁感应中的功能关系问题
21．（2026·湖北孝感·一模）如图所示，光滑绝缘水平桌面上固定一圆形金属裸线圈，线圈电阻不计，现
有一光滑金属棒在外力作用下，自圆形线圈左侧切点处以v0匀速向右滑动。金属棒长度与线圈的直径相等，
金属棒上的电阻均匀分布，与线圈接触良好。金属棒和线圈所在空间存在竖直向下的匀强磁场，只考虑闭
合回路中电流和匀强磁场对金属棒中电流的电磁力，金属棒通过线圈的过程中，下列说法正确的是
（ ）
A．金属棒中的电流先增大后减小
B．金属棒所受安培力先增大后减小
C．金属棒两端的电压大小先增大后减小
D．如果金属棒的速度为原来2 倍，其他条件不变，外力做的功为原来4 倍
22．（2026·江苏南京·模拟预测）如图甲所示，两根光滑长直导轨AM 和AN 在A 点连接，二者夹角为45°，
处于磁感应强度为B 的匀强磁场中。一根足够长金属杆垂直AM 放置，杆与A 点之间的导轨上连接一阻值
为R 的电阻，不计其他电阻。t=0 时刻，金属杆与A 点相距L，在水平外力F 作用下以初速度v0水平向右
运动，位移为L 时到达PQ，杆速度倒数1
v 与位移x间的关系图像如图乙所示。则（ ）
A．感应电动势变大
B．运动到PQ 过程中，F 做的功大于回路中产生的热量
C．运动到PQ 过程中，所用时间t = 3 L
v0
D．运动到PQ 过程中，通过电阻的电量为3 B L
2
2 R
23．（多选）（24-25 高三下·黑龙江哈尔滨）如图为探究电磁感应的实验装置，小磁铁（N极朝上）在螺
线管正上方由静止释放，小磁铁靠近、通过和远离螺线管的过程中，电流传感器和电压传感器示数都会变
化。不计空气阻力，下列说法正确的是（ ）
A．小磁铁靠近螺线管的过程中，电流传感器中的电流由b到a
B．小磁铁远离螺线管的过程中，电流传感器中的电流由b到a
C．小磁铁运动到螺线管正中央位置时，电压传感器示数最大
D．小磁铁下落过程中克服安培力做的功等于闭合回路中消耗的电能
24．（多选）（2026·河北衡水·二模）如图甲所示，质量为m的金属杆放置在光滑的水平导轨上，接入电
路的有效长度为L，整个回路的电阻恒为R，整个装置处在方向竖直向上、磁感应强度大小为B的匀强磁场
中。金属棒在水平向右的拉力F作用下，向右运动的速度与时间关系图像如图乙所示，图中的曲线是正弦
形状。图中v0、t0均为已知量，下列说法正确的是（ ）
A．0至t0
2 时间内，拉力F做的功等于1
2 m v0
2
B．0至t0
2 时间内，导体棒克服安培力做的功等于回路中产生的焦耳热
C．若图乙阴影的面积为S0，则0至3t0时间内，流过导体棒的电荷量为2B
2 L
2S0
R
D．0至3t0时间内，回路中产生的焦耳热为B
2 L
2v0
2t0
R
25．（多选）（25-26 高三上·天津武清）如图甲，左侧接有定值电阻R =2Ω的水平平行且足够长的粗糙导
轨，处于垂直纸面向外的匀强磁场中，磁感应强度B =2T，导轨间距L=2m。一质量m=2kg、接入电路
的阻值r =2Ω的金属棒，在拉力F的作用下由静止开始从CD处沿导轨向右加速运动，金属棒的v −x图像
如图乙。若金属棒与导轨垂直且接触良好，与导轨间的动摩擦因数μ=0.5，导轨电阻不计，取g=10 m/s
2，
在金属棒从静止开始向右运动的位移x =1m的过程中，则（ ）
A．金属棒中感应电流的方向为D→C
B．通过定值电阻的电荷量为1C
C．定值电阻产生的焦耳热为4 J
D．拉力F做的功为18J
重难·创新演练
设题创新:模型创新(T2、T3);新角度考查研究方法(T4);
1．（2026·湖南长沙·三模）如图所示，平行金属导轨abc与a
′ b
′ c
′，两导轨间距L=2m，ab与a
′ b
′段是竖
直四分之一光滑圆弧，半径r =1m，bc与b
′ c
′是水平光滑足够长的直导轨，直导轨上接有一单刀双掷开关S，
接在1 端的定值电阻R =10Ω，接在2 端电容器的电容C =200μF（初始不带电），整个空间内存在竖直
向下的匀强磁场B，磁感应强度B =5T。在外力作用下，使质量m=20g、长度为L的金属棒MN从圆弧最
高点aa
′开始，以大小为v0=2m /s沿圆弧轨道做匀速圆周运动，当金属棒MN运动至bb
′时，撤去外力的
同时将开关S拨至2，运动过程中金属棒MN始终与轨道垂直且接触良好，金属棒MN及导轨电阻不计。求：
(1)金属棒MN运动至bb
′时产生的瞬时感应电动势E的大小；
(2)金属棒MN从aa
′运动至bb
′的过程中，通过定值电阻R的电荷量q以及外力所做总功W ；
(3)金属棒MN稳定后的最终速度v的大小。
2．（25-26 高二上·河南信阳）如图甲所示，两个光滑且足够长的平行金属导轨，固定在水平面上，导轨间
距L=2m，右端接一个阻值R =3Ω的电阻，空间有两个垂直于纸面向里的磁场，正方形磁场面积S =1m
2，
磁感应强度大小B1随时间的变化关系如图乙所示，其中t0=2s，B0=3T；矩形磁场为匀强磁场，磁感应强
度大小B2=2T。一根金属棒MN（长度略大于L）垂直锁定在磁场B2中的导轨上，MN的质量m=1kg，
接入回路的电阻r =2Ω。求：
(1)t =0到t =t0时间内，通过电阻R的电荷量；
(2)t =2t0时刻，解除MN的锁定，给它施加一个水平向左的外力F，使它沿轨道向左运动的速度随位移均
匀增大，且v = 4 x，求MN运动x0=1m到磁场的bc边过程中F做的功。
3．（25-26 高二上·内蒙古包头）如图（a）所示，平行金属导轨固定在水平面上，间距为d =1m，导轨一
端接有电阻R1=3.5Ω。边长为d =1m的正方形区域内存在垂直水平面竖直向上的匀强磁场，磁感应强度B
随时间t 变化关系如图（b）所示。t =0时，在距磁场左边界d =1m处，一导体棒在外力作用下，以恒定速
度v0=2m/s向右运动，直至通过磁场，导体棒长d =1m，质量m=1kg，阻值为R0=0.5Ω，导体棒与导轨
间动摩擦因数为0.2，始终垂直且接触良好。导轨电阻忽略不计。规定逆时针方向为电流正方向。求：
(1)0~0.5s 时间内，闭合回路的感应电动势；
(2)0.5s~1s 时间内，导体棒受到的安培力F 的大小和方向；
(3)在图（c）中画出0-1s 内感应电流I 与时间t 的关系图像（无需写出计算过程）；
(4)0~1s 时间内，外力所做的功。
真题·实战演练
高频考点：单杆模型、双杆模型、感生电动势、动生电动势
1．（2024·湖北·高考真题）如图所示，两足够长平行金属直导轨MN、PQ 的间距为L，固定在同一水平面
内，直导轨在左端M、P 点分别与两条竖直固定、半径为L 的1
4 圆弧导轨相切。MP 连线与直导轨垂直，其
左侧无磁场，右侧存在磁感应强度大小为B、方向竖直向下的匀强磁场。长为L、质量为m、电阻为R 的
金属棒ab 跨放在两圆弧导轨的最高点。质量为2m、电阻为6R 的均匀金属丝制成一个半径为L 的圆环，水
平放置在两直导轨上，其圆心到两直导轨的距离相等。忽略导轨的电阻、所有摩擦以及金属环的可能形变，
金属棒、金属环均与导轨始终接触良好，重力加速度大小为g。现将金属棒ab 由静止释放，求
（1）ab 刚越过MP 时产生的感应电动势大小；
（2）金属环刚开始运动时的加速度大小；
（3）为使ab 在整个运动过程中不与金属环接触，金属环圆心初始位置到MP 的最小距离。
2．（2024·安徽·高考真题）如图所示，一“U”型金属导轨固定在竖直平面内，一电阻不计，质量为m 的金
属棒ab 垂直于导轨，并静置于绝缘固定支架上。边长为L 的正方形cdef 区域内，存在垂直于纸面向外的
匀强磁场。支架上方的导轨间，存在竖直向下的匀强磁场。两磁场的磁感应强度大小B 随时间的变化关系
均为B = kt（SI），k 为常数（k > 0）。支架上方的导轨足够长，两边导轨单位长度的电阻均为r，下方导
轨的总电阻为R。t = 0 时，对ab 施加竖直向上的拉力，恰使其向上做加速度大小为a 的匀加速直线运动，
整个运动过程中ab 与两边导轨接触良好。已知ab 与导轨间动摩擦因数为μ，重力加速度大小为g。不计空
气阻力，两磁场互不影响。
（1）求通过面积Scdef的磁通量大小随时间t 变化的关系式，以及感应电动势的大小，并写出ab 中电流的方
向；
（2）求ab 所受安培力的大小随时间t 变化的关系式；
（3）求经过多长时间，对ab 所施加的拉力达到最大值，并求此最大值。
3．（2023·天津·高考真题）如图所示，一不可伸长的轻绳上端固定，下端系在单匝匀质正方形金属框上边
中点O 处，框处于静止状态。一个三角形区域的顶点与O 点重合，框的下边完全处在该区域中。三角形区
域内加有随时间变化的匀强磁场，磁感应强度大小B 与时间t 的关系为B = kt（k > 0 的常数），磁场与框
平面垂直，框的面积为框内磁场区域面积的2 倍，金属框质量为m，电阻为R，边长为l，重力加速度g，
求：
（1）金属框中的感应电动势大小E；
（2）金属框开始向上运动的时刻t0；
