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2023 年高考押题预测卷01
理科数学·参考答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
B
B
C
B
A
B
D
D
B
A
D
A
13．96
14.
15.
16.
17．（12 分）
【详解】（1）∵
，
∴
，（3 分）
∴
，
∴
．（6 分）
（2）由（1）可得：
，且C 为钝角，
即
，
即
，
，（7 分）
，（10
分）
当且仅当
，即
时取等号．
故
的最大值为
．（12 分）
18．（12 分）
【详解】（1）由题意可得：
，平面
平面
，
平面
平面
，
平面
，
所以
平面
，
如图，以
为坐标原点建立空间直角坐标系，则
，
若
为
的中点，则
，（3 分）
可得
，
设异面直线
与
所成角
，
1
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则
.（6 分）
（2）若动点
在线段
上，设
，
则
，可得
，解得
，
即
，则
，
由题意可知：平面
的法向量为
，（8 分）
设
与平面
所成角为
，
则
，
对于
开口向上，对称轴为
，
可得当
时，
取到最小值
，（11 分）
所以
的最大值为
，
注意到
，
故
与平面
所成角的最大时正弦值
.（12 分）
19．（12 分）
2
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【详解】（1）解：设教师甲在三个项目中获胜的事件依次为
，
则教师甲获得冠军的概率
，
（3 分）
由对立事件的概率公式，可得得
，
所以
，解得
，
因为
，所以甲、乙获得冠军的实力没有明显差别.（6 分）
（2）解：根据题意知，
的可能取值为
，
可得
，
，
，
.（10 分）
所以随机变量
的分布列为
0
15
30
0.15
0.425
0.35
0.075
所以期望为
.（12 分）
20．（12 分）
【详解】（1）不妨设点
在
轴的上方,由椭圆的性质可知
.
是以
为直角顶点的等腰直角三角形,
代人
,得
,整理得
.
的面积为
.
故椭圆
的方程为
.（5 分）
（2）设直线
的斜率为
,直线
的斜率为
,
3
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直线
的方程为
.
不妨设
,则
.
联立
可得
,
,则
,（7 分）
，即
，
，（11 分）
故
得证.（12 分）
21．（12 分）.
【详解】（1）令
，
的定义域为
，
则
，所以
在
上单调递增.
因为
，所以当
时，
，当
时，
，
所以原不等式的解集为
.（4 分）
（2）证明:
，令
，易知
在
上单调递减，且
.
当
时，
，此时
单调递增;
4
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当
时，
，此时
单调递减.
所以
.（6 分）
因为函数
存在两个不同的零点
，所以
，即
，由图可知
，
由题意知
，
所以
，（8 分）
两式相减得
.
所以
等价于
，
也等价于
.
因为
，所以由(1)的解题过程知
……①
……②（10 分）
因为
，所以
，
即
……③
①+②+③得
，
所以
.（12 分）
22.（10 分）
【详解】（1）因为曲线
的参数方程为
（
为参数），
5
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所以
，又
，所以曲线
的普通方程为
，
又曲线
的极坐标方程为
，由
，
所以曲线
的直角坐标方程为
，
由
，解得
或
，所以
.（5 分）
（2）又
，所以
，
所以
，即曲线
的极坐标方程为
，
因为
，所以设
，
，（6 分）
所以
，（8 分）
所以当
时
取得最小值
，
当
时
取得最大值，
所以
的取值范围为
.（10 分）
23. （10 分）
6
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【详解】（1）由基本不等式可得
可得
当且仅当
时，等号成立.
又由
，得
，
所以
当且仅当
时，等号成立.
故原不等式得证.（5 分）
（2）要证
，即证
即证
令
，即证
因为
且
故
，即原不等式得证.（10 分）
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