文档文本内容
第7 讲 直线与方程重点题型全归纳
目 录
题型01 直线与线段有交点问题
题型02 斜率公式及几何意义
题型03 两条直线平行与垂直
题型04 截距式方程与直线过定点
题型05 直线的交点坐标
题型06 距离公式及最值范围问题
强化训练（共10 题）
知识小测（共5 题）
题型精讲
题型1 直线与线段有交点问题
题型点拨
倾斜角与斜率的关系
直线的情况
平行于
轴
由左向右上升
垂直于
轴
由左向右下降
的大小
的取值范围
不存在
的增减性
—
随
的增大而增大
—
随
的增大而增大
【典例1】（25-26·广东阳江）已知点
.若直线
与线段
相交，则
的
范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】先求直线恒过的定点，再应用两点式求斜率，根据斜率范围求参即可.
【详解】直线恒过定点
，又
，
直线的斜率为
，要使直线与线段
有公共点，
，解得
.
故选：A.
【变式1】经过点
作直线，若直线与连接点
，
的线段没有公共点，则直线的倾
斜角
的取值范围是 ．
【答案】
【分析】根据直线与线段无交点，应用数形结合求倾斜角的范围.
【详解】如图所示，直线与线段
没有公共点，若
为直线的倾斜角，
直线可从直线
逆时针旋转到直线
的位置，注意包含直线倾斜角为
的情况，
，
，
直线的区域包含倾斜角为
的情况，
斜率
或
，从而
或
，
又
，结合正切曲线可得
．
故答案为：
题型2 斜率公式及几何意义
题型点拨
解决三点共线的步骤
第一步：先判断两个点的横坐标是否相等，若其中有两个点横坐标相等，那么第三点的横坐标与其相等
时，三点共线；若横坐标均不相等，则继续第二步；
第二步：计算三点中任意两个点确定的直线的斜率，若斜率相等，则三点共线．
【典例1】（25-26·河南周口）已知
，平面内三点
共线，则
．
【答案】
【分析】由
求解即可.
【详解】解：因为
三点共线，
所以
，
又因为
，
所以
，
整理得：
，
即
，
又因为
，
解得
.
故答案为：
题型3 两条直线平行与垂直
题型点拨
1、对两直线平行与斜率的关系要注意以下几点
(1)
成立的前提条件是：
①两条直线的斜率都存在；
②
与
不重合．
(2)当两条直线不重合且斜率都不存在时，
与
的倾斜角都是
，则
.
(3)两条不重合直线平行的判定的一般结论是：
或
，
斜率都不存在.
2、对两直线垂直与斜率的关系要注意以下几点
(1)
成立的前提条件是：①两条直线的斜率都存在；②
且
.
(2)两条直线中，一条直线的斜率不存在，同时另一条直线的斜率等于零，则两条直线垂直．
(3)判定两条直线垂直的一般结论为：
或一条直线的斜率不存在，同时另一条直线的斜率等于零．
3、一般式方程下的平行与垂直
（1）平行与垂直的系数关系
已知直线
的方程分别是
（
不同时为0），
（
不同时为0）
①若A1 A2+ B1B2=0⇔l1⟂l2 ②l1∥l2⇔{
A1B2−A2B1=0,
A1C2−A2C1≠0或B1C2−B2C1≠0.
（2）平行与垂直的直线系方程
①平行直线系：与直线A x + B y +n=0平行的直线方程可设为A x + B y +m=0,m≠n，否则m=n时两
直线重合，不是平行直线．
②垂直直线系：与直线
垂直的直线方程可设为
【典例1】（25-26·广西南宁）若
，直线
，直线
，则“
”
的充分不必要条件是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】由题可得
的充要条件，据此可得答案.
【详解】因
，则
或
.
当
，
，
，两直线平行，满足题意；
当
，
，
，满足题意.
则
的充要条件为
或
.
则“
”的充分不必要条件可以是
，也可以是
.
故选：A
【变式1】（25-26·福建龙岩）若直线：
与直线
：
平行，则实数
为（ ）
A．-3
B．3
C．3 或-3
D．1 或-1
【答案】B
【分析】由直线平行的判定，列出等式求解并验证即可；
【详解】由题意可得：
，
解得：
，
当
时，直线：
与直线
：
平行，
当
时，直线：
即
，与直线
：
，重合，舍去，
故
，
故选：B
【变式2】（25-26·湖南衡阳）已知
，直线
，
，若
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】由
可得
，进而可得
，进而可得.
【详解】由
可得
，
化简得
，解得
或
（舍去）
又
，得
，
故选：B
题型4 截距式方程与直线过定点
题型点拨
1、截距式方程应用的注意事项
（1）问题中涉及直线与坐标轴相交，则可考虑截距式方程，用待定系数法确定其系数即可；
（2）选用截距式方程时，必须首先考虑直线能否过原点以及能否与两坐标轴垂直；
（3）要注意截距式方程的逆向应用．
2、点斜式、斜截式、两点式、一般式的选择
（1）若给出直线经过一个点，经常考虑用点斜式写直线方程，需要注意的是平行于
轴的直线的斜率
为0，垂直于
轴的直线的斜率不存在．
（2）若已知直线的斜率，通常用斜截式．
（3）若给出两个点，常考虑利用两点式，但要注意两点连线是否与坐标轴平行或重合．
（4）若给出的条件与面积相关，一般选用截距式，也可以选用点斜式或斜截式，注意直线方程各种形
式的互化．
【典例1】（25-26·湖南）已知直线经过点
，与两坐标轴的正半轴分别交于
、
两点，
为坐标
原点，则
的面积的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】不妨设直线分别交
、
轴于点
、
，则
，
，可得出直线的截距式方程
为
，结合已知条件可得出
，利用基本不等式可求得
面积的最小值.
【详解】不妨设直线分别交
、
轴于点
、
，则
，
，
所以，直线的截距式方程为
，因为点
在直线上，则
，
由基本不等式可得
，可得
，则
，
当且仅当
时，即当
时，等号成立，
故
的面积的最小值为
.
故选：C.
【典例2】已知直线l1:m x−y =0(m∈R)过定点A，直线l2: x +m y + 4−2m=0过定点B，l1与l2的交点
为C，则△A BC面积的最大值为( )
A．
B．
C．5
D．10
【答案】C
【分析】先求定点，然后判断两个直线的位置关系，然后计算面积，利用基本不等式判断即可.
【详解】由题可知，
,直线
，
所以
,
，
所以
，
所以
的面积为
，
当且仅当
时等号成立.
故选：C
【变式1】（25-26·福建泉州）当点
到直线
的距离最大时，
此时的直线方程为 .
【答案】
【分析】确定直线过定点，再结合结合直线垂直的斜率公式，即可求解.
【详解】
可得：
，
令
可得：
，
所以直线
过定点
，
当
时，
两点间的距离即为最大值，
又
,所以
，
所以直线方程为
，即
.
故答案为：
题型5 直线的交点坐标
题型点拨
过两条直线交点的直线系方程
设两条不平行的直线方程分别为
（
不同时为0），
（
不同时为0），则我们将直线方程
（其中
为
参数，且
）称为经过直线
与
交点的直线系方程．当
时，此方程即为直线
的方程；当
时，此方程即为直线
的方程．
【典例1】若
既是
的中点，又是直线
与直线
的
交点，则线段AB 的垂直平分线的方程是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】首先根据条件求
，再根据两点确定一条直线，求直线
方程，根据垂直关系，即可求中垂线
方程.
【详解】由条件可知，
，
，
且{
2a1+3b1−13=0,
2a2+3b2−m=0, ，两式相加得2(a1+a2)+3(b1+b2)−13−m=0，
即
，得
，
点
是直线和
的交点，所以
，
所以点
满足直线
，即直线
方程为
，
，与直线
垂直的直线方程的斜率为
，
所以中垂线方程为
，整理为
.
故选：A
【变式1】（25-26·上海）已知直线
，
，
，
三条直线围成
，则当
面积取得最大时
的值为 .
【答案】1
【分析】首先判断直线和
的定点，判断
的形状，再求直线
与直线
的交点，利用点到直线的距
离表示边长，再求解三角形的面积，并利用基本不等式求最值.
【详解】直线
，即
，恒过定点
，
直线
，即
，也恒过定点
，
所以直线与
相交于定点
，
由
，解得
，可知直线
与直线
相交于点
，
又因为直线与直线
相互垂直，所以
是
为直角的直角三角形，
因为点
到
的距离
，
点B到l1:m x−y +m=0的距离|BC |=|m⋅0−(m+1)+m|
√m
2+1
=
1
√m
2+1
，
所以
的面积
，
时，
的面积不可能取到最大值；
时，
，当且仅当
时，等号成立．
因此，当
时，
的面积有最大值
．
故答案为：1
题型6 距离公式及最值范围问题
题型点拨
1、平面上两点间的距离公式的应用
平面内两点
，
间的距离公式为：
.
【注意】公式中
和
位置没有先后之分，也可以表示为：
．
（1）已知所求点的相关信息及该点到某点的距离满足某些条件时，设出所求点的坐标，利用两点间距
离公式建立关于所求点的坐标的方程或方程组求解．
（2）利用两点间距离公式可以判断三角形的形状．从三边长入手，如果有边长相等，则可能是等腰或
等边三角形；如果满足勾股定理，则是直角三角形．
2、点到直线距离公式的应用
点P( x0, y0)到直线l: A x + B y +C =0( A
2+ B
2≠0)的距离d =| A x0+ B y0+C |
√A
2+ B
2
（1）求点到直线的距离时，若给出的直线方程不是一般式，只需把直线方程化为一般式，直接应用点
到直线的距离公式求解即可．
（2）若已知点到直线的距离求参数或直线方程时，只需根据点到直线的距离公式列方程求解参数即
可．
（3）点到直线的距离，是直线外一点到直线上各点所连线段长度的最小值，某些距离的最值问题可以
转化为点到直线的距离问题来求解．
（4）因为角平分线上任意一点到角两边的距离相等，因此可用点到直线的距离公式解决有关角平分线
的问题．
3、平行线间距离公式的应用
两条平行直线
，
，
它们之间的距离为：
【注意】在使用公式时，两直线方程为一般式，且
和
的系数对应相等．
（1）两条平行直线间的距离公式是由在一条直线上任取一点到另一条直线的距离推导出来的，所以求
平行直线间的距离的方法有两种，一种是直接利用推导出的公式求解，另一种是在其中一条直线上取一
个特殊的点，转化点到直线的距离求解．
（2）如果两条平行直线的方程用斜截式方程表示为
，
，那么两条平行直线间
的距离
．
【典例1】若动点
，
分别在直线
与
上移动，则
的
中点
到原点的距离的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】根据动点
满足的关系式，结合中点公式可得中点
满足的方程，利用点到直线的距离求解.
【详解】设
的中点
的坐标为
，则有
，
又
，
分别在直线
与
上，
∴联立得
，两式相加得
，
∴
，即
，
即
的中点
在直线
上移动，
∴
到原点距离的最小值即原点到直线
的距离
．
故选：A.
【变式1】已知
，
，则
的最小
值为 .
【答案】
【分析】利用平面上两点间线段最短和两点间距离公式的几何意义即可求解.
【详解】
.
记点O(0,0)、点A(2,0)、点B(2,2)和点C(0,2)，
因为
，
，
所以
的几何意义为：表示正方形
内的点
到点
、点
、点
和点
四点的距离之和.
因为
的几何意义为：正方形
内
的点
到点
和点
的距离之和.
所以当点
在线段
（不包含点
和点
）上时，点
到点
和点
的距离之和最小，即
取得最小值，为
.
因为
的几何意义为：正方形
内的点
到
点
和点
的距离之和.
所以当点
在线段
（不包含点
和点
）上时，点
到点
和点
的距离之和最小，即
取得最小值，为
.
综上可得：当点
是线段
与
的交点时，
和
同时取得最小值，均为
.
所以
的最小值为
.
故答案为：
.
【变式2】设直线
，
，其中实数
，
满足
．
(1)证明直线与
相交；
(2)证明直线与
的交点到原点的距离为定值．
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
【分析】（1）借助反证法证明即可得；
（2）联立两直线可解出交点坐标，再借助两点间距离公式计算即可得证.
【详解】（1）假设直线与
不相交，则直线与
平行或重合，有
，
又
，得
，此时
无实数解，从而
，即直线与
相交；
（2）设直线与
的交点为点
，
解方程组
，得
，则点
，
设原点为
，
则
，
即直线与
的交点到原点的距离为定值1．
强化训练（共10 题）
1．（25-26·广东惠州）已知点
，过点
的直线与线段
（含端点）有公共点，则
直线的斜率
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】求出
，再结合图形求出斜率
的取值范围即可.
【详解】解：因为P
，
，
所以
，
因为直线与线段AB（含端点）有公共点，
则
或
故直线的斜率
的范围为
.
故选：D.
2．（25-26·山东临沂）点
到直线
的距离最大时，其最大值以
及此时的直线的方程分别为（ ）
A．
；
B．；
C．
；
D．；
【答案】B
【分析】求出直线所过的定点，再确定最大值条件即可求解.
【详解】将直线
变形得
，
由
，解得
，因此直线过定点
，
当
时，点
到直线
的距离最大，
最大值为
，又直线
的斜率
，
所以直线的方程为
，即
.
故选：B
3．（25-26·山西大同）已知实数
满足
，
， 则
的最小
值为（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
【答案】D
【分析】根据题意，结合两平行直线距离公式，代入计算，即可得到结果.
【详解】由题意可得，
是直线
上的点，
是直线
上的点，则两直线平行，
的最小值是平行直线之间的距离的平方，
可得最小值为
.
故选：D
4．已知直线
与直线
，在上任取一点
，在
上任取一点
，连接AB，
取AB 的靠近点
的四等分点
，过点
作的平行线
，则与
之间的距离为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】方法1，由题可得与
平行，则与
之间的距离为与
之间距离的
，据此可得答案；方法
2，注意到A，B 的选取对直线
方程无影响，为此取
，可得
方程，据此可得答案.
【详解】方法1，直线
的方程可化为
，又
，故直线与
平行．
如图，过A 作
于点
，交直线
于点
，则
为所求直线与
的距离．
因为
，
，所以
．
方法2，由方法1，直线与
平行，则A，B 的选取对直线
方程无影响，
不妨设
，因为
为AB 上靠近点
的四等分点，则
，
设
，则
.
设直线
的方程为
，将点
的坐标代入，得
，
则
，故直线与
之间的距离
．
故选：B
5．（25-26·重庆）过直线
的定点
，且与直线
垂直的直线的一般式
方程为 .
【答案】
【分析】求出点
的坐标，再利用垂直关系设出直线方程，利用待定系数法求出方程.
【详解】直线
，即
，由
得点
，
设与直线
垂直的直线方程为
，则
，解得
，
所以所求直线方程为
.
故答案为：
6．（25-26·福建龙岩）已知
，若过定点A 的动直线
和过定点
的动直线
交于点
（
与A，
不重合），则
的值为 .
【答案】1
【分析】根据题意直线方程可得
，
，分析可知
，即可得结果.
【详解】因为动直线
过定点
，动直线
过定点
，
且
，可知
，即
，
所以
.
故答案为：1.
7．（25-26·辽宁沈阳）对任意的实数
，原点
到直线
的距离
的取
值范围为 ．
【答案】
【分析】根据直线系方程先求解出直线所过的定点，然后考虑直线经过
点、
与定点的连线垂直直线，
由此确定出
的取值范围.
【详解】直线的方程可化为
，
令
，解得
，所以直线过定点
，
当直线经过
时，此时
，即
，故
，
当直线与
垂直时，此时
取最大值，下面证明：
当
与直线垂直时，记直线为，
当
不与直线垂直且直线不经过
时，记直线为
，
过
作
交于
点，如下图所示，
由图可知：
为直角三角形且
为斜边，所以
，
所以
取最大值时，
与直线垂直，故
，
但此时的方程为
，即为
，
此时无论
取何值都无法满足要求，故
取不到
，
所以
，
故答案为：
.
8．已知函数
，则
的最小值为 ．
【答案】5
【分析】整理函数解析式，可转化为到点的距离之和，结合图象，可得答案.
【详解】
，
转化为x 轴上的动点
到两定点
，
的距离之和最小，
由图可知A B+ A C ≥BC，距离之和的最小值为5．
故答案为：.
9．已知实数x，y 满足
，且
．
(1)求
的取值范围；
(2)求
的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由题意画出图形，再由
的几何意义为线段
上的点与定点
连线的斜率，即可求
出
的取值范围；
（2）由题意画出图形，再由
的几何意义为线段
上的点与定点
连线的斜率，即可求出
的取值范围.
【详解】（1）
如图，由于点
满足关系式
，且
，
所以点
在线段
上移动，且
两点的坐标分别为
，
．
由于
的几何意义是直线
的斜率，且
，
，
所以
的取值范围是
．
（2）
因为
的几何意义是过
，
两点的直线的斜率，
由题意可知点
在线段
上移动，且
两点的坐标分别为
，
．
则
，
，所以
．
所以
的取值范围为
．
10．（25-26·山东）直线方程为
．
(1)证明：无论
为何值，直线过定点；
(2)已知
是坐标原点，若直线分别与
轴正半轴、
轴正半轴交于A，
两点，当
的面积最小时，
求
的周长及此时直线的方程．
【答案】(1)证明见详解
(2)△A O B的周长为6+2√5，直线l的方程x +2 y −4 =0
【分析】（1）将直线的方程变形为
，令
，解得即可；
（2）首先求出直线在
、
轴上的截距，即可求出
的范围，再由面积公式及基本不等式求出面积最小值
及此时
的值，从而求出直线的方程及三角形的周长.
【详解】（1）因为直线的方程
，即
，
令
，解得
，
所以直线恒过定点
；
（2）因为直线的方程
，依题意
，即
，
令
，得到
；令
，得到
；
令
，解得
，
可得S△A O B= 1
2 |2m+3||
2m+3
m+1 |= (2m+3)
2
2|m+1|，
令m+1=t >0，则S△A O B= (2t +1)
2
2|t | = 4t
2+ 4t +1
2t
=2t + 1
2t +2≥2+2= 4，
当且仅当
，即
时，等号成立
此时直线的方程为
，
且
，
，
，
所以当△A O B的面积最小时，△A O B的周长为6+2√5，直线l的方程x +2 y −4 =0.
知识小测（共5 题）
1．（25-26·福建莆田）已知三点
，
，
在同一条直线上，则
的值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】根据给定的条件，利用
列式计算即得.
【详解】由
，
，
三点共线，得
，即
，解得
．
故选：B
2．（25-26·上海）已知直线的方程是
，则对任意的实数
，直线一定经过
（ ）.
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
【答案】A
【分析】首先求直线所过定点，再判断选项.
【详解】
，
，得
，定点在第一象限，则直线一定经过第一象限
故选：A
3．（25-26·湖南株洲）已知直线
与直线
，则“
”是“
”（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分又不必要条件
【答案】A
【分析】当
时，可得出
，当
时，得到
或
，再利用充分条件与必要条件的判断方法，
即可求解.
【详解】当
时，
，
，此时
，所以
可以推出
，
若
，由
，解得
或
，
当
，
，
，显然有
，所以
推不出
，
所以“
”是“
”的充分不必要条件，
故选：A.
4．（多选）直线经过点
，在
轴上的截距的取值范围是
，则其斜率的取值范围可以是
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】BD
【分析】根据题意，分别求得直线过点
以及点
的斜率，再结合图像，即可得到结果.
【详解】
设直线的斜率为
，
如图，过定点
的直线经过点
时，直线在
轴上的截距为3，此时
；
过定点
的直线经过点
时，直线在
轴的截距为
，此时
，
满足条件的直线的斜率范围是
．
故选：BD
5．已知两直线
，
，若
，则
.
【答案】
或
【分析】根据一般式方程两直线垂直的充要条件得到方程，解得即可.
【详解】因为
，
，且
所以
，解得
或
.
故答案为：
或
