高中数学第一课
初中与高中数学差异及衔接学习指南
对于刚迈入高中的新生而言，数学学科往往是第一道难关．很多同学初中数学成绩优异，升入高中后却屡
屡受挫，成绩大幅下滑．当下市面上初高中数学衔接课程的核心价值，正是聚焦初高中数学的核心差异、知识
断层与思维转型，帮助学生跳出初中固化的学习模式，快速适配高中数学的学习节奏，平稳度过适应期．想要
学好高中数学，首先要认清初高中数学的本质区别，摒弃老旧学习习惯，掌握全新的学习方法．
初中数学学习偏向基础积累与套路化解题，中考仅为区域性选拔，知识浅、题型固定，老师会总结完整解
题模板，学生依靠刷题(甚至普遍化的自学)、机械记忆和反复训练，就能拿到不错的分数，甚至冲刺满分．而
高中数学是服务于高考全省乃至全国筛选的选拔性学科，也是大学高等数学、线性代数等课程的基础铺垫，难
度、广度、抽象度全面升级，没有固定解题套路，题型灵活多变，几乎无法刷到原题，更加考验学生的自主思
考、归纳总结和灵活应变能力．这些我在第一讲和第二讲的很多题的构设里面，大家就可以深切去感受到，后
面的内容就更不用说了，基本都是全高中化的内容．
从课程定位来看，初中数学是小学数学的体系化延续，仅包含初等代数、基础平面几何、简单统计三大基
础内容，学习目标是冲击满分，侧重基础知识的掌握巩固．而高中数学是完整的初等数学概论，涵盖集合、函
数、向量、立体几何、解析几何、微积分基础等十余类模块，学习核心是冲刺高分，讲究答题策略与时间把
控，需要主动取舍难题、精准把控答题节奏，解题技巧和思维灵活性成为提分关键．
在知识层面，初高中数学差异尤为显著．初中知识量少、难度低、具象直观，高中知识覆盖面广、难度梯
度大，是对初中知识的延伸、拓展和升华．最典型的就是函数模块，初中仅以生活化案例为依托，用通俗文字
定义变量函数，抽象程度极低；而高中引入集合、对应关系与f(x) 抽象符号，定义更严谨、更抽象，后续还会
学习指数、对数、三角函数、抽象函数等多元类型．几何学习也从初中静态的平面几何，升级为高中动态的立
体几何、解析几何，思维维度全面提升．同时，高中数学知识具备“螺旋式上升”的特点，同一知识点拆分至
多学段学习，对学生的知识巩固、长效记忆和体系梳理能力要求更高．
思维模式的跃迁是初高中数学最核心的分水岭，也是衔接课程重点突破的难点．初中数学以静态、局部、
定量思维为主，题目条件固定、答案唯一，学生只需套用公式模板即可解题．而高中数学侧重动态、整体、变
量思维，大量引入参数，题型灵活多变，二次函数、不等式、方程等核心知识点，均需要结合参数变化、区间
范围进行动态分析．同时高中数学重点考查分类讨论、转化化归、函数与方程等数学思想，不再是简单的机械
解题，要求学生具备严密的逻辑思维、全面的分析能力和灵活转化能力．此外，高中公式数量多、复杂度高．
运算量大幅提升，对学生的精准运算、公式灵活运用能力提出了更高标准．
学习方式的转变是衔接阶段的重中之重，也是多数学生掉队的核心原因．初中学习依赖性极强，老师会细
化题型、总结模板、反复讲解训练，课后练习量大，家长也可辅助辅导，学生无需自主归纳、自学探究，依靠
被动跟随就能取得好成绩．进入高中后，九门学科并行学习，单科学习时间大幅压缩，课堂节奏快、知识密度
高，课后练习精简，没有固定套路可套用，单纯依靠课堂听讲、机械刷题完全无法适配学习需求．这就要求学
生摒弃被动学习模式，培养自主预习、课堂深度思考、课后归纳总结、错题复盘的核心能力，主动搭建知识体
系，值得注意的是，初高中数学存在多处知识断层，这也是衔接课程重点补齐的核心内容．初中删减弱化的诸
多知识点，是高中数学的必备基础：立方和与差公式、高次因式分解、根式有理化等运算技巧初中鲜有涉及，
但高中解题高频使用；二次函数的配方、值域求解、区间最值、参数讨论等核心内容初中要求极低，却是高中
贯穿全程的重难点；韦达定理、二次函数与不等式及方程的综合应用、函数图象平移对称变换、几何重心垂心
及各类拓展定理，初中均未系统讲解，却是高中解题的核心工具。很多新生成绩下滑，并非思维不足，而是基
础断层、衔接缺失．
想要平稳完成初高中数学衔接，规避学习误区、养成科学习惯至关重要．首先要摒弃松懈心态，杜绝“高
三冲刺即可”的错误认知，高中数学知识环环相扣，高一基础漏洞会直接导致后续学习崩盘．其次要跳出题海
战术，拒绝机械模仿，重视课本基础、概念理解和方法归纳，杜绝重难题、轻基础的误区．同时要改掉依赖老
师、被动听课的习惯，课前预习梳理疑点，课堂紧跟思维、精准记笔记，课后及时复盘错题，分析错误根源，
形成“学习—练习—纠错—总结”的闭环．
高中数学学习没有捷径，但有科学方法。同学们需循序渐进、戒除急躁，遵循“预习、听课、作业、复
习、归纳”五大核心环节，主动培养质疑、思考、动手、总结的学习习惯，补齐初中知识短板，适配高中抽
象、动态、综合的学科特点。初高中衔接的核心，从来不是超前学新知识，而是补全知识断层、扭转思维模
式、升级学习习惯，唯有完成这场蜕变，才能在高中数学的学习竞争中稳步前行、持续提分．
第一章
方程与不等式
1
代数式与乘法公式
幂与根式1
分式的裂项与分离常数5
乘法公式9
2
方程与因式分解
一元二次方程与十字相乘法16
乘法公式背景下的因式分解19
3
不等式性质与基本不等式
不等式及其性质24
基本不等式28
基本不等式与二元最值31
4
一元二次不等式与不等式通解思想
一元二次不等式36
分式与绝对值不等式41
简单高次不等式42
第二章
函数描述与性质
5
元素与集合
元素与集合的概念47
集合的描述49
6
集合的关系与运算
集合间的关系56
集合的运算61
7
充要条件与量词命题
充要条件67
量词与恒成立71
8
函数概念与有界性
函数的概念77
函数三要素79
函数抽象性的初步认识82
函数解析式与换元法(选)85
9
函数单调性与奇偶性
函数单调性的认识与应用89
函数奇偶性的认识与应用94
10
函数对称性与周期性的初步认识
函数对称性的认识100
周期性与性质模型103
第三章
初等函数与变换
11
幂函数及其衍生函数
幂函数108
反比例型（一次分式）函数111
对勾函数114
12
二次函数与方程根分布
区间下二次函数的性质118
二次方程根的分布123
13
函数的变换与分段作图
函数的变换作图128
分段函数及其应用133
14
指数与指数函数
指数与指数函数140
指数函数的图象与性质142
15
对数与对数函数
对数的认识149
对数函数152
函数是高中数学的核心主线，而代数式变形、方程求
解、不等式分析，是理解函数图象与性质必不可少的前置工
具。初中阶段大家虽接触过相关基础内容，但深度、综合度
远达不到高中学习要求．
本章系统梳理代数式运算、因式分解、各类方程与不等
式的核心方法：从幂与根式、分式变形、乘法公式等代数化
简技巧入手，再到因式分解、一元二次方程的进阶解法，最
后完整覆盖不等式性质、基本不等式、一元二次与高次不等
式通解思路。所有内容均贴合初高中知识断层，补齐计算短
板，建立标准化代数解题逻辑．
扎实掌握本章全部内容，能扫清后续指数、对数、幂函
数学习中的计算障碍，建立数形结合的底层思维，为下一阶
段函数模块的深入学习筑牢根基．
第一章
方程与不等式
1
夏• 2026 初高衔接
选择胜于努力，笃行成就未来
1
代数式与乘法公式
代数式与乘法公式
初中数学的教学与学习，主要集中在文字描述向数学表达的转化和翻译的环节，而这中间代数式起到了关
键作用，高中阶段的数学教学中，将更加强化这一观念．
[教学重难点]
[教学目标]
[核心素养]
幂、根式、分式
掌握幂、根式、分式在初高中的不
同应用情景，感知初高中教学差异
数学运算
乘法公式
掌握初中延续，但是高中课上不讲
的乘法公式．
数学运算、逻辑推理
一幂与根式
代数式
由数和表示数的字母经有限次加、减、乘、除、乘方和开方等代数运算所得的式子，或含有字母的数学表
达式称为代数式．代数式主要包含以下三类：
整式
、
分式
与
根式
．
幂与根式的运算
幂与根式的运算
分数指数幂的运算法则：
正分数指数幂运算法则：a
n
m =
m an
由此得负分数指数幂：a
- n
m = 1
a
n
m =
1
m an
高中
初中
负指数幂法则：
负整数指数幂等于它的倒数：a−p = 1
ap 或
1
a
p
同底数幂的加减法：
利用乘法拆分高次幂为低次幂的同类项
再合并计算．即：当n = m + s 时，有：
an± am = am+s± am = as∙am ± am = am as±1
高中
初中
在指数函数和数列运算中考察
乘法：同底数幂相乘底数不变，指数相加：am ⋅an= am+n
除法：同底数幂相除底数不变，指数相减：am ÷ an= am−n
幂的乘方：幂的乘方底数不变，指数相乘：(am)n= amn
积的乘方：积的乘方等于积的因式乘方积：(ab)n= an⋅bn
a n
幂
指数
底数
a×a×a× ∙∙∙×a×a=
n个a
幂是指数函数、幂函数的
基础，需牢记和能识别底
数、指数的位置与概念．
要点补注
要点补注
mathxiaoshu01
形如
a 的式子叫二次根式
双重非负性
1 被开方数非负
2 根式整体结果非负
a2 = a
= a，
a≥0
−a，a<0
( a)2 = a，a ≥0
性质运算
a=a
1
2
2
夏• 2026 初高衔接
选择胜于努力，笃行成就未来
1 (★★☆☆☆)计算
1
2
-x
+ 2x+1
2÷ 2x+2 -
(-2x)2 + 2x+2 - 2x
原式= 2x+ 22(x+1)÷ 2x+2 - |2x| +22⋅2x- 2x
= 2x+ 22x+2-x-2 - 2x+ 4 ⋅2x- 2x
= 2x+ 2x- 2x+ 3 ⋅2x
= 4 ⋅2x= 2x+2
1
(★☆☆☆☆)若二次根式
4x-2 在实数范围内有意义，则x 的取值范围为
( B )
A. x > 1
2
B. x ≥1
2
C. x < 1
2
D. x ≤1
2
由题意得：4x - 2 ≥0，解得：x ≥1
2 ，故选：B．
2
(★☆☆☆☆)若实数x，y 满足y =
x-5 +
5-x - 1，则x - y 的值是
( D )
A. 1
B. - 6
C. 4
D. 6
∵x - 5 ≥0，5 - x ≥0，∴x ≥5，x ≤5，∴x = 5，∴y =-1，∴x - y = 5 - (-1) = 5 +
1 = 6，故选：D．
3
(★☆☆☆☆)在△ABC 中，三边分别为a，b，c，则化简|a - b + c| -2 (c-a-b)2 的结果为
( B )
A. 3a + b - c
B. - a - 3b + 3c
C. a + 3b - 3c
D. 2a
∵在△ABC 中，三边分别为a，b，c，∴a - b + c > 0，c - a - b < 0，原式= |a - b + c|
-2|c - a - b| = a - b + c - 2(a + b - c) = a - b + c - 2a - 2b + 2c = 3c - a - 3b；故选：B．
4 (★★☆☆☆)化简下列算式
(1)3 ×
1
2
x
-
1
2
x+1
原式= 3 ×
1
2
x
- 1
2 ×
1
2
x
= 3- 1
2
×
1
2
x
= 5
2 ×
1
2
x
=
5
2x+1
(3) 2(1-2n)
1-2
- n•2n+1
原式= 2 2n-1
- n ⋅2n+1
= 2n+1- 2 - n ⋅2n+1
=-2 + (1 - n)•2n+1
(2) (3x-1)2÷ 3x+
1
3
-2x
-
(-32x)2
= 32(x-1)÷ 3x+ 32x- |32x|
= 32x-2-x+ 32x- 32x
= 3x-2
(4)
1
4 -
1
2n+1
1- 1
2
- 2n-1
2n+1
原式= 1
2 - 1
2n - 1
2 × 2n-1
2n
= -n- 1
2
1
2n + 1
2
3
夏• 2026 初高衔接
选择胜于努力，笃行成就未来
(5)
a
2
3 ⋅b-1
1
2 ⋅a
1
2 ⋅b
1
3
6 a⋅b5
= a
1
3 + 1
2 ⋅b
- 1
2 + 1
3
a
1
6 ⋅b
5
6
= a
2
3 •b-1
(7)
a
4
3 -8a
1
3 b
4b
2
3 +2 3 ab+a
2
3 ÷ 1-2
3 b
a
× 3 a
=
a
4
3 -8a
1
3 b
4b
2
3 +2a
1
3 b
1
3 +a
2
3 ÷ 1-2b
1
3 a
- 1
3
× a
1
3
=
a
4
3 -8a
1
3 b
4b
2
3 +2a
1
3 b
1
3 +a
2
3 ×
1
1-2b
1
3 a
- 1
3 × a
1
3
=
a
1
3 (a-8b)
2b
1
3
2+ 2b
1
3
⋅a
1
3 + a
1
3
2 ×
a
1
3
a
1
3 -2b
1
3 × a
1
3
=
a(a-8b)
a
1
3
3- 2b
1
3
3 = a(a-8b)
(a-8b)
= a
5
(★★☆☆☆)完成下列计算．
(1)27
- 1
3 +
25
9
1
2 - ( 2)0
原式= 3
3× - 1
3
+
5
3
2× 1
2 - 1
= 1
3 + 5
3 - 1 = 2 - 1 = 1
(3) 3
2
- 1
3 + 8
1
4 × 4 2 + ( 3 2 ×
3)6-
- 2
3
2
3
原式=
3
2
- 1
3 + 2
3
4 × 2
1
4 + 2
1
3 ×6 ×
3
1
2 ×6 -
2
3
2
3 × 1
2
=
2
3
1
3 + 2 + 4 × 27 -
2
3
1
3
= 110．
(5) (-2)0+
3
2
-2
⋅3 3
8
2
3 - ( 3 3 )
4
3 +
(1-
2)2
= 1 +
3
2
-2
⋅3 3
8
2
3 - ( 3 3 )
4
3
+
(1-
2)2
= 1 +
3
2
-2
×
3
2
3× 2
3 - 3
3
2 × 1
2
4
3 +
2 - 1
=
2 - 2
(6)
3
a
3
2
a-3 ⋅
(a-5)
- 1
2 ⋅a
- 1
2
3；
=
3
a
3
2 ⋅a
- 3
2 •
a
5
2 ⋅a
- 3
2
=
a
(8) a
2
3 +3a
1
3 b
1
3 +(3 3 b)2
a
4
3 -27a
1
3 b
÷
a
1
3
3 a-3 3 b
原式= a
2
3 +3a
1
3 b
1
3 +9b
2
3
a
4
3 -27a
1
3 b
× a
1
3 -3b
1
3
a
1
3
= a+3a
2
3 b
1
3 +9a
1
3 b
2
3 -3a
2
3 b
1
3 -9a
1
3 b
2
3 -27b
a
5
3 -27a
2
3 b
=
a-27b
a
2
3 (a-27b)
= 1
a
2
3 = a
- 2
3
(2) 2 7
9
0.5
+
27
64
- 2
3 - ( 8)
2
3 +
2
3
0
原式=
5
3
2× 1
2 +
3
4
3× - 2
3
- 2
3
2 × 2
3 + 1
= 5
3 + 16
9 - 2 + 1 = 22
9
(4) (-64)
1
3 + [(-3)4]
1
4 - ( 2 - 1)0 +
- 1
8
2
原式= (-4)
3× 1
3 + 3 - 1 + - 1
8
=-4 + 3 - 1 + 1
8
=- 15
8
(6) 3 3
8
- 2
3 + 0.01
- 1
2 - 5 ⋅( 5 - 2)-1 -
- 2
3
4
原式=
3
2
3× - 2
3
+ 0．1
2× - 1
2
-
5•
5+2
( 5-2)( 5+2) -
2
3
4× 1
2
= 4
9 + 10 - 5 5 - 10 - 4
9
=-5 5
4
夏• 2026 初高衔接
选择胜于努力，笃行成就未来
6
(★★☆☆☆)在数学学习活动中，小明遇到一道题：已知a =
1
2+
3 ，求2a2 - 8a + 1 的值，他是这
样解答的：∵a =
1
2+
3 =
2-
3
(2+
3)(2-
3) = 2 -
3，∴a - 2 =- 3，∴(a - 2)2= 3，即a2- 4a + 4 = 3
∴a2- 4a =-1．∴2a2- 8a + 1 = 2(a2- 4a) + 1 = 2 × (-1) + 1 =-1．
请你根据小明的解题过程，解决如下问题：
(1) 计算：
2
3+1 =
3-1
．
2
3+1 =
2( 3-1)
( 3+1)( 3-1) = 2( 3-1)
3-1
=
3 - 1．
(2) 化简：
1
2+1 +
1
3+
2 +
1
4+
3 +⋯+
1
169+
168 ．
=
2-1
( 2+1)( 2-1) +
3-
2
( 3+
2)( 3-
2) +
4-
3
( 4+
3)( 4-
3) +∙∙∙+
169-
168
( 169+
168)( 169-
168)
= ( 2 - 1) + ( 3 -
2) + ( 4 -
3) + ... + ( 169 -
168)
=-1 + 13 = 12．
(3) 若a =
1
5-2 ，求a4- 4a3- 4a + 3 的值．
∵a =
1
5-2 =
5+2
( 5-2)( 5+2) =
5 + 2，
∴a - 2 =
5，∴(a - 2)2= 5，即a2- 4a = 1，
∴a4- 4a3- 4a + 3 = a2(a2- 4a) - 4a + 3 = a2•1 - 4a + 3 = 1 + 3 = 4．
7
(★★★☆☆)对于方程
(a-1)2 +
(a-3)2 = 2 我们可以通过分类讨论法找到符合方程的a 的范围．
具体作法如下：∵
(a-1)2 +
(a-3)2 = |a - 1| +|a - 3|，根据去绝对值的方法对该绝对值和做分类如下：
①当a < 1 时，原式= (1 - a) + (3 - a) = 4 - 2a = 2，解得a = 1(舍去)；
②当1 ≤a ≤3 时，原式= (a - 1) + (3 - a) = 2 = 2，符合条件；
③当a > 3 时，原式= (a - 1) + (a - 3) = 2a - 4 = 2，解得a = 3(舍去)
∴a 的取值范围是1 ≤a ≤3．
请你根据上述理解，解答下列问题：
(1) 当2 ≤a ≤3 时，化简，
(a-2)2 +
(a-5)2 =
3
．
(2) 若等式
(3-a)2 +
(a-7)2 = 4 成立，求a 的取值范围．
(1) ∵2 ≤a ≤3，∴a - 2 ≥0，a - 5 ≤0，
∴原式= |a - 2| +|a - 5| = a - 2 - (a - 5) = 3，
(2) 由题意可知：|3 - a| +|a - 7| = 4
①当a ≤3 时，∴3 - a ≥0，a - 7 < 0
∴原方程化为：3 - a - (a - 7) = 4，∴a = 3，符合题意；
②当3 < a < 7 时，∴3 - a < 0，a - 7 < 0，
∴- (3 - a) - (a - 7) = 4，∴4 = 4，故3 < a < 7 符合题意；
③当a ≥7 时，∴3 - a < 0，a - 7 ≥0，
∴- (3 - a) + (a - 7) = 4，∴a = 7，符合题意；
综上所述，3 ≤a ≤7．
5
夏• 2026 初高衔接
选择胜于努力，笃行成就未来
二分式的裂项与分离常数
初中阶段我们学习了分式的加减法与乘除法的基本内容，高中阶段，我们会在初中学习的基础上，对分式
加减法的逆向运算进行运用．主要包含两类：分式裂项与分离常数法．
分式
若A、B 表示两个整式，且B 中含有字母，那么式子A
B 叫做分式，其中A 称为分子，B 称为分母．
分式有意义的条件：分母不能为0；分式为零的条件：分子为0，分母不为0. 即
A=0
B≠0
分离常数法在高一必修一的学习中很重要，需要大家对于其方法和步骤进行实记．
分式的应用
1
n(n+1) = 1
n -
1
n+1
1
n(n-1) =
1
n-1 - 1
n
c
小分母×大分母=
1
小分母-
1
大分母
×
c
大-小
高中
初中
分式的加减法
1
n -
1
n+1
=
n+1
n(n+1) -
n
n(n+1)
= n+1-n
n(n+1)
=
1
n(n+1)
逆运算
高中
初中
分式的加减法
3 +
7
x-2
= 3(x-2)
x-2
+
7
x-2
= 3x-6+7
x-2
= 3x+1
x-2
逆运算
分式裂项方法
分式分离常数法
3x+1
x-2 = 3(x-2) + 7
x-2
= 3(x-2)
x-2
+
7
x-2 = 3 +
7
x-2
①提出倍数
②在分子上凑分母，然后凑常数
③裂项
2 (原创∙★★★☆☆)现有一分式：2n2+2n+1
n(n+1)
，请完成下列问题：
(1) 证明：2n2+2n+1
n(n+1)
= 2 + 1
n -
1
n+1 ；
(2) 解方程：；
(3) 求式子的值：2×12+2×1+1
1×2
+ 2×22+2×2+1
2×3
+ ∙∙∙+ 2n2+2n+1
n(n+1)
．
(1) 证明：2n2+2n+1
n(n+1)
= 2n(n+1)+1
n(n+1)
= 2 +
1
n(n+1) = 2 + 1
n -
1
n+1
(2) 2x2+2x+1
x(x+1)
= 13
6
2 + 1
x -
1
x+1 = 13
6
1
x -
1
x+1 = 1
6
x2+ x - 6 = 0 (x + 3) (x - 2) = 0
解得x1=-3, x2= 2，均能使分母存在．∴方程的解为x =-3 或x = 2．
(3) 原式= 2+1- 1
2
+ 2+ 1
2 - 1
3
+ 2+ 1
3 - 1
4
+ ∙∙∙+ 2+ 1
n -
1
n+1
= 2n + 1 -
1
n+1 = 2n(n+1)+(n+1)-1
n+1
= 2n2+3n
n+1
6
夏• 2026 初高衔接
选择胜于努力，笃行成就未来
8
(★★☆☆☆)请对下列分式进行常数分离．
(1) x-1
x+1
= x+1-2
x+1
= 1 -
2
x+1
(3) 2x-1
x+1
= 2 x+1
-3
x+1
= 2 -
3
x+1
(5) |x|+2
|x|+1
= |x|+1+1
|x|+1
= 1 +
1
|x|+1
(7) x2+3x+2
x2+1
= (x2+1)+3x+1
x2+1
= 1 + 3x+1
x2+1
9
(★★☆☆☆)将下列分式裂为a + 1
a 形式．
(1) x2+1
x
= x + 1
x
(3) x2+2x
x-1
= (x-1)(x+3)+3
x-1
= x + 3 +
3
x-1 = x - 1 +
3
x-1 + 4
(5) x2+1
x+1
= (x2-1)+2
x+1
= (x+1)(x-1)+2
x+1
= x - 1 +
2
x+1 = x + 1 +
2
x+1 - 2
(2) 2-x
x+3
= -(x+3)+5
x+3
=-1 +
5
x+3
(4)
3x
2x+1
=
3
2 2x+1
- 3
2
2x+1
= 3
2 -
3
4x+2
(6) x2-1
x2+1
= x2+1-2
x2+1
= 1 -
2
x2+1
(8)
2x2-x
x2+2x-1
= 2(x2+2x-1)-5x+2
x2+2x-1
= 2 +
-5x+2
x2+2x-1 = 2 -
5x-2
x2+2x-1
(2) x2-3x+1
x+2
= (x+2)(x-5)+11
x+2
= x - 5 +
11
x+2 = x + 2 +
11
x+2 - 7
(4)
x2
2x-1
=
1
4 (4x2-1)+ 1
4
2x-1
=
1
4 (2x-1)(2x+1)+ 1
4
2x-1
= 2x+1
4
+
1
4(2x-1)
= 1
2 (2x - 1) +
1
4(2x-1) + 1
2
7
夏• 2026 初高衔接
选择胜于努力，笃行成就未来
10 (★★☆☆☆)观察下列各式：
1
2 =
1
1×2 = 1
1 −1
2 ，
1
6 =
1
2×3 = 1
2 −1
3 ，1
12 =
1
3×4 = 1
3 −1
4 ，
1
20 =
1
4×5 = 1
4 −1
5 ⋅⋅⋅
(1) 请你猜想出上式的一般规律，用含x(x 表示整数) 的等式表示
1
x(x+1) =
1
x -
1
x+1
(2) 请利用上述规律计算(要求写出计算过程)：1
2 + 1
6 + 1
12 +⋅⋅⋅+
1
n(n−1) +
1
n(n+1)
= 1
1 - 1
2 + 1
2 - 1
3 + 1
3 - 1
4 ⋯+
1
n-1 - 1
n + 1
n -
1
n+1
= 1 -
1
n+1
=
n
n+1
(3) 请利用上述规律，解方程：
1
(x−2)(x−1) +
1
(x−1)x +
1
x(x+1) =
1
x+1
∵
1
(x-2)(x-1) +
1
(x-1)x +
1
x(x+1) =
1
x+1
∴
1
x-2 -
1
x+1 =
1
x+1
两边同时乘以(x - 2) (x + 1)
得x + 1 - (x - 2) = x - 2
解得x = 5，经检验x = 5 是原方程的解．
11 (★★☆☆☆)已知分式
n2+4n+5
(n+1)(n+3) ，完成下列问题：
(1) 计算
1
n+1 -
1
n+3 ，结合计算推导分式
1
(n+1)(n+3) 的裂项公式；
(2) 用分离常数法化简二次分式
n2+4n+5
(n+1)(n+3) ；
(3) 求证：12+4×1+5
(1+1)(1+3) + 22+4×2+5
(2+1)(2+3) + ∙∙∙+
n2+4n+5
(n+1)(n+3) = n + 5
6 -
2n+5
(n+2)(n+3)
(1)
1
n+1 -
1
n+3 = (n+3)-(n+1)
(n+1)(n+3)
=
2
(n+1)(n+3)
整理得裂项公式：
1
(n+1)(n+3) = 1
2
1
n+1 -
1
n+3
(2) 展开分母：(n + 1) (n + 3) = n2+ 4n + 3，配凑分子：
n2+4n+5
(n+1)(n+3) = (n2+4n+3)+2
n2+4n+3
= 1 +
2
(n+1)(n+3)
代入(1)的裂项结果：
= 1 + 2 ⋅1
2
1
n+1 -
1
n+3
= 1 +
1
n+1 -
1
n+3
(3)由(2) 可知：12+4×1+5
(1+1)(1+3) + 22+4×2+5
(2+1)(2+3) + … +
n2+4n+5
(n+1)(n+3)
= 1+ 1
2 - 1
4
+ 1+ 1
3 - 1
5
+ 1+ 1
4 - 1
6
+ … + 1+
1
n+1 -
1
n+3
= n + 1
2 + 1
3 -
1
n+2 -
1
n+3
= n + 5
6 -
2n+5
(n+2)(n+3)
8
夏• 2026 初高衔接
选择胜于努力，笃行成就未来
12 (★★★★☆)有一列按一定顺序和规律排列的数：
第一个数是
1
1×2 ；第二个数是
1
2×3 ；第三个数是
1
3×4 ；⋯⋯
(1) 经过探究，我们发现：
1
1×2 = 1
1 −1
2 、
1
2×3 = 1
2 −1
3 、
1
3×4 = 1
3 −1
4 , 设这列数的第5 个数为
a，那么正确的关系是
( B )
A. a > 1
5 −1
6
B. a = 1
5 −1
6
C. a < 1
5 −1
6
(2) 请你观察第1 个数、第2 个数、第3 个数，猜想这列数的第n 个数(即用正整数n 表示第n 数)，并且证
明猜想“第n 个数与第n + 1 个数的和等于
2
n(n+2) ”
∵第n 个数为
1
n(n+1) ，第(n + 1) 个数为
1
(n+1)(n+2) ，
∴
1
n(n+1) +
1
(n+1)(n+2)
=
1
n+1
1
n +
1
n+2
=
1
n+1 × n+2+n
n(n+2)
=
1
n+1 × 2(n+1)
n(n+2)
=
2
n(n+2) ，
即第n 个数与第(n + 1) 个数的和等于
2
n×(n+2)
(3) 设M 表示1
12 ，1
22 ，1
32 ，⋯⋯，
1
20262 ，这2016 个数的和，即M = 1
12 + 1
22 + 1
32 +⋅⋅⋅⋅⋅⋅+
1
20262
求证：2026
2027 < M < 4051
2026 ．
∵
1
k(k+1) = 1
k -
1
k+1 ,
1
k(k-1) =
1
k-1 - 1
k ，k ≥2，
证明左侧：1
12 >
1
1×2 = 1 - 1
2 ；1
22 >
1
2×3 = 1
2 - 1
3 ；1
32 >
1
3×4 = 1
3 - 1
4
1
20262 >
1
2026×2027 =
1
2026 -
1
2027
左右分别相加：M = 1
12 + 1
22 + … +
1
20262 > 1- 1
2
+
1
2 - 1
3
+ … +
1
2026 -
1
2027
中间项全部抵消，得：M > 1 -
1
2027 = 2026
2027
证明右侧，对k ≥2 的项放缩：1
12 = 1；1
22 <
1
1×2 = 1 - 1
2
1
32 <
1
2×3 = 1
2 - 1
3 ；
1
20262 <
1
2025×2026 =
1
2025 -
1
2026
左右分别相加：M = 1 + 1
22 + 1
32 + … +
1
20262 < 1 + 1- 1
2
+
1
2 - 1
3
+ … +
1
2025 -
1
2026
中间项全部抵消，得：M < 1 + 1 -
1
2026 = 2 -
1
2026 = 4052-1
2026
= 4051
2026
9
夏• 2026 初高衔接
选择胜于努力，笃行成就未来
三乘法公式
在初中，我们学习了整式的乘法运算，知道了乘法公式可以使很多多项式的运算变得更为简便．初中主要
学习了两个基本的乘法公式——平方差公式和完全平方公式．
平方差公式
a2 - b2 = a-b
(a + b)
完全平方公式
a±b
2 = a2 ± 2ab + b2
以完全平方公式为基础可以得到代数变形中最基础的一个方法——配方法：将一个式子或一个式子的某一
部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法．
如：a，b > 0 时，有：a + b =
a+
b
2- 2 ab
乘法公式
基
础
乘法公式
平方差公式：a2-b2= a-b
(a+b)
完全平方和：a+b
2=a2+2ab+b2
a-b
2=a2-2ab+b2
完全立方和：
a+b
3=a3+3a2b+3ab2+b3
a+b
3=(a+b)(a+b)2
=(a2+2ab+b2)(a+b)
三项和平方：
a+b+c
2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc
(a+b+c)2=[(a+b)+c]2
=(a+b)2+2(a+b)c+c2
b换成-b
a-b+c
2=a2+b2+c2-2ab+2ac-2bc
立方和公式：
a3+b3= a+b
(a2-ab+b2)
a3+b3=(a+b)3-3a2b-3ab2
=(a+b)[(a+b)2 —3ab]
b换成-b
3 (★★★☆☆)已知a > 0，且a2- 3a + 1 = 0，求：
(1) a + 1
a
(2) a2+ 1
a2
(3) a3+ 1
a3
(1) 两边除以a：a - 3 + 1
a = 0 a + 1
a = 3
(2)利用完全平方公式：a2+ 1
a2 = a+ 1
a
2
- 2 = 32- 2 = 7
(3) 套用立方和变形公式：a3+ 1
a3 = a+ 1
a
a2+ 1
a2 -1
= 3 × (7 - 1)
10
夏• 2026 初高衔接
选择胜于努力，笃行成就未来
13 (★☆☆☆☆)若x2+ kx + 25 是完全平方式，则k 的值为
( C )
A. 10
B. - 10
C. ± 10
D. ± 5
x2+ kx + 25 = (x ± 5)2⇒k =±10
14 (★☆☆☆☆)若x + y = 6，x2+ y2= 20，x - y =
( C )
A. 2
B. - 2
C. 4
D. ± 2
∵x + y = 6，x2+ y2= (x + y)2- 2xy = 20，
∴2xy = 62- 20 = 16，∴xy = 8，
∴(x - y)2= x2+ y2- 2xy = 20 - 2 × 8 = 4，∴x - y =±2
15 (★★☆☆☆)若(1 +
2)3 = a + b 2，其中a，b 为整数，则a2- 2b2=
( A )
A. - 1
B. 1
C. 2
D. 3
∵(1 +
2)3 = 1 + 3 2 + 3 × ( 2)2 + ( 2)3 = 7 + 5 2 = a + b 2，
∴a = 7，b = 5，所以a2- 2b2= 49 - 2 × 25 =-1．故选：A．
16 (★★☆☆☆)已知a3+ b3= 28，a + b = 4，则ab =
( A )
A. 3
B. 4
C. 5
D. 6
a3+ b3= (a + b)3- 3ab(a + b) ⇒28 = 64 - 12ab ⇒ab = 3
17 (★★★☆☆)若a + b + c = 0，则下列结论正确的是
( B )
A. a3+ b3+ c3= 0
B. a3+ b3+ c3= 3abc
C. a2+ b2+ c2= 0
D. ab + bc + ca = 0
已知a + b + c = 0，则a + b =-c。对等式两边同时立方：(a + b)3= (-c)3
展开左侧：a3+ b3+ 3ab(a + b) =-c3把a + b =-c 代入上式：a3+ b3+ 3ab(-c) =-c3
整理得：a3+ b3- 3abc =-c3, 移项：a3+ b3+ c3= 3abc
举反例排除其余选项，取一组满足a + b + c = 0 的数值：a = 1，b = 1，c =-2
A：13+ 13+ (-2)3= 1 + 1 - 8 =-6 ≠0，错误；C：12+ 12+ (-2)2= 1 + 1 + 4 = 6 ≠0，错误
D：ab + bc + ca = 1 × 1 + 1 × (-2) + (-2) × 1 =-3 ≠0，错误
18 (★★☆☆☆)已知x2 + 3x - 1 = 0，求：
(1)x2 + 1
x2
(2)x3 - 1
x3
∵x2 + 3x - 1 = 0，所以x ≠0，由x2 - 1 =-3x，得x - 1
x =-3
(1)x2 + 1
x2 = x- 1
x
2
+ 2 = (-3)2 + 2 = 11
(2)x3 - 1
x3 = x- 1
x
x2+1+ 1
x2
=-3 × (11 + 1) =-36
11
夏• 2026 初高衔接
选择胜于努力，笃行成就未来
19 (★★★☆☆)若a2- 6a + 1 = 0，求下列式子的值：
(1) a + a-1
(2) a2+ a-2
由a2- 6a + 1 = 0，a ≠0，两边同除以a：a - 6 + 1
a = 0
(1)a + a-1 = 6
(2)a2+ a-2 = a+a-1
2- 2 = 62- 2 = 36 - 2 = 34
(3) a
1
2 - a
- 1
2
(4)
a3+a-3
a-2+a2+1
(3) 则a
1
2 -a
- 1
2
2 = a + a-1 - 2 = 4，所以a
1
2 - a
- 1
2 =±2
(4) 由立方和公式：a3+ a-3 = a+a-1
a2-1+a-2
a3+a-3
a2+a-2+1
= (a+a-1)(a2+a-2-1)
a2+a-2+1
= 6×(34-1)
34+1
= 6×33
35
= 198
35
20 (2024 ∙新高考Ⅱ卷•★★★☆☆)甲乙两人组成一支队伍参赛，比赛仅限一人出场．已知甲夺冠的概
率P甲= [1 - (1 - p)3]q3，乙夺冠的概率P乙= [1 - (1 - q)3]p3，设0 < p < q，试问选派哪一人出场参赛更合适？
∵P甲- P乙= q3- (q - pq)3- p3+ (p - pq)3
= (q - p) (q2+ pq + p2) + (p - q) [(p - pq)2+ (q - pq)2+ (p - pq) (q - pq)]
= (p - q) (3p2q2- 3p2q - 3pq2)
= 3pq(p - q) (pq - p - q)
= 3pq(p - q) [(1 - p) (1 - q) - 1] > 0
∴P甲> P乙，∴为使得甲、乙所在队夺冠概率最大，该由甲参加比赛．
21 (★★★☆☆)请利用配方法探究函数y = x + 4
x (x > 0) 的最小值和取得最小值时的x．
∵x > 0，∴y = x + 4
x = ( x)2+
2
x
2
= ( x)2- 4 +
2
x
2
+ 4 =
x- 2
x
2
+ 4
∵
x- 2
x
2
≥0
∴y = x + 4
x (x > 0) 的最小值为4
当且仅当
x = 2
x ，即x = 2，则时取得最小值．
这里为什么不凑加法
x+ 2
x
2
- 4
呢？是因为配方后的本质是借助平方具
有非负性来求最值．而和的平方一定
是> 0 的，它的最小不一定是在零处．
无法用平方具有非负性确定最小值．
要点补注
要点补注
mathxiaoshu01
12
夏• 2026 初高衔接
选择胜于努力，笃行成就未来
22 (★★★☆☆)所有的非负数都可以看作是一个数的平方，如3 = ( 3 )2；5 = ( 5 )2，下面我们观察：
(
2 - 1)2 = (
2 )2 - 2 × 1 ×
2 + 12 = 2 - 2 2 + 1 = 3 - 2 2 ，反之可得到：
3-2 2 =
( 2-1)2 =
2-1
=
2 - 1．
请你仿照上述的方法探索并解决下列问题：
(1) 计算：①
5+2 6
②
4-
12
①原式=
( 2+
3)2 =
2 +
3
②原式=
( 3-1)2 =
3 - 1
(2) 若
a±2 b =
m ±
n，则m、n 与a、b 的关系是什么？并说明理由．
m + n = a，mn = b，
理由：∵
a±2 b =
m ±
n ∴( m ±
n)2 = a ± 2 b，
∴m + n ± 2 mn = a ± 2 b，∴m + n = a，mn = b．
(3) 化简
1
16-6 7
-
1
11+4 7
=
1
(3-
7)2 -
1
( 7+2)2 =
1
3-
7 -
1
7+2
=
3+
7
(3-
7)(3+
7) -
7-2
( 7+2)( 7-2) = 3+
7
2
-
7-2
3
= 3
2 + 2
3 +
7
2
-
7
3
= 13
6 +
7
6
23 (★★★★☆)请将下列一次方程中的y 带入二次方程中，整理出关于x 的一元二次方程．
1
(2024• 新高考Ⅰ) 一次方程：y = k(x - 3) + 3
2 ，二次方程：x2
12 + y2
9 = 1
联立2y=kx-3k+3
3x2+4y2=36
(4k2+ 3)x2- (24k2- 12k)x + 36k2- 36k - 27 = 0
2
(2023• 乙卷) 一次方程：y - 3 = k(x + 2)，二次方程：y2
9 + x2
4 = 1
联立y=kx+2k+3
4y2+9x2=36
(4k2+ 9)x2+ 8k(2k + 3)x + 16k(k + 3) = 0
3
(2022• 乙卷) 一次方程：y + 2 = k(x - 1)，二次方程：x2
3 + y2
4 = 1
联立y=kx-k-2
4x2+3y2=12
(3k2+ 4)x2- 6k(2 + k)x + 3k(k + 4) = 0
这些方程的处理在高考中都
是必拿分的项目哦．你站在
现在高一的角度觉得还简单
吗？一大部分学生到了高三
也觉得头疼．所以现在就了
解它．并理解它，宝贝们，
这类乘法公式课上不细讲，
但考试拔高题会出现，想冲
高分一定要掌握好哦．
要点补注
要点补注
mathxiaoshu01
13
夏• 2026 初高衔接
选择胜于努力，笃行成就未来
1 (★☆☆☆☆)若10a= 20，10b= 5，则a + b =
( C )
A. - 1
B. 1
C. 2
D. 10
因为10a= 20，10b= 5，所以10a•10b= 10a+b= 100 = 102，所以a + b = 2．
2 (★☆☆☆☆)若a2- ab = 7 - m，b2- ab = 9 + m，则a - b 的值为
( D )
A. 2
B. ± 2
C. 4
D. ± 4
将题目中的两个式子相加得：a2- ab + b2- ab = 16，即(a - b)2= 16，
∴a - b =±4，故选：D．
3 (★☆☆☆☆)若x < 3，则
9-6x+x2 - |x - 6| =
( A )
A. - 3
B. 3
C. - 9
D. 9
若x < 3，则x - 3 < 0，x - 6 < 0，
∴
9-6x+x2 - |x - 6| = |x - 3| -|x - 6| = 3 - x + x - 6 =-3，故选：A．
4 (★☆☆☆☆)将分式2x-1
x-3
变形，结果正确的是
( A )
A. 2 +
5
x-3
B. 2 -
5
x-3
C. 1 +
2
x-3
D. 2 +
1
x-3
2x-1
x-3 = 2(x-3)+5
x-3
= 2 +
5
x-3 ，答案：A
5 (★★☆☆☆)完成下列化简和求值．
(1) a⋅
3 b a
b
1
2
，a > 0
(2)
3 a4 a-3
3 a4 a4 ，a > 0
(1) 原式= a⋅b
1
3 ⋅a
1
2 × 1
3
b
1
2
= a
1+ 1
6 ⋅b
1
3 - 1
2 = a
7
6 ⋅b
- 1
6
(2) 原式=
3 a4⋅a -3
2
a 4
3 ⋅a4
=
3
a
5
2
a
2
3 ⋅a4 = a
5
6
a
14
3 = a
- 23
6
(3) 2 1
4
1
2 - (2027)0 - 3 3
8
- 2
3 + (1.5)-2
(4)
1
2-1 -
3
5
0
+
9
4
-0.5
+
4 ( 2-π)4
(3) 原式=
3
2
2× 1
2 - 1 -
3
2
3× - 2
3
+
3
2
-2
= 3
2 - 1 - 4
9 + 4
9 = 1
2 ；
(4) 原式=
2+1
( 2-1)( 2+1) - 1 +
3
2
2× - 1
2
+ | 2 - π| =
2 + 1 - 1 + 2
3 + π -
2 = 2
3 + π．
(5)
5+2 6
(6)
7-4 3
(5) =
( 3)2+2 3×
2+( 2)2 =
( 3+
2)2 = | 3 +
2| =
3 +
2
(6) =
22-2×2 3+( 3)2 =
(2-
3)2
= |2 -
3| = 2 -
3
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选择胜于努力，笃行成就未来
6 (★★☆☆☆)已知M = x+1
2
，N =
2x
x+1 ．设y = 2
M + N．
(1)当y = 3 时，求x 的值；
(2)若x 是整数，求y 的正整数值．
依题意，得y =
4
x+1 +
2x
x+1 = 2x+4
x+1 ，
(1)当y = 3 即2x+4
x+1 = 3 时，解得：x = 1，经检验，x = 1 是原分式方程的解，
则当y = 3 时，x 的值是1．
(2) y = 2x+4
x+1 = 2x+2+2
x+1
= 2 +
2
x+1 ．
∵x，y 是整数，∴
2
x+1 是整数，∴x + 1 可以取±1，±2．
当x + 1 = 1，即x = 0 时，y = 2 + 2
1 = 4 > 0；
当x + 1 =-1 时，即x =-2 时，y = 2 + 2
-1 = 0(舍去)；
当x + 1 = 2 时，即x = 1 时，y = 2 + 2
2 = 3 > 0；
当x + 1 =-2 时，即x =-3 时，y = 2 + 2
-2 = 1 > 0；
综上所述，当x 为整数时，y 的正整数值是4 或3 或1．
7 (★★☆☆☆)已知x > 0，y > 0，两个正方体的棱长分别为x、y．
(1) 用代数式表示两个正方体的体积和；
(2) 证明：x3+ y3= (x + y) (x2- xy + y2)
(3) 已知m + n = 3，m2+ n2= 11，利用立方和公式求m3+ n3 的值．
(1) 正方体体积公式：体积= 棱长3
两个正方体体积和：x3+ y3
(2) 证明：完全立方和公式
(x + y)3= x3+ 3x2y + 3xy2+ y3
整理得：
x3+ y3= (x + y)3- 3xy(x + y)
对等式右侧提取公因式(x + y)：
(x + y)3- 3xy(x + y) = (x + y) (x+y)2-3xy
展开(x + y)2 并化简括号内式子：
(x + y)2- 3xy = x2- xy + y2
联立可得：
x3+ y3= (x + y) (x2- xy + y2)
(3) 第一步：由完全平方公式(m + n)2= m2+ n2+ 2mn，代入已知条件：
(m + n)2= m2+ n2+ 2mn
32= 11 + 2mn
mn =-1
第二步：使用立方和变形公式m3+ n3= (m + n)3- 3mn(m + n)，代入m + n = 3、mn =-1：
m3+ n3 = 33- 3 × (-1) × 3
= 27 + 9
= 36
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选择胜于努力，笃行成就未来
2
方程与因式分解
方程与因式分解
[教学重难点]
[教学目标]
[核心素养]
十字相乘法(必会) + 含参
因式拆解
熟练用十字相乘法分解多项式，快
速解方程
数学运算、逻辑推理
试根思想与乘法公式分解
因式
掌握试根法分解因式．初识方程函
数之间的关系．了解代数的局限性
数学抽象、数学运算
一一元二次方程与十字相乘法
一元二次方程ax2 + bx + c = 0
我们知道：Δ = b2 −4ac 叫做一元二次方程的根的判别式，可以用来判定一元二次方程的根是否存在.
①当Δ > 0 时，方程有2 个不相等的实数根：x1,2 = −b±
b2−4ac
2a
②当Δ = 0 时，方程有2 个相等的实数根：x = −b
2a
③当Δ < 0 时，方程没有实数根.
上述内容是初中阶段就要求掌握的．在初中的教学当中还讲了韦达定理，但是某些地区的中考不进行考
察，而韦达定理将在高中的学习中发挥重要作用．
ax2 + bx + c = 0
韦达定理
x1+x2=- b
a
x1x2= c
a
韦达定理
十字相乘法
利用十字交叉线分解二次三项式的系数，该分解因式的方法叫做十字相乘法．初中仅仅是停留在二次项系
数为1 的情况下的分解方法，高中将加入二次项系数不为1 的情况、含有参数的情况和部分无理数的拆解．
完整十字相乘法
3x2 + 11x + 10 =
(x+2)⋅(3x+5)
x
3x
5
2
①竖分二次项与常数项
②交叉相乘和为
一次项可用该方法
5
2
1 10
10 1
√
×
×
×
5x+6x=11x
确定
因数
③横向书写因式
由于初中停留在系数
为1 的分解，所以很
多学生以为书写也是
十字书写．一定要关
注这个误区．
要点补注
要点补注
mathxiaoshu01
方程的求根公式和判
别式在高中阶段仍然
很重要．还记不住的
同学，要抓紧了．
要点补注
要点补注
mathxiaoshu01
16
夏• 2026 初高衔接
选择胜于努力，笃行成就未来
1
(★★☆☆☆)利用十字相乘法求解下列方程
(1) x2- 2x - 3 = 0
x
x
1
-3
x2-2x-3=0
∴(x - 3) (x + 1) = 0，∴x1= 3，x2=-1
(3) 2x2- x - 1 = 0
2x
x
-1
1
2x2-x-1=0
∴(2x + 1) (x - 1) = 0 ∴x1=- 1
2 ，x2= 1
(5) 6x2- x - 12 = 0
2x
3x
4
-3
6x2-x-12=0
(2x - 3) (3x + 4) = 0，x1= 3
2 , x2=- 4
3
(7) 2x2- 3x - 2 2 = 0
2x
x
-2 2
1
2x2-3x-2 2=0
( 2x + 1) (x - 2 2) = 0,x1=-
2
2 , x2= 2 2
2
(★★☆☆☆)利用十字相乘法求解方程．
(1) x2+ (m - 1)x - m = 0
x
x
-1
m
x2+(m-1)x-m=0
(x + m) (x - 1) = 0
∴x1=-m，x2= 1
(3)2ax2+ (a - 2)x - 1 = 0
ax
2x
1
-1
2ax2+(a-2)x-1=0
(ax - 1) (2x + 1) = 0
∴x1= 1
a ，x2=- 1
2
(2) x2- 2x - 15 = 0
x
x
3
-5
x2-2x-15=0
(x - 5) (x + 3) = 0 ∴x1= 5，x2=-3
(4)3x2- 7x + 2 = 0
3x
x
-2
-1
3x2-7x+2=0
(3x - 1) (x - 2) = 0 ∴x1= 1
3 ，x2= 2
(6)2x2-
2x - 2 = 0
2x
x
- 2
2
2x2-
2x-2=0
∴(2x +
2) (x -
2) = 0 ∴x1=-
2
2 ，x2=
2
(8)2x2- 5 2x + 6 = 0
2x
x
- 2
-3 2
2x2-5 2x+6=0
∴(2x - 3 2) (x -
2) = 0 ∴x1= 3 2
2
，x2=
2
(2) x2+ (2a + 2)x + 4a = 0
x
x
2
2a
x2+(2a+2)x+4a=0
(x + 2a) (x + 2) = 0
∴x1=-2a，x2=-2
(4) 4ax2+ 2a+2
x + 1 = 0
2ax
2x
1
1
4ax2+ 2a+2
x+1=0
(2ax + 1) (2x + 1) = 0 ∴x1=- 1
2a ，x2=- 1
2
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夏• 2026 初高衔接
选择胜于努力，笃行成就未来
3
(★★☆☆☆)已知关于x 的一元二次方程ax2- (3a + 1)x + 2a + 1 = 0．
(1) 求证：无论a 为任何非零实数，此方程总有两个实数根；
(2) 若该方程的两个实数根分别为x1、x2，且x2- x1= 2，求a 的值．
(1) 证明：Δ = (3a + 1)2- 4a(2a + 1) = a2+ 2a + 1 = (a + 1)2≥0，
∴无论a 为任何非零实数，此方程总有两个实数根；
(2) 依题意得，x1 + x2 = 3a+1
a
，x1x2 = 2a+1
a
，
∵x2- x1= 2，∴(x1 + x2)2 - 4x1x2 = 4，∴
3a+1
a
2
- 4(2a+1)
a
= 4，
即3a2- 2a - 1 = 0，∴(3a + 1) (a - 1) = 0
得a1= 1，a2 =- 1
3 ．
4 (★★☆☆☆)已知x1，x2是一元二次方程(4k2+ 1)x2- (4k + 1)x + 1 = 0 的两个不相等的实数根．
(1) 若两根同号，求实数k 的取值范围；
(2) 求使得x1
x2
+ x2
x1
+ 4 的值为整数的整数k 的值．
(1) ∵两根同号，∴
x1x2=
1
4k2+1 >0，
Δ=(4k+1)2-4(4k2+1)>0，
k> 3
8 ．
(2) 由(1) 知，当k > 3
8 时，方程有两个实数根，
利用韦达定理可知x1 + x2 = 4k+1
4k2+1 ，x1x2 =
1
4k2+1 ，
于是x1
x2
+ x2
x1
+ 4 = (x1+x2)2
x1x2
+ 2 = (4k+1)2
4k2+1
+ 2 = 6 + 8k-3
4k2+1 ．
由k > 3
8 ，则8k - 3 > 0，则8k-3
4k2+1 > 0．即要使8k-3
4k2+1 的值为正整数，且k 为整数，则8k-3
4k2+1 ≥1，
则有4k2+ 1 ≤8k - 3，化简得(k - 1)2≤0，即k = 1，
令k = 1，此时8k-3
4k2+1 = 1 为整数，则k = 1 满足题意．．
5
(2022 ∙新高考Ⅰ卷改•★★★★☆)已知x1，x2 是方程(2k2- 1)x2+ 4kmx + 2m2+ 2 = 0 的两个根．
(1) 求x1 + x2，x1x2;
(2) 若m ≠1 - 2k．且2kx1x2+ (m - 1 - 2k) (x1+ x2) - 4(m - 1) = 0．求k．
(1) 由韦达定理可得x1 + x2 =- 4km
2k2-1 ，x1x2 = 2m2+2
2k2-1
2
2kx1x2+ (m - 1 - 2k) (x1+ x2) - 4(m - 1) = 0
2k(2m2+ 2) - 4km(m - 1 - 2k) - 4(m - 1) 2k2-1
= 0
4km2+ 4k - 4km2+ 4km + 8k2m - 8k2m + 4m + 8k2- 4 = 0
4(2k2+ km + k + m - 1) = 0
4(k + 1) (m + 2k - 1) = 0
(k + 1) (m + 2k - 1) = 0
∵m ≠1 - 2k
k =-1
该题建议必刷，体会初高中代数计
算、方程处理的核心差异：初中仅
停留在基础浅层的数的运算，高中
对代数式的变形、综合运算提出更
高、更深层次要求．该题还只是当
年高考解答第一问．结合上一讲第
10 页20 题、12 页中的23 题．感
受到高考中乘法公式的魅力了吗？
它并不是你以为的背背公式那么简
单，理解记住并且运用是关键．
要点补注
要点补注
mathxiaoshu01
18
夏• 2026 初高衔接
选择胜于努力，笃行成就未来
二乘法公式背景下的因式分解
立方和差公式与三次方程的因式分解
在上一节课中，我们学习了立方和：a3+ b3= (a + b) (a2- ab + b2) 立方差：a3- b3= (a - b) (a2+ ab + b2)
上一节课我们仅仅停留在这两个公式应用上，这一堂课，我们可以借助这些公式对代数式进行因式分解．
1 (2020 •新课标Ⅰ•★★★☆☆)解方程：1
2 x3 - x - 2 = 0
变形：x3- 2x - 4 = 0
配凑：x3- 23- 2x + 4 = 0
立方差：(x - 2) (x2+ 2x + 4) - 2(x - 2) = 0
分解(x - 2) (x2+ 2x + 2) = 0 解得：x = 2
从上面的解题过程能看出，运用立方和差公式因式分解，难点在于对代数式进行预判与配凑．不少同学会
卡在凑系数、凑项这一步，其实求解三次多项式，我们还有其他方法可以选用．
进入高中阶段，教材不再系统讲解各类高阶方程的解法．我们需要在初中一元一次、一元二次方程的基础
上，拓展出复杂方程的求解思路：借助数形结合思想，作出复杂方程对应函数的图(目的：通过看与x 轴的交点
判定根的个数)确定根存在可求时，优先采用“试根法”找出方程的根．初高衔接的阶段，我们先来介绍一元三
次方程的试根法．通过对一元三次方程试根的学习了解试根法本身．
有理根定理
若三次方程Ax3 + Bx2 + Cx + D = 0 存在有理根，则先将其变为系数为1 的三次方程：x3 + B
A x2 +
C
A x + D
A = 0，该系数为1 的方程有理根必为常数项的因数．
结合上述定理，求解一元三次方程时，先试常数项因数，确定方程的一个根，然后完成因式分解．
如(2020• 新课标Ⅰ) 中的三次方程1
2 x3 - x - 2 = 0
①先变形为：x3- 2x - 4 = 0
②明确常数项因数：±1、±2、±4，代入验证后知道x = 2 是上述方程的根，即一定有因式(x - 2)
③确定剩余因式
试根思想与因式分解
x-2
x² + 2x + 2
x3 + 0x2 - 2x - 4
x³ - 2x²
2x² - 2x
2x² - 4x
2x - 4
2x - 4
0
余式的次数必须小于除式次数
余式为0 时，除式是被除式的因式
长除法
x3-2x-4= (x-2)∙(x2+ax+2) = (x-2)∙(x2+2x+2)
②待定系数设出剩余因式，找一二
次项与原式对比可得：a=2
①代入4的因子±1，±2，±4可知：
x=2是方程根，由此确定因式: (x-2)
③检查一元二次代数式
能否继续因式分解
x3÷x
-4÷ -2
=2
待定系数法
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夏• 2026 初高衔接
选择胜于努力，笃行成就未来
6
(★★☆☆☆)根据课堂知识求解下列方程．
(1) x3- 3x2+ 4 = 0
常数项因数：±1, ±2, ±4，代入试根
可知x =-1 是根，含因式x + 1
(x + 1) (x2- 4x + 4)
= 0
(x + 1) (x - 2)2
= 0
解得：x1=-1, x2= x3= 2
(3) x3+ 2x2- 5x - 6 = 0
常数项因数：±1, ±2, ±3, ±6，
代入试根x = 2 是根，含因式x - 2
(x - 2) (x2+ 4x + 3)
= 0
(x - 2) (x + 1) (x + 3) = 0
解得：x1= 2, x2=-1, x3=-3
(5) x3- 9x + 8 = 0
常数项因数：±1, ±2, ±4, ±8，代入
试根x = 1 是根，含因式x - 1
(x - 1) (x2+ x - 8) = 0
解得：
x1= 1, x2= -1+
33
2
, x3= -1-
33
2
(2) x3- 7x + 6 = 0
常数项因数：±1，±2，±3，±6 代
入验证可得：1 是方程的一个根
(x - 1) (x2+ x - 6)
= 0
(x - 1) (x - 2) (x + 3) = 0
解得：x1= 1, x2= 2, x3=-3
(4)2x3+ x2- 5x + 2 = 0
两边同除2：x3+ 1
2 x2- 5
2 x + 1 = 0
有理根：±1，试根得x = 1 是根
(x - 1) (2x2+ 3x - 2) = 0
(x - 1) (2x - 1) (x + 2) = 0
(6) t3- 12t + 9 = 0
试根得t = 3 为根：
(t - 3) (t2+ 3t - 3) = 0
解得：t1= 3, t2= -3+
21
2
, t3= -3-
21
2
7
(★★★☆☆)设x3 + ax + b = 0，下列条件中，使得该三次方程仅有一个实根的是
( D )
A. a =-3，b = 2
B. a =-3，b =-2
C. a =-4，b = 3
D. a = 1，b = 2
A 中，方程为(x - 1) (x2 + x - 2) = 0，即(x - 1)2
(x + 2) = 0，可得方程有两个根1，-2，不符合题意，
B 中，方程为(x - 2) (x2 + 2x + 1) = 0，即(x + 1)2
(x - 2) = 0，可得方程有两个根-1，2，不符合题意
C 中，方程为(x - 1) (x2 + x - 3) = 0，即(x + 1)2
(x - 2) = 0，可得方程有三个根，不符合题意
D 中，方程为(x + 1) (x2 - x + 2) = 0，x2 - x + 2 = 0 无解，可得方程有一个根，符合题意
20
夏• 2026 初高衔接
选择胜于努力，笃行成就未来
8
(★★☆☆☆)已知多项式2x3- x2- 13x + k 有一个因式2x + 1，求k 的值，并把原式分解因式．
设2x3- x2- 13x + k = (2x + 1) (x2+ ax + b)
则2x3- x2- 13x + k = 2x3+ (2a + 1)x2+ (a + 2b)x + b
令
2a+1=-1
a+2b=-13
b=k
，解得
a=-1
b=-6
k=-6
，所以k =-6
2x3- x2- 13x - 6 = (2x + 1) (x2- x - 6) = (2x + 1) (x - 3) (x + 2)
9
(★★★☆☆)如图在底面半径为3、母线长为5 的圆锥中内接(圆柱与圆锥面相接) 一个高为2 的圆柱．
(1) 求圆柱的体积；
(2) 在该圆锥中是否存在另外一个内接的圆柱与(1) 中圆柱体积相等？若存在，求出另一个圆柱的高；若不
存在，请说明理由。
(1) 如图，已知OA = 3，PA = 5，BC = 2，
圆锥的高OP =
52-32 = 4，∵BC = 2，
∴BC = 1
2 OP，又OP ⊥OA，BC ⊥OA，
∴AB = 1
2 OA = 3
2 ，则OB = 3
2 ，
故圆柱的体积V = π ×
3
2
2
× 2 = 9π
2 ．
(2) 假设存在另一个符合题意的圆柱，设其高为h，底面半径为r，则
h
OP = 3-r
OA ，即h
4 = 3-r
3
，∴r
= 3 - 3
4 h，
则π × 3- 3
4 h
2
× h = 9π
2 ，
整理得(h2 - 6h + 4) (h - 2) = 0，
解得h = 2 或h = 3 ±
5，∵h = 3 +
5 > 4，
故不符合题意，舍去，故存在另外一个内接的圆柱与(1) 中圆柱体积相等，该圆柱的高为3 -
5．
A
B
O
C
P
21
夏• 2026 初高衔接
选择胜于努力，笃行成就未来
1 (★☆☆☆☆)多项式3x2- 12x - 36 分解正确的是
( A )
A. 3(x - 6) (x + 2)
B. 3(x - 3) (x + 4)
C. 3(x2- 4x - 12)
D. 3(x + 6) (x - 2)
3x2- 12x - 36 = 3(x2- 4x - 12) = 3(x - 6) (x + 2)，故选：A．
2 (★★☆☆☆)若x3+ a3= (x - 3) (x2+ 3x + 9) 对任意实数x 都成立，则实数a 的值是
( C )
A. - 9
B. 9
C. - 3
D. 3
因为x3+ a3= (x + a) (x2- ax + a2)，
又x3+ a3= (x - 3) (x2+ 3x + 9)，可得a =-3．故选：C．
3 (★★☆☆☆)实数a,b 满足a2- 3a + 1 = 0，b2- 3b + 1 = 0，且a ≠b，则1
a + 1
b 的值为
( A )
A. 3
B. - 3
C. 1
D. - 1
由题意，a、b 是方程x2- 3x + 1 = 0 的两个不相等实数根。
根据韦达定理：a + b = 3,
ab = 1，∴1
a + 1
b = a+b
ab
= 3
1 = 3
4 (★★☆☆☆)请求解下列方程．
(1) ax2+ (a - 1)x - 1 = 0
ax
x
1
-1
ax2+(a-1)x-1=0
(ax - 1) (x + 1) = 0
∴x1= 1
a ，x2=-1
(3) 3x2- (a + 3)x + a = 0
3x
x
1
-a
3x2-(a+3)x+a=0
(3x - a) (x - 1) = 0
∴x1= 1
3 ，x2= 1
(5) x3- 2x2+ 5x - 4 = 0
常数项因数：±1, ±2, ±4，代入
试根故x = 1 是根，含因式x - 1
(x - 1) (x2- x + 4) = 0
判别式Δ = (-1)2- 4 × 1 × 4 =-15 < 0，无实根
实数解：x1= 1
(2) -2ax2+ (a2- 2)x + a = 0
ax
-2x
a
1
-2ax2+(a2-2)x+a=0
(ax + 1) (-2x + a) = 0
∴x1=- 1
a ，x2= a
2
(4) -2ax2 + (a - 2)x + 1 = 0
-ax
2x
-1
-1
-2ax2+(a-2)x+1=0
(-ax - 1) (2x - 1) = 0
∴x1=- 1
a ，x2= 1
2
(6) 2x3- 7x2+ 4x + 4 = 0
两边除2：x3- 7
2 x2+ 2x + 2 = 0
常数项因数±1, ±2，x = 2 是根．
2x3- 7x2+ 4x + 4 = (x - 2)2(2x + 1) = 0
x1=- 1
2 ，x2= 2
22
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选择胜于努力，笃行成就未来
5 (★★☆☆☆)已知关于x 的一元二次方程x2- mx + 4m2- 3 = 0 的两个实根分别为x1，x2．
(1) 若x1、x2均为正根，求实数m 的取值范围；
(2) 若x1、x2满足：x1+ x2= x1x2，求实数m 的值．
(1) 关于x 的一元二次方程x2- mx + 4m2- 3 = 0 的两个实根分别为x1，x2，
若x1、x2均为正根，则有
Δ=m2-4(4m2-3)≥0
x1+x2=m>0
x1⋅x2=4m2-3>0
．
求得
3
2
< m ≤2 5
5
，
即实数m 的取值范围为
3
2 ，2 5
5
．
(2) 若x1、x2满足：x1+ x2= x1x2，即m = 4m2- 3．
求得m = 1(舍去，不满足Δ ≥0) 或m =- 3
4 ．
故实数m 的值为- 3
4 ．
6 (★★★☆☆)已知关于x 的一元二次方程x2- (k + 4)x + 4k = 0．
(1) 求证：无论k 为任何实数，此方程总有两个实数根；
(2) 若方程的两个实数根为x1、x2，满足1
x1
+ 1
x2
= 3
4 ，求k 的值；
(3) 若Rt△ABC 的斜边为5，另外两条边的长恰好是方程的两个根x1、x2，求Rt△ABC 的内切圆半径．
(1) 证明：对于关于x 的一元二次方程x2- (k + 4)x + 4k = 0
∵它的判别式Δ = (-k - 4)2- 4 × 4k = (k - 4)2≥0，
∴无论k 为任何实数，此方程总有两个实数根．
(2) 若方程的两个实数根为x1、x2，由韦达定理可得x1+ x2= k + 4，x1•x2= 4k
∴1
x1
+ 1
x2
= x1+x2
x1⋅x2
= k+4
4k
= 3
4 ，求得k = 2．
(3) ∵Rt△ABC 的斜边为5，另外两条边的长恰好是方程的两个根x1、x2，
∴x2
1 + x2
2 = (x1 + x2)2 - 2x1•x2= (k + 4)2- 8k = 52，∴k = 3 或k =-3(舍去)，
故两个根x1、x2，中一个为3，另一个为4．
设三角形ABC 的内切圆的半径为r，
则由△ABC 的面积为1
2 × 3 × 4 = 1
2 (3 + 4 + 5)r，求得r = 1，
即Rt△ABC 的内切圆半径为1．
23
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选择胜于努力，笃行成就未来
3
不等式性质与基本不等式
不等式性质与基本不等式
[教学重难点]
[教学目标]
[核心素养]
不等式性质
熟练运用不等式性质变形、掌握判
断大小的方法
数学运算、逻辑推理
基本不等式的认识与应用
掌握基本不等式结构，能求代数式
最值
数学运算、数学抽象
一不等式及其性质
初中阶段，我们已经学习了一元一次不等式及不等式的基本性质，进入高中后，我们将对这一知识模块展
开更深层次的探究．
不等式及其解集
区间：不等式解集的简化写法．能取等号用“中括号
[、]”表达．取不到等号用“小括号,
”表达．全体
实数用区间表示(-∞，+∞)，“∞”读作“无穷大”．
高中
区间的概念表示解集
解
集
图
示
区
间
x > a
a
a,+∞
x ≤a
a
-∞,a
a < x < b
a
b
a,b
a ≤x ≤b
a
b
a,b)
x ≤a 或x > b
a b
-∞,a
∪b,+∞
初中
不等式的解集：
画数轴表示解集．如x < 2．
2
1
3
2
1
0
x
初中
不等式的性质：
1. 对称性：a > b ⇔b < a
2. 传递性：a > b，b > c ⇒a > c
3. 加减性：a > b ⇒a ± c > b ± c
4. 乘除性：若a>b
c>0
⇒ac > bc，a
c > b
c ；
若a>b
c<0
⇒ac < bc，a
c < b
c
高中
不等式性质：
1. 同向可加：a>b
c>d
⇒a + c > b + d
2. 同向同正可乘：a>b>0
c>d>0
⇒ac > bd
3. 乘方性：a > b > 0，⇒an> bn
4. 开方性：a > b > 0,n ≥2 ⇒n a > n b
不等式的解集中，若出现两段
不连续的取值范围(对应“或”
的关系)，我们用符号“∪”
(读作并) 来连接，含义是把两
个区间合在一起作为完整解集．
要点补注
要点补注
mathxiaoshu01
24
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选择胜于努力，笃行成就未来
1 (★★★☆☆)已知-1 < 2s + t < 2，3 < s - t < 4，则5s + t 的取值范围
(1，8)
(用区间表示)．
设5s + t = m(2s + t) + n(s - t)
则5s + t = (2m + n)s + (m - n)t，
则
2m+n=5
m-n=1
，解得
m=2
n=1
则5s + t = 2(2s + t) + (s - t)，
∵-1 < 2s + t < 2，∴-2 < 2(2s + t) < 4，
又∵3 < s - t < 4，∴1 < 2(2s + t) + (s - t) < 8，
即1 < 5s + t < 8，∴5s + t 的取值范围是(1，8)．
1
(原创•★☆☆☆☆)将下列不等式和区间互相改换．
(1) x ≥-2
(2) -2 < x ≤-1
(3) x <-2 或x ≥0
(1) 用区间可表示为[-2，+∞)
(2) 用区间可表示为(-2，-1]．
(3) 用区间可表示为(-∞，-2) ∪[0，+∞)
(4)
- 1
2 ，5
(5) (-∞，2) ∪(2，+∞)
(6) (-∞，1) ∪(2，3]
(4) 用不等式可表示为- 1
2 ≤x < 5
(5) 用不等式可表示为x ≠2
(6) 用不等式可表示为x < 1 或2 < x ≤3
2
(原创•★★☆☆☆)根据不等式性质求下列代数式y 的范围，并且用区间表示．
(1)x > 1，y = 2x + 1
(2)x ≥-2，y = 3
2 x - 1
(1) ∵x > 1，∴2x > 2，∴2x + 1 > 3，∴y 的范围是3,+∞
(2) ∵x ≥-2，∴3
2 x ≥-3，∴3
2 x - 1 ≥-4，∴y 的范围是-4,+∞
(3) x > 4，y =
x-3
(4) 2 ≤x ≤7，y = 5 -
x-2
(3) ∵x > 4，∴x - 3 > 1，∴
x-3 > 1，∴y 的范围是(1, +∞)
(4) ∵2 ≤x ≤7，∴0 ≤x - 2 ≤5，∴0 ≤
x-2 ≤
5，∴- 5 ≤- x-2 ≤0
∴5 -
5 ≤5 -
x-2 ≤5，∴y 的范围是[5 -
5, 5]
(5) x ≥1，y =
1
x+1
(6)x ≥1，y = 2x-1
x+1
(3) ∵x ≥1，∴x + 1 ≥2，∴0 <
1
x+1 ≤1
2 ，∴y 的范围是0, 1
2
(4) ∵y = 2x-1
x+1 = 2 -
3
x+1 ，∵x ≥1，∴x + 1 ≥2
∴0 <
1
x+1 ≤1
2 - 3
2 ≤-
3
x+1 < 0，1
2 ≤2 -
3
x+1 < 2，∴y 的范围是
1
2 ,2
- 错误做法：拆分变量求s,t 各自
范围，会破坏约束关系，导致范
围失真、偏大．
- 正确做法：待定系数法将目标式
配凑为已知式的线性组合，全程
不拆变量，保留关联，结果准确．
要点补注
要点补注
mathxiaoshu01
25
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选择胜于努力，笃行成就未来
(7)x ≥0，y = x-1
x+1
(8)x ≥0，y = 3x-1
x+2
(7) ∵y = x-1
x+1 = 1 + -2
x+1 ，∵x ≥0，∴x + 1 ≥1，∴0 <
1
x+1 ≤1 -2 ≤-
2
x+1 < 0，-1 ≤1 -
2
x+1 < 1，∴y 的范围是-1,1
(8) ∵y = 3x-1
x+2 = 3(x+2)-7
x+2
= 3 -
7
x+2 ，∵x ≥0，∴x + 2 ≥2，∴0 <
1
x+2 ≤1
2
- 7
2 ≤-
7
x+2 < 0，- 1
2 ≤3 -
7
x+2 < 3，∴y 的范围是- 1
2 ,3
(9) - 3 < x < 2，y = |x|
(10)1 ≤x ≤5，y = 3 + |x - 4|
(9) - 3 < x < 2，当0 ≤x < 2 时，0 ≤|x| < 2 或当-3 < x < 0 时，0 < |x| < 3
综合得：0 ≤|x| < 3，取值范围：[0, 3)
(10) ∵1 ≤x ≤5，∴-3 ≤x - 4 ≤1，根据绝对值性质：0 ≤|x - 4| ≤3
∴3 + 0 ≤3 + |x - 4| ≤3 + 3，即3 ≤y ≤6，y 取值范围：[3, 6]
3
(★☆☆☆☆)不等式x >-2 且x ≠2023 用区间可表示为
( C )
A. (-2，+∞)
B. (2023，+∞)
C. (-2，2023) ∪(2023，+∞)
D. (-2，2023)
集合{x|x >-2 且x ≠2023} 用区间可表示为(-2，2023) ∪(2023，+∞)．C．
4 (★☆☆☆☆)已知区间[-a，2a + 1)，则实数的a 的取值范围是
( C )
A.
-∞，+∞
B.
- 1
3 ，+∞
C.
- 1
3 ，+∞
D.
-∞，- 1
3
由2a + 1 >-a．得3a >-1．即a >- 1
3 ，
故选：C．
5
(★☆☆☆☆)不等式(a + 1)x > 2 的解集为1,+∞
，则a 的值是
( C )
A. a =-1
B. a >-1
C. a = 1
D. a > 1
∵关于x 的不等式(a + 1)x > 2 的解集为x > 1，∴a + 1 = 2，解得：a = 1，故选：C．
6
(★★☆☆☆) x 落在区间(b，a) 内且x ≠0，1
x 落在区间
1
a ，1
b
内，则实数a，b 满足
( D )
A. a < b < 0
B. a < 0 < b
C. a > 0 > b
D. a > b > 0
∵x ∈(b，a)，∴b < a，
∵1
x ∈
1
a ，1
b
，∴1
a < 1
b ，即ab > 0，即a，b 同号，故b < a < 0，或0 < b < a，
7
(★★☆☆☆)下列不等式中成立的是
( B )
A. 若a > b > 0，则ac2> bc2
B. 若a > b > 0，则a2> b2
C. 若a < b < 0，则a2< ab < b2
D. 若a < b < 0，则1
a < 1
b
A．c = 0 时不成立；B．成立．
C．a < b < 0，则a2> ab > b2．因此不成立．D．a < b < 0，则1
a > 1
b ．因此不成立．
26
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选择胜于努力，笃行成就未来
8
(★★☆☆☆)下列说法中，错误的是
( A )
A. 若a2> b2，ab > 0，则1
a < 1
b
B. 若a
c2 > b
c2 ，则a > b
C. 若b > a > 0，m > 0，则a+m
b+m > a
b
D. 若a > b，c < d，则a - c > b - d
对于A，若a2> b2，ab > 0，取a =-4，b =-2，则1
a > 1
b ，故A 错误；
B，若a
c2 > b
c2 ，则1
c2 > 0，所以a > b，故B 正确；
C，若b > a > 0，m > 0，则b - a > 0，则a+m
b+m - a
b = m(b-a)
b(b+m) > 0，所以a+m
b+m > a
b ，故C 正确；
对于D，若a > b，c < d，则-c >-d，所以a - c > b - d，故D 正确．
9
(多选•★★★☆☆)已知a，b，c，d 全是实数，则下列命题正确的是
( BCD )
A. 若a > b，c > d，则ac > bd
B. 若bc - ad > 0，bd > 0，则a+b
b
< c+d
d
C. 若a < b < 0，则b
a < a
b
D. 若a > b，1
a > 1
b ，则a > 0，b < 0
A 选项：当a = 0，b =-1，c = 1，d = 0 时，A 显然错误；
B 选项：若bc - ad > 0，bd > 0，则a+b
b
- c+d
d
= ad-bc
bd
< 0，所以a+b
b
< c+d
d
，故B 正确；
C 选项，因为a < b < 0，则b
a - a
b = b2-a2
ab
= (b-a)(b+a)
ab
< 0，故C 正确；
D 选项，因为a > b，1
a > 1
b ，则1
a - 1
b = b-a
ab
> 0，a > b，所以ab < 0，
又因为a > b，所以a > 0，b < 0，故D 选项正确．故选：BCD．
10 (★★★☆☆)已知2 < a < 3，-2 < b <-1，则2a + b 的取值范围是
( A )
A. (2，5)
B. (-5，-2)
C. (1，3)
D. (-3，-1)
因为2 < a < 3，所以4 < 2a < 6，又因为-2 < b <-1，
所以2 < 2a + b < 5．即2a + b 的取值范围为(2，5)．
11 (★★★☆☆)实数a，b 满足4 ≤a + b ≤7，2 ≤a - b ≤3．
(1) 求实数a，b 的取值范围；
(2) 求3a - 2b 的取值范围．
(1) ∵4 ≤a + b ≤7，2 ≤a - b ≤3，
∴3 ≤a ≤5，1
2 ≤b ≤5
2 ；
(2) 设3a - 2b = m(a + b) + n(a - b) = (m + n)a + (m - n)b，
可得m+n=3
m-n=-2
，解得m = 1
2 ，n = 5
2 ，
即3a - 2b = 5
2 (a - b) + 1
2 (a + b)，
∵2 ≤a - b ≤3，∴5 ≤5
2 (a - b) ≤15
2 ，
∵4 ≤a + b ≤7，∴2 ≤1
2 (a + b) ≤7
2 ，∴3a - 2b ∈[7，11]．
27
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选择胜于努力，笃行成就未来
二基本不等式
我们知道由乘法公式产生的因式分解方法在解方程中有重要作用．在不等式问题中，也有着这样一类法则
式的不等式，它们在解决其它不等式问题时体现着和乘法公式在代数式运算中类似的功能．
作一圆，直径为AB，过C 作垂线，连接AC、BC.
设AD = a，BD = b，则圆的半径OH = a+b
2
.
由ΔACD ∾ΔBCD 可得：AD
CD = CD
BD
CD2 = AD ⋅BD，∴CD =
ab
由图可得不等式：OH ≥CD 恒成立，当且仅当CD = OH，即OA = OB 时取等号．即：
对于任意两个正实数a，b 有：a+b
2
≥
ab，当且仅当a = b 时，等号成立．
我们将上述不等式称为基本不等式或均值不等式．a+b
2
, ab 分别称为a，b 的算术平均值和几何平均值．
习惯性的，在解题时我们一般采用如下形式进行书写：
对于任意两个正实数a，b 有：a + b ≥2 ab，当且仅当a = b 时，等号成立．
基本不等式中我们应用最广泛的一类题型是求解正反比例和的最值．
形如y = ax + b
x 的函数结构，在ax > 0, b
x > 0 的条件下，可求解它的最值．即：
y = ax + b
x ≥2
ax× b
x = 2 ab，当且仅当ax = b
x ，即x =
b
a 时取等．
应用条件：一正ax>0且b
x >0
、二定结果为常数
、三相等仅当x=
b
a 时取等
．
正反比例和的最值
2 (★★☆☆☆)若正实数x，y 满足xy + 2x - 2 = 0，则4x + y 的最小值是
4 2-2
xy + 2x - 2 = 0 xy = 2 - 2x ∴y = 2
x - 2
∴4x + y = 4x + 2
x - 2 ≥2
4x⋅2
x - 2 = 4 2 - 2 当且仅当4x = 2
x ，即x =
2
2
时取“=”
12 (★★☆☆☆)求下列代数式最值，并点明最
值时的x．
1
x > 0，y = x + 1
x
∵x + 1
x ≥2
x⋅1
x = 2
当且仅当x = 1
x ，即x = 1 时取等号
2
x > 0，y = 4x + 1
x - 1
∵4x + 1
x - 1 ≥2
4x⋅1
x - 1 = 3，当
且仅当4x = 1
x ，即x = 1
2 等号成立．
A
B
C
D
H
O
28
夏• 2026 初高衔接
选择胜于努力，笃行成就未来
3
x > 1，y = x +
4
x-1
∵x > 1，∴x - 1 > 0 ∴y = x +
4
x-1
= x - 1 +
4
x-1 + 1 ≥2
(x-1)∙
4
x-1 + 1 = 5
当且仅当x - 1 =
4
x-1 即x = 3 时取等号．
5
x > 0，y = 2x2+1
x
y = 2x2+1
x
= 2x + 1
x
2x + 1
x ≥2
2x⋅1
x = 2 2
当且仅当2x = 1
x ，即x =
2
2
时取等号
7
x > 4，y = x2-7x+14
x-4
令t = x - 4，则t > 0，x = t + 4
y = (t+4)2-7(t+4)+14
t
= t2+8t+16-7t-28+14
t
= t2+t+2
t
= t + 2
t + 1 ≥2
t⋅2
t + 1 = 2 2 + 1
当且仅当t = 2
t ，即t =
2，x = 4 +
2 时取等号．
4
x >-3，y = 2x +
1
x+3
由x >-3，可得x + 3 > 0，2 x +
1
x+3
= 2(x + 3) +
1
x+3 - 6 ≥2
2(x+3)⋅
1
x+3 - 6 = 2 2
- 6，当且仅当2(x + 3) =
1
x+3 ，即x =-3 +
2
2
时取
等号．
6
x > 1，y = x2-2x+2
x-1
令t = x - 1，则t > 0，x = t + 1
y = (t+1)2-2(t+1)+2
t
= t2+1
t
= t + 1
t
t + 1
t ≥2
t⋅1
t = 2
当且仅当t = 1
t ，即t = 1，x = 2 时取等号．
8
x > 2，y = x2+5
x2-4
令t =
x2-4，则t > 0，且x2= t2+ 4
代入原式：y = (t2+4)+5
t
= t2+9
t
= t + 9
t ≥2
t⋅9
t
= 6 当且仅当t = 9
t ，即t =
x2-4 = 3 x =
13
等号成立．
13 (★★☆☆☆)设x > 0，则3 - 3x - 1
x 最大值是
( D )
A. 3
B. 3 - 2 2
C. - 1
D. 3 - 2 3
∵x > 0，∴3x + 1
x ≥2
3x⋅1
x = 2 3，当且仅当3x = 1
x ，x =
3
3
时取等成立
∴3 - 3x - 1
x = 3 - 3x+ 1
x
≤3 - 2 3
14 (★★☆☆☆)函数y = a - x - 3
x (x > 0) 在x = m 时有最大值为
3，则a - m 的值为
( C )
A. 4 3
B. 3 3
C. 2 3
D.
3
∵x > 0 时，x + 3
x ≥2
x⋅3
x = 2 3，当且仅当x = 3
x ，即x =
3 时取“=”，y = a -
x - 3
x = a - x+ 3
x
≤a - 2 3 =
3，解得a = 3 3，m =
3，所以a - m = 3 3 -
3 = 2 3．故选：C．
15 (★★☆☆☆)下列结论中正确的是
( B )
A. 当0 < x ≤2 时，x - 1
x 无最大值
B. 当x ≤-1 时，x + 1
x ≤-2
C. 当x > 1 时，x2+ 1
x2 ≥2
D. 当x ≥3 时，x +
1
x-1 的最小值为3
B：当x ≤-1 时，x + 1
x =- (-x)+ - 1
x
≤-2，当且仅当x = 1
x 即x =-1 时，取等；
C：当x > 1 时，x2+ 1
x2 ≥2
x2∙1
x2 = 2, 当且仅当x2= 1
x2 时，即x = 1 时，等号成立，故C 错误；
D：当x ≥3 时，x +
1
x-1 = (x - 1) +
1
x-1 + 1 ≥3，当且仅当x - 1 =
1
x-1 即x = 2 时，等号成立
29
夏• 2026 初高衔接
选择胜于努力，笃行成就未来
16 (★★☆☆☆)某厂家拟举行促销活动，经调查测算，该产品的年销售量(即该厂的年产量)x 万件与年
促销费用m 万元(m ≥0) 满足：x = 3 -
k
m+1 (k 为常数)，如果不搞促销活动，则该产品的年销售量只能是1
万件．已知2004 年生产该产品的固定投入为8 万元，每生产1 万件该产品需要再投入16 万元，厂家将每件产
品的销售价格定为每件产品年平均成本的1.5 倍(产品成本包括固定投入和再投入两部分资金)．
(1) 将该产品的利润y 万元表示为年促销费用m 万元的函数；
(2) 该厂家促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大？
(1) 由题意知，当m = 0 时，x = 1，∴1 = 3 - k，即k = 2，∴x = 3 -
2
m+1 ；
每件产品的销售价格为1.5 × 8+16x
x
(万元)，
∴利润函数y = x 1.5× 8+16x
x
- (8 + 16x + m)
= 4 + 8x - m = 4 + 8 3-
2
m+1
- m
=-
16
m+1 +(m+1)
+ 29(m ≥0)．
(2) 因为利润函数y =-
16
m+1 +(m+1)
+ 29(m ≥0)，
所以，当m ≥0 时，
16
m+1 + (m + 1) ≥2 16 = 8，
∴y ≤-8 + 29 = 21，当且仅当
16
m+1 = m + 1，即m = 3(万元) 时，ymax = 21(万元)．
所以，该厂家2008 年的促销费用投入3 万元时，厂家的利润最大，最大为21 万元．
17 (★★☆☆☆)为了节能减排，某企业决定安装一个可使用10 年的太阳能供电设备，并接入本企业电
网．安装这种供电设备的费用(单位：万元) 与太阳能电池板的面积(单位：平方米) 成正比，比例系数约为1
2 ．
为了保证正常用电，安装后采用太阳能和电能互补供电的模式．设在此模式下，安装后该企业每年消耗的电费
C(单位：万元) 与安装的这种太阳能电池板的面积x(单位：平方米) 之间的函数关系是C(x) = 180
x+5 (x ≥0)．
记F(单位：万元) 为该企业安装这种太阳能供电设备的费用与10 年所消耗的电费之和．
(1) 要使F 不超过60 万元，求安装太阳能电池板的面积x 的取值范围；
(2) 当x 为多少平方米时，F 取得最小值？最小值是多少万元？
(1) 记安装这种太阳能供电设备费用为y，则y = 1
2 x，
所以F = y + 180
x+5 × 10 = 1
2 x + 1800
x+5 ，x ≥0；
令F ≤60，得1
2 x + 1800
x+5 ≤60，
化简得：x2- 115x + 3000 ≤0，
得：40 ≤x ≤75；
所以安装太阳能电池板的面积x 的取值范围是{x|40 ≤x ≤75}．
(2) 由F = 1
2 x + 1800
x+5 = 1
2 (x + 5) + 1800
x+5 - 5
2 ≥2
1
2 (x+5)⋅1800
x+5 - 5
2 = 2 × 30 - 5
2 = 115
2
，
当且仅当1
2 (x + 5) = 1800
x+5 ，即x = 55 时取等号；
所以当x = 55 平方米时，F 取得最小值，最小值为115
2
万元．
30
夏• 2026 初高衔接
选择胜于努力，笃行成就未来
三基本不等式与二元最值
除了正反比例函数的最值问题，高中阶段还常会接触到二元最值题型．这类题目的出题形式较为固定：已
知两个变量x、y 满足特定方程，继而求解相关表达式的最值．这中间我们最常见的是给分式求整式的最值或
给整式求分式最值．我们在前面例题1 当中提到了一个很重要的思想：消元代换．除了利用消元思想以外，我
们应用最多的还有一个就是“齐次构造和配凑”．
齐次构造
我们将代数式中分子与分母次数保持一致的结构称为齐次分式．给分式求整式或给整式求分式中，它的分
式不一定是个齐次分式，这个时候可以通过构造的方法将分式改写为一个齐次分式，这叫齐次构造．
齐次构造与改写中我们应用最多的是“1 的改写与配凑”．
若x,y 满足：x + y = m，求分式1
x + 1
3y
①改写1：x
m + y
m = 1，②凑1 形成齐次分式：1
x + 1
3y =
1
x + 1
3y
× 1 =
1
x + 1
3y
×
x
m + y
m
若x,y 满足：x + y = m，求分式1
x + x
3y
①改写1：x
m + y
m = 1，②代换1 凑齐次分式：1
x + x
3y =
x
m + y
m
x
+ x
3y = 1
m +
y
mx + x
3y
齐次构造的类型
分子分母齐次分式
也可用方法二代换1凑齐次分式
3 (★★★☆☆) x > 0，y > 0，且x + 2y = 2，则4
x +
x+3y
3y
的最小值
3+ 4 3
3
.
变形：x + 2y = 2 4 = 2x + 4y
4
x + x+3y
3y
= 2x+4y
x
+ x+3y
3y
= 3 + 4y
x + x
3y ≥3 + 2
4y
x × x
3y = 3 + 4 3
3
当且仅当
4y
x = x
3y
x+2y=2
，即：
x=1
y= 1
2
取等
18 (★★☆☆☆)设x > 0，y > 0，求下列最值
1
x + 2y = 1，求1
x + 1
y 最小值．
1
x + 1
y = (x + 2y) 1
x + 1
y
= 1
+ x
y + 2y
x + 2 = 3 + x
y + 2y
x ≥3 + 2 2
当x
y = 2y
x
取等．
2
x + 2y = 2，求4
x + 2
y 最小值．
4
x + 2
y = 1
2
4
x + 2
y
(x + 2y) =
1
2
8+ 8y
x + 2x
y
≥1
2
8+2
8y
x ⋅2x
y
= 8
当且仅当8y
x = 2x
y ，即y = 1
2 ，x = 1 时取等．
31
夏• 2026 初高衔接
选择胜于努力，笃行成就未来
3
1
x + 2
y = 1，求2x + y 最小值．
2x + y = (2x + y) 1
x + 2
y
= 2 + 4x
y
+ y
x + 2 = 4 + 4x
y + y
x ≥4 + 2
4x
y ⋅y
x = 8
当且仅当4x
y
= y
x ，结合1
x + 2
y = 1，解得x
= 2，y = 4 时取等号．
5
2x + y = 1，求2
x + x
2y 最小值．
变形：4x + 2y = 2
4x+2y
x
+ x
2y = 4 + 2y
x + x
2y
≥4 + 2
2y
x × x
2y = 6
当且仅当
x= 2
5
y= 1
5
取等
7
x + y = 1，求x2+1
2xy
最小值．
∵x + y = 1 , ∴
x2+1
2xy
=
x2+ x+y
2
2xy
= x2+ x+y
2
2xy
= 2x2+2xy+y2
2xy
= x
y +
y
2x + 1 ≥1 + 2
x
y × y
2x = 1 +
2
当且仅当x=
2-1
y=2-
2
取等
4
3x + y = xy，求x + 2y 的最小值．
两边除以xy 得3
y + 1
x = 1
x + 2y = (x + 2y) 1
x + 3
y
= 1 + 3x
y + 2y
x + 6 = 7 +
3x
y + 2y
x ≥7 + 2 6
当且仅当3x
y
= 2y
x ，即y =
3
2 x 结合条件1
x +
3
y = 1，得x = 1 +
6，y = 3 +
6
2
取等
6
x + y = 1，求1
x + 1
xy 最小值．
变形：1
x
+
1
xy
= x+y
x
+
(x+y)2
xy
= 1 + y
x + x2+y2+2xy
xy
= 2y
x + x
y + 3
≥3 + 2
2y
x × x
y = 3 + 2 2
当且仅当x=2-
2
y=
2-1
取等
8
求2x2+xy+3y2
xy
最小值．
2x2+xy+3y2
xy
= 2x
y + 1 + 3y
x
令t = x
y > 0，原式化为2t + 3
t + 1．
由基本不等式：2t + 3
t ≥2
2t⋅3
t = 2 6
2t + 3
t + 1 ≥1 + 2 6
当且仅当2t = 3
t ，即t =
6
2 x =
6
2 y 时取等．
19 (★★☆☆☆)已知正数x，y 满足3
x + 2y = 1，则2x + 3
y 的最小值为
( B )
A. 36
B. 24
C. 18
D. 12
2x + 3
y = 2x+ 3
y
3
x +2y
= 12 + 4xy + 9
xy ≥12 + 2
4xy⋅9
xy = 24，
当且仅当4xy = 9
xy ，即y = 1
4 ，x = 6 时取等号．
20 (★★☆☆☆)已知x，y 为正实数，且x + y = 1，则x+2y+1
xy
的最小值为
( C )
A. 2 2 + 1
B. 2 2 - 1
C. 2 6 + 5
D. 2 6 - 5
因为x + y = 1，则x+2y+1
xy
= x+2y+x+y
xy
= 2x+3y
xy
= 2
y + 3
x ，
由于2
y + 3
x = (x + y) 2
y + 3
x
= 2x
y + 3 + 2 + 3y
x = 3y
x + 2x
y + 5 ≥2
3y
x ⋅2x
y
+ 5 = 2 6 + 5
当且仅当
3y
x = 2x
y
x+y=1
，即x=3-
6
y=-2+
6
时，等号成立，所以x+2y+1
xy
的最小值为2 6 + 5．
32
夏• 2026 初高衔接
选择胜于努力，笃行成就未来
21 (★★☆☆☆)已知m > 0，n > 0，m + n = 1，则1
m +
2
n+1 的最小值为
( C )
A. 1
B. 5
2 +
2
C. 3
2 +
2
D. 10
3
m + n + 1 = 2，则1
m +
2
n+1 = m+(n+1)
2
1
m +
2
n+1
= 1
2
1+2+ n+1
m
+ 2m
n+1
≥1
2 (3 + 2 2) = 3
2 +
2
22 (★★☆☆☆)若正实数x，y 满足x + y = 1，则
4
x+1 + 1
y 的最小值为
( B )
A. 3
B. 9
2
C. 4
D. 5
令m = x + 1，则x = m - 1．由x + y = 1，可得m + y = 2，即m
2 + y
2 = 1．
4
x+1 + 1
y = 4
m + 1
y =
4
m + 1
y
m
2 + y
2
= 2 + 2y
m + m
2y + 1
2 = 5
2 + 2y
m + m
2y ≥2
2y
m ⋅m
2y + 5
2 = 9
2
当且仅当2y
m = m
2y ，结合m + y = 2，解得x = 1
3 ，y = 2
3 时取等号．
23 (★★☆☆☆)若实数x>1,y> 1
2 ,x + 2y = 4，则
1
x-1 +
1
2y-1 的最小值为
( D )
A. 1
2
B. 1
C. 4
3
D. 2
令m = x - 1,n = 2y - 1，∴m + n = 2，
∴1
m + 1
n = 1
2 (m + n)
1
m + 1
n
= 1
2
1+ m
n + n
m +1
≥1
2
2+2
m
n ⋅n
m
= 2
当且仅当y = 1，x = 2 时取等号
24 (★★★☆☆)已知x > 0，y > 0，2x + y = 2，则
xy
x2+2y 的最大值为
( D )
A. 1
2
B. 2
9
C. 1
D. 1
4
因为x > 0，y > 0，且2x + y = 2，
所以
xy
x2+2y =
xy
x2+(2x+y)y =
xy
x2+2xy+y2 =
1
x
y +2+ y
x
≤
1
2+2
x
y ⋅y
x
= 1
4 ，
当且仅当x = y = 2
3 时等号成立．
25 (★★★★☆)已知x ∈(0，4)，则f(x) = 1
x +
16
4-x 的最小值为
( D )
A. 49
3
B. 17
2
C. 19
3
D. 25
4
x ∈(0，4)，-x ∈(-4，0)，4 - x ∈(0，4)，
则f(x) = 1
x +
16
4-x = 1
4
1
x + 16
4-x
(x + 4 - x)
= 1
4
17+ 4-x
x
+ 16x
4-x
≥1
4
17+2
4-x
x
× 16x
4-x
= 25
4 ，
当且仅当4-x
x
= 16x
4-x ，即x = 4
5 时等号成立，
所以f(x) = 1
x +
16
4-x 的最小值为25
4 ．
33
夏• 2026 初高衔接
选择胜于努力，笃行成就未来
1 (★☆☆☆☆)设“x 为不小于0 的实数”用区间可表示为
( B )
A. (0，+∞)
B. [0，+∞)
C. (-∞，0)
D. (-∞，0]
“x 为不小于0 的实数”是x 大于或等于0．用区间表示为[0，+∞)．
2 (多选•★★☆☆☆)已知1 ≤a ≤2，3 ≤b ≤5，则
(
BD
)
A. 4 ≤a + 2b ≤11
B. - 1 ≤b - 2a ≤3
C. 3 ≤ab ≤6
D. 1
5 ≤a
b ≤2
3
A：由1 ≤a ≤2，3 ≤b ≤5，得6 ≤2b ≤10，故7 ≤a + 2b ≤12，错；
B：由1 ≤a ≤2，3 ≤b ≤5，得-4 ≤-2a ≤-2，故-1 ≤b - 2a ≤3，对；
C：由1 ≤a ≤2，3 ≤b ≤5，得3 ≤ab ≤10，错；
D：由3 ≤b ≤5，而1 ≤a ≤2，得1
5 ≤1
b ≤1
3 ，则1
5 ≤a
b ≤2
3 ，对．
3 (多选•★★☆☆☆)下列结论正确的有
(
AD
)
A. 当x > 0 时，
x + 1
x ≥2
B. 当x > 2 时，x + 1
x 的最小值是2
C. 当x < 4
3 时，y = 3x - 2 +
1
3x-4 最小值为0
D. 当x > 0，y > 0 时，x
y + y
x ≥2
当x > 0 时，
x + 1
x ≥2
x⋅1
x = 2，当且仅当
x = 1
x ，即x = 1 时取等号，A 正
确；当x > 2 时y = x + 1
x 单增，y > 5
2 ，B 错；当x < 4
3 时，y = 3x - 2 +
1
3x-4 = 3x - 4 +
1
3x-4 + 2 =
- 4-3x+
1
4-3x
+ 2 ≤-2
(4-3x)⋅
1
4-3x + 2 = 1，当且仅当4 - 3x =
1
4-3x ，即x = 1 时取等号，此时
函数取得最大值1，C 错误；x > 0，y > 0 时，x
y + y
x ≥2
x
y ⋅y
x = 2，当且仅当x = y 时取等号，D 正确．
4 (多选•★★☆☆☆)已知a > b > 0 > c，则下列结论正确的是
( ACD )
A. a2+ bc > ac + ab
B. b
a > b-c
a-c
C.
a
b-c >
b
a-c
D. a + 1
b > 4 - b - 1
a
A：∵a2+ bc - (ac + ab) = (a2- ab) - (ac - bc) = a(a - b) - c(a - b) = (a - b) (a - c) > 0，
∴a2+ bc > ac + ab，故A 正确．
B：b
a - b-c
a-c = b(a-c)-a(b-c)
a(a-c)
= (a-b)c
a(a-c) < 0，所以b
a < b-c
a-c ，故B 错误．
C：∵a > b > 0 > c，0 <
1
a-c <
1
b-c ，又a > b > 0，所以
a
b-c >
b
a-c ，故C 正确．
D：a + 1
b - 4-b- 1
a
= a + 1
a + b + 1
b - 4 > 2
a⋅1
a + 2
b⋅1
b - 4 = 0，显然等号不成立，D 正确．
5 (★★★☆☆)已知x，y 为正实数，则y
x +
16x
2x+y 的最小值为
( C )
A. 4
B. 5
C. 6
D. 8
令t = y
x ，则t > 0，则y
x +
16x
2x+y = y
x +
16
2+ y
x
= t +
16
t+2 = t + 2 +
16
t+2 - 2 ≥
2
(t+2)⋅16
t+2 - 2 = 6，当且仅当t + 2 = 16
t+2 ，即t = 2 时取等号．
34
夏• 2026 初高衔接
选择胜于努力，笃行成就未来
6 (★★★☆☆)已知x ≥0，y > 2，且
1
x+1 +
1
y-2 = 1，则x + y 的最小值为
( A )
A. 5
B. 6
C. 7
D. 9
∵x ≥0，y > 2，则x + y = (x + 1) + (y - 2) + 1
= [(x + 1) + (y - 2)]
1
x+1 +
1
y-2
+ 1 = 3 + y-2
x+1 + x+1
y-2 ≥3 + 2
y-2
x+1 ⋅x+1
y-2 = 5，
当且仅当y-2
x+1 = x+1
y-2 ，即x = 1，y = 4 时等号成立．
7 (★★★☆☆)学习了不等式的内容后，老师布置了这样一道题：已知a > 0，b > 0，且a + b = 1，
求y = 1
a + 2
b 的最小值．李雷和韩梅梅两位同学都“巧妙地用了a + b = 1”，但结果并不相同．
李雷的解法：由于a + b = 1，∴y = 1
a + 2
b + 1 - 1 = 1
a + 2
b + a + b - 1 = a + 1
a + b + 2
b - 1，而a +
1
a ≥2
a⋅1
a = 2，b + 2
b ≥2
b⋅2
b = 2 2．那么y ≥2 + 2 2 - 1 = 1 + 2 2，则最小值为1 + 2 2．
韩梅梅的解法：由于a + b = 1，所以y = 1
a + 2
b =
1
a + 2
b
(a + b) = 3 + b
a + 2a
b ，而3 + b
a + 2a
b
≥3
+ 2
b
a ⋅2a
b
= 3 + 2 2，则最小值为3 + 2 2．
(1) 你认为哪位同学的解法正确，哪位同学的解法有错误？(错误的需说明理由)
(2) 为巩固学习效果，老师布置了另外两道题，请你解决：
(i) 已知a > 0，b > 0，c > 0，且a + b + c = 1，求证：1
a + 1
2b + 1
c ≥2 2 + 9
2 ．
(ii) 已知a > 0，b > 0，a + 2b = 1，求b2+2a+1
2ab
的最小值．
(1) 李雷的解法错误，韩梅梅的解法正确，
李雷的解法中，a + 1
a ≥2
a⋅1
a = 2，等号成立的条件是a = 1，
b + 2
b ≥2
b⋅2
b = 2 2，等号成立的条件是b =
2，
等号同时成立的条件是a = 1，b =
2，此时与已知a + b = 1 矛盾；
(2) 证明：(ⅰ) 1
a + 1
2b + 1
c = a+b+c
a
+ a+b+c
2b
+ a+b+c
c
= 5
2 + b
a + a
2b + c
a + a
c + c
2b + b
c ，
其中b
a + a
2b ≥2
b
a ⋅a
2b =
2，当a =
2b 时，等号成立，
c
a + a
c ≥2，当a = c 时，等号成立，c
2b + b
c ≥
2，当c =
2b 时，等号成立，
所以1
a + 1
2b + 1
c ≥5
2 + 2 2 + 2 = 9
2 + 2 2，
当a = c =
2b 时，等号成立．
(ⅱ) b2+2a+1
2ab
= b2+3a+2b
2ab
= b
2a + 3
2b + 1
a = b
2a + 3(a+2b)
2b
+ (a+2b)
a
= 5b
2a + 3a
2b + 4 ≥2
5b
2a ⋅3a
2b + 4 =
15 + 4，
当5b
2a = 3a
2b ，即
5b =
3a 时，等号成立，得
a= 2 15-5
7
b= 6-
15
7
，∴b2+2a+1
2ab
的最小值为
15 + 4．
35
夏• 2026 初高衔接
选择胜于努力，笃行成就未来
4
一元二次不等式与不等式通解思想
一元二次不等式与不等式通解思想
[教学重难点]
[教学目标]
[核心素养]
一元二次不等式及其变形
二次函数图像解不等式、含参分类
讨论；其它不等式的变形
直观想象、逻辑推理
简单高次不等式
用穿根法求解高次不等式，了解不
等式通解：二次不等式解法的复刻
数学运算、逻辑推理
一一元二次不等式
初中阶段我们比较系统的学习了一元二次方程与二次函数的相关知识点，了解了一元二次方程与二次函数
之间的关系：
一元二次方程是二次函数与x 轴相交的一种特殊情况，方程的解是函数与x 轴交点的横坐标。
由一次函数与一次不等式的关系可以知道：对于任意一个一元函数不等式，其含义是：
不等式> 0 对应的是函数图象在x 轴上方的情况，不等式解集为函数在x 轴上方时对应自变量的取值范围；
不等式< 0 对应的是函数图象在x 轴上方的情况，不等式解集为函数在x 轴上方时对应自变量的取值范围．
形如：ax2 + bx + c > 0(a ≠0) 的不等式称为一元二次不等式．
由一元不等式的含义，我们可以得到一元二次不等式的通用解法如下：以a > 0 为例：
求解一元二次不等式具体的步骤：
(1) 令ax2 + bx + c = 0，计算：△= b2- 4ac 当Δ > 0 时，解出方程两根x1，x2；
(2) 令y = ax2 + bx + c，作出函数草图；
(3) 根据不等式的含义翻译不等式，读取解集．
一元二次不等式解法
Δ > 0
Δ = 0
Δ < 0
y > 0
x
x1
x2
x
x0
x
x < x1或x > x2
x ≠- b
2a
全体实数
y < 0
x
x1
x2
x
x0
x
x1 < x < x2
无解集
无解集
作草图时只需画x 轴．很多
学生作函数草图习惯第一步
就画坐标系，二次函数由于
其特殊性，应先画抛物线，
再根据题意加x 轴和y 轴
．
要点补注
要点补注
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36
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1 (★☆☆☆☆)解不等式：3 + 2x - x2 ≥0
将不等式化为x2 - 2x - 3 ≤0 因式分解：(x + 1) (x - 3) ≤0
令(x + 1) (x - 3) = 0
⇒
x1=-1，x2= 3
令y = x2 - 2x - 3，作出函数草图:
x
-1
3
∴由图可得不等式的解集是-1 ≤x ≤3
1
(★☆☆☆☆)解下列不等式
(1)x2- x - 12 > 0
(2) - x2- 2x + 8 ≥0
(3) - x2- 2x + 3 ≥0
x2- x - 12 > 0
(x + 3) (x - 4) > 0
得x <-3 或x > 4
-x2- 2x + 8 ≥0
x2+ 2x - 8 ≤0
(x + 4) (x - 2) ≤0
解得-4 ≤x ≤2
-x2- 2x + 3 ≥0
x2+ 2x - 3 ≤0
即(x + 3) (x - 1) ≤0
解得-3 ≤x ≤1
(4)4x2+ 4x + 1 ≤0
(5) - 1
2 x2 + 3x - 5 > 0
(6)x2 - 2x + 2
3 < 0
4x2+ 4x + 1 ≤0
(2x + 1)2≤0
x =- 1
2
- 1
2 x2+ 3x - 5 > 0
x2- 6x + 10 < 0
(x - 3)2+ 1 < 0
无解
x2 - 2x + 2
3 < 0
x-1+
3
3
x-1-
3
3
< 0
解得1 -
3
3
< x < 1 +
3
3
2
(★☆☆☆☆)若不等式x2+ mx + 1 ≥0 的解集为R，则实数m 的取值范围是
( D )
A. [2, +∞)
B. (-∞, -2]
C. (-∞, -2] ∪[2, +∞)
D. [-2,2]
不等式x2+ mx + 1 ≥0 的解集为R，则Δ = m2- 4 ≤0
得-2 ≤m ≤2，∴实数m 的取值范围是-2 ≤m ≤2．
3
(★☆☆☆☆)若不等式2kx2+ kx - 3
8 ≥0 无解，则实数k 的取值范围是
( C )
A. (-3，0)
B. (-∞，-3)
C. (-3，0]
D. (-∞，-3) ∪(0，+∞)
①k = 0 时，- 3
8 ≥0 解集为空，
②k ≠0 时，由题意得：
2k<0
k2-4⋅2k⋅- 3
8
<0
，得：-3 < k < 0，综合①②得：-3 < k ≤0．
先将一元二次不等式的二次
项系数化为正数，然后进行
因式分解，求出方程根，利
用口诀：小于取中间，大于
取两边．
要点补注
要点补注
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37
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选择胜于努力，笃行成就未来
4 (★★☆☆☆)不等式cx2+ ax + b > 0 解集为
-1, 1
2
，则函数y = ax2+ bx - c 的图象大致为
( B )
A.
x
y
-1
2
B.
x
y
-1
2
C.
x
y
-2
1
D.
x
y
-2
1
由题意得c < 0，且-1，1
2 为cx2+ ax + b = 0 的两个根，
可得
-1+ 1
2 =- a
c
-1× 1
2 = b
c
，即a = 1
2 c，b =- 1
2 c，y = ax2+ bx - c 开口向下，对称轴为x =- b
2a = 1
2 > 0，
与y 轴交点纵坐标为-c > 0，观察所给的图象可知只有B．
5
(多选•★★☆☆☆)不等式ax2+ bx + c > 0 的解集为
- 1
2 ,2
，则下列结论正确的是
( BCD )
A. a > 0
B. b > 0
C. c > 0
D. a + b + c > 0
∵不等式ax2+ bx + c > 0 的解集
- 1
2 ,2
∴- 1
2 和2 是方程ax2+ bx + c = 0 的两个根，且a < 0，
∴
- 1
2 +2=- b
a
- 1
2 ×2= c
a
，∴b=- 3a
2
c=-a
，∴b > 0，c > 0，故A 错误，B 正确，C 正确，
∴a + b + c = a - 3a
2 - a =- 3
2 a > 0，故D 正确
6
(多选•★★☆☆☆)已知关于x 的不等式ax2+ bx + c > 0 的解集为-3,2
，则
(
AD
)
A. a < 0
B. a + b + c ≤0
C. 不等式bx + c > 0 解集为{x|x > 6}
D. 不等式cx2+ bx + a < 0 解集为x - 1
3 <x< 1
2
因为关于x 的不等式ax2+ bx + c > 0 的解集为-3,2
，
所以-3，2 是方程ax2+ bx + c = 0 的两个根，且a < 0，
所以
-3+2=- b
a
-3×2= c
a
，得b=a
c=-6a
，对于A，a < 0，正确；
对于B，因为a + b + c = a + a - 6a =-4a > 0，所以B 错误；
对于C，由bx + c > 0，得ax - 6a > 0，因为a < 0，所以x < 6，
所以不等式的解集为{x|x < 6}，所以C 错误；
对于D，由cx2+ bx + a < 0，得-6ax2+ ax + a < 0，
因为a < 0，所以6x2- x - 1 < 0，解得- 1
3 < x < 1
2 ，
所以不等式的解集为{x - 1
3 <x< 1
2
，所以D 正确．
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选择胜于努力，笃行成就未来
含参二次不等式
高中阶段与我们始终形影不离的就是含参数的问题，下面我们将学习不等式含有参数时所产生的影响．
一个含参的一元二次不等式，在判别式∆> 0(方程可因式分解) 的情况下，所对应的一元二次方程一定有
解，但是由于方程(不等式)含参，其对应的解中也会带有参数，我们要解出不等式就需要知道根的大小．由此
我们可知：含参的一元二次不等式在求解过程中需要对根的大小排布做一定的分类讨论．
2 (★★★☆☆)若a > 0，解关于x 的不等式ax2- (1 + a)x + 1 < 0．
由ax2- (1 + a)x + 1 < 0
(ax - 1) (x - 1) < 0
∵(ax - 1) (x - 1) = 0 的两根为x1 = 1，x2 = 1
a
我们要得到不等式具体的解集，需知道两根的大小排布
∵a > 0
二次函数开口向上
①当x1 = x2，即a = 1 时，
②当x1 < x2，即0 < a < 1 时，
③当x1 > x2，即a > 1 时
x
1
1
1
a x
1
1
a
x
综上所述：当0 < a < 1 时，不等式解集为1<x< 1
a ；当a = 1 时，不等式无解；
当a > 1 时，不等式解集为1
a <x<1
7
(多选•★★☆☆☆)关于实数x 的一元二次不等式a(x - a) (x - 2) < 0 的解集可能为
( BCD )
A. (-∞，2) ∪(a，+∞)
B. (-∞，a) ∪(2，+∞)
C. (2，a)
D. (a，2)
①当a = 0 时，不等式化为0 < 0，无解
②当a > 0 时，不等式化为(x - a) (x - 2) < 0，若0 < a < 2，则不等式的解集为(a，2)
若a = 2，则不等式无解；若a > 2，则不等式的解集为(2，a)
③当a < 0 时，不等式化为(x - a) (x - 2) > 0，解得(-∞，a) ∪(2，+∞)
8
(★★☆☆☆)关于x 的不等式ax2+ (2a - 1)x - 2 > 0，其中a ≤0，该不等式的解集不可能是
( C )
A. (-∞，-2)
B.
-2，1
a
C. (-∞，-2) ∪
1
a ，+∞
D.
1
a ，-2
关于x 的不等式ax2+ (2a - 1)x - 2 > 0，其中a ≤0，
当a = 0 时，不等式ax2+ (2a - 1)x - 2 > 0，即-x - 2 > 0，x <-2，故A 可能；
当a < 0 时，ax2 + (2a - 1)x - 2 = a(x + 2) x- 1
a
> 0，即(x + 2) x- 1
a
< 0，
当a ∈- 1
2 ，0
时，(x + 2) x- 1
a
< 0 的解集为
1
a ，-2
，故D 可能；
当a =- 1
2 时，不等式(x + 2) x- 1
a
< 0 无解，故C 不可能；
当a ∈-∞，- 1
2
时，(x + 2) x- 1
a
< 0 的解集为-2，1
a
，故B 可能．
如果去掉a > 0 这个
条件如何讨论？类似
详见第10 题．
要点补注
要点补注
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39
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选择胜于努力，笃行成就未来
9
(★★☆☆☆)已知函数y = ax2- (2a - 1)x - 2．
(1) 当a < 0 时，讨论关于x 的不等式f(x) > 0 的解集；
(2) 若关于x 的方程y = 0 有两个不等实根x1，x2，且x1< 1 < x2，求a 的取值范围．
(1) 当a < 0 时，由y = ax2- (2a - 1)x - 2 > 0 可得(ax + 1) (x - 2) > 0
方程(ax + 1) (x - 2) = 0 的两根分别为- 1
a 、2，
当- 1
a > 2 时，即当- 1
2 < a < 0 时，解原不等式可得2，- 1
a
；
当- 1
a = 2 时，即当a =- 1
2 时，原不等式即为- 1
2 (x - 2)2 > 0，该不等式无解；
当0 <- 1
a < 2 时，即当a <- 1
2 时，解原不等式可得- 1
a ，2
．
(2) 因为关于x 的方程y = 0 有两个不等实根x1、x2，则a ≠0，且x1< 1 < x2
由y = ax2- (2a - 1)x - 2 = (ax + 1) (x - 2) = 0，可得x1 =- 1
a ，x2= 2
所以- 1
a < 1，即a+1
a
> 0，等价于a(a + 1) > 0，解得a <-1 或a > 0
综上所述，实数a 的取值范围是(-∞，-1) ∪(0，+∞)．
10 (★★★☆☆)设y = ax2- (a + 1)x + 1．
1
讨论不等式y ≥0 的解集．
(2) 若关于x 的不等式ax2- (a + 1)x + 1 < 0 的解集中的整数恰有3 个，求a 的取值范围．
(1) 当a = 0 时，原不等式退化为一元一次不等式-x + 1 ≥0 x ≤1, 解集：(-∞,1]
当a > 0 时，方程(ax - 1) (x - 1) = 0 的两根为x1= 1
a ，x2= 1，开口向上．
- 若a = 1：不等式为(x - 1)2≥0，解集：全体实数
- 若0 < a < 1：1
a > 1，解集：(-∞,1] ∪
1
a ,+∞
- 若a > 1：1
a < 1，解集：-∞, 1
a
∪[1, +∞)
当a < 0 时开口向下，两根为x1= 1
a （负数），x2= 1，且1
a < 1．
不等式(ax - 1) (x - 1) ≥0 等价于(x - 1
a ) (x - 1) ≤0，解集：
1
a ,1
(2) 原不等式等价于(ax - 1) (x - 1) < 0，分类讨论：
当a = 0 时，不等式的解集为(1，+∞)，整数不止3 个，
当a ≠0 时，方程(ax - 1) (x - 1) = 0 的两根为1
a 和1，且1
a - 1 = 1-a
a
，
①当0 < a < 1 时，不等式的解集为1，1
a
，此时4 < 1
a ≤5 满足条件，得1
5 ≤a < 1
4 ；
②当a = 1 时，不等式的解集为∅；
③当a > 1 时，不等式的解集为
1
a ，1
，不满足题意；
④当a < 0 时，不等式的解集为-∞，1
a
∪(1，+∞)，整数不止3 个．
综上，a 的取值范围是
1
5 ，1
4
．
40
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选择胜于努力，笃行成就未来
二分式与绝对值不等式
在高中不等式内容中，除了常规的一元二次不等式，还有分式不等式和绝对值不等式．我们可以对这两类
式子做等价转化，将其化为一元二次不等式来求解．
分式不等式
形如ax+b
cx+d < 0 的不等式称为分式不等式．
我们知道：若a,b 同号，则有b
a > 0 a ∙b > 0；若a,b 异号，则有b
a < 0 a ∙b < 0
由此可得分式型不等式可转化为整式型不等式处理．变形中需要注意分式有意义的条件约束．即：
①ax+b
cx+d < 0 (ax + b) (cx + d) < 0
②ax+b
cx+d > 0 (ax + b) (cx + d) > 0
③ax+b
cx+d ≤0
(ax+b)(cx+d)≤0
cx+d≠0
④ax+b
cx+d ≥0
(ax+b)(cx+d)≥0
cx+d≠0
绝对值不等式
形如ax+b
< c，c > 0 的不等式称为绝对值不等式．通过对其左右两侧同时平方将其转化为一元二
次不等式求解．即：
|ax + b| < c (ax + b)2< c2 a2x2+ 2abx + b2- c2< 0
分式与绝对值不等式
3 (2025 ∙新高考Ⅱ卷•★☆☆☆☆)不等式x-4
x-1 ≥2 的解集是
( C )
A. [-2,1]
B. (-∞, -2]
C. [-2,1)
D. (1, +∞)
x-4
x-1 ≥2 x-4
x-1 - 2 ≥0 -x-2
x-1
≥0
- x+2
x-1
≥0
x-1≠0
-2 ≤x < 1.
11 (★☆☆☆☆)解下列不等式
(1)
x
x-1 ≤0
x(x-1)≤0
x-1≠0
解得0 ≤x < 1 解集：[0,1)
3
x-3
x+1 ≤0
等价于
(x-3)(x+1)≤0
x+1≠0
解得-1 < x ≤3
解集：(-1,3]
(2) 5
x > 1
5-x
x
> 0
⇒x(x - 5) < 0 ⇒0 < x < 5
(4) 2x-3
x+1 > 0
2x-3
x+1 > 0
⇒(2x - 3) (x + 1) > 0
解集：(-∞, -1) ∪
3
2 ,+∞
41
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选择胜于努力，笃行成就未来
(5)
1
x+2 ≤3
⇒
1
x+2 - 3 ≤0
⇒-3x-5
x+2
≤0 ⇒3x+5
x+2 ≥0
⇒
(3x+5)(x+2)≥0
x+2≠0
⇒x <-2 或x ≥- 5
3
7
|2x + 1| ≤3
两边平方得：(2x + 1)2≤9
4x2+ 4x + 1 ≤9 4x2+ 4x - 8 ≤0
两边同除以4：x2+ x - 2 ≤0
因式分解：(x + 2) (x - 1) ≤0
解得：-2 ≤x ≤1，解集：[-2,1]
(6) 2x-1
x+2
≥3
2x-1
x+2 - 3 ≥0
⇒x+7
x+2 ≤0 ⇒x+2≠0
x+7
x+2
≤0
⇒-7 ≤x <-2
(8)|3x - 2| > 4
两边平方求解：(3x - 2)
2> 16
9x
2- 12x + 4 > 16 9x
2- 12x - 12 > 0
3x
2- 4x - 4 > 0
(3x + 2) (x - 2) > 0
解得：x <- 2
3 或x > 2
12 (★★☆☆☆)解关于x 的不等式x-a
x-a2 < 0．
原不等式等价于(x - a) (x - a2) < 0
①若a = 0，不等式化为x2< 0，解集：无解
②若a = 1，不等式化为(x - 1)2< 0，解集：无解
③若0 < a < 1，则a2< a，解集：(a2,a)
④若a < 0 或a > 1，则a2> a，解集：(a,a2)
三简单高次不等式
形如(x - x1) (x - x2) ⋅⋅⋅(x - xn) > 0(< 0) 形式的不等式称之为高次不等式．
通过前面的学习，我们知道求一元不等式的核心方法是借助数形结合思想从函数图上直接去解读，由两个
要素：①确定简单高次方程的根(即确定函数与x 轴的交点)；②确定函数图象的走势．通过数形结合的方式，
直观读取不等式的解集．
1 将不等式化为(x - x1) (x - x2) ⋅⋅⋅(x - xn) > 0，并将各因式x 的系数化“+”；
2 令(x - x1) (x - x2) ⋅⋅⋅(x - xn) = 0, 求出方程根，并在数轴上从小到大标示出来；
3 在根分出数轴的多个区间上随机选取一个区间，并在该区间取一个数x0，代入(x - x1) (x - x2) ⋅⋅⋅(x -
xn)，若此时该代数式为正值，说明该区间图象在x 轴上方，为负值，则说明图象在x 轴下方。
4 因式(x - x1)n中，n 为奇数时，曲线在x1 点处穿过数轴；n 为偶数时，曲线在x1 点处不穿过数轴，归
纳为“奇穿偶不穿”。利用穿根确定其它几个区间上图象的情况，可得高次不等式对应函数的草图。
⑤若不等式(x 的系数化“+”后) 是“> 0”，则找“线”在x 轴上方的区间；若不等式是“< 0”，则找
“线”在x 轴下方的区间即可得到高次不等式的解集．
数轴穿根法求解集
42
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选择胜于努力，笃行成就未来
4 (★★☆☆☆)解不等式：(x - 2)2(x - 3)3(x + 1) < 0
①检查各因式中x 的符号均正
②求得相应方程的根为：-1，2，3
③在数轴上标出各根并穿线，每根穿一次
如图：∴不等式的解集为：-1 < x < 2 或2 < x < 3.
13 (★★☆☆☆)解下列不等式：
1
(x - 1) (x + 2) (x - 3) > 0
(2)x - 2 < 3
x
①(x - 1) (x + 2) (x - 3) = 0 的根-2，1，3
②令x = 0，y = (0 - 1) (0 + 2) (0 - 3) > 0
x
0
1
3
-2
由奇穿偶不穿知：在x =-2 时，x+2
次数为是奇数
∴图象会穿过x =-2，同理图象也会穿x = 1 和x = 3
由图可不等式解集-2 < x < 1 或x > 3
(3)
x3-1
(x+2)(x-3) ≥0
(4) -x2+x+2
x-3
≥0
(3) (x-1)(x2+x+1)
(x+2)(x-3)
≥0
(x+2)(x-1)(x-3)≥0
x≠-2且x≠3
x
1
-2
3
∴原不等式的解集为-2 < x ≤1 或x > 3．
14 (原创•★★☆☆☆)某企业生产一款产品，固定成本为2 万元，每生产x 千件产品，可变成本为(x3 -
2x2+ 3x) 万元，该产品每千件售价5 万元，产量满足0 < x ≤4．
(1) 写出生产x 千件产品的利润函数L(x)；
(2) 若要求利润不低于2 万元，求产量x 的取值范围．
(1) 利润= 销售收入- 固定成本- 可变成本
L(x) = 5x - 2 - (x3- 2x2+ 3x) = 5x - 2 - x3+ 2x2- 3x =-x3+ 2x2+ 2x - 2
(2) 由题意L(x) ≥2，代入得：-x3+ 2x2+ 2x - 2 ≥2
移项整理：-x3+ 2x2+ 2x - 4 ≥0，两边同乘-1，不等号方向改变：x3- 2x2- 2x + 4 ≤0
因式分解（分组分解）x3- 2x2- 2x + 4 = x2(x - 2) - 2(x - 2) = (x2- 2) (x - 2)
= (x +
2) (x -
2) (x - 2) 原不等式化为：(x +
2) (x -
2) (x - 2) ≤0
穿根法求解：1. 求零点：x =- 2，x =
2，x = 2，三个均为一次单根（奇次根），遵循奇穿偶不穿；
2. 结合题目定义域：0 < x ≤4，只需分析区间(0,4]；
3. 数轴标根并穿线，取数轴下方及零点部分：结合定义域0 < x ≤4，解得：
2 ≤x ≤2
x
-1
0
2
3
(2) x2-2x-3
x
< 0x(x + 1) (x - 3) < 0
x
-1
0
3
x <-1 或0 < x < 3
∴原不等式的解集为x <-1 或0 < x < 3．
(4) 原不等式等价于
(x+1)(x-2)
x-3
≤0
x-3≠0
(x + 1) (x - 2) x-3
≤0
x
-1
2
3
由穿根法可得解集为：(-∞, -1] ∪[2,3)
43
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1 (★☆☆☆☆)解下列不等式．
(1)x2- 3x + 2 ≤0
(2) - 2x2+ 5x + 7 ≥0
(3)2 + 3x - 2x2> 0
x2- 3x + 2 ≤0
⇒(x - 2) (x - 1) ≤0
⇒1 ≤x ≤2
-2x2+ 5x + 7 ≥0
⇒2x2- 5x - 7 ≤0
⇒(x + 1) (2x - 7) ≤0
⇒-1 ≤x ≤7
2
2 + 3x - 2x2> 0
⇒2x2- 3x - 2 < 0
⇒(2x + 1) (x - 2) < 0
⇒- 1
2 <x<2
(4) 2x-1
x+2 ≥1
(5) 2-3x
x-1 > 0
(6) -3x-1
x+1
> 0
2x-1
x+2 ≥1
⇒x-3
x+2 ≥0
⇒
(x-3)(x+2)≥0
x+2≠0
⇒x <-2 或x ≥3
2-3x
x-1 > 0
⇒3x-2
x-1 < 0
⇒x-1
3x-2
< 0
⇒2
3 <x<1
-3x-1
x+1
> 0
⇒
x+ 1
3
x+1 < 0
⇒x+ 1
3
(x + 1) < 0
⇒-1 < x <- 1
3
2 (多选•★☆☆☆☆)下列不等式的解集不是R 的是
( ABD )
A. - x2+ x + 1 ≥0
B. x2 - 2 5x +
5 > 0
C. x2+ 6x + 10 > 0
D. 2x2- 3x + 4 < 0
A，由-x2+ x + 1 ≥0，得x2- x - 1 ≤0，得1-
5
2
≤x ≤1+
5
2
，所以A 正确；
B，由x2 - 2 5x +
5 > 0，解得x <
5 -
5-
5 或x >
5 +
5-
5 ，所以B 正确；
C，x2+ 6x + 10 > 0，因为Δ = 36 - 40 =-4 < 0，
所以不等式x2+ 6x + 10 > 0 的解集为R，所以C 错误；
D，2x2- 3x + 4 < 0，因为Δ = 9 - 32 =-23 < 0，
所以不等式2x2- 3x + 4 < 0 的解集为∅，所以D 正确．故选：ABD．
3 (多选•★★☆☆☆)关于x 的不等式ax2+ bx + c > 0 的解集为(-∞，-2) ∪(3，+∞)，则
(
BC
)
A. a < 0
B. 不等式bx - c > 0 的解集为x < 6
C. 4a + 2b + c < 0
D. 不等式ax2- bx + a ≥0 的解集为- 1
3 ，1
2
∵不等式ax2+ bx + c > 0 的解集为(-∞，-2) ∪(3，+∞)，
∴
a>0
-2+3=- b
a
-2×3= c
a
，即b =-a，c =-6a(a > 0)；故选项A 错误；
bx - c > 0 ⇒x - 6 < 0，故bx - c > 0 解集为x < 6，B 正确；
4a + 2b + c = 4a - 2a - 6a =-4a < 0，C 正确；ax2 - bx + a ≥0 ⇒ax2 + ax + a ≥0 ⇒x2 + x + 1 ≥0，⇒x 为
全体实数，故D 错误；故选：BC．
44
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4 (★★☆☆☆)已知关于x 的不等式ax2+ bx + 2 > 0 的解集为-1,2
．
(1) 求实数a，b 的值；
(2) 讨论关于x 的不等式ax2+ bx + 2 <- (m + 1)x + 2m + 2 的解集．
(1) 根据题意，可得ax2+ bx + 2 = 0 的根为x1=-1，x2= 2，
所以
b
a =-1+2
2
a =-1×2
，解得a =-1，b = 1；
(2) 由(1) 可知，不等式ax2+ bx + 2 <- (m + 1)x + 2m + 2，
即为-x2+ x + 2 <- (m + 1)x + 2m + 2，
整理得x2- (m + 2)x + 2m > 0，即(x - m) (x - 2) > 0，
当m = 2 时，原不等式化为(x - 2)2> 0，解集为(-∞，2) ∪(2，+∞)；
当m < 2 时，原不等式解集为(-∞，m) ∪(2，+∞)；
当m > 2 时，原不等式解集为(-∞，2) ∪(m，+∞)；
综上所述，当m = 2 时，解集为(-∞，2) ∪(2，+∞)；
当m < 2 时，解集为(-∞，m) ∪(2，+∞)；
当m > 2 时，解集为(-∞，2) ∪(m，+∞)．
5 (★★★☆☆)已知关于x 的不等式ax2+ 3x + 2 > 0．
(1) 若a = 1，求不等式的解集；
(2) 若不等式的解集为b,1
，
(i) 求实数a，b 的值；
(ii) 讨论关于x 的不等式abx2- mx - m2≤0 的解集．
(1) 当a = 1 时，不等式为x2+ 3x + 2 > 0，
即(x + 1) (x + 2) > 0，解得x <-2 或x >-1，
所以不等式的解集为(-∞，-2) ∪(-1，+∞)．
(2) (i) 已知解集为{x|b < x < 1}，即ax2+ 3x + 2 > 0 的解集为(b，1)，
说明二次函数y = ax2+ 3x + 2 的开口向下(a < 0)，且方程ax2+ 3x + 2 = 0 的根为x1= b 和x2= 1，
所以b + 1 =- 3
a ，b ⋅1 = 2
a ，联立解得a =-5，b =- 2
5 ．
(ii) 由a =-5，b =- 2
5 ，得ab = 2，不等式化为2x2- mx - m2≤0，即(2x + m) (x - m) ≤0，
因为方程2x2- mx - m2= 0 的根为x1 =- m
2 和x2= m．
所以当m > 0 时，- m
2 < m，不等式的解集为- m
2 ，m
；
当m = 0 时，不等式为2x2≤0，不等式的解集为{0}；
当m < 0 时，- m
2 > m，不等式的解集为m，- m
2
．
经过第一章代数式、方程与不等式的代数基础铺垫，我们
正式迈入高中数学核心板块——函数的学习．本章搭建起函数
学习的两层底层基石：集合与常用逻辑用语，再系统拆解函数
的定义、表达与基础图象性质，实现从代数运算到变量对应关
系的思维过渡．
集合是刻画变量范围、定义域值域、解集的标准数学语
言，所有函数的取值范围、区间限定都依托集合体系表达；充
分必要条件、全称与存在量词等逻辑用语，帮我们严谨区分命
题关系，读懂函数恒成立、存在性类题型的核心要求。在此基
础上，我们重新定义函数，梳理三要素、解析式求法、图象变
换、单调性、奇偶性等初等核心性质，建立“文字描述—代数
表达式—几何图象”三位一体的分析思路．
第二章
函数描述与性质
46
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5
元素与集合
[教学重难点]
[教学目标]
[核心素养]
元素与集合的概念
分清元素、集合，熟练判断元素归
属；掌握互异性、确定性、无序性
数学抽象、逻辑推理
集合的描述
熟练选用合适形式描述集合，实现
两种表示法互相转换
数学抽象
一元素与集合的概念
◎情境1：说到集合，相信同学对这个名词并不陌生，我们一定在某个场合下听到过“集合”这个词．
♦问题：军训时，我们经常听到教官下达“集合”的口令，例如: “高一（1）班全体学生，集合！”这里所
谈到的“集合”有什么特点？“高一（1）班的高个子男生，集合！”这样的口令教官能下达吗？为什么？
这里我们就能摸到集合的第一个关键：集合里的元素必须是确定的，不能模糊不清，称为确定性．
◎情境2: 高一（1）班全体同学参加校运会进场方阵.
♦问题：同学们会通过变换方阵展示高一（1）班风采。方阵变换前后，高一1
班同学只是位置改变了是吗？
这就是集合第二个关键：集合只看“包含哪些元素”，不看“元素的排列顺序”，称为无序性．
由上面的三个情景，请判断下列实例能否组成集合，并说明理由．
(1) 我国著名的数学家
( û )
(2) 全校身高超过185cm 的部分女生
( ü )
(3) 方程x2- 1 = 0 的所有实数根
( ü )
(4) 大于-5 的所有负数
( ü )
(5) 1 到10 之间的所有偶数
( ü )
集合是一个语言概念(上述的5 个例子)，而数学强调的是严密的逻辑推理与表达，所以对于与数有关的内
容(例如上述例子2，3，4，5)，我们需要用一套理论与方法对他们的表达进行规范与简化．
元素
一般地，把研究的对象称为元素，(即初中统计学的个体)常用小写拉丁字母a，b，c，… 表示.
集合
把一些元素组成的总体叫做集合(简称集). 用大写拉丁字母A、B、C… 表示.
元素特性
从前面的情景中，我们可以感知到一个集合要成立，其集合内部的元素满足：确定性、无序性、互异性．
47
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1
(多选∙★☆☆☆☆)下列能构成集合的是
(
BC
)
A. 数学必修一课本中所有的难题；
B. 本班16 岁以下的全体同学；
C. 方程x - 4 = 0 的所有解；
D.
2 的近似值的全体．
A 不能，“难题”无法确定具体范围，不构成集合．B 能，能确定具体范围．C 能，x - 4 解为
x = 4，是确定的，能组成集合．D 不能，集合具有确定性，对“近似”的精确度没有明确，不能组成集合
2
(★☆☆☆☆)下列四组对象中能构成集合的是
( D )
A. 昆明八中学习好的学生
B. 在数轴上与原点非常近的点
C. 很小的实数
D. 倒数等于本身的数
∵集合中的元素具有确定性，而对于A，B，C，学习好、非常近、很小都是模糊的概念，
没有明确的标准，不符合确定性；∴A，B，C 错误，对于D，符合集合的定义，D 正确，故选：D．
3
(★☆☆☆☆)若△ABC 的三边长a，b，c 可构成集合M，则△ABC 不可能是
( D )
A. 锐角三角形
B. 直角三角形
C. 钝角三角形
D. 等腰直角三角形
由元素的互异性可知，M 中的元素a，b，c 两两不相等，∴△ABC 不可能是等腰三角形
元素与集合的关系
如果a 是集合A 的元素，就说a 属于集合A，记作：a ∈A；
如果a 不是集合A 的元素，就说a 不属于集合A，记作：a ∉A
常用数集
常用数集
自然数集
正整数集
整数集
有理数集
实数集
记法
N
N∗或N+
Z
Q
R
1 (★☆☆☆☆)①1
2 ∈R；②
2 ∈Q；③| -3| ∈N；④| - 3| ∈Z；⑤0 ∉N，正确的有几个
( B )
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
①1
2 ∈R，正确；②
2 ∈Q，错误；③| -3| ∈N，正确；④| - 3| ∈Z，错误；⑤0 ∉N，
错误，正确2．
4 (★☆☆☆☆)下列关系中正确的是
( C )
A.
2 ∉R
B. 0 ∈N *
C. 1
3 ∈Q
D.
π2 ∈Z
A．
2 ∈实数，∴A 错；B. N * 是正整数集，可知0 ∉N *，∴B 错, 1
3 是有理数，∴C 正
确；
π2 = π 是无理数，Z 是正整数集，∴D 错；故选：C．
48
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二集合的描述
自然语言法
用文字叙述的形式描述集合的方法叫做自然语言法．
典例：云南昆明海拔1000m 以上的山有五华山、盘龙区长虫山、西山区西山、金殿、碧鸡山∙∙∙
图示法（Venn 图）
在数学中，我们经常用平面上封闭曲线的内部表示集合，这种图称为Venn 图．
A
1, 2, 3, 4
A
B
列举法
把集合的所有元素一一列举出来，并用花括号“
”括起来表示集合的方法叫做列举法．
2 (★☆☆☆☆)请应用列举法写出奇数集合．
A = {…，-3，-1，1，3，5，…}
使用列举法时，需要注意以下几点：
(1) 元素间用“，”分隔开并且元素不能重复；
(2) 元素无顺序，如集合1,3,5,7
与集合3,1,5,7
表示同一个集合；
(3) 对于含较多元素的集合，如果构成该集合的元素有明显规律，可用列举法，但是必须把元素间的规律
表述清楚后才能用省略号．
5
(★☆☆☆☆)用列举法表示下列集合：
(1) 方程x2- x - 2 = 0 的解集；
∵方程x2 - x - 2 = 0 的根是-1，
2
∴用列举法表示为{-1，2}．
(3) 大于-1 且小于7 的所有整数组成的集合．
∵大于-1 且小于7 的整数有0，
1，2，3，4，5，6，
∴用列举法表示为{0，1，2，3，4，5，6}
(2) 大于0 且小于10 的所有奇数组成的集合；
大于0 且小于10 的所有奇数组成
的集合为{1，3，5，7，9}，
(4) 算术平方根为小于5 的整数所组成的集合．
设算术平方根为小于5 的整数为
x，则
x < 5，∵
x ∈Z，∴
x = 0，1，2，3，
4，∴x = 0，1，4，9，16，∴算术平方根为小于
5 整数组成的集合为{0，1，4，9，16}．
49
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6
(★★☆☆☆)方程x2- 4|x| -12 = 0 的解集是
( C )
A. {-2，2，-6，6}
B. {-2，2}
C. {-6，6}
D. {6}
原方程变为：(|x| -6) (|x| +2) = 0，
∴|x| = 6，x =±6，∴原方程的解集是：{-6，6}．
7
(★★☆☆☆)已知集合A = {0，a，a2}，且1 ∈A，则a =
( B )
A. 1
B. - 1
C. ± 1
D. 0
集合A = {0，a，a2}，∴a ≠a2，解得a ≠0，1．
∵1 ∈A，∴a2= 1，a ≠1，则a =-1．
8
(★★★☆☆)设a，b ∈R，集合0，b，b
a
= {1，a，a + b}，则a + 2b =
( A )
A. 1
B. 0
C. - 1
D. 不确定
∵0，b，b
a
= {1，a，a + b}，而a ≠0，∴a + b = 0，b
a =-1，从而b = 1，a =-1，
可得a + 2b = 1，故选：A．
9
(★★★★★)设非空集合A 中的元素都是实数，且满足：若m ∈A(m ≠0，m ≠1)，则
1
1-m ∈A．
(1) 若-1 ∈A，求出A 中的另外两个元素；
(2) 证明A 中至少有三个元素；
(3) 若A 中的元素个数不超过7 个，且其中一个元素为4，所有元素的积恰好等于A 中某个元素的平方，求
集合A．
(1) ∵-1 ∈A，∴
1
1-(-1) = 1
2 ∈A；又∵1
2 ∈A，∴
1
1- 1
2
= 2 ∈A，故A 中的另外两
个元素为1
2 和2．
(2) 证明：设m ∈A(m ≠0 且m ≠1)，则
1
1-m ∈A，进而
1
1-
1
1-m
= m-1
m
∈A．
假设m =
1
1-m ，则m2- m + 1 = 0，此方程无实数根，故m ≠
1
1-m ；
假设m = m-1
m
，则m2- m + 1 = 0，此方程无实数根，故m ≠m-1
m
；
假设
1
1-m = m-1
m
，则m2- m + 1 = 0，此方程无实数根，故
1
1-m ≠m-1
m
．
因此m、
1
1-m 、m-1
m
互不相同，即A 中至少有三个元素．
(3) 由定义，若a ∈A(a ≠0，1)，则
1
1-a ∈A，a-1
a
∈A，且a、
1
1-a 、a-1
a
互不相等，构成一个
“三元循环组”．已知4 ∈A，则其对应的三元循环组为4，- 1
3 ，3
4
，该组元素的积为4 × - 1
3
× 3
4 =
-1．设另一三元循环组为b，
1
1-b ，b-1
b
b≠4，- 1
3 ，3
4 ，0，1
，其元素的积为b ×
1
1-b × b-1
b
=
-1．因此，集合A 的所有元素的积为(-1) × (-1) = 1，而1 是自身的平方，符合“所有元素的积恰好等于A
中某个元素的平方” 的条件．故可取b =- 1 ，则其对应的三元循环组为
-1，1
2 ，2
，该组与
4，- 1
3 ，3
4
无交集，且元素个数为6(不超过7)．故集合A = -1，1
2 ，2，4，- 1
3 ，3
4
．
50
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描述法
一般地，设A 是一个集合，我们把集合A 中所有具有共同特征P(x) 的元素x 所组成的集合表示为
x∈A|P(x)
，这种表示集合的方法称为描述法.
3 (★☆☆☆☆)写出下列集合．
1
不等式x - 7 < 3 的解集
2
奇数集
1
A = x∈R|x-7<3
；
2
A = x∈Z|x=2k+1,k∈Z
或x∈Z|x=2k-1,k∈Z
；
使用描述法时要注意一下几点：
(1) 若集合中x 属于实数集时，可以简写，即x∈R|x>1
可以写为x|x>1
;
(2) 所有描述的内容都要写在花括号内，如“ x∈Z|x=2m
,m ∈N”不符合要求，应将“m ∈N”写进
“
”中，即x∈Z|x=2m,m∈N
；
(3) 多层描述时，应当准确适用“且”“或”等表示元素之间关系的词语，如x|x>1或x<-2
．
10 (★★☆☆☆)用列举法表示下列集合
(1)A = {x ∈N * |x 是15 的约数}
列举法表示为A = {1，3，5，
15}
(3)A = {x|x2- 2x - 8 = 0}
列举法表示为A = {-2，4}
(5)A = {x|x 为不大于10 的正偶数}
列举法表示为A = {2，4，6，
8，10}
(2)A = {a|1 ≤a < 5，a ∈N}
列举法表示为A = {1，2，3，4}
(4)A = x∈N
16
9-x ∈N
列举法表示为A = {1，5，7，8}
(6)A = {(x，y)|x ∈{1，2}，y ∈{1，2}}．
列举法表示为A = {(1，1)，(1，
2)，(2，1)，(2，2)}
11 (★★☆☆☆)用描述法表示下列集合
(1) 所有被3 整除的整数组成的集合A
所有被3 整除的整数组成的集合为
A = {x|x = 3k，k ∈Z}；
(3) 不等式2x - 3 > 5 的解集A
不等式2x - 3 > 5 的解集为A = {x|x > 4，
x ∈R}；
(5) 方程x2- x + 1 = 0 所有实数解组成的集合A
方程x2 - x + 1 = 0 的所有实数解组成的集
合为A = {x|x2- x + 1 = 0，x ∈R}；
(2) 抛物线y =-x2+ 3x - 6 上的点组成的集合A
抛物线y =-x2 + 3x - 6 上所有点组成的集
合为A = {(x，y)|y =-x2+ 3x - 6}；
(4) 集合A = {1，3，5，7，9}
集合A = {1，3，5，7，9} 为
A = {x|x = 2n - 1，1 ≤n ≤5 且n ∈N*}．
(6) 集合A = { 1
3 ，2
4 ，3
5 ，4
6 ，5
7 }
A = {x|x =
n
n+2 , n ∈N 且1 ≤n ≤5}
51
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12 (★☆☆☆☆)集合A = {x ∈Z| -1 < x < 3} 的元素个数是
( C )
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
∵集合A = {x ∈Z| -1 < x < 3} = {0，1，2}，∴集合A 中元素的个数是3．
13 (★☆☆☆☆)已知集合A = {-1，0，1，2}，集合B = {y|y = |x|，x ∈A}，则B =
( C )
A. {-1}
B. {1，2}
C. {0，1，2}
D. {-1，0，1，2}
y = |x|，x ∈A，所以当x =-1、1 时，y = 1；
当x = 0 时，y = 0；当x = 2 时，y = 2，故集合B = {0，1，2}．
14 (★★☆☆☆) M = {1，2，3}，N = {(x，y)|x ∈M，y ∈M，x + y ∈M}，N 中元素个数为
( B )
A. 2
B. 3
C. 8
D. 9
因为M = {1，2，3}，x ∈M，y ∈M，
点(x，y) 的所有可能如下：(1，1)，(1，2)，(1，3)，(2，1)，(2，2)，(2，3)，(3，1)，(3，2)，
(3，3)，其中x + y ∈M 的情况有：(1，1)，(1，2)，(2，1) 共3 个．
15 (★★★☆☆)集合A = {x|2mx - 3 > 0，m ∈R}，若1 ∉A 且3 ∈A，则m 的取值范围是
( A )
A.
1
2 ，3
2
B.
1
2 ，3
2
C.
3
2 ，+∞
D.
-∞，1
2
由题意集合A = {x|2mx - 3 > 0，m ∈R}，1 ∉A 且3 ∈A，
可得2m-3≤0，
6m-3>0，
得1
2 < m ≤3
2 ，即实数m 的取值范围是
1
2 ，3
2
．
16 (★★★☆☆)不等式ax2+ bx + c > 0 解集{x| -1 < x < 6}，则不等式cx2+ bx + a < 0 解集
( B )
A. {x - 1
2 <x<3
B.
x -1<x< 1
6
C. {x|x > 1
6 或x <-1}
D. {x|x > 3 或x <-2}
根据题意方程ax2 + bx + c = 0 的两根为-1 和6，则有
- b
a =5
c
a =-6
且a < 0，得
b=-5a
c=-6a
，
cx2+ bx + a < 0 即-6ax2- 5ax + a < 0，即6x2+ 5x - 1 < 0，得：-1 < x < 1
6 ，不等式解集为-1，1
6
，
17 (★★☆☆☆)已知集合A = {x|ax2- 3x + 2 = 0}，其中a 为常数，且a ∈R．
(1) 若A 中至少有一个元素，求a 的取值范围；
(2) 若A 中至多有一个元素，求a 的取值范围．
(1)a = 0，由-3x + 2 = 0，解得x = 2
3 ，满足题意，因此a = 0．
a ≠0 时，∵A 中至少有一个元素，∴Δ = 9 - 8a ≥0，解得a ≤9
8 ，a ≠0．
综上可得：a 的取值范围是-∞，9
8
．
(2)a = 0，由-3x + 2 = 0，解得x = 2
3 ，满足题意，因此a = 0．
a ≠0 时，∵A 中至多有一个元素，∴Δ = 9 - 8a ≤0，解得a ≥9
8 ．
综上可得：a 的取值范围是{0} ∪
9
8 ，+∞
．
52
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选择胜于努力，笃行成就未来
18 (★★★☆☆)已知关于x 的不等式ax2+ bx - 2a + 5 < 0 的解集是{x -1<x< 1
3
．
(1) 求实数a，b 的值；
(2) 若m > 0，n > 0，且am + bn = 1，求n
m + 1
n 的最小值．
(1) 由题意得x =-1，x = 1
3 是ax2+ bx - 2a + 5 = 0 的根，
故
- 1
3 = 5-2a
a
- 2
3 =- b
a
解得a = 3，b = 2；
(2) 由(1) 得m > 0，n > 0，3m + 2n = 1，
所以n
m + 1
n = n
m + 3m+2n
n
= n
m + 3m
n
+ 2 ≥2 3 + 2，
当且仅当n
m = 3m
n
且3m + 2n = 1，
即m = 2 3
3
- 1，n = 2 -
3 时取等号，
故n
m + 1
n 的最小值为2 + 2 3．
19 (★★★★☆)已知关于x 的不等式(kx - k2- 4) (x - 4) > 0，其中k ∈R．
(1) 当k =-1，求不等式的解集A；
(2) 当k 变化时，试求不等式的解集A；
(3) 对于不等式解集A，满足A ∩Z = B．试探究集合B 能否为有限集，若能，求出使得集合B 中元素最少
的k 的所有取值，并用列举法表示此时的集合B，若不能，说明理由；
(1) 当k =-1 时，原不等式可化为(x + 5) (x - 4) < 0，
解可得-5 < x < 4，
故不等式的解集为{x| -5 < x < 4}；
(2) 当k = 0 时，解集为A = {x|x < 4}，
当k > 0 时，k2+4
k
= k + 4
k ≥4，
解集为{x|x < 4 或x > k2+4
k
}；
当k < 0 时，解集为A = x k2+4
k
<x<4
综上，当k = 0 时，A = {x|x < 4}，
当k > 0 时，A = {x|x < 4 或x > k2+4
k
}；
当k < 0 时，A = x k2+4
k
<x<4
，
(3) 由(2) 知，当k ≥0 时，B 为无限集
当k < 0 时，B 为有限集，
此时，k2+4
k
= k + 4
k ≤-4，当且仅当k =-2 时取等号
所以k =-2 时，B 中元素最少，此时A = {x| -4 < x < 4}
所以B = {-3，-2，-1，0，1，2，3}．
53
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选择胜于努力，笃行成就未来
1 (★☆☆☆☆)下面选项中，能组成集合的是
( D )
A. 高一某班个子较高的同学
B. 比较著名的科学家
C. 无限接近于4 的实数
D. 到一个定点的距离等于定长的点的全体
选项A，B，C 所描述的对象没有一个明确的标准，故不能构成一个集合，选项D 的标准
唯一，故能组成集合．故选：D．
2 (★☆☆☆☆)设集合A = {x|x > 2}，则
( B )
A. 3 ∉A
B.
5 ∈A
C. 2 ∈A
D. 0 ∈A
∵A = {x|x > 2}，∴3 ∈A，A 错；
5 ∈A，B 正确；2 ∉A，C 错误；0 ∉A，D 错误．
3 (★☆☆☆☆)已知集合A = {x|x(x - 1) = 0}，那么下列结论正确的是
( B )
A. - 1 ∈A
B. 0 ∈A
C. 1 ∉A
D. 0 ∉A
由x(x - 1) = 0 ⇒x = 0 或x = 1，∴0 ∈A 且1 ∈A，B．
4 (★☆☆☆☆)下列表示同一集合的是
( B )
A. M = {(3，2)}；N = {(2，3)}
B. M = {3，2}；N = {2，3}
C. M = {x|y = x}；N = {y|y = |x|}
D. M = {3，2}；N = {(3，2)}
A．∵点(3，2) ≠点(2，3)，∴M ≠N；B．由集合的无序性质可得：M = N；
C．由y = |x| = x，x≥0
-x，x<0
，可得：M ≠N；
D．M 含有两个元素3，2；而N 中只有一个元素为点(3，2)，∴M ≠N．
5 (★★☆☆☆)已知集合M = {a|
6
5-a ∈N+，且a ∈Z}，则M =
( D )
A. {2，3}
B. {1，2，3，4}
C. {1，2，3，6}
D. {-1，2，3，4}
因为集合M = {a|
6
5-a ∈N+，且a ∈Z}，
所以5 - a 可能为1，2，3，6，所以a 可取4，3，2，-1 所以M = {-1，2，3，4}；
6 (★★☆☆☆)若一元二次不等式kx2- 2x + k < 0 的解集为{x|x ≠m}，则m + k 的值为
( C )
A. - 1
B. 0
C. - 2
D. 2
∵不等式kx2- 2x + k < 0 的解集为{x|x ≠m}，
∴
k<0
4-4k2=0
m= 2
2k
，解得，k =-1，m =-1，故m + k =-2，故选：C．
7 (★☆☆☆☆)根据所学，用符号“∈”或“∉”填空。
(1) 设A 为所有亚洲国家组成的集合，则中国
∈
A，美国
∉
A，印度
∈
A；
(2) 若A = x|x2=x
，则-1
∉
A；
(3) 若A = x|x2+x-6=0
，则3
∉
A；
(4) 若A = x∈N|1≤x≤10
，则8
∈
A，9.1
∉
A．
54
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选择胜于努力，笃行成就未来
8 (★★☆☆☆)已知集合A = {x ∈R|ax2 - 3x + 2 = 0}．
(1) 集合A 中的方程无解，求实数a 的取值范围；
(2) 若A 是单元素集，求a 的值及集合A．
(1) 若A = ∅，则集合A 无真子集，
这时关于x 的方程ax2 - 3x + 2 = 0 无实数解，
则a ≠0，且△= 9 - 8a < 0，解得a > 9
8 ；
(2) 若A 是单元素集，集合A 中仅有一个元素．可分为两种情况：
①a = 0 时，-3x + 2 = 0，x = 2
3 ，A = { 2
3 }；
②a ≠0 时，则△= 9 - 8a = 0，
解得a = 9
8 ，A = { 4
3 }；
9 (★★☆☆☆)设关于x 的不等式ax - 3 > 2x + a 的解集为M．
(1) 求M；
(2) 若-1 ∈M 且0 ∉M，求实数a 的取值范围．
(1) ∵ax - 3 > 2x + a ⇔(a - 2)x > a + 3，
当a = 2 时，M = ∅，
当a > 2 时，M =
a+3
a-2 ，+∞
，
当a < 2 时，M = -∞，a+3
a-2
．
(2) ∵-1 ∈M 且0 ∉M，
∴-(a-2)>a+3
a+3≥0
，解得：a ∈-3，- 1
2
．
10 (★★★☆☆)已知集合A 为非空数集，定义：S = {x|x = a + b，a，b ∈A}，T = {x|x = |a - b|，
a，b ∈A}
(1) 若集合A = {1，3}，请直接写出集合S，T；
(2) 若集合A = {x1，x2，x3，x4}，x1< x2< x3< x4，且T = A，求证：x1+ x4= x2+ x3．
(1) ∵A = {1，3}，
∴S = {2，4，6}，T = {0，2}．
(2) ∵集合A = {x1，x2，x3，x4}，x1< x2< x3< x4，且T = A，
∴T 中也只包含4 个元素，即T = {0，x2- x1，x3- x1，x4- x1}，
其余的x3- x2= x4- x3= x2- x1，
∴x1+ x4= x2+ x3．
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选择胜于努力，笃行成就未来
6
集合的关系与运算
集合的关系与运算
[教学重难点]
[教学目标]
[核心素养]
集合的关系
理解元素、集合概念，准确判断元
素归属，规避互异性陷阱
数学抽象、逻辑推理
集合的运算
熟练选用合适形式描述集合，实现
两种表示法互相转换
数学抽象
一集合间的关系
根据上节课的学习, 我们可以设定集合A = {你, 爸爸, 妈妈}，集合B = {你, 爸爸, 妈妈, 爷爷, 奶奶}，集合
C = {堂哥，叔叔, 婶婶}，基于以上定义，可以发现集合间的基本关系：
子集
A 中的所有元素均属于集合B，我们称集合A 为集合B 的子集．记作A ⊆B(或B ⊇A)．
A
B
或
(A)
B
特别的：
集合相等
若集合A 是集合B 的子集(A ⊆B)，且集合B 是集合A 的子集(B ⊆A)，则此时两集合元素一样，那么就
说集合A 与集合B 相等，记作A = B．
真子集
若A ⊆B 且A ≠B，称集合A 是集合B 的真子集，记作A ⊊B 或(B ⊋A)．
上述集合的关系从集合的自然语言描述法中就可以理解，而我们在数学中引入集合其研究对象以数集为核
心．重点围绕的都是方程与不等式问题，方程与不等式有一类特殊的无解问题，为了对这一类无解问题做一定
的规范描述，我们引入空集的概念．
空集
不含任何元素的集合叫空集，用符号∅表示．
规定：空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集．
①当A 不是B 的子集时，记作
“A ⊈B”
②符号⊆可以用≤来辅助记忆
和理解．即A ⊆B 可理解为A
中元素范围比B 中元素范围小．
要点补注
要点补注
mathxiaoshu01
①空集就是方程与不等式的
无解，从这个维度出发可以
较好的理解为啥要引入空集．
②空集本身没有真子集．
要点补注
要点补注
mathxiaoshu01
56
夏• 2026 初高衔接
选择胜于努力，笃行成就未来
1 (★★★☆☆)已知集合A = {x ∣x2- 8x + 12 < 0}
(1) 若B = {x ∈Z ∣x ∈A}，写出B 的所有子集与真子集，思考子集、真子集个数与元素个数的关系；
(3) 设集合C = {x ∣m - 1 < x < 2m + 3}．
i
若A ⊆C，求m 的取值范围．
ii
若C ⊊A，求m 的取值范围．
x2- 8x + 12 < 0 (x - 2) (x - 6) < 0，解得2 < x < 6，即A = {x ∣2 < x < 6}
(1) B = {x ∈Z ∣x ∈A}，可得B = {3,4,5}
B 的所有子集：⌀,{3},{4},{5},{3,4},{3,5},{4,5},{3,4,5}
B 的所有真子集：⌀,{3},{4},{5},{3,4},{3,5},{4,5}
集合B 有3 个元素，子集共8 个，真子集共7 个．
规律：若一个集合含有n 个元素，则子集个数为2n，真子集个数为2n- 1．
(3) C = {x ∣m - 1 < x < 2m + 3}
(i) 若A ⊆C，区间(2,6) 包含于(m - 1,2m + 3)，列不等式组m-1≤2
2m+3≥6
解得3
2 ≤m ≤3，所以m 的取值范围是
3
2 ,3
。
(ii) 若CA，分两种情况讨论
①当C = ⌀时m - 1 ≥2m + 3 解得m ≤-4。
②当C ≠⌀时，需满足m - 1 < 2m + 3，即m >-4
同时(m - 1,2m + 3) ⊆(2,6)，列不等式组m-1≥2
2m+3≤6
该不等式组无解．
综上，m 的取值范围是m ≤-4．
含n 个元素的集合，其子集和真子集个数具有如下规律：
子集个数
集
合
子集个数
真子集个数
非空子集个数
非空真子集个数
{a1,a2, ⋯,an}
2n
2n−1
2n−1
2n−2
1
(★☆☆☆☆)用适当的符号填空：
(1) R ⊋ Q
(2) 0
∉ ∅
(3) 5
∈ {1，3，5}
(4) {0，2} = {x|x2= 2x}
(5) {x|1 < x < 5} ⊊ {x|1 < x < 9}
(6)
3
∉ Q
(7) {1，2，3} = {3，2，1}
(8) ∅ ⊊ {0}
(9) {3} ⊊ {x|2 < x < 4}
(10) {x|x = 2n + 1，n ∈Z}
⊋
{x|x = 4n + 1，n ∈Z}
57
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选择胜于努力，笃行成就未来
2
(★☆☆☆☆)集合A = {x ∈N|1 < x < 4} 的子集个数为
( B )
A. 2
B. 4
C. 8
D. 16
∵A = {2，3}，∴A 的子集个数为22= 4．故选：B．
3
(2023 •新高考Ⅱ∙★★☆☆☆)集合A = {0，-a}，B = {1，a - 2，2a - 2}，A ⊆B，则a =
( B )
A. 2
B. 1
C. 2
3
D. - 1
依题意当a - 2 = 0 时a = 2，A = {0，-2}，B = {1，0，2}，不符合题意；
当2a - 2 = 0 时，解得a = 1，此时A = {0，-1}，B = {1，-1，0}，符合题意．
4 (多选•★★★☆☆)集合A = {1，2}，B = {x|mx = 1，m ∈R}，B ⊆A，m 的可能取值为
( ABC )
A. 0
B. 1
C. 1
2
D. 2
∵A = {1，2}，B = {x|mx = 1}，且B ⊆A，∴当m = 0 时，B = ∅，满足A ∪B = A；
当m ≠0 时，B =
1
m
，由A ∪B = A，得B ⊆A，∴B = {1} 或B = {2}，∴1
m = 1 或1
m = 2．
解得m = 1 或m = 1
2 ∴m 的取值集合为1，0，1
2
．
5
( 多选• ★★★☆☆) 已知集合M = { x x=m+ 1
2 ，m∈Z
，N = { x x=2n- 3
2 ，n∈Z
，P =
{x x= p
2 ，p∈Z
，则
(
AC
)
A. N ⊆P
B. P ⊆M
C. N ⊆M
D. M ⊆N
由题意M = {x x= 2m+1
2
，m∈Z
，N = {x x= 4n-3
2
，n∈Z
= {x x= 4k+1
2
，k∈Z
= x x= 2×2k+1
2
，k∈Z
，
∴N ⊆M ⊆P，故A，C 正确，B，D 错误．故选：AC．
6
(★★★☆☆)设集合P = {3，4，5}，Q = {6，7}，定义P ⊗Q = {(a，b)|a ∈P，b ∈Q}，则P ⊗
Q 中子集的个数为
( D )
A. 8
B. 16
C. 32
D. 64
由题意知，P ⊗Q = {(a，b)|a ∈P，b ∈Q} = {(3，6)，(3，7)，(4，6)，(4，7)，(5，
6)，(5，7)}，共有6 个元素，子集个数为2 6 = 64 个
7
(★★★☆☆)集合A = {x|x2- x - 2 > 0}，B = {x|ax > 1}，若B ⊆A，a ∈Z，a 的最大值是
( B )
A. - 1
B. 0
C. 1
D. 2
A = { x | x > 2 或x <- 1 } ，当a = 0 时，B = ∅，显然B ⊆A ；当a < 0 时，B =
x|ax>1}= -∞，1
a
，
因为B ⊆A，所以1
a ≤-1 ⇒a ≥-1 ⇒-1 ≤a < 0；
当a > 0 时，B = x|ax>1}=
1
a ，∞
，
B ⊆A，所以1
a ≥2 ⇒a ≤1
2 ⇒0 < a ≤1
2 ，综上：-1 ≤a ≤1
2
8
(★★★☆☆)设a，b 是实数，集合A = {x||x - a| < 1}，B = {x||x - b| > 3}，且A ⊆B，则|a - b| 的
取值范围为
( D )
A. [0，2]
B. [0，4]
C. [2，+∞)
D. [4，+∞)
∵A = {x|a - 1 < x < a + 1}，B = {x|x < b - 3 或x > b + 3}，
因为A ⊆B，所以a + 1 ≤b - 3 或a - 1 ≥b + 3，即a - b ≤-4 或a - b ≥4，即|a - b| ≥4．
58
夏• 2026 初高衔接
选择胜于努力，笃行成就未来
9
(多选•★★★★☆)已知集合A = {-1，1}，非空集合B = {x|x3 + ax2 + bx + c = 0}，下列条件能够使
得B ⊆A 的是
( ACD )
A. a =-3，b = 3，c =-1
B. a =-3，b =-3，c = 1
C. a =-1，b =-1，c = 1
D. a + b + c + 1 = 0 且(a + 1)2+ 4c < 0
A，x3- 3x2+ 3x - 1 = 0 (x - 1)3= 0 x = 1，B = {1}，满足B ⊆A，A 正确；
B，x3- 3x2- 3x + 1 = 0(x + 1) (x2- 4x + 1) = 0B = {-1，2 -
3，2 +
3}，不满足B ⊆A
C，x3- x2- x + 1 = 0 (x + 1) (x - 1)2= 0 B = {-1，1}，满足B ⊆A，所以选项C 正确；
D，a + b + c + 1 = 0，x = 1 是方程x3+ ax2+ bx + c = 0 的解(x - 1) [x2+ (a + 1)x - c] = 0
∵(a + 1)2+ 4c < 0 x2+ (a + 1)x - c = 0 无解(x - 1) [x2+ (a + 1)x - c] = 0 有唯一解x = 1
∴B = {1}，满足B ⊆A，选项D 正确．故选：ACD．
10 (★★★☆☆)已知集合A 为不等式2x-1
x+2 < 1 的解集．
(1) 求集合A；
(2) 若B = {x||x - a| < 3}，且A ⊆B，求实数a 的取值范围．
(1) 原不等式等价于2x-1
x+2 - 1 < 0
即x-3
x+2 < 0
得A = {x| -2 < x < 3}
(2)B = {x||x - a| < 3} = {x|a - 3 < x < a + 3}
若A ⊆B，则a - 3 ≤-2，a + 3 ≥3
得实数a 的取值范围是[0，1]．
11 (★★★☆☆)已知集合A = {x|(m - 1)x2+ 3x - 2 = 0}．
(1) 集合A 中有两个元素，试求实数m 的范围；
(2) 是否存在这样的实数m，使得集合A 有仅有两个子集？若存在，求出所有的m 的值组成的集合M；若
不存在，请说明理由．
(1) 若集合A 为两个元素的集合，
则关于x 的方程(m - 1)x2+ 3x - 2 = 0 有实数解，
则m - 1 ≠0，且Δ = 9 + 8(m - 1) > 0，
∴m >- 1
8 且m ≠1；
(2) 集合A 且仅有两个子集，
∴关于x 的方程恰有一个实数解，
讨论：①当m = 1 时，x = 2
3 ，满足题意；
②当m ≠1 时，Δ = 8m + 1 = 0，∴m =- 1
8 ．
综上所述，m = 1 或m =- 1
8 ．
∴M 的集合为- 1
8 ，1
．
59
夏• 2026 初高衔接
选择胜于努力，笃行成就未来
12 (★★★★★)已知至少含两个元素的集合A 是N * 的子集，若对于A 中的任意两个元素a，b，都有|a
- b| ≠k(k 是正整数)，则称集合A 具有性质P(k)．
(1) 试判断集合B = {5，6，7} 和C = {1，6，11} 是否具有性质P(2)，并说明理由．
(2) 若集合A = {a1，a2，⋯，a9，a10} ⊆{1，2，⋯，16，17}，证明：A 不可能具有性质P(3)．
(3) 若集合A ⊆{1，2，⋯，247，248}，且A 具有性质P(5) 和P(8)，求A 中元素个数的最大值．
(1) 对于集合B = {5，6，7}，因为|7 - 5| = 2，
所以集合B 不具有性质P(2)；对于集合C = {1，6，11}，因为|6 - 1| = |11 - 6| ≠2，|11 - 1| ≠2，
所以集合C 具有性质P(2)；
(2) 证明：将集合{1，2，⋯，16，17} 中的元素分为如下9 个集合：
{1，4}，{2，5}，{3，6}，{7，10}，{8，11}，{9，12}，{13，16}，{14，17}，{15}，
从集合{1，2，⋯，16，17} 中取10 个元素，则前8 个集合至少要选9 个元素，
所以必有2 个元素取自前8 个集合中的同一集合，
即存在2 个元素，其差的绝对值为3，所以A 不可能具有性质P(3)；
(3) 先说明连续13 项中集合A 中元素的个数最多选取6 项，
以1，2，⋯，12，13 为例，构造集合{1，9}，{2，10}，{3，11}，{4，12}，{5，13}，{6}，
{7}，{8}，
①6，7，8 中选2 个，若只选6，7，则1，2，11，12，8 不可取，5，13 中只能取1 个，4，9 不能
同时取，5，10 不能同时取，
比如取3，4，6，7，10，13，故1，2，⋯，12，13 中属于集合A 中的元素不超过6 个；
若只选7，8，则2，3，12，13，6 不可取，1，9 中只能取1 个，4，9 不能同时取，5，10 不能同时
取，比如取1，4，5，7，8，11，故1，2，⋯，12，13 中属于集合A 中的元素不超过6 个；
若只选6，8，同理，比如取2，5，6，8，9，12，
故1，2，⋯，12，13 中属于集合A 中的元素不超过6 个；
②6，7，8 都选上，因为具有性质P(5) 和P(8)，
所以选6 则不选1 和11，选7 则不选2 和12，选8 则不选3 和13，
另外4，9 不能同时取，5，10 不能同时取，
所以选取的集合中的元素为4，5，6，7，8，
故1，2，⋯，12，13 中属于集合A 中的元素个数为5；
③6，7，8 中只选1 个，又5 个集合{1，9}，{2，10}，{3，11}，{4，12}，{5，13} 中每个集合至
多选1 个元素，所以1，2，⋯，12，13 中属于集合A 中的元素不超过6 个；
由①②③可知，连续13 项正整数中属于集合A 中的元素至多只有6 个，
比如取1，4，5，7，8，11．因为248 = 13 × 19 + 1，
所以把每13 个连续正整数分组，前19 组每组至多选取6 项，
给出如下选取方法：从1，2，⋯，12，13 中选取1，4，5，7，8，11，
然后在这6 个数的基础上每次累加13，构造19 次，
此时集合A 中的元素为1，4，5，7，8，11；14，17，18，20，21，24；⋯；235，238，239，
241，242，245；248，
共6 × 19 + 1 = 115 个元素．经检验可得该集合符合要求，故集合A 中元素个数的最大值为115．
60
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选择胜于努力，笃行成就未来
二集合的运算
设定集合A = {你, 爸爸, 妈妈, 爷爷, 奶奶}，集合B = {堂哥，叔叔，婶婶，爷爷, 奶奶}，集合C = {爷爷，
奶奶}，全集U = {你, 爸爸, 妈妈, 爷爷, 奶奶, 堂哥，叔叔, 婶婶}．基于以上定义，可以发现集合间的运算：
交集
集合A 与集合B 含有公共元素爷爷奶奶．一般地，由属于集合A 且属于集合B 的元素组成的集合称为集
合A 与B 的交集．记作A ∩B，读作：A 交B，即：A ∩B = {x
x ∈A 且x ∈B}
A
B
A∩B
并集
集合U 是由集合A 和集合B 所组合成的一个大家庭关系．一般地，由所有属于集合A 或属于集合B 的元
素共同组成的集合，称为集合A 与B 的并集, 记作A ∪B ，读作：A 并B，即A ∪B = {x
x ∈A 或x ∈B}
A
B
A⋃B
在研究具体的数学问题时，我们经常需要确定研究对象的范围．例如：方程x-2
x2-3
= 0 的解集，在
有理数范围内只有一个解2，即：x∈Q/ x-2
x2-3
=0
= 2
，在实数范围内有三个解：2，
3，- 3，
即：x∈R/ x-2
x2-3
=0
= 2, 3,- 3
．
全集
一般地，一个集合含有所研究问题中涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集，通常记作U．
补集
对于一个集合A，由全集U 中不属于集合A 的所有元素组成的集合称为集合A 相对于全集U 的补集，简称
为集合A 的补集，记作∁UA，即：∁UA = {x
x ∈U 且x ∉A}
A
U
∁UA
交集和并集性质必背
A ∪B = A B ⊆A
A ∩B = A A ⊆B
分配律
A ∩(B ∪C) = (A ∩B) ∪(A ∩C)
A ∪(B ∩C) = (A ∪B) ∩(A ∪C)
摩根定律
∁U(A ∪B) = (∁UA) ∩(∁UB)
∁U(A ∩B) = (∁UA) ∪(∁UB)
集合运算的性质
61
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2 (★★☆☆☆)已知全集U = R，集合A = {x ∣|x - 1| < 2}，集合B = {x ∣x2- 3x + 2 ≤0}
求：(1) A ∩B、A ∪B
(2) ∁UA、∁UB
(3) (∁UA) ∩B、A ∪(∁UB)、∁U(A ∪B)
解：由|x - 1| < 2，得-2 < x - 1 < 2，解得-1 < x < 3，即A = {x ∣-1 < x < 3}．
由x2- 3x + 2 ≤0，因式分解得(x - 1) (x - 2) ≤0，解得1 ≤x ≤2，即B = {x ∣1 ≤x ≤2}．
(1) A ∩B = {x ∣1 ≤x ≤2}，A ∪B = {x ∣-1 < x < 3}
(2) ∁ℝA = {x ∣x ≤-1 或x ≥3}，∁ℝB = {x ∣x < 1 或x > 2}
(3) (∁ℝA) ∩B = ∅，A ∪(∁ℝB) = ℝ，∁ℝ(A ∪B) = {x ∣x ≤-1 或x ≥3}
13 (2026 •北京•★☆☆☆☆)已知集合M = {x| -1 < x < 3}，N = {x|x ≥2}，则M ∪N =
( A )
A. {x|x >-1}
B. {x| -1 < x < 2}
C. {x| -1 < x < 3}
D. {x|x ≥2}
M ∪N = {x| -1 < x < 3} ∪{x| -1 < x < 3} = {x|x >-1}．
14 (2026 ∙新高考Ⅱ卷•★☆☆☆☆)集合A = {0，1，3，6，9}，B = {x| x = x}，则A ∩B =
( A )
A. {0，1}
B. {3，6}
C. {0，1，9}
D. {0，3，9}
集合A = {0，1，3，6，9}，B = {x| x = x} = {0，1}，
则A ∩B = {0，1}．A．
15 (2026 •天津•★☆☆☆☆)已知全集U = {-2，-1，0，1，2，3}，集合A = {-1，0，1，3}，集
合B = {-2，0，1}，则(∁UA) ∪B =
( D )
A. {-2}
B. {-2，2}
C. {0，1，2}
D. {-2，0，1，2}
∵U = {-2，-1，0，1，2，3}，A = {-1，0，1，3}，
∴∁UA = {-2，2}，∴(∁UA) ∪B = {-2，0，1，2}．
16 (2025 ∙新高考Ⅱ卷•★☆☆☆☆)集合A = {-4，0，1，2，8}，B = {x|x3= x}，则A ∩B =
( D )
A. {0，1，2}
B. {1，2，8}
C. {2，8}
D. {0，1}
由已知得：B = {0，1，-1}，
又A = {-4，0，1，2，8}，故A ∩B = {0，1}．
17 (2024 •甲卷•★☆☆☆☆)集合A = {1，2，3，4，5，9}，B = {x| x ∈A}，则∁A(A ∩B) = ( D )
A. {1，4，9}
B. {3，4，9}
C. {1，2，3}
D. {2，3，5}
因为A = {1，2，3，4，5，9}，B = {x| x ∈A} = {1，4，9，16，25，81}，
所以∁A(A ∩B) = {2，3，5}．
62
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18 (2023 •新高考Ⅰ•★★☆☆☆)已知集合M = {-2，-1，0，1，2}，N = {x|x2 - x - 6 ≥0}，则M
∩N =
( C )
A. {-2，-1，0，1}
B. {0，1，2}
C. {-2}
D. {2}
(x - 3) (x + 2) ≥0，∴x ≥3 或x ≤-2，N = (-∞，-2] ∪[3，+∞)，则M ∩N = {-2}．
19 (2021 •上海•★★☆☆☆)已知集合A = {x|x >-1，x ∈R}，B = {x|x2 - x - 2 ≥0，x ∈R}，则下
列关系中，正确的是
( D )
A. A ⊆B
B. ∁RA ⊆∁RB
C. A ∩B = ∅
D. A ∪B = R
B = {x|x ≥2 或x ≤-1，x ∈R}，∁RA = {x|x ≤-1，x ∈R}，∁RB = {x| -1 < x < 2}；
则A ∪B = R，A ∩B = {x|x ≥2}
20 (★★☆☆☆)设全集U = R，集合P = {y|y = 3x，-1 < x < 0}，Q = {x
x
x+2 ≥0
，则P ∩∁UQ =
( B )
A. (-2，0)
B. [-2，0)
C. (-3，-2)
D. (-3，-2]
全集U = R，集合P = {y|y = 3x，-1 < x < 0} = (-3，0)，Q = {x
x
x+2 ≥0
= {x|x ≥0
或x <-2}，所以∁UQ = {x| -2 ≤x < 0}，则P ∩∁UQ = {x| -2 ≤x < 0}．
21 (★★★☆☆)已知集合P = {x|x2≤1}，M = {a}，若P ∩M = M，则实数a 的取值范围是
( B )
A. (-∞，-1]
B. [-1，1]
C. [1，+∞)
D. (-∞，-1] ∪[1，+∞)
P = {x| -1 ≤x ≤1}，M = {a}，P ∩M = M，∴M ⊆P，∴-1 ≤a ≤1．
22 (多选•★★★☆☆)设集合M = {x|a < x < 3 + a}，N = {x|x < 2 或x > 4}，则下列结论中正确的是
( ABC )
A. 若a <-1，则M ⊆N
B. 若1 ∈M，则-2 < a < 1
C. 若M ∪N = R，则1 < a < 2
D. 若M ∩N ≠∅，则1 < a < 2
A，若a <-1，则3 + a < 2，则M ⊆N，故A 正确；
B，1 ∈M，a<1
3+a>1
，得-2 < a < 1，B 正确；C，M ∪N = R，则a<2
3+a>4
，得1 < a < 2，C 正确
D，若M ∩N = ∅，则a≥2
3+a≤4
，不等式无解，则若M ∩N ≠∅，a ∈R，故D 错误．
23 (★★★★☆)设集合A = {x|x2 + 2x - 3 > 0}，集合B = {x|x2 - 2ax - 1 ≤0，a > 0}，若A ∩B 中含
有一个整数，则实数a 的取值范围是
( A )
A. 3
4 ≤a < 4
3
B. 0 < a < 3
4
C. a ≥3
4
D. a ≥1
集合A = {x|x <-3 或x > 1}，集合B = {x|x2 - 2ax - 1 < 0，a > 0}，设y = x2 - 2ax -
1，则对称轴为x = a > 0，又x =-3 处的函数值= 6a + 8 > 0，根据对称性可知，要使A ∩B 中含有一个整数，
则这个整数为2，所以x = 2 处的函数值≤0 且x = 3 > 0，即
a≥3
4
a< 4
3
，即3
4 ≤a < 4
3
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24 (★★★☆☆)已知全集U = R，集合A = {x|x2- 3x + b = 0}，B = {x|(x - 2) (x2+ 3x - 4) = 0}．
(1) 若b = 4 时，存在集合M 使得A ⊊M ⊊B，求出所有这样的集合M；
(2) 集合A，B 能否满足(∁UB) ∩A = ∅？若能，求实数b 的取值范围；若不能，请说明理由．
(1) 当b = 4 时，可得A = {x|x2- 3x + 4 = 0}，
因为Δ = (-3)2- 4 × 4 < 0，所以A = ∅，
又由B = {x|(x - 2) (x2+ 3x - 4) = 0} = {-4，1，2}，
又∵A ⊊M ⊊B，∴M 共有如下6 个：{-4}，{1}，{2}，{-4，1}，{-4，2}，{1，2}．
(2) 能；由(∁UB) ∩A = ∅，可得A ⊆B，
若A = ∅时，此时满足A 是B 的一个子集，此时Δ = 9 - 4b < 0，解得b > 9
4 ；
若A ≠∅时，由(1) 知B = {-4，1，2}，
当-4 ∈A 时，b =-28，此时A = {-4，7}，此时A 不是B 的一个子集；
当1 ∈A 时，b = 2，此时A = {1，2}，此时A 是B 的一个子集；
当2 ∈A 时，b = 2，此时A = {1，2}，此时A 是B 的一个子集，
综上可得，当A = ∅或A = {1，2} 时，满足(∁UB) ∩A = ∅，
此时实数b 的取值范围为
9
4 ，+∞
∪{2}．
25 (★★★★☆)设集合A = {x|x2- 3x + 2 = 0}，B = {x|x2+ 2(a + 1)x + a2- 5 = 0}．
(1) 若A ∩B = {2}，求实数a 的值；
(2) 若集合B 中有两个元素x1，x2，求实数a 的取值范围，并用含a 的代数式表示|x1- x2|；
(3) 若A ∩B = B，求实数a 的取值范围．
(1) 由题意得A = {x|x2- 3x + 2 = 0} = {1，2}，因为A ∩B = {2}，所以2 ∈B，1 ∉B，
所以4 + 4a + 4 + a2- 5 = 0，解得a =-3 或a =-1，
检验：当a =-3 时，B = {x|x2- 4x + 4 = 0} = {2}，满足A ∩B = {2}，
当a =-1 时，B = {x|x2- 4 = 0} = {-2，2}，满足A ∩B = {2}，
所以a =-3 或a =-1．
(2) 因为B 集合中有两个元素x1，x2，所以方程x2+ 2(a + 1)x + (a2- 5) = 0 有两个根，
所以Δ = 4(a + 1)2- 4(a2- 5) = 8a + 24 > 0 且x1+ x2=-2(a + 1)，x1x2 = a2 - 5，
所以a >-3，|x1 - x2| =
(x1+x2)2-4x1x2 =
4(a+1)2-4(a2-5) =
8a+24．
(3) 因为A ∩B = B，所以B ⊆A，又A = {1，2}，
所以B = ∅或B = {1} 或B = {2} 或B = {1，2}，
当B = ∅时，Δ = 8a + 24 < 0，解得a <-3，符合题意；
当B = {1} 时，则Δ=4(a+1)2-4(a2-5)=8a+24=0
12+2(a+1)+(a2-5)=0
，无解；
当B = {2} 时，则Δ=4(a+1)2-4(a2-5)=8a+24=0
22+4(a+1)+a2-5=0
，所以a =-3；
当B = {1，2} 时，则
Δ=4(a+1)2-4(a2-5)=8a+24>0
1+2=-2(a+1)
2=a2-5
，无解，
综上，a 的范围为{a|a ≤-3}．
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1 (多选•★☆☆☆☆)下列表述正确的是
(
BC
)
A. {0} ∈{0，1，2}
B. {0，1，2} ⊆{2，1，0}
C. ∅⊆{0，1，2}
D. ∅= {0}
{0} ⊆{0，1，2}，A 错误；{0，1，2} ⊆{2，1，0}，B 正确；
∅⊆{0，1，2}，C 正确；{0} ≠∅，D 错误．故选：BC．
2 (★☆☆☆☆)已知集合A = {x|x2- 8x + 12 < 0}，B = {x ∈Z|1 < x ≤4}，则A ∩B =
( B )
A. {1，2}
B. {3，4}
C. {3}
D. ∅
集合A = {x|x2- 8x + 12 < 0} = {x|2 < x < 6}，B = {x ∈Z|1 < x ≤4} = {2，3，4}，
则A ∩B = {3，4}．
3 (2023 •乙卷•★★☆☆☆)设集合U = R，集合M = {x|x < 1}，N = {x| -1 < x < 2}，则{x|x ≥2}
=
( A )
A. ∁U(M ∪N)
B. N ∪∁UM
C. ∁U(M ∩N)
D. M ∪∁UN
由题意：M ∪N = {x|x < 2}，又U = R，∴∁U(M ∪N) = {x|x ≥2}．
4 (多选•★★☆☆☆)已知全集U = Z，集合A = {1，2，3}，B = {a + b|a，b ∈A}，则下列结论正确
的是
( BCD )
A. 集合B 中有6 个元素
B. A ∪B = {1，2，3，4，5，6}
C. (∁UA) ∩B = {4，5，6}
D. A ∩B 的真子集个数是3
A = {1，2，3}，B = {a + b|a，b ∈A} = {2，3，4，5，6}，共有5 个元素，A 错误；
A ∪B = {1，2，3，4，5，6}，B 正确；∵全集U = Z，∴(∁UA) ∩B = {4，5，6}，C 正确；
∵A ∩B = {2，3}，∴A ∩B 的真子集个数是3 个，D 正确．故选：BCD．
5 (多选•★★★☆☆)设A = {x ∈N
5
x-3 ∈N
，B = {x|mx - 4 = 0}，若A ∪B = A，则m 的值可以
为
( ABC )
A. 0
B. 1
2
C. 1
D. 2
A = x∈N
5
x-3 ∈N
={4，8}，
∵A ∪B = A，
当m = 0 时，B = ∅，符合；当m ≠0 时，B = x x= 4
m
，
∴4
m = 4 或4
m = 8，∴m = 1 或m = 1
2 ．故选：ABC．
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6 (★★★☆☆)设全集U = R，A = {x x-2
x-1 ≥0
，若m ∈∁UA，则实数m 的取值范围是
( B )
A. (1，2)
B. [1，2)
C. (1，2]
D. (-∞，1) ∪[2，+∞)
由x-2
x-1 ≥0 可得
(x-2)(x-1)≥0
x-1≠0
，解得x < 1 或x ≥2，则集合A = (-∞，1) ∪[2，
+∞)，则∁UA = [1，2)，因为m ∈∁UA，所以实数m 的取值范围是[1，2)
7 (★★☆☆☆)已知集合A = {x|kx2+ 8x - 16 = 0，k ∈R}．
(1) 若A 只有一个元素，试求实数k 的值，并用列举法表示集合A；
(2) 若A 至少有两个子集，试求实数k 的取值范围．
(1)k = 0 时A = {x|8x - 16 = 0，x ∈R}，解得A = {2} 符合题意；
k ≠0 时令Δ = 82- 4k × (-16) = 0 解得k =-1，
此时A = {x| -x2+ 8x - 16 = 0，x ∈R}，得A = {4} 符合题意，
故k = 0 或k =-1，A = {2} 或A = {4}
(2) 若A 至少有两个子集，则A 至少有一个元素．
由(1) 知k = 0 或k =-1 时符合题意．
由题意可知k ≠0 时若Δ > 0 也符合题意．
即64 - 4 × k(-16) > 0 解得k >-1 且k ≠0．综上实数k 的取值范围为[-1，+∞)．
8 (★★★☆☆)已知全集U = R，集合A = {x|x2 + x - 6 < 0}，B = {x
5
x-1 ≥1
，C = {x|a - 1 ≤x
≤2a + 1}．
(1) 求A ∩(∁UB)；
(2) 若C ⊆(A ∪B)，求实数a 的取值范围．
(1) 因为A = {x| -3 < x < 2}，B = {x|1 < x ≤6}，
所以∁UB = {x|x ≤1 或x > 6}，
故A ∩∁UB = {x| -3 < x ≤1}；
(2) 因为A ∪B = {x| -3 < x ≤6}，且C ⊆(A ∪B)，
①当C = ϕ 时，则a - 1 > 2a + 1，解得a <-2．
②当C ≠ϕ 时，则
a-1≤2a+1
a-1>-3
2a+1≤6
，解得-2 < a ≤5
2 ．
综上所述，实数a 的取值范围为(-∞，-2) ∪-2，5
2
．
66
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7
充要条件与量词命题
充要条件与量词命题
[教学重难点]
[教学目标]
[核心素养]
充要条件
能准确区分三类条件，借助集合关
系推导条件逻辑
逻辑推理、数学抽象
量词与恒成立
会否定量词命题，掌握恒成立题型
的参数分析方法
逻辑推理、数学运算
一充要条件
命题
一般地，我们把用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题．
判断为真的语句是真命题，判断为假的语句是假命题．中学数学中的许多命题可以写成“若p，则q”的
形式．其中p 称为命题的条件，q 称为命题的结论．
1 (★☆☆☆☆)下列“若p，则q”形式的命题中，哪些是真命题？哪些是假命题？
(1) 若平行四边形的对角线互相垂直，则这个平行四边形是菱形
( ü )
(2) 若两个三角形的周长相等，则这两个三角形全等
( û )
(3) 若x2- 4x + 3 = 0，则x ＝１
( û )
(4) 若平面内两条直线a 和b 均垂直于直线l，则a ∥b
( ü )
将命题“若p，则q” 中的条件p 和结论q 互换，就得到一个新的命题“若q，则p”，称这个命题为原
命题的逆命题．
2 (★☆☆☆☆)下列“若p，则q”形式的命题中，哪些命题与它们的逆命题都是真命题？
(1) 若两个三角形的两角和其中一角所对的边分别相等，则这两个三角形全等
( ü )
(2) 若两个三角形全等，则两个三角形周长相等
( û )
(3) 若一元二次方程ax2＋bx ＋c ＝０有两个不相等的实数根，则ac < 0
( û )
(4) 若A ∪B 是空集，则A 与B 均是空集
( ü )
如果“若p，则q”和它的逆命题“若q，则p”均是真命题，即既有p ⇒q，又有q ⇒p，就记作p ⇔q
67
夏• 2026 初高衔接
选择胜于努力，笃行成就未来
充要条件
对于一个“若p，则q”的命题，我们将p 称为命题的条件，q 称为命题的结论．若存在：
①条件p结论q，则称p 是q 的充分条件；
②结论q条件p，则称p 是q 的必要条件．
则有四类条件形式：
p ⇒q，q ⇏p：p 是q 的充分不必要条件；
q ⇒p，p ⇏q：p 是q 的必要不充分条件；
p ⇒q，q ⇒p：p 是q 的充要条件；
p ⇏q，q ⇏p：p 是q 的既不充分也不必要条件．
命题结果唯一性判定法
命题语句：“若×××，则×××”，则×××的×××要与题目所给的一致，出现多结果情况，则
该推断过程不成立．我们称为唯一性判断
例：x = 1 ⇒|x| = 1，由|x| = 1 可得x =±1，结果不唯一，故x = 1 是|x| = 1 的充分不必要条件．
不等式判定法
设满足p 的解集为集合P，满足q 的解集为集合Q：
范围大小规律：
小范围可以推出大范围，大范围不能推出小范围．即：
①若P ⊊Q，即p ⇒q，q ⇏p 时，p 是q 的充分不必要条件；
②若Q ⊊P，即q ⇒p，p ⇏q 时，p 是q 的必要不充分条件；
③若P = Q，则p ⇔q，p 与q 互为充要条件．
例：x > 2 （小范围）⇒x > 1 （大范围），反之不成立，故x > 2 是x > 1 的充分不必要条件.
充要条件的判定方法
3 (★★☆☆☆)已知全集U = R，集合P = {x x-5
x+2 <0
，集合Q = {x|a + 1 ≤x ≤2a + 1}．
(1) 若a = 3，求P ∩(∁UQ)；
(2) 若“x ∈P”是“x ∈Q”必要不充分条件，求实数a 的取值范围．
(1) ∵a = 3，∴Q = {x|4 ≤x ≤7}，则∁UQ = {x|x < 4，或x > 7}，
又P = {x x-5
x+2 <0
= {x| -2 < x < 5}，
∴P ∩(∁UQ) = {x| -2 < x < 4}；
(2) ∵“x ∈P”是“x ∈Q”必要不充分条件，∴Q ⊊P，
则
a+1≤2a+1
a+1>-2
2a+1<5
，解得0 ≤a < 2．
∴实数a 的取值范围是[0，2)．
68
夏• 2026 初高衔接
选择胜于努力，笃行成就未来
1
(★☆☆☆☆)设x ∈R，则“x < 1”是“0 < x < 1”的
( B )
A. 充分不必要条件
B. 必要不充分条件
C. 充要条件
D. 既不充分也不必要条件
∵{x|0 < x < 1} ⊊{x|x < 1}，∴“x < 1”是“0 < x < 1”的必要不充分条件．故选：B．
2
(★☆☆☆☆) P：(x + 8) (x + 2) = 0 是q：x = 2 的
( C )
A. 充分不必要条件
B. 必要不充分条件
C. 既不充分也不必要条件
D. 充要条件
若(x + 8) (x + 2) = 0，解得x =-8 或x =-2，所以得不到x = 2，即充分性不成立，当x =
2 时，则(x + 8) (x + 2) = (2 + 8) (2 + 2) ≠0，所以必要性不成立．故选：C．
3
(★☆☆☆☆)集合M 与N，M ⊆N 是M ∩N = M 的
( C )
A. 充分不必要条件
B. 必要不充分条件
C. 充要条件
D. 既不充分又不必要条件
M ⊆N，则M ∩N = M，故充分性成立，M ∩N = M，则M ⊆N，故必要性成立，
故M ⊆N 是M ∩N = M 的充要条件，故选：C．
4 若x ∈R，下列选项中，使x2- 2x - 3 < 0 成立的充分不必要条件为
( C )
A. - 1 < x < 3
B. - 1 ≤x ≤3
C. - 1 < x < 2
D. - 2 < x < 3
解不等式x2- 2x - 3 < 0，得-1 < x < 3，A = {x| -1 < x < 3}，记使不等式x2- 2x - 3 <
0 成立的充分不必要条件为集合B，则集合B 为集合A 的真子集，所以B = {x| -1 < x < 2}．
5
(★★☆☆☆)“|2x + 1| < 5”是“x2< 3”成立的
( B )
A. 充分不必要条件
B. 必要不充分条件
C. 既不充分也不必要条件
D. 充分必要条件
由|2x + 1| < 5，得-5 < 2x + 1 < 5，解得-3 < x < 2；由x2< 3，得- 3 < x <
3．
因为- 3 < x <
3 ⇒-3 < x < 2，必要性成立，-3 < x < 2 推不出- 3 < x <
3，充分性不成立，
所以“|2x + 1| < 5”是“x2< 3”成立的必要不充分条件．
6
(多选•★★☆☆☆)若x2- x - 2 < 0 是-2 < x < a 的充分不必要条件，则a 的值可以是
( BCD )
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
由x2- x - 2 < 0，解得-1 < x < 2. ∵x2- x - 2 < 0 是-2 < x < a 的充分不必要条件，
∴(-1,2) (-2，a)，∴a ≥2. ∴实数a 的值可以是2,3,4.
7
(★★☆☆☆)方程ax2 + 2x + 1 = 0，(a ≠0) 有一个正根和一个负根的充分不必要条件是
( C )
A. a < 0
B. a > 0
C. a <-1
D. a > 1
ax2 + 2x + 1 = 0，(a ≠0) 有一个正根和一个负根的充要条件是x1 × x2 = 1
a < 0，即a < 0，
而a < 0 的一个充分不必要条件是a <-1 故选：C．
69
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选择胜于努力，笃行成就未来
8
(★★☆☆☆)已知集合A = {x|(x - a) (x + a + 1) ≤0}，B = {x|x ≤3 或x ≥6}．
(1) 当a = 4 时，求A ∩B；
(2) 当a > 0 时，若“x ∈A”是“x ∈B”的充分条件，求实数a 的取值范围．
(1) 当a = 4 时，
A = {x|(x - a) (x + a + 1) ≤0} = {x|(x - 4) (x + 5) ≤0} = {x| -5 ≤x ≤4}，
又∵B = {x|x ≤3 或x ≥6}，
∴A ∩B = {x| -5 ≤x ≤3}．
(2) 当a > 0 时，A = {x|(x - a) (x + a + 1) ≤0} = {x| -a - 1 ≤x ≤a}，
∵x ∈A 是x ∈B 的充分条件，∴A ⊆B，
∵B = {x|x ≤3 或x ≥6}，
∴a ≤3 或-a - 1 ≥6，又∵a > 0，
∴0 < a ≤3，
∴实数a 的取值范围为(0，3]．
9
(★★☆☆☆)已知p：A = {x|x2- 8x - 20 ≤0}，q：B = {x|1 - m ≤x ≤1 + m} (m > 0)．
(1) 是否存在实数m，使p 是q 的充分条件，若存在，求出m 的范围；
(2) 是否存在实数m，使p 是q 的必要条件，若存在，求出m 的范围．
(1)A = [-2，10]．
若p 是q 的充分条件，则1-m≤-2
10≤1+m
，m > 0，解得：m ≥9．
∴m 的取值范围是[9，+∞)．
(2) 若p 是q 的必要条件，则-2≤1-m
1+m≤10
，m > 0，解得0 < m ≤3．
∴m 的取值范围是(0，3]．
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选择胜于努力，笃行成就未来
二量词与恒成立
全称量词与全称命题
短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“∀”表示.含有全称量词的命题，叫
做全称量词命题．即：全称命题p：“∀x ∈Μ，p(x) 成立”．
恒成立
在研究范围内，自变量的所有取值都能使某一条件(方程、不等式) 成立，这样的描述称为“恒成立”
存在量词与特称命题
短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，并用符号“∃”表示.含有存在量词的命
题，叫做存在量词命题．即：特称命题p：“∃x0 ∈Μ，p(x0) 成立”．
成立
在研究范围内，自变量的部分(至少一个) 取值使某一条件(方程、不等式) 成立，这样的描述称为“成立”
二次不等式的恒成立条件
ax2+ bx + c > 0 恒成立的条件是
a>0
Δ<0
ax2+ bx + c < 0 恒成立的条件是
a<0
Δ<0
成立与恒成立的翻译
对于一个含参结构h(m,x) > 0 的翻译：(h(m,x) 表示整个不等式带有两个字母：m 和x)
①参变分离：将参数摆在左侧，变量摆在右侧，如：m > g(x) 恒成立
②翻译恒成立：m > g(x) 恒成立m > g(x)
max
m < g(x) 恒成立m > g(x)
min
命题的否定
全称命题的否定是特称命题，将∀改为∃，再否定结论．特称命题的否定是全称命题，将∃改为∀，
再否定结论．原命题与其否定真假性相反．
初识成立与恒成立
4 (★★★☆☆)若存在x ≥0，y ≥0，且3x + y = 1，使不等式
3
x+1 +
4
y+1 < m2 - 2m - 3 能成立，则实
数m 的取值范围是
( D )
A. (-4，2)
B. (-∞，-4) ∪(2，+∞)
C. (-2，4)
D. (-∞，-2) ∪(4，+∞)
∵
3
x+1 +
4
y+1 < m2 - 2m - 3 能成立，所以
3
x+1 +
4
y+1
min < m2 - 2m - 3．
又因为x ≥0，y ≥0，3x + y = 1，所以3(x + 1) + (y + 1) = 5 所以
3
x+1 +
4
y+1 = 1
5
3
x+1 +
4
y+1
[3
(x + 1) + (y + 1)] = 1
5 13+ 3(y+1)
x+1
+ 12(x+1)
y+1
≥5 当且仅当y+1
x+1 = 4(x+1)
y+1
，即x = 0，y = 1 时等
号成立，所以5 < m2- 2m - 3，即m2- 2m - 8 > 0，所以m <-2 或m > 4．
71
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选择胜于努力，笃行成就未来
10 (★☆☆☆☆)用全称量词“∀”或存在量词“∃”改写下列命题，并判断真假．
(1) 任意实数的绝对值都是正数
(2) 自然数的平方都大于零
(1) ∀x ∈R，使得|x| > 0，假命题；
(2) ∀x ∈N，使得x2> 0，假命题；
(3) 有些实数是整数
(4) 非零实数的零次幂都是1
(3) ∃x ∈R，x ∈Z，真命题；
(4) ∀x ≠0，x0= 1，真命题；
(5) 某些无理数的平方仍是无理数
(6) 所有矩形都是平行四边形
(5) ∃x 为无理数，x2仍是无理数，真命题；
(6) ∀矩形都是平行四边形，真命题；
11 (多选•★☆☆☆☆)下列命题中真命题有
(
AB
)
A. p：∀x ∈R，x2- x + 1
4 ≥0；
B. q：所有的正方形都是矩形；
C. r：∃x ∈R，x2+ 2x + 2 ≤0；
D. s：至少有一个实数x，使x2+ 1 = 0．
Ax2 - x + 1
4 = x- 1
2
2
≥0，正确，B 所有的正方形都是矩形，正确，
C x2+ 2x + 2 = (x + 1)2+ 1 ≥1，错误，D x2≥0，则不存在实数x，使x2+ 1 = 0，错误，
12 (★☆☆☆☆)命题“∀x > 1，x2- 1 > 0”的否定形式是
( C )
A. ∀x > 1，x2- 1 ≤0
B. ∀x ≤1，x2- 1 ≤0
C. ∃x > 1，x2- 1 ≤0
D. ∃x ≤1，x2- 1 ≤0
“∀x > 1，x2- 1 > 0”的否定形式是“∃x > 1，x2- 1 ≤0”
13 (★☆☆☆☆)命题“∃x ∈R，x2- x - 2 ≤0”的否定是
( C )
A. ∀x ∈R，x2- x - 2 ≤0
B. ∃x ∈R，x2- x - 2 ≤0
C. ∀x ∈R，x2- x - 2 > 0
D. ∃x ∈R，x2- x - 2 < 0
命题“∃x ∈R，x2- x - 2 ≤0”的否定是“∀x ∈R，x2- x - 2 > 0”
14 (★★☆☆☆)若命题“∀x ∈R，x2- x + m ≥0”是假命题，则实数m 的取值范围是
( B )
A. {m m≤1
4
B. {m m< 1
4
C. {m m> 1
4
D.
m m≥1
4
若命题∀x ∈R，x2- x + m ≥0 是假命题，则命题∃x ∈R，x2- x + m < 0 是真命题，
所以Δ = 1 - 4m > 0，得m < 1
4 ．B．
15 (★★☆☆☆)命题“∃x ∈R，1
2 x2 + x - 3
2 - a < 0”为真命题，则实数a 的取值范围
( C )
A. a ≥0
B. a ≥1
C. a >-2
D. a ≥-2
根据题意，不等式1
2 x2 + x - 3
2 - a < 0 的解集非空，
二次函数y = 1
2 x2 + x - 3
2 - a 的图象与x 轴一2 个交点，得Δ = 1 - 4 × 1
2 × - 3
2 -a
> 0，得a >-2．
72
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选择胜于努力，笃行成就未来
16 (★★☆☆☆)不等式(a - 2)x2+ 2(a - 2)x - 4 < 0 对一切实数恒成立，则实数a 的取值范围是
( D )
A. [-2，2]
B. (-∞，2)
C. (-∞，-2)
D. (-2，2]
当a = 2 时，原不等式即为-4 < 0，恒成立，即a = 2 满足条件；当a ≠2 时，要使不等式
(a - 2)x2 + 2(a - 2)x - 4 < 0 对一切实数恒成立，必须a-2<0
Δ=4(a-2)2+16(a-2)<0
解得，-2 < a < 2．综上
所述，a 的取值范围是-2 < a ≤2，
17 (多选•★★☆☆☆)若对于任意实数x，不等式(a - 1)x2- 2(a - 1)x - 4 < 0 恒成立，则实数a 可能是
( ABD )
A. - 2
B. 0
C. - 4
D. 1
当a = 1 时，不等式为-4 < 0 恒成立，满足题意；
当a ≠1 时，要满足a-1<0
Δ<0
，因为Δ = 4(a - 1)2+ 16(a - 1) = 4(a - 1) (a + 3)，
所以解Δ < 0，得-3 < a < 1；综上，实数a 的取值范围是(-3，1]；
对比选项得，实数a 可能是-2，0，1．
18 (★★★☆☆)若关于x 的不等式x2- (m + 1)x + 9 ≤0 在[1，4] 上有解，则m 的最小值为
( B )
A. 9
B. 5
C. 6
D. 21
4
由题意得(m + 1)x ≥x2+ 9 有解，
即m + 1 ≥x + 9
x 有解，即m + 1 ≥x+ 9
x
min，
因为1 ≤x ≤4 时，x + 9
x ≥2
x⋅9
x = 6，当且仅当x = 3 时取等号，故m ≥5．
19 (★★★☆☆)若不等式(ax - 2) (x - b) ≥0 对任意的x ∈R 恒成立，则a + 2b 的最小值为
( C )
A. 3
B. 2 2
C. 4
D. 3 2
不(ax - 2) (x - b) ≥0 恒成立，ax2- (ab + 2)x + 2b ≥0 对任意的x ∈R 恒成立，
当a = 0 时，不等式化为-2x + 2b ≥0，这不可能对任意x ∈R 恒成立，
当a ≠0 时，则a>0
Δ=(ab+2)2-4a×2b≤0
得ab = 2，因为a > 0，b > 0，
所以a + 2b ≥2 2ab = 4，当且仅当a = 2b，即a = 2，b = 1 时，等号成立，所以a + 2b 的最小值为4．
20 (★★★☆☆)不等式(x - m) (x2- nx - 2) ≥0 对任意x > 0 恒成立，则m2+ n2的最小值为
( A )
A. 4 2 - 4
B. 4
C. 4 2
D. 4 2 + 2
当x = m 时，(x - m) (x2 - nx - 2) = 0，若m ≤0，当x > 0 时，要使不等式(x - m) (x2 -
nx - 2) ≥0 对任意x > 0 恒成立，则y = x2- nx - 2 ≥0 对任意x > 0 恒成立，
当x = 0 时，y =-2 < 0 不满足题意，所以m > 0，且x = m 是方程x2- nx - 2 = 0 的一个正根，
将x = m 代入x2- nx - 2 = 0 可得m2- mn - 2 = 0，即n = m2-2
m
= m - 2
m ，
则m2 + n2 = m2 + m- 2
m
2
= 2m2 + 4
m2 - 4 ≥2
2m2⋅4
m2 - 4 = 4 2 - 4，
当且仅当2m2 = 4
m2 时，即n = 0，m =
2 时，等号成立，所以m2+ n2的最小值为4 2 - 4．
73
夏• 2026 初高衔接
选择胜于努力，笃行成就未来
21 (★★★☆☆)已知x，y 均为正实数，且1
x + 2
y = 4，若2x + y > m2 - m 恒成立，则实数m 的取值
范围是
( D )
A. m <-2 或m > 1
B. - 2 < m < 1
C. m <-1 或m > 2
D. - 1 < m < 2
根据1
x + 2
y = 4，可得1
4
1
x + 2
y
= 1，
所以2x + y = 1
4 (2x + y) 1
x + 2
y
= 1
4
4+ y
x + 4x
y
≥1
4
4+2
y
x ⋅4x
y
= 2，
当且仅当y
x = 4x
y ，即x = 1
2 ，y = 1 时等号成立，
若不等式2x + y > m2- m 恒成立，则m2- m < 2，解得-1 < m < 2．
22 (★★★★☆)已知函数y = ax2+ bx + c．
(1) 关于x 的不等式ax2 + bx + c < 0 的解集为{x| -1 < x < 3}，求关于x 的不等式bx2 - a(c - 2)x - 3a2 ≥
0 的解集；
(2) 已知a > 0，b > 0，当x = 2 时，y = 2ab + c，
i
若存在正实数a，b，使不等式t2 + 3t - a - b
2 > 0 有解，求t 的取值范围；
ii
求
4b
b-2 + 16a
a-1 的最小值．
(1) ∵ax2+ bx + c < 0 的解集为{x| -1 < x < 3}，∴
a>0，
-1+3=- b
a
-1×3= c
a ，
，即
a>0
b=-2a
c=-3a
所以不等式bx2- a(c - 2)x - 3a2≥0 可转化为-2ax2- a(-3a - 2)x - 3a2≥0，
又a > 0，所以2x2- (3a + 2)x + 3a ≤0，即(2x - 3a) (x - 1) ≤0，
当3
2 a > 1，即a > 2
3 时，解得1 ≤x ≤3
2 a；
当3
2 a = 1，即a = 2
3 时，解得x = 1；
当3
2 a < 1，即0 < a < 2
3 时，解得3
2 a ≤x ≤1，
(2) 因为当x = 2 时，y = 2ab + c，所以4a + 2b + c = 2ab + c，即2a + b = ab，所以1
a + 2
b = 1，
i
若存在正实数a，b，使不等式t2 + 3t - a - b
2 > 0 有解，则t2+ 3t > a+ b
2
min，
a + b
2 = a+ b
2
1
a + 2
b
= 2 + 2a
b + b
2a ≥2 + 2
2a
b ⋅b
2a = 4，
当且仅当2a
b = b
2a ，即a = 2，b = 4 时，a+ b
2
min = 4，
所以t2+ 3t > 4，解得t <-4 或t > 1，即t 的取值范围是(-∞，-4) ∪(1，+∞)．
ii
由2a + b = ab，可得(a - 1) (b - 2) = 2，
所以
4b
b-2 + 16a
a-1 = 4(b-2)+8
b-2
+ 16(a-1)+16
a-1
= 20 + 8
1
b-2 +
2
a-1
= 20 + 8(a+2b-5)
(a-1)(b-2) = 20 + 4(a + 2b - 5) = 4(a + 2b)
= 4(a + 2b) 1
a + 2
b
= 4 5+ 2b
a + 2a
b
≥4 5+2
2b
a ⋅2a
b
= 36，
当且仅当2b
a = 2a
b ，即a = b = 3 时，等号成立，所以
4b
b-2 + 16a
a-1 的最小值为36．
74
夏• 2026 初高衔接
选择胜于努力，笃行成就未来
1 (★☆☆☆☆)“x > 1”是“ 1
x < 1”的
( A )
A. 充分非必要条件
B. 必要非充分条件
C. 充要条件
D. 既非充分也非必要
充分性：当x > 1 时，有1
x < 1，所以充分性满足；当1
x < 1 时，x > 1 或x < 0，不一定
满足x > 1，所以必要性不满足；所以x > 1 是1
x < 1 的充分非必要条件．故选：A．
2 (★☆☆☆☆)若已知条件p：x ≤1，条件q：x2- 6x + 5 ≥0，则p 是q 的
( A )
A. 充分不必要条件
B. 必要不充分条件
C. 充要条件
D. 既不充分也不必要条件
x2- 6x + 5 ≥0 ⇔(x - 1) (x - 5) ≥0，得x ≥5 或x ≤1，
显然{x|x ≤1} ⊊{x|x ≥5 或x ≤1}，则p 是q 的充分不必要条件．
3 (多选•★★☆☆☆)下列命题为真命题的是
( ABD )
A. “∃x ∈Z，x4< 0”是存在量词命题
B. ∀x ∈R，9x2≥0
C. ∃x ∈N，3x2- 4x + 1 < 0
D. “全等三角形面积相等”是全称量词命题
“∃x ∈Z，x4 < 0”是存在量词命题，A 为真命题；∀x ∈R，9x2 ≥0，B 为真命题；因
为由3x2- 4x + 1 < 0 得1
3 < x < 1，故C 为假命题；“全等三角形面积相等”是全称量词命题，D 为真命题．
4 (★★★☆☆)若不等式ax2 + bx + c > 0 的解集为{x - 1
2 <x<3
，则x2 + b
a x + c
a < 0 成立的一个
必要不充分条件是
( D )
A. - 1
2 < x < 3
B. - 1
2 < x < 0
C. - 3 < x < 1
2
D. - 1 < x < 6
由题- 1
2 与3 是方程ax2 + bx + c = 0 的两个根，且a < 0，- 1
2 + 3 =- b
a ，- 1
2 × 3 =
c
a ，x2 + b
a x + c
a < 0 可化为x2 - 5
2 x - 3
2 < 0，得- 1
2 < x < 3，四个选项中，只有D 满足{x - 1
2 <x<3
⊊{x| -1 < x < 6}，x2 + b
a x + c
a < 0 成立的必要不充分条件是D 选项．选：D．
5 (★★★☆☆)若不等式(ax - 1) (x - b) ≥0 对任意的x ∈R 恒成立，则4a + b 的最小值为
( B )
A. 2 2
B. 4
C. 5
D. 4 2
不等式(ax - 1) (x - b) ≥0 可化为ax2- (ab + 1)x + b ≥0，
当a = 0 时，不等式为x ≤b，不满足对任意的x ∈R 恒成立；
当a < 0 时，y = ax2- (ab + 1)x + b，图象开口向下，不满足题意，
所以a > 0，且Δ = (ab + 1)2- 4ab ≤0，即ab = 1，且a > 0，b > 0；
所以4a + b ≥2 4a⋅b = 4，当且仅当4a = b，即a = 1
2 ，b = 2 时等号成立，所以4a + b 的最小值为4．
75
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选择胜于努力，笃行成就未来
6 (★★☆☆☆)设集合A = {x|x2- 2mx + m2- 1 ≤0}，B = {x|x2- 4x - 5 ≤0}．
(1) 若m = 5，求A ∩B．
(2) 若“x ∈A”是“x ∈B”的充分不必要条件，求实数m 的取值范围．
x2- 2mx + m2- 1 ≤0，解得m - 1 ≤x ≤m - 1，∴A = [m - 1，m + 1]．
由x2- 4x - 5 ≤0，解得-1 ≤x ≤5，∴B = [-1，5]．
(1)m = 5 时，A = [4，6]，∴A ∩B = [4，5]．
(2) ∵“x ∈A”是“x ∈B”的充分不必要条件，∴A ⊊B．
∴-1≤m-1
m+1≤5
，且等号不能同时成立．
解得：0 ≤m ≤4．∴实数m 的取值范围是[0，4]．
7 (★★★☆☆)记命题p：对任意x ∈[-2，2]，不等式-x2 - m2 + 5m ≥0 恒成立，命题q：存在x ∈
(0，3]，使得不等式x2- mx + 1 < 0 成立．
(1) 若p 为真命题，求实数m 的取值范围；
(2) 若命题p 与命题q 一真一假，求实数m 的取值范围．
(1) 因为p 为真命题，
所以对任意x ∈[-2，2]，不等式-x2- m2+ 5m ≥0 恒成立
所以-m2+ 5m ≥(x2)max，其中x ∈[-2，2]，
所以-m2+ 5m ≥4，解得1 ≤m ≤4，所以m 的取值范围[1，4]；
(2) 若q 为真命题，即存在x ∈(0，3]，使得不等式x2- mx + 1 < 0 成立，
则存在x ∈(0，3]，使得m > x + 1
x 成立，即m > x+ 1
x
min，其中x ∈(0，3]，
又x + 1
x ≥2
x⋅1
x = 2，当且仅当x = 1 时取等，则m > 2，
因为p，q 一真一假，所以p 为真命题，q 为假命题或p 为假命题，q 为真命题，
若p 为真命题，q 为假命题，则1≤m≤4
m≤2
，所以1 ≤m ≤2；
若p 为假命题，q 为真命题，则m<1或m>4
m>2
，所以m > 4．
综上，1 ≤m ≤2 或m > 4，
所以m 的取值范围为[1，2] ∪(4，+∞)．
76
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选择胜于努力，笃行成就未来
8
函数概念与有界性
函数概念与有界性
[教学重难点]
[教学目标]
[核心素养]
函数及其三要素
掌握求定义域、值域的常规方法，
判断两个函数是否相同
数学抽象、数学运算
函数抽象性与解析
理解函数的抽象性，熟练换元、配
凑法求抽象函数
数学抽象、逻辑推理
一函数的概念
初中我们学习了函数的概念与简单的函数．初中函数定义：一般的在一个变化过程中，有两个变量x 和y，
对于x 的每一个确定值，y 都有唯一确定的值与之对应，称x 为自变量，y 为因变量，y 是x 的函数．
由初中定义出发，y = 100 是函数吗？
显然初中阶段函数的概念侧重变量的运动变化，描述“一个量随着另一个量变化”；我们结合生活中的薪
酬对应重新理解函数．设工作天数为自变量x，当日报酬为因变量y．
变化型对应关系：国庆节来临之际，公司安排加班，加班第1 天薪资100 元，第2 天200 元，第3 天300
元，按此规律递增．随着天数x 改变，报酬y 随之规律变化，且每个确定天数对应唯一报酬，符合函数定义．
固定型对应关系：在正常工作日，每日报酬固定100 元．即便天数x 变化，每日报酬y 始终保持不变．每
个确定天数对应唯一报酬，符合函数定义．
很多同学会误以为“函数必须是变化的”，致使我们忽视了y = 100 这类特殊的函数．但通过这个案例可
以明确：y = 100 也是函数．无论是变化型还是固定型，只要满足“唯一对应”的核心要求，就是函数关系．
我们把范围收束到数集，用更严谨的语言重新定义函数：
函数
设A,B 是非空的实数集，按照某种确定的对应关系f，使对于集合A 中的任意一个数x，在集合B 中都有
唯一确定的数y 和它对应，那么就称f：A →B 为从集合A 到集合B 的一个函数，记作
y = f(x), x ∈A
所有输入值x 组成的集合A 叫作函数f(x) 的定义域．所有输出值y 组成的集合叫作函数f(x) 的值域．
刚刚的薪酬模型，现在可以重新用数集观点定义：
1
2
3
100
200
300
定义域
值域
对应关系f
1
2
3
100
定义域
值域
对应关系f
77
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选择胜于努力，笃行成就未来
高中不再局限于“量与量的变化”，只要满足数集间的唯一对应就是函数，这也是函数走向抽象的起点．
1 (★★☆☆☆)下列对应是从集合A 到B 的函数的是
( B )
A. A = N，B = N，对应关系f：“求平方根”
B. A = R，B = {0，1}，对应关系f：x →y = 1，x≥2
0，x<2
C. A = R，B = Q，对应关系f：x →y =
1
x-3
D. A = N，B = N*，对应关系f：x →y = |x - 2|
A，A 中正元素4 求平方根后，对应±2，-2 ∉B 且A 中4 对应B 两个元素∴A 不是函数；
B，A 中任一元素在B 中都有唯一元素对应，B 是函数；
C，A = R，B = Q，对应关系f：x →y =
1
x-3 ，则A 中元素3 在B 中没有元素对应，C 不是函数；
D，A = N，B = N *，对应关系f：x →y = |x - 2|，则A 中元素2 在B 中没有元素对应，D 不是函数；
1
(★☆☆☆☆)对于函数y = f(x)，以下说法不正确的是
( D )
A. y 是x 的函数
B. 对于不同的x，y 的值可以不同
C. f(a) 表示当x = a 时函数f(x) 的值
D. f(x) 一定可用一个具体的式子表示出来
A、由函数的定义知，y 是x 的函数，故A 正确；B、如常函数y = f(x) = x，故B 正确；
C、由函数值的定义知，f(a) 表示当x = a 时函数f(x) 的值，是一个确定的值，故C 正确；
D、函数的表示方法有解析法、表格法和图象法，对于表格法和图象法有的无法用一个具体的式子表示．
2
(多选•★☆☆☆☆)下列是函数图象的是
( ABD )
A.
x
y
B.
x
y
C.
x
y
D.
x
y
函数定义可得：在一个函数中自变量x 的任意一个值，都有唯一的函数值y 与之对应，由此
可知A、B、D 三项均符合函数的定义；而C 项的图象中，1 个x 有2 个y 与之对应，不符合函数的定义．
3
(★☆☆☆☆)以下一定是y 关于x 的函数的是
( D )
A. y =± x(x > 0)
B. y2= x - 1(x > 1)
C. y =
x ± 1(x > 0)
D. y = 1
x
在A 选项中，当x > 0 时，一个x 对应两个y，与函数的概念不符；
在B 选项中，当x > 1 时，一个x 对应两个y，与函数的概念不符；
在C 选项中，当x > 0 时，一个x 对应两个y，与函数的概念不符；
在D 选项中，当x ≠0 时，一个x 对应一个y，与函数的概念相符．
78
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选择胜于努力，笃行成就未来
二函数三要素
由函数定义可知，两个变量关系要构成函数关系，需要具备以下三个要素：定义域、对应关系f、值域．
函数定义域约束
自变量x 的取值范围叫作函数f(x) 的定义域．目前阶段，函数定义域主要有以下几个约束条件产生：
1 分式的分母不能为零；
2 根号下被开方数大于等于零；
3 零指数幂的底数不能为0
函数对应关系
解析法、表格法和图象法
同一函数
由函数的构成要素：定义域、对应关系和值域．可知值域是由定义域和对应关系决定的，若两个函数
的定义域相同，并且对应关系完全一致，那么这两个函数是同一个函数．
函数三要素
没有任何约束时函数
的定义域可以取全体
实数，即x ∈R．
要点补注
要点补注
mathxiaoshu01
2 (★★☆☆☆)下列各组函数中为同一函数的是
( B )
A. f(x) =
(x-1)2，g(x) = x - 1
B. f(x) = x2+ 1，g(t) = ( t2+1)2
C. f(x) =
x2-1，g(x) =
x+1 ⋅
x-1
D. f(x) = x，g(x) = x2
x
A，f(x) =
(x-1)2 = |x - 1|，g(x) = x - 1，两函数的对应关系不同，不是同一函数．
B，f(x) = x2+ 1，g(t) = ( t2+1)2 = t2 + 1 两个函数定义域定义域相同，对应关系也相同，是同一函数．
C，f(x) 定义域是(-∞，-1] ∪[1，+∞)，g(x) 定义域是[1，+∞)，两函数定义域不同，不是同一函数．
D，f(x) = x 的定义域是R，g(x) = x2
x 的定义域是{x|x ≠0}，两函数的定义域不同，不是同一函数．
4 (★☆☆☆☆)求下列函数的定义域
(1) f(x) = 3 - 1
2 x
(2) f(x) = 2 x -
1-7x
(1) 要使函数有意义，则x ∈R，即函数的定义域为R，
(2)
x≥0
1-7x≥0
得
x≥0
x≤1
7
，0 ≤x ≤1
7 ，函数定义域0，1
7
．
79
夏• 2026 初高衔接
选择胜于努力，笃行成就未来
(3) f(x) = (x+1)0
x+2
(4) f(x) =
x+3 +
1
x+2
(3) 由题x+1≠0
x+2>0
，得x≠-1
x>-2
，得x >-2 且x ≠-1，定义域为{x|x >-2 且x ≠-1}．
(4) 要使函数有意义，则x+3≥0
x+2≠0
，x≥-3
x≠-2
，x ≥-3 且x ≠-2，定义域为[-3，-2) ∪(-2，+∞)．
5
(★★☆☆☆)函数f(x) =
3x+1
2x-1 的定义域是
( C )
A. {x - 1
3 ≤x≤1
2
B.
x - 1
3 ≤x< 1
2
C. {x|x ≤- 1
3 或x > 1
2 }
D. {x|x ≤- 1
3 或x ≥1
2 }
需满足：3x+1
2x-1 ≥0，即(3x+1)(2x-1)≥0
2x-1≠0
，得定义域为{x|x ≤- 1
3 ，或x > 1
2 }．
6
(★★☆☆☆)对于函数f:A →B，若a ∈A，则下列说法错误的是
( C )
A. f(a) ∈B
B. f(a) 有且只有一个
C. 若f(a) = f(b)，则a = b
D. 若a = b，则f(a) = f(b)
函数f:A →B，a ∈A，b ∈A，根据函数定义f(a) ∈B，且f(a) 唯一，若a = b，则集合A
不满足互异性，此时有f(a) = f(b)，A，B，D 都正确，若f(a) = f(b)，不一定有a = b，C 错
7
(★★☆☆☆)函数y = 3 - 4x(x ∈(-1，2] 且x ∈Z) 的值域为
( B )
A. [-5，7)
B. {-5，-1，3}
C. (-5，7)
D. {-5．-1，3，7}
因为x ∈(-1，2] 且x ∈Z，则x 的取值有0，1，2，
故y = 3 - 4x 的值域为{3，-1，-5}．故选：B．
8
(★★☆☆☆)下列各组函数中，表示同一函数的是
( C )
A. y = x2-9
x-3 与y = x + 3
B. y =
x2-1 与y = x - 1
C. y = x0(x ≠0) 与y = 1(x ≠0)
D. y = 2x + 1，x ∈Z 与y = 2x - 1，x ∈Z
A，y = x2-9
x-3 = x + 3(x ≠3)，与y = x + 3(x ∈R) 的定义域不同，不是同一函数；
B，y =
x2-1(x ≤-1 或x ≥1)，与y = x - 1(x ∈R) 的定义域不同，对应关系也不同，不是同一函数；
对于C，函数y = x0= 1(x ≠0)，与函数y = 1(x ≠1) 的定义域相同，对应关系也相同，是同一函数；
对于D，函数y = 2x + 1(x ∈Z)，与y = 2x - 1(x ∈Z) 的对应关系不同，不是同一函数．
9
(★★★☆☆)已知集合A = {1，2，3}，B = {4，5}，则从A 到B 的函数f(x) 有
( D )
A. 5 个
B. 6 个
C. 7 个
D. 8 个
根据函数的定义可知，利用列表法确定函数的个数，由表格可知，这样的函数有8 个．
f(1)
4
4
4
4
5
5
5
5
f(2)
4
4
5
5
4
4
5
5
f(3)
4
5
4
5
4
5
4
5
80
夏• 2026 初高衔接
选择胜于努力，笃行成就未来
10 (★★★☆☆)若函数y =
ax+1
ax2-4ax+2
的定义域为R，则实数a 的取值范围是
( C )
A.
0, 1
2
B.
0, 1
2
C.
0, 1
2
D.
0, 1
2
根据题意知，不等式ax2 - 4ax + 2 > 0 的解集为R，
(1)a = 0 时，2 > 0 恒成立，满足题意；
(2)a ≠0 时，a>0
△=16a2-8a<0
，解得0 < a < 1
2 ，
∴综上得，实数a 的取值范围是：0, 1
2
．故选：C．
11 (★★★☆☆)若函数y =
ax2+4x+1 的值域为[0，+∞)，则a 的取值范围为
( C )
A. (0，4)
B. (4，+∞)
C. [0，4]
D. [4，+∞)
当a = 0 时，y =
4x+1 ≥0，即值域为[0，+∞)，满足题意；当a ≠0 时，设f(x) = ax2
+ 4x + 1，为使函数y =
ax2+4x+1 的值域为[0，+∞)，
只需f(x) = ax2 + 4x + 1 取尽大于等于零的全体实数，即只需函数f(x) = ax2 + 4x + 1 与x 轴有交点，开口
向上即可，因此a>0
Δ=16-4a≥0
，解得0 < a ≤4，
综上，0 ≤a ≤4．故选：C．
12 (★★★☆☆)已知f(x) = 1-x
1+x (x ≠-1)．求：
(1) f(0) 及f f 1
2
的值；
(2) f(1 - x) 及f(f(x)).
(1) 因为f x
= 1-x
1+x x≠-1
，
所以f 0
= 1-0
1+0 = 1，f 1
2
=
1- 1
2
1+ 1
2
= 1
3 ，
所以f f 1
2
= f 1
3
=
1- 1
3
1+ 1
3
= 1
2 ；
(2) ∵f x
= 1-x
1+x x≠-1
，又1 - x ≠-1，∴x ≠2，
所以f 1-x
= 1- 1-x
1+ 1-x
=
x
2-x , x≠2
，
f f x
=
1- 1-x
1+x
1+ 1-x
1+x
= x, x≠-1
.
81
夏• 2026 初高衔接
选择胜于努力，笃行成就未来
三函数抽象性的初步认识
初中阶段主要学习三类典型函数，仅对函数形成基础认知．通过刚刚对函数的定义和了解，我们能发现，
高中则从抽象视角对所有函数进行整体表达即f(x)．
初中阶段函数用y 表示函数，高中阶段为什么非要引入f x
表示呢？
其一，单纯使用y，无法区分不同函数的特征；而f(x) 可以借助不同的对应关系，区分各类函数的结构．
如：f(x) = x．g x
= x2- 1，h x
= 1
x 等等
其二，初中只用y，本质只聚焦纵轴取值，是单一结果维度．高中f(x) 是二维绑定：x 代表横轴（自变量、
输入值），f 代表对应法则（横到纵的映射规则），合起来f(x) 直接把横坐标、对应规则、纵坐标三者绑定，
完成平面坐标上的完整定位．相比初中阶段更加精准严谨．
如：f(2) 的含义就是x = 2 时对应的函数值．它既明确了横坐标为2，也确定了对应的纵坐标f(2)，能精
准表达这个点在二维平面内的位置．即见到f(2) 便能定位一个点2,f(2)
．
什么是抽象性?
记号f(x) 可以用来指代任意函数．这本身就是一种高度抽象的整体表达．刚刚我们提到了f(x) 可以看出自
变量x 的特征．由此我们可以对自变量作很多改写和变换：如：f 2x
、f x-1
、f x2
．我们将这些没有特
定解析式，只是抽象表达函数概念的符号结构称为抽象函数．
如何深度理解抽象函数f(x)/f 2x
等?
我们把对应法则f 看作一套固定不变的一台加工机器：
- 括号( )：机器的投料口；
- 括号内整体：投入机器的原材料；
- f(原材料)：机器加工后产出的成品（函数值y）．
f(x)/f 2x
二者虽然投入的原材料括号内整体即定义域
不一样两个x并不相同或等价
，但机器的生产
标准已经固定了，它能接受的材料受投料口限制，所以括号的范围要保持一致，然后机器是固定的，所以生产
出来的成品也是一致的，即二者的值域保持不变．由此我们可以知道抽象函数中非常重要的几个特性：
一个确定对应关系f 下：两个抽象表达f A
与f B
存在如下重要性质:
①二者的定义域x 的取值范围不一定一样．但二者的括号范围是一致．
借助此原则，利用A 范围= B 范围，可以求解抽象函数的定义域．
②f A
与f B
的值域相等．
只要对应关系不发生改变，值域不变．这是后面换元法的重要前提．
抽象函数的特性
82
夏• 2026 初高衔接
选择胜于努力，笃行成就未来
3 (★★★☆☆)若函数f(x) 的定义域为[0，3]，则函数g(x) = f(x2-1)
x2-1
的定义域为
( D )
A. (-1，1) ∪(1，8]
B. [-1，1) ∪(1，8]
C. [-2，-1) ∪(-1，1) ∪(1，2]
D. [-2，-1) ∪(1，2]
由于函数f(x) 的定义域为[0，3]，所以g(x) 的定义域需要满足：
0≤x2-1≤3
x2-1≠0
，解得1 < x ≤2 或-2 ≤x <-1，
故定义域为：[-2，-1) ∪(1，2]．
13 (★☆☆☆☆)已知函数f(x) 的定义域为[-3，0]，
则函数f(2x + 1) 的定义域为
( A )
A.
-2，- 1
2
B. [-3，0]
C.
- 3
2 ，0
D. [-2，1]
∵函数f(x) 的定义域为[-3，0]，∴由-3 ≤2x + 1 ≤0，解得-2 ≤x ≤- 1
2 ．
∴函数f(2x + 1) 的定义域为-2，- 1
2
．故选：A．
14 (★☆☆☆☆)若函数y = f(x) 的定义域为[0，4]，则函数y = f(2x)
x-1 的定义域为
( A )
A. [0，1) ∪(1，2]
B. [0，1)
C. (1，2]
D. [0，1) ∪(1，4]
∵函数y = f(x) 的定义域为[0，4]，则对于函数y = f(2x)
x-1 ，
应有0≤2x≤4
x-1≠0
，求得0 ≤x ≤2 且x ≠1，故的函数y = f(2x)
x-1 的定义域为[0，，1) ∪(1，2]，选：A．
15 (★☆☆☆☆)已知函数f(2x + 1) 的定义域为(-1，0)，则函数f(x) 的定义域为
( A )
A. (-1，1)
B.
-1，- 1
2
C. (-1，0)
D.
1
2 ，1
∵函数f(2x + 1) 的定义域为(-1，0)，即-1 < x < 0，可得-1 < 2x + 1 < 1，∴函数
f(x) 的定义域为(-1，1)．选：A．
16 (★★☆☆☆)已知函数f(3x - 1) 的定义域为[-1，3]，则函数g(x) = f(x+2)
x-3
的定义域为
( A )
A. [-6，3) ∪(3，6]
B. [-3，1]
C. [-1，3)
D. [-2，3) ∪(3，6]
函数f(3x - 1) 的定义域为[-1，3]，当-1 ≤x ≤3 时，-4 ≤3x - 1 ≤8，则函数f(x) 的
定义域为[-4，8]，故函数g(x) = f(x+2)
x-3
中，x 需满足x-3≠0
-4≤x+2≤8
，得-6 ≤x ≤6 且x ≠3．
17 (★★☆☆☆)已知函数f(x + 1) 的定义域为(0，2)，则函数f(x) + f(x2- 1) 的定义域为
( C )
A. (1，
2)
B. (1，
3)
C. ( 2，2)
D. (1，8)
函数f(x + 1) 的定义域为(0，2)，则1 < x + 1 < 3，所以函数f(x) 的定义域为(1，3)；
若函数f(x) + f(x2- 1) 有意义，则1<x<3
1<x2-1<3
，解得
2 < x < 2．
83
夏• 2026 初高衔接
选择胜于努力，笃行成就未来
18 (★★★☆☆)设x ∈R，f(0) = 1，对∀x，y ∈R，有f(x - y) = f(x) - y(2x - y + 1)，求f(x) 解析式
由题意，
令x = y 得，f(0) = f(x) - x(2x - x + 1)
则f(x) = x(x + 1) + 1．
19 (★★★☆☆)设f(x) 是定义在R 上的函数，且任意实数x，y 满足f(x - y) = f(x) + f(y) + xy - 1 恒成
立．
(1) 求f(0)，f(1)；
(2) 求函数f(x) 的解析式．
(1) 令x = y = 0，得f(0) = f(0) + f(0) - 1，即f(0) = 1．
令x = y = 1，得f(0) = f(1) + f(1) + 1 - 1，
即1 = 2f(1)，即f(1) = 1
2 ．
(2) 令y = x，得f(0) = f(x) + f(x) + x2- 1，
即1 = 2f(x) + x2- 1，则2f(x) =-x2+ 2
则f(x) =- 1
2 x2+ 1．
20 (★★★☆☆)已知定义域为R 的函数f(x) 满足：
①f(x + y) = f(x)•f(y) 对任何实数x、y 都成立；
②存在实数x1、x2使，f(x1) ≠f(x2)．
求证：(1) f(0) = 1；
(2) f(x) > 0．
(1) 令x = y = 0 则f(0) = f2(0)，
∴f(0) = 0 或f(0) = 1
若f(0) = 0 则令y = 0，即有f(x) = f(x)•f(0) = 0 对x ∈R 均成立，与②矛盾，
故f(0) ≠0，
若f(0) = 1，则f(x) = f(x) 成立，∴f(0) = 1；
(2) 将x，y 均换成x
2 ，则
f(x) = f2 x
2
即f(x) ≥0，
若f(x) = 0 这与②矛盾，
∴f(x) > 0 成立．
84
夏• 2026 初高衔接
选择胜于努力，笃行成就未来
四函数解析式与换元法(选)
进入高中，常常接触抽象函数方程．这类问题需要对式子进行变形、运算与转化，以此推出f(x) 解析式．
换元法
定义：引入一个或多个新的变量代替原来某些变量，将问题所给形式化繁为简的方法．
换元法其实是初中阶段的整体代换思想，但初中阶段的代换过于粗糙．由前面对函数的定义可知，我们所
谓的换元法，也是一种函数的对应关系，根据函数三要素的约束，可得完整换元法的步骤:
换元法的步骤：
1 设出新元(对应关系)；
2 确定新元的范围(定义域、值域)；
3 用新元表示旧元(代换的关键).
换元法完整步骤
此处三个步骤看似很简单，后期
很多学生一做题就只知道设新元，
从来不标新元的范围．一定要把
换元法的完整步骤记完整．
要点补注
要点补注
mathxiaoshu01
函数解析式的求解方法
已知函数的类型，我们可以设出函数的解析式，用待定系数法求求未知参数，进而得到函数解析式．
对含两个对应关系描述的解析式(eg:f(x) ± f 1
x
或f(x) ± f(−x))，可用方程组法求出函数解析式．
4 (★★★☆☆)求解下列函数的解析式
1
已知f( x + 1) = x + 2 x，求f(x)
2
g x
满足g x
= 2 x ⋅g 1
x
- 1，求g x
设
x + 1 = t，则x = t−1
2
∵
x ≥0 t ≥1
∴f(t) = t−1
2 + 2 t−1
= t2 −1 (t ≥1)
∴f(x) = x2 −1 (x ≥1).
3
已知二次函数f(x) 满足f(0) = 0，且f(x + 1) = f(x) + 2x - 1．求f(x) 的解析式.
设二次函数f(x) = ax2+ bx + c，
由f(0) = 0，可得c = 0；
由f(x + 1) = f(x) + 2x - 1，
可得a(x + 1)2+ b(x + 1) + c = ax2+ bx + c + 2x - 1，
即ax2+ (2a + b)x + a + b + c = ax2+ (b + 2)x + c - 1，
即2a+b=b+2
a+b+c=c-1
，解得a=1
b=-2
，
故f(x) = x2- 2x．
∵g x
= 2 x ⋅g 1
x
- 1
将x 换成1
x 可得：g 1
x
= 2
x g(x) - 1
∴
g x
=2 x⋅g 1
x
-1
g 1
x
= 2
x g(x)-1
g(x) = 2
3
x + 1
3 (x > 0)
85
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选择胜于努力，笃行成就未来
21 (★☆☆☆☆)已知f( x - 1) = x - 2 x，则g(x) = f(x + 1) 的解析式为
( A )
A. g(x) = (x + 1)2- 1(x ≥-2)
B. g(x) = (x + 1)2+ 1(x ≥-1)
C. g(x) = x2- 1(x ≥-1)
D. g(x) = x2+ 1(x ≥0)
f( x - 1) = x - 2 x = ( x - 1)2 - 1，设t =
x - 1 ≥-1，所以f(t) = t2 - 1，t ≥-1，要使得
g(x) = f(x + 1) 有意义，则需x + 1 ≥-1，解得x ≥-2，所以g(x) = (x + 1)2- 1(x ≥-2)．
22 (★★★☆☆) f(x) 的定义域为(0，+∞)，满足2f(x) - f 1
x
= 2x + 1，则f(x) 的最小值为
( A )
A. 1 + 4 2
3
B. 1 + 2 2
3
C. 1 +
2
3
D. 2 2
3
f(x) 的定义域为(0，+∞)，满足2f(x) - f 1
x
= 2x + 1，得2f 1
x
- f(x) = 2
x + 1，联立消去
f 1
x
，得f(x) = 2
3
2x+ 1
x
+ 1，而x > 0，则f(x) = 2
3
2x+ 1
x
+ 1 ≥2
3 ⋅2
2x⋅1
x + 1 = 4 2
3
+ 1，
当且仅当2x = 1
x ，即x =
2
2
时取等号，所以当x =
2
2
时，f(x) 取得最小值1 + 4 2
3
．
23 (★★☆☆☆)已知函数f(x) = x2- 2kx + m．
(1) 若函数f(x) 满足f(0) = f(4) 且f(x) 的最小值为-3，求f(x) 的解析式；
(2) 当m = 2 时，f(x) ≥0 对一切实数x 都成立，求实数k 的取值范围．
(1) 因为f(0) = f(4)，f(x) = x2- 2kx + m，
所以m = 42- 8k + m，解得k = 2，
又因为f(x) 的最小值为-3，
所以f(x)min = 4m-(-2k)2
4
=-3，得4m-16
4
=-3，解得m = 1，
故f(x) = x2- 4x + 1．
(2) 当m = 2 时，f(x) ≥0 对一切实数x 都成立
即x2- 2kx + 2 ≥0 对一切实数x 都成立，
则Δ = 4k2- 8 ≤0，解得- 2 ≤k ≤
2．
所以实数k 的取值范围为[- 2，
2]．
24 (★★★☆☆)已知f(x - 2) = x - 1．
(1) 求函数f(x) 的解析式；
(2) 当x ∈[-1，8] 时，求g(x) = 2x -
f(x) 值域
(1)f(x - 2) = x - 1，∴f(x) = x + 1，
(2) 由x ∈[-1，8] 可得f(x) = x + 1 ∈[0，9]，
g(x) = 2x -
f(x) = 2x -
x+1 = 2(x + 1) -
x+1 - 2，
令t =
x+1，则t ∈[0，3]，
y = 2t2 - t - 2 的开口向上，对称轴t = 1
4 ，
结合二次函数的性质可知，
当t = 1
4 时函数取得最小值- 17
8 ，
当t = 3 时，函数取得最大值13．
故函数的值域- 17
8 ，13
86
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选择胜于努力，笃行成就未来
1 (★☆☆☆☆) f(x) =
x+3 + (x + 2)0 定义域是
( C )
A. [-3，+∞)
B. [-3，-2)
C. [-3，-2) ∪(-2，+∞)
D. (-2, +∞)
x+3≥0
x+2≠0
，解得x ≥-3 且x ≠-2．∴f(x) 定义域是[-3，-2) ∪(-2，+∞)．故选：C．
2 (★☆☆☆☆)下列四个命题中正确的是
( D )
A. f(x) =
x-2 +
1-x 有意义
B. f(x) 表示的是含有x 的代数式
C. 函数y = 2x(x ∈N) 的图象是一直线
D. 函数y = x2,x≥0
-x2,x<0
的图象是连续曲线
A 中，函数定义域为空集，表达式无意义，命题错误；B 中，当f(x) = C 为常函数，f(x)
是不含有X 的代数式，命题错误；命题C 中，函数y = 2x （x ∈N）的图象是由离散的点组成的，不是直线，
错误；命题D 中，作出函数y = x2,x≥0
-x2,x<0
的图象可知D 正确
3 (★★☆☆☆)下列函数与y = |x| 表示同一函数的是
( C )
A. y = ( x)2
B. y =
3 x3
C. y = x，x≥0，
-x，x<0
D. y = x2
|x|
A，y = ( x)2，x ≥0，与y = |x| 定义域不同，不是同一函数；B，y =
3 x3 = x，x ∈R，与y
= |x| = x，x≥0
-x，x<0
的对应关系不同，不是同一函数；C，y = x，x≥0
-x，x<0
，与y = |x| 的定义域相同，对应关系相
同，是同一函数；D，y = x2
|x| = x，x>0
-x，x<0
，与y = |x| = x，x≥0
-x，x<0
的定义域不同，不是同一函数．
4 (★★☆☆☆)已知函数f(x) 的定义域为[-2，2]，则函数g(x) = f(3x) +
x 的定义域为
( B )
A. (0，1]
B.
0，2
3
C.
- 2
3 ，1
D.
0，2
3
f(x) 定义域[-2，2]，∴由-2≤3x≤2
x≥0
，得0 ≤x ≤2
3 ．∴函数g(x) = f(3x) +
x 的定
义域为0，2
3
．故选：B．
5 (★★☆☆☆)已知函数f(x + 2) 的定义域为(-3，4)，则函数g(x) =
f(x)
3x-1 的定义域为
( C )
A.
1
3 ，4
B.
1
3 ，2
C.
1
3 ，6
D.
1
3 ，1
∵函数f(x + 2) 的定义域为(-3，4)，即-3 < x < 4，
∴x + 2 ∈(-1，6)，即f(x) 的定义域为(-1，6)．
又3x - 1 > 0，∴x > 1
3 ，取交集可得函数g(x) 的定义域为
1
3 ，6
．
C．
87
夏• 2026 初高衔接
选择胜于努力，笃行成就未来
6 (★★★☆☆)函数f(x) =
x
mx2-x+2
的定义域为R，则实数m 的取值范围是
( B )
A.
1
8 ,+∞
B.
1
8 ,+∞
C.
0, 1
8
D.
0, 1
8
∵函数f(x) =
x
mx2-x+2
的定义域为R，∴mx2 - x + 2 > 0 对任意x ∈R 恒成立，当m
= 0 时，有x < 2，不合题意；当m ≠0 时，需要m>0
1-8m<0
，m > 1
8 ．∴m 的范围
1
8 ，+∞
．
7 (★★☆☆☆)已知二次函数f(x) 满足f(x + 1) - f(x) = 2x，f(0) = 1．
(1) 求f(x) 的解析式；
(2) ∀x ∈[-1，3]，f(x) + m > 0 恒成立，求m 的取值范围．
(1) 设f(x) = ax2+ bx + c(a ≠0)，
则a(x + 1)2- ax2+ b(x + 1) - bx + c - c = 2x ⇒2ax + a + b = 2x，则a = 1，b =-1；
f(0) = 1 ⇒c = 1，则f(x) = x2- x + 1；
(2) ∀x ∈[-1，3]，f(x) + m > 0 恒成立⇒m > [- (x2- x + 1)]max．
- (x2 - x + 1) =-x2 + x - 1 =- x2-x+ 1
4
- 3
4 =- x- 1
2
2
- 3
4 ≤- 3
4 ，
当x = 1
2 ∈[-1，3] 时取等号，故m >- 3
4 ．
即m 的取值范围为{m m>- 3
4
．
8 (★★★☆☆)已知函数f(x + 1) = x2- x + 3．
(1) 求f(x) 的解析式；
(2) 设函数g(x) = (a + 3)x + f(x)，若g(x) 在[-1，2] 上的最小值是1，求a 的取值集合．
(1) 设t = x + 1，则x = t - 1，
所以f(t) = (t - 1)2- (t - 1) + 3 = t2- 3t + 5，故f(x) = x2- 3x + 5；
(2) 由(1) 可知f(x) = x2- 3x + 5，则g(x) = x2 + ax + 5 = x+ a
2
2
- a2
4 + 5，
当- a
2 <-1，即a > 2 时，g(x) 在[-1，2] 上单调递增，
则g(x)min = g(-1) = 6 - a = 1，解得a = 5；
当-1 ≤- a
2 ≤2，即-4 ≤a ≤2 时，g(x) 在-1，- a
2
上单调递减，在- a
2 ，2
上单调递增，
则g(x)min = g - a
2
=- a2
4 + 5 = 1，解得a =-4(a = 4 舍去)；
当- a
2 > 2，即a <-4 时，g(x) 在[-1，2] 上单调递减，
则g(x)min = g(2) = 2a + 9 = 1，得a =-4(舍去)，
综上，a 的取值集合是{5，-4}．
88
夏• 2026 初高衔接
选择胜于努力，笃行成就未来
9
函数单调性与奇偶性
函数单调性与奇偶性
[教学重难点]
[教学目标]
[核心素养]
函数单调性
掌握定义法证明单调性，熟练高中
单调性的数学化语言
逻辑推理、直观想象
函数奇偶性
快速判断函数奇偶性，结合性质求
解不等式、参数等
数学抽象、逻辑推理
一函数单调性的认识与应用
我们知道，画出某一函数的图象，通过观察和分析图象特征，可以得到该函数的一些简单性质．观察函数
f(x) = x2的图象，请你说说它们自变量与因变量之间的变化趋势．
观察上面的函数图可知：
图象在x ∈-∞,
0
上y 随x 的增大而减小，我们称为单调递减．
在x ∈0,
+∞
上y 随x 的增大而增大．我们称为单调递增
单调性
上述这样y 随x 的变化而变化的性质描述在初中阶之为函数的增减性，高中称之为函数的单调性．
对于能够刻画出图象的函数，我们可以从图上直观的读出其增减性的变化，得到其单调区间．
某一函数在某一单调性下拥有多个单调区间，则这些区间只能用“，”隔开，不能用“∪”连接．
单调区间的特性
1 (★☆☆☆☆) 如图是函数y = f(x) 的图象，请根据图象完成下列问题：
函数f(x) 的单调增区间是：
-3,-1
, 1, 7
2
函数f(x) 的单调减区间是：
-1,1)
,
7
2 ,5
1
(★☆☆☆☆)如图是函数y = f(x) 的图象，则函数f(x) 的单调递减区间是
( D )
A. (-1，0)
B. (1，+∞)
C. (-1，0) ∪(1，+∞)
D. (-1，0)，(1，+∞)
单调递减，对应图象为下降，由图象知，函数在(-1，0)，(1，+∞) 上分别下降，选：D
O
x
y
x
y
7
2
-1
-3
1
5
x
y
-1
-2
1
2
89
夏• 2026 初高衔接
选择胜于努力，笃行成就未来
2
(★☆☆☆☆)函数f(x) = 3x - 1 单调递增区间为
( C )
A. (-∞，0)
B. (-∞，-1)
C. R
D. (-1，+∞)
在f(x) = 3x - 1 中，k = 3 > 0，则f(x) 在R 上为增函数，
则f(x) 的单调递增区间为R，故选：C．
3
(★☆☆☆☆) y = x2+ 10 的单调增区间为
( B )
A. (-∞，0)
B. (0，+∞)
C. (-∞，+∞)
D. (10，+∞)
根据题意，y = x2+ 10 是二次函数，其对称轴为y 轴，开口向上，
则y = x2+ 10 的单调增区间为(0，+∞)；故选：B．
当我们把初中的特例函数推广到一般的函数时，我们很难刻画出复杂的函数在连续情况下的图象，此时无
法通过图象特点来研究函数性质．由此我们需要借助代数运算符号语言
刻画这种性质．显然刚刚这种增大而
减小，或增大而增大是一个比较大小的概念．那我们如何刻画f(x) = x2在-∞,0
的单调性呢？
2 (★★★☆☆) 结合图象，利用数学符号语言证明：f(x) = x2在-∞,0
上单调递减．
∀x1，x2∈-∞,0
，内任意两点(x1,f(x1))、(x2,f(x2))
得f(x1) = x2
1，f(x2) = x2
2
∵f(x1) - f(x2) = x2
1 - x2
2 = (x1+ x2) (x1- x2)
当x1< x2≤0 时，x1- x2< 0，x1+ x2< 0
∴(x1+ x2) (x1- x2) > 0，即f(x1) - f(x2) > 0
故f(x1) > f(x2) 恒成立．显然自变量越大，函数值越小，图象为下降的趋势
∴函数f(x) = x2在区间(-∞,0] 上单调递减．与图象保持一致．
函数单调性
设任意①实数x1、x2 ∈[a,b], 且满足x1 < x2．若有：
①f(x1) −f(x2) < 0 称函数f(x) 在[a,b] 上是增函数，或f(x) 在[a,b] 上单调递增；
②f(x1) −f(x2) > 0 称函数f(x) 在[a,b] 上是减函数，或f(x) 在[a,b] 上单调递减．
f(x1)
x1
x2
f(x2)
x
y
f(x1)
x1
x2
f(x2)
x
y
若一个函数在定义区间[a,b] 上有唯一的单调性，且A,B ∈[a,b], 则：
f(x) 在[a,b] 上单增f(A) > f(B)A > B，即：自变量大(小)，函数值也大(小)，二者同步变化；
f(x) 在[a,b] 上单减f(A) > f(B)A < B, 即：自变量大(小)，函数值反而小(大), 二者逆向变化．
抽象不等式与单调性的关系
x1
x2
f(x1)
f(x2)
x
y
为什么要加任
意呢？
要点补注
要点补注
mathxiaoshu01
90
夏• 2026 初高衔接
选择胜于努力，笃行成就未来
4 (★☆☆☆☆)下列函数中，在区间(0，+∞) 上是减函数的是
( C )
A. y = 3x + 2
B. y = 5x
C. y = 1 - x2
D. y =- 1
x
由初中阶段的函数性质可知C 选项正确．
5
(★☆☆☆☆)若函数f(x) = (m - 1)x + 1 在R 上是增函数，则f(m) 与f(1) 的大小关系是
( B )
A. f(m) < f(1)
B. f(m) > f(1)
C. f(m) ≤f(1)
D. f(m) ≥f(1)
∵函数f(x) = (m - 1)x + 1 在R 上是增函数，
∴m - 1 > 0，解得m > 1，∴f(m) > f(1)．故选：B．
6
(★★☆☆☆)若函数y = f(x) 在R 上单调递减，且f(2m - 3) > f(-m)，则m 的取值范围是
( D )
A. (-∞，-1)
B. (-1，+∞)
C. (1，+∞)
D. (-∞，1)
因为函数y = f(x) 在R 上单调递减，且f(2m - 3) > f(-m)，所以2m - 3 <-m，解得，
m < 1，所以m 的范围(-∞，1)．故选：D．
7
(★★☆☆☆)函数f(x) 定义在[-4，4] 上的减函数，且f(a + 1) > f(2a)，则a 的范围是
( C )
A. [-4，1)
B. (1，4]
C. (1，2]
D. [-5，2]
因为函数y = f(x) 是定义在[-4，4] 上的减函数，且f(a + 1) > f(2a)，
所以-4 ≤a + 1 < 2a ≤4，解得，1 < a ≤2．故选：C．
8
(★★☆☆☆)函数f(x) 对于任意x ∈R，恒有f(x) < f x+ 1
2
，那么
( A )
A. 可能存在单调区间
B. f(x) 是R 上的增函数
C. 不可能有单调区间
D. 一定有单调区间
f(x) 对于任意x ∈R，恒有f(x) < f x+ 1
2
，则f(x) 可为取整函数，满足f(x) < f x+ 1
2
，
不是增函数，无单调区间，也可以为f(x) = x，满足f(x) < f x+ 1
2
，是增函数，其递增区间为R，则f(x) 可
能存在单调区间，也可能不存在单调区间，则A 正确，BCD 错误；故选：A．
9
(多选•★★☆☆☆)设函数f(x)，g(x) 的定义域都为R，且f(x) > 0，g(x) > 0，f(x) 是减函数，g(x)
是增函数，则下列说法错误的有
(
AC
)
A. g(x) + f(x) 是增函数
B. f(x) - g(x) 是减函数
C. f(x)g(x) 是增函数
D. f(x)
g(x) 是减函数
四个选项均采用函数单调性的证明方法．可以知道AC 错误．
D，∀x1，x2∈R，x1< x2，由g(x) 是增函数，
且g(x) > 0，得0 < g(x1) < g(x2)，则
1
g(x1) >
1
g(x2)
由f(x) > 0，f(x) 为减函数，得f(x1) > f(x2) > 0，
于是f(x1)
g(x1) > f(x2)
g(x2) ，f(x)
g(x) 是减函数，D 正确．
故选：AC．
该题是单调性的运算性质：
①增+增=增，增−减=增
②添负号、取倒数：单调性反转
③开根号：单调性不变
要点补注
要点补注
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91
夏• 2026 初高衔接
选择胜于努力，笃行成就未来
10 (多选•★★★★☆)已知定义在(0，+∞) 上的函数f(x) 满足下列条件：①f(xy) = xf(y) + yf(x)；②当
x > 1 时，f(x) < 0．则
( ACD )
A. f(1) = 0
B. f 1
x
= f(x)
C. 当x > 1 时，f(x2) < 2f(x)
D. f(x) 在(1，+∞) 上单调递减
A，令x = y = 1，得f(1) = f(1) + f(1)，所以f(1) = 0，A 正确；
B：令y = 1
x ，得f(1) = xf 1
x
+ 1
x f(x) = 0，f 1
x
=- 1
x2 ⋅f(x)，f(x) 不恒为0，故B 错误；
C：令y = x，得f(x2) = 2xf(x)，当x > 1 时，f(x) < 0，∴2xf(x) < 2f(x)，∴f(x2) < 2f(x)，C 正确；
D 设任意x1，x2 ∈(1，+∞)，且x1 < x2，令x = x1，y = x2
x1
，则f x1⋅x2
x1
= x1 f
x2
x1
+ x2
x1
f(x1)，即f(x2) - x2
x1
f(x1) =
x1f x2
x1
，由于x2 > x1 > 1，故有x2
x1
> 1，f(x1) < 0，f x2
x1
< 0，∴f(x2) - f(x1) < f(x2) - x2
x1
f(x1) = x1f x2
x1
< 0，即f(x1)
> f(x2)，故f(x) 在(1，+∞) 上单减，D 正确．
11 (★★☆☆☆)已知函数f(x) 满足f(3x + 1) = 3x，函数g(x) = 1
x - f(x)．
(1) 求f(x) 的解析式；
(2) 用单调性的定义证明g(x) 在(1，+∞) 上单调递减；
(3) 求g(x) 在[2，4] 上的值域．
(1)f(3x + 1) = 3x = 3x + 1 - 1，
则f(x) = x - 1；
(2) 证明：g(x) = 1
x - f(x) = 1
x - x + 1，
任取x1> x2> 1，则x2- x1< 0，1 +
1
x1x2
> 0，
g(x1) - g(x2) = 1
x1
- 1
x2
+ x2- x1= (x2- x1) 1+
1
x1x2
< 0，所以g(x1) < g(x2)，
g(x) 在(1，+∞) 上单调递减；
(3) 由(2) 得g(x) 在[2，4] 上单调递减，且g(2) =- 1
2 ，g(4) =- 11
4 ，
故函数g(x) 在[2，4] 上的值域为- 11
4 ，- 1
2
．
12 (原创•★★★☆☆)已知函数f(x) = x3．
(1) 证明：函数f(x) 在R 上单调递增；
(2) ∀t ∈R，f(mt2+ 1) > f(mt - 1) 恒成立，求m 的范围．
1
任取x1,x2∈R，且x1< x2．
f(x1) - f(x2) = x3
1- x3
2= (x1- x2) (x2
1+ x1x2+ x2
2)
由x1< x2，得x1- x2< 0．对x2
1+ x1x2+ x2
2 配方：x2
1+ x1x2+ x2
2= x1+ 1
2 x2
2
+ 3
4 x2
2
平方项恒非负，且
x1+ 1
2 x2
2
与3
4 x2
2 不可能同时为0，因此x2
1+ x1x2+ x2
2> 0．
所以(x1- x2) (x2
1+ x1x2+ x2
2) < 0，即f(x1) - f(x2) < 0，f(x1) < f(x2)．故f(x) = x3 在R 上单调递增．
2
∵f(x) 在R 上为增函数，f(mt2+ 1) > f(mt - 1)，∴mt2+ 1 > mt - 1 对∀t ∈R 恒成立，
即mt2- mt + 2 > 0 对任意的t ∈R 恒成立．
①m = 0 时，不等式化为2 > 0 恒成立，符合题意；
②m ≠0 时，有m>0
Δ=m2-8m<0
即0 < m < 8．综上，m 的取值范围为0,8
．
92
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13 (★★★★☆)已知定义在R 上的函数h(x) 满足：①h(1) = 2；②∀x，y ∈R，均有h(x) - h(x - y) =
2y(2x - y)．已知函数g(x) = ax - 2，且g(1) = h(1)．
(1) 求h(0)，以及函数h(x) 和g(x) 的解析式；
(2) 若f(x) = g(x)+2
2h(x)+8 ，
(i) 判断函数f(x) 在区间( 2，+∞) 上的单调性，并用定义法证明；
(ii) 已知0 < x1< x2，且f(x1) = f(x2)，证明：x1 + x2 > 2 2．
(1) 由∀x，y ∈R，均有h(x) - h(x - y) = 2y(2x - y)，h(1) = 2，
令x = y = 1，则h(1) - h(0) = 2，所以h(0) = 0，
令y = x，则h(x) - h(0) = 2x(2x - x)，所以h(x) = 2x2，
由g(1) = h(1)，得a - 2 = 2，解得a = 4，所以g(x) = 4x - 2；
(2) (ⅰ) 由(1) 得f(x) = g(x)+2
2h(x)+8 =
4x
4x2+8 =
x
x2+2
在区间( 2，+∞) 上的单调递减，
∀x1，x2 ∈( 2，+∞)，x1 < x2，
由
2 < x1 < x2，得x1x2 > 2，x2 - x1 > 0，x2
1 + 2 > 0，x2
2 + 2 > 0，
则f(x1) - f(x2) =
x1
x2
1+2 -
x2
x2
2+2 = x1(x2
2+2)-x2(x2
1+2)
(x2
1+2)(x2
2+2)
= (x1x2-2)(x2-x1)
(x2
1+2)(x2
2+2)
> 0，
因此f(x1) - f(x2) > 0，即f(x1) > f(x2)，
所以f(x) 在区间( 2，+∞) 上的单调递减．
(ⅱ) 证明：由0 < x1< x2，f(x1) = f(x2)，
得
x1
x2
1+2 =
x2
x2
2+2 ⇔x1 + 2
x1
= x2 + 2
x2
⇔(x1 - x2) 1-
2
x1x2
= 0，
则x1x2= 2，所以x1 + x2 > 2 x1x2 = 2 2．
93
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二函数奇偶性的认识与应用
前面我们用符号语言精确地描述了函数图象在定义域的某个区间上“上升”（或“下降”）的性质．下
面我们将继续研究函数的其他性质．画出并观察函数f(x) = x2，g(x) = 1
x 的图象，你能发现这两个函数图象
除了单调性以外还有什么特征吗？这些特征如何用符号语言进行描述？
x1
x2
f(x1)
f(x2)
x
y
x1
x2
g(x1)
g(x2)
x
y
由图象可以发现(区间D 为函数定义域)：
①
函数f(x) = x2的定义域为x ∈-∞,+∞
, 函数g(x) = 1
x 的定义域为x ∈-∞,0
∪0,+∞
由此可知：
两个函数的定义域都关于原点对称．
②函数f(x) = x2的图象关于y 轴对称．类比单调性的符号语言，我们可以得到：
两个关于y 轴对称的点(x1,f(x1)) 与(x2,f(x2)) 满足：
x1+x2=0
f(x1)= f(x2)
消元
f(x1) = f(-x1)
整个函数图象都关于y 轴对称，即函数图象上所有的点都关于y 轴对称，则有：∀x ∈D，f(-x) = f(x)
③函数g(x) = 1
x 的图象关于原点对称．我们可以得到：
两个关于原点对称的点(x1,g(x1)) 与(x2,g(x2)) 满足：
x1+x2=0
g(x1)+g(x2)=0
消元
g(-x1) =-g(x1)
整个函数图象都关于原点对称，即函数图象上所有点都关于原点对称，则有：∀x ∈D，g(-x) =-g(x)
奇偶性
一般的，设函数y = f(x) 的定义域为D，若D 内的任意一个x，都有f(-x) =-f(x)，则称这个函数为奇函
数．若D 内的任意一个x，都有f(-x) = f(x)，则称这个函数为偶函数。如果函数f(x) 是奇函数或偶函数，那
么我们就说函数f(x) 具有奇偶性．
若一个函数y = f(x) 具备奇偶性，则函数y = f(x) 的图象有如下对称特点：
奇函数
偶函数
前
提
函数的定义域关于原点对称
图
示
x
y
x
y
对称性
图象关于原点对称
图象关于y 轴对称
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若函数y = f(x) 的定义域为D，且函数y = f(x) 具备奇偶性，则函数y = f(x) 需满足：
①函数f(x) 的定义域关于原点对称．即D = a,b
或D = -∞,a
∪b,+∞
, 则有：a + b = 0
②函数f(x) 为偶函数，则有：f(-x) = f(x)；函数f(x) 为奇函数，则有：f(-x) + f(x) = 0.
③若奇函数y = f(x) 在x = 0 处有定义，则有：f(0) = 0.(奇函数定义与函数定义自洽所产生的结论)
④偶函数y = f(x) 为偶函数，则有对任意的x，都有：f(x) = f( x
)
奇偶函数的要点汇总
3 (★★☆☆☆)完成下列问题：
1
请判断函数f(x) =
x
1+x2 的奇偶性．
2
函数f(x) = |x-2|-a
4-x2
是奇函数，求f a
2
①先判断定义域是否关于原点对称．
∵函数的定义域为R，定义域关于原点对称
②计算f(-x) ∵f(-x) =
-x
1+(-x)2 =-
x
1+x2 =-f(x)
∴f(x) 是奇函数
2
已知定义R 上的奇函数f(x)，当x ≥0 时，f(x) = x2 + x．求函数f(x) 的解析式．
当x < 0 时，-x > 0
f(-x) = (-x)2 + -x
= x2 - x
∵f(x) 为奇函数，∴f(x) =-f(-x) =-x2 + x
故f(x) = x2+x,
x≥0
-x2+x,
x<0
14 (★☆☆☆☆)判断下列函数的奇偶性.
(1) f(x) = |x|(x2 + 1)
(2) f(x) =
x + 1
x
1
f(x) 定义域R，关于原点对称．∵f(-x) = | -x|[(-x)2 + 1] = |x|(x2 + 1) = f(x) ∴是偶函数．
2
f(x) 定义域为{x|x > 0} 由于定义域关于原点不对称，故f(x) 既不是奇函数也不是偶函数．
(3) f(x) = 2x3- 3x
(4) f(x) =
1
x2+1
(3) 定义域R 关于原点对称．f(-x) = 2(-x)3- 3(-x) =-2x3+ 3x =-f(x) 奇函数
(4) 定义域R，关于原点对称。f(-x) =
1
(-x)2+1
=
1
x2+1 = f(x) 结论：偶函数
(5) f(x) =
x-1 +
1-x
(6) f(x) =
1-x2 +
x2-1
(5) 定义域：x-1≥0
1-x≥0
x = 1 定义域仅单点{1}，不关于原点对称，结论：非奇非偶函数
(6)f(x) =
1-x2 +
x2-1 的定义域为{1，-1}，由f(1) = 0 且f(-1) = 0，∴f(x) = 0
∴f(x) 图象既关于原点对称，又关于y 轴对称，故f(x) 既是奇又是偶函数
∵f(x) 定义域为-2,2
且f(x) 是奇函数
∴f(0) = 0，即|-2|-a
4-0
= 0，得a = 2 ∴
f(x) = |x-2|-2
4-x2
∴f a
2
= f(1) = |1-2|-2
4-12
=-
3
3
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选择胜于努力，笃行成就未来
15 (★☆☆☆☆)设f(x) 是R 上偶函数, ∀x1, x2∈R x1≠x2
,“f(x1) = f(x2)”是“x1+ x2= 0”的( B )
A. 充分而不必要条件
B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件
D. 不充分也不必要条件
f(x) 是R 上的偶函数，由x1 + x2 = 0 ⇒f(x1) = f(x2)，反之不成立，例如：f(x) = 2，x ∈
R．∴“f(x1) = f(x2)”是“x1+ x2= 0”的必要非充分条件．故选：B．
16 (★☆☆☆☆)函数f(t) = a - 2
t 为奇函数，则a =
( A )
A. 0
B. 1
C. 2
D. 3
∵函数f(t) = a - 2
t 为奇函数，且t ∈-∞,0
∪0,+∞
，
∴f(-t) + f(t) = 0，∴a + 2
t + a - 2
t = 0 a = 0
17 (★★☆☆☆) f(x) 是R 上的奇函数，当x > 0 时，f(x) = 2x - a
x ，且f(2) + f(0) = 1，a =
( C )
A. - 3
B. - 6
C. 6
D. 3
因为f(x) 是R 上的奇函数，则f(0) = 0，当x > 0 时，f(x) = 2x - a
x ，且f(2) + f(0) = 1，
则f(2) = 4 - a
2 = 1，解得a = 6，
18 (★★☆☆☆) f(x) 是R 上的偶函数，当x ≤0 时，f(x) = 3x2+ 2x - 1，则当x > 0 时，f(x) =
( D )
A. - 3x2+ 2x - 1
B. - 3x2- 2x - 1
C. 3x2+ 2x - 1
D. 3x2- 2x - 1
根据题意，当x > 0 时，则-x < 0，则f(-x) = 3(-x)2+ 2(-x) - 1 = 3x2- 2x - 1，
又由f(x) 为偶函数，则f(x) = f(-x) = 3x2- 2x - 1．故选：D．
19 (★★★☆☆)函数f(x) 为R 上的奇函数，正数m，n m≠
1
n -1
满足f(2m) + f 1
n -1
= 0，则1
m
+ n 的最小值为
( D )
A. 3
B. 4 2
C. 2 + 2 2
D. 3 + 2 2
奇函数f (x) 在R 上单调递增，若正数m，n 满足f (2m) + f
1
n -1
= 0，即f (2m) =
-f
1
n -1
= f 1- 1
n
，所以2m = 1 - 1
n ，即2m + 1
n = 1，则1
m + n =
1
m +n
2m+ 1
n
= 3 +
1
mn +
2mn ≥3 + 2 2，当且仅当2mn =
1
mn 且2m + 1
n = 1 时取等号．故选：D．
20 (★★★☆☆)函数f(x) 在[0，+∞) 上单调递增，且为R 上的偶函数，则不等式f(2x - 1) ≤f(1) 的解
集为
( D )
A. [-2，2]
B. [-1，2]
C. [-1，1]
D. [0，1]
则f(2x - 1) ≤f(1) 可以变为f(|2x - 1|) ≤f(1)，则|2x - 1| ≤1，解得0 ≤x ≤1．
21 (★★★☆☆)设函数f(x) 为奇函数，且当x ≥0 时，f(x) 在[0，+∞) 上为增函数，则不等式f(2x -
1) + f(x - 2) > 0 的解集为
( D )
A. (-∞，1)
B.
-∞，1
3
C.
1
3 ，+∞
D. (1，+∞)
由f(x) 为奇函数，则f(x) 在区间(-∞，0] 上也为增函数，故f(x) 在R 上为增函数；f(2x
- 1) + f(x - 2) > 0 ⇒f(2x - 1) >-f(x - 2) ⇒f(2x - 1) > f(2 - x) ⇒2x - 1 > 2 - x，得x > 1
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选择胜于努力，笃行成就未来
22 (★★★☆☆)函数f(x) = ax-b
9-x2 是定义在(-3，3) 上的奇函数，且f(1) = 1
4 ．
(1) 确定f(x) 的解析式；
(2) 证明f(x) 在(-3，3) 上的单调性；
(3) 解关于t 的不等式f(t - 1) + f(t) < 0．
(1) ∵函数f(x) = ax-b
9-x2 是定义在(-3，3) 上的奇函数，则f(0) = -b
9
= 0，解可得b = 0．
又由f(1) = 1
4 ，则有f(1) = a
8 = 1
4 ，解可得a = 2，故f(x) =
2x
9-x2 ．
(2) 由(1) 的结论，f(x) =
2x
9-x2 ，设-3 < x1< x2< 3，
则f(x1) - f(x2) =
2x1
9-x2
1
-
2x2
9-x2
2
= 2x1(9-x2
2)-2x2(9-x2
1)
(9-x2
1)(9-x2
2)
= 2(9+x1x2)(x1-x2)
(9-x2
1)(9-x2
2)
，
再根据-3 < x1< x2< 3，可得9 + x1x2> 0，x1- x2< 0，9 - x2
1 > 0，9 - x2
2 > 0，
故有f(x1) - f(x2) < 0，即f(x1) < f(x2)，
可得函数f(x) 在(-3，3) 上为增函数．
(3) 由(1) (2) 知f(x) 为奇函数，且在(-3，3) 上为增函数，
关于t 的不等式f(t - 1) + f(t) < 0，即式f(t - 1) <-f(t) = f(-t)，
可得
-3<t-1<3
-3<-t<3
t-1<-t
，解可得：-2 < t < 1
2 ，
即不等式的解集为-2，1
2
．
23 (★★★☆☆)函数f(x) = ax2+bx+c
1+x2
(a，b，c ∈R) 是定义在R 上偶函数，且f(1) = 0，f(0) =-2．
(1) 求实数a，b，c 的值；
(2) 判断f(x) 在区间[0，+∞) 上的单调性，并用定义证明；
(3) 已知f(3x) ≤f(x + 2)，求实数x 的取值范围．
(1) 因为f(x) 是定义在R 上的偶函数，所以f(-x) = f(x)，即ax2-bx+c
1+x2
= ax2+bx+c
1+x2
，
即得2bx = 0，结合x ∈R，解得b = 0，则f(x) = ax2+c
1+x2 ，
因为f(1) = 0，f(0) =-2，所以
a+c
2
=0
c=-2
，解得a = 2，c =-2．
所以a = 2，b = 0，c =-2．
(2) 由(1) 得f(x) = 2x2-2
1+x2 ，f(x) 在区间[0，+∞) 上的单调递增，证明如下：
在[0，+∞) 上任取x1，x2，且x1< x2，所以x2
1 - x2
2 < 0，1 + x2
1 > 0，1 + x2
2 > 0，
则f(x1) - f(x2) = 2x2
1-2
1+x2
1
- 2x2
2-2
1+x2
2
= (2x2
1-2)(1+x2
2)-(2x2
2-2)(1+x2
1)
(1+x2
1)(1+x2
2)
=
4(x2
1-x2
2)
(1+x2
1)(1+x2
2) < 0，
即f(x1) < f(x2)，所以f(x) 在区间[0，+∞) 上的单调递增．
(3) 由(2) 得f(x) 在[0，+∞) 上的单调递增，且f(x) 为偶函数，
因为f(3x) ≤f(x + 2)，所以|3x| ≤|x + 2|，则9x2≤x2+ 4x + 4，整理得2x2- x - 1 ≤0
得- 1
2 ≤x ≤1，则实数x 的取值范围为- 1
2 ，1
．
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选择胜于努力，笃行成就未来
1 (★☆☆☆☆)下列四个函数中，在(0，+∞) 上为增函数的是
( D )
A. f(x) = 3 - x
B. f(x) = x2- 3x
C. f(x) = 1
x
D. f(x) = |x|
A，f(x) = 3 - x 是减函数；B，f(x) = x2 - 3x 在
3
2 ，+∞
上是增函数；C 中，f(x) =
1
x 在(-∞，0) 和(0，+∞) 上减，；D，f(x) = |x| 在(-∞，0) 上是减函数，在(0，+∞) 上是增；
2 (★☆☆☆☆)“f(0) = 0”是“函数f(x) 是定义在R 上的奇函数”的
( B )
A. 充分不必要条件
B. 必要不充分条件
C. 充要条件
D. 既不充分也不必要条件
若f(0) = 0，函数f(x) 不一定是R 上的奇函数不是充分条件，若f(x) 是定义在R 上的奇函
数，则f(0) = 0，必要条件
3 (★★☆☆☆) f(x) 为R 上的奇函数，若a，b a≠b
-1
满足f(a) + f(b - 1) = 0，则a + b =
( C )
A. - 1
B. 0
C. 1
D. 2
函数f(x) 为R 上的奇函数∵f(a) + f(b - 1) = 0，∴a + b - 1 = 0, ∴a + b = 1 故选：C．
4 (多选•★★☆☆☆)设函数f(x) 在R 上为增函数，则下列结论错误的是
( ABC )
A. y =
1
f(x) 在R 上为减函数
B. y = |f(x)| 在R 上为增函数
C. y =-
1
f(x) 在R 上为增函数
D. y =-f(x) 在R 上为减函数
设f(x) = x，f(x) 在R 上增函数，A，y =
1
f(x) = 1
x ，在x = 0 处没有意义，A 错误；
B，y = |f(x)| = |x| 在R 上不是增函数，B 错误；C，函数y =-
1
f(x) 在x = 0 处没有意义，C 错误；
对于D，因为函数y = f(x) 在R 上为增函数，则函数y =-f(x) 在R 上是减函数，选项D 正确．
5 (★★☆☆☆)函数f(x) =
2-x2
x
图象关于
( B )
A. x 轴对称
B. 原点对称
C. y 轴对称
D. 直线y = x 对称
定义域为{x| - 2 ≤x ≤
2 且x ≠0}，∵f(-x) =
2-x2
-x
=-f(x)，∴f(x) 奇函数
6 (★★★★☆) f(x) 是偶函数，且f(x) 在[0，+∞) 上是增函数，如果f(ax + 1) ≤f(x - 2) 在x ∈
1
2 ,1
上恒成立，则a 的取值范围是
( D )
A. [-2，1]
B. [-5，0]
C. [-5，1]
D. [-2，0]
由题意可得|ax + 1| ≤|x - 2| 对x ∈
1
2 ,1
恒成立，
得x - 2 ≤ax + 1 ≤2 - x 对x ∈
1
2 ,1
恒成立，
从而a ≥x-3
x
且a ≤1-x
x
对x ∈
1
2 ,1
恒成立，
∴a ≥-2 且a ≤0，即a ∈[-2，0]
98
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选择胜于努力，笃行成就未来
7 (★★☆☆☆)函数f(x) 满足：当x ≤0 时，f(x) = x2 + 2x．图象如图所示．请解答下列问题：
(1)若函数f(x) 是奇函数，求出解析式，补全函数图象，并根据图象求不等式f(x) ≥0 解集；
(2)若函数f(x) 是偶函数，求出解析式，补全函数图象，并根据图象求不等式f(x) ≥0 解集．
4
3
2
1
4
3
2
1
5
4
3
2
1
4
3
2
1
x
y
4
3
2
1
4
3
2
1
5
4
3
2
1
4
3
2
1
x
y
补全函数图象如下所示：
(1) f(x) 为奇函数时f(x) = x2+2x,
x≤0
-x2+2x,
x>0
，f(x) ≥0 的解集是：-∞,-2
∪0,2
(2) 当f(x) 为偶函数时f(x) = x2+2x,
x≤0
x2-2x,
x>0
，f(x) ≥0 解集：-∞,-2
∪2,+∞
8 (★★★☆☆)已知函数f(x) = 1-ax2
1+x2 + bx3(a ≠-1) 是偶函数．
(1) 求b；
(2) 判断f(x) 在(0，+∞) 上的单调性，并说明理由；
(3) 若x ∈[2，3]，|f(x)| ≤1
2 ，求a 的取值范围．
(1) 函数的定义域为R，f(-x) = f(x)，
即1-ax2
1+x2 - bx3 = 1-ax2
1+x2 + bx3，即b = 0；
(2) 当a >-1 时，f(x) 在(0，+∞) 单调递减，
当a <-1 时，f(x) 在(0，+∞) 单调递增，理由如下：
由(1) 得f(x) = 1-ax2
1+x2 (a ≠-1)，设0 < x1< x2，
f(x1) - f(x2) = 1-ax2
1
1+x2
1
- 1-ax2
2
1+x2
2
= x2
2-ax2
1-x2
1+ax2
2
(1+x2
1)(1+x2
2)
= (1+a)(x2
2-x2
1)
(1+x2
1)(1+x2
2) ，
因为0 < x1< x2，所以1 + x2
1 > 0，1 + x2
2 > 0，x2
2 - x2
1 > 0，
当1 + a > 0，即a >-1 时，f(x1) > f(x2)，f(x) 在(0，+∞) 单调递减，
当1 + a < 0 时，即a <-1，f(x1) < f(x2)，f(x) 在(0，+∞) 单调递增；
综上，当a >-1 时，f(x) 在(0，+∞) 单调递减，当a <-1 时，f(x) 在(0，+∞) 单调递增．
(3) 若x ∈[2，3]，|f(x)| ≤1
2 ，
由(2) 可知，不管a >-1，还是a <-1，函数都单调，所以|f(x)| 的最大值必在端点处取得，
则|f(2)| ≤1
2 且|f(3)| ≤1
2 ，即|1-4a|
5
≤1
2 ，且|1-9a|
10
≤1
2 ，
得- 3
8 ≤a ≤2
3 ，即a 的取值范围是- 3
8 ，2
3
．
99
夏• 2026 初高衔接
选择胜于努力，笃行成就未来
10
函数对称性与周期性的初步认识
函数对称性与周期性的初步认识
[教学重难点]
[教学目标]
[核心素养]
三角函数的化简
掌握公式变形，将复杂三角函数化
为y = Asin(ωx + φ) + B 标准形式
数学运算、数学抽象
正弦型三角函数图象性质
理解参数对图象的影响，会求周期、
单调区间及指定区间上的最值
直观想象、逻辑推理
一函数对称性的认识
通过奇偶函数的学习，我们初步认识了函数的对称性．奇函数与偶函数属于特殊的对称函数，想要全面掌
握相关知识，就需要拓展范围，系统研究函数的一般对称性．
轴对称
若函数存在对称轴，设对称轴为直线x = a．任取自变量x，则关于直线x = a 对
称的两个点可表示为a - x 与a + x，这两处对应的函数值相等，即：f(a - x) = f(a + x)
由此我们得到了：
f(x) 图象关于x = a 呈轴对称的充要条件是：∀x ∈I，恒有：f(a - x) = f(x + a)
中心对称
若函数存在对称中心，设对称中心为点(a,b)．任取自变量x，则关于
点(a,b) 中心对称的两个点横坐标可表示为a - x 与a + x，此时这两处对应
的函数值也关于y = b 对称，即：f(a - x) + f(a + x) = 2b
由此我们得到了：
f(x) 图象关于(a,b) 呈中心对称的充要条件是：∀x ∈I，恒有：f(a - x) + f(a + x) = 2b
对称性抽象方程的特征
①内部变量互反．套中点坐标公式可求得横方向的对称：x0= x1+x2
2
= a-x+a+x
2
= a
②轴对称的特点是二者在同一高度，所以函数值相等，即：f = f；中心对称的特点是f + f = 定值．
当我们遇到内部变量互反并的抽象方程时，可以首先明确它推导的结论是对称性；若存在f = f，那就
是推轴对称，直接套重点坐标公式x0 = x1+x2
2
可得对称对称轴；若是f + f 的则是推对称中心，对称中心
的求解方法是：横纵坐标均套重点坐标公式，如：
x0= x1+x2
2
= a-x+a+x
2
=a
y0= f(a-x)+ f(x+a)
2
= 2b
2 =b
对称性抽象方程的特征
x
a-x
a
a+x
x
x
△y
b
a
f(a+x)
a+x
a-x
f(a-x)
△y
x
y
100
夏• 2026 初高衔接
选择胜于努力，笃行成就未来
1 (★★★☆☆)已知函数f(x) 的定义域为R，对∀x ∈R，f(1 + x) = f(1 - x) 恒成立，且当x ≥1 时，f(x)
= x2，则f(8) - f(-2) =
( C )
A. - 48
B. - 12
C. 48
D. 12
由f(1 + x) = f(1 - x)，函数图象对称轴为直线x = 1，
由轴对称性质：f(-2) = f[1 + (1 - (-2))] = f(4)．x ≥1 时f(x) = x2
f(8) = 82= 64，f(4) = 42= 16，
f(8) - f(-2) = f(8) - f(4) = 64 - 16 = 48，答案选C。
1
(★☆☆☆☆)设实数集R 上定义的函数y = f(x)，对任意的x ∈R 都有f(x) + f(-x) = 1，则这个函数
的图象关于
( C )
A. 原点对称
B. y 轴对称
C. 点0，1
2
对称
D. 点(0，1) 对称
由课堂讲解知识可知变量互反，函数值之和等于定值推的是对称中心
直接套中点坐标公式可得关于点0，1
2
对称．
2
(★★☆☆☆)函数f(x) = x2- 2ax + 3，且满足：f(x + 2) = f(2 - x)，则以下关系正确的是
( C )
A. f(-1) < f(2) < f(3)
B. f(3) = f(2) < f(-1)
C. f(2) < f(3) < f(-1)
D. f(2) < f(-1) < f(3)
据题意：f(2 - x) = f(2 + x) 对称轴为x = 2，开口向上．
∴f(x) 在[2，+∞) 上单调递增，f(-1) = f(5)，则有f(2) < f(3) < f(-1)，故选：C．
3
(★★☆☆☆)函数f(x) = x2 + ax - 2 对∀x 都有f(1 - x) = f(1 + x) 成立，则f(x) 的值域
( C )
A. [-1，+∞)
B. [-2，+∞)
C. [-3，+∞)
D. [0，+∞)
f(1 - x) = f(1 + x) 成立，可得f(x) 关于直线x = 1 对称，即有- a
2 = 1，即a =-2，f(x)
= x2 - 2x - 2 = (x - 1)2 - 3，当x = 1 时，f(x) 最小值-3，f(x) 值域为[-3，+∞)
4 (多选•★★☆☆☆)函数f(x) 的图象关于直线x = 1 对称，那么
( ABC )
A. f (2 - x) = f (x)
B. f (1 - x) = f (1 + x)
C. 函数y = f (x + 1) 是偶函数
D. 函数y = f (x - 1) 是偶函数
由f(x) 图象关于x = 1 对称知，f(2 - x) = f(x)，f(1 - x) = f(1 + x)，把函数f(x) 的图象
向左平移1 个单位可得y = f(x + 1) 的图象，关于x = 0 对称，即为偶函数，把函数f(x) 的图象向右平移1 个单
位可得y = f(x - 1) 的图象，关于x = 2 对称，故选：ABC．
5
(★★☆☆☆)定义在R 上的函数f(x + 1) 的图象关于点(0，2) 对称，则下列式子一定成立的是
( C )
A. f(-2) + f(0) = 4
B. f(-1) + f(1) = 4
C. f(0) + f(2) = 4
D. f(1) + f(3) = 4
因为函数f(x + 1) 的图象关于点(0，2) 对称，
所以f(x) 的图象关于点(1，2) 对称，所以f(x) + f(2 - x) = 4，结合选项可知，f(0) + f(2) = 4 一定成立．
101
夏• 2026 初高衔接
选择胜于努力，笃行成就未来
6
(多选•★★★☆☆)定义域为R 的函数y = f(x)，则下列正确的是
(
BD
)
A. 若f(x - 1) = f(1 - x) 恒成立，则函数y = f(x) 的图象关于直线x = 1 的对称
B. 若f(x + 1) + f(1 - x) = 0 恒成立，则函数y = f(x) 的图象关于(1，0) 点对称
C. 函数y = f(x) 的图象与函数y =-f(x) 的图象关于y 轴对称
D. 函数y =-f(-x) 的图象与函数y = f(x) 的图象关于关于(0，0) 对称对称
由课堂知识可知A 错，应该关于y 轴对称．B 选项，对．
C 选项显然f x
和-f x
两个取了相反数，应该关于x 轴对称c 选项错．
D 选项显然横方向互反，纵方向也互反，意味着关于原点对称．可知D 选项是对的．
7
(★★★☆☆)若函数f(x) 满足：存在非零常数a，使f(x) =-f(2a - x)，则称f(x) 为“准奇函数”，
下列函数中是“准奇函数”的是
( B )
A. f(x) = x2
B. f(x) = (x - 1)3
C. f(x) = 1
x
D. f(x) = x3
f(x) =-f(2a - x)f(x) + f(2a - x) = 0f(x) 有对称中心（a,0）且a ≠0
A．f(x) = x2是轴对称，故A 错；B.f(x) = (x - 1)3关于（1，0）对称，该函数为准奇函数；
C．从初中阶段的反比例可知，图象关于原点对称，但是题意要求非零．
D．f(x) = x3，关于（0，0）对称，不是准奇函数．故选：B．
8
(★★★☆☆)若函数y = f(x + 1) 是偶函数，则y = f(2x) 的对称轴是直线
( C )
A. x = 0
B. x = 1
C. x = 1
2
D. x = 2
因为函数y = f(x + 1) 是偶函数，所以y = f(x) 是关于x = 1 对称，
所以y = f(2x) 是关于2x = 1 对称，即y = f(2x) 的对称轴是直线x = 1
2 ．
9
(★★★★☆)函数f(3x + 1) 是偶函数，函数y = f(3x) 的对称轴的是
( B )
A. x = 0
B. x = 1
3
C. x =- 1
3
D. x =-1
根据题意，函数y = f(3x + 1) 是偶函数，则有f(3x + 1) = f 3 x+ 1
3
，
函数y = f(3x + 1) 的图象关于y 轴对称，故直线x = 1
3 是函数y = f(3x) 图象的对称轴
10 (★★★★★)已知函数y = f(x)，对于任意的实数x，y，恒有f(x + y) = f(x) + f(y) + 2，若函数g(x)
= f(x) +
3x
x2+1 的最小值为-5，则g(x) 的最大值为
( A )
A. 1
B. 3
C. 5
D. - 3
令x = y = 0，得f(0) = 2f(0) + 2，解得f(0) =-2，
再令y =-x，得f(0) = f(x) + f(-x) + 2，所以f(x) + f(-x) =-4，
所以f(x) 关于(0，-2) 对称，则f(x) + 2 关于(0，0) 对称，且y =
3x
x2+1 也是奇函数，
所以g(x) + 2 = f(x) + 2 +
3x
x2+1 关于(0，0) 对称，且由已知得：[g(x) + 2]min =-5 + 2 =-3，
所以[g(x) + 2]max = 3，所以g(x)max = 1．A．
102
夏• 2026 初高衔接
选择胜于努力，笃行成就未来
二周期性与性质模型
周期性
函数f x
定义域内任意的x，存在一个不等于0 的常数T，使得f x+T
= f x
恒成立，则称f x
是周期
函数，T 是它的一个周期．一般T 是f x
的周期，则kT k∈Z
也是f x
的周期．
最小周期T
2T也是它的周期
x
y
f(x)
f(x+T)
x
x+T
根据函数周期性的定义，我们可以得到如下结论：
(1) 周期T = a 的函数抽象关系：f(x) = f(x + a)
(2) 周期T = 2a 的函数抽象关系：
f(x −a) = f(x + a)
f(x + a) =±
1
f(x)
(f(x) ≠0)
f x+a
=-f(x)
f x+a
=
λ
f x
推导方法：如f(x −a) = f(x + a) 中，令m = x - a x = m + a，∴f(m) = f(m + 2a) 周期T = 2a．
周期性形式繁杂，识别难度高于对称性．判断要点为：先看抽象方程自变量有没有互反，互反就是对
称性，不用管周期性；不互反则说明抽象方程推的是周期性，并且周期直接填给所给抽象方程中变量部分
常数的两倍即可，因为考试基本只考这个．
周期性的识别
综合性质模型
当试题中见到对称中心、对称轴、周期性个性质中出现两个时，则意味着整个题意中这个函数会同
时具备这三个性质，此时我们可以套用波函数图象模型分析题意．
要点
依据题意标注已知对称轴与对称中心；由于函数图象双向无限延伸，可先初步绘制对称要素，再结
合条件修正，补充题干所需的其余对称轴、对称中心．该模型核心特征为：依托对称要素间的距离，依
次推出并标注需要用到的对称中心与对称轴．
波函数模型解综合性质
x
该波函数模型不是说函数图
像就长这个样子，只是它的
变化趋势和这个波函数形式
一致，我们采用这个波函数
的图像来直观分析题意，可
以较快的解题．
要点补注
要点补注
mathxiaoshu01
对称轴
对称中心
103
夏• 2026 初高衔接
选择胜于努力，笃行成就未来
2 (多选•★★★★☆)已知定义在R 上的奇函数f(x) 满足f(1 - x) = f(1 + x)，且x ∈(0，1] 时，f(x) =
-2x，则关于f(x) 的结论正确的是
( ABD )
A. f(x) 是周期为4 的周期函数
B. f(x) 所有零点的集合为{x|x = 2k，k ∈Z}
C. x ∈(-3, -1) 时，f(x) = 2x + 6
D. y = f(x) 的图象关于直线x = 1 对称
∵f(1 - x) = f(1 + x)f(x) 关于x = 1 对称，D 正确结合奇偶性，作出草图如下：
x
y
1
2
4
f(x)对称轴：x=1+2k
f(x)对称中心：(2k,0)
f(x)周期：T=4+4k
∴A 正确，B 正确，∵x ∈（1，3）时，f(x) =-2(2 - x) = 2x - 4 当x ∈(-3, -1) 与x ∈（1，3）的图
象关于原点对称，∴x ∈(-3, -1) 时，f(x) =- -2x-4
= 2x + 4, 故C 错误；
11 (2025 新高考Ⅰ卷• ★☆☆☆☆) 设f x
是定义在R 上且周期为2 的偶函数, 当2 ≤x ≤3 时, f x
= 5 - 2x , 则f - 3
4
=
( A )
A. - 1
2
B. - 1
4
C. 1
4
D. 1
2
∵f -x
= f x
，f x+2
= f x
，
f - 3
4
= f 3
4
= f 3
4 +2
= f 11
4
= 5 - 2 × 11
4 =- 1
2 , 选A
12 (2026 新高考Ⅱ卷• ★★☆☆☆) 若f x
为偶函数, 且f x
+ f x-2
= 0 , 且当x ∈
3
2 ,3
时f x
= x2 + ax + b , 则
( D )
A. a =-2，b =-3
B. a =-2，b = 3
C. a =-4，b =-3
D. a =-4，b = 3
由f x
+ f x-2
= 0f x+2
=-f x
f x+4
= f x
,周期为4．作出波分析：
1
4
3
2
1
x
y
3
2
由图可得：对称轴x0=- a
2 =2
f 3
=0
a=-4
b=3
13 (2021 新高考Ⅱ卷• ★★☆☆☆) 已知函数f(x) 的定义域为R( f(x) 不恒为0)，f(x + 2) 为偶函数，
f(2x + 1) 为奇函数，则
( B )
A. f - 1
2
= 0
B. f(-1) = 0
C. f(2) = 0
D. f(4) = 0
∵f(x + 2) 为偶函数f(x) 有对称轴x = 2；f(2x + 1) 为奇函数f(x) 有对称中心(1,
0), 作出波分析：
1
4
3
2
1
x
y
由图可得：f(奇数) = 0，故选B．
104
夏• 2026 初高衔接
选择胜于努力，笃行成就未来
14 (★★☆☆☆)定义域为R 的偶函数f(x) 满足f(1 + x) = f(1 - x)，f 1
2
= 1，则f - 3
2
=
( C )
A. - 3
2
B. - 1
C. 1
D. 3
2
∵f(x) 是R 上的偶函数，又∵f(1 + x) = f(1 - x)，∴f(-x) = f(2 + x)，
即f(x) = f(x + 2)，∴f(x) 为周期函数周期T = 2
∴f - 3
2
= f 2- 3
2
= f 1
2
= 1
15 (★★★☆☆)已知定义在R 上的奇函数f(x) 满足f(x) + f(2 - x) = 0，下列结论错误的是
( C )
A. f(x) 的图象关于点(1,0) 对称
B. f(x + 2) = f(x)
C. f(3 - x) = f(x - 1)
D. f(x - 2) = f(x)
由f(x) + f(2 - x) = 0f(x) 关于(1,0) 对称，∴A 正确，结合奇偶性，作出草图如下：
x
y
1
2
1
2
f(x)对称轴：x= 1
2 +k
f(x)对称中心：(k,0)
f(x)周期：T=2+2k
∴B, 函数周期T = 2 正确，D，函数周期T =-2 也正确，C, 对称轴为1，显然不对。故选：C．
16 (★★★☆☆)定义在R 的奇函数f(x) 满足f(x + 3) = f(-x - 2)，且f - 1
2
= 1，则f
4043
2
+
3f 4045
2
+ 2f(2027) =
( D )
A. 4
B. 2
C. - 5
2
D. - 2
由f(x + 3) = f(-x - 2)f(x) 关于x = 1
2 对称，结合奇偶性，f - 1
2
= 1 作出草图：
x
y
1
-1
1
2
f(x)对称轴：x= 1
2 +k
f(x)对称中心：(k,0)
f(x)周期：T=2+2k
显然2027 是对称中心横坐标∴f(2027) = 0 4043
2
= 2021 1
2 = 1010 + 3
2 ∴f
4043
2
= f(1010 + 3
2 ) =
f - 1
2
故f 4043
2
+ 3f 4045
2
+ 2f(2021) = f - 1
2
+ 3f 1
2
+ 2f(1) = 2f 1
2
=-2f - 1
2
=-2．
17 (★★★☆☆)函数f(x) 是R 上的奇函数，且f(x + 3) =-f(x)，且当x ∈0，3
2
时．f(x) = 2x - 1，
则f(-2021) + f(2022) + f(2024) 的值是
( A )
A. 2
B. - 1
C. 0
D. - 3
由f(x + 3) + f(x) = 0 f(x + 6) =-f(x + 3) = f(x)
∴函数f(x) 周期T = 6，结合奇偶性，作出草图如下：
x
y
3
6
3
2
f(x)对称轴：x= 3
2 +3k
f(x)对称中心：(3k,0)
f(x)周期：T=6+6k
∵2022 是3 的倍数（数字数位和时3 的倍数，则该数也是3 的倍数）∴f(2022) = 0 ∵-2021+2024
2
=
3
2 (中点坐标) ∴f(-2021) 和f(2024) 正好关于x = 3
2 对称，∴f(-2021) = f(2024) = f(337 × 6 + 2) = f(2) = f(
-1 + 3) =-f(-1) = f(1) = 1，∴f(-2021) + f(2022) + f(2024) = 1 + 0 + 1 = 2
105
夏• 2026 初高衔接
选择胜于努力，笃行成就未来
18 (★★★☆☆)已知函数f(x) 是奇函数，且f(x + 2) =-f(x)，若f(x) 在[-1，0] 上是增函数，f(1),
f 3
2
,f 13
3
的大小关系是
( D )
A. f(1) < f 3
2
< f 13
3
B. f 3
2
< f(1) < f 13
3
C. f 13
3
< f(1) < f 3
2
D. f 13
3
< f 3
2
< f(1)
∵f(x + 2) =-f(x)，f(x) 是奇函数，∴f(x + 2) =-f(x) = f(-x) ∴f(x) 关于x = 1 对称
结合奇偶性，作出草图如下：
x
y
-1
2
f(x)对称轴：x=1+2k
f(x)对称中心：(2k,0)
f(x)周期：T=4+4k
且f(x + 4) = f(x)，∴函数是周期为4 的周期数列．
∵f(x) 在[-1，0] 上是增，∴f(x) 在[-1，1] 上是增函数，f(x) 在[1，2] 上是减，
f 13
3
= f 4+ 1
3
= f 1
3
= f 5
3
，
∵f(x) 在[1，2] 上是减，且1 < 3
2 < 5
3 ，∴f(1) > f 3
2
> f 5
3
，即f 13
3
< f 3
2
< f(1)
19 (多选•★★★☆☆)已知函数f(x) 的定义域R，f(x + 1) 为奇函数，f(x) 为偶函数，当x ∈[0，1] 时
f(x) =-x2+ 1，则以下结论正确的有
( BCD )
A. 点(-1，0) 不是f(x) 的图象的对称中心
B. ∀x ∈R，f(x + 2) =-f(x)
C. 当x ∈[2，3] 时，f(x) = x2- 4x + 3
D. f 10
3
= 5
9
∵f(x + 1) 为奇函数(1，0) 是函数的对称中心，结合奇偶性，作出草图如下：
x
y
1 2
-1
f(x)对称轴：x=2k
f(x)对称中心：(2k+1,0)
f(x)周期：T=4+4k
有图可知A 错误，B 正确．当x ∈[2，3] 时，所以x - 2 ∈[0，1]，所以则f(x) =-f(x - 2) =- [- (x - 2)
2 + 1] = x2 - 4x + 3，所以C 正确；而f(x) 为偶函数，可得f(x) = f(-x)，即f(-x) =-f(-x + 2)，可得周期T
= 2 × 2 = 4，可得f 10
3
= f 10
3 -4
= f - 2
3
= f 2
3
=- 4
9 + 1 = 5
9 ，所以D 正确；
106
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选择胜于努力，笃行成就未来
1 (多选•★★☆☆☆)对于定义在R 上的函数f(x)，下列说法正确的是
(
AC
)
A. 若f(x) 是奇函数，则f(x - 1) 的图象关于点(1，0) 对称
B. 若对x ∈R，有f(x + 1) = f(x - 1)，则f(x) 的图象关于直线x = 1 对称
C. 若函数f(x + 1) 的图象关于直线x =-1 对称，则f(x) 为偶函数
D. 若f(x + 1) + f(x - 1) = 2，则f(x) 的图象关于点(1，1) 对称
A，将f(x) 的图象向右平移1 个单位得到函数f(x - 1) 的图象，f(x) 为奇函数，则其图象
关于点(0，0) 对称，则函数f(x - 1) 的图象关于点(1，0) 对称，A 正确；
由课堂知识可知B 错误，C 正确，D 不正确．
2 (多选•★★★☆☆) f(x) 定义域为R，且f(0) = 0，f(x - 1) + 1 为奇函数，下列正确是
(
BD
)
A. 函数f(x) 对称中心为(1，1)
B. f(-1) + 1 = 0
C. f(3) + f(-1) =-2
D. f(-3) + f(1) =-2
令g(x) = f(x - 1) + 1，A：g(x) 可以认为是由f(x) 向右平移l 个单位，再向上平移1 个单
位得到，若g(x) 为奇函数，则g(x) 的对称中心为(0，0)，故函数f(x) 对称中心为(-1，-1)，A 错误；
B：若g(x ) 为定义在R 上的奇函数，则g(0) - f(-1) + 1 = 0，BI 正确；C、D：若g(x) 为奇函数，则g(
-x) + g(-x) = 0，即[f(x - 1) + 1] + [f(-x - 1) + 1] = 0，得f(x - 1) + f(-x - 1) =-2，令x = 4，得f(3) +
f(-5) =-2，但无法确定f(-1) 与f(-5) 是否相等，C 错误；令x = 2，得f(1) + f(-3) =-2，D 正确；
3 (★★★☆☆)已知函数f(x) 的定义域为R，且y = f(x + 1) 的图象关于直线x =-1 对称．当x > 0
时，f(x) =
3
x+1 ，则f(-2) =
( A )
A. 1
B. 3
C. - 1
D. - 3
函数f(x) 的定义域为R，且y = f(x + 1) 的图象关于直线x =-1 对称，∴f(x) 的图象关于
直线x = 0 对称，即f(x) 为偶函数，又当x > 0 时，f(x) =
3
x+1 ，所以f(-2) = f(2) =
3
2+1 = 1．
4 (★★★☆☆)定义在R 上的奇函数f(x)，满足f(2 + x) = f(-x)，当x ∈(0，2) 时f(x) = x2 - 2x，
则f(15) =
( B )
A. 0
B. 1
C. - 1
D. 3
∵f(x) 为R 上的奇函数，且f(2 + x) = f(-x)，∴f(x + 2) =-f(x)，
∴f(x + 4) =-f(x + 2) = f(x)，即f(x + 4) = f(x)，∴f(x) 的周期为4，又x ∈(0，2) 时，f(x) = x2- 2x，
∴f(15) = f(-1 + 4 × 4) = f(-1) =-f(1) =- (1 - 2) = 1．
20 (多选•★★★★☆)在R 上奇函数f(x) 满足f(-3x) = f(2 + 3x)，则下列结论一定成立的是
( ACD )
A. f(0) = 0
B. 2 是f(x) 的一个周期
C. (2，0) 是f(x) 的一个对称中心
D. f(3x + 1) 为偶函数
由奇函数的性质可知，f(0) = 0，A 正确；∵f(-3x) = f(2 + 3x)，∴f(2 + t) = f(-t) =
-f(t)，则f(4 + t) = f(t)，周期为4，B 错误；∴f(4 - x) = f(-x) =-f(x)，即f(4 - x) + f(x) = 0，所以函数
的图象关于(2，0) 对称，C 正确；因为f(2 + 3x) = f(-3x)，所以f(2 - 3x) = f(3x)，即f(1 - 3x) = f(1 +
3x)，令g(x) = f(3x + 1)，则g(-x) = f(-3x + 1) = f(1 + 3x) = g(x)，∴g(x) 为偶函数，D 正确．
本章系统学习幂、指数、对数三类核心初等函数，不再局
限于基础定义识记，将图象变换、规范作图、综合性质分析作
为学习主线。此前我们已经掌握函数单调性、奇偶性等基础概
念，而幂、指、对函数是高中复合函数、不等式综合题的核心
载体，不同底数、指数会带来完全不同的图象走势与增减规
律，需要精准区分各类函数固有定义域、特殊点与值域特征．
本章重点拆解平移、对称、伸缩、翻折四类图象变换，厘
清变换先后顺序的易错细节，依托基础函数快速画出衍生复合
函数图象。作图是分析函数的直观工具，依靠完整图象可直接
判定单调区间、最值、取值范围，高效求解含参不等式、恒成
立类难题，构建起“解析式—变换步骤—图象形态—函数性
质”完整解题逻辑．
本章搭建数形结合的核心解题框架，既是对前文函数基础
的延伸拓展，也为后续二次函数深度拓展、分段函数、复杂综
合函数分析筑牢根基，熟练掌握变换作图方法，才能从容应对
高中各类函数综合性考题．
第三章
初等函数与变换
108
夏• 2026 初高衔接
选择胜于努力，笃行成就未来
11
幂函数及其衍生函数
幂函数及其衍生函数
[教学重难点]
[教学目标]
[核心素养]
初步认识幂函数
识别幂函数，根据指数判断定义域、
单调性、图象特征
直观想象、数学抽象
认识函数的变换与运算
初步认识图象变换规律，和运算特
点．能分析性质
直观想象、逻辑推理
一幂函数
初中我们接触过三类基础函数：反比例函数y = 1
x 、二次函数y = x2、正比例函数y = x．到了高中，这三
类函数能统一归为同一种函数类型，我们把这类形如y = xα 的函数统称为幂函数．
五个必会幂函数
我们可以采用五点作图法，分别绘制下列各个幂函数的图象，同时结合之前所学的函数相关性质，请完成
对应性质的填写与补充完善．
O
x
y
1
1
y=x-1
y=x2
y=x3
y=x1
y=x
1
2
y=x0
大于1
0到1之间
小于0
y = x
y = x2
y = x3
y =
x
y = 1
x
定义域
R
R
R
0,+∞
x≠0
值
域
R
0,+∞
R
0,+∞
y≠0
奇偶性
奇函数
偶函数
奇函数
非奇非偶
奇函数
单调性
单增
先减后增
单增
单增
单减
由上述5 个幂函数的图象及其性质，我们可以归纳得出幂函数的图象性质如下：
幂函数y = xα(α = q
p ，p，q ∈Z，p,q 互质) 具有如下性质：
过定点：所有的幂函数在(0, +∞) 都有定义，并且图象都过点
(1,1)
．
单调性：若α > 0，则幂函数的图象过原点，并且在[0, +∞) 上为
增函数
．
若α < 0，则幂函数的图象在(0, +∞) 上为减函数，在第一象限内图象无限接近x 轴与y 轴．
奇偶性：当α 是整数时，α 为奇数，幂函数为奇函数，α 为偶数，幂函数为
偶函数
．
正弦型三角函数函数的参数与图象
109
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选择胜于努力，笃行成就未来
1 (★★☆☆☆)已知幂函数f(x) = (m2 + m - 5)x-m2+2m+3 在(0，+∞) 上单调递增．
(1) 求函数f(x) 的解析式；
(2) 若f(2x - 1) < f(2 - x)，求实数x 的取值范围；
(3) 若正数a，b，满足4a + 2b = m，求1
a + a
b 的最小值．
幂函数f(x) = (m2 + m - 5)x-m2+2m+3 在(0，+∞) 上单调递增，
(1) 依题意，m2+ m - 5 = 1，-m2+ 2m + 3 > 0，解得m = 2，故f(x) = x3；
(2) 由(1) 可知f(x) = x3在定义域内单调递增，因为f(2x - 1) < f(2 - x)，所以2x - 1 < 2 - x，解得x < 1，
所以x 的范围为(-∞，1)；
(3) 由(1) 可知正数a，b，4a + 2b = 2，即2a + b = 1，
所以1
a + a
b = 2a+b
a
+ a
b = 2 + b
a + a
b ≥2 + 2
b
a × a
b = 4，
当且仅当a
b = b
a 时，即a = b = 1
3 时，等号成立，故1
a + a
b 的最小值为4．
1
(★☆☆☆☆)下列函数既是幂函数又是奇函数的是
( A )
A. y = 3 x
B. y = 1
x2
C. y = 2x2
D. y = x + 1
x
由幂函数的定义知，y = 2x2，y = x + 1
x 不是幂函数，CD 错误，
y = 3 x = x
1
3 为幂函数，定义域为{x ∣x ∈R}，∵f(-x) = (-x)
1
3 =-x
1
3 ，∴f(x) 为奇函数，∴A 正确，
∵y = 1
x2 为偶函数，∴B 错误，
2
(多选•★☆☆☆☆)已知幂函数f (x) = (m - 2)xm2-2m，则
(
BC
)
A. m = 1
B. f(x) 的定义域为R
C. f(-x) =-f(x)
D. 将函数f(x) 的图象向左平移1 个单位长度得到函数g(x) = (x - 1)3 的图象
由幂函数f (x) = (m - 2)xm2-2m，幂函数的定义可知m - 2 = 1，所以m = 3．
所以f(x) = x3，其定义域为R，故A 错误，B 正确．由于(x) = x3 为奇函数，所以f(-x) =-f(x)，故C
正确．将(x) = x3 的图象向左平移1 个单位长度得到函数y = (x + 1)3 的图象，故D 错误．
2
(★☆☆☆☆)函数y = x
4
3 的图象是
( A )
A.
O
x
y
B.
O
x
y
C.
O
x
y
D.
O
x
y
研究函数y = x
4
3 知，其是一个偶函数，且在(0，+∞) 上增，在(-∞，0) 上减，由此可以
排除C，D，又函数的指数4
3 > 1，故在(0，+∞) 其递增的趋势越来越快，由此排除B，故A 正确。故选A．
110
夏• 2026 初高衔接
选择胜于努力，笃行成就未来
3
(★★☆☆☆)已知幂函数f(x) = xα 过点
1
2 ，
2
2
，则不等式f(|x|) ≤2 解集
( D )
A. (0，
2]
B. [0，4]
C. [- 2，
2]
D. [-4，4]
由题意，设f(x) = xα，又幂函数f(x) 过点
1
2 ，
2
2
，
∴f 1
2
=
1
2
α
=
2
2 ，解得α = 1
2 ，即f(x) = x
1
2
∴f(|x|) ≤2，即
|x| ≤2，解得-4 ≤x ≤4 故选：D．
4 (★★★☆☆)幂函数的图象经过点(4，2)，若0 < a < b < 1，则下列各式正确的是
( A )
A. f(a) < f(b) < f 1
b
< f 1
a
B. f 1
a
< f 1
b
< f(b) < f(a)
C. f(a) < f(b) < f 1
a
< f 1
b
D. f 1
a
< f(a) < f 1
b
< f(b)
∵y = xα 过(4，2)，∴4α = 2，解得α = 1
2 ，∴y = x
1
2 ，
∵0 < a < b < 1，∴1
a > 1
b > 1 > b > a > 0，
∴f(a) < f(b) < f 1
b
< f 1
a
．故选：A．
5
(★★★☆☆)已知幂函数f(x) = (m2- 2m - 2)xm-1 在[0，+∞) 上单调递增．
(1) 求m 的值；
(2) 设g(x) 是定义在R 上的奇函数，当x > 0 时，g(x) = f(x) - 2x + 2，求g(x) 的解析式；
(3) 求关于x 的不等式f(x) < x + a2- a 的解集．
(1) 因为幂函数f(x) = (m2- 2m - 2)xm-1 在[0，+∞) 上单调递增，
所以m2-2m-2=1
m-1>0
，解得m = 3；
(2) 当x > 0 时，g(x) = f(x) - 2x + 2 = x2- 2x + 2，
因为g(x) 为R 上的奇函数，
故x < 0 时，-x > 0，所以g(-x) = x2+ 2x + 2 =-g(x)，
所以g(x) =-x2- 2x - 2，又g(0) = 0，故g(x) =
x2-2x+2，x>0
0，x=0
-x2-2x-2，x<0
；
(3) 由题意关于x 的不等式f(x) < x + a2- a，
即为x2< x + a2- a，
即x2- x - a2+ a < 0，
即[x + (a - 1)] (x - a) < 0，
所以，当1 - a > a，即a < 1
2 时，不等式的解集为(a，1 - a)；
当1 - a = a，即a = 1
2 时，不等式为x- 1
2
2
< 0，解集为∅；
当1 - a < a，即a > 1
2 时，不等式的解集为(1 - a，a)．
111
夏• 2026 初高衔接
选择胜于努力，笃行成就未来
二反比例型（一次分式）函数
前面我们学习了一次分式的分离常数的方法．对于分式f(x) = cx+d
ax+b 可进行如下裂项：
①在函数的分子上配出分母的形式：f(x) =
c
a ax+b
+d- cb
a
ax+b
②列项：f(x) = c
a +
d- cb
a
ax+b .
③令k = d - cb
a ，则函数f(x) = c
a +
k
ax+b
显然上述函数是反比例函数的平移变换得到的．由此我们将形如f(x) = cx+d
ax+b 这样的函数称为反比例型
(一次分式) 函数.
其图象如右：由图可得f(x) = cx+d
ax+b 的性质：
①f(x) 定义域是-∞,- b
a
、- b
a ,+∞
，值域是-∞, c
a
、
c
a ,+∞
②f(x) 在-∞,- b
a
、- b
a ,+∞
上具备唯一单调性
③f(x) 图象关于- b
a , c
a
呈中心对称
每一次都以分离常数的方法去研究分式函数显得复杂与繁琐，我们可以借助一些二级结论来辅助记忆．
对于一次分式函数f(x) = cx+d
ax+b ，它的草图有如下特点与规律：
①它的两条渐近线：x =- b
a ，y = c
a (第一条是分母为零；第二条是变量系数作比)
②通过取特殊值(如x = 0)来判断图象的摆放位置，要么在一三图区，要么在二四图区
反比例型函数快速绘图方法
2 (多选•★☆☆☆☆)已知函数f(x) =-
x
x+1 ，则函数具有下列性质
( ACD )
A. 函数f(x) 的图象关于点(-1，-1) 对称
B. 函数f(x) 在(-1，+∞) 上单调递增
C. 函数f(x) 的图象过原点
D. 函数f(x) 的值域为{y|y ≠-1}
根据课堂内容快速绘制函数图象如图可知：A 正确；
由f(x) 在(-1，+∞) 递减，故B 错；由f(0) = 0，得f(x) 经过原点，C 正确；
由f(x) =-1 +
1
x+1 ，可得f(x) 的值域为{y|y ≠-1}，故D 正确．
故选：ACD．
y
x
f(x)= cx+d
ax+b
x=- b
a
y= c
a
x
y
-1
-1
112
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选择胜于努力，笃行成就未来
6
(★☆☆☆☆)请作出下列函数的草图，并求解其值域
(1) f(x) = 3x-1
x+1 ．
函数f(x) = 3x-1
x+1
= 3 -
4
x+1
作出函数的草图如右图所示
∴函数y = 3x-1
x+1 的值域为{y|y ∈R 且y ≠3}．
(2) f(x) =
2x
x+1 , x ∈[0，+∞
函数f(x) =
2x
x+1
= 2(x+1)-2
x+1
= 2 -
2
x+1
作出函数的草图如右图所示
∴函数y = 3x-1
x+1 的值域为0,2
7
(★☆☆☆☆)已知函数f(x) =
3
2x-1 (x ∈[2，8])，则
( C )
A. f(x) 是单调递增函数
B. f(x) 是偶函数
C. 函数f(x) 的最小值为f(8)
D. f(2) < f(4) < f(6)
根据课堂内容快速绘制函数图象如图可知：A 错误；
B，定义域不关于原点对称，所以f(x) 是非奇非偶函数，即B 错误；
C，由f(x) =
3
2x-1 在x ∈[2，8] 上单调递减，知f(x)min = f(8)，即C 正确；
D，由f(x) =
3
2x-1 在x ∈[2，8] 上单调递减，知f(2) > f(4) > f(6)，即D 错误．
8
(多选• ★★☆☆☆) 已知函数f(x) = x+2
x-6 ，下列选项正确的是
(
AD
)
A. 若f(x) = 2，则x = 14
B. 函数f(x) 在定义域内是减函数
C. 若x ∈[2，8] 时，则f(x) 的值域是[-1，5]
D. 若x ∈N，则函数f(x) 有最小值也有最大值
A，由f(x) = 2，可得x+2
x-6 = 2 解，解得x = 14，故A 正确；
B，在(-∞，6) ∪(6，+∞) 上不是单调函数，故B 错误
C，由B 可得，当x ∈[2，6) 时，f(x) ≤f(2) =-1
当x ∈(6，8] 时，f(x) ≥f(8) = 5，所以f(x) 的值域是(-∞，-1] ∪[5，+∞)
当x = 6 时，f(x) 无意义，故C 错误；
当x ∈N 且x ∈(6，+∞) 时，1 < f(x) ≤f(7) = 9 当x ∈N 且x ∈[0，6) 时，-7 = f(5)
≤f(x) ≤f(0) =- 1
3 所以若x ∈N，则函数f(x) 有最小值也有最大值，故D 正确．
f(x)= 3x-1
x+1
x=-1
y=3
x
y
f(x)= 2x
x+1
x=-1
y=2
x
y
x
y
x
y
113
夏• 2026 初高衔接
选择胜于努力，笃行成就未来
9
(★★☆☆☆)若f(x) =-x2+ 2(a - 1)x 与g(x) = ax-1
x-1 在(1，2) 上都是减函数，则a 范围
( C )
A. (-2，-1) ∪(1，2)
B. (-1，0) ∪(0，2]
C. (1，2]
D. [1，2)
函数f(x) =-x2+ 2(a - 1)x 是二次函数，图象是抛物线，且开口向下，对称轴是x = a - 1；
f(x) 在区间(1，2) 上是减函数时，有a - 1 ≤1，解得a ≤2；
函数g(x) = ax-1
x-1 = a + a-1
x-1 在区间(1，2) 上是减函数时，有a - 1 > 0，得a > 1；综上a ∈(1，2]．
10 (多选•★★★☆☆)函数f(x) = 2x-m
x+1
在区间(n，+∞) 上单调递增，则下列说法正确的是
(
BD
)
A. m <-2
B. m >-2
C. n ≤-1
D. n ≥-1
f(x) = 2x-m
x+1
= 2 - m+2
x+1 的定义域为(-∞，-1) ∪(-1，+∞)，
当m + 2 < 0，即m <-2 时，函数f(x) 在(-∞，-1)，(-1，+∞) 上单调递减，不符合题意；
当m + 2 = 0，即m =-2 时，f(x) = 2 为常数函数，没有单调性，不符合题意；
当m + 2 > 0，即m >-2 时，函数f(x) 在(-∞，-1)，(-1，+∞) 上单调递增，
由函数f(x) 在(n，+∞) 上单调递增，得m >-2，且(n，+∞) ⊆(-1，+∞)，
因此m >-2，且n ≥-1，AC 错误，BD 正确．故选：BD．
11 (多选•★★★☆☆)若函数f(x) = |x|-2
x2-4 + 1，定义域为D，下列结论正确的是
(
AC
)
A. f(x) 的图象关于y 轴对称
B. ∃x ∈D，使f(x) = 5
4
C. f(x) 在[0，2) 和(2，+∞) 上单调递减
D. f(x) 的值域为0，3
2
函数x2 - 4 ≠0，即x ≠-2，且x ≠2，可得D = {x|x ≠-2，且x ≠2}，关于原点对称，f(
-x) = |-x|-2
(-x)2-4
+ 1 = f(x)，可得f(x) 为偶函数，即有f(x) 的图象关于y 轴对称，故A 正确；若f(x) = 5
4 ，
即|x|-2
x2-4 = 1
4 ，化为(|x| -2)2 = 0，解得x =±2，舍去，故B 错误；当x ≥0 时，f(x) = x-2
x2-4 + 1 =
1
x+2
+ 1 在[0，2)，[2，+∞) 递减，故C 正确；当x ≥0 且x ≠2 时，f(x) =
1
x+2 + 1 ∈1，5
4
∪
5
4 ，3
2
，
由偶函数的性质可得f(x) 的值域为1，5
4
∪
5
4 ，3
2
，故D 错误．故选：AC．
12 (★★☆☆☆)已知函数f(x) =
2x
x+1 ．
(1) 用定义证明f(x) 在(1, +∞) 上单调递增；
(2) 对任意x ∈[2，4] 都有f(x) ≤m 成立，求实数m 的取值范围．
(1) 证明：任取1 < x1 < x2 则f(x1) - f(x2) =
2x1
x1+1 -
2x2
x2+1 =
2(x1-x2)
(x1+1)(x2+1) ，
∵1 < x1 < x2，∴x1 - x2 < 0，x1 + 1 > 0，x2 + 1 > 0，
∴f(x1) - f(x2) < 0，即f(x1) < f(x2)．
∴函数f(x) 在(1, +∞) 上单调递增；
(2) ∵函数f(x) 在[2，4] 内为增函数，
∴f(x) 在[2，4] 内的最大值为f(4) = 2×4
4+1 = 8
5 ，
∵f(x) ≤m 在[2，4] 上恒成立，∴m ≥8
5 ，
即实数m 的取值范围为
8
5 ，+∞
．
114
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选择胜于努力，笃行成就未来
三对勾函数
前面我们学习了正反比例和函数f(x) = ax + b
x ，a > 0,b > 0，这个函数在高中阶段我们将其称之为对勾
函数．需要像学习一次函数和二次函数一样，记熟记它的性质和图象．
对勾函数图象性质
解析式
f(x) = ax + b
x
图
像
a > 0，b > 0
a < 0，b < 0
y
x
b
a
2
ab
y=ax
y
x
-
b
a
2
ab
y=ax
渐近线
y 轴和y = ax
定义域
-∞,0
∪0,+∞
值
域
y ϵ -∞,
-2 ab
∪2 ab,
+∞
单调增区间
-∞,
-
b
a
,
b
a ,
+∞
-
b
a ,
0),(0,
b
a
单调减区间
-
b
a ,
0),(0,
b
a
-∞,
-
b
a
,
b
a ,
+∞
3 (多选•★★★☆☆)已知函数f(x) =
x2
x+1 ，g(x) = f(x)
x
，则下列选项正确的是
( ABD )
A. 若x >-1，则函数f(x) 的最小值为0
B. 若a > 0，b > 0 且f(a) =
2ab
3b-2 ，则ab ≥16
C. 函数g(x) 的图象关于点(-1，1) 中心对称
D. 若a，b，c 是△ABC 的三边，则g(a) + g(b) > g(c)
A，当x >-1 时，函数f(x) =
x2
x+1 = x + 1 +
1
x+1 - 2 ≥2 - 2 = 0，当且仅当(x + 1)2 =
1，即x = 0 时，等号成立，故A 选项正确；
B，由f(a) =
2ab
3b-2 ，得ab = 2a + 2b ≥4 ab (a > 0，b > 0)，即ab ≥16(当且仅当a = b = 4 时，等号成
立)，故B 选项正确；C，由g(x) = f(x)
x
=
x
x+1 的定义域为{x|x ≠-1 且x ≠0}，可知g(x) 的定义域不关
于点(-1，1) 中心对称，故C 选项错误；
D，g(x) 在(0，+∞) 上单调递增，a，b，c 是△ABC 的三边，则a + b > c，由作差法可得g(a) + g(b) >
g(c)，故D 选项正确．综上，故选：ABD．
115
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选择胜于努力，笃行成就未来
13 (★☆☆☆☆)若f(x) = x + 4
x ，下列结论正确的是
( B )
A. f(x) 的最小值为4
B. f(x) 在(0，2) 上单调递减，(2，+∞) 上递增
C. f(x) 的最大值为4
D. f(x) 在(0，2) 上单调递增，(2，+∞) 上递减
函数f(x) = x + 4
x 的定义域为{x|x ≠0}，由图可知，函数在定义域上无最小值，故A 错；
f(x) 在(0，2) 上单调递减，在(2，+∞) 上单调递增，故B 正确；
函数在定义域上无最大值，故C 错误；
f(x) 在(0，2) 上单调递减，在(2，+∞) 上单调递增，故D 错误．故选：B．
14 (多选•★★☆☆☆)设函数f(x) = x
3 + 1
x ，则
(
BD
)
A. f(x) 有最大值
B. 曲线f(x) 有对称中心
C. f(x) 有最小值
D. 曲线f(x) 有对称轴
有课堂所讲授知识和内容可知：f(x) 定义域为x ∈(-∞，0) ∪(0，+∞)，
当x > 0 时，f(x) = x
3 + 1
x ≥2
x
3 ⋅1
x = 2 × 3
- 1
4 ，当且仅当x
3 = 1
x ，即x = 4 3 时等号成立，
当x < 0 时，f(x) =- - x
3 - 1
x
≤-2
- x
3
⋅- 1
x
=-2 × 3
- 1
4 ，当且仅当- x
3 =- 1
x ，即x =
- 4 3 时等号成立，所以f(x) 没有最大值，也没有最小值，故选项A、C 错误；
因为f(-x) = -x
3 + 1
-x =-
x
3 + 1
x
=-f(x)，且函数f(x) 的定义域为x ∈(-∞，0) ∪(0，+∞)，关
于原点对称，所以f(x) 是奇函数，则曲线y = f(x) 有对称中心为(0，0)，故选项B 正确；
对勾函数的图象是双曲线绕坐标原点旋转得到的，双曲线有两条对称轴，
所以函数f(x) = x
3 + 1
x 有两条对称轴，故选项D 正确．故选：BD．
15 (多选•★★★☆☆)对于函数f(x) =
x
1+2x2 ，下列判断正确的是
(
AC
)
A. f(-x) + f(x) = 0
B. 当m ∈(0，1) 时，方程f(x) = m 总有实数解
C. 函数f(x) 的值域为-
2
4 ，
2
4
D. 函数f(x) 的单调递增区间为(-∞，0)
∵f(x) =
1
1
x +2x
，有课堂内容可知，分母是对勾函数，所以整个函数也是奇函数。A 正确
B，当m = 1
2 时，
x
1+2x2 = 1
2 ，2x2- 2x + 1 = 0，Δ = (-2)2- 8 =-4 < 0，无解，所以B 错误；
当x > 0 时，由基本不等式得2x + 1
x ≥2
2x⋅1
x = 2 2，当且仅当2x = 1
x ，x =
2
2
时，等号成立，
所以f(x) =
1
1
x +2x
≤
2
4 ，又由A 可知f(x) =
x
1+2x2 (x ∈R) 为奇函数，
故当x < 0 时，f(x) =
1
1
x +2x
≥-
2
4 ，所以函数f(x) 的值域为-
2
4 ，
2
4
，C 正确；
∵f(-1) = f - 1
2
=- 1
3 ，∴f(x) 在(-∞，0) 上不可能单增，D 错．
116
夏• 2026 初高衔接
选择胜于努力，笃行成就未来
16 (★★★★★)已知函数f(x) = x +
a
x-b (a，b ∈R)．
(1) 求函数y = f(x) 图象的对称中心；
(2) 当a =-1，b = 1 时，用定义证明f(x) 在(1，+∞) 上单调递增；
(3) 当a > 0，b = 0 时，若函数f(x) 在定义域[m，n] 上单调(n > m > 0)，且函数f(x) 的值域为[2m + 1，
2n + 1]，求实数a 的取值范围．
(1)f(x) = x +
a
x-b = x - b +
a
x-b + b，
y = f(x) 可由y = x + a
x 平移变换过来，而y = x + a
x 仅有一个对称中心，
故y = f(x) 只有一个对称中心，
f(b + x) + f(b - x) = b + x + a
x + b - x + a
-x = 2b，
所以(b，b) 是函数f(x) 图象的对称中心．
(2) 证明：f(x) = x -
1
x-1 ，∀x1，x2∈(1，+∞)，且x1< x2，
有f(x1) - f(x2) = x1-
1
x1-1
- x2-
1
x2-1
= (x1 - x2) -
1
x1-1 -
1
x2-1
= (x1 - x2) 1+
1
(x1-1)(x2-1)
，
由1 < x1< x2，得x1- x2< 0，(x1- 1) (x2- 1) > 0，于是f(x1) - f(x2) < 0，
即f(x1) < f(x2)，
所以，函数f(x) 在区间(1，+∞) 上单调递增．
(3) 根据对勾函数的图象性质可知函数f(x) = x + a
x (a > 0) 在(0，
a] 上递减，在[ a，+∞) 上递增，
①当
a ≤m < n 时，函数f(x) = x + a
x 在区间[m，n] 上单调递增，
于是
f(m)=2m+1
f(n)=2n+1
，所以方程f(x) = 2x + 1 在[ a，+∞) 上有两个不同的根，
即方程x2+ x - a = 0 在[ a，+∞) 上有两个不同的根，
由函数y = x2+ x - a 在[ a，+∞) 上单调递增，故不符合；
②当0 < m < n ≤
a，函数f(x) = x + a
x 在区间[m，n] 上单调递减，
于是
f(m)=2n+1
f(n)=2m+1
，即
m+ a
m =2n+1
n+ a
n =2m+1
，两式相减得m - n + a(n-m)
mn
= 2(n - m)，
所以a = 3mn，将n =
a
3m 代入方程m + a
m = 2n + 1 得m2 - m + 1
3 a = 0，
同理可得n2 - n + 1
3 a = 0，
所以，方程x2 - x + 1
3 a = 0 在(0，
a] 上有两个不同的根，
记g(x) = x2 - x + 1
3 a，则
Δ>0
0<- -1
2 <
a
g(0)>0
g( a)≥0
，解得9
16 ≤a < 3
4 ，
综上所述，实数a 的取值范围是
9
16 ，3
4
．
117
夏• 2026 初高衔接
选择胜于努力，笃行成就未来
1 (多选•★☆☆☆☆)当x <-1 时是增函数的有
(
BC
)
A. y = x2
B. y = 2x
C. y =-
2
x+1
D. y = 2
x
A 错误；y = 2x，一次函数，k > 0，函数值y 随x 的增大而增大，故B 正确；
y =-
2
x+1 ，则当x <-1，y =-
2
x+1 的函数值y 随x 的增大而增大，故C 正确；
y = 2
x ，反比例函数，k > 0，在一三象限内，函数值y 随x 的增大而减小，故D 错误．故选：BC．
2 (★☆☆☆☆)已知幂函数f(x) = (m2- 3)x-m 在(0，+∞) 上为单调减函数，则实数m 的值为
( D )
A.
3
B. ± 2
C. - 2
D. 2
f(x) 是幂函数，m2 - 3 = 1，m =±2，当m = 2 时，f(x) = x-2 = 1
x2 ，在(0，+∞) 上递
减，合题，当m =-2 时，f(x) = x2，在(0，+∞) 上递增，不符合题意，综上，m 的值为2，D 选项正确．
3 (★★☆☆☆)函数f(x) = x2+3x+4
x
，对于任意x ≥1
2 时下列说法正确的是
( A )
A. 函数最小值为7
B. 函数最小值为23
2
C. 函数最大值为7
D. 函数最大值为23
2
f(x) = x + 4
x + 3 在
1
2 ，2
上单调递减，在[2，+∞) 上单调递增，故当x = 2 时，函数取
得最小值f(2) = 7，没有最大值．
4 (★★☆☆☆)若函数f(x) =
1
x-m 在区间(0，1) 上单调，则m 的取值范围是
( D )
A. (-∞，0)
B. (1，+∞)
C. (-∞，0) ∪(1，+∞)
D. (-∞，0] ∪[1，+∞)
f(x) 在(m，+∞)，(-∞，m) 上单调，且f(x) 在(0，1) 上单调，
∴m ≤0 或m ≥1，∴m 的取值范围是(-∞，0] ∪[1，+∞)．故选：D．
5 (★★☆☆☆)已知命题p：“∃x ∈R，x2- ax + 1 = 0”为假命题，命题q：“f(x) = 2x + a
x 在(0，
1] 上为增函数”为真命题，设实数a 的所有取值构成的集合为A．
(1) 求集合∁RA；
(2) 设集合B = {x|3m + 1 ≤x < 2m + 1}，若x ∈∁RA 是x ∈B 的必要不充分条件，求实数m 的取值范围．
(1) 因为命题P 为假命题，所以关于x 的一元二次方程x2- ax + 1 = 0 无解，
即Δ = (-a)2- 4 = a2- 4 < 0，解得-2 < a < 2，
因为命题q 为真命题，当a > 0 时，结合对勾函数的性质可知f(x) = 2x + a
x 在0，
2a
2
上单调递减，
不满足题意；当a ≤0 时，f(x) = 2x + a
x 在(0，1] 上为增函数，满足题意；
故集合A = {a| -2 < a ≤0}，所以∁RA = {x|x ≤-2 或x > 0}；
(2) 由x ∈∁RA 是x ∈B 的必要不充分条件，则B ⊊∁RA，
当B ≠∅时，则3m+1<2m+1
2m+1≤-2
或3m+1<2m+1
3m+1>0
，得m ≤- 3
2 或- 1
3 < m < 0；
当B = ∅时，3m + 1 ≥2m + 1，解得m ≥0，此时满足B ⊊∁RA；
综上所述，m 的取值范围是{m|m ≤- 3
2 或m >- 1
3 }．
118
夏• 2026 初高衔接
选择胜于努力，笃行成就未来
12
二次函数与方程根分布
二次函数与方程根分布
[教学重难点]
[教学目标]
[核心素养]
区间下二次函数的重构
掌握区间二次函数图象分析方法，
求解最值与参数范围
直观想象、逻辑推理
二次方程根的分布
结合二次函数图象列出根分布约束
条件，规范求解参数
直观想象、数学运算
一区间下二次函数的性质
二次函数对于大家并不陌生．初中阶段，我们学习了一元二次方程的通用解法与全体实数范围下二次函数
的基本性质．现在请大家根据初中的学习完成下表。
解析式
一般式：y = ax2 + bx + c(a ≠0)
图象
a > 0
a < 0
x0=- b
2a
x0=- b
2a
对称轴
x=- b
2a
顶点
- b
2a , 4ac-b2
4a
区间下的值域
我们知道：在全体实数范围下二次函数f(x) = ax2+ bx + c 在对称轴x =- b
2a 处取到最值．
设二次函数f(x) = ax2 + bx + c(a > 0) 在闭区间[p,q] 上的最大值为M，最小值为m，对称轴x0 =- b
2a , 区间
[p,q] 的中点为t = 1
2 (p + q).则有：
(1) 当- b
2a < p 时，则f(x)
min = f(p) = m，f(x)
max = f(q) = M；参照图1
(2) 当p ≤- b
2a < t 时，则f(x)
min = f(- b
2a ) = m，f(x)
max = f(q) = M；参照图2
(3) 当t ≤- b
2a < q 时，则f(x)
min = f(- b
2a ) = m，f(x)
max = f(p) = M；参照图3
(4) 当q ≤- b
2a 时，则f(x)
min = f(q) = m，f(x)
max = f(p) = M. 参照图4
x
x0
p q x
图1
x
x0
p
q
t
图2
x
x0
p
q
t
图3
x
x0
p
q
图4
区间二次函数的值域
119
夏• 2026 初高衔接
选择胜于努力，笃行成就未来
1 (★★★☆☆)函数f(x) = x2- 2x - 2．
(1) 当x ∈[-2，2] 时，求函数f(x) 的值域；
(2) 当x ∈[t，t + 1] 时，求函数f(x) 的最小值g(t)。
(1) 函数f(x) = x2- 2x - 2 对称轴x =- b
2a = 1，函数开口向上。
f(x)
max = f(-2) = 6，f(x)
min = f(-1) =-3
(2) ①当t ≤0 时，函数在[t，t + 1] 上单调递减，f(x)
min = f(t + 1) = t2- 3
②当0 < t < 1 时，函数在[t，1] 上单调递减，在[1，t + 1] 上单调递增，f(x)
min = f(1) =-3
③当t ≥1 时，函数在[t，t + 1] 上单调递增，f(x)
min = f(t) = t2- 2t - 2
综上所述：g(t) =
t2-3，t≤0
-3，0<t<1
t2-2t-2，t≥1
x
1
t t+1
x
1
t
t+1
x
1
t t+1
1
(★☆☆☆☆)已知函数f(x) = x2- 4x + 1，x ∈[-1，3]，则函数的值域为
( B )
A. [-2，6]
B. [-3，6]
C. [-3，-2)
D. (-2，3]
∵f(x) = x2- 4x + 1，x ∈[-1，3]，则对称轴x = 2，开口向上，在(-1，2) 上单调递减，
在(2，3) 上单调递增，且-1 离对称轴远，又f(-1) = 6，f(2) =-3，故函数的值域为：[-3，6]，选：B．
2
(★☆☆☆☆)二次函数f(x) =-x2+ x - 2，若x ∈[-1，1]，则函数f(x) 在此区间上的值域为
( A )
A.
-4，- 7
4
B.
-4，- 5
4
C. [-4，-2]
D.
-2，- 7
4
∵f(x) =-x2 + x - 2 =- x- 1
2
2
- 7
4 在-1，1
2
上单调递增，在
1
2 ，1
上单调递减，
∴当x = 1
2 时，二次函数有最大值f 1
2
=- 7
4 ，∵f(-1) =-4，f(1) =-2，
∴当x =-1 时，二次函数有最小值-4，故函数的值域为-4，- 7
4
，故选：A．
3
(★☆☆☆☆)已知二次函数f(x) = x2- 2ax + 1 在区间(2，3) 内不单调，则a 的取值范围是
( B )
A. a < 2 或a > 3
B. 2 < a < 3
C. a <-3 或a >-2
D. - 3 ≤a ≤-2
二次函数f(x) = x2 - 2ax + 1，对称轴为x = a，∵二次函数f(x) = x2 - 2ax + 1 在区间(2，
3) 内不单调，∴2 < a < 3．
120
夏• 2026 初高衔接
选择胜于努力，笃行成就未来
4 (★☆☆☆☆)函数f(x) = x2+ 2(a - 1)x + 2 在区间(-∞，3) 上是单调函数，则a 的取值范围是( A )
A. (-∞，-2]
B. [-2，+∞)
C. (-∞，4]
D. [4，+∞)
函数f(x) 图象是开口向上，对称轴为x = 1 - a，f(x) 在(-∞，1 - a) 上单减，在(1 - a，
+∞) 上单调递增，又函数f(x) = x2+ 2(a - 1)x + 2 在(-∞，3) 上是单调函数，所以1 - a ≥3，得a ≤-2
5
(★★☆☆☆)“a < 0”是“函数f(x) = (x - a)2在(0，+∞) 内单调递增”的
( A )
A. 充分而不必要条件
B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件
D. 既不充分也不必要
由函数f(x) = (x - a)2 在(0，+∞) 内单调递增，结合二次函数图象可得a 的取值范围是：
a ≤0，∴“a < 0”是“函数f(x) = (x - a)2在(0，+∞) 内单调递增”的充分不必要条件．故选：A．
6
(★★☆☆☆)函数f(x) = x2- 4x - 8 的定义域为[0，a]，值域为[-12，-8]，a 取值范围是
( A )
A. [2，4]
B. [4，6]
C. [2，6]
D. [0，4]
f(x) = x2- 4x - 8 = (x - 2)2- 12，f(x) 在(-∞，2) 为减函数，在(2，+∞) 为增函数，
∴f(x)min = f(2) =-12，f(0) =-8，若x ∈[0，a]，值域为[-12，-8]，则a ≥2，f(a) ≤f(0)，
即a2- 4a - 8 ≤-8，解得0 ≤a ≤4，所以2 ≤a ≤4，故选：A．
7
(★★☆☆☆)函数f(x) =-x2- 4x + 2 在[m，0] 上的值域为[2，6]，则m 的取值范围是
( A )
A. [-4，-2]
B. [-4，0]
C. [-2，0]
D. (-∞，-2]
由二次函数f(x) =-x2- 4x + 2 的对称轴为：x =-2，
在[m，0] 上的值域为[2，6]，x =-2 时，f(0) = 2，可得函数在区间[m，-2] 上是增函数，且f(m) ≥
2，-m2- 4m + 2 ≥2，求得m ∈[-4，0]，综上m ∈[-4，-2]．故选：A．
8
(★★☆☆☆)设二次函数f(x) = ax2+ (b - 2)x + 3．
(1) 若关于x 的不等式f(x) > 0 的解集为{x|x ≠1}，求a，b 的值；
(2) 若f(1) = 3，
i
a > 0，b > 0，求1
a + 2a
b 的最小值，并指出取最小值时a，b 的值；
ii
求函数f(x) 在区间[1，3] 上的最小值．
(1) 根据题意，若关于x 的不等式f(x) > 0，即ax2+ (b - 2)x + 3 > 0 的解集为{x|x ≠1}，
则方程ax2+ (b - 2)x + 3 = 0 的两根相等且都为1，同时a > 0，
则有
3
a =1
b-2
a
=-2
，解可得a = 3，b =-4；
(2) 根据题意，若f(1) = 3，则有a + (b - 2) + 3 = 3，变形可得a + b = 2，
①，由于a > 0，b > 0，
则1
a + 2a
b = a+b
2a
+ 2a
b = 1
2 + b
2a + 2a
b ≥1
2 + 2
b
2a × 2a
b
= 1
2 + 2 = 5
2 ，当且仅当b = 2a 时取等，
②由于a + b = 2，则b = 2 - a，则有f(x) = ax2- ax + 3，其对称轴为x = 1
2 ，
当a > 0 时，f(x) 在[1，3] 上递增，其最小值为f(1) = 3，
当a < 0 时，f(x) 在[1，3] 上递减，其最小值为f(3) = 6a + 3．
综合可得：当a > 0 时，f(x) 在区间[1，3] 上的最小值为3，当a < 0 时，f(x) 最小值为6a + 3．
121
夏• 2026 初高衔接
选择胜于努力，笃行成就未来
9
(★★★☆☆)已知二次函数f(x) 满足f(x) = f(4 - x)，f(2) = f(1) - 1，若不等式f(x) ≤-2x + 2 有唯
一实数解．
(1) 求函数f(x) 的解析式；
(2) 若函数f(x) 在[t，t + 1] 上的最小值为g(t)．
i
求g(t)；
ii
解不等式g(m) < g 2m- 1
2
(1) 根据题意，二次函数f(x) 满足f(x) = f(4 - x)，则f(x) 的对称轴为x = 2；
设f(x) = ax2- 4ax + c，
又由f(2) = f(1) - 1，则有4a - 8a + c = a - 4a + c - 1，解可得a = 1，
又由不等式f(x) ≤-2x + 2 有唯一实数解，即x2- x + c - 2 ≤0 有唯一实数解，必有Δ = 4 - 4(c - 2) = 0，
解可得c = 3；
故f(x) = x2- 4x + 3；
(2) ①根据题意，由(1) 的结论，f(x) = x2- 4x + 3，其对称轴为x = 2；
当t ≥2 时，f(x) 在[t，t + 1] 上为单调增函数，此时g(t) = f(t) = t2- 4t + 3，
当1 < t < 2 时，有t < 2 < t + 1，此时g(t) = f(2) =-1，
当t ≤1 时，f(x) 在[t，t + 1] 上为单调减函数，此时g(t) = f(t + 1) = t2- 2t，
故g(t) =
t2-2t，t≤1
-1，1<t<2
t2-4t+3，t≥2
；
②根据题意，g(t) =
t2-2t，t≤1
-1，1<t<2
t2-4t+3，t≥2
，其图象关于直线t = 3
2 对称，
若g(m) < g 2m- 1
2
，分2 种情况讨论：
a、1 ≤m ≤2 时，只需2m - 1
2 < 1 或2m - 1
2 > 2，解可得m < 3
4 或m > 5
4 ，此时有5
4 < m ≤2；
b、当m < 1 或m > 2 时，有2m- 1
2 - 3
2
> m- 3
2
，解可得m > 7
6 或m < 1
2 ，此时有m < 1
2 或m >
2；
综合可得：m 的取值范围为{m|m < 1
2 或m > 5
4 }．
122
夏• 2026 初高衔接
选择胜于努力，笃行成就未来
10 (★★★☆☆)已知二次函数f(x) 对一切实数x ∈R，都有f(1 - x) = f(1 + x) 成立，且f(1) = 0，f(0)
= 1，g(x) = f(x + 1) + bx + c(b，c ∈R)．
(1) 求f(x) 的解析式；
(2) 记函数g(x) 在[-1，1] 上的最大值为M，最小值为m，若M - m ≤4，求b 的最大值．
(1) 对一切实数x ∈R，都有f(1 - x) = f(1 + x) 成立，则二次函数y = f(x) 的对称轴为直线
x = 1，
又f(1) = 0，则二次函数y = f(x) 图象的顶点坐标为(1，0)，
设f(x) = a(x - 1)2，则f(0) = a = 1，因此，f(x) = (x - 1)2；
(2) ∵g(x) = f(x + 1) + bx + c = x2+ bx + c，
对称轴为直线x =- b
2 ，
当- b
2 ≤-1 时，即当b ≥2 时，函数y = g(x) 在区间[-1，1] 上单调递增，
则M = g(1) = b + c + 1，m = g(-1) =-b + c + 1，则M - m = 2b ≤4，
得b ≤2，此时b = 2；
当-1 <- b
2 ≤0 时，即当0 ≤b < 2 时，函数y = g(x) 区间-1，- b
2
上单调递减，在区间- b
2 ，1
上
单调递增，
所以，m = g - b
2
=- b2
4 + c，∴M = g(1) = b + c + 1，
则M - m = b + 1 + b2
4 ≤4，整理得b2+ 4b - 12 ≤0，解得-6 ≤b ≤2，
此时，0 ≤b < 2；
当0 <- b
2 ≤1 时，即当-2 ≤b < 0 时，函数y = g(x) 在区间-1，- b
2
上单调递减，
在区间- b
2 ，1
上单调递增，所以，m = g - b
2
=- b2
4 + c，∴M = g(-1) =-b + c + 1，M - m = b2
4
- b + 1 ≤4，整理得b2- 4b - 12 ≤0，解得-2 ≤b ≤6，
此时-2 ≤b < 0；
当- b
2 > 1，即当b <-2 时，函数y = g(x) 在区间[-1，1] 上单调递减，∴M = g(-1) =-b + c + 1，m
= g(1) = b + c + 1，M - m =-2b ≤4，∴b ≥-2，此时b ∈∅．
综上所述，-2 ≤b ≤2，则实数b 的最大值为2．
123
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选择胜于努力，笃行成就未来
二二次方程根的分布
初中阶段，我们知道了在全体实数范围下二次方程ax2 + bx + c = 0 根的分布与判别式：△= b2 - 4ac 的正
负有关系．即：(a > 0)
Δ = b2 - 4ac
Δ > 0
Δ = 0
Δ < 0
y = ax2+ bx + c 图象
x
x
x
ax2+ bx + c = 0 的根
两根
一根
无实根
高中阶段，我们将接触的是某个区间下方程根的分布．
设：f(x) = ax2 + bx + c(a > 0) 的零点为：x1，x2，判别式：△= b2- 4ac, 对称轴：x0=- b
2a
(1) 方程f(x) = 0 在区间m,n
上无解.
图
象
x
n
m
f(n)
f(m)
x0
x
f(m)
m
a>0
f(n)
n
或
x
f(m)
m
a>0
n
f(n)
x
f(m)
m
x1
x2
a>0
n
f(n)
不等式约束
f(m)>0
f(n)>0
△<0
m<x0<n
f(m)>0
f(n)>0
n<x0或m>x0
f(m)<0
f(n)<0
△>0
(2) 方程f(x) = 0 在区间m,n
上有一解.
图
象
x
f(n)
n
x0
a>0
m
f(m)
x
f(n)
m x2
f(m)
n
x
f(n)
x1
a>0
n
或
x
f(m)
m
x1
x2
a>0
f(n)
n
不等式约束
f(m)≥0
f(n)≥0
△=0
m≤x0≤n
f(m)∙f(n)≤0
△>0
(3) 方程f(x) = 0 在区间m,n
上有两解.
x
f(m)
m
x1
x2 n
f(n)
x
f(m)≥0
f(n)≥0
△>0
m<x0<n
区间下二次方程根的分布
124
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选择胜于努力，笃行成就未来
2 (★★☆☆☆)方程t2- (m - 1)t + 1 - m = 0 在t ∈(0，+∞) 上有解，求实数t 的范围．
方程t
2- m-1
t + 1 - m = 0 在t ∈(0，+∞) 上有解，作出示意图如下：
O
x
y
Δ= m-1
2-4 1-m
≥0
0< m-1
2
m ∈1,+∞
11 (★☆☆☆☆) 方程x2+ (a - 2)x + 5 - a = 0 在(2，4) 上有两个不相等的实根，则a 的取值范围( D )
A. (-6，-2)
B. (-6，-4)
C.
- 13
3 ，-2
D.
- 13
3 ，-4
设f(x) = x2 + (a - 2)x + 5 - a，因为方程x2 + (a - 2)x + 5 - a = 0 在(2，4) 上有两个不相
等的实根，所以
Δ=(a-2)2-4(5-a)>0
2<- a-2
2
<4
f(2)=a+5>0
f(4)=3a+13>0
，解得- 13
3 < a <-4．
12 (★☆☆☆☆) 已知关于x 的方程x2 - (m + 1)x + 4m2 = 0 的两根分别在区间(0，1)，(1，2) 内，则
实数m 的取值范围为
0，1
4
．
令f(x) = x2- (m + 1)x + 4m2，
根据题意得
f(0)>0
f(1)<0
f(2)>0
，即
4m2>0①
1-(m+1)+4m2<0②
4-2(m+1)+4m2>0③
，
由①得：m ≠0，由②得：0 < m < 1
4 ，由③得：x ∈R，求交集得：0 < m < 1
4 ，
故m 的取值范围为0，1
4
．故答案为：0，1
4
．
13 (★★☆☆☆) 关于x 的二次方程x2+ (m - 1)x + 1 = 0 在区间[0，2] 上有解，求实数m 的取值范围．
设f(x) = x2+ (m - 1)x + 1，x ∈[0，2]．
(1)f(x) = 0 在区间[0，2] 上有一解．
∵f(0) = 1 > 0，∴应有f(2) ≤0 ⇒m ≤- 3
2 ．
(2)f(x) = 0 在区间[0，2] 上有两解，
则
△≥0⇒(m-1)2-4≥0⇒m≥3或m≤-1
0<- m-1
2
≤2⇒-3≤m<1
f(2)≥0⇒4+(m-1)×2+1≥0⇒m≥- 3
2
，∴- 3
2 ≤m ≤-1．由(1) (2) 知：m ≤-1．
125
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选择胜于努力，笃行成就未来
14 (★★☆☆☆) 已知关于x 的方程x2 +
1
2 -2m
x + m2 - 1 = 0(m 是与x 无关的实数) 的两个实根在区
间[0，2] 内，求m 的取值范围．
设f(x) = x2+
1
2 -2m
+ m2- 1，对称轴为x = m - 1
4 ，
Δ =
1
2 -2m
2
- 4(m2- 1) = 17
4 - 2m，
f(0) = m2- 1，f(2) = m2- 4m + 4 = (m - 2)2，
由题意得：
△≥0
0≤m- 1
4 ≤2
且
f(0)≥0
f(2)≥2
，
解得1
4 < m ≤17
8 且m ≥1，
∴m 的取值范围是1，17
8
15 (★★☆☆☆) 已知函数f(x) = mx2 + (m - 3)x + 1 的图象与x 轴的交点至少有一个在原点的右侧，求
实数m 的取值范围．
若m = 0，则f(x) =-3x + 1，显然满足要求．
若m ≠0，有两种情况：
①原点两侧各有一个，则
Δ=(m-3)2-4m>0
x1x2= 1
m <0
⇒m < 0；
②都在原点右侧，则
△=(m-3)2-4m≥0
x1+x2= 3-m
m
>0
x1⋅x2= 1
m >0
解得0 < m ≤1．
综上可得m ∈(-∞，1]．
126
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选择胜于努力，笃行成就未来
1 (★☆☆☆☆)函数f(x) = x2+ x - 2(x ∈[0，2]) 值域
( A )
A. [-2，4]
B.
- 9
4 ，4
C.
- 9
4 ，+∞
D.
- 7
4 ，4
函数f(x) = x2+ x - 2 的对称轴为x =- 1
2 ，故函数f(x) = x2+ x - 2 在[0，2] 上单调递增，
又f(0) =-2，f(2) = 4，所以函数f(x) = x2+ x - 2(x ∈[0，2]) 的值域是[-2，4]．故选：A．
2 (★☆☆☆☆)设m ∈R，则“m ≤2”是“函数f(x) = x2- mx 在[1，+∞) 上单调递增”的
( C )
A. 充分不必要条件
B. 必要不充分条件
C. 充要条件
D. 不充分也不必要条件
若函数f(x) = x2- mx 在[1，+∞) 上单调递增，
则m
2 ≤1，∴m ≤2，∴m ≤2 是函数f(x) = x2- mx 在[1，+∞) 上单调递增的充要条件，故选：C．
3 (多选•★★☆☆☆)下列关于二次函数f(x) = x2+ x - 1 的说法正确的是
( ABD )
A. f(f(-1)) =-1
B. f(x) 在(-2，-1) 上有且仅有一个零点
C. 若x ∈(-1，2)，则f(x) 的值域为(-1，5)
D. ∀x ∈R，都有f(-x - 1) - f(x) = 0
A，f(-1) = (-1)2 - 1 - 1 =-1，f(f(-1)) = f(-1) =-1，正确；B，二次函数开口向上，
对称轴为x =- 1
2 ，故f(x) 在(-2，-1) 单调递减，至多只有一个零点，且f(-2) = 1 > 0，f(-1) =-1 < 0，
由零点存在性定理，f(x) 在(-2，-1) 上有且仅有一个零点，正确；C，二次函数对称轴为x =- 1
2 ∈(-1，
2)，故f(x)min = f - 1
2
=- 5
4 ，错误；D，f(-x - 1) - f(x) = (-x - 1)2 + (-x - 1) - 1 - x2 - x + 1 = 0，正
确；故选：ABD．
4 (★★☆☆☆)如图是二次函数y = ax2 + bx + c 图象的一部分，图象过点A(-3，0)，对称轴为x =
-1，给出下面四个结论：①b2> 4ac；②2a - b = 1；③a - b + c = 0；④若y > 0，则x ∈(-3，1)．
其中正确的是
( C )
A. ①③
B. ②④
C. ①④
D. ①②③
由函数y = ax2 + bx + c 的图象，可得函数的图象开口向下，与x 轴有两
个交点，∴a < 0，Δ = b2 - 4ac > 0，∴①正确；由对称轴方程为x =- b
2a =-1，可得2a
= b，∴2a - b = 0，∴②不正确；由f(-1) > 0，可得a - b + c > 0，∴③不正确；由图象可得f(-3) = 0，根
据函数的对称性，可得f(1) = 0，∴y > 0，可得-3 < x < 1，∴④正确．故选：C．
5 (★★☆☆☆) f(x) = x2- (m + 2)x + 2 在区间[1，3] 上是单调函数，则实数m 的取值范围是( D )
A. (-∞，0)
B. [4，+∞)
C. (-∞，0) ∪(4，+∞)
D. (-∞，0] ∪[4，+∞)
函数f(x) = x2 - (m + 2)x + 2，对称轴为x = m+2
2
，∵f(x) = x2 - (m + 2)x + 2 在区间
[1，3] 上是单调函数，∴m+2
2
≤1 或m+2
2
≥3，解得m ≤0 或m ≥4，m 的范围是(∞，0] ∪[4，+∞)
x
y
-1
-3
A
127
夏• 2026 初高衔接
选择胜于努力，笃行成就未来
6 (★★★☆☆)已知二次函数f(x) 在(-∞，2] 上单调递减，在[2，+∞) 上单调递增，且f(x) 的最小
值为-1，f(x) 的图象过点(0，3)．
(1) 求f(x) 的解析式；
(3) 讨论f(x) 在[m - 1，m + 1] 上的最小值．
(1) 二次函数f(x) 在(-∞，2] 上单调递减，在[2，+∞) 上单调递增，且f(x) 的最小值为
-1，
依题意可设f(x) = a(x - 2)2- 1，a > 0，
由题意可得f(0) = 4a - 1 = 3，所以a = 1，
所以f(x) = (x - 2)2- 1 = x2- 4x + 3．
(2) 当m + 1 ≤2，即m ≤1 时，f(x) 在[m - 1，m + 1] 上单调递减，
所以f(x)min = f(m + 1) = m2- 2m；
当m - 1 < 2 < m + 1，即1 < m < 3 时，函数f(x) 在[m - 1，2] 上单调递减，在[2，m + 1] 上单调递
增，
则f(x)min = f(2) =-1；
当m - 1 ≥2，即当m ≥3 时，f(x) 在[m - 1，m + 1] 上单调递增，
所以f(x)min = f(m - 1) = m2- 6m + 8．
综上，f(x)min =
m2-6m+8，m≥3
-1，1<m<3
m2-2m，m≤1
．
16 (★★★☆☆)若二次函数f(x) = ax2+ bx + c(a ≠0)，满足f(x + 1) - f(x) = 2x，且f(0) = 1．
(1) 求f(x) 的解析式；
(2) 若在区间[-1，2] 上，不等式f(x) < 2x + m 恒成立，求实数m 的取值范围．
(本题满分12 分)
：(1) 由f(0) = 1 得，c = 1，
∴f(x) = ax2+ bx + 1．
又f(x + 1) - f(x) = 2x，
∴a(x + 1)2+ b(x + 1) + 1 - (ax2+ bx + 1) = 2x，即2ax + a + b = 2x，
∴2a = 2 且a + b = 0，
得a = 1，b =-1
因此，f(x) = x2- x + 1．
(2)f(x) < 2x + m 等价于x2- x + 1 < 2x + m，即x2- 3x + 1 < m，
令g(x) = x2- 3x + 1，x ∈[-1，2]．
则当x =-1 时，g(x)max = g(-1) = 5，
故m > 5．
因此满足条件的实数m 的取值范围是(5，+∞)．
128
夏• 2026 初高衔接
选择胜于努力，笃行成就未来
13
函数的变换与分段作图
函数的变换与分段作图
[教学重难点]
[教学目标]
[核心素养]
函数变换的方法
熟练掌握图象变换法则，准确推导
变换后函数解析式并能作图
直观想象、数学抽象
分段函数认识与作图
读懂分段函数，规范绘制分段图象，
求解单调性、最值问题
直观想象、逻辑推理
一函数的变换作图
此前我们已经梳理了函数的定义与基础性质，同时结合初中所学内容，对反比例函数、二次函数展开了更
深层次的拓展研究．步入高中，除各类基本初等函数外，函数图象变换也是核心知识点；依托图象变换，我们
能由基础函数推导出各式各样的函数图象．高中阶段要求熟练掌握四类图象变换：平移、伸缩、翻折、对称．
本节课我们重点讲解平移变换与翻折变换．
平移变换
将y = f(x) 在横方向向左右
平移a 个单位．可以得到新函数y = f(x ± a)．口诀：左加右减．
将y = f(x) 在纵方向向上下
平移b 个单位．可以得到新函数y = f(x) ± b．口诀：上加下减．
f(x)
O
x
y
f(x-1)
1
2
3 4
5
1
-1
f(x)
O
x
y
f(x)+1
1
2 3 4
1
-1
翻折变换
初中阶段我们学习了绝对值：a
=
a,
a≥0
-a ,
a<0
或
a
=
a,
a>0
-a,
a≤0
去绝对值原理：非负数的绝对值为它本身，负数的绝对值等于它的相反数．
由此我们可以对函数y = f(x)
与y = f( x
) 进行解读：
y = f(x)
=
f(x)，
f(x)≥0
-f(x)，
f(x)<0
y = f( x
) =
f(x)，
x≥0
f(-x)，
x<0
从图象角度，函数y = f(x) 翻折变换的通法为：
①y = f(x)
图象是将f(x) 在x 轴上方图象保留，将x 轴下方的图象作x 轴对称到x 轴上方后得到．
②y = f( x
) 图象是将f(x) 在y 轴右侧的图象保留，将y 轴右侧图象作y 轴对称到到y 轴左侧得到．
翻折变换的通用方法
129
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选择胜于努力，笃行成就未来
1 (★★★☆☆)设函数f(x) = |x2- 2x|．
(1) 在区间[-1，4] 上画出函数f(x) 的图象；
(2) 方程f(x) = a 在区间[-1，4] 有两个不同的实数根，求a 的取值范围．
(3) 若对任意x1，x2∈[t，t + 1]，且x1≠x2，都有f(x1)- f(x2)
x1-x2
> 0 成立，试求实数t 的取值范围．
(1) 根据题意，函数图象如图所示
(2) ∵方程f(x) = a 在区间[-1，4] 有两个不同的实数根，
f(0) = f(2) = 0，f(1) = 1 且f(-1) = 3，f(4) = 8 ∴a = 0 或1 < a ≤3
(3) 依题意，对任意x1，x2∈[t，t + 1]，且x1≠x2，
都有f(x1)- f(x2)
x1-x2
> 0 成立可知：f(x) 在[t，t + 1] 上是增函数
∴t ≥2 或t≥0
t+1≤2
，解得0 ≤t ≤1
所以t ∈0，1
∪[2，+∞)
1
(★☆☆☆☆)请结合课堂内容，绘制下列函数的图象．
1
f x
= x2- 2x，绘制f x-1
2
绘制f x
= x-2
4
3
2
1
2
1
5
4
3
2
1
1
x
y
4
3
2
1
2
1
6
5
4
3
2
1
1
x
y
3
绘制f x
= x-2
+ 1
3
绘制f x
= 2x
- 1
4
3
2
1
2
1
6
5
4
3
2
1
x
y
3
2
1
2
1
6
5
4
3
2
1
1
x
y
5
绘制f x
= x2- 2 x
+ 1
6
绘制f(x) = x-1
x+1
5
4
3
2
1
4
3
2
1
4
3
2
1
x
y
5
4
3
2
1
6
5
4
3
2
1
6
5
4
3
2
1
x
y
8
7
6
5
4
3
2
1
2
1
6
5
4
3
2
1
x
y
130
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选择胜于努力，笃行成就未来
2
(★☆☆☆☆)函数y = |x2- x| 的单调递增区间是
( C )
A.
0, 1
2
B. [1, +∞)
C.
0, 1
2
,[1, +∞)
D.
-∞,0
, 1
2 ,1
y = |x2- x| 其图象如右图所示，根据图象可得
函数的单调增区间为0，1
2
和[1，+∞) 故答案为：0，1
2
和[1，+∞)．
3
(★★☆☆☆)已知f(x) = x+1，x∈[-1，0)
x2+1，x∈[0，1]
，则下列选项错误的是
( D )
x
y
①
1
2
1
2
x
y
②
1
2
-1
1
x
y
③
1
2
1
-1
x
y
④
1
2
1
-1
A. ①是f(x - 1) 图像
B. ②是f(-x) 的图像
C. ③是f(|x|) 的图像
D. ④是|f(x)| 的图像
作f(x) 如图所示：f(x - 1) 的图象是由函数f(x) 的图象向右平移一个
单位1 长度得到的，A 正确；f(-x) 的图象与函数f(x) 的图象关于y 轴对称，B 正确；
对于f(|x|) 的图象，当x > 0 时，与f(x) 的图象相同，当x < 0 时，与f(x) 在[0，1]
上的图象关于y 轴对称，C 正确；
因为f(x) ≥0，所以|f(x)| 的图象与函数f(x) 的图象相同，D 不正确．故选：D．
4 (★★☆☆☆)已知f(x) = |x - a|，若函数f(x) 在区间(-∞，2] 上为减函数，则a 的取值范围是( C )
A. a ≥1
B. a > 1
C. a ≥2
D. a > 2
f(x) = |x - a| 有对称轴x = a，作出函数草图：
f(x)=|x-a|
x=a
x
y
2
可以记忆所有的y =
kx+b
均有对称轴，
其对称轴为x =- b
k ．
要点补注
要点补注
mathxiaoshu01
由图象可知要使题意成立，则有：2 ≤a
5
(★★☆☆☆)若方程2|x - 1| = a 有且仅有两个解，则实数a 的取值范围是
( C )
A. (0，1)
B. [0，+∞)
C. (0，+∞)
D. (-∞，0]
令y = 2|x - 1|, 则函数的图象如下图所示：
由图可知，当a < 0 时，y = a 与y = 2|x - 1| 没有交点，即方程2|x - 1| = a 无解；
当a = 0 时，y = a 与y = 2|x - 1| 有一个交点，即方程2|x - 1| = a 有一解；
当a > 0 时，y = a 与y = 2|x - 1| 的图象有两个交点，即方程2|x - 1| = a 有两解：
故若方程2|x - 1| = a 有且仅有二解，则实数a 的取值范围是(0，+∞) 故选：C．
6
(★★☆☆☆)函数y = |4x - x2| 的图象与直线y = a 有四个不同公共点，则实数a 的取值范围是
( A )
A. (0,4)
B. [0,4]
C. (4, +∞)
D. (-∞,4)
函数y = |4x - x2| 的图象如下图所示：
由上图可知：当0 < a < 4 时，函数y = |4x - x2| 图象与函数y = a(a ∈R)
图象有四个公共点，故满足条件的a 的取值范围是(0，4) 故答案为：(0，4)
O
x
y
1
2 1
x
y
1
2
-1
1
O
x
y
1
2
x
y
4
4
131
夏• 2026 初高衔接
选择胜于努力，笃行成就未来
7
(多选•★★★☆☆)已知函数f(x) = x-1
x
，则表达正确的是
(
BC
)
A. 函数f(x) 的单调递减区间为(-∞，0)，(0，1)
B. (1，+∞) 为函数f(x) 的单调递增区间
C. 函数f(x) 有最小值，无最大值
D. 函数f(x) 满足f(x) + f(-x) =-2
作出f(x) = x-1
x
= 1- 1
x
的图象，
由图知A 错，B、C 正确，∵f(1) = 1-1
1
= 0，f(-1) = -1-1
-1
= 2
∴f(1) + f(-1) = 2，故D 错误．故选：BC．
8
(★★★☆☆)函数f(x) = x2+ 2a|x| +4a2- 1 的图象与x 轴有且只有一个交点，则实数a 的值为
( A )
A. 1
2
B. - 1
2
C. 1
D. 0
∵函数f(x) = x2+ 2a|x| +4a2- 1，
f(-x) = f(x)，∴f(x) 为偶函数，
∴y = f(x) 的图象关于y 轴对称，
由题意知f(x) = 0 只有x = 0 这一个零点，且a > 0
∴a = 1
2 ，故答案为1
2 ．
9
(★★★☆☆)函数f(x) = |x2- 1|，若实数a > b > 0，满足f(a) = f(b)，则ab 的取值范围是
( A )
A. (0,1)
B. [0,1]
C. (1, +∞)
D. (0, +∞)
作出函数f(x) 的图象，如图所示：a > b > 0，f(a) = f(b)
由图象可得1 - a2= b2- 1，0 < a < 1，1 < b <
2，
所以a2+ b2= 2，所以0 < ab < a2+b2
2
= 1，
当且仅当a = b 时等号成立，∴ab 的取值范围是(0，1)．
10 (★★★☆☆)设函数f(x) = 1- 1
x
．
(1) 作出函数f(x) = 1- 1
x
的图象；
(2) 当0 < a < b，f(a) = f(b) 时，求1
a + 1
b 的值；
(3) 若方程f(x) = m 有两个不相等的正根，求m 的取值范围．
(1) 先作出函数f(x) = 1 - 1
x (x > 0)
再将x 轴下方部分翻折到x 轴上方即可得到函数的图象．
如图所示
(2) 根据函数的图象，可知f(x) 在(0，1] 上是减函数，
而在(1，+∞) 上是增函数，由0 < a < b 且f(a) = f(b)
得0 < a < 1 < b，
∴1
a - 1 = 1 - 1
b ，∴1
a + 1
b = 2
(3) 构造函数y1= f(x)，y2= m，
由函数f (x) 的图象可知，当0 < m < 1 或1 < m 时方程
f(x) = m 有两个不相等的正根．
x
y
1
y=1
奇偶函数的零点定会成对出现，
当它存在奇数个零点时，意味
着它一定会过原点．在2024 年
高考中考过该知识点．在高一
函数学习中需要关注．
要点补注
要点补注
mathxiaoshu01
x
y
2
-2
2
7
6
5
4
3
2
1
6
5
4
3
2
1
7
6
5
4
3
2
1
x
y
132
夏• 2026 初高衔接
选择胜于努力，笃行成就未来
11 (★★★★☆)已知函数f(x) = |2x - a| +a．
(1) 若不等式f(x) ≤6 的解集为{x| -2 ≤x ≤3}，求实数a 的值；
(2) 在(1) 的条件下，若存在实数n ∈0, 1
2
使得f(n) ≤m - f(-n) 成立，求实数m 的取值范围．
(1) ∵函数f(x) = |2x - a| +a，故不等式f(x) ≤6，
即
6-a≥0
a-6≤2x-a≤6-a
，求得a - 3 ≤x ≤3．
再根据不等式的解集为{x| -2 ≤x ≤3}，
可得a - 3 =-2，∴实数a = 1．
(2) 在(1) 的条件下，f(x) = |2x - 1| +1，
作出函数图象如下：∵f(n) ≤m - f(-n)，
即f(n) + f(-n) ≤m
由图可知：f(n) + f(-n) = 2f(0) = 4
∴m ≥4，故实数m 的取值范围是[4，+∞)．
12 (★★★★☆)已知f(x) = x2- 2ax + 5
(1) 当a = 3 时，作出函数|f(x)| 的图象，若关于x 的方程|f(x)| = m 有四个解，直接写出m 的取值范围；
(2) 若y = f(x) 的定义域和值域均为[1，a]，求实数a 的值；
(3) 若y = f(x) 是(-∞，2] 上的严格减函数，且对任意的x ∈[1，a + 1]，总有-4 ≤f(x) ≤1 成立，求实
数a 的取值范围．
(1)a = 3 时，f(x) = x2- 6x + 5，
画出函数y = |f(x)| 的图象，如图示：
若关于x 的方程|f(x)| = m 有四个解，m ∈(0，4)；
(2) ∵函数f(x) = x2- 2ax + 5(a > 1)，
∴f(x) 开口向上，对称轴为x = a > 1，∴f(x) 在[1，a] 是单调减函
数，∴f(x) 的最大值为f(1) = 6 - 2a，f(x) 的最小值为f(a) = 5 - a2
∴6 - 2a = a，且5 - a2= 1，∴a = 2．
(3) 函数f(x) = x2- 2ax + 5 = (x - a)2+ 5 - a2，
开口向上，对称轴为x = a，∵f(x) 在区间(-∞，2] 上是减函数，对称轴大于等于2，
∴a ≥2，a + 1 ≥3，f(x) 在(1，a) 上为减函数，在(a，a + 1) 上为增函数，
f(x) 在x = a 处取得最小值，f(x)min = f(a) = 5 - a2
f(x) 在x = 1 处取得最大值，f(x)max = f(1) = 6 - 2a
∴5 - a2≤f(x) ≤6 - 2a，∵对任意的x ∈[1，a + 1]，总-4 ≤f(x) ≤1，
∴
5-a2≥-4
6-2a≤1
5-a2<6-2a
，5
2 ≤a ≤3，综上：a 的取值范围[2，3]．
x
y
1
2
f(n)
f(-n)
-n
n
7
6
5
4
3
2
1
1
7
6
5
4
3
2
1
x
y
133
夏• 2026 初高衔接
选择胜于努力，笃行成就未来
二分段函数及其应用
高一阶段我们对于函数的作图要求相对简单．大部分都是对已知的函数进行变换或者分段，很多时候需要
借助函数的图象解决问题，在进行作图分析问题时，我们虽是作的函数草图，但还需注意以下一些细节和要
求，这些细节会影响由图得到的结论．
函数作图的一般步骤：
①确定函数的定义域；
②判定函数是否有奇偶性；
③确定函数的单调区间；
④确定函数的渐近线；
⑤确定函数的零点的位置．
函数作图的细节要求：
1 体现函数性质的特殊点需进行标注．
如:函数的最值点、最值变换后的对称点、函数零点、直线(曲线)所过的定点等等．
2 体现函数性质的特殊直线需用虚线标注。
如:函数的对称轴、图象变换后的对称轴、函数的渐近线、图象变换后的渐近线等等．
3 直角坐标系和直线用直尺作图，不要徒手画！！所作函数草图尽量使图象趋势与教学图象保持一
致，不要过于夸张，避免因作图不规范影响结论．
④分段函数作图首先做出分段线．第二步先计算分段点处的函数值是否相等，进而判断函数是连续还
是间断．第三步，在各自区间内分别做出函数图象．
函数作图的细节要求
2 (★★☆☆☆) 请作出f(x) = 2-x,
x≤1
-x2+4x-2,
x>1
图象．
①作出分段线：x = 1；
②分段线左右的各自区间内作图；
③计算分段点处的函数值：当x = 1 时，2 - x = 1；-x2 + 4x - 2 = 1，函数连续
④标注特殊点和线：二次函数对称轴x = 2，最值为2，零点2 +
2．
O
x
y
作分段线标注特殊点和线
计算分段点
处的函数值
2+
2
1
2
1
2
简化
O
x
y
2+
2
1
2
1
2
高中阶段，为便于研究方程、函数与不
等式三者间的内在联系，我们把函数图
象与x 轴交点的横坐标定义为函数的零
点，该零点同时也是对应方程的实数解．
要点补注
要点补注
mathxiaoshu01
x
y
零点
134
夏• 2026 初高衔接
选择胜于努力，笃行成就未来
13 (★★☆☆☆)请作出下列函数图象，并且解决相关问题．
(1) f(x) =
2
x ,x≥2,
x2-3,x<2
, 若f(x) = k 有且只有三个不同的实根，则实数k 的取值范围．
函数草图如下：
若方程f(x) = k 有三个不相等的实数根
意味着两函数：y = f(x) 和y = k 有三个不同的交点
可知：则0 < k < 1
(2) f(x) = x2+1，x≥0
1，x<0
求满足不等式f(3 - x2) > f(2x) 的x 取值范围．
函数草图如下：
由函数图象可知：当x ≥0 时，f(x) 单增且f(x) ≥f(0) = 1，
若f(3 - x2) > f(2x)，则分如下两种情况：
①2x≤0
3-x2>0
⇒x ∈(- 3，0] ②2x>0
3-x2>2x
⇒x ∈(0，1)
综上所述，x 的取值范围为(- 3，1)，
(3)f(x) =
|3x-4|(x≤2)
2
x-1 (x>2)
，解不等式f(x) ≥1.
函数草图如下：
当x > 2 时，由f(x) ≥1 得，
x>2
2
x-1 ≥1
，解得2 < x ≤3，
当x ≤2 时，由f(x) ≥1 得，|3x - 4| ≥1，
即3x - 4 ≥1 或3x - 4 ≤-1，解得x ≤1 或x ≥5
3
则x ≤1 或5
3 ≤x ≤2．
综上，所求的范围是(-∞，1] ∪
5
3 ，3
14 (★☆☆☆☆)函数f(x) =
x2-1,x≥0,
1
x ,x<0,
若f(f(a)) =-1，则a =
( C )
A. 1 或-1
B. 1 或0
C. 1 或-1 或0
D. - 1 或0
当a < 0 时，f(a) = 1
a < 0，f(f(a)) = 1
1
a
= a =-1，a =-1，
当0 ≤a < 1 时，f(a) = a2 - 1 < 0，f(f(a)) =
1
a2-1 =-1，得a = 0，
当a ≥1 时，f(a) = a2 - 1 ≥0，f(f(a)) = (a2 - 1)2 - 1 =-1，得a = 1
O
x
y
y=k
f(x)
x=2
1
O
x
y
f(x)
1
x
y
f(x)
2
1
135
夏• 2026 初高衔接
选择胜于努力，笃行成就未来
15 (★★☆☆☆)已知函数f(x) = x2+2x+1,x≤1
2x2-8x+10,x>1
，若函数g(x) = f(x) - a 恰有两个零点，则实数a
的取值范围是
( A )
A.
0,2
∪(4, +∞)
B.
2,4
C.
2,+∞
D.
0,+∞
g(x) = 0 ⇒f(x) - a = 0 ⇒f(x) = a，
作出f(x) 的图象：
如图y = f(x) 与y = a 的图象有两个交点时，
a ∈0,1
∪(4, +∞)．故选：A．
16 (★★☆☆☆)函数f(x) =
x2+2x,
x≤0
3x
x+1 ,
x>0
，y = f(x) - m 有两个不同的零点，则m 取值范围是( A )
A. (-1,3)
B. (-1，3]
C. (-1, +∞)
D. [-1，+∞)
依题意，函数f(x) 的图象与直线y = m 有两个交点，
而当x > 0 时，f(x) = 3(x+1)-3
x+1
= 3 -
3
x+1 < 3，
作出图象如下图所示，由图象可知，m ∈(-1,3)．
故选：A．
5
(高考题•★★★☆☆)已知函数f(x) =
2
x ,
x≥2
(x-1)3,
0<x<2
，若关于x 的方程f(x) = kx 有两个不同的
实根，则实数k 的取值范围是
( A )
A.
0, 1
2
B.
0,
2
4
∪
2
4 , 1
2
C.
2
4 ,+∞
D.
1
2 ,2 2
画出函数f(x) 和y = kx 的图象，
如图，点A(2,1)，由题意可得函数f(x) 的图象和直线y = kx 有2 个交点，
数形结合可得当直线的斜率k 满足0 < k < 1
2 时，
函数f(x) 的图象和直线y = kx 有2 个交点，故选：A．
6
(★★★☆☆)已知函数f(x) = |x - 2| +1，g(x) = kx，若方程f(x) = g(x) 有两个不相等的实根，则实
数k 的取值范围是
( A )
A.
1
2 ，1
B.
0，1
2
C. (1，2)
D. (2，+∞)
由题意作出函数f(x) 和函数g(x) 的图象如下：
g(x) 恒过0,0
，要使f(x) 和g(x) 有两个交点，
临界位置是g(x) 过2,1
和g(x) 与y = x - 1 平行，
数形结合可得1
2 < k < 1
故选：A．
O
x
y
y=a
f(x)
7
4
2
4
1
2
O
x
y
y=m
y= f(x)
-1
3
O
x
y
1
1
x=2
y=kx
x
y
1
2
136
夏• 2026 初高衔接
选择胜于努力，笃行成就未来
7
(★★★☆☆)已知函数f(x) =
(3a-1)x+4a，(x<1)
a
x ，(x≥1)
在R 上单调递减，则a 的取值范围为
( D )
A.
1
7 ，1
B.
0，1
3
C.
1
6 ，1
D.
1
6 ，1
3
∵f(x) 在R 上单调递减∴
3a-1<0
a>0
3a-1+4a≥a
，得1
6 ≤a < 1
3 ．∴a 的取值范围为
1
6 ，1
3
．
8
(★★★☆☆)函数f(x) =
a
x ，(x>1)
(2-3a)x+1，(x≤1)
是R 上的减函数，则实数a 的取值范围是
( C )
A.
2
3 ，1
B.
3
4 ，1
C.
2
3 ，3
4
D.
2
3 ，+∞
f(x) 是R 上的减函数；∴
a>0
2-3a<0
a
1 ≤(2-3a)⋅1+1
得2
3 < a ≤3
4 ，∴a 取值范围是
2
3 ，3
4
．
9
(★★★★☆)设f(x) =
x2-(a2-5a+4)x+3a，(x<1)
2x+
2
x-1 +3，(x>1)
，若f(x) 的最小值为f(0)，则a 的值为( C )
A. 0
B. 1 或4
C. 1
D. 4
当x > 1 时，f(x) = 2x +
2
x-1 + 3 = 2 (x-1)+
1
x-1
+ 5 ≥4
(x-1)⋅
1
x-1 + 5 = 9，
当且仅当x - 1 =
1
x-1 ，即x = 2 时取等号；故当x < 1 时，f(x) 的最小值为f(0) = 3a，由二次函数的性
质可得，函数f(x) = x2- (a2- 5a + 4)x + 3a 的对称轴为x = a2-5a+4
2
= 0，
得a = 1 或a = 4，当a = 4 时最小值为12 > 9，不合题意，舍去．故a = 1．
10 (★★★★★)设a ∈R，函数f(x) = ax2-2x+1，x≤a
ax+1，x>a
，有最大值的一个充分不必要条件是
( A )
A. a ∈-1，- 1
2
B. a ∈- 1
2 ，0
C. a ∈[-1，0)
D. a ∈[-2，0)
①当a > 0 时，f(x) = ax2-2x+1，x≤a
ax+1，x>a
，当x →-∞或x →+∞时，f(x) →+∞，故f(x)
不存在最大值．②当a = 0 时，f(x) = -2x+1，x≤0
1，x>0
，f(x) 在定义域内的最小值为1，不存在最大值．
③当a < 0 时，若f(x) 存在最大值，则f(x) 在(-∞，a] 上的最大值大于等于a2+ 1，
二次函数f(x) = ax2 - 2x + 1 = a x- 1
a
2
+ 1 - 1
a ，在-∞，1
a
上为增函数，在
1
a ，+∞
上是减函
数，(i) 若a ≤-1，则a ≤1
a ，f(x) 在(-∞，a] 上的最大值为f(a) = a3- 2a + 1，
故a3- 2a + 1 ≥a2+ 1，整理得a(a + 1) (a - 2) ≥0，结合a ≤-1，解得a =-1；
(ii) 若-1 < a < 0，则1
a < a，f(x) 在(-∞，a] 上的最大值为f 1
a
= 1 - 1
a ，
故1 - 1
a ≥a2 + 1，即a3+1
a
≤0，该不等式在-1 < a < 0 时恒成立，故-1 < a < 0．
由(i) (ii)，可得-1 ≤a < 0．综上，f(x) 有最大值的充分必要条件是-1 ≤a < 0，即a ∈[-1，0)．
对照各选项，只有-1，- 1
2
是[-1，0) 的真子集，故选A
137
夏• 2026 初高衔接
选择胜于努力，笃行成就未来
11 (原创•★★★★☆)函数f(x) 满足条件：f(x) = 4-|4x-8|，1≤x≤3
|x-4|，x>3
．
(1) 请作出函数f(x) 的图象．
(2) 函数h(x) = f(x) - m 有三个不同的零点，求m 的范围．
作出函数图象如下：
令h(x) = f(x) - m = 0 f(x) = m
在坐标系中画出函数y = f(x) 与y = m 的图象
要使h(x) 有三个零点，即y = f(x) 与y = m 的图象有三个交点．
由图可知：此时m ∈1,4
∪0
(3) (培优生选做) 函数h(x) = f(x) - mx + 1 有三个不同的零点，求m 的范围．
令h(x) = f(x) - mx + 1 = 0 f(x) = mx - 1
在坐标系中画出函数y = f(x) 与y = mx - 1 的图象，
要使h(x) 有三个零点，即y = f(x) 与y = mx - 1 的图象有三个交点
∵y = mx - 1，令x = 0 y =-1 直线过定点(0, -1) 含参直线过定点
。
5
4
3
2
1
1
9
8
7
6
5
4
3
2
1
2
1
x
y
平行临界
符合题意
的有界区
①当y = mx - 1 与y = x - 4(x > 4) 平行时，y = mx - 1 与y = f(x) 处在两个交点三个交点的临界位置, 此时m0
= 1，直线y = mx - 1 刚好经过（1,0），显然过了此位置，直线向下偏移时，y = mx - 1 与y = f(x) 只有两个交点。
②当y = mx - 1 直线经过（3,1）时，y = mx - 1 与y = f(x) 恰好处在两个交点和三个交点的临界位置，
此时，m1= 2
3 ;
③当y = mx - 1 直线经过（3,0）时，y = mx - 1 与y = f(x) 恰好处在两个交点和三个交点的临界位置，
此时，m2= 1
3 ; 要使题意成立，只需直线在有界区内变化即可，此时m ∈
1
3 , 2
3
5
4
3
2
1
1
9
8
7
6
5
4
3
2
1
2
1
x
y
y=m
138
夏• 2026 初高衔接
选择胜于努力，笃行成就未来
1 (★☆☆☆☆)函数f(x) = |2x - 1| -1 + a 有两个不同的零点，则实数a 的取值范围为
( C )
A.
-∞，3
2
B.
1
2 ，+∞
C. (-∞，1)
D. (1，+∞)
因为绝对值具有非负性，要使它存在两个点，只需要a 减一大于零即可．
综上a 的取值范围为(-∞，1) 故选：C．
2 (多选•★★☆☆☆)设函数f(x) = ||x| -1|，下列关于函数f(x) 的叙述正确的是
(
BC
)
A. f(x) 的单调递增区间是(-1，0) ∪(1，+∞)
B. f(x) 在(-∞，1] 没有最大值
C. f(x) 是偶函数
D. f(x) 的零点是(-1，0) 和(1，0)
先作出函数y = x
的图象，再向下平移1 个单位得到y = x
- 1 的图象，再利用上下翻折
变换得到f(x) = ||x| -1| 的图象，如图所示，A，f(x) 的单调递增区间是(-1，0) 和(1，+∞)，单调区间之间
不能用并集，故A 错误；B：当x →-∞时，f(x) →+∞，所以在(-∞，1] 上没有最大值，故B 正确，C：
f(x) 的图象关于y 轴对称，所以是偶函数，故C 正确；D，f(x) 的零点是-1 和1，零点是方程等于0 的根，不
是点，故D 错误．故选：BC．
3 (多选•★★★☆☆)已知函数f(x) = |x| -x2，则下列说法正确的是
(
AD
)
A. f(x) 的最大值为1
4
B. f(x) 在(-1，0) 上是增函数
C. f(x) > 0 的解集为(-1，1)
D. f(x) + 2x ≥0 的解集为[0，3]
f(-x) = | -x| - (-x)2= f(x)，故f(x) 是偶函数，
x ≥0 时，f(x) =-x2+ x，开口向下，对称轴是x = 1
2 ，
在0，1
2
递增，在
1
2 ，+∞
递减，最大值是f 1
2
= 1
4 ，
结合图象可知A 正确，B 错误；由于f(0) = 0，f(1) = 0，f(-1) = 0，
结合函数的单调性和奇偶性画出函数的图象，如图示：
故f(x) > 0 的解集是(-1，0) ∪(0，1)，故C 错误；
f(x) + 2x = -x2+3x，x≥0
-x2+x，x<0
，画出函数的图象如图示：
由图象得不等式的解集是[0，3]，故D 正确；故选：AD．
4 (★★★☆☆)设函数f(x) = -ax+1，x<a
(x-2)2，x≥a
，若f(x) 存在最小值，则a 的最大值为
( A )
A. 1
B. - 1
C.
2
2
D. -
2
2
当a < 0 时，f(x) 在(-∞，a) 上单调递增，此时f(x) 无最小值，不合题意；
当a = 0 时，f(x) = 1，x<0
(x-2)2，x≥0
，当x ≥0 时，f(x)min = f(2) = 0，又x < 0 时，f(x) = 1，
∴f(x) 存在最小值0，满足题意；当0 < a < 2 时，f(x) 在(-∞，a)，(a，2) 上单调递减，在(2，+∞)
上单调递增，若f(x) 存在最小值，则-a2+ 1 ≥f(2) = 0，解得-1 ≤a ≤1，∴0 < a ≤1；
当a ≥2 时，f(x) 在(-∞，a) 上单调递减，在(a，+∞) 上单调递增，
若f(x) 存在最小值，则-a2+ 1 ≥f(a) = (a - 2)2，不等式无解；综上，a ∈[0，1]，则a 的最大值为1．
3
2
1
4
3
2
1
5
4
3
2
1
5
4
3
2
1
x
y
f x
+2x
139
夏• 2026 初高衔接
选择胜于努力，笃行成就未来
5 (★★☆☆☆) 已知函数f(x) = |x - 1| 且f(a) = f(b)．
(1) 作出f(x) 的图象，求a，b 之间的关系；
(2) 求ab 的取值范围．
(1) ∵函数f(x) = |x - 1| 且f(a) = f(b)，
∴a - 1 = b - 1，或a - 1 =- (b - 1)，
化简可得a = b，或a + b = 2．
(2) 当a = b 时，ab = a2≥0，
当a + b = 2 时，b = 2 - a，
ab = a(2 - a) =-a2+ 2a =- (a - 1)2+ 1 ≤1，
故要求的ab 的取值范围为[0，+∞) 或(-∞，-1]．
6 (★★☆☆☆) 已知函数f(x) = x2- 2|x| -3．
(1) 作出f(x) 的图象，并写出f(x) 的单调区间；
(2) 讨论方程x2- 2|x| -3 = k 的解的个数，并说明相应的k 的取值范围．
(1) 函数f(x) = x2- 2|x| -3 图象如图
函数f(x) 的单调增区间为(-1，0)，(1，+∞)，
单调减区间为(-∞，-1)，(0，1)；
(2) 考查函数y1= x2- 2|x| -3 与y2= k 图象交点的个数．
根据图象可得：
k >-3 或k =-4 时，方程x2- 2|x| -3 = k 有两个解；
k =-3 时，方程x2- 2|x| -3 = k 有三个解；
-4 < k <-3 时，方程x2- 2|x| -3 = k 有四个解；
k <-4 时，方程x2- 2|x| -3 = k 无解．
7 (★★★☆☆)已知函数f(x) = |x - m| +2m．
(1) 若函数f(x) 为偶函数，求m 的值；
(2) 若f(x) ≥2 对一切x ∈R 恒成立，试求m 的取值范围．
(1) ∵f(x) 为偶函数，
∴对于x ∈R，有f(-x) = f(x)，
∴| -x - m| +2m = |x - m| +2m，∴m = 0
(2) ∵f(x) = |x - m| +2m = x+m，x≥m
-x+3m
，
∴函数f(x) 在(-∞，m] 上递减，在[m，+∞) 上递增，
∴f(x)min = f(m) = 2m，
要f(x) ≥2 对一切x ∈R 恒成立，
只要2m ≥2，即m ≥11．
5
4
3
2
1
4
3
2
1
5
4
3
2
1
2
1
x
y
4
3
2
1
5
4
3
2
1
5
4
3
2
1
5
4
3
2
1
x
y
140
夏• 2026 初高衔接
选择胜于努力，笃行成就未来
14
指数与指数函数
指数与指数函数
[教学重难点]
[教学目标]
[核心素养]
指数的再认识
熟练完成根式、分数指数幂的化简
与混合运算
数学运算、数学抽象
指数函数的认识与应用
依据指数函数的图象解决图象类、
变换类函数的综合问题，
直观想象、逻辑推理
一指数与指数函数
前面我们在第一讲的幂与根式中对指数的计算已经作了相应的介绍，特别是从初中到高中有什么不同．大
家还记得吗？
次方根
若xn= a，则x 叫做a 的n 次方根．(n > 1，n ∈N*)
当n 为奇数时，x = n a；当n 为偶数时，x =± n a；n a 称之为根式，n 叫做根指数，a 叫做被开方数．
根式性质
n a
n= a
n an =
a，当n为奇数时；
a
，当n为偶数时．
分数指数幂
设a > 0，m，n ∈N*，且n > 1
a
m
n =
n am
a
- m
n = 1
a
m
n =
1
n am
指数函数
形如y = ax(a > 0 且a ≠1) 的函数叫做指数函数，其中x 是自变量，a 为常数，函数定义域为R.
要点诠释：
(1) 形式上的严格性：只有形如y = ax(a > 0 且a ≠1) 的函数才是指数函数．像y = 2 ⋅3x，y = 2
1
x ，y = 3x
+ 1 等函数都不是指数函数．
(2) 为什么规定底数a 大于零且不等于1：
①如果a = 0，则x>0时，ax恒等于0，
x≤0时,ax无意义.
②如果a < 0，则对于一些函数，比如y = (-4)x，当x = 1
2 ,x = 1
4 , ⋅⋅⋅时，在实数范围内函数值不存在．
③如果a = 1，则y = 1x= 1 是个常量，就没研究的必要了．
141
夏• 2026 初高衔接
选择胜于努力，笃行成就未来
1 (★★☆☆☆)指数函数f(x) = ax(a > 0，且a ≠1)，对任意x，y ∈R，恒满足
( C )
A. f(x + y) = f(x) + f(y)
B. f(xy) = f(x) + f(y)
C. f(x + y) = f(x)f(y)
D. f(x + y) = f(x) + f(y) - 2xy
∵f(x) = ax(a > 0，且a ≠1) ∴f(x + y) = ax+y = ax•ay = f(x)•f(y)，故选：C．
1
(★☆☆☆☆)计算
a2
a⋅
3 a2 的结果为
( C )
A. a
3
2
B. a
1
6
C. a
5
6
D. a
6
5
a2
a⋅
3 a2 = a2 ⋅a
- 1
2 ⋅a
- 2
3 = a
2- 1
2 - 2
3 = a
5
6 ．
2
(★☆☆☆☆)下列指数幂互化中，正确的是
( C )
A. -
x = (-x)
- 1
2 (x ≠0)
B. x
- 1
3 = 3 x
C.
x
y
- 3
4 =
4
y
x
3
(xy ≠0)
D.
4 y2 = 1
y2 (y < 0)
- x =-x
1
2 ，A 错误；x
- 1
3 =
1
3 x
，B 错误；
x
y
- 3
4 =
4
y
x
3
，C 正确；
4 y2 = y
1
2 ，D 错误．故选：C．
3
(★☆☆☆☆)已知10m = 2，10n= 3，则10
3m-2n
2
=
( D )
A. 4
9
B. 8
9
C.
2
3
D. 2 2
3
10
3m-2n
2
= 10
3m
2 ÷ 10n= (10m)
3
2 ÷ 3 = 2
3
2 ÷ 3 = 2 2
3
4 (★☆☆☆☆)
y - 1
y = m，则1+y2
y
的结果是
( A )
A. m2 + 2
B. m2 - 2
C.
m + 2
D.
m - 2
因为m2 =
y- 1
y
2
= y + 1
y - 2，所以1+y2
y
= 1
y + y = m2 + 2，故选：A．
5
(★☆☆☆☆)函数y = (a2- 3a - 3)ax是指数函数，则有
( B )
A. a =-1 或a = 4
B. a = 4
C. a =-1
D. a > 0 或a ≠1
∵y = (a2- 3a - 3)ax是指数函数，∴a2- 3a - 3 = 1，即a2- 3a - 4 = 0，
∴a = 4 或a =-1，∵a > 0 且a ≠1，∴a = 4
6
(★☆☆☆☆)已知函数f(x) = (a2- 3a + 3)ax是指数函数，
(1) 求f(x) 的表达式；
(2) 判断F(x) = f(x) - f(-x) 的奇偶性，并加以证明．
(1)a2- 3a + 3 = 1，可得a = 2 或a = 1(舍去)，∴f(x) = 2x；
(2)F(x) = 2x- 2-x，∴F(-x) =-F(x)，
∴F(x) 是奇函数．
142
夏• 2026 初高衔接
选择胜于努力，笃行成就未来
二指数函数的图象与性质
五点作图绘图法
对于指数函数f(x) = 2x的作图：
①确定函数定义域：x ∈R；
②判定函数奇偶性：f(-x) = 2-x= 1
2x ，函数f(x) 不具备奇偶性。
③当x →-∞时，2-∞= 1
2∞→0，∴x 轴是函数f(x) 的渐近线。
④列表取点，光滑曲线连点成图。
x
-2
-1
0
1
2
f(x)
1
4
1
2
1
2
4
因为y =
1
2
x
= 2-x，点(x，y) 与点(-x，y) 关于y 轴对称，所以函数y = 2x 图象上任意一点P(x，y) 关
于y 轴的对称点P1(-x，y) 都在函数y =
1
2
x
的图象上，反之亦然，由此可知，底数互为倒数的两个指数函数
的图象关于y 轴对称．根据这种对称性，就可以利用一个函数的图象，画出另一个函数的图象.
指数函数的图象性质
函数名称
指数函数
定义
形如y = ax(a > 0 且a ≠1) 的函数叫做指数函数
图象
a > 1
0 < a < 1
1
y=ax
O
x
y
a>1
1
y=ax
O
x
y
0<a<1
定义域
R
值域
(0, +∞)
过定点
图象过定点(0,1)，即当x = 0 时，y = 1．
渐近线
y = 0 即x 轴
奇偶性
非奇非偶
指数函数y = ax与y =
1
a
x
的图象关于y 轴对称
单调性
在R 上是增函数
在R 上是减函数
a 变化对
图象影响
a 越大，开口越靠近y 轴
a 越小，开口越靠近y 轴
1
y=2x
O
x
y
143
夏• 2026 初高衔接
选择胜于努力，笃行成就未来
1 (★★☆☆☆)已知函数f(x) = ax-2 + 1(a > 0，a ≠1) 的图像恒过一点P，且点P 在直线ax + by - 1 = 0
(ab > 0) 的图像上，则1
a + 1
b 的最小值为
( D )
A. 4
B. 6
C. 7
D. 8
令x - 2 = 0，则x = 2，y = 2，∴图像恒过P(2，2)，∵P 在直线上，∴2a + 2b = 1，即
2a + 2b = 1(a > 0，b > 0)，∴1
a + 1
b =
1
a + 1
b
(2a + 2b) = 2b
a + 2a
b
+ 4 ≥2 4 + 4 = 8，当且仅当2b
a
= 2a
b ，即a = b = 1
4 时取等，∴1
a + 1
b 最小值8
7
(★☆☆☆☆)如图是指数函数f(x) = ax(a > 0 且a ≠1) 的部分图象，已知a 取1
3 ，1
2 ，2，3 这四个
值，则曲线C1，C2，C3，C4相对应的a 依次为
( D )
A. 1
3 ，1
2 ，2，3
B. 1
3 ，1
2 ，3，2
C. 1
2 ，1
3 ，2，3
D. 1
2 ，1
3 ，3，2
在图象上画出x = 1 的直线，与各个曲线的交点的纵坐标即为对应的指数函数的底数，
所以对应于C1，C2，C3，C4的a 值依次为：1
2 ，1
3 ，3，2．
8
(★☆☆☆☆)“a = 1
2 ”是“指数函数y = ax在R 上是严格减函数”的
( A )
A. 充分非必要条件
B. 必要非充分条件
C. 充要条件
D. 非充分也非必要条件
由a = 1
2 ，y =
1
2
x
在R 上是减函数，充分性成立；由y = ax 在R 上是严格减函数，可得
0 < a < 1，不能推出a = 1
2 ，故必要性不成立，故选：A．
9
(★☆☆☆☆)函数f(x) = 2x与g(x) =-2-x的图象关于
( C )
A. x 轴对称
B. y 轴对称
C. 原点对称
D. 直线y = x 对称
由前面学习的知识可知，二者关于原点对称．
10 (★☆☆☆☆)指数函数f(x) = ax(a > 0，a ≠1)，在R 上是减函数，则函数g(x) = (a - 2)x3 在R 上的
单调性为
( C )
A. 单调递增
B. 在(0，+∞) 上递减，在(-∞，0) 上递增
C. 单调递减
D. 在(0，+∞) 上递增，在(-∞，0) 上递减
∵指数函数f(x) = ax在R 上是减函数，
∴0 < a < 1，∴-2 < a - 2 <-1，∴函数g(x) = (a - 2)x3在R 递减，C．
4
3
2
1
3
2
1
3
2
1
x
y
C1
C2
C3
C4
144
夏• 2026 初高衔接
选择胜于努力，笃行成就未来
11 (★☆☆☆☆)已知函数f(x) = 2 + a2x-4(a > 0 且a ≠1) 的图象恒过定点P，则P 点的坐标为
( B )
A. (0，2)
B. (2，3)
C. (2，4)
D. (4，0)
令2x - 4 = 0，得x = 2，∴f(2) = 2 + a0= 3，即f(x) 过定点(2，3)．B．
12 (★★☆☆☆)函数y = ax- 1
a (a > 0，且a ≠1) 的图象可能是
( D )
A.
2
1
2
1
1 x
y
B.
1
2
1
1 x
y
C.
1
2
1
1 x
y
D.
1
2
1
1
1
x
y
当a > 1 时，0 < 1
a < 1，函数为单增函数，图象与y 轴的交点在(0，1) 中间，故A，B
错；当0 < a < 1 时，1
a > 1，函数的图象为单调递减函数，与y 轴的交点在原点以下，故C 错误，D 正确．
13 (★★☆☆☆)函数f(x) = 2|x-1|的单调递减区间是
( C )
A. (-∞，+∞)
B. [1，+∞)
C. (-∞，1]
D. [0，+∞)
∵y = 2x为增函数，y = |x - 1| 在(-∞，1] 上单调递减，在[1，+∞) 上单调递增，
又复合函数的单调性为：同增异减，∴复合函数f(x) = 2|x-1|的单调递减区间是(-∞，1]．
14 (★★☆☆☆)若函数f(x) = a|2x-4|(a > 0，a ≠1)，满足f(1) = 1
9 ，则f(x) 的单调递减区间是
( B )
A. (-∞，2]
B. [2，+∞)
C. [-2，+∞)
D. (-∞，-2]
由f(1) = 1
9 ，得a2= 1
9 ，于是a = 1
3 ，因此f(x) =
1
3
|2x-4|
．
因为g(x) = |2x - 4| 在[2，+∞) 上单调递增，所以f(x) 的单调递减区间是[2，+∞)．
15 (★★☆☆☆)设函数f(x) = a-x - 2(a > 0 且a ≠1) 的图象经过第二、三、四象限，则不等式f(1 - m)
< f(m2- 1) 的解集为
( A )
A. (-2，1)
B. (0，1)
C. (-2，1]
D. (-∞，-2) ∪(1，+∞)
函数f(x) 图象过第二、三、四象限，则0 < 1
a < 1，所以a > 1；
所以f(x) 是定义域R 上的单调减函数，所以不等式f(1 - m) < f(m2- 1) 可化为1 - m > m2- 1，
即m2+ m - 2 < 0，解得-2 < m < 1，所以不等式的解集为(-2，1)．
16 (★★★☆☆)若a =
1
3
2
3 ，b =
1
5
2
3 ，c =
1
3
1
2 ，则a、b、c 的大小关系是
( D )
A. a < b < c
B. c < a < b
C. b < c < a
D. b < a < c
因为函数y = x
2
3 在(0，+∞) 上单调递增，且1
3 > 1
5 ，
所以b =
1
5
2
3 <
1
3
2
3 = a，又因为函数y =
1
3
x
在R 上单调递减，且2
3 > 1
2 ，
所以a =
1
3
2
3 <
1
3
1
2 = c，所以b < a < c．
145
夏• 2026 初高衔接
选择胜于努力，笃行成就未来
17 (★★★☆☆)设函数f(x) 定义在R 上，它的图象关于直线x = 1 对称，且当x ≥1 时，f(x) = 3x - 1，
则有
( B )
A. f 1
3
< f 3
2
< f 2
3
B. f 2
3
< f 3
2
< f 1
3
C. f 2
3
< f 1
3
< f 3
2
D. f 3
2
< f 2
3
< f 1
3
∵函数f(x) 定义在R 上，它的图象关于直线x = 1 对称，且x ≥1 时函数f(x) = 3x - 1 为单
调递增函数，∴x < 1 时函数f(x) 为单调递减函数，且f 3
2
= f 1
2
∵1
3 < 1
2 < 2
3 < 1 ∴f 2
3
< f 1
2
< f 1
3
，即f 2
3
< f 3
2
< f 1
3
18 (★★★☆☆)已知函数f(x) =
2
2x-1 ，若f(a) <-5，则
( D )
A. f(-a) < 7
B. f(-a) < 0
C. f(-a) > 5
D. f(-a) > 3
因为f(x) =
2
2x-1 ，2x- 1 ≠0，解得x ≠0，
所以f(x) 的定义域为(-∞，0) ∪(0，+∞)；由f(-x) =
2
2-x-1 = 2⋅2x
1-2x =- 2⋅2x
2x-1 ，
所以f(x) + f(-x) =
2
2x-1 - 2⋅2x
2x-1 = 2-2⋅2x
2x-1
=-2，
因为f(a) <-5，所以-f(a) > 5，所以f(-a) =-2 - f(a) >-2 + 5 = 3，即f(-a) > 3．
19 (★★★☆☆)已知函数y = ax-1 + 1(a > 0，a ≠1) 的图像恒过定点A，且点A 在直线y = mx + n(m，
n > 0) 上，则1
m + 1
n 的最小值为
( C )
A. 4
B. 1
C. 2
D. 3
2
由x - 1 = 0，解得x = 1，又f(1) = 2，所以函数y = ax-1 + 1 过定点为A(1，2)，
代入直线y = mx + n 中，得m + n = 2，
所以1
m + 1
n = 1
2
1
m + 1
n
(m + n) = 1
2
2+ m
n + n
m
≥1
2
2+2
m
n ⋅n
m
= 2，
当且仅当m = n = 1
2 时等号成立，所以1
m + 1
n 的最小值为2．
20 (★★★★☆)已知函数f(x) = |2x- 2|，若x1< x2且f(x1) = f(x2)，则2-x1 + 22-x2 的最小值为
( A )
A. 9
4
B. 9
C. 5 + 2 2
D. 3+2 2
4
由题意函数函数f(x) = |2x- 2|，可分段为f(x) = 2-2x，x<1，
2x-2，x≥1.
当x < 1 时，f(x) 单调递减；当x ≥1 时，f(x) 单调递增，
由x1< x2且f(x1) = f(x2)，可知x1< 1 < x2，根据f(x1) = f(x2)，得2 - 2x1 = 2x2 - 2 ⇒2x1 + 2x2 = 4，
设a = 2x1，b = 2x2，则a + b = 4，其中0 < a < 2，b > 2，
目标表达式2-x1 + 22-x2 = 1
a + 4
b ，
又1
a + 4
b = 1
4 (a + b) 1
a + 4
b
= 1
4
5+ 4a
b + b
a
≥1
4
5+2
4a
b ⋅b
a
= 9
4 ，
当且仅当4a
b = b
a ⇒b = 2a 时取等号，代入a + b = 4，得a = 4
3 ，b = 8
3 ，满足0 < a < 2，b > 2．
146
夏• 2026 初高衔接
选择胜于努力，笃行成就未来
21 (★★★☆☆)已知函数f(x) = 1-2x
1+2x ．
(1) 试确定f(x) 的奇偶性；
(2) 求证：函数f(x) 在R 上是减函数；
(3) 若对任意的t ∈R，不等式f(t2- 2t) + f(2t2- k) < 0 恒成立，求k 的取值范围．
(1) 由于函数f(x) = 1-2x
1+2x 的定义域为R，关于原点对称，且有f(-x) = 1-2-x
1+2-x = 2x-1
2x+1
=- 1-2x
2x+1 =-f(x)，故函数f(x) 为奇函数．
(2) ∵f(x) = 2-(1+2x)
1+2x
=
2
2x+1 - 1，设x1 < x2，再由f(x1) - f(x2) =
2
2x1+1 -1
-
2
2x2+1 -1
=
2(2x2-2x1)
(2x1+1)(2x2+1) > 0，可得f(x1) > f(x2)，故函数f(x) 在R 上是减函数．
(3) ∵对任意的t ∈R，不等式f(t2 - 2t) + f(2t2 - k) < 0 恒成立，f(x) 为奇函数，∴f(t2 - 2t) <-f(2t2 -
k) = f(k - 2t2) 恒成立．
再由函数f(x) 在R 上是减函数可得t2- 2t > k - 2t2 恒成立，即3 t2- 2t - k > 0 恒成立．
∴Δ = 4 + 12k < 0，解得k <- 1
3 ，
故k 的取值范围为-∞，- 1
3
．
22 (★★★★☆)已知定义在(-1，1) 上的奇函数f(x)．在x ∈(-1，0) 时，f(x) = 2x+ 2-x．
(1) 试求f(x) 的表达式；
(2) 用定义证明f(x) 在(-1，0) 上是减函数；
(3) 若对于x ∈(0，1) 上的每一个值，不等式t•2x•f(x) < 4x- 1 恒成立，求实数t 的取值范围．
(1) ∵f(x) 是定义在(-1，1) 上的奇函数，∴f(0) = 0，
设x ∈(0，1)，则-x ∈(-1，0)，则
f(x) =-f(-x) =- (2x+ 2-x)，故f(x) =
2x+2-x，x∈(-1，0)
0，x=0
-(2x+2-x)，x∈(0，1)
；
(2) 任取x1，x2∈(-1，0)，且x1< x2，
则f(x1) - f(x2) = 2x1 + 2-x1 - (2x2 + 2-x2) = (2x1-2x2)(2x12x2-1)
2x12x2
，
∵x1< x2< 0，∴2x1 - 2x2 < 0，0 < 2x12x2 < 1，
故f(x1) - f(x2) > 0，故f(x) 在(-1，0) 上是减函数；
(3) 由题意，t•2x•f(x) < 4x- 1 可化为
t•2x• (- (2x+ 2-x)) < 4x- 1，化简可得，t >- 4x-1
4x+1 ，
令g(x) =- 4x-1
4x+1 =-1 +
2
4x+1 ，
∵x ∈(0，1)，∴g(x) <-1 +
2
40+1 = 0，
故对于x ∈(0，1) 上的每一个值，不等式t•2x•f(x) < 4x- 1 恒成立可化为
t ≥0．
147
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选择胜于努力，笃行成就未来
1 (★☆☆☆☆)下列函数中是指数函数的为
( D )
A. y = x3
B. y = (-4)x
C. y = 5x+1
D. v = 52x
形如y = ax(a > 0，且a ≠1) 的函数，叫做指数函数，
y = x3是幂函数，故排除A；y = (-4)x不是指数函数，故排除B；
y = 5x+1不是指数函数，故排除C；v = 52x= (52)x= 25x是指数函数，故选D．
2 (★☆☆☆☆)命题p：指数函数f(x) = (3a - 1)x是减函数，命题q：a > 1
3 ，则p 是q 的
( B )
A. 必要不充分条件
B. 充分不必要条件
C. 充要条件
D. 既不充分也不必要条件
∵命题p：指数函数f(x) = (3a - 1)x是减函数，∴0 < 3a - 1 < 1，解得1
3 < a < 2
3 ，
即p：1
3 < a < 2
3 ．而命题q：a > 1
3 ，所以p 可以推出q，故充分性成立．
由q 推不出p，故必要性不成立．故p 是q 的充分不必要条件．
3 (★★☆☆☆)已知函数f(x) = ax+1 - 3
4 (a > 0，且a ≠1) 的图象过定点(m，n)，则
16
81
mn
= ( A )
A. 3
2
B. 2
3
C. 27
8
D.
8
27
由题意函数f(x) = ax+1 - 3
4 (a > 0，且a ≠1) 的图象过定点(m，n)，
f(-1) = a0 - 3
4 = 1
4 ，可得函数过定点-1，1
4
，即m =-1，n = 1
4 ，则
16
81
-1× 1
4 =
2
3
-1
= 3
2
4 (★★☆☆☆)函数y = 2-|x-1|的图象大致形状是
( B )
A.
1
2
1
x
y
B.
1
1
2
1
x
y
C.
1
1
2
1
x
y
D.
2
1
2
1
x
y
∵y = e-|x-1|= e-(x-1)，x≥1
ex-1，x<1
，∴函数函数y = e-|x-1|的图象大致形状是B：
5 (★★☆☆☆) f(x) = ax(a > 0，且a ≠1) 在x ∈[1，2] 上最大值与最小值差为a
2 ，则a =
( D )
A. 1
2
B. 3
2
C. 2
3 或2
D. 1
2 或3
2
由题意，若0 < a < 1，则有a - a2= a
2 ，
解得，a = 1
2 ；若a > 1，则有a2- a = a
2 ，则a = 3
2 ，选：D．
6 (★★☆☆☆)已知全集U = R，A = {x 2x> 1
2
，B = {-2，-1，0，1}，则(∁UA) ∩B =
( A )
A. {-2，-1}
B. {-2}
C. {-1，0，1}
D. {0，1}
∵A = {x|x >-1}，B = {-2，-1，0，1}，U = R，
148
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选择胜于努力，笃行成就未来
∴∁UA = {x|x ≤-1}，(∁UA) ∩B = {-2，-1}．故选：A．
7 (★★☆☆☆)已知函数f(x) = 1 +
2
2x-1
(1) 求函数f(x) 的定义域
(2) 证明函数f(x) 在(-∞，0) 上为减函数．
(1)f(x) = 1 +
2
2x-1 又∵2x- 1 ≠0 ⇒x ≠0，
∴函数f(x) 的定义域{x|x ∈R 且x ≠0}，
(2) 设x1，x2∈(-∞，0) 且x1< x2
则f(x1) - f(x2) =
2
2x1-1 -
2
2x2-1 =
2(2x2-2x1)
(2x1-1)(2x2-1) ，
∵x1，x2∈(-∞，0) 且x1< x2，
∴2x2 > 2x1 且2x1 < 1，2x2 < 1，
∴
2(2x2-2x1)
(2x1-1)(2x2-1) > 0
∴f(x1) - f(x2) > 0，即f(x1) > f(x2)
∴根据函数单调性的定义知：函数f(x) 在(-∞，0) 上为减函数．
8 (★★★☆☆)指数函数f(x) 图象过点
1
2 ，
2
2
．
(1) 求f(x) 的解析式；
(2) 若函数g(x) = f(2x) - mf(x - 1) + 1，且在区间(-1，+∞) 上有两个零点，求m 的取值范围．
(1) 设f(x) = ax(a > 0，且a ≠1)，
∵f(x) 的图象过点
1
2 ，
2
2
，∴a
1
2 =
2
2 ，解得a = 1
2 ．
所以函数f(x) 的解析式为f(x) =
1
2
x
．
(2) ∵g(x) = f(2x) - mf(x - 1) + 1 =
1
2
2x
- 2m ⋅
1
2
x
+ 1，令t =
1
2
x
，则t ∈(0，2)，
函数g(x) =
1
2
2x
- 2m 1
2
x
+ 1 在(-1，+∞) 上有两个零点，等价于y = t2 - 2mt + 1 在t ∈(0，2) 上有
两个零点，
则
02-2m×0+1>0
22-2m×2+1>0
Δ=(-2m)2-4×1×1>0
0<- -2m
2
<2
，解得1 < m < 5
4 ．
故实数m 的取值范围为1，5
4
．
149
夏• 2026 初高衔接
选择胜于努力，笃行成就未来
15
对数与对数函数
对数与对数函数
[教学重难点]
[教学目标]
[核心素养]
对数的认识与计算
掌握指对互化与运算公式，熟练完
成对数化简求值
数学运算、数学抽象
对数函数的图象与性质
结合图象分析对数函数性质，求解
不等式、参数范围，了解函数变换
直观想象、逻辑推理
一对数的认识
生物学中，细菌依靠无性二分裂完成增殖：单个母细胞生长成熟后，会均等分裂为两个全新子细胞。我们
不妨设定细菌每1 分钟完成一轮分裂，初始仅有1 个细菌．
经过1 分钟，细菌总数为21 = 2 个；经过2 分钟，细菌总数为22 = 4 个；经过3 分钟，细菌总数为23 = 8
个；以此类推，若经过t 分钟，细菌总数量y 便满足指数关系式：
y = 2t
结合简单数值不难发现：想要得到8 个细菌，对应时长t = 3；想要得到32 个细菌，对应时长t = 5，这类
目标数量为2 的整数次幂时，我们能直接读出对应的时间．但实际微生物培养中，我们常常需要精准培育出
100、1000、10000 个细菌……观察这类数值可以发现，100、1000 都无法写成2 的整数次方，也就是说对应的
分裂时长t 不再是整数．已知指数式y = 2t 中细菌数量y，该怎样反向求解对应的时间t？专门用来解决这类
“已知底数和幂，求指数”问题的工具，就是对数．
对数的定义与指对互化
若ax= N a>0，且a≠1
，称数x 是以a 为底N 的对数，记作：x = logaN
其中a 叫做对数的底数，N 叫做真数．由此可得指对互化公式：
ax= N x = logaN
由指数的内容和指对互化可知：对数式x = logaN 中各字母的取值范围是：a > 0 且a ≠1，N > 0，x ∈
R．通常，我们将以10 为底的对数叫做常用对数，并把log10N 记为lgN．另外，在科技、经济以及社会生活中
经常使用以无理数e = 2.71828… 为底数的对数，以e 为底的对数称为自然对数，并把logeN 记为lnN.
对数的诞生逻辑，和初中
平方根的由来本质相通：
二者都是现有数字无法直
接书写、难以完整表达运
算等量关系，因此人们专
门创设全新符号，用以表
示这类特殊数值．
要点补注
要点补注
mathxiaoshu01
150
夏• 2026 初高衔接
选择胜于努力，笃行成就未来
1
(★☆☆☆☆)把下列对数化为指数，指数化为对数．
(1) 5-2 = 1
25
(2) 8x= 30
(3) 3x= 1
(4) log 1
3 9 =-2
(1) - 2 = log5 1
25
(2)x = log830
(3)x = log31
(4) 1
3
-2
= 9
(5) 3 = lgx
(6)x = ln 1
3
(7) 23= 8
(8) e 3 = m
(5)103= x
(6)ex= 1
3
(7)log28 = 3
(8)lnm =
3
(9) 27
- 1
3 = 1
3
(10) log39 = 2
(11) lgn = 2.3
(12) log3 1
81 =-4
(9)log27 1
3 =- 1
3
(10)32= 9
(11)102.3 = n
(12)3-4 = 1
81
对数的计算
通过探究对数的定义可知，对数由指数衍生而来。借助指数的基本运算性质，可推导出形式多样的对数运
算恒等式．
1
由指对互化我们可以得到如下对数运算：
对数：loga1 =
0
logaa =
1
logaan=
n
指数：
a0 = 1
a1 = a
an= an
2
对数的性质：如果a > 0，且a ≠1，M > 0，N > 0，那么：
积的对数等于对数的和：loga(MN) = logaM + logaN，对应的是指数公式：am ∙an= am+n
商的对数等于对数的差：loga M
N = logaM - logaN，对应的是指数公式：am ÷ an= am-n
幂的对数等于指数与对数的积：logaM n= n ∙logaM (n ∈R)，对应的是指数公式：am
n= amn
3
换底公式：logaN = logmN
logma
对数的计算公式
2 (★★☆☆☆) 计算：1
2 lg25 + lg2 - lg 0.1 - log29 ⋅log32
原式= lg5 + lg2 + 1
2 - 2log23 ⋅log32
= 1 + 1
2 - 2
=- 1
2 ．
151
夏• 2026 初高衔接
选择胜于努力，笃行成就未来
2
(★☆☆☆☆)请完成下列计算：
(1)
2 1
4
1
2 - (-2)0 + log55
(2) log525 -
1
9
- 1
2
(3) log420 + lne + 27
2
3
(1)原式= 3
2 - 1 + 1 = 3
2
(2)原式= log552-
1
9
- 1
2 = 2 - 9
1
2 = 2 - 3 =-1．
(3)原式= log41 + 1 + (33)
2
3 = 0 + 1 + 32= 10
(4) 3 × 20 - log28 + (27)
1
3
(5) log2 2•log39
(6)
27
8
1
3 + ln e
(4)原式= 3 × 1 - log223 + (33)
1
3 = 3 × 1 - 3 + 3 = 3
(5)原式= log22
1
2 •log332= 1
2 × 2 = 1
(6)原式=
3
2
3
1
3 + lne
1
2 = 3
2 + 1
2 = 2
(7) log3 1
9 + 4
- 1
2
(8) 27
2
3 - lg0.01 + lne4
(7)原式=-2 + 1
2 =- 3
2
(8)原式= [(3)3]
2
3 - (-2) + 4 = 32+ 2 + 4 = 15 = 1
(9)
1
2
-2
+ 4log2 2 + log 24
(10) log3 27 + lg125 + lg8 + 7log72
(9) 原式= 4 + 2log22 + log216 = 4 + 2 + 4 = 10．
(10) 原式= log33
3
2 + lg(125 × 8) + 2 = 3
2 + 3 + 2 = 13
2
(11)
1
2
log2
1
3 + (-27)
2
3 - log 39
(12) log327 + lg25 + lg4 - 7log72 - log32 ⋅log43
(11) 原式= 2
-log2
1
3 + 9 - log 3( 3)4 = 3 + 9 - 4 = 8．
(12) 原式= 3 + lg(25 × 4) - 2 - (log32)⋅
1
2 log23
= 3 + 2 - 2 - 1
2 = 5
2 ．
(13)
1
27
- 2
3 +
4
9 - (-5)0- lg 1
2 + lg50 + log23 ⋅log34
(14)log23 × log38 + (lg5)2+ lg5 × lg2 + 1
3 lg8 - 2log23
(13) 原式=
1
3
3× - 2
3
+ 2
3 - 1 - (-lg2) + (lg5 + 1) + lg3
lg2 ⋅lg4
lg3
= 9 + 2
3 - 1 + lg2 + lg5 + 1 + 2 = 9 + 2
3 - 1 + 1 + 1 + 2 = 12 + 2
3 = 38
3 ；
(14) 原式= log23 × 3log32 + lg5(lg5 + lg2) + 1
3 × 3lg2 - 3 = 3 + lg5 + lg2 - 3 = 1．
152
夏• 2026 初高衔接
选择胜于努力，笃行成就未来
二对数函数
对数函数
一般地，函数y = logax(a > 0，且a ≠1) 叫做对数函数．根据指对互化知：对数函数定义域是(0，+∞)
对数函数图象
例如：对于函数f(x) =
x
lg
的作图：
①确定函数定义域：x ∈0,+∞
；
②判定函数奇偶性：定义域部关于原点对称，∴函数f(x) 不具备奇偶性．
③当x →0 时，
x
lg
→-∞(以x =
1
100 ,
1
1000 ,
1
1000 ∙∙∙作解释说明)
∴y 轴是函数f(x) 的渐近线。
④列表取点，光滑曲线连点成图。
x
1
100
1
10
1
10
100
f(x)
-2
-1
0
1
2
因为y =
1
10x
log
=-
10x
log
=-
x
lg ，点(x，y) 与点(x，- y) 关于x 轴对称，所以函数y =
x
lg
图象上任意一
点P(x，y) 关于x 轴的对称点P1(x，- y) 都在函数y =
1
10x
log
的图象上，反之亦然，由此可知，底数互为倒数
的两个对数函数的图象关于x 轴对称。根据这种对称性，就可以利用一个函数的图象，画出另一个函数的图象.
对数函数的图象与性质
函数名称
对数函数
定义
形如y = logax(a > 0 且a ≠1) 的函数叫做对数函数
图象
a > 1
0 < a < 1
1
O
x
y
1
O
x
y
定义域
(0, +∞)
值域
R
过定点
图象过定点(1,0)，即当x = 1 时，y = 0．
渐近线
y 轴即：x = 0
单调性
在R 上是增函数
在R 上是减函数
a 变化对
图象影响
a 越大，开口越靠近x 轴
a 越小，开口越靠近x 轴
1
y=
x
lg
O
x
y
153
夏• 2026 初高衔接
选择胜于努力，笃行成就未来
3
(★☆☆☆☆)函数y = lnx 的单调递增区间是
( B )
A. [e，+∞)
B. (0，+∞)
C. (-∞，+∞)
D. [1，+∞)
函数y = lnx 的定义域为(0，+∞)．函数y = lnx 的单调递增区间是(0，+∞)．故选：B．
4 (★☆☆☆☆)函数f(x) = loga(x + 2) - 1(a > 0 且a ≠1) 的图象经过定点
( A )
A. (-1，-1)
B. (-1，0)
C. (-2，2)
D. (-2，0)
令x + 2 = 1，即x =-1 时，故f(-1) =-1，
故该图象经过定点(-1，-1)，A．
5
(★☆☆☆☆)设a = 20.7，b =
1
2
0.7
，c = log40.7，则
( C )
A. a < b < c
B. c < a < b
C. c < b < a
D. a < c < b
∵20.7 > 2-0.7 =
1
2
0.7
> 0，log40.7 < log41 = 0，∴c < b < a．C．
6
(★☆☆☆☆)已知f(x) = log3x，f(a) > f(2)，那么a 的取值范围是
( A )
A. {a|a > 2}
B. {a|1 < a < 2}
C. {a a> 1
2
D.
a 1
2 <a<1
由题意，f(x) = log3x，函数单调递增，
∵f(a) > f(2)，∴a > 2，故选：A．
7
(多选•★☆☆☆☆)函数f(x) = loga(x + 2) (0 < a < 1) 的图象过
( BCD )
A. 第一象限
B. 第二象限
C. 第三象限
D. 第四象限
由于函数f(x) = loga(x + 2) (0 < a < 1) 的定义域为(-2，+∞)，
它的图象经过定点(-1，0)，故它的图象过第二、第三、第四象限．BCD．
8
(★★☆☆☆)设a > 1，函数f(x) = logax 在区间[a，2a] 上的最大值是最小值的3 倍，则a =
( A )
A.
2
B. 2
C. 2 2
D. 4
当a > 1 时，函数f(x) = logax 在区间[a，2a] 上为增函数，
fmin(x) = f(a) = 1，fmax(x) = f(2a) = 1 + loga2；
故1 + loga2 = 3；解得a =
2；故选：A．
9
(★★☆☆☆)函数f(x) = loga(2 - ax) 在[0，4] 上为增函数，则a 的取值范围是
( A )
A.
0，1
2
B. (0，1)
C.
1
2 ，1
D. [4，+∞)
由函数在f(x) = loga(2 - ax) 在[0，4] 上是x 的增函数，
0 < a < 1，且2 - 4a > 0，∴1
2 > a > 0，故选：A．
154
夏• 2026 初高衔接
选择胜于努力，笃行成就未来
10 (★★☆☆☆)函数y = lg|x + 1| 图像大致是
( A )
A.
x
y
-1
-2
B.
x
y
-1
C.
x
y
-1
D.
x
y
1
2
∵定义域{x|x ≠-1}，∴排除B，C，D，故选：A．
11 (★★★☆☆)若2a+ log2a = 4b+ 2log4b，则
( D )
A. a > b2
B. a < b2
C. a > 2b
D. a < 2b
∵2a+ log2a = 4b+ 2log4b，∴2a+ log2a = 22b+ log2b，
令f(x) = 2x+ log2x，则f(x) 在(0，+∞) 上是增函数，
又∵22b+ log2b < 22b+ log22b，∴2a+ log2a < 22b+ log22b，故a < 2b，
12 (多选•★★★★☆)函数f(x) = loga(1 - x) (a > 0，a ≠1)，关于f(x) 的说法正确的是
( ABC )
A. 定义域是(-∞，1)
B. 值域是R
C. 图象恒过定点
D. 当a > 1 时，在定义域上是增函数
f(x) = loga(1 - x)，∵1 - x > 0，∴x < 1，∴f(x) 定义域是(-∞，1)，故A 正确，函数
f(x) 的值域为R，故选项B 正确，令1 - x = 1 得x = 0，此时y = loga1 = 0，∴函数f(x) 的图象过定点(0，
0)，故选项C 正确，令t = 1 - x，则t > 0，当a > 1 时，函数y = logat 在(0，+∞) 上单调递增，而y = 1 - x
在(-∞，1) 上单调递减，由复合函数的单调性可知，函数f(x) = loga(1 - x) 在(-∞，1) 上单调递减，故D 错
误，故选：ABC．
13 (多选•★★★★☆)已知函数f(x) = |lnx|，若m > n > 0，且f(m) = f(n)，则
( BCD )
A. m + n = 2
B. mn = 1
C. 2
m + 1
n ≥2 2
D. 1
m + 2
n > 3
因为f(x) = |lnx|，若f(m) = f(n) (m > 1 > n > 0)，
则lnm =-lnn，即lnm + lnn = 0，所以mn = 1，B 对，
m + n ≥2 mn = 2(当且仅当m = n = 1 时取等号)，但m > n，即等号不成立，A 错，
2
m + 1
n ≥2
2
mn = 2 2，当且仅当m = 2n =
2 时等号成立，C 对，
1
m + 2
n ≥2
2
mn = 2 2，当且仅当n = 2m =
2 时等号成立，此时m =
2
2 ，不符合题意，
由1
m + 2
n = 2m + 1
m 在m > 1 为增函数，可得1
m + 2m > 3，故D 正确．
14 (★★★★☆)设x1满足x + lnx = 3，x2满足ln(2 - x) - x = 1，则x1+ x2=
( B )
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
由题意知，ln(2 - x) - x = 1 可化为(2 - x) + ln(2 - x) = 3，
∵2 - x2满足x + lnx = 3，x1满足x + lnx = 3，
∴2 - x2和x1是方程x + lnx = 3 的根，∵y = x + lnx 在(0，+∞) 上单调递增，
∴2 - x2= x1，即x1+ x2= 2．
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夏• 2026 初高衔接
选择胜于努力，笃行成就未来
15 (原创•★★★☆☆)解下列对数方程与不等式
(1) lnx ≥0
(2) log3(x - 1) < 1
(3) lg(x - 2) ≤0
(1) ∵y =
t
ln 在定义域上单调递增，lnx ≥0 = ln1
∴x>0
x≥1
即x ≥1，∴不等式解集为[1，+∞)
(2) ∵y = log3t 在定义域上单调递增，log3(x - 1) < log33
∴x-1>0
x-1≤3
即1 < x ≤4，∴不等式解集为1,4
(3) ∵y = lgt 在定义域上单调递增，lg(x - 2) ≤lg1
∴x-2>0
x-2≤1
即2 < x ≤3，∴不等式解集为2,3
(4) log3(x + 2) = 3
(5) log5(2x + 1) = log5(x2- 2)
(6) loga 1
3 < 1
(4) ∵log3(x + 2) = log333，∵y = lgt 在定义域上单调递增∴x + 2 = 27 ∴x = 25，
(5) ∵log5(2x + 1) = log5(x2- 2) ∴
2x+1=x2-2
2x+1>0
x2-2>0
解得x = 3．
(6) loga 1
3 < 1，则log
1
3a < loga
a，
∴
0<a<1
1
3 >a
或
a>1
1
3 <a
，∴0 < a < 1
3 或a > 1
16 (★★★☆☆)已知函数f(x) = loga(1 + 2x) - loga(1 - 2x) (a > 0，a ≠1)．
(1) 求f(x) 的定义域；
(2) 判断f(x) 的奇偶性并给予证明；
(3) 求关于x 的不等式f(x) < 0 的解集．
(1) 由f(x) = loga(1 + 2x) - loga(1 - 2x) 知，1+2x>0
1-2x>0
，解得- 1
2 < x < 1
2 ，
即函数f(x) 的定义域为- 1
2 ，1
2
；
(2)f(x) 为奇函数，证明如下：函数f(x) 的定义域为- 1
2 ，1
2
，关于原点对称，
且f(-x) = loga(1 - 2x) - loga(1 + 2x) =-f(x)，所以f(x) 为奇函数；
(3)f(x) < 0，即loga(1 + 2x) < loga(1 - 2x)，(a > 0，a ≠1)，
当a > 1 时，f(x) 在- 1
2 ，1
2
上单调递增，则
1+2x>0
1-2x>0
1+2x<1-2x
，解得- 1
2 < x < 0；
当0 < a < 1 时，f(x) 在- 1
2 ，1
2
上单调递减，则
1+2x>0
1-2x>0
1+2x>1-2x
，解得0 < x < 1
2 ；
所以当a > 1 时，关于x 的不等式f(x) < 0 的解集为- 1
2 ，0
；
当0 < a < 1 时，关于x 的不等式f(x) < 0 的解集为0，1
2
．
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夏• 2026 初高衔接
选择胜于努力，笃行成就未来
1 (★☆☆☆☆)下列函数中，既是单调函数又是奇函数的是
( D )
A. y = log3x
B. y = 3|x|
C. y = x
1
2
D. y = x|x|
y = log3x 为(0，+∞) 的增函数，不为奇函数；y = 3|x|为偶函数，在R 上不单调；
y = x
1
2 在[0，+∞) 递增，不为奇函数；y = x|x| 为奇函数，且x ≥0 时，f(x) = x2 递增；x < 0，f(x) =
-x2递增，且f(0) = 0，可得原函数递增．
2 (多选•★☆☆☆☆)下列关于函数y = log 1
2 x 的结论中，正确的是
( BCD )
A. 定义域为(0，1) ∪(1，+∞)
B. 值域为R
C. 在定义域内是减函数
D. 既不是奇函数，也不是偶函数
由对数函数的性质可知，函数y = log 1
2 x 的定义域为(0，+∞)，值域为R，在定义域内单调
递减，因为定义域不关于原点对称，所以既不是奇函数，也不是偶函数．故选：BCD．
3 (★★☆☆☆)“log2a > log2b”是“ 1
a < 1
b ”的
( A )
A. 充分不必要条件
B. 必要不充分条件
C. 充要条件
D. 不充分也不必要条件
loga
2 > logb
2 等价于a > b > 0，能推出1
a < 1
b ；但反之则不成立，∴“loga
2 > logb
2”是“ 1
a
< 1
b “的充分不必要条件．故选：A．
4 (★★☆☆☆)已知ln2 = a，ln3 = b，则ln18 =
( C )
A. 2a - b
B. a - 2b
C. a + 2b
D. a + 3b
∵ln2 = a，ln3 = b，
∴ln18 = ln(2 × 32) = ln2 + 2ln3 = a + 2b．故选：C．
5 (★★☆☆☆)对数函数f(x) = logax(a > 0，且a ≠1) 在区间[2，4] 上的最大值与最小值之积为2，
则a =
( B )
A. 1
2
B. 1
2 或2
C. 2 2
D. 2
∵对数函数f(x) = logax(a > 0，且a ≠1) 在区间[2，4] 上的最大值与最小值之积为2，
∴①当0 < a < 1 时，loga2•loga4 = 2(loga2)2 = 2，∴loga2 =±1，当loga2 = 1 时，a = 2，(舍)；当loga2
=-1 时，a = 1
2 ．②当a > 1 时，loga2•loga4 = 2(loga2)2= 2，∴loga2 =±1，
当loga2 = 1 时，a = 2；当loga2 =-1 时，a = 1
2 ．(舍)
6 (多选•★★☆☆☆)已知函数f(x) = |lgx|，则
(
BD
)
A. f(x) 是偶函数
B. f(x) 值域为[0，+∞)
C. f(x) 在(0，+∞) 上递增
D. f(x) 有一个零点
f(x) = |lgx| 是y=
x
lg
的变换f(x) 值域为[0，+∞) 当x = 1 时，图象与x 轴只有一个交点，
157
夏• 2026 初高衔接
选择胜于努力，笃行成就未来
即f(x) 有一个零点．
7 (★☆☆☆☆)请完成下列计算：
(1) 1
2 lg4 - (π + 1)0 + 3log37 + lg50
原式= lg2 - 1 + 7 + lg5 + lg10
= lg(2 × 5) - 1 + 7 + 1
= 8
(2)lg4 + 2lg5 + log25 × log58 + lg10
原式= lg4 + lg52 + lg5
lg2 × lg8
lg5 + 1
= 2 + log28 + 1
= 3 + log223 = 6．
8 (★★★☆☆)已知函数f(x) = loga(x - 1) + 2(a > 0 且a ≠1) 的图象过点(3，3)．
(1) 求实数a 的值；
(2) 解关于x 的不等式f(2x- 3) < f(21 - 2x+1)；
(3) 求函数g(x) = f(x) - 1
x - 2 的零点个数．
(1) 由题设条件可知，f(3) = loga(3 - 1) + 2 = 3，
即loga2 = 1，可得a = 2，∴f(x) = log2(x - 1) + 2，
(2) ∵f(x) = log2(x - 1) + 2 的定义域为{x|x > 1}，并在其定义域内单调递增，
∴f(2x- 3) < f(21 - 2x+1) ⇔1 < 2x- 3 < 21 - 2x+1，
不等式的解集为{x|2 < x < 3}；
(3) 函数g(x) = f(x) - 1
x - 2 = log2(x - 1) - 1
x ，
故函数g(x) = f(x) - 1
x - 2 的零点个数，即y = log2(x - 1) 与y = 1
x 两个函数的交点个数，
x
y
结合图象可得，交点个数只有1 个，即函数g(x) = f(x) - 1
x - 2 的零点个数为1．
