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复习专题十 万有引力
——精剖细解细复习讲义
知识点1：开普勒三大定律
定律 内容 图示/公式
所有行星绕太阳运动的轨道
开普勒第一定律(轨道定律) 都是椭圆，太阳处在椭圆的
一个焦点上。
对任意一个行星来说，它与
开普勒第二定律(面积定律) 太阳的连线在相等的时间内
扫过相等的面积。
所有行星的轨道的半长轴的
a3
=k
开普勒第三定律(周期定律) 三次方跟它的公转周期的二
T2
，k是一个与行
次方的比值都相等。 星无关的常量。
对三大定律的刨析
k值由中心天体决定，中心天体不同其值不同，与绕中心天体运动的行星(或卫星)无关。例如
绕太阳运动的八大行星其k值相同，月亮绕地球运动的k 值≠行星绕太阳运动的k 值，即k不是个
1 2
普适常量。
开普勒第三定律说明：对于绕同一中心天体运动的行星,椭圆轨道半长轴越长的行星,公转周期
越大。因此遇到题目中椭圆轨道求周期的情景时一般考虑这个定律。该定律也适用与圆轨道，此时
r3
=k
T2
半长轴a为半径r，即 。高中阶段行星绕太阳的运动通常按圆轨道处理。
开普勒三大定律
单选题
1．开普勒三大定律描述的是行星绕太阳运行的规律，也可类比到其他卫星绕同一行星运行的规律。已知地球的半径为R，神舟十五号载人飞船近地点高度 ，远地点高度 ；北斗三号全球卫星导航
系统54颗卫星在不同轨道（如图）绕地球圆周运动；嫦娥五号绕月球椭圆轨道半长轴、周期分别
为 、 ：天问一号绕火星椭圆轨道半长轴、周期分别为 、 。下列说法正确的是（ ）
A．
B．所有北斗卫星轨道的圆心与神舟十五号轨道的一个焦点重合
C．神舟十五号近地点与远地点速度大小之比为
D．火星与地球绕太阳运行轨道半长轴的三次方与周期的平方比值不相等
【答案】B
【详解】A．根据开普勒第三定律，所有行星绕中心天体转动的半长轴的三次方与周期平方的比值
为一个常数，且该常数与中心天体的质量有关，因此，中心天体不同，该常数不同，嫦娥五号绕月
运行，天问一号绕火星运行，中心天体不同，故A错误；
B．神州十五号绕绕地球做椭圆运动，地球处在其椭圆轨道的一个焦点上，而所有北斗卫星均绕地
球做圆周运动，地球在所有北斗卫星轨道的中心，因此可知所有北斗卫星轨道的圆心与神舟十五号
轨道的一个焦点重合，故B正确；
C．根据开普勒第二定律可得
可得神舟十五号近地点与远地点速度大小之比为
故C错误；
D．火星与地球都是太阳的卫星，两者运行的中心天体相同，因此根据开普勒第三定律可知，火星与地球绕太阳运行轨道半长轴的三次方与周期的平方比值相等，故D错误。
故选B。
2．水星在中国古称辰星，西汉《史记》的作者司马迁实际观测发现辰星呈灰色，将其与五行学说
联系在一起，以黑色属水，所以命名为水星。如图所示，水星和地球都在围绕着太阳旋转，运行轨
道都是椭圆。根据开普勒行星运动定律可知（ ）
A．太阳位于水星运行轨道的中心
B．水星绕太阳运行一周的时间比地球的短
C．水星在靠近太阳的过程中，运行速率减小
D．水星在远离太阳的过程中，它与太阳的连线在相等时间内扫过的面积逐渐增大
【答案】B
【详解】A．根据开普勒第一定律，水星绕太阳运行的轨道是椭圆，太阳位于椭圆的焦点处，A错
误；
B．水星绕太阳运行的半长轴小于地球绕太阳运行的半长轴，根据开普勒第三定律，可知水星绕太
阳运行一周的时间比地球的短，B正确；
C．水星绕太阳运行的过程中，近日点速度最大，远日点速度最小，所以水星靠近太阳的过程中，
运行速率增加，C错误；
D．根据开普勒第二定律可知，水星远离太阳的过程中，它与太阳的连线在相等时间内扫过的面积
相等，D错误。
故选Ｂ。
3．关于行星绕太阳运动的下列说法中正确的是（ ）
A．离太阳越近的行星运动周期越长
B．所有行星都在同一椭圆轨道上绕太阳运动
C．严格来说行星绕太阳运动时太阳位于行星轨道的中心处
D．所有行星的轨道的半长轴的三次方跟公转周期的二次方的比值都相等
【答案】D
【详解】AD．根据开普勒第三定律可知所有行星的轨道的半长轴的三次方跟公转周期的二次方的
比值都相等，所以离太阳越近的行星运动周期越短，故A错误，D正确；B．所有行星都在不同的椭圆轨道上绕太阳运动，故B错误；
C．严格来说行星绕太阳运动时太阳位于行星轨道的焦点处，故C错误；
故选D。
4．下列关于行星绕太阳运动的描述正确的是（ ）
A．太阳处于椭圆轨道的中心
B．所有行星在同一椭圆轨道上运动
C．轨道半长轴越短的行星周期越长
D．行星从近日点运动到远日点过程中速率逐渐减小
【答案】D
【详解】A．太阳位于椭圆轨道的一个公共焦点上，不是位于椭圆轨道的中点，A错误；
B．所有行星的轨道都是椭圆，但不是位于同一个椭圆轨道上，B错误；
C．根据开普勒第三定律
可知轨道半长轴越短，行星周期越短，C错误；
D．行星从近日点运动到远日点过程中万有引力与速度方向成钝角，所以行星做减速运动，速率逐
渐减小，D正确。
故选D。
5．地球沿椭圆轨道绕太阳运行，月球沿椭圆轨道绕地球运行。下列说法正确的是（ ）
A．地球位于月球运行轨道的中心
B．地球与月球公转周期平方之比等于它们轨道半长轴立方之比
C．地球在近日点的运行速度大于其在远日点的运行速度
D．相同时间内，地球与太阳连线扫过的面积等于月球与地球连线扫过的面积
【答案】C
【详解】A．根据开普勒第一定律，地球位于月球运行轨道的椭圆的一个焦点上，选项A错误；
B．根据开普勒第三定律，因地球和月球的中心天体不同，则地球与月球公转周期平方之比不等于
它们轨道半长轴立方之比，选项B错误；
C．根据开普勒第二定律可知，地球在近日点的运行速度大于其在远日点的运行速度，选项C正确；
D．地球和月球的中心天体不同，则相同时间内，地球与太阳连线扫过的面积不一定等于月球与地
球连线扫过的面积，选项D错误。
故选C。
6．在“金星凌日”的精彩天象中，观察到太阳表面上有颗小黑点缓慢走过，持续时间达六个半小时，那便是金星，如图所示．下面说法正确的是（ ）
A．金星绕太阳的运行轨迹是圆形
B．地球在金星与太阳之间
C．金星绕太阳公转一周时间小于365天
D．相同时间内，金星与太阳连线扫过的面积等于地球与太阳连线扫过的面积
【答案】C
【详解】A．金星绕太阳的运行轨迹是椭圆形，故A错误；
B．“金星凌日”现象的成因是光的直线传播，当金星转到太阳与地球中间且三者在一条直线上时，
金星挡住了沿直线传播的太阳光，人们看到太阳上的黑点实际上是金星，由此可知发生“金星凌
日”现象时，金星位于地球和太阳之间，故B错误；
C．根据开普勒第三定律
金星绕太阳的轨道半径小于地球绕太阳的轨道半径，所以金星绕太阳公转一周时间小于365天，故
C正确；
D．相同时间内，金星与太阳连线扫过的面积不等于地球与太阳连线扫过的面积，因为是不同的天
体在围绕太阳运动，故D错误。
故选C。
7．下图是“羲和号”绕太阳做椭圆运动的轨道示意图，其中F、F 是圆的两个焦点，O是圆的中
1 2
心。若“羲和号”卫星经过P点的速率大于经过Q点的速率，则可判断太阳位于（ ）
A． 点 B． 点 C．O点 D．Q点
【答案】A
【详解】根据开普勒定律可知，“羲和号”绕太阳做椭圆运动，太阳位于椭圆的焦点上，行星在近
日点的速度大于远日点的速度，即P点为近日点，Q点为远日点，可知太阳位于 点。故选A。
8．某行星绕太阳运动的轨道如图所示,则以下说法正确的是（ ）
A．该行星在a点的向心加速度比在b、c两点的都大
B．该行星在a点的速度比在b、c两点的速度都更小
C．行星与太阳的连线在相等时间内扫过的面积是不相等的
D．行星绕太阳做匀速圆周运动，太阳在圆心上
【答案】A
【详解】A．根据 得该行星在a点的向心加速度比在b、c两点的都大，A正确；
B．根据开普勒第二定律可知近日点速度大、远日点速度小，所以该行星在a点的速度比在b、c两
点的速度都更大，B错误；
C．由开普勒第二定律得相等时间内，太阳和运动着的行星的连线所扫过的面积是相等的，C错误；
D．由开普勒第一定律可知，太阳一定在椭圆的一个焦点上，行星绕太阳做椭圆运动，D错误。
故选A。
9．如图是太阳系中两小行星的轨道示意图，已知两小行星的轨道在同一平面内，其中Amors轨道
的半长轴大于1AU，Atiras轨道的半长轴小于0.98AU，可知（ ）
A．Amors和Atiras在同一平面内绕太阳沿圆轨道运行
B．Amors和Atiras绕太阳运行的角速度大小始终相等
C．相同时间内，Amors与太阳连线扫过的面积等于Atiras与太阳连线扫过的面积
D．Amors和Atiras公转周期之比的平方等于它们轨道半长轴之比的三次方
【答案】D
【详解】A．Amors和Atiras在同一平面内绕太阳沿椭圆轨道运行。A错误；
B．Amors和Atiras绕太阳运行的角速度大小不始终相等，近日点角速度大，B错误；C．相同时间内，Amors与Atiras各自与太阳连线扫过的面积相等。C错误；
D．由开普勒第三定律，Amors和Atiras公转周期之比的平方等于它们轨道半长轴之比的三次方。D
正确。
故选D。
10．如图所示，为地球沿椭圆轨道绕太阳运动过程中的五个位置，分别对应我国的五个节气，下列
说法正确的（ ）
A．夏至时地球公转的速度最大
B．冬至到夏至，地球公转的速度先增大再减小
C．从冬至到春分的时间小于地球公转周期的四分之一
D．从冬至到春分的时间等于春分到夏至的时间
【答案】C
【详解】AB．根据题意，由图可知，夏至时地球在远日点，公转速度最小，冬至在近日点，公转
速度最大，则冬至到夏至，地球公转的速度逐渐减小，选项AB错误；
CD．根据题意，由图可知，从冬至到夏至的运动时间为地球公转周期的一半，由于离太阳越近，
地球公转的速度越大，则从冬至到春分的时间小于地球公转周期的四分之一，从春分到夏至的时间
大于地球公转周期的四分之一，故C正确，D错误。
故选C。
知识点2：万有引力定律
1、内容
自然界中任何两个物体都相互吸引，引力的方向在它们的连线上，引力的大小与物体的质量
m 和m 的乘积成正比，与它们之间距离r的平方成反比。
1 2
2、表达式
F＝G，G为引力常量，G＝6.67×10－11 N·m2/kg2，这个数值可以利用扭秤实验测量出来。3、适用条件
适用于质点间的相互作用；
两个质量分布均匀的球体可视为质点或者一个均匀球体与球外一个质点，r是两球心间的距离
或者球心到质点间的距离；
两个物体间的距离远远大于物体本身的大小，r为两物体质心间的距离。
4、对定律的刨析
质量巨大的星球间或天体与附近的物体间，它的存在才有宏观的物理意义。在微观世
宏观性
界中，由于粒子的质量都非常小，万有引力可以忽略不计。
万有引力是普遍存在宇宙中任何两个有质量的物体间的相互吸引力，它是自然界中的
普适性
基本相互作用之一。
两个物体相互作用的引力是一对作用力和反作用力，它们大小相等，方向相反，分别
相互性
作用在两个物体上。
在匀质球壳的空腔内任意位置处，质点受到球壳的万有引力的合力为零；在匀质球体内部距离球心
r处的质点（m）受到的万有引力等于球体内半径为r的同心球体（M′）对其的万有引力，即F＝
G。
5、万有引力与重力的关系
GmM
R2
如下图所示，在地表上某处，物体所受的万有引力为 F= ，M为地球的质量，m为地表
物体的质量。
由于地球一直在自转，因此物体随地球一起绕地轴自转所需的向心力为 F =mRcosϕ·ω2，方
向
向垂直于地轴指向地轴，这个力由物体所受到的万有引力的一个分力提供，根据力的分解可得万有
引力的另一个分力就是重力mg。
根据以上的分析可得：
①在赤道上：G＝mg ＋ mω 2 R 。
1
②在两极上：G＝mg 。
2
③在一般位置：万有引力G可分解为两个分力：重力mg与向心力F 。。
向
忽略地球自转影响，在地球表面附近，物体所受重力近似等于地球对它的吸引力，即mg＝G，
化简可得GM＝gR2，该式称为黄金代换式，适用于自转可忽略的其他星球。6、应用
在地球表面附近的重力加速度g（不考虑地球自转）：mg＝G，得g＝
(R+r) 2
在地球表面上，mg＝，在h高度处mg′＝，所以＝
R2
，随高度的增加，重力加速度减
小，在计算时，这个因素不能忽略。
万有引力定律的内容、推导及适用范围
1．牛顿吸收了胡克等科学家“行星绕太阳做圆运动时受到的引力与行星到太阳距离的平方成反
比”的猜想，运用牛顿运动定律证明了行星受到的引力 ，论证了太阳受到的引力 ，进
而得到了 （其中M为太阳质量、m为行星质量，r为行星与太阳的距离）。牛顿还认为
这种引力存在于所有的物体之间，通过苹果和月亮的加速度比例关系，证明了地球对苹果、地球对
月亮的引力满足同样的规律，从而提出了万有引力定律。关于这个探索过程，下列说法正确的是（
）
A．对行星绕太阳运动，根据 和 得到
B．对行星绕太阳运动，根据 和 得到
C．在计算月亮的加速度时需要用到月球的半径
D．在计算苹果的加速度时需要用到地球的自转周期
【答案】A
【详解】AB．根据
可得故A正确，故B错误；
C．在计算月亮的加速度时需要用到月球到地球的距离，而不是月球的半径，故C错误；
D．在计算苹果的加速度时不需要用到地球的自转周期，可以通过 计算，故D错误。
故选A。
2．对于万有引力定律的数学表达式 ，下面说法中正确的是（ ）
A．只有M和m是球体，才能用上式求解万有引力
B．只有M和m是质点，才能用上式求解万有引力
C．两物体间的引力总是大小相等，方向相反，是一对平衡力
D．两物体间的引力总是大小相等，方向相反，是一对作用力与反作用力
【答案】D
【详解】AB．此公式适用于M和m可以看成质点的情况，也适用于质量分布均匀的球和球外质点
间计算万有引力的情况，故AB错误；
CD．两物体间的引力总是大小相等，方向相反，是一对作用力与反作用力，故C错误，D正确。
故选D。
万有引力常量的测定
3．英国物理学家卡文迪许巧妙地利用如图所示的扭秤装置，第一次在实验室里较精确地测出万有
引力常量。以下四个选项中与此实验中思想方法相同的是（ ）A．
B．
C．
D．
【答案】C
【详解】“卡文迪许扭秤实验”中测量微小量的思想方法为放大法，观察桌面形变采用的放大法，
而研究力的合成规律实验中采用的等效替代法，探究加速度与力、质量的关系采用的控制变量法，
测量瞬时速度采用了微元法。
故选C。
4．人类对行星运动规律的认识过程和牛顿建立万有引力定律的过程中，生动的呈现了物理科学家
勇于创新的科学精神，同时体现了他们的科学态度与责任，关于科学家和他们的贡献正确的是（
）
A．开普勒经过多年的天文观测，并对获取的数据进行处理，归纳总结出开普勒三定律
B．卡文迪许发现了万有引力定律并通过实验测出了引力常量C．哥白尼得出所有行星的轨道的半长轴的二次方跟公转周期的三次方的比值相等
D．牛顿通过月地检验，说明了地面物体所受地球的引力与月球所受地球的引力遵从相同的规律
【答案】D
【详解】A．第谷经过多年的天文观测，开普勒对第谷获取的观测数据进行处理，归纳总结出开普
勒三个定律，A错误；
B．牛顿发现了万有引力定律，卡文迪许通过实验测出了引力常量，B错误；
C．开普勒得出所有行星的轨道的半长轴的三次方与公转周期的二次方的比值相等，C错误；
D．牛顿通过月地检验，说明了地面物体所受地球的引力与月球所受地球的引力遵从相同的规律，
D正确。
故选D。
万有引力的计算
5．如图所示，两球间的距离为r，两球的质量分布均匀，质量大小分别为m、m，半径大小分别
1 2
为r、r，则两球间的万有引力大小为（ ）
1 2
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】两个球的半径分别为r、r，两球之间的距离为r，所以两球心间的距离为 ，根据
1 2
万有引力定律得两球间的万有引力大小为
故选C。
6．海边会发生潮汐现象，潮来时，水面升高；潮退时，水面降低。有人认为这是由于太阳对海水
的引力变化以及月球对海水的引力变化所造成的。太阳、月球对某一区域海水引力的周期性变化，
就引起了潮汐现象。已知太阳的质量大约是月球质量的 倍，太阳到地球的距离大约是月球到地球距离的 倍，若对同一片海水来说，太阳对海水的引力为 、月球对海水的引力为 ，
则 约为（ ）
A．178 B．130 C．226 D．274
【答案】A
【详解】设海水的质量为m，则太阳对海水的万有引力为
月球对海水的万有引力为
以上两式联立得
故选A。
空壳内及地表下的万有引力
7．如图所示，在质量为M且均匀分布的半径为R的球内挖去半径为r的球，在球外两球的圆心连
线上距球表面R的位置放一质量为m可视为质点的小球A，已知 ，两球心 间距离为 ，
则下列说法错误的是（ ）
A．剩余部分对小球A的引力的方向在OA连线上B．剩余部分对小球A的引力大小为
C．若将小球A放入图中的空腔内，则小球在其内的任何位置受到剩余部分对它的万有引力是相等
的
D．被挖去部分的质量为
【答案】B
【详解】D．在质量为M且均匀分布的半径为R的球内挖去半径为 的球，根据质量与体积
的关系可知被挖去部分的质量为
故D正确；
AB．未挖去的球体对A的万有引力为
挖去的球体对A的万有引力为
剩余部分对A的万有引力为
方向在OA连线上
故A正确，B错误；
C．球壳外部的物体对内部的物体的万有引力为0，所以若将小球A放入图中的空腔内，则小球在
其内的任何位置受到剩余部分对它的万有引力是相等的。
本题选择错误选项；
故选B。
8．如图所示，有一个质量为M、半径为R、密度均匀的大球体，从中挖去一个半径为 的小球体，
并在空腔中心放置一质量为m的质点，则大球体的剩余部分对该质点的万有引力大小为（已知质量
分布均匀的球壳对壳内物体的引力为零）（ ）A． B． C． D．0
【答案】C
【详解】将挖空部分填满，大球体的剩余部分对该质点的万有引力与填入球体对质点的万有引力的
质量和等于，填满的大球体对质点的万有引力。由于质量分布均匀的球壳对壳内物体的引力为零，
则
填满后大球体的有效质量为
得大球体的剩余部分对该质点的万有引力大小为
故选C。
一、多选题
1．关于开普勒行星运动定律，下列说法正确的是（ ）
A．所有行星绕太阳运动的轨道都是椭圆，太阳处在椭圆的一个焦点上
B．地球绕太阳在椭圆轨道上运行，在近日点和远日点运行的速率相等C．表达式 ，k与中心天体有关
D．表达式 ，T代表行星运动的公转周期
【答案】ACD
【详解】A．根据开普勒第一定律可知所有行星绕太阳运动的轨道都是椭圆，太阳处在椭圆的一个
焦点上，故A正确；
B．根据开普勒第二定律可知，当地球离太阳较近时，运行速率较大，离太阳较远时，运行速率较
小，故B错误；
CD．根据开普勒第三定律可知表达式 ，k与中心天体有关，T代表行星运动的公转周期，故
CD正确。
故选ACD。
2．百武彗星是人类第一次探测到发射X射线的彗星，它的近日点仅0.1AU，周期很长（200年以
上），已知地球的轨道半径为1AU，只考虑行星与太阳间的作用力，下列说法正确的是（ ）
A．太阳处在百武慧星椭圆轨道的中心点上
B．百武彗星在近日点的速度比在远日点的速度大
C．地球的轨道半径小于百武彗星轨道的半长轴
D．在远离太阳的过程中，百武彗星与太阳的连线在相等时间内扫过的面积逐渐增大
【答案】BC
【详解】A．根据题意百武慧星绕太阳做椭圆运动，太阳处于椭圆的一个焦点上，故A错误；
B．由于百武彗星从远日点到近日点的过程中引力做正功，所以在近日点的速度比在远日点的速度
大，故B正确；
C．由题可知，地球的公转周期小于百武彗星的公转周期，根据开普勒第三定律可知，地球的轨道
半径小于百武彗星轨道的半长轴，故C正确；
D．根据开普勒第三定律可知，在远离太阳的过程中，百武彗星与太阳的连线在相等时间内扫过的
面积相等，故D错误。
故选BC。
3．关于万有引力和万有引力定律的理解正确的是（ ）
A．不能看作质点的两物体间不存在相互作用的引力B．只有能看作质点的两物体间的引力才能用F＝G 计算
C．由F＝G 知，两物体间距离r减小时，它们之间的万有引力增大
D．引力常量G的测出，证明了万有引力定律的正确性
【答案】CD
【详解】A．任何有质量的物体间都存在相互作用的引力，故称万有引力，故A错误；
B．两个质量分布均匀的球体间的万有引力也能用
来计算，故B错误；
C．物体间的万有引力与它们之间的距离r的二次方成反比，故r减小，它们间的万有引力增大，
故C正确；
D．引力常量的测出，证明了万有引力定律的正确性，故D正确。
故选CD。
4．1687年牛顿提出了万有引力定律，但并没有得出引力常量。直到1798年，卡文迪许首次利用如
图所示的装置，比较精确地测量出了引力常量。关于这段历史，下列说法正确的是（ ）
A．只有天体间才存在万有引力
B．利用万有引力定律不能准确计算相距0.5m的两个学生之间的万有引力
C．这个实验装置巧妙地利用放大原理提高了测量精度
D．引力常量不易测量的一个重要原因就是地面上普通物体间的引力太微小
【答案】BCD
【详解】A．自然界中任何两个物体之间都存在万有引力，选项A错误；
B．万有引力定律表达式F=G 中，r是指两质点间的距离，当两个学生相距0.5m时，他们都
不能视为质点，此时万有引力定律表达式不适用，因此不能用其准确计算相距0.5m的两个学生之
间的万有引力，选项B正确；C．卡文迪许所用的扭秤装置，巧妙地将石英丝的扭转角度转化为反射光点在刻度尺上移动的距离，
利用放大原理提高了测量精度，选项C正确；
D．引力常量不易测量的一个重要原因就是地面上普通物体间的引力太微小，选项D正确。
故选BCD。
5．某行星的卫星A、B绕以其为焦点的椭圆轨道运行，作用于A、B的引力随时间的变化如图所示，
其中 ，行星到卫星A、B轨道上点的距离分别记为rA、rB。假设A、B只受到行星的引力，
下列叙述正确的是（ ）
A．B与A的绕行周期之比为
B．rB的最大值与rB的最小值之比为3：1
C．rA的最大值与rA的最小值之比为3：2
D．rB的最小值小于rA的最大值
【答案】ABD
【详解】A．由图可知，A、B的周期为
所以B与A的绕行周期之比为
故A正确；
B．由图可知，当r 最小时卫星B受到的万有引力最大，有
B当r 最大时卫星B受到的引力最小，有
B
所以r 的最大值与r 的最小值之比为
B B
故B正确；
C．同理，当r 最小时卫星A受到的万有引力最大，，有
A
当r 最大时卫星A受到的引力最小，，有
A
所以r 的最大值与r 的最小值之比为
A A
故C错误；
D．根据开普勒第三定律，有
解得
所以r 的最小值小于r 的最大值，故D正确。
B A
故选ABD
6．2011年8月，“嫦娥二号”成功进入了环绕“日地拉格朗日点”的轨道，我国成为世界上第三
个造访该点的国家．如图所示，该拉格朗日点位于太阳和地球连线的延长线上，一飞行器处于该点，
在几乎不消耗燃料的情况下与地球保持相对静止同步绕太阳做圆周运动，则此飞行器的（ ）A．向心力由地球及太阳的引力共同提供 B．向心力仅由太阳的引力提供
C．向心加速度大于地球的向心加速度 D．线速度大于地球的线速度
【答案】ACD
【详解】AB．探测器的向心力由太阳和地球引力的合力提供，故A正确，B错误；
C．根据
可知，探测器的向心加速度大于地球的向心加速度，故C正确；
D．飞行器与地球同步绕太阳运动，角速度相等，根据
知探测器的线速度大于地球的线速度，故D正确。
故选ACD。
二、解答题
7．如图所示为一质量为M的球形物体，密度均匀，半径为R，在距球心为2R处有一质量为m的质
点。
（1）若将球体挖去一个半径为 的小球（两球心和质点在同一直线上，且挖去的球的球心在原来
球心和质点连线之间，两球表面相切），则剩余部分对质点的万有引力的大小是多少？
（2）若再挖去一个半径为 的小球，则剩余部分对质点的万有引力的大小是多少？
【答案】（1） ；（2）
【详解】（1）小球未被挖去时，大球对质点的万有引力为
由体积公式知，大球的质量被挖去的小球的质量为
则有
它在被挖去前对质点的万有引力为
因此，小球被挖去后，剩余部分对质点的万有引力为
（2）由于挖去的小球的质量
设剩余部分对质点m的万有引力为F＇，则
解得
8．已知质量分布均匀的球壳对壳内物体的万有引力为零，在球体内部距离球心r处，质点受到的
万有引力就等于半径为r的球体对其的引力。如图所示，质量为M、半径为R、球心为O的密度均
匀的球体表面R处有一质量为 的质点Q，此时实心球O对Q的万有引力为 （未知），从球O
中挖去一半径为 的球体 后，剩下部分为一个球壳A，已知引力常量为G，球体体积公式：
。求：
（1）质点Q在距球心 的Q处时，它受到球壳A的万有引力大小；
（2）质点Q在空腔球心 处时，它所受球壳A的万有引力大小。【答案】（1） ；（2）
【详解】（1）根据万有引力定律可得，实心球对Q的万有引力为
设挖去部分的质量为 ，根据 和 可得
则挖去部分对质点Q的万有引力为
质点Q在距球心 的Q处时受到球壳A的万有引力大小
（2）若将挖去的部分用原材料补回，可知球壳对质点的吸引力等于实心球对质点的吸引力与挖去
部分对质点Q的吸引力之差；由题可知挖去部分的球心与质点重合，对质点的引力为零；则剩余部
分对质点的万有引力等于完整大球对质点的万有引力。
根据题意实心球球体内部距离球心r处的万有引力定律，有
解得9．关于行星的运动规律，人们在不断的进行深入思考。
（1）如图所示，某行星绕太阳运动，设行星质量为m，在近日点的速度大小为v，在远日点的速
1
度大小为v，求行星从近日点向远日点运动过程中，太阳对行星的引力所做的功W；
2
（2）各行星都围绕着太阳运行，说明太阳与行星之间的引力是使行星如此运动的主要原因。如图
所示，设某行星质量为m，与太阳的距离为r，利用开普勒第三定律 和匀速圆周运动的知识，
证明太阳对行星的引力与距离平方成反比。
（3）在牛顿的时代，人们已经能够比较精确地测定自由落体加速度g，当时也能比较精确地测定月
球与地球的距离r、月球公转的周期T，根据这些数据，可以验证月球绕地球运动这种力与地球对
树上苹果的吸引力是同一种性质的力的假设，设地球半径为R，地球质量为M，请你阐述验证的过
程。
【答案】（1） ；（2）见解析；（3）见解析
【详解】（1）某行星绕太阳运动，从近日点运动到远日点过程中，只有万有引力做功，由动能定
理可得
（2）设太阳的质量为M，行星绕太阳做圆周运动的向心力由太阳对行星的引力提供有
由开普勒第三定律 可知
说明太阳对行星的引力与距离平方成反比。
（3）根据万有引力和牛顿第二定律有在地球表面的物体的重力等于万有引力，则
联立可得
由向心加速度的表达式得
有
比较 与 值即可验证。
