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第21 讲 带电粒子在磁场中的运动
题型一 带电粒子在有界匀强磁场中的运动
题型二 磁场中的动态圆问题
题型三 带电粒子在组合场中的运动
题型四 带电粒子在叠加场和交变电、磁场中的运动
课标要求
命题预测
重难点
1.1.学会处理带电粒子在直
线边界、平行边界、圆形
边界、多边形边界或角形
区域磁场中运动的问题。
生活实践类：生活和科技、地
磁场、电磁炮、回旋加速器、
质谱仪、速度选择器、磁流体
发电机、霍尔元件等
学习探究类：通电导线在安培
力作用下的平衡与加速问题，
带电粒子在磁场、组合场、叠
加场及立体空间中的运动
（1）会用平移圆法、旋转圆法、放缩圆法分
析临界状问题。
（2）理解电场与磁场叠加场的科技应用实例
的原理。
（3）掌握带电粒子在交变电、磁场中运动的
解题思路和处理方法。
2.会分析带电粒子在匀强
磁场中的多解问题。
3.进一步掌握带电粒子在
有界磁场中运动的临界、
极值问题
4.掌握带电粒子在磁场与
磁场的组合场中的运动规
律。
5.掌握带电粒子在电场与
磁场的组合场中的运动规
律。
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【典型例题剖析】
【例1】 (多选)(2023·陕西渭南市模拟)如图所示，空间有垂直纸面向里的匀强磁场B，氢的同位素氘
离子(H)和氚离子(H)都从边界上的O 点以相同速度先后射入磁场中，入射方向与边界成相同的角，不
计离子重力及离子间相互作用，则下列说法正确的是( )
A．运动轨迹的半径之比为2 3∶
B．重新回到边界所用时间之比为3 2∶
C．重新回到边界时的动量相同
D．重新回到边界时与O 点的距离不相等
【高考考点对接】
1．直线边界(进出磁场具有对称性，如图所示)
2．平行边界(往往存在临界条件，如图所示)
3．圆形边界(进出磁场具有对称性)
(1)沿径向射入必沿径向射出，如图甲所示。
(2)不沿径向射入时，如图乙所示。
射入时粒子速度方向与半径的夹角为θ，射出磁场时速度方向与半径的夹角也为θ。
4．多边形边界或角形区域磁场
题型一
带电粒子在有界匀强磁场中的运动
2
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带电粒子在多边形边界或角形区域磁场运动时，会有不同的临界情景，解答该类问题主要把握以下两
点：
(1)射入磁场的方式：①从某顶点射入；②从某边上某点以某角度射入。
(2)射出点的判断：经常会判断是否会从某顶点射出。
①当α≤θ 时，可以过两磁场边界的交点，发射点到两磁场边界的交点距离为d＝2Rsin α，如图甲所示。
②当α>θ 时，不能通过两磁场边界的交点，临界条件为粒子的运动轨迹恰好和另一个边界相切，如图
乙所示。
【解题能力提升】
带电粒子在洛伦兹力作用下做匀速圆周运动，由于带电粒子电性不确定、磁场方向不确定、临界状态不确
定、运动的周期性造成带电粒子在有界匀强磁场中运动的多解问题。
(1)找出多解的原因。
(2)画出粒子的可能轨迹，找出圆心、半径的可能情况。
【跟踪变式训练】
【变式1-1】 (2021·全国乙卷·16)如图，圆形区域内有垂直纸面向里的匀强磁场，质量为m、电荷量为
q(q>0)的带电粒子从圆周上的M 点沿直径MON 方向射入磁场。若粒子射入磁场时的速度大小为v1，离
开磁场时速度方向偏转90°；若射入磁场时的速度大小为v2，离开磁场时速度方向偏转60°，不计重力，
则为( )
A. B. C. D.
【变式1-2】 (多选)(2022·湖北卷·8)在如图所示的平面内，分界线SP 将宽度为L 的矩形区域分成两部
分，一部分充满方向垂直于纸面向外的匀强磁场，另一部分充满方向垂直于纸面向里的匀强磁场，磁
感应强度大小均为B，SP 与磁场左右边界垂直。离子源从S 处射入速度大小不同的正离子，离子入射
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方向与磁场方向垂直且与SP 成30°角。已知离子比荷为k，不计重力。若离子从P 点射出，设出射方向
与入射方向的夹角为θ，则离子的入射速度和对应θ 角的可能组合为( )
A.kBL,0°
B.kBL,0°
C．kBL,60°
D．2kBL,60°
【变式1-3】 (多选)如图所示，半径为R 的圆形区域内有垂直于圆面向里的匀强磁场，磁感应强度大
小为B，AC 是圆的一条直径，D 为圆上一点，∠COD＝60°。在A 点有一个粒子源，沿与AC 成30°角
斜向上垂直磁场的方向射出速率均为v 的各种带正电粒子，所有粒子均从圆弧CD 射出磁场，不计粒子
的重力及粒子间的相互作用力。则从A 点射出的粒子的比荷可能是( )
A. B. C. D.
【典型例题剖析】
【例2】 (多选)如图所示，在Ⅰ、Ⅱ两个区域内存在磁感应强度大小均为B 的匀强磁场，磁场方向分
别垂直于纸面向外和向里，AD、AC 边界的夹角∠DAC＝30°，边界AC 与边界MN 平行，Ⅱ区域宽度为
d。质量为m、电荷量为＋q 的粒子可在边界AD 上的不同点射入，入射速度垂直AD 且垂直磁场，若入
射速度大小为，不计粒子重力，则( )
A．粒子在磁场中运动的半径为
B．粒子在距A 点0.5d 处射入，不会进入Ⅱ区域
C．粒子在距A 点1.5d 处射入，在Ⅰ区域内运动的时间为
D．能够进入Ⅱ区域的粒子，在Ⅱ区域内运动的最短时间为
题型二
磁场中的动态圆问题
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【高考考点对接】
“平移圆”模型
适用条件
粒子源发射速度大小、方向一定，入射点不同但在同一直线上的同种
带电粒子进入匀强磁场时，它们做匀速圆周运动的半径相同，若入射
速度大小为v0，则半径R＝，如图所示
轨迹圆圆心共线
带电粒子在磁场中做匀速圆周运动的圆心在同一直线上，该直线与入
射点的连线平行
界定方法
将半径为R＝的圆进行平移，从而探索粒子的临界条件，这种方法叫
“平移圆”法
“旋转圆”模型
适用条件
粒子源发射速度大小一定、方向不同的同种带电粒子进入匀强磁场时，它
们在磁场中做匀速圆周运动的半径相同，若入射初速度大小为v0，则圆周
运动轨迹半径为R＝，如图所示
轨迹圆圆
心共圆
如图，带电粒子在磁场中做匀速圆周运动的圆心在以入射点P 为圆心、半
径R＝的圆上
界定方法
将一半径为R＝的圆以入射点为圆心进行旋转，从而探索出临界条件，这
种方法称为“旋转圆”法
“放缩圆”模型
适用条件
粒子源发射速度方向一定，大小不同的同种带电粒子进入匀强磁场时，这
些带电粒子在磁场中做匀速圆周运动的轨迹半径随速度的变化而变化
轨迹圆圆
如图所示(图中只画出粒子带正电的情景)，速度v 越大，运动半径也越大。
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心共线
可以发现这些带电粒子射入磁场后，它们运动轨迹的圆心在垂直初速度方
向的直线PP′上
界定方法
以入射点P 为定点，圆心位于PP′直线上，将半径放缩作轨迹圆，从而探索
出临界条件，这种方法称为“放缩圆”法
【跟踪变式训练】
【变式2-1】 (2023·浙江温州市英才学校模拟)如图所示，竖直平面内有一xOy 平面直角坐标系，第一、
四象限中存在垂直于纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小记为B(B 未知)。坐标原点O 处有一放射源，
放射源可以源源不断向一、四象限180°范围内均匀地辐射出质量为m、电荷量为q 的正离子。在y 轴上
固定一能吸收离子的收集板MN，M 点坐标为(0，a)，N 点坐标为(0,2a)，当辐射的离子速率为v0时离子
打在收集板上的位置最远到N 点，最近到M 点。不计离子的重力及离子间的相互作用的影响，求：
(1)恰好打到M 点的离子在磁场中运动的时间；
(2)能打到收集板上的离子数占辐射总数的比例。
【变式2-2】 (多选)如图所示，正方形abcd 区域内有垂直于纸面向里的匀强磁场，O 点是cd 边的中点。
若一个带正电的粒子(重力忽略不计)从O 点沿纸面以垂直于cd 边的某一速度射入正方形内，经过时间
t0刚好从c 点射出磁场。现设法使该带电粒子从O 点沿纸面以与Od 成30°角的方向，以各种不同的速率
射入正方形内，那么下列说法正确的是( )
A．该带电粒子不可能刚好从正方形的某个顶点射出磁场
B．若该带电粒子从ab 边射出磁场，它在磁场中经历的时间可能是t0
C．若该带电粒子从bc 边射出磁场，它在磁场中经历的时间可能是t0
D．若该带电粒子从cd 边射出磁场，它在磁场中经历的时间一定是t0
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【变式2-3】 (多选)(2023·山西太原市检测)一匀强磁场的磁感应强度大小为B，方向垂直于纸面向里，
其边界如图中虚线所示，ab 为半圆的直径，ac、bd 与直径ab 共线，a、c 间的距离等于半圆的半径R。
一束质量均为m、电荷量均为q 的带负电的粒子，在纸面内从c 点垂直于ac 以不同速率射入磁场，不
计粒子重力及粒子间的相互作用。下列说法正确的是( )
A．可以经过半圆形边界的粒子的速率最小值为
B．可以经过半圆形边界的粒子的速率最大值为
C．在磁场中运动时间最短的粒子速率为
D．在磁场中运动时间最短的粒子运动时间为
【典型例题剖析】
【例3】 (2023·河南洛阳市一模)如图所示，三块挡板围成截面边长L＝1.2 m 的等边三角形区域，C、
P、Q 分别是MN、AM 和AN 中点处的小孔，三个小孔处于同一竖直面内，MN 水平，MN 上方是竖直
向下的匀强电场，电场强度E＝400 N/C。三角形区域内有垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度为
B1；三角形AMN 以外和MN 以下区域有垂直纸面向外的匀强磁场，磁感应强度大小为B2＝3B1。现将一
比荷＝108 C/kg 的带正电的粒子，从C 点正上方2 m 处的O 点由静止释放，粒子从MN 上的小孔C 进
入三角形内部匀强磁场，经内部磁场偏转后直接垂直AN 经过Q 点进入三角形外部磁场。已知粒子最终
又回到了O 点。设粒子与挡板碰撞过程中没有动能损失，且电荷量不变，不计粒子重力，不计挡板厚
度，取π＝3。求：
(1)磁感应强度B1的大小；
(2)粒子第一次回到O 点的过程，在磁场B2中运动的时间。
【高考考点对接】
1．组合场：电场与磁场各位于一定的区域内，并不重叠，或在同一区域，电场、磁场交替出现。
2．分析思路
题型三
带电粒子在组合场中的运动
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(1)画运动轨迹：根据受力分析和运动学分析，大致画出带电粒子的运动轨迹图。
(2)找关键点：确定带电粒子在场区边界的速度(包括大小和方向)是解决该类问题的关键。
(3)划分过程：将带电粒子运动的过程划分为几个不同的阶段，对不同的阶段选取不同的规律处理。
3．常见带电粒子的运动及解题方法
【解题能力提升】
1．先电场后磁场
先电场后磁场的几种常见情形
(1)带电粒子先在匀强电场中做匀加速直线运动，然后垂直磁场方向进入匀强磁场做匀速圆周运动，如图
甲。
(2)带电粒子先在匀强电场中做类平抛运动，然后垂直磁场方向进入磁场做匀速圆周运动，如图乙。
2．先磁场后电场
先磁场后电场的几种常见情形
常见情境
进入电场时粒子速度
方向与电场方向平行
进入电场时粒子速度
方向与电场方向垂直
进入电场时粒子速度方向
与电场方向成一定角度
(非直角)
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运动示意图
在电场中的
运动性质
加速或减速直线运动
类平抛运动
类斜抛运动
分析方法
动能定理或牛顿运动
定律结合运动学公式
平抛运动知识，运动
的合成与分解
斜抛运动知识，运动的合
成与分解
【跟踪变式训练】
【变式3-1】 (2023·辽宁卷·14)如图，水平放置的两平行金属板间存在匀强电场，板长是板间距离的倍。
金属板外有一圆心为O 的圆形区域，其内部存在磁感应强度大小为B、方向垂直于纸面向外的匀强磁
场。质量为m、电荷量为q(q>0)的粒子沿中线以速度v0水平向右射入两板间，恰好从下板边缘P 点飞
出电场，并沿PO 方向从图中O′点射入磁场。已知圆形磁场区域半径为，不计粒子重力。
(1)求金属板间电势差U；
(2)求粒子射出磁场时与射入磁场时运动方向间的夹角θ；
(3)仅改变圆形磁场区域的位置，使粒子仍从图中O′点射入磁场，且在磁场中的运动时间最长。定性画
出粒子在磁场中的运动轨迹及相应的弦，标出改变后的圆形磁场区域的圆心M。
【变式3-2】 (2023·福建龙岩市第一次质检)如图所示，在xOy 平面(纸面)内，x＞0 空间存在方向垂直
纸面向外的匀强磁场，第三象限空间存在方向沿x 轴正方向的匀强电场。一质量为m、电荷量为q 的带
正电粒子(不计重力)，以大小为v、方向与y 轴正方向的夹角为θ＝60°的速度沿纸面从坐标为(0，L)的
P1点进入磁场中，然后从坐标为(0，－L)的P2点进入电场区域，最后从x 轴上的P3点(图中未画出)垂直
于x 轴射出电场。求：
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(1)磁场的磁感应强度大小B；
(2)粒子从P1点运动到P2点所用的时间t；
(3)电场强度的大小E。
【变式3-3】 如图，在坐标系的第一和第二象限内存在磁感应强度大小分别为B 和B、方向均垂直于
纸面向外的匀强磁场。一质量为m、电荷量为q(q>0)的粒子垂直于x 轴射入第二象限，随后垂直于y 轴
进入第一象限，最后经过x 轴离开第一象限。粒子在磁场中运动的时间为( )
A. B. C. D.
【典型例题剖析】
【例4】 如图所示，在竖直平面内建立直角坐标系xOy，其第一象限存在着正交的匀强电场和匀强磁
场，电场强度的方向水平向右，磁感应强度的方向垂直纸面向里。一带电荷量为＋q、质量为m 的微粒
从原点出发，以某一初速度沿与x 轴正方向的夹角为45°的方向进入叠加场中，正好做直线运动，当微
粒运动到A(l，l)时，电场方向突然变为竖直向上(不计电场变化的时间)，微粒继续运动一段时间后，正
好垂直于y 轴穿出叠加场。不计一切阻力，重力加速度为g，求：
(1)电场强度E 的大小；
(2)磁感应强度B 的大小；
(3)微粒在叠加场中的运动时间。
【高考考点对接】
1．叠加场
电场、磁场、重力场共存，或其中某两场共存。
2．带电粒子在叠加场中常见的几种运动形式
运动性质
受力特点
方法规律
题型四
带电粒子在交变电、磁场中的运动
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匀速直线运动
粒子所受合力为0
平衡条件
匀速圆周运动
除洛伦兹力外，另外两力的合力为
零：qE＝mg
牛顿第二定律、圆周运动
的规律
较复杂的曲线运动
除洛伦兹力外，其他力的合力既不
为零，也不与洛伦兹力等大反向
动能定理、能量守恒定律
【解题能力提升】
解决带电粒子在交变电、磁场中的运动问题的基本思路
先读图
看清并且明白场的变化情况
受力分析
分析粒子在不同的变化场区的受力情况
过程分析
分析粒子在不同时间段内的运动情况
找衔接点
找出衔接相邻两过程的物理量
选规律
联立不同阶段的方程求解
【跟踪变式训练】
【变式4-1】 (多选)(2022·广东卷·8)如图所示，磁控管内局部区域分布有水平向右的匀强电场和垂直
纸面向里的匀强磁场。电子从M 点由静止释放，沿图中所示轨迹依次经过N、P 两点。已知M、P 在同
一等势面上，下列说法正确的有( )
A．电子从N 到P，电场力做正功
B．N 点的电势高于P 点的电势
C．电子从M 到N，洛伦兹力不做功
D．电子在M 点所受的合力大于在P 点所受的合力
【变式4-2】 如图甲所示，M、N 为竖直放置且彼此平行的两块平板，板间距离为d，两板中央各有
一个小孔O、O′正对，在两板间有垂直于纸面方向的磁场，磁感应强度随时间的变化如图乙所示(设垂
直于纸面向里的磁场方向为正方向)。有一群正离子在t＝0 时垂直于M 板从小孔O 射入磁场。已知正
离子质量为m、带电荷量为q，正离子在磁场中做匀速圆周运动的周期与磁感应强度变化的周期都为
T0，不考虑由于磁场变化而产生的电场的影响，不计离子所受重力及离子间的相互作用力。求：
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(1)磁感应强度B0的大小。
(2)要使正离子从O′垂直于N 板射出磁场，正离子射入磁场时的速度v0的可能值。
【变式4-3】 如图甲所示的坐标系中，在x 轴上方的区域内存在着如图乙所示周期性变化的电场和磁
场，交变电场的电场强度大小为E0，交变磁场的磁感应强度大小为B0，取x 轴正方向为电场的正方向，
垂直纸面向外为磁场的正方向。在t＝0 时刻，将一质量为m、带电荷量为q、重力不计的带正电粒子，
从y 轴上A 点由静止释放。粒子经过电场加速和磁场偏转后垂直打在x 轴上。求：
(1)粒子第一次在磁场中运动的半径；
(2)粒子打在x 轴负半轴上到O 点的最小距离；
(3)起点A 与坐标原点间的距离d 应满足的条件；
(4)粒子打在x 轴上的位置与坐标原点O 的距离跟粒子加速和偏转次数n 的关系。
1．(多选)如图所示，虚线MN 上方存在匀强磁场，磁感应强度大小为B。一群电子以不同速率从边界MN
上的P 点以相同的入射方向射入磁场。其中某一速率为v 的电子从Q 点射出边界．已知电子入射方向
与边界MN 的夹角为θ，则( )
A．该匀强磁场的方向垂直纸面向里
B．所有电子在磁场中的轨迹半径相等
C．速率越大的电子在磁场中运动时间越长
D．在此过程中每个电子的速度方向都改变2θ
2．(多选)如图所示，一单边有界磁场的边界上有一粒子源，以与水平方向成θ 角的不同速率向磁场中射入
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两个相同的粒子1 和2，粒子1 经磁场偏转后从边界上A 点出磁场，粒子2 经磁场偏转后从边界上B 点
出磁场，OA＝AB，则( )
A．粒子1 与粒子2 的动能之比为1 2∶
B．粒子1 与粒子2 的动能之比为1 4∶
C．粒子1 与粒子2 在磁场中运动的弧长之比为1 1∶
D．粒子1 与粒子2 在磁场中运动的弧长之比为1 2∶
3．(多选)(2024·北京市模拟)如图所示，匀强磁场限定在一个圆形区域内，磁感应强度大小为B，一个质量
为m、电荷量为q、初速度大小为v 的带电粒子沿磁场区域的直径方向从P 点射入磁场，从Q 点沿半
径方向射出磁场，粒子射出磁场时的速度方向与射入磁场时相比偏转了θ 角，忽略粒子重力，下列说
法正确的是( )
A．粒子带负电
B．粒子在磁场中运动的轨迹长度为
C．粒子在磁场中运动的时间为
D．圆形磁场区域的半径为tan θ
4．如图，边长为l 的正方形abcd 内存在匀强磁场，磁感应强度大小为B，方向垂直于纸面(abcd 所在平面)
向外。ab 边中点有一电子发射源O，可向磁场内沿垂直于ab 边的方向发射电子。已知电子的比荷为
k。则从a、d 两点射出的电子的速度大小分别为( )
A.kBl，kBl
B.kBl，kBl
C.kBl，kBl
D.kBl，kBl
5．如图所示，在x 轴的上方(y≥0)存在着垂直于纸面向里的匀强磁场(未画出)，磁感应强度大小为B。在原
点O 有一个离子源向x 轴上方的各个方向发射出质量为m、带电荷量为q 的正离子，速率都为v。对那
些在xOy 平面内运动的离子，在磁场中可能到达的位置中离x 轴及y 轴最远距离分别为( )
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A.
B.
C.
D.
6．(2023·江苏泰州市靖江高级中学模拟)如图所示，空间存在四分之一圆形磁场区域，半径为R，磁感应强
度大小为B，磁场方向垂直纸面向外。一电子以初速度v 从圆心O 沿OC 方向射入磁场，恰好由A 点射
出。弧AD 对应的圆心角为60°，要使电子从弧AD 之间射出(不包括A、D 两点)，电子从O 点射入的初
速度可能是(不计电子的重力)( )
A. B. C．2v D．3v
7．(2023·北京市一模)如图所示，边长为L 的正方形区域abcd 中充满匀强磁场，磁场方向垂直于纸面向里。
一带电粒子从ad 边的中点M 垂直于ad 边、以一定速率射入磁场，仅在洛伦兹力的作用下，正好从ab
边中点N 射出磁场。忽略粒子受到的重力，下列说法正确的是( )
A．若仅将粒子射入磁场的速度增大为原来的2 倍，则粒子将从b 点射出
B．若仅将粒子射入磁场的速度增大为原来的2 倍，则粒子在磁场中运动的时间也增大为原来的2 倍
C．若仅将磁感应强度的大小增大为原来的2 倍，则粒子将从a 点射出
D．若仅将磁感应强度的大小增大为原来的2 倍，则粒子在磁场中运动的时间也增大为原来的2 倍
8．(多选)(2023·辽宁沈阳市模拟)圆心为O、半径为R 的圆形区域内存在磁感应强度大小为B、方向垂直纸
面的匀强磁场(未画出)，磁场边缘上的A 点有一带正电粒子源，半径OA 竖直，MN 与OA 平行，且与圆
形边界相切于B 点，在MN 的右侧有范围足够大且水平向左的匀强电场，电场强度大小为E。当粒子的
速度大小为v0且沿AO 方向时，粒子刚好从B 点离开磁场，不计粒子重力和粒子间的相互作用，下列说
法正确的是( )
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A．圆形区域内磁场方向垂直纸面向外
B．粒子的比荷为
C．粒子在磁场中运动的总时间为
D．粒子在电场中运动的总时间为
9．如图所示，一带电液滴在相互垂直的匀强电场和匀强磁场中刚好做匀速圆周运动，其轨道半径为R，已
知该电场的电场强度大小为E、方向竖直向下；该磁场的磁感应强度大小为B、方向垂直纸面向里，不
计空气阻力，设重力加速度为g，则( )
A．液滴带正电
B．液滴比荷＝
C．液滴沿顺时针方向运动
D．液滴运动速度大小v＝
10．(多选)(2024·吉林长春市外国语学校开学考)如图所示，在竖直平面内的虚线下方分布着互相垂直的匀
强电场和匀强磁场，电场的电场强度大小为10 N/C，方向水平向左；磁场的磁感应强度大小为2 T，
方向垂直纸面向里。现将一质量为0.2 kg、电荷量为＋0.5 C 的小球，从该区域上方的某点A 以某一初
速度水平抛出，小球进入虚线下方后恰好做直线运动。已知重力加速度为g＝10 m/s2。下列说法正确
的是( )
A．小球平抛的初速度大小为5 m/s
B．小球平抛的初速度大小为2 m/s
C．A 点距该区域上边界的高度为1.25 m
D．A 点距该区域上边界的高度为2.5 m
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11．(2023·广东梅州市期末)如图甲所示，在竖直平面内建立xOy 坐标系(y 轴竖直)，在x>0 区域有沿y 轴正
方向的匀强电场，电场强度大小为E＝；在x>0 区域，还有按图乙规律变化的磁场，磁感应强度大小
为B0，磁场方向以垂直纸面向外为正方向。t＝0 时刻，有一质量为m、带电荷量为＋q 的小球(可视为
质点)以初速度2v0从原点O 沿与x 轴正方向夹角θ＝的方向射入第一象限，重力加速度为g。求：
(1)小球从上往下穿过x 轴的位置到坐标原点的可能距离；
(2)小球与x 轴之间的最大距离。
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