01集合的概念及表示方法
1
1
已知全集 U = R ，集合 A = {x ∣0 < x < 2}, B = {x ∣−1 ≤x ≤1} ，则如图阴影部分表示的集合是（ ）
A. {x ∣−1 ≤x < 0}
B. {x ∣−1 ≤x < 0 或 1 ≤x < 2}
C. {x ∣1 < x < 2}
D. {x ∣0 < x < 1}
C
根据集合的运算的定义结合 Venn图计算．
由题意 ∁UB = {x ∣x < −1 或 x > 1} ，
图中阴影部分为 A ∩(∁UB) = {x ∣1 < x < 2} ，
故选：C．
答案
解析
2
已知非空集合M满足：若x∈M，则
1
1 −x ∈M，则当4∈M时，集合M的所有元素之积等于
A. 0
B. 1
C. －1
D. 不确定
C
答案
2
试题分析：依题意，得
当4∈M时，有
1
1 −4 = −1
3 ∈M，从而
1
1 + 1
3
= 3
4 ∈M，
1
1 −3
4
= 4 ∈M，
于是集合M的元素只有4，−1
3 ，3
4 所有元素之积等于4×（−1
3 ）× 3
4 =-1
考点：元素与集合关系的判断
解析
3
已知集合A={1，2，a -2a}，若3∈A，则实数a=
．
3或 −1
根据3∈A即可得出a −2a=3，解方程得到a即可．∵3∈A，A={1，2，a −2a}，
∴a −2a=3，
解得a=−1或3
故答案为−1或3．
本题考查了列举法的定义，元素与集合的关系，考查了推理和计算能力，属于基础题．
2
答案
解析
2
2
2
4
直角坐标平面上由第二象限所有点组成的集合用描述法可以表示为
．
{(x, y) ∣x < 0, y > 0}
根据给定条件，利用集合的描述法写出第二象限的点集作答.
依题意，第二象限所有点组成的集合是{(x, y) |x < 0, y > 0, y ∈R}.
故答案为：{(x, y) ∣x < 0, y > 0}
答案
解析
5
下列关系式错误的个数为：（ ）
①0 ∈∅；
②∅⊆{0}；
3
③0 ∈N；
④{0} ⊆{∅}．
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
B
根据元素与集合、集合与集合的关系逐项判断即可．
对①：空集不含任何元素，故①错误；
对②：空集是任何集合的子集，故②正确；
对③：0是自然数，故③正确；
对④：0 ∉{∅}，故{0} ⊆{∅}错误，故④错误；
故错误的个数为2．
故选：B．
答案
解析
6
用适当的方法表示下列集合
（1）大于0且不超过6的全体偶数组成的集合A
（2）被3除余2的自然数全体组成的集合B
（3）直角坐标平面上第二象限的点组成的集合C
答案见解析
（1）利用列举法表示集合；
（2）利用描述法表示集合；
（3）利用描述法表示集合；
解：（1）大于0且不超过6的全体偶数有2, 4, 6，故集合A = {2, 4, 6}；
（2）被3除余2的自然数全体组成的集合B = {x |x = 3n + 2, n ∈N}；
（3）直角坐标平面上第二象限的点组成的集合C = {(x, y) |x < 0, y > 0, x ∈R, y ∈R}.
本题考查集合的表示，属于基础题.
答案
解析
02集合和集合的关系与集合的基本运算
1
1
容易
填空题
集合A = {3, 1}，B = {0, b}，若A ∩B = {1}，则A ∪B =
.
{3, 1, 0}
根据集合的交集以及并集的定义即可求解.
由A ∩B = {1}知b = 1，∴A ∪B = {3, 1, 0}.
故答案为：{3, 1, 0}
答案
解析
2
一般
填空题
定义一种集合运算A ⊗B = {x|x ∈(A ∪B)，且x ∉(A ∩B)}，设M = {x| −2 < x < 3}，N = {x|1 < x < 4}，则
M ⊗N所表示的集合是 .
{x| −2 < x ⩽1或3 ⩽x < 4}．
【分析】
由集合M与集合N，求出两集合的并集，求出两集合的交集，求出属于两集合并集但不属于两集合交集的部
分，即可求出M ⊗N．
【详解】
：∵M = {x| −2 < x < 3}，N = {x|1 < x < 4}，
∴M ⋃N = {x| −2 < x < 4}，M ∩N = {x|1 < x < 3}；
则M ⨂N = {x| −2 < x ⩽1或3 ⩽x < 4}．
故答案为：{x| −2 < x ⩽1或3 ⩽x < 4}．
答案
解析
3
一般
填空题
已知集合M = {x
x2 −3x + 2 = 0}，集合N = {x
x2 −ax + 3a −5 = 0}，若M ∪N = M，则实数a的取值集合
2
为
.
{a |2 ≤a < 10}
求出集合M，分析可得N ⊆M，然后分N = ∅、N = {1}、N = {2}、N = {1, 2}，可得出关于a的等式与不
等式，综合可得出实数a的取值集合.
因为M = {x
x2 −3x + 2 = 0} = {1, 2}，N = {x
x2 −ax + 3a −5 = 0}，
且M ∪N = M，则N ⊆M，
对于方程x2 −ax + 3a −5 = 0，Δ = a2 −4 (3a −5) = a2 −12a + 20 = (a −2) (a −10)，
当N = ∅时，有Δ = (a −2) (a −10) < 0，解得2 < a < 10，
当N = {1}时，有{
，解得a = 2；
当N = {2}时，有{
，方程组无解；
当N = {1, 2}时，有{
，方程组无解.
综上所述，实数a的取值集合为{a |2 ≤a < 10}.
故答案为：{a |2 ≤a < 10}.
答案
解析
Δ = (a −2) (a −10) = 0
1 −a + 3a −5 = 0
Δ = (a −2) (a −10) = 0
4 −2a + 3a −5 = 0
a = 3
3a −5 = 2
4
一般
单选题
判断下列命题为真命题的个数（ ）
①0是{0, 1, 2, 3}的真子集；
②(A ∩B) ⊂A ⊂(A ∪B)；
③如果集合A是集合B的子集，那么集合B就不是集合A的子集；
④如果a ∈Z，那么a2除以4的余数为0或1.
A. 0个
B. 1个
C. 2个
D. 3个
B
对①，根据元素与集合的关系，集合与集合的关系判断；对②，根据交集，并集运算，真子集的关系判断；对
③，根据子集的定义判断；对④，设a = 2k，a = 2k −1, k ∈Z，讨论，求解判断.
对于①，因为0是集合{0, 1, 2, 3}中的元素，所以0 ∈{0, 1, 2, 3}，故①错误；
答案
解析
3
对于②，当A = B时，A ∩B = A，此时A ∩B不是A的真子集，故②错误；
对于③，当A = B时，A ⊆B，且B ⊆A，故③错误；
对于④，∵a ∈Z，当a = 2k，k ∈Z时，则a2 = 4k2除以4的余数为0，
当a = 2k −1, k ∈Z时，则a2 = (2k −1)2 = 4 (k2 −k) + 1除以4的余数为1，
综上，a2除以4的余数为0或1，故④正确.
所以真命题个数为1.
故选：B.
5
一般
填空题
已知x ∈R，记符号[x]表示不大于x的最大整数，集合A = {x
[x]2 −2 [x] = 3}，B = [−1, 3]，则A ∩B =
.
[−1, 0) ∪{3}
解一元二次方程，结合[x]的定义写出集合A，再利用集合的交集运算求A ∩B.
由[x]2 −2 [x] = 3得([x] −3) ([x] + 1) = 0，解得[x] = 3或[x] = −1，
又因为[x]表示不大于x的最大整数，
所以由[x] = 3得3 ≤x < 4，由[x] = −1得−1 ≤x < 0，
所以A = [−1, 0) ∪[3, 4)，所以A ∩B = [−1, 0) ∪{3}.
故答案为：[−1, 0) ∪{3}
答案
解析
6
一般
单选题
已知全集U = R，集合A = {x |−2 ⩽x ⩽5}，B = {x |m + 1 ⩽x ⩽2m −1}，若A ∩B = ∅，则实数m的取值范围
为（ ）
A. [−3, 3]
B. [2, 3]
C. (−∞, 2)
D. (−∞, 3]
D
先求出集合A的补集，再对集合B分空集和非空集讨论，建立不等式关系，进而可以求解．
由已知可得¯A = {x ∣x > 5 或 x < −2}，又A ∩B = ∅，
–
答案
解析
–
4
当B = ∅时，m + 1 > 2m −1，解得m < 2，此时满足题意；
当B ≠∅时，要满足题意，只需
，解得2 ⩽m ⩽3，
综上，实数m的范围为(−∞, 3]．
故选：D
⎧
⎨
⎩
m + 1 ⩽2m −1
m + 1 ⩾−2
2m −1 ⩽5
03常用逻辑关系
1
1
较易
单选题
已知a、b都是自然数，则“a + b是偶数”是“a、b都是偶数”的（ ）条件
A. 充分而不必要
B. 必要而不充分
C. 充要
D. 既不充分也不必要
B
利用充分条件、必要条件的定义判断可得出结论.
因为a、b都是自然数，若a + b是偶数，则a、b都是偶数或a、b都是奇数，
所以，“a + b是偶数”⇏“a、b都是偶数”，
“a + b是偶数”⇐“a、b都是偶数”，
故“a + b是偶数”是“a、b都是偶数”的必要而不充分条件.
故选：B.
答案
解析
2
容易
单选题
已知a, b ∈R，则“a > b + 1”是“a > b”的（ ）
A. 充分非必要条件
B. 必要非充分条件
C. 充要条件
D. 既非充分也非必要条件
A
易知b + 1 > b，根据定义即可判断得出结论.
易知若a > b + 1，由b + 1 > b可得a > b + 1 > b，可知充分性成立，
又a > b推不出a > b + 1，因此必要性不成立，
答案
解析
2
所以“a > b + 1”是“a > b”的充分非必要条件.
故选：A
3
一般
单选题
对任意实数a, b, c，给出下列命题：①“a = b”是“ac = bc”的充要条件；②“a + 5是无理数”是“a是无理数”的充要条
件；③“a > b”是“a2 > b2”的充分条件；④“a < 4”是“a < 3”的必要条件；其中真命题的个数是（ ）
A. 1个
B. 2个
C. 3个
D. 4个
B
利用等式与不等式的性质逐一验证命题的真假即可①“a = b”⇒“ac = bc”,但当c = 0时,“ac = bc”无法推出“a = b
”,则“a = b”是“ac = bc”的充分不必要条件,故①是假命题；
②“a + 5是无理数”⇒“a是无理数”,且“a是无理数”⇒“a + 5是无理数”,则“a + 5是无理数”是“a是无理数”的充要条
件,故②是真命题；
③当a = 1 > −2 = b时,a2 = 1 < 4 = b2,即“a > b”无法推出“a2 > b2”,且当a2 = 4 > b2 = 1时,a = −2 < b = 1,即“
a2 > b2”无法推出“a > b”,则“a > b”是“a2 > b2”的既不充分也不必要条件,故③是假命题；
④因为{a|a < 3}{a|a < 4},所以“a < 4”是“a < 3”的必要条件,故④是真命题；
综上,真命题有2个,
故选:B
本题考查命题的真假的判断,考查两命题的充分性和必要性的判断,考查等式与不等式的性质的应用
答案
解析
4
容易
填空题
若“1 ≤x < 4”是“x < m”的充分非必要条件，则实数m的取值范围是
.
[4, +∞)
根据题意得到1 ≤x < 4与x < m的包含关系，从而得到答案.
根据题意可知1 ≤x < 4 ⇒x < m，但x < m ⇏1 < x < 4，故1 ≤x < 4是x < m的真子集，
故m ≥4,
答案
解析
3
故答案为：[4, +∞)
5
较易
填空题
“x = 1”是“x2 = 1”的
条件．
充分不必要条件
利用充分条件、必要条件的概念判断即可
因为x2 = 1，解得x = 1或x = −1，
所以“x = 1”是“x2 = 1”的充分不必要条件.
故答案为：充分不必要条件
答案
解析
6
较易
填空题
已知α ：m + 1 ≤x ≤2m + 4，β：1 ≤x ≤3，若α是β的必要条件，则实数m的取值范围是
.
{m
−1
2 ≤m ≤0}
根据题意得到A = {x|1 ≤x ≤3}是B = {x|m + 1 ≤x ≤2m + 4}的子集，从而得到不等式，求出答案.
因为α是β的必要条件，所以A = {x|1 ≤x ≤3}是B = {x|m + 1 ≤x ≤2m + 4}的子集，
故{
，解得−1
2 ≤m ≤0，
故答案为：{m
−1
2 ≤m ≤0}
答案
解析
m + 1 ≤1
2m + 4 ≥3
04一元二次函数的图像与性质
1
1
容易
单选题
函数y = −x2 + 2x，x ∈[0, 3]的最小值和最大值分别为（ ）
A. 0，3
B. －3，0
C. －3，1
D. 0，1
C
先确定二次函数在区间上的单调性，再求解其最值即可.
函数y = −x2 + 2x的图象开口向下，对称轴为直线x = 1，
所以在区间[0, 1]上单调递增，在区间[1, 3]上单调递减，
当x = 1时，函数y = −x2 + 2x取得最大值，ymax = 1
当x = 0时，y = 0，当x = 3时，y = −32 + 2 × 3 = −3，
所以该函数的最小值为ymin = −3.
故选：C.
答案
解析
2
较易
单选题
已知函数f (x) = √(m + 2)x2 + 2mx + 1的值域是[0, +∞)，则实数m的取值范围是（ ）
A. [−2, 2]
B. [−1, 2]
C. [−2, −1] ∪[2, +∞)
D. (−∞, −1] ∪[2, +∞)
C
由题意可知函数y = (m + 2)x2 + 2mx + 1的值域包含[0, +∞)，分m + 2 = 0与m + 2 ≠0两种情况讨论，可得
出关于实数m的不等式，进而可求得实数m的取值范围.
答案
解析
2
由于函数f (x) = √(m + 2)x2 + 2mx + 1的值域是[0, +∞)，
则函数y = (m + 2)x2 + 2mx + 1的值域包含[0, +∞).
当m + 2 = 0时，m = −2，此时函数y = −4x + 1的值域为R，合乎题意；
当m + 2 ≠0时，m ≠−2，要使得二次函数y = (m + 2)x2 + 2mx + 1的值域包含[0, +∞).
则{
，解得−2 < m ≤−1或m ≥2.
综上所述，实数m的取值范围是[−2, −1] ∪[2, +∞).
故选：C.
本题考查复合型二次函数的值域求参数，考查分类讨论思想的应用，考查计算能力，属于中等题.
m + 2 > 0
Δ = 4m2 −4 (m + 2) = 4 (m2 −m −2) ≥0
3
较易
填空题
定义一种新运算：a △b = √ab + a + b, a, b ∈R，若1 △k = 3，则函数y = (k △x) −3x
2 的值域为
(−∞, 3
2 ]
根据新定义列方程求出k，然后由二次函数性质可得.
由题知1 △k = √k + 1 + k = 3，解得k = 1，
则y = √x + 1 + x −3x
2 = −1
2 x + √x + 1 = −1
2 (√x −1)
2 + 3
2 ≤3
2 ，
所以，函数y = (k △x) −3x
2 的值域为(−∞, 3
2 ].
故答案为：(−∞, 3
2 ]
答案
解析
4
较易
多选题
二次函数y = ax2 + bx + c的图象如图所示，则下列结论中，错误的是（ ）
A. a + b + c > 0
B. a −b + c < 0
C. abc > 0
D. b = 2a
3
CD
根据二次函数的图象中的信息，即可判断选项.
由图象可知，当x = 1时，y = a + b + c > 0，故A正确；
当x = −1时，y = a −b + c < 0，故B正确；
函数图象的开口向下，a < 0，对称轴−b
2a > 0，即b > 0，当x = 0时，y = c > 0，则abc < 0，故C错误；
若b = 2a，则对称轴−b
2a = −1，与图象不符，故D错误.
故选：CD
答案
解析
5
一般
单选题
如图所示，当ab > 0时，函数y = ax2与f(x) = ax + b的图象是 （ ）
A.
B.
C.
D.
D
答案
解析
4
∵ab > 0, ∴a > 0, b > 0或a < 0, b < 0
当a > 0, b > 0时，函数y = ax2开口向上，f(x) = ax + b过第一、二、三象限，无选项；
当a < 0, b < 0时，函数y = ax2开口向下，f(x) = ax + b过第二、三、四象限，D选项正确；
故选：D
本题考查一次函数与二次函数图象，属于基础题.
05一元二次方程根的分布
1
1
较易
单选题
下列说法正确的是（ ）
A. 方程x2 + x + 1 = 0的两个实数根x1, x2满足x1 + x2 = −1
B. 关于x的一元二次方程x2 + tx + 1 = 0一定有两个不相等的实数根
C. 已知方程(x + 3)2 + x + 1 = 0的两个实数根x1, x2，则x1 ⋅x2 = 1
D. 若关于x的一元二次方程x2 −x −1 = 0的两个实数根x1 < x2，则x1 < 1 < x2
D
根据判别式判断A、B；整理方程求解可得x1 ⋅x2 = (−5) × (−2) = 10判断C；求一元二次方程的解判断D.
A：由x2 + x + 1 = 0中Δ = 12 −4 × 1 < 0，即方程无实根，错；
B：由方程知Δ = t2 −4 × 1 > 0不一定恒成立，故方程不一定有两个不等的实根，错；
C：由(x + 3)2 + x + 1 = x2 + 7x + 10 = (x + 5)(x + 2) = 0，显然x1 ⋅x2 = (−5) × (−2) = 10，错；
D：由题设x2 −x −1 = 0中x1 = 1 −√5
2
< 1 < x2 = 1 + √5
2
，对.
故选：D
答案
解析
2
较易
填空题
已知a > 0, x1, x2为方程x2 + 2x + a = 0的两个实数根，则1
x1 + 1
x2 的取值范围为
.
(−∞, −2]
由题意Δ = 4 −4a ≥0，a ≤1，又a > 0，
∴0 < a ≤1．1
a ≥1，
x1 + x2 = −2，x1x2 = a，
∴1
x1
+ 1
x2
= x1 + x2
x1x2
= −2
a
≤−2．
答案
解析
2
故答案为：(−∞, −2]．
3
一般
填空题
已知方程x2 + (2m −1)x + 4 −2m = 0的两根一个比2大另一个比2小，则实数m的范围是
.
{m |m < −3}
根据二次方程根的分布可得出关于实数m的不等式，即可解得实数m的取值范围.
因为方程x2 + (2m −1)x + 4 −2m = 0的两根一个比2大另一个比2小，
则22 + 2 (2m −1) + 4 −2m = 6 + 2m < 0，解得m < −3，
因此，实数m的取值范围是{m |m < −3}.
故答案为：{m |m < −3}.
答案
解析
4
较易
解答题
已知x1､x2是关于x的一元二次方程4kx2 −4kx + k + 1 = 0的两个实数根；
(1)
若x1､x2为两个不相等的正实数根，求实数k的取值范围；
(2)
是否存在实数k，使得(2x1 −x2) (x1 −2x2) = −5
2 成立？若存在，求k的值；若不存在，请说明理由；
(1) k < −1
(2) 不存在，理由见解析
(1) 解：由题意，一元二次方程有两个不相等的正实数根x1､x2，
故{
，即k < 0，且{
，解得k < −1．
(2) 解：由题意，当{
，即k < 0时，有x1 + x2 = 1，x1x2 = k + 1
4k
，
所以(2x1 −x2) (x1 −2x2) = 2x2
1 + 2x2
2 −5x1x2
= 2(x1 + x2)2 −9x1x2 = 2 −9(k + 1)
4k
= −k + 9
4k
= −5
2 ，
解得k = 1，与k < 0矛盾.
故不存在实数k，使得(2x1 −x2) (x1 −2x2) = −5
2 成立；
答案
解析
k ≠0
Δ = (4k)2 −16k(k + 1) > 0
x1 + x2 = 1 > 0
x1x2 = k + 1
4k
> 0
k ≠0
Δ ≥0
07其他不等式求解
1
1
较易
填空题
不等式 2x −1
x + 1 > 0 的解集为
{x
x < −1或x > 1
2 }
不等式 2x −1
x + 1 > 0 等价于 (x + 1)(2x −1) > 0 ，解得 x < −1 或 x > 1
2 ，故原不等式的解集为
{x
x < −1或x > 1
2 } ．
故答案为：{x
x < −1或x > 1
2 } ．
答案
解析
2
较易
填空题
不等式|2x −1| ≤3的解是 .
[−1, 2]
【分析】将绝对值不等式转化为一元二次不等式求解.
【详解】由|2x −1| ≤3得(2x −1)2 ≤9，即x2 −x −2 ≤0，
解得−1 ≤x ≤2，
故答案为: [−1, 2].
答案
解析
3
一般
填空题
已知关于x的不等式ax2 + bx + c < 0的解集是(−∞, 1
2 ) ∪(2, +∞)，则不等式ax + b
ax −c < 0的解集为
．
答案
2
{x
1 < x < 5
2 }
根据条件，利用一元二次不等式的解法，得到b = −5
2 a，c = a，进而将问题转化成求解不等式
x −5
2
x −1 < 0，
即可求解.
因为关于x的不等式ax2 + bx + c < 0的解集是(−∞, 1
2 ) ∪(2, +∞)，
则方程ax2 + bx + c = 0的两解为1
2 , 2，且a < 0，
则
，得到b = −5
2 a，c = a，所以ax + b
ax −c =
ax −5
2 a
ax −a
=
x −5
2
x −1 ，
又
x −5
2
x −1 < 0，等价于(x −5
2 ) (x −1) < 0，解得1 < x < 5
2 ，
所以不等式ax + b
ax −c < 0的解集为{x
1 < x < 5
2 }，
故答案为：{x
1 < x < 5
2 }.
解析
⎧
⎨
⎩
1
2 + 2 = −b
a
1
2 × 2 = c
a
4
较易
填空题
集合A = {x|(x + 3)(x −2) > 0}，B = {x
x + 5
x2 + 2x + 3 < 1}，则A ∩B =
.
[−3, −2) ∪(1, 2]
解不等式求得集合A, B，进而求得A ∩B.
A = {x|(x + 3)(x −2) > 0} = {x|x < −3或x > 2}，
所以A = {x| −3 ≤x ≤2}.
x + 5
x2 + 2x + 3 < 1,
x + 5
x2 + 2x + 3 −1 = x + 5 −x2 −2x −3
x2 + 2x + 3
= −(x −1) (x + 2)
(x + 1)2 + 2
< 0，
即(x −1) (x + 2) > 0，解得x < −2或x > 1，所以B = {x|x < −2或x > 1}，
所以A ∩B = [−3, −2) ∪(1, 2].
故答案为：[−3, −2) ∪(1, 2]
–
答案
解析
–
–
–
5
较易
解答题
已知集合A = {x
2x −1
x −1 < 0}，B = {x| (x −a) (x −a + 1) < 0}．
3
(1)
若a = 1，求A ∪B；
(2)
若x ∈A是x ∈B的充分条件，求a的取值范围．
(1) A ∪B = (0, 1)
(2) [1, 3
2 ]
(1) 因为2x −1
x −1 < 0，则(2x −1) (x −1) < 0，
解得1
2 < x < 1，所以A = ( 1
2 , 1)，
因为(x −a) (x −a + 1) < 0，解得a −1 < x < a，所以B = (a −1, a)，
当a = 1时，B = (0, 1)，
所以A ∪B = (0, 1).
(2) 因为x ∈A是x ∈B的充分条件，所以A ⊆B，
所以
，即1 ≤a ≤3
2 ，
所以a的取值范围为[1, 3
2 ].
答案
解析
⎧
⎨
⎩
a −1 ≤1
2
a ≥1
08基本不等式
1
1
容易
填空题
若x > 0，则3x + 4
x 的最小值为 ；
4√3
由基本不等式求出最小值.
因为x > 0，故3x > 0, 4
x > 0，
所以3x + 4
x ≥2√3x ⋅4
x = 4√3，当且仅当3x = 4
x ，即x = 2√3
3
时，等号成立，
故3x + 4
x 的最小值为4√3.
故答案为：4√3
答案
解析
2
容易
填空题
已知x > 2，那么函数y =
4
x −2 + x的最小值是
.
6
由基本不等式即可求.
由于x > 2，所以x −2 > 0，故y =
4
x −2 + x −2 + 2 ≥2√(
4
x −2 ) (x −2) + 2 = 6，
当且仅当
4
x −2 = x −2，即x = 4时等号成立，
故答案为：6
答案
解析
3
一般
填空题
已知函数y = 2
x −a，若y + 2x ≥0在x > 0上恒成立，则a的取值范围是
．
2
(−∞, 4]
条件可转化为2
x + 2x ≥a在(0, +∞)上恒成立，利用基本不等式求2
x + 2x的最小值，由此可得结论.
因为y + 2x ≥0在x > 0上恒成立，又y = 2
x −a，
所以2
x + 2x ≥a在(0, +∞)上恒成立，
所以( 2
x + 2x)
min
≥a，其中x ∈(0, +∞)，
又2
x + 2x ≥2√2 × 2 = 4，当且仅当x = 1时等号成立，
所以a ≤4，
所以a的取值范围为(−∞, 4].
故答案为：(−∞, 4].
答案
解析
4
较易
单选题
若a, b满足ab > 0，则下列不等式正确的是（ ）
A. a + b ≥2√ab
B.
1
a + 1
b ≥
2
√ab
C. a
b + b
a ≥2
D. a + b
2
≥
2ab
a + b
C
AB通过分析a，b符号，可判断选项正误；
C由基本不等式可判断选项正误；
D由作差法结合AB分析可判断选项正误.
对于AB，因ab > 0，则a，b同号，当a，b都为负数时，
显然a + b < 0 < 2√ab，1
a + 1
b < 0 <
2
√ab
，故AB错误；
对于C，由基本不等式，因ab > 0，则b
a ，a
b > 0，a
b + b
a ≥2√a
b ⋅b
a = 2，
当且仅当a = b时取等号，故C正确；
对于D，a + b
2
−
2ab
a + b = (a + b)2 −4ab
2 (a + b)
= (a −b)2
2 (a + b) ，则当a，b都为负数时，
答案
解析
3
a + b
2
≤
2ab
a + b ，故D错误.
故选：C
5
一般
解答题
2023年某企业计划引进新能源汽车生产设备，经过市场分析，全年投入固定成本2500万元，每生产x百辆新能源汽
车需另投入成本C (x)万元，且C (x) =
，由市场调研知，每一百辆车的售价为500万
元，且全年内生产的车辆当年能全部销售完.（注：利润＝销售额－成本）
(1)
求2023年的利润L (x)（万元）关于年产量x（百辆）的函数关系式.
(2)
当2023年的年产量为多少百辆时，企业所获利润最大？并求出最大利润.
(1)
L (x) =
；
(2) 年产量为100百辆时，该企业所获利润最大，最大利润为1800万元.
(1) （1）根据利润＝销售额－成本，结合分类讨论思想进行求解即可；
（2）根据配方法、基本不等式进行求解即可.
解：（1）当0 < x < 40时，
L (x) = 500x −10x2 −100x −2500 = −10x2 + 400x −2500；
当x ≥40时，L (x) = 500x −501x −10000
x
+ 4500 −2500 = 2000 −(x + 10000
x
)，
所以L (x) =
；
（2）当0 < x < 40时，L (x) = −10(x −20)2 + 1500，
所以L(x)max = L (20) = 1500；
当x ≥40时，L (x) = 2000 −(x + 10000
x
) ≤2000 −2√x ⋅10000
x
= 2000 −200 = 1800，
当且仅当x = 10000
x
，即x = 100时等号成立.
故L(x)max = L (100) = 1800 > 1500，
所以当2023年的年产量为100百辆时，该企业所获利润最大，最大利润为1800万元.
(2) 同(1)题详解
⎧
⎨
⎩
10x2 + 100x, 0 < x < 40
501x + 10000
x
−4500, x ≥40
答案
⎧
⎨
⎩
−10x2 + 400x −2500, 0 < x < 40
2000 −(x + 10000
x
), x ≥40
解析
⎧
⎨
⎩
−10x2 + 400x −2500, 0 < x < 40
2000 −(x + 10000
x
), x ≥40
09幂、指数与对数
1
1
一般
填空题
已知3x = 2，y = log62，则1
x −1
y =
−1
由题设x = log32，y = log62，
根据换底公式，则1
x −1
y =
1
log32 −
1
log62 = log23 −log26 = log2
1
2 = −1.
故答案为：−1
答案
解析
2
较易
填空题
8
2
3 +
4√(3 −π)4 + lg 2 + lg 5 −2log23 −( 81
16 )
1
4
=
．
π −5
2
根据根式与指数式的互化和指对数幂的运算法则计算即可.
由题原式= (23)
2
3 + (π −3) + lg (2 × 5) −3 −[( 3
2 )
4
]
1
4
= 23× 2
3 + π −3 + 1 −3 −( 3
2 )
4× 1
4
= 22 + π −5 −3
2 = π −5
2 ，
故答案为：π −5
2 .
答案
解析
3
容易
填空题
已知 lg ab = 1 ，则 lg a2024 + lg b2024 =
2
2024
lg a2024 + lg b2024 = lg(ab)2024 = 2024 lg ab = 2024 ．
故答案为： 2024 ．
答案
解析
4
较易
填空题
已知 alg ablg bclg c = 5, alg bblg cclg a = √2 ，则 abc 的值为
10 或 1
10
（1）＋（2）得：(lg a + lg b + lg c)2 = 1 ，
∴lg(abc) = ±1 ∴abc = 10 或 1
10 .
故答案为： 10 或 1
10
答案
解析
lg (alg ablg bclg c) = lg 5, 则 (lg a)2 + (lg b)2 + (lg c)2 = lg 5(1),
lg (alg bblg cclg a) = lg √2 则 2 lg a lg b + 2 lg b lg c + 2 lg a lg c = lg 2(2),
5
较易
填空题
当 x < 0 时，化简:
5√x5 +
4√x4 + |x| =
.
−x
利用根式化简计算即可；
因为x < 0
所以
5√x5 +
4√x4 + |x| = x −x −x = −x，
故答案为：−x
答案
解析
3
6
容易
单选题
已知2x = 3, 2y = 5，则22x+ y
2 的值( )
A. 9 + √5
B. 45
2
C. 6√5
D. 9√5
D
根据指数的运算性质即可求得.
因为2x = 3, 2y = 5，所以22x+ y
2 = 22x ⋅2
y
2 = (2x)2 ⋅(2y)
1
2 = 32 × 5
1
2 = 9√5.
故选：D.
答案
解析
7
较易
单选题
霉菌有着很强的繁殖能力，主要依靠孢子进行繁殖.已知某种霉菌的数量y与其繁殖时间t（天）满足关系式：
y = mat.若繁殖5天后，这种霉菌的数量为20，10天后数量为40，则要使数量达到200大约需要（ ）（lg 2 ≈0.3，
结果四舍五入取整）
A. 20天
B. 21天
C. 22天
D. 23天
C
利用待定系数求出参数，再求解自变量t的值，利用对数运算即可求得结果.
由题可得：{
，两式相除可得2 = a5，即a = 2
1
5 ，
设繁殖t天后数量达到200，
则200 = mat，又20 = ma5，则200
20 = mat
ma5 ，
∴10 = at
a5 ，则at−5 = 10，即(2
1
5 )
t−5
= 10，
∴log2 10 = t
5 −1，
答案
解析
20 = ma5
40 = ma10
4
∴t = 5 log2 10 + 5 = 5 × lg 10
lg 2 + 5 = 5 ×
1
0.3 + 5 ≈22，
则要使数量达到200大约需要22天.
故选：C.
10幂函数
1
1
较易
单选题
如图是4个幂函数在第一象限内的图像，则（ ）
A. a < b < c < d
B. b < a < c < d
C. a < b < d < c
D. b < a < d < c
A
根已知幂函数图象在x > 1或0 < x < 1时图象上下关系，结合构造函数f(t) = xt，利用指数函数的单调性做出
判断.
由已知图象可知当x > 1时，xa < xb < xc < xd，
当0 < x < 1时，xa > xb > xc > xd，
而函数f(t) = xt在底数x > 1时为t的单调增函数，
在底数x满足0 < x < 1时为t的单调减函数，
a < b < c < d.
故选：A
答案
解析
2
较易
填空题
已知幂函数y = f (x)的图象过点(2, √2)，则f (16) =
．
4
答案
2
先由幂函数的定义用待定系数法设出其解析式，代入点的坐标，求出幂函数的解析式，再求f(16)的值解：由
题意令y = f(x) = xa，由于图象过点(2, √2)，
得√2 = 2a，a = 1
2
∴y = f(x) = x
1
2
∴f(16) = 16
1
2 = 4
故答案为：4．
本题考查幂函数的单调性、奇偶性及其应用，解题的关键是熟练掌握幂函数的性质，能根据幂函数的性质求
其解析式，求函数值，属于基础题．
解析
3
一般
填空题
已知(a −2)
−4
3 < (3a + 1)
−4
3 ，则实数a的取值范围是
．
(−3
2 , −1
3 ) ∪(−1
3 , 1
4 )
根据函数y = x
−4
3 的定义域、单调性列不等式组
，解不等式组即可得解.
函数y = x
−4
3 的定义域为{x|x ≠0}，
且为偶函数，在(0, +∞)上单调递减，在(−∞, 0)上单调递增，
所以(a −2)
−4
3 < (3a + 1)
−4
3 ，等价于|a −2|
−4
3 < |3a + 1|
−4
3 ，
所以|a −2| > |3a + 1| > 0，
即
⇒
⇒
即−3
2 < a < 1
4 且a ≠−1
3 ，
故实数a的取值范围是(−3
2 , −1
3 ) ∪(−1
3 , 1
4 )，
故答案为：(−3
2 , −1
3 ) ∪(−1
3 , 1
4 ).
答案
解析
⎧
⎨
⎩
(a −2)2 > (3a + 1)2
a −2 ≠0
3a + 1 ≠0
⎧
⎨
⎩
(a −2)2 > (3a + 1)2
a −2 ≠0
3a + 1 ≠0
⎧
⎨
⎩
8a2 + 10a −3 < 0
a −2 ≠0
3a + 1 ≠0
⎧
⎨
⎩
−3
2 < a < 1
4
a ≠2
a ≠−1
3
4
较易
填空题
3
已知幂函数f (x) = (m2 −m −1)xm，且y = f (x)在x ∈(0, +∞)严格递减，则m =
.
−1
由幂函数的性质结合单调性可解；
因为f (x) = (m2 −m −1)xm是幂函数，所以m2 −m −1 = 1，解得m = 2或−1，
又y = f (x)在x ∈(0, +∞)严格递减，所以m = −1.
故答案为：−1.
答案
解析
5
较易
解答题
已知幂函数f (x) = (n −2)x
1
m2+m (m ∈N)，且该函数的图象经过点(2, √2).
(1)
确定m、n的值；
(2)
求满足条件f(2 −a) > f(a −1)的实数a的取值范围.
(1) m = 1，
(2) [1, 3
2 )
(1) 因为该函数为幂函数，则n −2 = 1，解得n = 3，
又因为该的图象过点(2, √2)，
所以2
1
m2＋m = √2 = 2
1
2 ，
所以m2＋m = 2，所以m = 1或m = −2，
又m ∈N，故m = 1.
(2) 由（1）知f (x) = x
1
2 ，故f (x)为[0, +∞)上的增函数，
又由f (2 −a) > f (a −1)，
得
，解得1 ≤a＜3
2 .
所以满足条件f (2 −a) > f (a −1)的实数a的取值范围为[1, 3
2 ).
答案
解析
⎧
⎨
⎩
2 −a ≥0
a −1 ≥0
2 −a > a −1
11指数函数
1
1
一般
填空题
若指数函数的图像经过点( 3
2 , 27)，则其解析式为f (x) =
．
9x
设指数函数的解析式为f(x) = ax，(a > 0且a ≠1)，代入( 3
2 , 27)计算即可得解.
设指数函数的解析式为f(x) = ax，(a > 0且a ≠1)，
因指数函数f (x)的图像经过点( 3
2 , 27)，
则f ( 3
2 ) = a
3
2 = 27，即a = 9，则其解析式为f (x) = 9x.
故答案为：9x.
答案
解析
2
较易
填空题
已知函数f (x) = ax+1 −2 (a > 0，a ≠1)，的图象不经过第四象限，则a的取值范围为
.
[2, +∞)
根据 0 < a < 1 和 a > 1 两种情况讨论，令 f(x) ≥0 ，得出不等式，即可求解．当 0 < a < 1 时，令 f(x) ≥0
，可得 a −2 ≥0 ，此时不等式的解集为空集，（舍去）；
当a > 1时，令f (x) ≥0，可得a −2 ≥0，即a ≥2，即实数a的取值范围[2, +∞)，
综上可得，实数a的取值范围[2, +∞).
故答案为：[2, +∞).
答案
解析
3
较易
填空题
函数y = ax−1 + 3（常数a > 0且a ≠1）的图像总是经过点
.
2
(1, 4)
根据指数型函数的性质判断.
当x = 1时，y = 4，所以函数图象总经过(1, 4).
故答案为：(1, 4).
答案
解析
4
较易
单选题
函数y = xax
|x| (a > 1)图像的大致形状为（ ）
A.
B.
C.
D.
B
f (x)中含有|x|，故f (x)是分段函数，根据x的正负写出分段函数的解析式，对照图象选择即可．
答案
解析
3
f (x)是分段函数，根据x的正负写出分段函数的解析式，f (x) = {
，
∴x > 0时，图象与y = ax (a > 1)在第一象限的图象一样是增函数，
x < 0时，图象与y = ax (a > 1)的图象关于x轴对称.
故选：B．
ax (x > 0)
−ax (x < 0)
5
较易
解答题
已知指数函数y = f (x)，满足f (−2) = 1
4 .
(1)
求函数y = f (x)的解析式；
(2)
若方程(f (x))2 −(m + 1)f (x) + m + 9
4 = 0有两个不同的实数解，求实数m的取值范围.
(1) f (x) = 2x
(2) (4, +∞)
(1) 设f (x) = ax(a > 0且a ≠1)，
由f (−2) = 1
4 ，可得a−2 = 1
4 ，又a > 0，∴a = 2，
∴f (x) = 2x.
(2) 由（1）知f (x) = 2x，
又方程(f (x))2 −(m + 1)f (x) + m + 9
4 = 0有两个不同的实数解，
∴(2x)2 −(m + 1) ⋅2x + m + 9
4 = 0有两个不同的实数解，设t = 2x ∈(0, +∞)，
∴t2 −(m + 1)t + m + 9
4 = 0有两个不同的正实数解，
∴
，解得m > 4，
∴实数m的取值范围为(4, +∞).
答案
解析
⎧
⎨
⎩
Δ = (m + 1)2 −4 (m + 9
4 ) > 0
m + 1 > 0
m + 9
4 > 0
阶段测
1
1
较易
填空题
若关于x, y的二元一次方程组{
有无穷多组解，则m的取值为
．
2
关于x, y的二元一次方程组{
有无穷多组解，所以直线mx + 4y = m + 2与直线x + my = m重
合，所以m
1 = 4
m = m + 2
m
，解得m = 2 ，即m的取值为2，故答案为2.
mx + 4y = m + 2
x + my = m
答案
解析
mx + 4y = m + 2
x + my = m
2
较易
填空题
含有三个实数的集合可表示为{a, b
a , 1}，也可以示为{a2, a + b, 0}，则a2013 + a2014的值为
.
0
结合已知条件，利用集合元素的互异性，即可求得本题答案.
因为{a, b
a , 1} = {a2, a + b, 0}，且a ≠0，所以b = 0，
则有{a, 0, 1} = {a2, a, 0}，
所以a2 = 1，且a ≠1，得a = −1，
所以，a2013 + a2014 = (−1)2013 + (−1)2014 = −1 + 1 = 0
故答案为：0
答案
解析
3
较易
双空题
函数f (x) = x + 1, x ∈{−1, 1, 2}的值域是
；
函数f(x)= −x2 + 4x −2，x ∈[0, 3)的值域是
.
2
{0, 2, 3} ; [−2, 2] | {f(x)| −2 ≤f(x) ≤2}
将x = −1、1、2代入f (x) = x + 1可得其值域；利用配方法可得y = −(x −2)2 + 2，结合二次函数的单调性和
x ∈[0, 3)即可得出值域.
f (x) = x + 1，x ∈{−1, 1, 2}，
当x = −1时，f (−1) = −1 + 1=0；
当x = 1时，f (1) = 1 + 1 = 2；
当x = 2时，f (2) = 2 + 1 = 3，
∴值域为{0, 2, 3}.
y = −x2 + 4x −2 = −(x −2)2 + 2，
由二次函数的性质知，该函数在(−∞，2)上单调递增，在(2，+ ∞)上单调递减，
∵x ∈[0, 3)，∴当x = 0时，y = −2，当x = 3时，y = 1，
故y = −(x −2)2 + 2 ∈[−2, 2]，
故答案为：{0, 2, 3}；[−2, 2]
答案
解析
4
较易
填空题
若不等式(a −2)x2 + (a −2)x −1 < 0对任意x ∈R恒成立，则实数a的取值范围是
.
(−2, 2]
先对二次项的系数a −2分类讨论，利用二次函数的性质，即可求出结果．①当a = 2时，不等式化为−1 < 0对
一切x∈R恒成立，因此a = 2满足题意；
②当a ≠2时，要使不等式(a −2)x2 + (a −2)x −1 < 0对一切x ∈R恒成立，
则必有 {
解得$-2<2$ ．
综上①②可知：实数a取值的集合是(−2, 2]．
故答案为：(−2, 2]．
熟练掌握二次函数的性质和分类讨论的思想方法是解题的关键．
答案
解析
a −2 < 0
(a −2)2
+ 4
(a −2)
< 0
5
容易
单选题
3
由实数x, −x, |x|, √x2, −
5√x5所组成的集合最多含（ ）
A. 3个元素
B. 2个元素
C. 4个元素
D. 5个元素
B
通过分类讨论，对算式进行化简，判断集合中元素的个数.
当x = 0时，x = −x = |x| = √x2 = −
5√x5 = 0，集合中只有1个元素0；
当x > 0时，|x| = x, √x2 = x, −
5√x5 = −x，集合中只有2个元素x和−x；
当x < 0时，|x| = −x, √x2 = −x, −
5√x5 = −x，集合中只有2个元素x和−x.
所以实数x, −x, |x|, √x2, −
5√x5所组成的集合最多有2个元素．
故选：B
答案
解析
6
较易
单选题
新定义：若一个n位正整数的所有数位上数字的n次方和等于这个数本身，则称这个数是自恋数.已知所有一位正整
数的自恋数组成集合A，集合B = {x
2x2 −17x + 21 < 0}，则A ∩B的子集个数为（ ）
A. 8
B. 16
C. 32
D. 64
C
先求出一元二次不等式的解集，然后由交集的运算求解，计算子集的个数即可.
由自恋数的定义可知一位正整数的自恋数组成集合A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}，
解不等式2x2 −17x + 21 < 0得3
2 < x < 7，所以B = {x
3
2 < x <7}，
所以A ∩B = {2, 3, 4, 5, 6}，故其子集个数为25 = 32，
故选：C
答案
解析
7
一般
解答题
4
已知全集为R，集合A = {x|x2 −5x + 6 = 0}，B = {x|x2 −(m + 3)x + m2 = 0}，A ∪B = R，求实数m的取值范
围．
(−∞, −1) ∪[3, +∞)
解出集合A，根据A ∪B = R可知B ⊆A，分类讨论B的情况，结合判别式以及根与系数的关系即可求得答案.
由题意得A = {x|x2 −5x + 6 = 0} = {2, 3}，
由A ∪B = R，则B ⊆A，即B = ∅, {2}, {3}, {2, 3},
当B = ∅时，Δ = (m + 3)2 −4m2 < 0，解得m > 3或m < −1，满足题意；
当B = {2}时，Δ = (m + 3)2 −4m2 = 0且2 + 2 = m + 3，
解得m = 3或m = −1，且m = 1，此时m不存在；
当B = {3}时，Δ = (m + 3)2 −4m2 = 0且3 + 3 = m + 3，
解得m = 3或m = −1，且m = 3，此时m = 3；
当B = {2, 3}时，{
，此时m不存在，
故实数m的取值范围为(−∞, −1) ∪[3, +∞).
–
答案
解析
–
–
2 + 3 = m + 3
2 × 3 = m2
8
较易
解答题
已知关于x 的一元二次方程ax2 + bx + c = 0(a ≠0) 有两个实数根，通过对该方程配方发现：
x1 + x2 = −b
a , x1 ⋅x2 = c
a ，由于韦达最早发现代数方程的根与系数之间有这种关系，人们把这个关系称为韦达定
理．根据以上结论，回答下列问题：
已知x1, x2为一元二次方程2x2 −3x −1 = 0的两实数根，求下列各式的值：
(1)
1
x1
+ 1
x2
；
(2)
(x2
1 −x2
2)
2；
(3)
2x2
1 + 3x2
(1) −3
(2) 153
16
(3) 11
2
答案
解析
5
(1)
因为x1, x2为一元二次方程2x2 −3x −1 = 0的两实数根，则
，
所以1
x1
+ 1
x2
= x1 + x2
x1x2
=
3
2
−1
2
= −3.
(2) 由（1）可得：
(x2
1 −x2
2)
2 = (x1 + x2)2(x1 −x2)2 = (x1 + x2)2 [(x1 + x2)2 −4x1x2] = ( 3
2 )
2
[( 3
2 )
2
−4 (−1
2 )] =
153
16
.
(3) 因为x1为一元二次方程2x2 −3x −1 = 0的实数根，
则2x2
1 −3x1 −1 = 0，即2x2
1 = 3x1 + 1，
所以2x2
1 + 3x2 = 3x1 + 1 + 3x2 = 3 (x1 + x2) + 1 = 3 × 3
2 + 1 = 11
2 .
⎧
⎨
⎩
x1 + x2 = 3
2
x1x2 = −1
2
9
较易
解答题
若不等式(1 −a)x2 −4x + 6 > 0的解集是{x| −3 < x < 1}．
(1)
求实数a的值；
(2)
当(b2 −1)x2 −2(b −1)x + a −4 > 0的解集为∅时，求b的取值范围．
(1) a = 3
(2) [0, 1]
(1) 由题得(1 −a)x2 −4x + 6 = 0的两个解为x1 = −3, x2 = 1，
代入得{
，解得a = 3,
所以a = 3.
(2) 由（1）得(b2 −1)x2 −2(b −1)x −1 > 0的解集为∅，
当b2 −1 = 0 ⇒b = ±1时：
当b = 1时，原不等式等价为−1 > 0，显然为∅，合题意；
当b = −1，原不等式等价为4x −1 > 0，显然不为∅，舍去；
当b2 −1 ≠0时，要想(b2 −1)x2 −2(b −1)x −1 > 0的解集为∅，
需要{
，解得{
，即0 ≤b < 1，
综上b的取值范围为[0, 1].
答案
解析
9(1 −a) + 12 + 6 = 0
(1 −a) −4 + 6 = 0
b2 −1 < 0
Δ = 4(b −1)2 + 4(b2 −1) ≤0
−1 < b < 1
0 ≤b < 1
6
10
一般
解答题
证明：√2是无理数．（我们知道任意一个有理数都可以写成形如m
n （m，n互质，m ∈z, n ∈z）的形式）
详见解析
利用反证法，即可推得矛盾.
假设√2有理数，则√2 = m
n ，则m2 = 2n2，
m为整数，m2的尾数只能是0,1,4,5,6,9，n2的尾数只能是0,1,4,5,6,9，
则2m2的尾数是0,2,8，由n2 = 2m2得，尾数为0，则n2的尾数是0，而m2的尾数为0或5，
这与m
n 为最简分数，m, n的最大公约数是1，相矛盾，
所以假设不正确，√2是无理数.
答案
解析
结课测
1
1
较易
单选题
若实数a，b，c满足a > b > 0，c < 0，则（ ）
A. ac > bc
B. a
c > b
a
C. a + c < b + c
D.
c
a > c
b
D
利用特殊值、不等式的性质、作差比较法等知识来确定正确答案.
依题意，a > b > 0，c < 0，所以ac < bc，A选项错误；
a = 2, b = 1, c = −1，则a
c = −2 < b
a = 1
2 ，B选项错误.
根据不等式的性质可知a + c > b + c，C选项错误.
c
a −c
b = b −a
ab
⋅c，其中b −a < 0, ab > 0, c < 0，
所以c
a −c
b = b −a
ab
⋅c > 0 ⇒c
a > c
b ，D选项正确.
故选：D
答案
解析
2
一般
单选题
已知方程x2 + (m −2)x + 5 −m = 0的两根都大于2，则实数m的取值范围是（ ）
A. {m |−5 < m ≤−4或m ≥4}
B. {m |−5 < m ≤−4}
C. {m |−5 < m < −4}
D. {m |−5 < m < −4或m > 4}
B
答案
解析
2
根据方程的两根都大于2，分析函数f (x) = x2 + (m −2)x + 5 −m的图象特征列出不等式组求解即可.
根据题意，二次函数f (x) = x2 + (m −2)x + 5 −m的图象与x轴的两个交点都在2的右侧，
根据图象可得
，即
，
解得−5 < m ≤−4.
故选：B.
⎧
⎨
⎩
Δ > 0
f (2) > 0
−m −2
2
> 2
⎧
⎨
⎩
(m −2)2 −4 (5 −m) ≥0
4 + 2 (m −2) + 5 −m > 0
−m −2
2
> 2
3
较易
填空题
函数f(x) = loga(10 −3x) + 9的图象恒过定点A，且点A在幂函数g(x)的图象上，则g (8) =
.
64
首先根据对数函数的性质得到A(3, 9)，从而得到g(x) = x2，再计算g (8)即可.
对于函数f (x) = loga(10 −3x) + 9，令10 −3x = 1，求得x = 3，f(x) = 9，
可得它的的图象恒过定点A(3, 9)
∵点A在幂函数g(x) = xα 的图象上，∴3α = 9，∴α = 2，g(x) = x2，
则g (8) = 82 = 64
故答案为：64
答案
解析
4
较易
填空题
若函数y = log2 (ax2 + 3x + a)的定义域是R，则a的取值范围是
.
( 3
2 , +∞)
答案
解析
3
由二次不等式恒成立解Δ < 0对应的不等式即可.
当x ∈R时，要满足ax2 + 3x + a > 0恒成立，即{
，解得a ∈( 3
2 , +∞)，
故答案为：( 3
2 , +∞)
a > 0
Δ = 9 −4a2 < 0
5
较易
填空题
若正实数a, b满足1
a + 2
b = 1，则a + b的最小值为
.
3 + 2√2
利用基本不等式“1”的妙用求解即可.
由题意可得a, b > 0，a + b = (a + b) ( 1
a + 2
b ) = 1 + 2a
b + b
a + 2 ≥3 + 2√2，
当且仅当2a
b = b
a 时，取到最小值，
所以a + b的最小值为3 + 2√2，
故答案为：3 + 2√2
答案
解析
6
较易
填空题
已知实数a、b满足lg a + lg b = 1，则a2 + b2的最小值为
．
20
根据对数运算和基本不等式求得正确答案.
lg a + lg b = lg ab = 1, ab = 10，
所以a2 + b2 ≥2ab = 20，当且仅当a = b = √10时等号成立，
所以a2 + b2的最小值为20.
故答案为：20
答案
解析
7
较易
填空题
已知函数f (x) = lg (x −3) −a −b过定点(4, −2)，则1
a + 1
b 的最小值为
4
2
先利用函数过定点得到a + b = 2，再根据1
a + 1
b = 1
2 (a + b) ( 1
a + 1
b )，展开后利用基本不等式求解即可.
因为函数f (x) = lg (x −3) −a −b过定点(4, −2)，
所以f (4) = lg (4 −3) −a −b = −2，化简可得a + b = 2，
所以1
a + 1
b = 1
2 (a + b) ( 1
a + 1
b ) = 1
2 (2 + b
a + a
b ) ≥1
2 (2 + 2√b
a × a
b ) = 2，
当且仅当a = b = 1时等号成立，
所以1
a + 1
b 的最小值为2，
故答案为：2.
答案
解析
8
较易
填空题
设m是实数，集合M = {m, m2}，若1 ∈M，则m =
.
−1
根据元素与集合关系及互异性求参数即可.
若m = 1，则m2 = 1，不符合集合元素的互异性；
若m2 = 1，则m = −1（正值舍），此时M = {−1, 1}，满足；
综上，m = −1.
故答案为：−1
答案
解析
9
一般
填空题
若关于x的不等式|x + 1| + |x −2| > a2 + a + 1对于一切实数x都成立，则实数a的取值范围是
.
−2 < a < 1
利用绝对值三角不等式求左侧最小值，结合恒成立有a2 + a + 1 < 3，即可求参数范围.
答案
解析
5
由|x + 1| + |x −2| ≥|x + 1 −x + 2| = 3，当且仅当−1 ≤x ≤2时取等号，
所以a2 + a + 1 < 3 ⇒(a + 2)(a −1) < 0 ⇒−2 < a < 1.
故答案为：−2 < a < 1
10
较易
解答题
已知函数y = ax(a > 0, a ≠1)在区间[1, 2]上的最大值比最小值大a
3 ，求实数a的值.
a = 4
3 或 a = 2
3 .
由题意按照a > 1、$0<1$分类，结合指数函数的性质可得方程，即可得解.
当a > 1时，y = ax是增函数，则a2 −a = a
3 ，解得a = 4
3 或a = 0（舍去）；
当$0<1$时，y = ax是减函数，则a −a2 = a
3 ，解得a = 2
3 或a = 0（舍去）；
综上，a = 4
3 或a = 2
3 .
关键点点睛：涉及指数函数单调性问题，底数为参数时，一般都要分类讨论，分底数大于1与底数大于0小于1
两种情况解决.本题考查了指数函数单调性的应用，考查了运算求解能力及分类讨论思想.
答案
解析
11
一般
解答题
已知幂函数f(x) = (m2 −m −1)xm−1的定义域为R.
（1）求实数m的值；
（2）若不等式[f(x)]2 −af(x) + b ≤0的解集是[0, 6]，求ab的值.
（1）2；（2）1.
（1）根据题意得m2 −m −1 = 1，解得m = 2或m = −1，
当m = 2，f (x) = x符合题意；
当m = −1，f (x) = x−2定义域为{x|x ≠0}，不符合题意；
所以实数m的值为2；
（2）由（1）知f (x) = x，[f(x)]2 −af(x) + b ≤0 ⇒x2 −ax + b ≤0，
又x2 −ax + b ≤0的解集为[0, 6]，
由韦达定理可知{
，解得{
，则ab = 1
所以ab的值为1.
答案
解析
0 + 6 = a
0 × 6 = b
a = 6
b = 0
6
方法点睛：本题考查幂函数的定义，及根据不等式的解集求参数，幂函数的形式是f(x) = xα，其中只有一个
参数α，系数是1，可求出其解析式，考查学生的逻辑推理能力与运算求解能力，属于基础题.
12
容易
解答题
已知函数f (x) = log2 (mx2 −3mx + 2)，m ∈R.
（1）若m = 1，求函数f (x)的单调递减区间；
（2）若函数f (x)的定义域为R，求实数m的取值范围.
（1） (−∞, 1)；（2） 0 ≤m < 8
9
（1）先求出函数的义域为{x|x > 2或x < 1}，再利用复合函数的单调性原理求函数的单调减区间；（2）等价
于mx2 −3mx + 2 > 0在R上恒成立，利用一元二次函数的图象和性质分析得解.（1）若m = 1，
f (x) = log2 (x2 −3x + 2), 函数的定义域为{x|x > 2或x < 1}，
由于函数y = log2x是定义域上的增函数，
所以f (x)的单调递减区间等价于函数y = x2 −3x + 2(x > 2或x < 1)的减区间，
y = x2 −3x + 2(x > 2或x < 1)的减区间为(−∞, 1)，
所以函数f (x)的单调递减区间(−∞, 1).
（2）由题得mx2 −3mx + 2 > 0在R上恒成立，
当m = 0时，2＞0恒成立，所以m = 0满足题意；
当m ≠0时，{
，所以$0<\dfrac{8}{9}$.
综合得0 ≤m < 8
9
本题主要考查复合函数的单调性和二次不等式的恒成立问题，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.
答案
解析
m > 0
Δ = 9m2 −8m < 0
