试卷一
1
填空题
1
用反证法证明命题“设n ∈Z，已知n2是偶数，则n是偶数”时，应假设
.
已知 n2是偶数，则n是奇数
根据反证法证明命题的原理即可得解.
∵命题“设n ∈Z，已知n2是偶数，则n是偶数”，
可得题设为，“a ⋅b（a，b ∈Z∗）为偶数，
∴反设的内容是：假设已知n2是偶数，则n是奇数.
故答案为：已知n2是偶数，则n是奇数.
答案
解析
2
设全集U = {1，2，3，4，5，6，7，8}，集合S = {1，3，5}，集合T = {3，6}，则S ∩T =
．
{2, 4, 7, 8}
由已知得可以求得S和T，再由交集运算即可解决.
∵全集U = {1，2，3，4，5，6，7，8}，集合S = {1，3，5}，集合T = {3，6}，
∴S = {2, 4, 6, 7, 8}，T = {1, 2, 4, 5, 7, 8}，
∴S ∩T = {2, 4, 7, 8}.
故答案为：{2, 4, 7, 8}.
–
答案
解析
–
–
–
–
3
设集合A = {x, xy, xy −1}，其中x ∈Z，y ∈Z且y ≠0. 若0 ∈A，则用列举法表示集合A = .
答案
2
{−1, 0, 1}
根据y ≠0且0 ∈A,结合集合的互异性原则可知xy −1 = 0,进而求得x和y的值,即可表示集合A.集合
A = {x, xy, xy −1},其中x ∈Z,y ∈Z且y ≠0.
若0 ∈A,则当x = 0时, x = xy = 0由集合的互异性可知不符合要求
所以xy −1 = 0,即xy = 1
则{
或{
当{
时,x = xy = 1, 由集合的互异性可知不符合要求
因而{
,此时x = −1, xy = 1, xy −1 = 0
所以A = {−1, 0, 1}
故答案为: {−1, 0, 1}
本题考查了元素与集合的关系,集合的互异性原则的应用,属于基础题.
解析
x = 1
y = 1
x = −1
y = −1
x = 1
y = 1
x = −1
y = −1
4
设集合T = {∅, {∅}}，则下列命题：①∅∈T，②∅⊆T，②{∅} ∈T，④{∅} ⊆T中正确的是
（写出所有正
确命题对应的序号）.
①②③④.
根据集合T元素的特征，对四个命题逐一分析，由此确定正确命题的序号.集合T = {∅, {∅}}，也即集合T的元
素为两个集合，一个是∅，另一个是{∅}.
对于①，空集是集合T的元素，故①正确.
对于②，空集是任何集合的子集，故②正确.
对于③，{∅}是集合T的元素，故③正确.
对于④，{∅}中含有元素∅，故④正确.
故答案为①②③④.
本小题主要考查元素与集合的关系，考查集合与集合的关系，属于基础题.
答案
解析
5
将图中阴影部分可用交、并、补运算表示为
.
3
(A ∪C) ∩(∁UB)
根据韦恩图所表示的阴影部分的意义直接写出结论即可.
由韦恩图知，阴影部分在集合A中有一部分，另一部分在集合C中，即阴影部分在集合A ∪C中，
而阴影部分不在集合B中，则它必在集合B的补集中，
所以，阴影部分表示为(A ∪C) ∩(∁UB).
故答案为：(A ∪C) ∩(∁UB)
答案
解析
6
满足{1, 2} ⊆A ⊂{1, 2, 3, 4, 5}的集合A有
个．
7
根据非空子集的定义求解.
由题意可知A = {1, 2}与{3, 4, 5}的非空子集的并集，
而{3, 4, 5}的非空子集有有23 −1 = 7个，
所以满足条件的A有7个，
故答案为：7.
答案
解析
7
某班有36名同学参加数学、物理、化学课外探究小组，每名同学至少参加一个至多参加两个小组.已知参加数学、
物理、化学小组的人数分别为26、15、13，同时参加数学和物理小组的有6人，同时参加物理和化学小组的有4人，
则同时参加数学和化学小组的有
人.
8
答案
4
利用韦恩图，根据容斥原理，即可求解.
设集合A, B, C分别表示参加数学、物理、化学课外小组，
其中x, y, z, a, b, c, d分别表示集合每部分的人数，其中d = 0
，化简为
所以b = 20 + 5 + 9 −26 = 8
所以同时参加数学和化学小组的有8人.
故答案为：8
解析
⎧
⎨
⎩
x + y + z + a + b + c = 36
x + a + b = 26
a + y + c = 15
b + c + z = 13
a = 6
c = 4
⎧
⎨
⎩
x + y + z + b = 26
x + b = 20
y = 5
b + z = 9
8
若x ∈A，则2 −x ∈A，则称A是“对偶关系”集合，若集合{a, −4, −2, 0, 2, 4, 6, 7}的所有非空子集中是“对偶关系”的
集合一共15个，则实数a的取值集合为 .
{1, −5}
根据定义，列举集合{a，−4，−2，0，2，4，6，7}的所有的“对偶关系”的集合，再去考查实数a的取值即
可．
解：集合{a，−4，−2，0，2，4，6，7}的所有的“对偶关系”
有−4与6，−2与4，2与0，则a与7，
这些组合的“对偶关系”有4对，集合有24 −1 = 15个．
那么2 −a = 7，可得a = −5．
当a = 1时，则2 −1 = a，也满足“对偶关系”．
可得实数a的取值集合为{1, −5}．
故答案为：{1, −5}．
本类问题通常以选择和填空出现，考查集合和元素之间的关系，有时也出现在以其他知识为背景的综合题
答案
解析
5
中，渗透集合的思想，体现基础性与应用性．属于基础题
选择题
1
陈老师说：“不努力是读不好书的”，陈老师的意思是“努力”是“读好书”的（ ）
A. 充分非必要条件
B. 必要非充分条件
C. 充要条件
D. 既不充分也不必要条件
B
首先求出原命题的逆否命题，根据互为逆否命题同真假的性质即可得到答案.因为命题“不努力是读不好书
的”，逆否命题为：“读好书是因为努力”.
所以“努力”是“读好书”的必要不充分条件.
故选：B
本题主要考查四种命题和充分条件及必要条件，互为逆否命题同真假是解题的关键，属于简单题.
答案
解析
2
设Q是有理数，集合X = {x|x = a + b√2, a, b ∈Q, x ≠0}，在下列集合中；（1）{y|y = 2x, x ∈X}；（2）
{y|y =
x
√2
, x ∈X}；（3）{y|y = 1
x , x ∈X}；（4）{y|y = x2, x ∈X}；与X相同的集合有（ ）
A. 4个
B. 3个
C. 2个
D. 1个
B
将x = a + b√2分别代入（1）、（2）、（3）中，化简并判断p, q与a, b是否一一对应，再举反例判断（4）.
对于（1），由2(a + b√2) = p + q√2，得p = 2a, q = 2b，一一对应，则{y|y = 2x, x ∈X} = X
对于（2），由a + b√2
√2
= b + a
2 ⋅√2 = p + q√2，得p = d, q = a
2 ，一一对应，则{y|y =
x
√2
, x ∈X} = X
答案
解析
6
对于（3），由
1
a + b√2
=
a
a2 −2b2 + (−
b
a2 −2b2 ) ⋅√2 = p + q√2，得p =
a
a2 −2b2 , q =
−b
a2 −2b2 ，一一对
应，则{y|y = 1
x , x ∈X} = X
对于（4），−1 −√2 ∈X，但方程−1 −√2 = x2无解，则{y|y = x2, x ∈X}与X不相同
故选：B
解答题
1
已知集合A = {x|x2 −5x + 4 ≤0}，B = {x|x2 −2ax + a + 2 ≤0, a ∈R}．
（1）求集合A；
（2）若A ⊆B，求实数a的取值范围；
（3）若B ⊆A，求实数a的取值范围；
（1） A = {x|1 ≤x ≤4}；（2） a ≥3；（3） (−1, 18
7 ]；
(1)解一元二次不等式得集合A;
(2)根据集合包含关系，结合二次函数图象列不等式，解得结果；
（3）)根据集合包含关系，讨论集合B解集，再结合二次函数图象列不等式，解得结果.
(1) A = {x|x2 −5x + 4 ≤0} = {x|(x −4)(x −1) ≤0} = [1, 4]
（2）因为A ⊆B，B = {x|x2 −2ax + a + 2 ≤0, a ∈R}，所以不等式x2 −2ax + a + 2 ≤0在[1, 4]上恒成立，
即{
∴a ≥3
(3)若B = {x|x2 −2ax + a + 2 ≤0, a ∈R} = ∅，则$\Delta ={{(-2a)}^{2}}-4(a+2)<0\therefore -1<2$，此时满足
B ⊆A；
若a = −1则B = {−1} ⊄ A;
若a = 2则B = {2} ⊆A;此时满足B ⊆A；
若a > 2或a < −1则由B ⊆A得$\left\{ \begin{matrix} 1-2a+a+2\ge 0 \ 16-8a+a+2\ge 0 \ 1<4 \\ \end{matrix}
\right.\therefore 1;
综上：$-1
答案
解析
1 −2a + a + 2 ≤0
16 −8a + a + 2 ≤0
7
本题考查解一元二次不等式以及根据集合包含关系求参数，考查综合分析求解能力，属较难题.
2
已知集合A = {x
x2 −3x + 2 = 0}，集合B = {x
x2 + 2 (a + 1)x + (a2 −5) = 0}.
(1)
若A ∩B = {2}，求实数a的值.
(2)
若A ∪B = A，求实数a的取值范围.
(3)
若U = R，A ∩B = A，求实数a的取值范围.
(1) −1或 −3
(2) {a|a ≤−3}
(3) {a |a ≠−1, a ≠−3, a ≠−1 + √3, a ≠−1 −√3}
(1) 因为A ∩B = {2}，所以2 ∈B，
又B = {x
x2 + 2 (a + 1)x + (a2 −5) = 0}，则4 + 4 (a + 1) + a2 −5 = 0，
整理得a2 + 4a + 3 = 0，解得a = −1或−3，
因为A = {x
x2 −3x + 2 = 0} = {1, 2}，
当a = −1时，B = {x
x2 −4 = 0} = {−2, 2}，满足A ∩B = {2}；
当a = −3时，B = {x
x2 −4x + 4 = 0} = {2}，满足A ∩B = {2}；
故a的值为−1或−3.
(2) 因为A ∪B = A，所以B ⊆A，又A = {1, 2}，
当B = ∅时，关于x的方程x2 + 2 (a + 1)x + a2 −5 = 0没有实数根，
所以Δ = 4(a + 1)2 −4 (a2 −5) < 0，即a + 3 < 0，解得a < −3，满足题意；
当B ≠∅时，若集合B中只有一个元素，则Δ = 4(a + 1)2 −4 (a2 −5) = 0，
整理得a + 3 = 0，解得a = −3，
此时B = {x
x2 −4x + 4 = 0} = {2}，符合题意；
若集合B中有两个元素，则B = {1, 2}，
即1, 2是方程x2 + 2 (a + 1)x + a2 −5 = 0的两根，
所以{
，无解，
综上，可知实数a的取值范围为{a|a ≤−3}.
(3) 因为A ∩B = A，所以A ⊆B，则A ∩B = ∅，
–
答案
解析
1 + 2 = −2 (a + 1)
1 × 2 = a2 −5
–
–
8
所以{
，即{
，所以{
.
综上，实数a的取值范围为{a |a ≠−1, a ≠−3, a ≠−1 + √3, a ≠−1 −√3}.
1 ∉B
2 ∉B
1 + 2 (a + 1) + a2 −5 ≠0
4 + 4 (a + 1) + a2 −5 ≠0
a ≠−1 + √3且a ≠−1 −√3
a ≠−1且a ≠−3
3
证明：√2是无理数．（我们知道任意一个有理数都可以写成形如m
n （m，n互质，m ∈z, n ∈z）的形式）
详见解析
利用反证法，即可推得矛盾.
假设√2有理数，则√2 = m
n ，则m2 = 2n2，
m为整数，m2的尾数只能是0,1,4,5,6,9，n2的尾数只能是0,1,4,5,6,9，
则2m2的尾数是0,2,8，由n2 = 2m2得，尾数为0，则n2的尾数是0，而m2的尾数为0或5，
这与m
n 为最简分数，m, n的最大公约数是1，相矛盾，
所以假设不正确，√2是无理数.
答案
解析
试卷二
1
填空题
1
已知函数y = −x2 + 3x + 4的x取值为[−2, 2]时，y的值域为 ．
[−6, 25
4 ]
试题分析：函数
的对称轴为
，所以在区间
上，函数的最大值为
，函数的最小值为
，所以函数的值域为
[−6, 25
4 ]．
考点：二次函数的性质．
答案
解析
2
已知函数y = −x2 + 2ax + 3在区间(−∞, 4)上是y随x增大而增大，则实数a的取值范围是 .
[4, +∞)
根据二次函数对称轴与单调区间位置关系列不等式，解得结果.
f(x) = −x2 + 2ax + 3对称轴方程为x = a，
f(x)在区间(−∞, 4)上是增函数，所以a ≥4.
故答案为:[4, +∞).
本题考查根据二次函数单调性求参数取值范围，考查数形结合思想方法，属基础题.
答案
解析
3
若不等式(a −2)x2 + (a −2)x −1 < 0对任意x ∈R恒成立，则实数a的取值范围是
.
2
(−2, 2]
先对二次项的系数a −2分类讨论，利用二次函数的性质，即可求出结果．①当a = 2时，不等式化为−1 < 0对
一切x∈R恒成立，因此a = 2满足题意；
②当a ≠2时，要使不等式(a −2)x2 + (a −2)x −1 < 0对一切x ∈R恒成立，
则必有 {
解得$-2<2$ ．
综上①②可知：实数a取值的集合是(−2, 2]．
故答案为：(−2, 2]．
熟练掌握二次函数的性质和分类讨论的思想方法是解题的关键．
答案
解析
a −2 < 0
(a −2)2
+ 4
(a −2)
< 0
4
设方程x2 −2ax −1 = 0的两根为x1､x2，且x1 < −2，0 < x2 < 1
2 ，则实数a的取值范围是
.
(−∞, −3
4 )
设f (x) = x2 −2ax −1，
因为x1 < −2，0 < x2 < 1
2 ，所以：
即
，故a < −3
4 .
故答案为：(−∞, −3
4 ).
方法点睛：
一元二次的根分布问题，一般遵循“由图列式，动态检验，多退少补”的基本原则.
（1）由图列式指根据一元二次方程的解的状况画出对应的二次函数图像的草图，从二次函数的开口方向、判
别式的正负、对称轴的位置和区间端点函数的正负四个角度分析，列出相应的不等式组；
（2）动态检验指让图像上下二元平移，看判别式的条件是否多余或者缺失，左右移动看对称轴的位置是否有
限制；
答案
解析
⎧
⎨
⎩
f (−2) < 0
f ( 1
2 ) > 0
f (0) < 0
⎧
⎨
⎩
3 + 4a < 0
−3
4 −a > 0
−1 < 0
3
（3）结合（2）把多余的条件去掉或补上缺失的条件.
5
已知函数f(x) = x2 + 2x + 3，x ∈[m, 0]的最大值为3，最小值为2，则实数m的取值范围是
．
[−2, −1]
结合二次函数图象与性质即可求解.
函数f(x) = x2 + 2x + 3的图象是开口朝上，且以直线x = −1为对称轴的抛物线，
当x = −1时，函数取最小值2．
令f(x) = x2 + 2x + 3 = 3，则x = 0或x = −2，
若函数f(x) = x2 + 2x + 3在[m, 0]上的最大值为3，最小值为2，则m ∈[−2, −1]．
故答案为：[−2, −1]
答案
解析
6
已知函数f (x) = x2 −2ax + 5 (a > 1)的定义域和值域均是[1，a]，则实数a＝
．
2
由二次函数的图象与性质可以判定f (x)在[1, a]内是减函数，由值域也是[1, a]列方程中，可求出a的值．
∵二次函数f (x) = x2 −2ax + 5 (a > 1)的图象是抛物线，
开口向上，对称轴是x = −−2a
2 × 1 = a > 1，
∴f (x) = x2 −2ax + 5 (a > 1)在[1, a]上是减函数，
又f（x）在[1, a]上的值域也是[1, a]，
答案
解析
4
∴{
，即{
，
解得a＝2.
故答案为：2
f (1) = a
f (a) = 1
6 −2a = a
−a2 + 5 = 1
选择题
1
关于x的一元二次方程x2 + (m −2)x −2m = 0有两个不相等的正实数根，则m的取值范围是（ ）
A. (−∞, −2) ∪(−2, 0)
B. (−∞, 2)
C. (0, 2) ∪(2, +∞)
D. (−2, +∞)
A
利用一元二次方程根的分布可得答案.
因为方程x2 + (m −2)x −2m = 0有两个不相等的正实数根，
所以
，解得m < 0且m ≠−2.
故选：A.
答案
解析
⎧
⎨
⎩
(m −2)2 + 8m > 0
−m + 2 > 0
−2m > 0
2
二次函数y = ax2 + bx + c的图象如图所示，下列结论中正确的是（ ）
①abc < 0；②b2 −4ac < 0；③2a > b；④a + c > b.
A. 1个
B. 2个
C. 3个
D. 4个
答案
5
A
根据图象开口方向及与坐标轴交点的情况直接判断.
由图象可知a < 0，c > 0，−1 < −b
2a < 0即2a < b < 0，Δ = b2 −4ac > 0，
所以abc > 0，故①，②，③错误，
f (−1) = a −b + c > 0，则a + c > b，故④正确；
故选：A.
解析
解答题
1
已知关于x的方程2ax2 −x −1 = 0，当实数a为何值时，
(1)
方程在(0, 1)内有根；
(2)
方程的根都小于1.
(1) a > 1；
(2) a > 1或 −1
8 ≤a ≤0.
(1) 由2ax2 −x −1 = 0，可得a = 1
2x +
1
2x2 ，x ∈(0, 1)，
由x ∈(0, 1)，可得1
x > 1，
所以y = 1
2x +
1
2x2 = 1
2 ( 1
x + 1
2 )
2
−1
8 > 1，
所以a > 1时，方程在(0, 1)内有根；
(2) 设f (x) = 2ax2 −x −1，
答案
解析
6
当a = 0时，由2ax2 −x −1 = 0，可得x = −1，适合题意；
当a ≠0时，因为方程2ax2 −x −1 = 0的根都小于1，
所以
或
，
解得a > 1或−1
8 ≤a < 0，
综上，a > 1或−1
8 ≤a ≤0时方程的根都小于1.
⎧
⎨
⎩
a > 0
Δ = 1 + 8a ≥0
1
4a < 1
f (1) = 2a −2 > 0
⎧
⎨
⎩
a < 0
Δ = 1 + 8a ≥0
1
4a < 1
f (1) = 2a −2 < 0
2
已知函数f (x) = x2 + 4ax + a2 −1，
(1)
当a = 1时，求函数f (x)在x ∈(−∞, −5]上的最小值.
(2)
当−2 ≤x ≤1时，函数f (x)的最大值为12，求实数a的值.
(1) 5
(2) a = −1或 a = 2
(1) 当a = 1时，f (x) = x2 + 4x，其图象开口向上，对称轴x = −2 ∉(−∞, −5]，
可知f(x)min = f (−5) = 5，
所以函数f (x)在x ∈(−∞, −5]上的最小值为5.
(2) 由题意可得：f (x) = x2 + 4ax + a2 −1 = (x + 2a)2 −3a2 −1，
其图象开口向上，对称轴方程为x = −2a，且−2 ≤x ≤1，
当−2a ≤−1
2 ，即a ≥1
4 时，函数在x = 1处取得最大值，
即f (1) = 1 + 4a + a2 −1 = 12，解得a = −6（舍去）或a = 2；
当−2a > −1
2 ，即a < 1
4 时，函数在x = −2处取得最大值，
答案
解析
7
即f (−2) = 4 −8a + a2 −1 = 12，解得a = −1或a = 9（舍去）；
综上所述：a = −1或a = 2
3
已知函数f(x) = x2 −2ax + 3， x ∈[3 −a, 5 −a]，求函数的值域．
当a ≤3
2 时，f(x)min = f(3 −a) = 3a2 −12a + 12，f(x)max = f(5 −a)= 3a2 −20a + 28；
当a ≥5
2 时，f(x)min = f(5 −a)= 3a2 −20a + 28，[f(x)max = f(3 −a) = 3a2 −12a + 12；
当3
2 < a ≤2时，f(x)min = f(a) = 3 −a2，f(x)max = f(5 −a) = 3a2 −20a + 28；
当2 < a < 5
2 时，[f(x)min = f(a) = 3 −a2，
f(x)min = f(3 −a) = 3a2 −12a + 12
当a ≤3
2 时，f(x)min = f(3 −a) = 3a2 −12a + 12，f(x)max = f(5 −a)= 3a2 −20a + 28；
当a ≥5
2 时，f(x)min = f(5 −a)= 3a2 −20a + 28，[f(x)max = f(3 −a) = 3a2 −12a + 12；
当3
2 < a ≤2时，f(x)min = f(a) = 3 −a2，f(x)max = f(5 −a) = 3a2 −20a + 28；
当2 < a < 5
2 时，[f(x)min = f(a) = 3 −a2，
f(x)min = f(3 −a) = 3a2 −12a + 12
答案
解析
试卷三
1
填空题
1
设实数x < 1，当代数式2x +
1
x −1 取最大值时，x的值为
．
1 −√2
2
由基本不等式求最大值可得结论．
因为x < 1，所以−(x −1) > 0，
所以2x +
1
x −1 = −[−2 (x −1) +
1
−(x −1) ] + 2 ≤−2√2 (x −1) ⋅
1
x −1 + 2 = −2√2 + 2，
当且仅当2 (x −1) =
1
x −1 ，即x = 1 −
√2
2 时等号成立．
故答案为：1 −
√2
2 ．
答案
解析
2
集合A = {x|(x + 3)(x −2) > 0}，B = {x|
x + 5
x2 + 2x + 3 < 1}，则A ∩B =
.
[−3, −2) ∪(1, 2]
解不等式求得集合A, B，进而求得A ∩B.
A = {x|(x + 3)(x −2) > 0} = {x|x < −3或x > 2}，
所以A = {x| −3 ≤x ≤2}.
x + 5
x2 + 2x + 3 < 1,
x + 5
x2 + 2x + 3 −1 = x + 5 −x2 −2x −3
x2 + 2x + 3
= −(x −1) (x + 2)
(x + 1)2 + 2
< 0，
即(x −1) (x + 2) > 0，解得x < −2或x > 1，所以B = {x|x < −2或x > 1}，
所以A ∩B = [−3, −2) ∪(1, 2].
故答案为：[−3, −2) ∪(1, 2]
–
答案
解析
–
–
–
2
3
不等式 |2x −1| −|x −2| < 0 的解集为
．
(−1, 1)
解: 因为 |2x −1| −|x −2| < 0 ⇔|2x −1| < |x −2| ⇔(2x −1)2 < (x −2)2 ⇔3x2 < 3 ⇔−1 < x < 1
答案
解析
4
关于x的不等式ax2 + bx + 2 > 0的解集为{x| −2 < x < 3}，则a + b =
．
0
根据一元二次不等式的解集求得a, b，进而求得a + b.
由于不等式ax2 + bx + 2 > 0的解集为{x| −2 < x < 3}，
所以
，解得a = −1
3 , b = 1
3 ，
所以a + b = 0.
故答案为：0
答案
解析
⎧
⎨
⎩
−2 + 3 = 1 = −b
a
−2 × 3 = −6 = 2
a
5
已知关于x的不等式2x −5
x2 −a ≤1的解集为M，若3 ∉M，则实数a的取值范围是
．
8 < a ≤9
若3 ∈M，则将3代入不等式求解即可得到a的范围，根据题意求其补集即可.
∵关于x的不等式2x −5
x2 −a ≤1的解集为M，
若3 ∈M，则有6 −5
9 −a ≤1，即a −8
a −9 ≥0，所以{
，
答案
解析
(a −8)(a −9) ≥0
a −9 ≠0
3
解得a ≤8或a > 9．
因此若3 ∉M，则8 < a ≤9
故答案为：8 < a ≤9
6
已知正数x, y满足x + 2y −1 = 0，且不等式m ≤1
y + 1
x 对任意的正数x, y恒成立.则实数m的取值范围是
.
m ≤3 + 2√2
根据给定条件，利用基本不等式“1”的妙用求出最小值即可求出结果.
依题意，正数x, y满足x + 2y = 1，
则1
y + 1
x = (x + 2y) ( 1
y + 1
x ) = 3 + x
y + 2y
x ≥3 + 2√x
y ⋅2y
x = 3 + 2√2，当且仅当x = √2y = √2 −1时
取等号，
由不等式m ≤1
y + 1
x 对任意的正数x, y恒成立，得m ≤3 + 2√2，
所以实数m的取值范围是m ≤3 + 2√2.
故答案为：m ≤3 + 2√2
答案
解析
7
若关于x的不等式|x −2 |+|x −a| ⩾a在R上恒成立，则实数a的取值范围是
.
(−∞, 1]
根据绝对值的意义|x −2 |+|x −a|表示数轴上的x对应点到2和a对应点的距离之和，它的最小值等于|a −2|，
可得答案.
|x −2 |+|x −a|表示数轴上的x对应点到2和a对应点的距离之和，它的最小值等于|a −2|，由不等式
|x −2 |+|x −a| ⩾a恒成立知，a ⩽|a −2|，
解得：a ⩽1
故答案为：(−∞, 1].
答案
解析
8
4
已知−1 ≤a + b ≤4，2 ≤a −b ≤3，则3a −2b的取值范围为 .
[ 9
2 , 19
2 ]
令m(a + b) + n(a −b) = 3a −2b求出m、n，再应用不等式的性质求3a −2b的范围.
令m(a + b) + n(a −b) = 3a −2b，则(m + n)a + (m −n)b = 3a −2b，
所以{
，可得
，故3a −2b = 1
2 (a + b) + 5
2 (a −b)，
而1
2 (a + b) ∈[−1
2 , 2], 5
2 (a −b) ∈[5, 15
2 ]，故3a −2b ∈[ 9
2 , 19
2 ].
故答案为：[ 9
2 , 19
2 ]
答案
解析
m + n = 3
m −n = −2
⎧
⎨
⎩
m = 1
2
n = 5
2
选择题
1
如果b < a < 0，那么下列不等式中错误的是（ ）
A. c + b < c + a
B. a2 < b2
C. bc2 < ac2
D.
1
a < 1
b
C
对于选项A，根据不等式的加法法则，显然正确，所以该选项正确；
对于选项B，因为b < a < 0，所以a2 < b2，所以该选项正确；
对于选项C，当c=0时，显然不成立，所以该选项错误；
对于选项D，1
a −1
b = b −a
ab
< 0所以1
a < 1
b ，所以该选项正确．
故选：C
答案
解析
2
5
已知集合M = {x
x + 3
x −3 ≤0, x ∈Z}, N = {x |1 < x ≤4}，则M ∩N =（ ）
A. {x |1 < x < 3}
B. {1, 2}
C. {2}
D. {2, 3, 4}
C
求出集合M后可求M ∩N.
M = {x| −3 ≤x < 3, x ∈Z} = {−3, −2, −1, 0, 1, 2},
故M ∩N = {2}，
故选：C.
答案
解析
解答题
1
已知关于x的不等式kx2 −2x + 6k < 0 (k > 0)．
(1)
若不等式的解集为A = (2, 3)，求实数k的值；
(2)
若不等式在x ∈(2, 3)时恒成立，求实数k的取值范围．
(1) k = 2
5 ；
(2) $0.
(1) 由题设知：2, 3是方程kx2 −2x + 6k = 0 (k > 0)的两个根，
所以2
k = 2 + 3 = 5，即k = 2
5 ，经检验满足题设，
所以k = 2
5 .
答案
解析
6
(2) 令f (x) = x2 −2
k x + 6，则f(x) < 0在x ∈(2, 3)上恒成立，
而f(x)开口向上且对称轴x = 1
k > 0，故Δ = 4
k2 −24 > 0，
所以0 < k < √6
6 ，此时对称轴x = 1
k ∈(√6, +∞)，
当√6 < 1
k < 3 ⇒1
3 < k < √6
6 时，
⇒k ≤2
5 ，此时$\dfrac13；
当1
k ≥3 ⇒0 < k ≤1
3 时，只需f(2) = 10 −4
k ≤0 ⇒k ≤2
5 ，此时0 < k ≤1
3 ；
综上，$0.
⎧
⎨
⎩
f(2) = 10 −4
k ≤0
f(3) = 15 −6
k ≤0
2
2024年8月12日，为期16天的巴黎奥运会落下帷幕，回顾这一届奥运会，中国元素在这里随处可见，令游客驻足欣
赏；据调查，国内某公司生产的一款巴黎奥运会吉祥物的供货价格=固定价格+浮动价格，其中固定价格为60元，
浮动价格=
5
销售量（浮动价格单位：元，销售量单位：万件），假设每件吉祥物的售价为整数，当每件吉祥物售
价不超过100元时，销售量为10万件：当每件吉祥物售价超过100元时，售价每增加1元，销售量就减小0.2万件，总
利润=（售价-供货价格）×销售量；
(1)
当每件吉祥物的售价为85元时，获得的总利润是多少万元？
(2)
每件吉祥物的售价为多少元时，单件吉祥物的利润最大，最大为多少元？
(1) 245万元
(2) 每件吉祥物的售价为145元时，单件吉祥物的利润最大，最大为80元
(1) 由题意，当单价售价为85元时，销售量为10万件，浮动价格为0.5元，供货价格为60 + 0.5 = 60.5元，
故总利润为：10 × (85 −60.5) = 245万元；
(2) 当x ≤100时，销售量为10万件，供货价为60.5元，
答案
解析
7
则60.5 < x ≤100，且x ∈N，
因而，当x ≤100时，单价利润x −60.5 ≤39.5，
即单价利润最大为39.5元；
当x > 100时，销售量为10 −0.2(x −100) = 30 −0.2x（万件），
同时，30 −0.2x > 0，解得100 < x < 150，且x ∈N，
此时单价利润为：x −60 −
5
30 −0.2x = x −60 −
25
150 −x
= −[(150 −x) +
25
150 −x ] + 90 ≤−2√(150 −x) ⋅
25
150 −x + 90 = 80，
当且仅当150 −x =
25
150 −x ，即x = 145时，取等号
因为80 > 39.5，
故当每件吉祥物的售价为145元时，单件吉祥物的利润最大，最大为80元．
3
（1）若不等式mx2 + (1 −m)x + m −2 ≥−2对一切实数x恒成立，求实数m的取值范围；
（2）已知实数m < 0，解关于x的不等式mx2 + (1 −m)x + m −2 < m −1.
（1） {m|m ≥1
3 }；（2）答案见解析
（1）由题设mx2 + (1 −m)x + m ≥0对一切实数x恒成立，讨论参数m，结合一元二次不等式在实数集上恒成
立列不等式组求范围即可．
（2）讨论m = 0、m ≠0，结合一元二次不等式的解法求解集．
（1）由mx2 + (1 −m)x + m −2 ≥−2得mx2 + (1 −m)x + m ≥0对一切实数x恒成立，
当m = 0时，mx2 + (1 −m)x + m = x ≥0不恒成立，故不符合题意；
当m ≠0时，要使得对一切实数x，不等式mx2 + (1 −m)x + m ≥0恒成立，
则{
，可得m ≥1
3 ；
答案
解析
m > 0
Δ = (1 −m)2 −4m2 ≤0
8
综上，m的范围为{m|m ≥1
3 }．
（2）当m = 0时，mx2 + (1 −m)x + m −2 < m −1，
即x −2 < −1，可得x < 1，解集为{x|x < 1}；
当m ≠0时，mx2 + (1 −m)x −1 = m (x + 1
m ) (x −1) < 0，
当m < 0，则(x + 1
m ) (x −1) > 0，
若−1
m > 1，即−1 < m < 0时，可得x > −1
m 或x < 1，解集为{x|x < 1或x > −1
m }；
若−1
m = 1，即m = −1时，可得x ≠1，解集为{x|x < 1或x > 1}；
若−1
m < 1，即m < −1时，可得x > 1或x < −1
m ，解集为{x|x < −1
m 或x > 1}；
当m > 0，则(x + 1
m ) (x −1) < 0，可得−1
m < x < 1，解集为{x| −1
m < x < 1}，
综上，当m = 0时，解集为{x|x < 1}；
当−1 < m < 0时，解集为{x|x < 1或x > −1
m }；
当m = −1时，解集为{x|x < 1或x > 1}；
当m < −1时，解集为{x|x < −1
m 或x > 1}；
当m > 0时，解集为{x| −1
m < x < 1}．
试卷四
1
填空题
1
已知常数a > 0且a ≠1，假设无论a为何值，函数y = loga (x + 3) −4的图像恒经过一个定点，则这个点的坐标为
.
.
利用对数函数性质可知，令
即可求出
的图像恒过的定点的坐标.
因为
的图像必过
，即
，
当
，即
时，
，
从而
图像必过定点
.
故答案为：
.
答案
解析
2
已知3m = 6，用m表示log3 54为
．
m + 2
先根据指对互化可得m = log3 6，再结合对数运算求解.
∵3m = 6，则m = log3 6，
∴log3 54 = log3 (6 × 32) = log3 6 + log3 32 = m + 2.
故答案为：m + 2.
答案
解析
3
logx y ⋅logy z ⋅logz x的值是
.
答案
2
1
利用换底公式计算可得结果.
易知logx y ⋅logy z ⋅logz x = lg y
lg x ⋅lg z
lg y ⋅lg x
lg z = 1.
故答案为：1
解析
4
若幂函数f (x) = (m2 + m −5)xm2−2m−1的图象不经过原点，则m的值为
．
2
根据幂函数定义以及图象性质可得结果.
由幂函数定义可知m2 + m −5 = 1，即m2 + m −6 = 0，
解得m = 2或m = −3；
当m = 2时，f (x) = x−1，不经过原点，符合题意；
当m = −3时，f (x) = x14，经过原点，不合题意，舍去；
所以m = 2.
故答案为：2
答案
解析
5
已知k ∈{−1, −1
3 , 1
2 , 1
3 , 2, 3}，若幂函数y = xk在区间(0, +∞)上是严格增函数，且函数图象关于原点中心对称，
则k的所有可能的值为
.
1
3 或3
根据幂函数性质，在(0，+ ∞)上单调递增，k > 0，再结合奇函数即可判断.
根据幂函数性质，因为幂函数在(0，+ ∞)上单调递增，所以k > 0,又因为函数图像关于原点对称，所以该幂
函数为奇函数,所以k的取值为1
3 或3.
答案
解析
3
故答案为：1
3 或3
6
函数y = ( 1
3 )
|x|
的单调递增区间是
.
(−∞, 0]（或 (−∞, 0)）
根据复合函数的单调性求解.
由t = |x|在(−∞, 0]上单调递减，在[0, +∞)上单调递增，
y = ( 1
3 )
t
在R上单调递减，
所以y = ( 1
3 )
|x|
在(−∞, 0]上单调递增.
故答案为：(−∞, 0]（或(−∞, 0)）
答案
解析
7
若函数f(x) = loga(x2 −ax + 1)有最小值，则a的取值范围是
．
(1, 2)
分$0<1$和a > 1两种情况讨论，根据外层函数的单调性、内层函数的最值以及真数恒大于零可得出关于实数a
的不等式组，由此可解出实数a的取值范围.当$0<1$时，外层函数y = logau为减函数，对于内层函数
u = x2 −ax + 1，Δ = a2 −4 < 0，则u > 0对任意的实数x恒成立，
由于二次函数u = x2 −ax + 1有最小值，此时函数f (x) = loga (x2 −ax + 1)没有最小值；
当a > 1时，外层函数y = logau为增函数，对于内层函数u = x2 −ax + 1，
函数u = x2 −ax + 1有最小值，若使得函数f (x) = loga (x2 −ax + 1)有最小值，
则{
，解得$1<2$.
综上所述，实数a的取值范围是(1, 2).
故答案为：(1, 2).
本题考查实数的取值范围的求法，考查对数函数的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思
想，是中档题．
答案
解析
Δ = a2 −4 < 0
a > 1
4
选择题
1
设函数f (x) = x + 4
x ，则（ ）
A. f (x)的最大值为−4
B. f (x)在(−∞, −2)上单调递增，在(−2, 0)上单调递减
C. f (x)的最小值为4
D. f (x)在(0, 2)上单调递增，在(2, +∞)上单调递减
B
作出函数f (x) = x + 4
x 的图象，逐项判断.
函数f (x) = x + 4
x 的定义域为{x|x ≠0}，其图象如下图所示：
由图象知：
A. f (x)无最大值，故错误；
B. f (x)在(−∞, −2)上单调递增，在(−2, 0)上单调递减，故正确；
C. f (x)无最小值，故错误；
D. f (x)在(0, 2)上单调递减，在(2, +∞)上单调递增，故错误；
故选：B
答案
解析
2
已知幂函数y1 = xa, y2 = xb, y3 = xc, y4 = xd 在第一象限的图象如图所示，则（ ）
5
A. a > b > c > d
B. b > c > d > a
C. d > b > c > a
D. c > b > d > a
B
由图象可知，当x = 2时，2a < 2d < 2c < 2b，则a < d < c < b
故选：B
答案
解析
3
农业农村部于2021年2月3日发布信息：全国按照主动预防、内外结合、分类施策、有效处置的总体要求，全面排查
蝗灾隐患.为了做好蝗虫防控工作，完善应急预案演练，专家假设蝗虫的日增长率为6%，最初有N0只，则大约经过
（ ）天能达到最初的1800倍.
A. 129
B. 150
C. 197
D. 199
A
设经过n天后蝗虫数量达到原来的1800倍，列出方程，结合对数的运算性质即可求解.
由题意可知，蝗虫最初有N0只且日增长率为6%，
设经过n天后蝗虫数量达到原来的1800倍，
则N0(1 + 6%)n
N0
= 1800，
∴1.06n = 1800，∴n = log1.06 1800 = ln 1800
ln 1.06 ≈128.6，
∵n ∈N∗，∴大约经过129天能达到最初的1800倍．
故选：A
答案
解析
6
解答题
1
（1）计算以下对数的值：2log23 + log9 25 log5 27；
（2）已知lg 2 = a，lg 3 = b，用a、b来表示log12 25.
（1） 6；（2） 2 −2a
2a + b
使用换底公式和对数运算性质得出答案即可.
（1）2log23 + log9 25 log5 27
= 3 + log3 5 log5 33
= 3 + 3 × lg 5
lg 3 × lg 3
lg 5
= 6；
（2）log12 25 = lg 25
lg 12 =
2 lg 5
lg 4 + lg 3 = 2 (1 −lg 2)
2 lg 2 + lg 3 = 2 −2a
2a + b
答案
解析
2
为了预防新型冠状病毒，唐徕回民中学对教室进行药熏消毒，室内每立方米空气中的含药量y（单位：毫克）随时
间x（单位：h）的变化情况如图所示，在药物释放过程中，y与x成正比，药物释放完毕后，y与x的函数关系式为
y = ( 1
16 )
x−a
（a为常数），根据图中提供的信息，回答下列问题：
7
(1)
写出从药物释放开始，y与x的之间的函数关系；
(2)
据测定，当空气中每立方米的含药量降低至0.25毫克以下时，学生方可进入教室，那么从药物释放开始，至
少需要经过多少小时后，学生才能回到教室．
(1)
y =
(2) 0.6
(1) 解：依题意，当0 ≤x ≤0.1时，可设y = kx，且1 = 0.1k，
解得k = 10
又由1 = ( 1
16 )
0.1−a
，解得a = 0.1，
所以y =
；
(2) 解：令( 1
16 )
a−0.1
< 0.25，即( 1
4 )
2a−0.2
< 1
4 ，
得2a −0.2 > 1，解得x > 0.6，
答案
⎧
⎨
⎩
10x, 0 ≤x ≤0.1
( 1
16 )
x−0.1
, x > 0.1
解析
⎧
⎨
⎩
10x, 0 ≤x ≤0.1
( 1
16 )
x−0.1
, x > 0.1
8
即至少需要经过0.6h后，学生才能回到教室．
3
已知函数f(x) = (a −2)x2 + 2(a −2)x −4
（1）若关于x的不等式f(x) ≤mx −7的解集为[1, 3]，求a, m的值；
（2）记不等式1
2 log 1
3
(x + 1) + log3(x −1) ≤0的解集为A，若x ∈A时，恒有f(x) < 0成立，求实数a的取值范围.
（1） {
（2） a < 34
15
(1)不等式f(x) ≤mx −7的解集为[1, 3]即(a −2)x2 + (2a −4 −m)x + 3 ≤0的解集为[1, 3]，根据二次不等式与
二次函数的关系可解.
(2)先求出集合A = (1, 3]，即f(x) = (a −2)x2 + 2(a −2)x −4 < 0在$1上恒成立.再由系数a −2的符号进行分
类讨论.(1) 不等式f(x) ≤mx −7的解集为[1, 3],
即(a −2)x2 + (2a −4 −m)x + 3 ≤0的解集为[1, 3].
所以a −2 > 0，1,3是方程(a −2)x2 + (2a −4 −m)x + 3 = 0的两个实数根.
则
，解得：{
.
(2)由不等式1
2 log 1
3
(x + 1) + log3(x −1) ≤0，得log3(x −1) ≤log3√x + 1
即
，得$1，即A = (1, 3].
若x ∈A时，恒有f(x) < 0成立
即f(x) = (a −2)x2 + 2(a −2)x −4 < 0在$1上恒成立.
当a = 2时，f(x) = −4 < 0，显然成立.
答案
a = 3
m = 6
解析
⎧
⎨
⎩
1 + 3 = −2a −4 −m
a −2
1 × 3 =
3
a −2
a = 3
m = 6
⎧
⎨
⎩
x −1 > 0
√x + 1 > 0
√x + 1 ≥x −1
9
当a > 2时，函数f(x)的对称轴为x = −1，且开口向上, f(x)在(1, 3]单调递增.
所以f(x)max = f(3) < 0，即f(3) = 9 (a −2) + 6 (a −2) −4 < 0，解得：a < 34
15 .
所以此时$2<\dfrac{34}{15}$
当a < 2时，函数f(x)的对称轴为x = −1，且开口向下, f(x)在(1, 3]单调递减.
$f(x)
当a < 2时，f(1) = 3 (a −2) −4 < 0成立
所以当a < 2时，f(x) < 0成立.
综上所述：若x ∈(1, 3]时，恒有f(x) < 0成立，实数a的取值范围a < 34
15 .
本题考查“三个”二次之间的关系，根据二次恒成立求参数的范围，考查分类讨论方法，属于难题.
