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第 50 讲 抽样方法与数字特征
一、抽样方法
1. 简单随机抽样
(1)定义：设一个总体含有 个个体，从中逐个不放回地抽取 个个体作为样本 ，如果每次抽取时
总体内的各个个体被抽到的机会都相等，就把这种抽样方法叫做简单随机抽样．
(2)最常用的简单随机抽样的方法：抽签法和随机数表法．
2. 分层抽样
(1)定义：在抽样时，将总体分成 互不交叉的层，然后按照一定的比例从各层独立地抽取一定数量的个
体，将各层取出的个体合在一起作为样本，这种抽样方法叫做分层抽样．
(2)分层抽样的应用范围：当总体是由差异明显的几个部分组成时，往往选用分层抽样．
二、总体分布特征数的估计
1. 总体特征数的估计
(1)中位数：把一组数据按从小到大的顺序排列,处在中间位置的一个数据或两个数据的平均数；
(2)众数：一组数据中重复出现次数最多的数；
(3)平均数：一组数据如果有n个数据 ,则平均数为 ；
(4)方差与标准差： ，标准差为 ；
(5)极差：一组数据中最大值与最小值之差.
2.频率分布直方图中的常见结论
(1)众数的估计值为最高矩形的中点对应的横坐标．
(2)平均数的估计值等于频率分布直方图中每个小矩形的面积乘以小矩形底边中点的横坐标之和．
(3)中位数的估计值的左边和右边的小矩形的面积和是相等的．
3.百分位数
(1)第 百分位数的定义:一般地,一组数据的第 百分位数是这样一个值,它使得这组数据中至少有 的数
据小于或等于这个值,且至少有 的数据大于或等于这个值.
(2)求第 百分位数的步骤:
第1步,按从小到大排列原始数据.
第2步,计算 .
第3步,若 不是整数,而大于 的比邻整数为 ,则第 百分位数为第 项数据;若 是整数,则第 百分位数为
第 项与第 项数据的平均数.(3)常用的分位数有第25百分位数,第50百分位数,第75百分位数,这三个分位数把一组由小到大排列后的数
据分成四等份,因此称为四分位数.其中第25百分位数也称为第一四分位数或下四分位数等,第75百分位数
也称为第三四分位数或上四分位数等.
三.常用结论
(1)分层抽样的均值与方差：
基本题型：对象 占 ，其均值与方差分别为 ；对象 占 ，其均值与方差分别为 ，
求对象 与 的均值 与方差 .
公式：均值为： ；方差为 .
(2)上述结论可用于分成两组的几个数据.
考点一 分层抽样问题
考点二 频率分布直方图问题
考点三 数字特征问题
考点四 其他图表问题
考点一：分层抽样问题
例1．（2023·陕西西安·校联考一模）某社区有1500名老年居民、2100名中青年居民和1800名儿童居民．
为了解该社区居民对社区工作的满意度，现采用分层抽样的方法从这些居民中抽取一个容量为n的样本，
若中青年居民比老年居民多抽取20人，则 （ ）
A．120 B．150 C．180 D．210
考点二：频率分布直方图问题
例2．（2023·西藏林芝·统考二模）某中学调查该校学生对新冠肺炎防控的了解情况，组织一次新冠肺炎防
控知识竞赛，从该学校1000名参赛学生中随机抽取100名学生，并统计这100名学生成绩的情况（满分
100分，其中90分及以上为优秀），得到样本频率分布直方图（如图），根据频率分布直方图估计，这
1000名学生中竞赛成绩为优秀的学生人数大约为（ ）A．40 B．60 C．80 D．100
例3．（2023·天津河北·统考二模）某校举行知识竞赛，对全校参赛的1000名学生的得分情况进行了统计，
把得分数据按 ， ， ， ， 分成5组，得到如图所示的频率分布直方图，
则下列说法不正确的是（ ）
A．图中的x值为0.020 B．得分在 的人数为400
C．这组数据的极差为50 D．这组数据的平均数的估计值为77
考点三：数字特征问题
例4．（2023·山东滨州·统考二模）某组样本数据的频率分布直方图如图所示，设该组样本数据的众数、平
均数、第一四分位数分别为 ， ， ，则 ， ， 的大小关系是（注：同一组中数据用该组区间中
点值近似代替）（ ）A． B． C． D．
例5．（2023·河南安阳·统考三模）小明在跨境电商平台上从国外购买了几件商品，这些商品的价格如果按
美元计，则平均数为20，方差为50，如果按人民币计（汇率按1美元 元人民币），则平均数和方差分
别为（ ）
A．20，50 B．140，350 C．140，700 D．140，2450
考点四：其他图表问题
例6．（2023·天津·校联考二模）某学校组建了演讲，舞蹈，航模，合唱，机器人五个社团，全校所有学生
每人都参加且只参加其中一个社团，校团委在全校学生中随机选取一部分学生（这部分学生人数少于全校
学生人数）进行调查，并将调查结果绘制了如下不完整的两个统计图，则（ ）
A．选取的这部分学生的总人数为1000人
B．选取的学生中参加机器人社团的学生数为80人
C．合唱社团的人数占样本总量的40%
D．选取的学生中参加合唱社团的人数是参加机器人社团人数的2倍
一、单选题1．某工厂生产甲、乙、丙、丁四种一同型号的产品，产量分别为200，400，300，100件，为检验产品质
量，现用分层抽样的方法从以上所有产品中抽取60件进行检验，则应从丙种型号的产品中抽取（ ）件
A．16 B．17 C．18 D．19
2．某公司员工对户外运动分别持“喜欢”“不喜欢”和“一般”三种态度，其中持“一般”态度的比持
“不喜欢”态度的多12人，采用按比例分配分层随机抽样方法从该公司全体员工中选出部分员工座谈，如
果选出的人中有6人对户外运动持“喜欢”态度，有1人对户外运动持“不喜欢”态度，有3人对户外运
动持“一般”态度，那么这个公司全体员工中对户外运动持“喜欢”态度的人数为（ ）
A．36 B．6 C．12 D．18
3．（2023·四川成都·三模）一次数学考试后，某班级平均分为110分，方差为 ．现发现有两名同学的成
绩计算有误，甲同学成绩被误判为113分，实际得分为118分；乙同学成绩误判为120分，实际得分为115
分．更正后重新计算，得到方差为 ，则 与 的大小关系为（ ）
A． B． C． D．不能确定
4．（2023·天津·二模）已知一组样本数据 ，现有一组新的数据 ，
，则与原样本数据相比，下列新的样本数据中不变的是（ ）
A．平均数 B．中位数
C．极差 D．方差
二、多选题
5．某市举行高三学生数学素养测试，现从全市3万名学生中随机抽取200学生的测试成绩，得到如图所示
的频率分布直方图，其中分组分组区间为 ，则下列说法正确的是
（ ）A．
B．估计该样本的均值是87.25分
C．估计该样本的第 百分位数是87.5分
D．若90分及以上评定为素养考核优秀，则全市数学素养优秀的学生约6000人
6．（2023·重庆·统考三模）教育部办公厅“关于进一步加强中小学生体质健康管理工作的通知”中指出，
各地要加强对学生体质健康重要性的宣传，中小学校要通过体育与健康课程、大课间、课外体育锻炼、体
育竞赛、班团队活动，家校协同联动等多种形式加强教育引导，让家长和中小学生科学认识体质健康的影
响因素．了解运动在增强体质、促进健康、预防肥胖与近视、锤炼意志、健全人格等方面的重要作用，提
高学生体育与健康素养，增强体质健康管理的意识和能力，某学校共有2000名男生，为了了解这部分学生
的身体发育情况，学校抽查了100名男生的体重情况．根据所得数据绘制样本的频率分布直方图如图所示，
则下列结论正确的是（ ）
A．样本的众数为 B．样本的中位数为
C．样本的平均值为66 D．该校男生体重超过70公斤的学生大约为600人
7．（2023·浙江·校联考二模）某学校为了调查学生某次研学活动中的消费支出情况，抽出了一个容量为n
的样本，其频率分布直方图如图所示，其中支出在50元到60元之间的学生有60人，则（ ）A．样本中消费支出在50元到60元之间的频率为0.3
B．样本中消费支出不少于40元的人数为132
C．n的值为200
D．若该校有2000名学生参加研学，则约有20人消费支出在20元到30元之间
8．（2023·安徽·校联考三模）在某市高三年级举行的一次模拟考试中，某学科共有20000人参加考试．为
了了解本次考试学生成绩情况，从中抽取了部分学生的成绩（成绩均为正整数，满分为100分）作为样本
进行统计，样本容量为n，按照 ， ， ， ， 的分组作出频率分布直方
图如图所示．其中，成绩落在区间 内的人数为16．则下列结论正确的是（ ）
A．图中
B．样本容量
C．估计该市全体学生成绩的平均分为70.6分
D．该市要对成绩前25%的学生授予“优秀学生”称号，则授予“优秀学生”称号的学生考试成绩大约至
少为77.25分
9．（2023·广东茂名·统考二模）2023年2月28日，国家统计局发布中华人民共和国2022年国民经济和社
会发展统计公报，如图是该公报中关于2018年~2022年国内生产总值及其增长速度的统计图，下列说法正确的是（ ）
A．近五年的国内生产总值逐年递增，近三年均已超过1000000亿元
B．2017年的国内生产总值低于800000亿元
C．近五年的国内生产总值增长速度的平均数为5.26%
D．近五年的国内生产总值的极差为290926亿元
10．（2023·山东济南·统考三模）某学校组建了辩论､英文剧场､民族舞､无人机和数学建模五个社团，高一
学生全员参加，且每位学生只能参加一个社团.学校根据学生参加情况绘制如下统计图，已知无人机社团和
数学建模社团的人数相等，下列说法正确的是（ ）
A．高一年级学生人数为120人
B．无人机社团的学生人数为17人
C．若按比例分层抽样从各社团选派20人，则无人机社团选派人数为3人
D．若甲､乙､丙三人报名参加社团，则共有60种不同的报名方法
11．（2023·安徽蚌埠·统考三模）某地区经过2022年的新农村建设，农村的经济收入增加了一倍，实现翻
番，为更好地了解该地区农村的经济收入变化情况，统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比
例，得到如下饼图：则下面结论中正确的是（ ）A．新农村建设后，种植收入增加
B．新农村建设后，其他收入是原来的1.25倍
C．新农村建设后，养殖收入增加了一倍
D．新农村建设后，其他收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的
12．习近平总书记强调，要坚持健康第一的教育理念，加强学校体育工作，推动青少年文化学习和体育锻
炼协调发展．某学校对高一年级学生每周在校体育锻炼时长（单位：小时）进行了统计，得到如下频率分
布表：
分组 [2，3) [3，4) [4，5) [5，6)
频率 0.25 0.30 0.20 0.25
则下列关于高一年级学生每周体育锻炼时长有关的说法正确的有（ ）
A．众数大约为2.5 B．中位数大约为4
C．平均数大约为3.95 D．第80百分位数大约为5.2
13．（2023·辽宁朝阳·校联考一模）给定数5，4，3，5，3，2，2，3，1，2，则这组数据的（ ）
A．中位数为3 B．方差为
C．众数为3 D． 分位数为4.5
14．（2023·山西晋中·统考三模）ChatGPT是OpenAI公司推出的一种人工智能聊天机器人，不仅能流畅对
话，还能写诗、撰文、编码等．一经推出，便受到广泛关注，并产生了丰富的社会应用．某调查机构为了
解美国大学生用ChatGPT代写作业的学生比例，对8所高校进行了调查，其中6所学校给出了代写作业的
学生占比，将数据从小到大依次排列为：71%、75%、77%、80%、82%、85%，另外两所学校以侵犯隐私
为由拒绝给出调查数据，那么这8所学校使用ChatGPT代写作业的学生比例的中位数可能是（ ）
A．76% B．77.5% C．80% D．81.5%
三、填空题
15．一个总体分为 两层，用分层抽样方法从总体中抽取一个容量为 的样本．已知 层中每个个体被抽到的概率都是 ，则总体中的个体数为________．
16．某学校有男生400人，女生600人.为了调查该校全体学生每天睡眠时间，采用分层抽样的方法抽取样
本，计算得男生每天睡眠时间均值为7.5小时，方差为1，女生每天睡眠时间为7小时，方差为0.5.若男、
女样本量按比例分配，则可估计总体方差为__________.
17．某学校共有学生2000人，其中高一800人，高二、高三各600人，学校对学生在暑假期间每天的读书
时间做了调查统计，全体学生每天的读书时间的平均数为 ，方差为 ，其中三个年级学生每
天读书时间的平均数分别为 ， ， ，又已知高一年级、高二年级每天读书时间的方差
分别为 ， ，则高三学生每天读书时间的方差 ________.
四、解答题
18．随着老年人消费需求从“生存型”向“发展型”转变．消费层次不断提升，“银发经济”成为社会热
门话题之一，被各企业持续关注.某企业为了解该地老年人消费能力情况，对该地年龄在 的老年人
的年收入按年龄 ， 分成两组进行分层抽样调查，已知抽取了年龄在 的老年人500人．
年龄在 的老年人300人．现作出年龄在 的老年人年收入的频率分布直方图（如下图所示）．
(1)根据频率分布直方图，估计该地年龄在 的老年人年收入的平均数及第95百分位数；(2)已知年龄在 的老年人年收入的方差为3，年龄在 的老年人年收入的平均数和方差分别为
3.75和1.4，试估计年龄在 的老年人年收入的方差．
19．（2023·河南安阳·统考三模）某市为了制定合理的节水方案，对居民用水情况进行了调查.经过随机抽
样，获得200户居民的年用水量（单位：吨）数据，按
分成九组，制成如图所示的频率分布直
方图：
(1)求直方图中 的值；
(2)根据频率分布直方图估计该市 的居民年用水量不超过 吨，求 的值；
(3)已知该市有100万户居民，规定：每户居民年用水量不超过50吨的正常收费，若超过50吨，则超出的
部分每吨收1元水资源改善基金，请估计该市居民每年缴纳的水资源改善基金总数约为多少.（每组数据以
所在区间的中点值为代表）
20．某校为了解高一学生在五一假期中参加社会实践活动的情况，抽样调查了其中的100名学生，统计他
们参加社会实践活动的时间（单位：小时），并将统计数据绘制成如图的频率分布直方图．
(1)估计这100名学生在这个五一假期中参加社会实践活动的时间的众数，中位数，平均数；
(2)估计这100名学生在这个五一假期中参加社会实践活动的时间的75百分位数（结果保留两位小数）．
