第九章 统计与成对数据的统计分析综合测试卷
（新高考专用）
（考试时间：120分钟；满分：150分）
注意事项：
1.本试卷分第I卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填
写在答题卡上。
2.回答第I卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用
橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。
3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第 I 卷（选择题）
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要
求的。
1．（5分）（2024·全国·二模）样本数据12，8，32，10，24，22，12，33的第60百分位数为（ ）
A．8 B．12 C．22 D．24
【解题思路】根据给定条件，利用第60百分位数的定义求解即得.
【解答过程】样本数据12，8，32，10，24，22，12，33，按从小到大排序为8，10，12，12，22，24，
32，33，
由8×60%=4.8，得样本数据的第60百分位数为升序排列的第五个数，即22.
故选：C.
2．（5分）（2024·四川凉山·三模）调查某校高三学生的身高x和体重y得到如图所示散点图，其中身高x
和体重y相关系数r=0.8255，则下列说法正确的是（ ）
A．学生身高和体重没有相关性
B．学生身高和体重呈正相关
C．学生身高和体重呈负相关D．若从样本中抽取一部分，则这部分的相关系数一定是0.8255
【解题思路】由散点图的特点可分析相关性的问题，从而判断选项ABC，根据相关系数的定义可判断选项D.
【解答过程】由散点图可知，散点的分布集中在一条直线附近，
所以学生身高和体重具有相关性，A不正确；
又身高x和体重y的相关系数为r=0.8255，相关系数r>0，
所以学生身高和体重呈正相关，B正确，C不正确；
从样本中抽取一部分，相关性可能变强，也可能变弱，所以这部分的相关系数不一定是0.8255，D不正确.
故选：B.
3．（5分）（2024·江苏南京·模拟预测）给出下列说法，其中正确的是（ ）
A．某病8位患者的潜伏期（天）分别为3，3，8，4，2，7，10，18，则它们的第50百分位数为4
B．已知数据x ,x ,⋯的平均数为2，方差为3，那么数据2x +1，2x +1，⋯的平均数和方差分别为
1 2 1 2
5，13
C．在回归直线方程^y=0.25x+1.5中，相对于样本点(2,1.2)的残差为−0.8
D．样本相关系数r∈(−1,1)
【解题思路】根据百分位数的概念可判断A的真假；根据两组相关数据的平均数和方差的计算方法判断B
的真假；计算残差判断C的真假；根据相关系数的取值范围判断D.
【解答过程】对A：将3，3，8，4，2，7，10，18由小到大排列为2，3，3，4，7，8，10，18，第50百
1
分位数即为中位数，这组数的中位数为 ×(4+7)=5.5，所以A错误；
2
对B：由数据x ,x ,⋯的平均数为2，方差为3，则数据2x +1，2x +1，⋯的平均数为2×2+1=5，方
1 2 1 2
差为22×3=12，所以B错误；
对C：残差e^ = y −^y = y −b^x −a^=1.2−0.25×2−1.5=−0.8，故C正确；
i i i i i
对D：样本的相关系数应满足−1≤r≤1，所以D错误．
故选：C.
4．（5分）（2024·四川乐山·三模）为了解某中学三个年级的学生对食堂饭菜的满意程度，用分层随机抽
样的方法抽取30%的学生进行调查，已知该中学学生人数和各年级学生的满意率分别如图1和图2所示，
则样本容量和抽取的二年级学生中满意的人数分别为（ ）A．800，360 B．600，108 C．800，108 D．600，360
【解题思路】由扇形图求出三个年级的学生总人数，进而求出样本容量，求出抽取的二年级学生人数，再
结合二年级学生的满意率求解.
【解答过程】由扇形图可知，三个年级的学生总人数为400+600+1000=2000人，
所以样本容量为2000×30％=600人，
因为抽取的二年级学生人数为600×30％=180人，
所以抽取的二年级学生中满意的人数为180×60％=108人.
故选：B.
5．（5分）（2024·河南驻马店·二模）电影《孤注一掷》的上映引发了电信诈骗问题的热议，也加大了各
个社区反电信诈骗的宣传力度.已知某社区共有居民480人，其中老年人200人，中年人200人，青少年80
人，若按年龄进行分层随机抽样，共抽取36人作为代表，则中年人比青少年多（ ）
A．6人 B．9人 C．12人 D．18人
【解题思路】根据题意可以计算出分层随机抽样的抽样比例，进而计算出中年人和青年人的人数，进而可
以知道中年人比青少年多多少个.
200 x 80 y
【解答过程】设中年人抽取x人，青少年抽取y人，由分层随机抽样可知 = , = ，
480 36 480 36
解得x=15,y=6，故中年人比青少年多9人.
故选:B.
6．（5分）（2024·天津河北·二模）云计算是信息技术发展的集中体现，近年来，我国云计算市场规模持
续增长. 已知某科技公司2018年至2022年云计算市场规模数据，且市场规模y与年份代码x的关系可以用
模型y=c ec 2 x （其中e为自然对数的底数）拟合，设z=ln y，得到数据统计表如下：
1
年份 2018年 2019年 2020年 2021年 2022年
1 2 3 4 5
年份代码x
z=ln y 2 2.4 3 3.6 4
由上表可得经验回归方程z=0.52x+a^，则2026年该科技公司云计算市场规模y的估计值为（ ）
（参考公式：a^=z−b^x）
A．e5.08 B．e5.6 C．e6.12 D．e6.5
【解题思路】根据a=z−b^x可得线性回归方程，再由回归方程求出2026年z的预测值，代入z=ln y即可
得解.
【解答过程】因为x=3,z=3,
所以a=z−0.52x=3−3×0.52=1.44,
即经验回归方程z=0.52x+1.44,
当x=9时，z=0.52×9+1.44=6.12,
所以y=ez=e6.12,
即2026年该科技公司云计算市场规模y的估计值为e6.12.
故选：C.
7．（5分）（2024·四川宜宾·模拟预测）为了加深师生对党史的了解，激发广大师生知史爱党､知史爱国的
热情，某校举办了“学党史､育新人”的党史知识竞赛，并将1000名师生的竞赛成绩（满分100分，成绩
取整数）整理成如图所示的频率分布直方图，则下列说法错误的是（ ）
A．a的值为0.005
B．估计这组数据的众数为75分
C．估计成绩低于60分的有250人
235
D．估计这组数据的中位数为 分
3
【解题思路】对A，根据频率和为1求解即可；对B，根据频率分布直方图的众数判断即可；对C，计算
成绩低于60分的频率，进而可得人数；对D，根据成绩低于中位数的频率为0.5计算即可.
【解答过程】对A，由题意，10×(2a+3a+3a+6a+5a+a)=1，解得a=0.005，故A正确；70+80
对B，由直方图可得估计这组数据的众数为 =75分，故B正确；
2
对C，由直方图可得成绩低于60分的频率为10×(0.01+0.015)=0.25，故估计成绩低于60分的有
1000×0.25=250人，故C正确；
对D，由A可得区间[40,50),[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100)的频率分别为
0.1,0.15,0.15,0.3,0.25,0.05，
因为0.1+0.15+0.15+0.3>0.5，0.1+0.15+0.15<0.5，故中位数位于[70,80)内.
220
设中位数为x，则0.1+0.15+0.15+0.03×(x−70)=0.5，解得x= ，故D错误.
3
故选：D.
8．（5分）（2024·四川成都·三模）有甲、乙两个班级进行数学考试，按照大于等于85分为优秀，85分
以下为非优秀统计成绩，得到如下所示的列联表：
优
非优秀
秀
甲班 10 b
乙班 c 30
n(ad−bc) 2
附：K2= （n=a+b+c+d），
(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)
P(K2≥k )0.05 0.025 0.010 0.005
0
k 3.841 5.024 6.635 7.879
0
2
已知在全部105人中随机抽取1人，成绩优秀的概率为 ，则下列说法正确的是（ ）
7
A．甲班人数少于乙班人数
B．甲班的优秀率高于乙班的优秀率
C．表中c的值为15，b的值为50
D．根据表中的数据，若按97.5%的可靠性要求，能认为“成绩与班级有关系”
【解题思路】根据条件解出b=45，c=20，然后直接计算即可判断A，B，C错误，使用K2的计算公式计
算K2，并将其与5.024比较，即可得到D正确.
10+c 2
【解答过程】对于C，由条件知10+b+c+30=105， = ，故b+c=65，10+c=30.
105 7
所以b=45，c=20，故C错误；对于A，由于甲班人数为10+b=10+45=55，
乙班人数为c+30=20+30=50<55，故A错误；
10 2 20 2 2
对于B，由于甲班优秀率为 = ，乙班优秀率为 = > ，故B错误；
55 11 50 5 11
105⋅(45×20−10×30) 2
对于D，由于K2= ≈6.109>5.024，故D正确.
55⋅50⋅30⋅75
故选：D.
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的
要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
9．（6分）（2024·四川遂宁·模拟预测）某科技企业为了对一种新研制的专利产品进行合理定价，将该产
品按事先拟定的价格进行试销，得到如下数据：
单价x
40 50 60 70 80 90
（元）
销量y
50 44 43 m 35 28
（件）
由表中数据，求得经验回归方程为^y=−0.4x+66，则下列说法正确的是（ ）
A．产品的销量与单价成负相关
B．m=40
C．若单价为50元时，估计其销量为44件
D．为了获得最大的销售额（销售额=单价×销量)，单价应定为70元或80元
【解题思路】由回归系数b^=−0.4<0，可得判定A正确；求得样本中心，代入回归方程，求得m的值，可
得判定B正确；令x=50，求得^y=46，可得判定C不正确；根据题意，得出销售额的函数，结合二次函
数的性质，可得判定D不正确.
【解答过程】对于A中，由回归方程^y=−0.4x+66，可得回归系数b^=−0.4<0，
所以产品的销量与单价成负相关，所以A正确；
1 130
对于B中，由表格中的数据，可得x= (40+50+60+70+80+90)= ，
6 2
1 200+m 130 200+m
y= (50+44+43+m+35+28)= ，即样本中心为( , )，
6 6 3 6
130 200+m 200+m 130
将( , )代入回归直线方程，都可 =−0.4× +66，
2 6 6 2
解得m=40，所以B正确；
对于C中，由回归方程^y=−0.4x+66，令x=50，可得^y=−0.4×50+66=46，即单价为50元时，估计其销量为46件，所以C不正确；
对于D中，设销售额为z，
可得z=x(−0.4x+66)=−0.4x2+66x=−0.4(x−82.5) 2+2722.5，
所以为了获得最大的销售额，单价应定位82.5元，所以D错误.
故选：AB.
10．（6分）（2024·广东肇庆·模拟预测）在一次射击比赛中，甲、乙两名选手的射击环数如下表，则下列
说法正确的是（ ）
甲 乙
87 90 96 91 86 90 86 92 87 95
A．甲选手射击环数的极差小于乙选手射击环数的极差
B．甲选手射击环数的平均数等于乙选手射击环数的平均数
C．甲选手射击环数的方差大于乙选手射击环数的方差
D．甲选手射击环数的第75百分位数大于乙选手射击环数的第75百分位数
【解题思路】通过极差、平均数、方差、第75百分位数的计算即可求解
【解答过程】甲选手射击环数从小到大排列：86，87，90，91，96，则甲选手射击环数的：
极差等于96−86=10；
1
平均数等于 ×(86+87+90+91+96)=90；
5
1
方差等于
×[(86−90) 2+(87−90) 2+(90−90) 2+(91−90) 2+(96−90) 2)=12.4；
5
第75百分位数等于91.
乙选手射击环数从小到大排列：86，87，90，92，95，则乙选手射击环数的：
极差等于95−86=9；
1
平均数等于 ×(86+87+90+92+95)=90；
5
1
方差等于
×[(86−90) 2+(87−90) 2+(90−90) 2+(92−90) 2+(95−90) 2)=10.8；
5
第75百分位数等于92.
综上可知，BC选项正确，AD选项错误.
故选：BC.
11．（6分）（2024·河南·模拟预测）某研究机构为了探究过量饮酒与患疾病A真否有关，调查了400人，得到如图所示的2×2列联表，其中b=12a，则（ ）
患疾病 不患疾病 合计
A A
过量饮酒 3a b
不过量饮 a 2b
酒
合计 400
n(ad−bc) 2
参考公式与临界值表：χ2=
(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)
α 0.100 0.050 0.010 0.001
x 2.706 3.841 6.635 10.828
α
A．任意一人不患疾病A的概率为0.9
3
B．任意一人不过量饮酒的概率为
8
24
C．任意一人在不过量饮酒的条件下不患疾病A的概率为
25
D．依据小概率值α=0.001的独立性检验，认为过量饮酒与患疾病A有关
【解题思路】先求出a=10,b=120，利用古典概型概率公式求解判断AB，利用条件概率概念求解判断
C，求出χ2的观测值，即可判断D.
【解答过程】由已知得4a+3b=400，又b=12a，所以a=10,b=120.
3b
任意一人不患疾病A的概率为 =0.9，所以A正确；
400
a+2b 5
任意一人不过量饮酒的概率为 = ，所以B错误；
400 8
2b 24
任意一人在不过量饮酒的条件下不患疾病A的概率为 = ，所以C正确；
a+2b 25
对于D，2×2列联表如下：
患疾病 不患疾病
合计
A A
过量饮酒 30 120 150
不过量饮
10 240 250
酒合计 40 360 400
400×(30×240−120×10) 2 80
则χ2的观测值χ2= = ≈26.67，由于26.67>10.828，
40×360×150×250 3
依据小概率值α=0.001的独立性检验，认为过量饮酒与患疾病A有关，所以D正确.
故选：ACD.
第 II 卷（非选择题）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．（5分）（2024·陕西安康·模拟预测）杭州亚运会期间，某社区有200人参加协助交通管理的志愿团队，
为了解他们参加这项活动的感受，用按比例分配的分层抽样的方法随机抽取了一个容量为40的样本，若样
本中女性有16人，则该志愿团队中的男性人数为 120 .
【解题思路】根据题意，结合分层抽样的概念和计算方法，即可求解.
40−16
【解答过程】根据题意，结合分层抽样的概念及运算，可得愿团队中的男性人数为200× =120.
40
故答案为：120.
13．（5分）（2024·上海·模拟预测）已知样本x ,x ,⋅⋅⋅⋅⋅⋅,x 的平均数为2，方差为2023，则
1 2 2024
x2,x2,⋅⋅⋅⋅⋅⋅,x2 的平均数为 2027 .
1 2 2024
【解题思路】根据题意，利用数据的平均数和方差的计算公式，准确运算，即可求解.
x +x +⋅⋅⋅+x
【解答过程】由题意，可得 1 2 2024=2，所以x +x +⋅⋅⋅+x =4048，
2024 1 2 2024
(x −2) 2+(x −2) 2+⋅⋅⋅+(x −2) 2
又由 1 2 2024 =2023，
2024
即x2+x2+⋅⋅⋅+x2 −4(x +x +⋅⋅⋅+x )+22×2024=2023×2024，
1 2 2024 1 2 2024
x2+x2+⋅⋅⋅+x2
所以 1 2 2024=2027.
2024
故答案为：2027.
14．（5分）（2024·重庆·三模）对具有线性相关关系的变量x,y有一组观测数据
(x ,y )(i=1,2...10),x=5,y=−4，其经验回归方程^y=−3.2x+a^，则在样本点(3,2.9)处的残差为 0.5
i i
.【解题思路】利用样本中心在回归直线上及残差的定义即可求解.
【解答过程】将x=5,y=−4代入^y=−3.2x+a^，得−4=−3.2×5+a^，解得a^=12，
所以^y=−3.2x+12，
故当x=3时，^y=−3.2×3+12=2.4，
所以残差e=2.9−2.4=0.5.
故答案为：0.5.
四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。
15．（13分）（23-24高一下·云南昆明·阶段练习）某校高中年级举办科技节活动，开设A，B两个会场，
其中每个同学只能去一个会场且25%的同学去A会场，剩下的同学去B会场.已知A，B会场学生年级及比
例情况如下表所示：
高
高一 高三
二
A会场 50% 40% 10%
B会场 40% 50% 10%
记该校高一、高二、高三年级学生所占总人数的比例分别为x，y，z，利用分层随机抽样的方法从参加活
动的全体学生中抽取一个容量为n的样本.
(1)求x:y:z的值；
(2)若抽到的B会场的高二学生有150人，求n的值以及抽到的A会场高一、高二、高三年级的学生人数.
【解题思路】（1）设该校高一、高二、高三年级的人数分别为a，b，c，列表表示出去A,B会场的各年级
人数，由此可得比例x:y:z.
（2）由B会场的高二学生人数求得样本容量n，按比例求得抽到的A会场高一、高二、高三年级的学生人
数．
【解答过程】（1）设该校高一、高二、高三年级的人数分别为a，b，c，
则去A会场的学生总数为0.25(a+b+c)，去B会场的学生总数为0.75(a+b+c)，
则对应人数如下表所示：
高一 高二 高三
A会场 0.125(a+b+c0).1(a+b+c) 0.025(a+b+c)
B会场 0.3(a+b+c) 0.375(a+b+c)0.075(a+b+c)
则x:y:z=0.425(a+b+c):0.475(a+b+c):0.1(a+b+c)=17:19:4.
（2）依题意，n×0.75×0.5=150，解得n=400，则抽到的A会场的学生总数为100人，所以高一年级人数为100×50%=50，高二年级人数为100×40%=40，高三年级人数为100×10%=10.
16．（15分）（2024·全国·模拟预测）氮氧化物是一种常见的大气污染物，它是由氮和氧两种元素组成的
化合物，有多种不同的形式．下图为我国2014年至2022年氮氧化物排放量（单位：万吨）的折线图，其
中，年份代码1～9分别对应年份2014～2022．
9 √ 9 9
计算得∑ y =12200，❑∑(y −y) 2=1125，∑t y =52640．
i i i i
i=1 i=1 i=1
(1)是否可用线性回归模型拟合y与t的关系？请用折线图和相关系数加以说明；
(2)是否可用题中数据拟合得到的线性回归模型预测2023年和2033年的氮氧化物排放量？请说明理由．
n
∑(t −t)(y −y)
i i
附：相关系数r= i=1 ，❑√15≈3.87．
n n
∑(t −t) 2∑(y −y) 2
i i
i=1 i=1
【解题思路】（1）结合参考数据，求出相关系数，进而可以得出结论；
（2）2023年与题设数据的年份较接近，可以用回归模型预测2023年的氮氧化物排放量，2033年与题设数
据的年份相距过远，而影响氮氧化物排放量的因素有很多，不可以预测2033年的氮氧化物排放量.
【解答过程】（1）从折线图看，各点近似落在一条直线附近，因而可以用线性回归模型拟合y与t的关系．
9 9
因为∑(t −t) 2=∑(i−5) 2=60，所以该组数据的相关系数
i
i=1 i=1
9 9
∑❑(t −t)(y −y) ∑❑t y −9t y
i i i i
52640−5×12200
r= i=1 = i=1 = ≈−0.96．
√ 9 9 √ 9 2❑√15×1125
❑∑❑(t −t) 2∑❑(y −y) 2 2❑√15× ❑∑❑(y −y) 2
i i i
i=1 i=1 i=1
|r)>0.95，因而可以用线性回归模型拟合y与t的关系．
（2）可以用回归模型预测2023年的氮氧化物排放量，但不可以预测2033年的氮氧化物排放量，理由如下：①2023年与题设数据的年份较接近，因而可以认为，短期内氮氧化物的排放量将延续（1）中的线性趋势，
故可以用（1）中的回归模型进行预测；
②2033年与题设数据的年份相距过远，而影响氮氧化物排放量的因素有很多，这些因素在短期内可能保持，
但从长期角度看很有可能会变化，因而用（1）中的回归模型预测是不准确的．
17．（15分）（2024·宁夏银川·一模）滨海盐碱地是我国盐碱地的主要类型之一，如何利用更有效的方法
改造这些宝贵的土地资源，成为摆在我们面前的世界级难题．对盐碱的治理方法，研究人员在长期的实践
中获得了两种成本差异不大，且能降低滨海盐碱地30-60cm土壤层可溶性盐含量的技术，为了对比两种技
术治理盐碱的效果，科研人员在同一区域采集了12个土壤样本，平均分成A、B两组，测得A组土壤可溶
性盐含量数据样本平均数x =0.82，方差s2 =0.0293，B组土壤可溶性盐含量数据样本平均数x =0.83，
1 x 2
1
方差s2 =0.1697．用技术1对A组土壤进行可溶性盐改良试验，用技术2对B组土壤进行可溶性盐改良试验，
x
2
分别获得改良后土壤可溶性盐含量数据如下：
A组
0.66 0.68 0.69 0.71 0.72 0.74
y
1
B组
0.46 0.48 0.49 0.49 0.51 0.51
y
2
改良后A组、B组土壤可溶性盐含量数据样本平均数分别为y 和y ，样本方差分别记为s2 和s2
1 2 y y
1 2
(1)求y ,y ,s2 ,s2 ；
1 2 y y
1 2
(2)应用技术1与技术2土壤可溶性盐改良试验后，土壤可溶性盐含量是否有显著降低？（若
√s2+s2
|x −y )>2❑ x i y i,i=1,2，则认为技术i能显著降低土壤可溶性盐含量，否则不认为有显著降低）．
i i 6
【解题思路】（1）借助平均数与方差公式计算即可得；
2
√s2 +s2 (√s2 +s2 )
（2）计算出|x 1 −y 1 )、2❑ x 1 y 1 、|x 2 −y 2 ) 2 与 ❑ x 2 y 2 即可得.
6 6
1
【解答过程】（1）y = (0.66+0.68+0.69+0.71+0.72+0.74)=0.70，
1 61
S2 = [(0.66−0.70) 2+(0.68−0.70) 2+(0.69−0.70) 2+(0.71−0.70) 2+(0.72−0.70) 2+(0.74−0.70) 2)
y 1 6
=0.0007，
1
y = (0.46+0.48+0.49+0.49+0.51+0.51)=0.49，
2 6
1
S2 = [(0.46−0.49) 2+(0.48−0.49) 2+(0.49−0.49) 2+(0.49−0.49) 2+(0.51−0.49) 2+(0.51−0.49) 2)
y 2 6
=0.0003.
2
( √s2 +s2 )
（2）当i=1时，|x 1 −y 1 ) 2=0.0144， 2❑ x 1 y 1 =0.02，
6
∵0.0144<0.02，
√s2 +s2
∴|x −y )<2❑ x 1 y 1 ，
1 1 6
∴应用技术1后，土壤可溶性盐含量没有显著降低，
2
(√s2 +s2 )
当i=2时，|x 2 −y 2 ) 2=0.1156， ❑ x 2 y 2 ≈0.1133，
6
∵0.1156>0.1133，
√s2 +s2
∴|x −y )>2❑ x 2 y 2 ，
2 2 6
∴应用技术2后，土壤可溶性盐含量显著降低．
18．（17分）（2024·福建南平·模拟预测）某大型商场的所有饮料自动售卖机在一天中某种饮料的销售量
y（单位：瓶）与天气温度x（单位：℃）有很强的相关关系，为能及时给饮料自动售卖机添加该种饮料，
该商场对天气温度x和饮料的销售量y进行了数据收集，得到下面的表格：
1 2
x 15 25 30 35 40
0 0
6 409
y 4 16 256 2048 8192
4 6
经分析，可以用y=a⋅2kx作为y关于x的经验回归方程．
(1)根据表中数据，求y关于x的经验回归方程(结果保留两位小数)；
(2)若饮料自动售卖机在一天中不需添加饮料的记1分，需添加饮料的记2分，每台饮料自动售卖机在一天1
中需添加饮料的概率均为 ，在商场的所有饮料自动售卖机中随机抽取3台，记总得分为随机变量X，求
3
X的分布列与数学期望．
参考公式及数据：对于一组数据(x ,y ),(x ,y ),⋯,(x ,y )，经验回归方程^y=b^x+a^的斜率和截距的最
1 1 2 2 n n
n
∑(x −x)(y −y)
i i 7
小二乘估计公式分别为b^= i=1 ,a^= y−b^x;x=25,∑❑(x −x) 2=700
n i
∑(x −x) 2 i=1
i
i=1
27
【解题思路】（1）设z=log y,m=log a，转化为z=kx+m，利用最小二乘法，求得k^= ≈0.39，求
2 2 70
得a^≈2−1.64，进而得到y关于x的经验回归方程；
（2）根据题意，得到变量X的可能取值为3,4,5,6，利用独立重复试验的概率公式，求得相应的概率，列
出分布列，结合期望的公式，即可求解.
【解答过程】（1）解：设z=log y,m=log a，由y=a⋅2kx，可得z=log y=kx+log a=kx+m，
2 2 2 2
因为log 4=2,log 16=4,log 64=6，log 256=8,log 2048=11,log 4096=12，
2 2 2 2 2 2
2+4+6+8+11+12+13
log 8192=13，所以z= =8，
2 7
10+15+20+25+30+35+40
由表中的数据可得x= =25，
7
7
则∑❑x z −7xz=10×2+15×4+20×6+25×8+30×11+35×12+40×13−7×25×8=270，
i i
i=1
7 7
∑(x −x)(z −z) ∑ x z −nxz
i i i i
270 27
所以k^= i=1 = i=1 = = ≈0.39，
7 7 700 70
∑(x −x) 2 ∑(x −x) 2
i i
i=1 i=1
27
则m^=z−k^x=8− ×25≈−1.64，可得a^=2m^≈2−1.64，
70
^
所以y关于x的经验回归方程为y=2−1.64 ⋅20.39x=20.39x−1.64.
（2）解：由题意，随机变量X的可能取值为3,4,5,6，可得P(X=3)=
(2) 3
=
8
，P(X=4)=C1×
(2) 2
×
1
=
4
，
3 27 3 3 3 9
P(X=5)=C2×
2
×
(1) 2
=
2
，P(X=6)=
(1) 3
=
1
，
3 3 3 9 3 27
所以变量X的分布列为
X 3 4 5 6
8 4 2 1
P
27 9 9 27
8 4 2 1
所以，期望为E(X)=3× +4× +5× +6× =4.
27 9 9 27
19．（17分）（2024·陕西西安·模拟预测）“民政送温暖，老人有饭吃”．近年来，各级政府，重视提高
老年人的生活质量．在医疗、餐饮等多方面，为老人提供了方便．单从用餐方面，各社区，创建了“爱心
食堂”、“爱心午餐”、“老人食堂”等等不同名称的食堂，解决了老人的吃饭问题．“爱心食堂A”为了
更好地服务老人，于3月28日12时，食堂管理层人员对这一时刻用餐的118人，对本食堂推出的15种菜
品按性价比“满意”和“不满意”作问卷调查，其中，有13人来食堂用餐不足5次，另有儿童5人，他们
对菜品不全了解，不予问卷统计，在被问卷的人员中男性比女性多20人．用餐者对15种菜品的性价比认
为“满意”的菜品数记为x(0≤x≤15,x∈N)，当x≥12时，认为该用餐者对本食堂的菜品“满意”，否
则，认为“不满意”.统计结果部分信息如下表：
满意 不满意 合计
男 40
女 20
合计
(1)①完成上面2×2列联表；
②能有多大（百分比）的把握认为用餐者对本食堂菜品的性价比是否满意与性别有关？
(2)用分层抽样在对菜品的性价比“满意”的人群中抽取6人，再从这6人中随机抽取3人，用X表示抽取
的3人中的男性人数，求X的分布列和期望．
n(ad−bc) 2
附：参考公式和临界值表k2= ，其中，n=a+b+c+d．
(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)
P(k2≥k )0.100 0.050 0.010 0.001
0k 2.706 3.841 6.635 10.828
0
【解题思路】（1）①依题意补全列联表；②计算k2值和临界值比较，得到把握性；
（2）根据分层抽样，得到男性4人和女性2人，从而可知X的可能取值为1,2,3，再利用古典概型求出相
应取值的概率，即可求出分布，再利用期望的计算公式，即可求解.
【解答过程】（1）①由题意，问卷调查人数为118−(13+5)=100（人），其中，男性60人，女性40人，
得完整2×2列联表如下表：
满意 不满意 合计
男 40 20 60
女 20 20 40
吕计 60 40 100
100×(40×20−20×20) 2
②k2= ≈2.778，而2.706<2.778<3.841．
60×40×60×40
所以有90%的把握认为用餐者对本食堂菜品的性价比是否满意与性别有关．
（2）由（1）知，对菜品的性价比“满意”的人群中有40名男性和20名女性，用分层抽样分别抽取男性
4人和女性2人，
易知X的可能取值为1,2,3，
C1C2
4 1
C2C1
12 3
P(X=1)= 4 2 = = ，P(X=2)= 4 2 = = ，
C3 20 5 C3 20 5
6 6
C3
4 1
P(X=3)= 4 = = ，
C3 20 5
6
所以X的分布列为
X 1 2 3
1 3 1
P
5 5 5
.
