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专题02 数列大题综合(新高考浙江专用)
一、解答题
1．（2023·浙江绍兴·统考模拟预测）已知数列 ， 的前n项和分别为 ， ，
且 ， ，当 时，满足 ．
(1)求 ；
(2)求 ．
【答案】(1) ；
(2) .
【分析】（1）由条件结合 与 的关系可求 ；
（2）由递推关系证明 为等比数列，由此可求 的通项公式，再利用错位相减
法求和.
【详解】（1）因为 ，
所以 ，当 时， ，
又 ，当 时， ，
所以 ，当 时， ，
所以 ；
（2）因为 ，
所以 ，所以 ，又 ，
所以数列 为以 为首项，公比为 的等比数列，
所以 ，
所以 ，
，
所以 ，
所以 ，
所以 ，
所以 .
2．（2023·浙江·校联考模拟预测）已知等比数列 的前n项和 ， 为常
数.
(1)求 的值与 的通项公式；
(2)设 ，数列 的前n项和为 ，求 .
【答案】(1) ；
(2)
【分析】（1）利用递推关系与等比数列的通项公式即可得出；（2）利用错位相减法求数列 的前 项和为 即可．
【详解】（1）解：当 时， ，
当 时， ，
是等比数列，
，即 ，所以 ，
数列 的通项公式为 ；
（2）解：由（1）得
，
，
则 ．
．
3．（2023·浙江绍兴·统考二模）设数列 的前 项和为 ，数列 是首项
为1，公差为1的等差数列，
(1)求数列 的通项公式；
(2)设 ，求数列 的前 项和 .
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据等差数列求得 ，即 ，再根据 与 的关
系采用相减法即可求得数列 的通项公式；（2）由题意得 ，利用等比数列求和公式即可得数列 的前 项和 .
【详解】（1） 是首项为1，公差为1的等差数列， .
时， 也符合
（2）显然
于是
4．（2023·浙江·校联考模拟预测）已知正项等比数列 和数列 ，满足 是
和 的等差中项， .
(1)证明：数列 是等差数列，
(2)若数列 的前 项积 满足 ，记 ，求数列 的前
20项和.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）利用等差数列的定义法判断即可.
（2）由（1）和 ，求得 ， ，然后表示出 的前20项和
即可得出答案.
【详解】（1）由题知， 是等比数列，
设其公比为 ，由 ，
可得：当 时， ，
两式相减得， ，
故数列 是等差数列.
（2）由 知：
当 时， ，
又 ，所以 ，
由（1）设 的公差为 ，
则 ，
由 ，
则 ， ，
所以
.
即数列 的前20项和为 .
5．（2023·浙江·校联考模拟预测）在公差不为零的等差数列 中， ，且
成等比数列，数列 的前 项和 满足 .(1)求数列 和 的通项公式；
(2)设 ，数列 的前 项和 ，若不等式 对任意
恒成立，求实数 的取值范围.
【答案】(1) ，
(2)
【分析】（1）设等差数列 的公差为 ，根据等比中项的性质得到方程，求出
，即可求出 的通项公式，再根据 ，作差得到数列 是首项
为 ，公比为 的等比数列，即可得解；
（2）由（1）可得 ，利用分组求和法求出 ，令 ，利
用作差法判断 的单调性，即可求出 ，从而得到关于 的对数不等式，解
得即可.
【详解】（1）设等差数列 的公差为 ，且 成等比数列，
，即 ，解得 或 （舍去），
所以 .
数列 的前 项和 ，
当 时， ，
当 时， ， ，
即数列 是首项为 ，公比为 的等比数列，
.（2）由（1）可得 ，
.
令 ， ，
单调递增， .
， ， .
6．（2023·浙江·统考二模）如图，已知 的面积为1，点D，E，F分别为线段
， ， 的中点，记 的面积为 ；点G，H，I分别为线段 ， ，
的中点，记 的面积为 ；…；以此类推，第n次取中点后，得到的三角形面
积记为 ．
(1)求 ， ，并求数列 的通项公式；
(2)若 ，求数列 的前n项和 ．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据相邻两个三角形的面积关系可得 ，即可求解通项，（2）先利用并项求和法求得 为偶数的情况的和，再利用所得结论求得奇数的情况的
和，然后写成分段形式.
【详解】（1）由题意可知 , ，...，
由此可知 ，故 是以公比为 的等比数列，所以 .
（2）由 得 ， ，
当 为偶数时，
，
当 为奇数时， ，
故 .
7．（2023·浙江绍兴·统考模拟预测）已知等差数列 的前 项的和为 ，且
， ，数列 满足 .
(1)求数列 的通项公式；
(2)设数列 的前 项和为 ，集合 且 ，求 中所有元
素的和 .
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）设等差数列 的公差为 ，根据已知条件可得出关于 、 的方程组，
解出这两个量的值，即可得出等差数列 的通项公式；
（2）计算得出 且 ，可知 、 、 、 、 都是集合 中的元素，计算出 ，由 可知 、 、 、 都是集合 中的元素，由此
可得出 的值.
【详解】（1）解：设等差数列 的公差为 ，则 ，①
又 ，可得 ，②
联立①②解得 ，所以 .
（2）解： ，
所以 .
因为 ，所以 ，故 、 、 、 、 都是集合 中的元素.
又 ，则由 得 .
所以 、 、 、 都是集合 中的元素.
综上所述： .
8．（2023·浙江·校联考二模）设数列 满足： 是
的等比中项.
(1)求 的值；
(2)求数列 的前20项的和.
【答案】(1)1；
(2)6108.
【分析】（1）由已知求得 ，然后由等比中项定义求解；
（2）由已知式得出奇数项加2后成等比数列，而偶数项等于它前面的奇数项加1，因
此结合分组求和法、等比数列的前 项和公式求解．【详解】（1）由已知 ， ，
又 是 的比例中项，所以 ，即 ，显然 且 ，
故解得 ；
（2） 是奇数时， ， ，
，而 ，
所以数列 是等比数列，
．
9．（2023·浙江宁波·镇海中学校考模拟预测）已知数列 的前n项和为 ，
，且 ．
(1)求数列 的通项；
(2)设数列 满足 ，记 的前n项和为 ，若 对任
意 恒成立，求实数 的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由 得到 是首项为 ，公比为 的等比数列，
从而求出通项公式；（2）由错位相减法得到 ，进而得到不等式，即 恒成立，
分 三种情况，得到实数 的取值范围.
【详解】（1）当 时， ，∴ ，
当 时，由 ①，
得 ②，
①－②得 ，
，∴ ，
∴ ，
又 ，
∴ 是首项为 ，公比为 的等比数列，
∴ ．
（2）由 ，得 ，
所以 ，
，
两式相减得，
所以 ，
由 是 恒成立，
即 恒成立，
不等式恒成立；
时， ，得 ；
时， ，得 ；
所以 ．
10．（2023·浙江·统考一模）已知数列 满足 ， ，
．
(1)求 的取值范围；
(2)记 是 在区间 中的项的个数，求数列 的前m项和 ．
【答案】(1) ；
(2) .
【分析】（1）根据等差数列的定义可得 ， ，进而即得；
（2）由题可知 ，进而 ，然后根据求和公式即得.【详解】（1）因为 ， ，即 ，
所以数列 是首项为1，公差为3的等差数列，
所以 ，
同理可得 ，
所以 ；
（2）因为 ，设 ，则 ，
又 ， 是连续六个正整数构成的集合，
则对于给定的m，数列 恰有两项属于集合 ，即 ，
故 ．
11．（2023·浙江宁波·统考二模）已知等比数列 的前n项和 满足
．
(1)求首项 的值及 的通项公式；
(2)设 ，求满足 的最大正整数n的值．
【答案】(1) ，
(2)11
【分析】（1）根据 的关系即可求解，或者根据等比数列基本量的计算即可求解，
（2）由对数的运算性质化简 ，即可利用函数的单调性求解.
【详解】（1）解法1：当 时， ，则 ，即，
因为数列 是等比数列，所以公比为2，
当 时， ，即 ，所以 ，且 满足题意，
所以 的通项公式为 ．
解法2：由题知， ，即 ，
由① 代入②，得 ，
解得 或 ．（舍去），
所以 的通项公式为 ．
（2）由（1）得 ，所以 ，所以
，
由 得 ，即 ，
令 ，则 ，
所以 在 时单调递增，且 ，
而 ，
所以满足条件的最大正整数 ．
12．（2023·浙江温州·乐清市知临中学校考模拟预测）若分别从下表的第一、二、三列
中各取一个数，依次作为等比数列{ }的 ， ， ；分别从下表的第一、二、三行中各取一个数，依次作为等差数列 的 ， ， ．
第一列 第二列 第三列
第一行 1 4 7
第二行 3 6 9
第三行 2 5 8
(1)请写出数列{ }，{ }的一个通项公式；
(2)若数列{ }单调递增，设 ，数列{ }的前n项和为 ．求证： ．
【答案】(1) ， （或 、 、 ）
(2)证明见解析
【分析】（1）根据表格数据，结合等差、等比数列定义分别写出一个通项公式即可；
（2）应用错位相减法、等比数列前n项和公式求 ，即可证结论.
【详解】（1）由题意，取 ，可得公比 ，则 ，
取 ，可得公差 ，则 ；
取 ，可得公差 ，则 ；
取 ，可得公差 ，则 ；
取 ，可得公差 ，则 .
（2）由{ }单调递增，
若 时， ，则 ，
所以 ，
两式相减，则，
所以 ，而 ，故 ；
若 时， ，则 ，
所以 ，
两式相减，则
，
所以 ，而 ，故 .
综上， .
13．（2023·浙江·校联考三模）记 为数列 的前 项和，已知 ，且满足
.
(1)证明：数列 为等差数列；
(2)设 ，求数列 的前 项和 .
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）方法1：由 可得 ，由累加法求出
，再证明数列 为等差数列；方法2：由 可得
，可证得 为常数数列，求出 ，再证明数列 为等差数列；方法3：由 可得 ，两式相减可明数列
为等差数列；
（2）由（1）知 ，所以 ，方法1：由并项求和法求出数列
的前 项和 ；方法2：由错位相减求和求出数列 的前 项和 .
【详解】（1）方法1：
，
时， ，
累加得： ，
时也成立， .
， 是等差数列
方法2：
，
，
为常数数列， ，
， ， 是等差数列.
方法3：
当 时， ①，
②，
②-①可得：，
是等差数列，因为 .
（2）由（1）知 ，所以 ，
方法1：并项求和
当 为偶数时，
，
方法2：错位相减求和
①
②
①-②：
14．（2023·浙江嘉兴·统考二模）已知 是首项为2，公差为3的等差数列，数列
满足 .
(1)证明 是等比数列，并求 的通项公式；
(2)若数列 与 中有公共项，即存在 ，使得 成立.按照从小到大的
顺序将这些公共项排列，得到一个新的数列，记作 ，求 .
【答案】(1)证明见解析， ，
(2)
【分析】（1）利用等差数列与等比数列的定义即可求其通项公式；（2）利用通项公式找出公共项，再分组求和即可.
【详解】（1）由题意可得： ，
而 ，变形可得： ，
故 是首项为3，公比为3的等比数列.
从而 ，即 .
（2）由题意可得： ， ，令 ，
则 ，此时满足条件，
即 时为公共项，
所以
.
15．（2023·浙江·永嘉中学校联考模拟预测）已知正项数列 的前 项和为 ，且
满足 .
(1)求数列 的通项公式；
(2)若数列 为等比数列，且 ， ，求数列 的前 项和 .
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）首先利用 与 的关系结合已知条件等式推出数列 是等差数列，
从而求得数列 的通项公式；
（2）利用(1)求 ，结合等比数列通项公式求得 的表达式，然后利用错位相减法求解即可．
【详解】（1）由 可得 ，①
，②
由 可得： ，
，
，
又数列 为正项数列，
所以 ，
因为 ，所以 ，
所以数列 为以1为首项，公差为2的等差数列，
故 .
（2）由(1)得： ，又 ， ，
所以 ，∵数列 为等比数列，设其公比为 ，
则 ，所以 ，
所以 ，
则 ，③
，④
得： ，则 .
16．（2023·浙江·校联考模拟预测）已知数列 为等比数列， 是 与
的等差中项， 为 的前 项和．
(1)求 的通项公式及 ；
(2)集合A为正整数集的某一子集，对于正整数 ，若存在正整数 ，使得 ，
则 ，否则 ．记数列 满足 ，求 的前20项和 ．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由等比数列通项公式结合等差中项性质求基本量，即可由公式法写出通
项公式及 ；
（2）解对数方程得 ，即可求得A，即可对数列分组求和.
【详解】（1）设 的公比为 是 与 的等差中项，
， ，
∴ ， ．
（2）由题意知， ，
又 ，
，即 ，
故 ．又 ，
．
17．（2023·浙江·模拟预测）已知 是公比为2的等比数列， 为正项数
列， ，当 时， ．
(1)求数列 的通项公式；
(2)记 ．求数列 的前n项和 ．
【答案】(1) ， ；
(2)
【分析】(1)利用等比数列通项公式求数列 的通项公式，再求数列 的通项公
式，利用累乘法求数列 的通项公式；
(2)利用组合求和法和错位相减法求数列 的前n项和 ．
【详解】（1）因为数列 为等比数列，公比为2，首项为 ，
所以 ，
所以
由 ，推得 ，
所以 ， ， ， ， ，故 ，又 ，
所以当 时， ，又 ，
所以 ．
（2）由题可得 ，
令 ， 的前n项和为 ．
所以 ，
，
相减得 ，
所以 ，
所以 ．
令 ， 的前n项和为 ，
则 ，
综上， ．
18．（2023·浙江嘉兴·统考模拟预测）已知数列 是等差数列，且 ，
.
(1)求数列 的通项公式；
(2)设 ，求数列 的前 项和 .
【答案】(1)
(2)【分析】（1）根据等差数列列出方程求出 ，平方即可得解；
（2） ，裂项后相加相消即可得解.
【详解】（1）设 ，等差数列 的公差为 ，
其中 ， ，∵ 即 ，∴
∴ ，即
故数列 的通项公式为 .
（2）
∵
∴
∴ .
19．（2023·浙江·校联考模拟预测）在数列 中 ， ，在数列
中 ， .
(1)求证数列 成等差数列并求 ；
(2)求证： .
【答案】(1)证明见解析，
(2)证明见解析
【分析】（1）条件等式两边取倒数化简变形即可；（2）由累乘法求得 的通项公式，对不等式进行缩放，结合裂项相消求和即可证明.
【详解】（1）由 知 ，
故 ，
即 ，数列 成等差数列，
所以 ，所以 ；
（2）由 ，得 ，
于是
所以 ，
，
所以 .
20．（2023·浙江·校联考三模）已知数列 是以d为公差的等差数列， 为
的前n项和．(1)若 ，求数列 的通项公式；
(2)若 中的部分项组成的数列 是以 为首项，4为公比的等比数列，且
，求数列 的前n项和 ．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由 ，可得 ，后由等差数列性质可得公差，即可得通项公
式；
（2）由题可得 ， .后由 是以d为公差的等差数列， 可得
数列 是以 为首项．4为公比的等比数列，可求得数列 的通项公式，后
由分组求和法可得 的前n项和 ．
【详解】（1））因为 ，所以 ，
所以 .
所以 .
则数列 的通项公式为 .
（2）因为数列 是以首项为 ，公比为4等比数列.
所以 .
因为数列 是等差数列，所以 .化简得 .
因为 ，所以 ，即 .
所以 .
因为 ，所以数列 是以 为首项．4为公比的等比数列
所以 .
所以 .
则数列 的前n项和 为： .
21．（2023·浙江温州·统考二模）已知 是首项为1的等差数列，公差 是
首项为2的等比数列， ．
(1)求 的通项公式；
(2)若数列 的第 项 ，满足__________（在①②中任选一个条件）， ，则
将其去掉，数列 剩余的各项按原顺序组成一个新的数列 ，求 的前20项和
．
① ② ．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据等差和等比数列的通项公式，列出基本量方程组，即可求解；（2）若选择①，得 ，可知剩下的项就是原数列的奇数项，代入等比数
列求和公式，即可求解；
若选择②， ，根据 ，讨论 为奇数和偶数两种情况，即可判
断求解.
【详解】（1）设 的公差为 的公比为 ，
因为 ，所以 ，
联立消 得 ，解得 或 与 矛盾，
故 ，代回计算得 ，
所以
（2）若选① ，则有 ，
所以 剩余的项就是原数列的奇数项，
相当于剩余的项 以2为首项，4为公比的等比数列，
所以 ；
若选② ，则有 ，
因为 ，
所以当 时，对应的 为整数，满足，
当 时，对应的 不为整数，不满足，
所以 剩余的项就是原数列的奇数项，
相当于剩余的项 以2为首项，4为公比的等比数列，
所以 ；22．（2023·浙江·统考二模）记 为正项数列 的前 项积，且
.
(1)求数列 的通项公式；
(2)证明： .
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）由等比数列的定义可得答案；
（2）由等比数列的前 项和公式可得答案.
【详解】（1）由 可得， ，即 ，
又因为 ，
所以 是首项为1，公比为2的等比数列，
所以 ；
（2） ，
所以
.
23．（2023·浙江温州·统考三模）图中的数阵满足：每一行从左到右成等差数列，每一
列从上到下成等比数列，且公比均为实数 .(1)设 ，求数列 的通项公式；
(2)设 ，是否存在实数 ，使 恒成立，若存在，求出 的
所有值，若不存在，请说明理由.
【答案】(1) ；
(2)存在， .
【分析】（1）设出第一行从左到右成等差数列的公差，再结合已知列出方程组求解，
然后用等差数列、等比数列的通项公式写出通项作答.
（2）由（1）的信息结合等比数列前n项和公式求出 ，再按奇偶分类讨论求解作答.
【详解】（1）设 ，第一行从左到右成等差数列的公差为 ，
则 ，
由 ，得 ，即有 ，
于是 ，又 ，解得 ，因此 ，
，
所以 ，即 .
（2）由（1）知，当 为奇数时，不等式等价于 恒成立，而 恒成立，
则 ；
当 为偶数时, 不等式等价于 恒成立，而 恒成立，则
，
因此 , 所以存在 ，使得 恒成立.
24．（2023·浙江·统考二模）已知数列 满足： ，且对任意的 ，
(1)求 ， 的值，并证明数列 是等比数列；
(2)设 ，求数列 的前 项和 .
【答案】(1) ， ，证明见解析
(2)
【分析】（1）根据数列定义，将 逐步展开为 ，即可判断数列
是等比数列；
（2）根据分组求和即可求解 .
【详解】（1） ， .
由题意得 ，又 ，所以数列 是等比数列.
（2）由（1）知 .
运用分组求和，可得
.
25．（2023·浙江绍兴·统考模拟预测）已知数列 满足
.
(1)求 的通项公式；
(2)设数列 满足 求 的前 项和 .
【答案】(1) , ；
(2) .
【分析】（1）先求出 再对 分奇偶两种情况讨论得解；
（2）先求出 时， 的前 项和 ；再讨论当 时，且 为奇数时，当
时，且 为偶数时， 的前 项和 ，即得解.
【详解】（1）根据题意可知 ，所以
当 为奇数时， ，即 ，
所以当 为偶数时， ；
当 为偶数时， ，即 ，
所以当 为奇数时， .
综上， , .
（2）由（1）可知当 为奇数时，若 ，即 ，解得 ，
当 为偶数时，若 ，即 ，解得 ，
所以 ，当 时， ，
所以 .
当 时，且 为奇数时，
当 时，且 为偶数时，.
综上，
26．（2023·浙江·二模）记 为正数列 的前 项和，已知 是等差数列.
(1)求 ；
(2)求最小的正整数 ，使得存在数列 ， .
【答案】(1)1
(2)3
【分析】（1）根据题意可推得 ，即得 ，即可得答
案；
（2）利用（1）中结论可得 ，结合基本不等式求得 ，验证后
即得答案.
【详解】（1）由题意 是等差数列，设其公差为d，
则 ，
则 ，故 .
（2）由（1）可知 ，一方面 ，
故 ，当且仅当 时， 取等号，
由于m为正整数，故 ，另一方面， 时， ﹐ 满足条件，
综上所述，正整数m的最小值是3．
27．（2023·浙江金华·统考模拟预测）设正项等比数列 的前 项和为 ，若 ，
．
(1)求数列 的通项公式；
(2)在数列 中是否存在不同的三项构成等差数列？请说明理由．
【答案】(1)
(2)不存在，理由见详解
【分析】（1）设 的公比为 ，根据题意列方程组，从而求得 ， ，
进而即可求得数列 的通项公式；
（2）结合（1）可得到 ，假设存在三项 构成等差数列，从而根
据条件得到 ，进而即可得到结论．
【详解】（1）设 的公比为 ，
由 ，两式相除并整理得 ，
解得 或 （舍去），即 ， ，
所以 ．
（2）由（1）有 ， ，所以 ，
假设存在三项 构成等差数列，
则有 ，即 ，左右两边除以 ， ，
等式左边为偶数，右边为奇数，该等式显然无解，
所以在数列 中不存在不同的三项构成等差数列．
28．（2023·浙江·校联考模拟预测）已知数列 的前 项和为 ，且 ．
(1)求 的通项公式；
(2)保持 中各项先后顺序不变，在 与 之间插入 个1，使它们和原数列的项构
成一个新的数列 ，记 的前n项和为 ，求 的值（用数字作答）．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由 ，得到 ，求得 ，结合
时，求得 ，进而得到数列 的通项公式；
（2）根据题意，得到新数列 的前100项，结合等差、等比数列的求和公式，即可
求解.
【详解】（1）解：由数列 的前n项和为 ，且 ，
当 时， ，
所以 ，
当 时， ，不符合上式，
所以数列 的通项公式为 ．
（2）解：保持数列 中各项先后顺序不变，在 与 之间插入 个
1，则新数列 的前100项为3，1， ，1，1， ，1，1，1， ，1，1，1，1， ，
， ，1，1，1，1，1，1，1，1，1，1，
则
．
29．（2023·浙江金华·统考模拟预测）已知数列 的前 项和 ， ，且
.数列 满足 ， .
(1)求数列 ， 的通项公式；
(2)将数列 中的项按从小到大的顺序依次插入数列 中，在任意的 ， 之间
插入 项，从而构成一个新数列 ，求数列 的前100项的和.
【答案】(1) ，
(2)
【分析】（1）根据 与 的关系，可得出 ，变形可得 .
然后根据等比数列的通项公式，即可得出 .由已知可得 ，累乘法即可得
出 ；
（2）设100项中，来自于数列 中的有 项.根据已知可推得 ，然后根据等差
数列以及等比数列的前 项和公式，即可得出答案.
【详解】（1）由已知可得，当 时，
有 ，
，两式相减得： .
又因为 ，
所以， ，满足上式.
所以， .
又 ，
所以 是以4为首项，2为公比的等比数列，
所以 ，即 .
又 ，
所以 ，所以 .
又 ，
所以，当 时，有
，
，
，
，
，
两边同时相乘可得，
，
所以， .
（2）设100项中，来自于数列 中的有 项.若第100项来自于 ，则应有 ，
整理可得， ，该方程没有正整数解，不满足题意；
若第100项来自于 ，则应有 ，
整理可得， .
当 时，有 不满足，
，故 ，
所以，数列 中含有10项数列 中的项，含有90项数列 中的项.
所以，
.
30．（2023·浙江嘉兴·校考模拟预测）数列 满足 ， ，
(1)若数列 是等比数列，求 及 的通项公式；
(2)若数列 满足： ，数列 的前 项和为 ，求证： .
【答案】(1) ，
(2)证明见解析
【分析】（1）先通过递推关系配凑出等比数列的结构，从而得到 ，进而得出 的
通项公式；
（2）利用错位相减法求和并证明.
【详解】（1）由 可得， ，
又 ，故 是首项为 ，公比为 的等比数列，即 ， ，于是
（2）由（1）知，
于是 ，
则 ，
两式相减：
，
即 ，于是 ，故 .
