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数量规律（点角素）
（讲义+笔记）
主讲教师：程永乐
授课时间：2025.05.26
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数量规律（点角素）（讲义）
数量规律-点、角、素
图形特征：（1）元素组成不同且无属性规律
（2）数量特征明显
（一）点数量
特征图：
（1）线条交叉明显（俗称“大树杈”）
（2）多边形或圆中叉出一些线条
（3）圆相切相交较多
考查方式：
（1）交点
（2）切点
（3）框上/框内交点
（4）曲直交点
【例1】（2024 浙江选调）从所给的四个选项中，选择最合适的一个填入问
号处，使之呈现一定的规律性。
【例2】（2021 江苏）从所给的四个选项中，选择最合适的一个填入问号处，
2
使之呈现一定的规律性。
【例3】（2022 广东）从所给的四个选项中，选择最合适的一个填入问号处，
使之呈现一定的规律性。
【例4】（2019 浙江）从所给的四个选项中，选择最合适的一个填入问号处，
使之呈现一定的规律性。
【例5】（2022 联考）把下面的六个图形分为两类，使每一类图形都有各自
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的共同特征或规律，分类正确的一项是：
A.①②③，④⑤⑥
B.①④⑤，②③⑥
C.①②⑥，③④⑤
D.①③⑥，②④⑤
【例6】（2024 联考）从所给的四个选项中，选择最合适的一个填入问号处，
使之呈现一定的规律性。
【例7】（2025 浙江）从所给的四个选项中，选择最合适的一个填入问号处，
使之呈现一定的规律性。
【例8】（2025 联考）从所给的四个选项中，选择最合适的一个填入问号处，
4
使之呈现一定的规律性。
【例9】（2021 事业单位）从所给的四个选项中，选择最合适的一个填入问
号处，使之呈现一定的规律性。
【例10】（2023 事业单位）从所给的四个选项中，选择最合适的一个填入
问号处，使之呈现一定的规律性。
（二）角数量
特征图：
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（1）出现扇形
（2）出现较多直角三角形、电话卡图、改造图
考查方式：角的数量和大小、直角数
【例11】（2021 国考）从所给的四个选项中，选择最合适的一个填入问号
处，使之呈现一定的规律性。
【例12】（2021 江苏）从所给的四个选项中，选择最合适的一个填入问号
处，使之呈现一定的规律性。
【例13】（2025 四川）从所给的四个选项中，选择最合适的一个填入问号
处，使之呈现一定的规律性。
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【例14】（2023 江苏）从所给的四个选项中，选择最合适的一个填入问号
处，使之呈现一定的规律性。
【例15】（2023 浙江）从所给的四个选项中，选择最合适的一个填入问号
处，使之呈现一定的规律性。
（三）素数量
特征图：
（1）出现独立小图形
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（2）出现生活化、粗线条图形
考查方式：
1.元素种类和个数
2.找相同元素
3.找属性相同的元素
4.两种元素做运算、做换算
5.部分数
【例16】（2024 事业单位）把下面的六个图形分为两类，使每一类图形都
有各自的共同特征或规律，分类正确的一项是：
A.①③⑤，②④⑥
B.①②④，③⑤⑥
C.①④⑥，②③⑤
D.①②⑥，③④⑤
【例17】（2022 四川）从所给的四个选项中，选择最合适的一个填入问号
处，使之呈现一定的规律性。
【例18】（2018 山东选调）从所给的四个选项中，选择最合适的一个填入
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问号处，使之呈现一定的规律性。
【例19】（2024 浙江选调）把下面的六个图形分为两类，使每一类图形都
有各自的共同特征或规律，分类正确的一项是：
【例20】（2021 四川）把下面的六个图形分为两类，使每一类图形都有各
自的共同特征或规律，分类正确的一项是：
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A.①②④，③⑤⑥
B.①⑤⑥，②③④
C.①③⑤，②④⑥
D.①③⑥，②④⑤
【例21】（2023 四川）从所给的四个选项中，选择最合适的一个填入问号
处，使之呈现一定的规律性。
A.254
B.235
C.432
D.215
【例22】（2024 国考）把下面的六个图形分为两类，使每一类图形都有各
自的共同特征或规律，分类正确的一项是：
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A.①③④，②⑤⑥
B.①②④，③⑤⑥
C.①②⑥，③④⑤
D.①⑤⑥，②③④
【例23】（2021 联考）从所给的四个选项中，选择最合适的一个填入问号
处，使之呈现一定的规律性。
【例24】（2020 联考）从所给的四个选项中，选择最合适的一个填入问号
处，使之呈现一定的规律性。
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【例25】（2023 国考）把下面的六个图形分为两类，使每一类图形都有各
自的共同特征或规律，分类正确的一项是：
A.①②⑤，③④⑥
B.①②④，③⑤⑥
C.①④⑤，②③⑥
D.①③⑤，②④⑥
【例26】（2019 浙江）从所给的四个选项中，选择最合适的一个填入问号
处，使之呈现一定的规律性。
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【例27】（2022 江苏）从所给的四个选项中，选择最合适的一个填入问号
处，使之呈现一定的规律性。
【例28】（2023 湖北选调）把下面的六个图形分为两类，使每一类图形都
有各自的共同特征或规律，分类正确的一项是：
A.①②⑤；③④⑥
B.①②⑥；③④⑤
C.①③④；②⑤⑥
D.①⑤⑥；②③④
【思维导图】
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数量规律（点角素）（笔记）
【答案汇总】
点、角、素1-5：ABDCB；6-10：DDDDC；11-15：ABBCB；16-20：CBCCB；21-25：
ABBBC；26-28：BBB
【注意】今天讲三个考点，分别是点的数量、角的数量和素的数量。对于这
几个考点，自己做题可能会感觉比较难，但是如果把思路和图形特征梳理清楚就
比较简单，只要看到什么样的图，就考虑哪几个考点即可。
考点一：点数量
1.什么是点？
线与线的交点
注：切点也属于交点
【注意】点数量：线与线交叉的地方就是交点。
1.如两条直线有交点，直线和曲线有交点，曲线和曲线也有交点。
2.出头的端点不是交点，在数交点的时候，数的是线与线相交产生的点，而
不是端点。
2.如一条曲线和一条直线相切，相切的点是曲线和直线相交产生的点，所以
相切的点也是交点，是一种特殊的交点。
考点一：点数量
2.什么时候数点？有笔画数特征，但无规律——平行线、数交点
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点数量特征图：
(1)线条交叉明显(俗称“大树杈”)
(2)多边形或圆中叉出一些线条
(3)圆相切或圆相交较多
【注意】数交点：
1.一般情况下，如果出现线条之间交叉明显，类似“大树杈”，可以数交点。
2.如果出现多边形或圆中叉出一些线条，比如一个三角形，中间叉出一条直
线；再比如一个圆，叉出一些线条，考虑数交点。
3.圆相切或圆相交较多，可以数交点。
4.这几个特征和笔画数的特征很像，“大树杈”有端点，多边形或圆中叉出
一些线条会产生端点，圆相切或圆相交比较多也是笔画数的特征图，所以笔画数
和交点的特征图长得差不多，在这种情况下，可以统一记忆，当一幅图有端点、
圆相交、相切时，可以考虑笔画数；如果笔画数无规律，可以看平行线，平行线
无规律，可以数交点。
【例1】(2024 浙江选调)从所给的四个选项中，选择最合适的一个填入问号
处，使之呈现一定的规律性：
【解析】1.前三个图都有端点，第四幅图是“日”字变形，考虑笔画数。第
一组图中，图1 有2 个奇点，图2 有4 个奇点，图3 有4 个奇点，笔画数分别为
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1、2、2，笔画数无规律；图1 无平行线，直接数交点，图1 有4 个交点，图2
有5 个交点，图3 有6 个交点，交点数有规律，第二组图中，图1 有4 个交点，
图2 有5 个交点，“？”处选有6 个交点的图形。
A 项：6 个交点，当选。
B 项：7 个交点，排除。
C 项：7 个交点，排除。
D 项：7 个交点，排除。【选A】
【注意】多端点——笔画、平行线、交点。
【例2】(2021 江苏)从所给的四个选项中，选择最合适的一个填入问号处，
使之呈现一定的规律性：
【解析】2.图1 是两个圆相交，图4 和图5 是“日”字变形，优先考虑笔画
数，笔画数为1、1、2、1、1，笔画数无规律；看平行线，平行线一定是直线，
曲线无平行线，图1 无平行线；考虑数交点，图1 有2 个交点，图2 有3 个交点，
图3 有4 个交点，图4 有5 个交点，图5 有6 个交点，交点数有规律，“？”处
找7 个交点。
A 项：6 个交点，排除。
B 项：7 个交点，当选。
C 项：9 个交点，排除。
D 项：5 个交点，排除。
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两个圆相交出现在图1 时，考查交点至少考查过5 次，需要记清楚。出现两
个椭圆相交的情况，看笔画、平行线、数交点即可。【选B】
【注意】例1 全部都是直线，例2 图1 是全曲，图4 和图5 是全直，只有图
2 和图3 有曲有直，因为会考查整体数交点，除了整体数交点之外，还会有一些
细化的考法，如考查切点、曲直交点、框上/框内的交点，需要作区分。
【注意】
1.笔画数的特征：多端点、圆相交相切、“日”“田”字等。
2.笔画无规律，可以看平行线、数交点，还有一个特征是全曲、全直图形较
多，不能是每个图都有曲有直，如果每个图都有曲有直，一般不会考虑数交点。
点的细化考法
①切点：
图一
②框上/框内交点：
图二
③曲直交点：
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图三
大部分图都有圆或椭圆或圆弧、椭圆弧，可优先考虑点的细化
每个图都有圆：切点、圆内/圆上交点、曲直交点
不是都有圆：切点、曲直交点
【注意】
1.点的细化：
（1）切点：相切，如图一，图①椭圆和直线产生了一个切点，这就是相切，
在相切时，需要注意一般情况下相切指的是直线与曲线相切，但是有一种特殊情
况，如图③的曲线和曲线相切，当遇到曲线与曲线相切时，大多数题都会认为它
是切点，但是不绝对，有个别题会认为曲线与曲线相切的点不是切点，需要灵活
处理。优先把它看作切点，如果看作切点无规律，那么就不要把它看成切点。
（2）框上/框内交点：如图二，每个图里都有一个圆，可以考虑圆内部有几
个交点，也可以考虑圆上有几个交点，图二考查的是圆内的交点，分别为0、1、
2、3、4。
（3）曲直交点：曲线和直线产生的交点。从来没有考查过直直交点和曲曲
交点，所以重点关注的是曲线和直线的交点，图三曲线和直线的交点为2、3、4。
（4）答疑：有的切点是曲直交点，有的切点不是曲直交点，所以数切点和
数曲直交点本质不一样。
2.如果考虑数交点，图大多数的情况下有曲有直，如果数曲直交点，图也需
要有曲有直，如果没有曲线，就无法数出曲直交点。
3.对于框上、框内的交点，99%的题都是考查以圆作为框，所以99%的题基
本每个图都会出现圆、椭圆、曲线。整体数交点时，一般情况下不会每个图都有
曲有直，但是细化不一样，细化时，大部分图都有圆、椭圆或圆弧、椭圆弧时，
可优先考虑点的细化。
4.数切点时，如果第一个图没有切点，它是纯直线，可以数为0；数曲直交
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点时，第一个图可以没有曲线，只有直线，曲直交点为0，有时第一个图可能会
数成0，但是这种题非常少，基本90%的题目考查的所有图都有曲线。
5.考点优先级：
（1）每个图都有圆：一般优先考虑切点，因为看图有没有切点比较直观，
然后再看圆内/圆上的交点，再看曲直交点。一般按照这个顺序来看，做题目的
速度最快。
（2）不是每个图都有圆：有的图有圆，有的图不是圆，只是一些弧线，这
种情况下就不可能考查圆内和圆上的交点，此时考虑切点和曲直交点。
【例3】(2022 广东)从所给的四个选项中，选择最合适的一个填入问号处，
使之呈现一定的规律性：
【解析】3.每个图都有圆，基本就是想考查切点、圆内/圆上交点、曲直交
点，每一幅图的圆都和直线产生了1 个切点。
A、B 项：没有切点，排除。
C 项：2 个切点，排除。
D 项：1 个切点，当选。
答疑：每个图都有圆，不能数所有交点。【选D】
【例4】(2019 浙江)从所给的四个选项中，选择最合适的一个填入问号处，
使之呈现一定的规律性：
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【解析】4.每个图都有圆，考虑切点，图1 有切点，图2 没有切点，很多图
没有切点；考虑圆内/圆上的交点，第一行图1、图2、图3 内部有1 个交点，第
二行都有2 个交点，第三行都有3 个交点，“？”处应该选内部有3 个交点的图。
A 项：4 个交点，排除。
B 项：2 个交点，排除。
C 项：3 个交点，当选。
D 项：1 个交点，排除。【选C】
【注意】每个图都有圆——切点、圆内/圆上交点、曲直交点。
【例5】(2022 联考)把下面的六个图形分为两类，使每一类图形都有各自的
共同特征或规律，分类正确的一项是：
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A.①②③,④⑤⑥
B.①④⑤,②③⑥
C.①②⑥,③④⑤
D.①③⑥,②④⑤
【解析】5.每个图都有圆。题干图中没有切点，考虑圆内、圆上交点，本题
可以考虑圆上的交点，图①④⑤为一组，圆上有3 个交点，图②③⑥为一组，图
上有4 个交点。【选B】
【注意】
1.每个图都有圆——切点、圆内/圆上交点、曲直交点。
2.例4 和例5 的区别：例5 所有的线都在圆的内部，没有出头，例4 圆的内
部有线，外部也有线。在公务员考试中，只要圆外部有线，考查的都是内部交点，
圆外面没有线，考查的都是圆上交点。事业单位考试有的不是这个规律，但是公
务员考试都是考查这样的规律。
3.答疑：目前没有考查过数圆外的交点，主要考查圆内和圆上的交点。
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【注意】每个图都有圆/椭圆：
1.交点：切点、圆内/圆上交点、曲直交点。
2.面：圆内/圆外有几个面、圆内是否有三角形。
3.线：圆内直线数。
4.笔画：一般是出现小圆的情况下，可能考查笔画数。
5.图形间关系。
6.因为在课上已经讲过了交点和面，就不再重复举例子，主要看一看线、笔
画和图形间的关系，它们和交点、面很容易进行区分。
【注意】2023 年广东：每个图中都有圆，考虑切点、圆内/圆上交点。图1、
图2 无切点，考虑圆内/圆上交点，如果线都在圆的内部，优先数圆上交点，圆
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上交点数分别为0、1、2、3，“？”处应该找圆上交点数为4 的选项。
A、B 项圆上交点有4 个，C 项圆上交点有3 个，可以排除C 项。图1 内部和
外部分开，可以分开数，内部有单独的三角形，数边的数量，内部有3 条线，A
项内部有2 条线，B 项内部有4 条线，D 项内部有3 条线，D 项当选。
考查圆上的交点，也考查第一个图是内外分开，应该分开数，因为是多边形，
所以数线，也就是可以考查圆内有几条直线。如果考查圆内有几条直线，一般会
有一些图是圆和直线不挨着，分为内和外两部分，提示比较明显。
【注意】2022 年四川：考查笔画数。2022 年四川和比较新的江苏都考查过
以圆来考笔画数。以圆考查笔画数时，与考查交点、面、线的图区别比较大。在
数交点、面、线的时候，圆都很大，很多时候可以把圆看成框。
如果能够看出圆是框，那么可能考查圆内/圆上比较多，如果圆比较小，不
太能看成是框，可能会考查切点、曲直交点，一般不会考查圆内、圆上，也不会
考查圆内、圆外的面、圆内是否有三角形，也不会考查直线。
如果都是小圆，主要考查切点和曲直交点，接下来是笔画数。切点无规律，
曲直交点无规律，可以数笔画数。图①②⑤为一组，都是一笔画，图③④⑥为一
组，都是两笔画。
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【注意】2022 山东：考查图形间的关系。
1.当拿到这样的题目时，不会考虑交点（切点、圆内/圆上交点、曲直交点），
都是曲线，没有直线，也不会考虑圆内有几个面，有很多个圆，无法看出有几个
面，也不会考虑直线，唯一能够考虑的是笔画数，但是这种题一般不会考查笔画
数，所有的图都是一笔画，只要是圆和圆相切或套圈，一定是一笔画。
2.当给出很多圆时，这种情况下大概率考查的是圆和圆之间的关系。在第一
组图中，图1 中有2 个圆相切，另外1 个圆与这2 个圆相交，在第二组图中，图
1 的两个圆相切，另外1 个圆和这两个圆相交。在第一组图中，图2 有两个圆没
有靠在一起，剩下的1 个圆与这2 个圆相交，在第二组图中，图2 有1 个圆在内
部，1 个圆在外部，有2 个圆没有靠在一起，另外1 个圆与这2 个圆相交；在第
一组图中，图3 任意2 个圆都相切，“？”处为任意两个圆都相切。
3.A 项不符合，排除；B 项任意两个圆都相切，当选；C 项有2 个圆没有相
切，排除；D 项有两个圆没有相切，排除。
4.这类题目不难区分，看图形特征可以看出来，最难的是交点和面，这两类
题目的图形特征很像，优先考虑交点，如果交点无规律，再考虑面。在考虑线、
笔画、图形间关系时，图形特征比较明显。
5.当每个图都给出很多圆时，就考虑图与图之间的关系，考虑圆和圆相切、
相交还是相离。第一组图和第二组图的图1 是2 个圆相切，另外1 个圆和这2
个圆都相交，第一组图和第二组图的图2 是2 个圆没有挨着，另外1 个圆和这两
个圆挨着，图3 是圆两两相切。
6.答疑：不用考虑切点顺序，只考虑它们之间的互相关系，只要两组图对应
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即可。
【例6】(2024 联考)从所给的四个选项中，选择最合适的一个填入问号处，
使之呈现一定的规律性：
【解析】6.每个图都有曲有直，观察曲线不都是圆/椭圆，如果都是圆/椭圆，
就可以按照前面的思维来处理。如果有一些图不是圆/椭圆，只是单纯的弧线，
可以看曲直性、切点、曲直交点，因为不能考查圆内/圆上，要看曲直性，每个
图都有曲有直，选项也都有曲有直，不考虑曲直性，如果考虑切点，图1 是圆弧
的一部分，补齐圆弧，就是相切的地方，所以图1 有1 个切点，图2 下面是一个
半圆，如果补齐，也有1 个切点，每个图都有1 个切点。
A 项：没有切点，排除。
B 项：有2 个切点，排除。
C 项：有2 个切点，排除。
D 项：有1 个切点，当选。【选D】
【注意】
1.每个图都曲(不都是圆/椭圆)有直——曲直性、切点、曲直交点。
2.在听课时，答案根本不重要，最重要的是这道题怎么做出来，每道题都有
图形特征。
【例7】(2025 浙江)从所给的四个选项中，选择最合适的一个填入问号处，
使之呈现一定的规律性：
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【解析】7.本题为2025 年浙江的题目，每个图中都有曲有直，图1 不是圆，
也不是椭圆，而是弧线，考虑曲直性、切点、曲直交点。选项都有曲有直，不考
虑曲直性，考虑切点，图1 无切点，看曲直交点，每个图都有2 个曲直交点。
A 项：有3 个曲直交点，排除。
B 项：肯定不是2 个曲直交点，排除。
C 项：3 个曲直交点，排除。
D 项：有2 个曲直交点。排除。【选D】
【注意】每个图都曲(不都是圆/椭圆)有直——曲直性、切点、曲直交点。
【例8】(2025 联考)从所给的四个选项中，选择最合适的一个填入问号处，
使之呈现一定的规律性：
【解析】8.本题为2025 年联考的题目。每个图都有曲有直，没有圆，也没
有椭圆，考虑曲直性，选项和题干都有曲有直，曲直性无规律；考虑切点，图1
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有切点，但图2、图3 无切点，切点无规律；考虑曲直交点，每个图中曲线和直
线都产生1 个交点。
B 项：有2 个交点，排除。
看不到规律的时候可以对比选项，C 项和D 项都有1 个曲直交点，D 项的曲
直交点在弧线的中间，C 项的曲直交点在弧的边缘。
图1 交点在边缘，图2 交点在中间，图3 交点在边缘，图4 交点在中间，图
5 交点在边缘，“？”处曲直交点应该交在中间。
A 项：交点在边缘，排除。
C 项：交点在边缘，排除。
D 项：交点在中间，当选。【选D】
【注意】
1.每个图都曲(不都是圆/椭圆)有直——曲直性、切点、曲直交点。
2.对比选项思维：只要通过一个规律排除一些选项，剩余选项如果看不出规
律，一定要对比选项，找明显相同或不同的地方，尤其是找不同，因为只有找到
了不同，才有可能是考点。
3.答疑：因为每天都有听课的同学，有的可能讲到这节课才跟着听，老师讲
课成体系，数笔画在昨天下午专门讲了一节课，可以听一听；遇到有曲有直会考
查曲线和直线，曲线和直线会做运算，在前面的课程讲过这个内容。先讲完这个
考点，如果有和前面有重复的地方，会进行总结。
【2020 国考】曲直交点是曲线数的2 倍
【2023 北京】直线-曲线=2、1、0。1、0、-1
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每个图都曲(不都是圆/椭圆)有直——曲直性、切点、曲直交点、曲线、直
线
【注意】如果每个图都有曲有直，而且曲线是弧线，不都是圆的情况下，可
以考虑曲直性、切点、曲直交点，在前面的课程中，还讲了可以数曲线和直线。
对于曲直性和切点很容易观察，有没有规律一目了然，很容易做排除，对于曲直
交点、曲线和直线，优先考虑曲直交点，因为曲直交点考查较多，如果曲直交点
无规律，可以考虑曲线，如果曲线无规律，可以考虑数直线，如果直线无规律，
可以做运算，做运算不仅曲线和直线可以做运算，曲直交点和曲线也可以做运算，
曲线和直线之间也可以做运算。
1.2020 国考：在系统班的讲义中讲过这个题目。
（1）每个图中都有曲有直，而且都是弧线，考虑曲直性，题干都有曲有直，
选项都有曲有直，曲直性无规律；考虑相切，切点数量无规律；考虑曲直交点、
曲线、直线，在数的时候分行数，如果曲直交点有规律，直接选答案，如果曲直
交点无规律，在曲直交点下面继续数曲线、直线。
（2）如数曲直交点，分别为3、2、1、2、1，无规律，然后擦掉，再数曲
线，无规律，再数直线，无规律。它们之间可以做运算，如果擦掉就看不出做运
算，只有写成三行，有没有运算规律才显而易见。
（3）数曲直交点，图1 有4 个曲直交点，图2 有6 个曲直交点，图3 有2
个曲直交点，无规律，不需要继续往后数；数曲线，图1 有2 条曲线，图2 有3
条曲线，图3 有1 条曲线；不需要数直线，规律为曲直交点为曲线数的2 倍，选
项中每个图都有1 个圆，找有2 个曲直交点的图，D 项当选。
2.2023 北京：数曲直交点，图1 有4 个曲直交点，图2 有6 个曲直交点，
图3 有4 个曲直交点，曲直交点为4、6、4，无规律；数曲线，图1 有2 条曲线，
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图2 有3 条曲线，图3 有2 条曲线，做运算，规律为曲直交点为曲线的2 倍，找
第二组图的图2 进行验证，有4 个曲直交点，有3 条曲线，不符合规律，需要继
续数；数直线，图1 有4 条直线，图2 有4 条直线，图3 有2 条直线，做运算，
用直线数减去曲线数为2、1、0，为等差数列，第二组图用直线数减去曲线数为
1、0、-1，也为等差数列，A 项当选，考查直线和曲线作差。
3.老师教的内容并不冲突，只是讲曲线和直线时，只能讲曲线和直线做运算，
因为还没有学到交点，等学到交点是综合性的问题时，就会给你综合性的建议。
4.没有考查过数直线和直线的交点或曲线和曲线的交点，如果考查这种就会
更难，基本考查的都是曲直交点，所以不用纠结。做运算时，一般不会考查直线
和曲直交点做运算，只要涉及做运算，一般都是曲线和曲直交点做运算或者曲线
和直线做运算，考查比较多，可以优先思考。
【注意】
1.细化考法：
（1）切点。
（2）框上、框内交点：主要考查圆或椭圆，其他考查很少。
（3）曲直交点：除了考查有几个曲直交点之外，有可能考查曲直交点产生
的位置。
2.考点优先级：
（1）每个图都有圆/椭圆，考虑切点、圆上/圆内交点、曲直交点。
（2）每个图都有曲有直（曲线不都是圆/椭圆）：考虑曲直性、切点，如果
无规律，再考虑曲直交点、曲线、直线，这三者之间可以相互做运算。
3.答疑：曲直性指的是这个图是曲线、直线还是有曲有直。
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点的细化考法
①切点：
②框上/框内交点：
③曲直交点：
【注意】切点一定有曲线，曲直交点也一定有曲线。对于框上、框内的交点，
90%的题目都是考查以圆做框，剩下的10%基本考查框的时候，以直线作为框，
考查正方形比较多，每个图里面都有正方形或三角形（考查很少），可以考虑正
方形内部或正方形上面有几个交点，还有一部分考查外框是多边形，但是每个图
的外框不一样。
【例9】(2021 事业单位)从所给的四个选项中，选择最合适的一个填入问号
处，使之呈现一定的规律性：
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【解析】9.虽然不是每个图都有圆，但是每个图都有正方形，优先考虑正方
形内的交点或正方形上的交点。正方形外部有线，可以优先考虑内部，图1、图
2 内部没有交点，可以数上面有几个交点，每个图正方形上都有2 个交点，“？”
处要找正方形上有2 个交点的图。
A 项：有3 个交点，排除。
B 项：有1 个交点，排除。
C 项：有3 个交点，排除。
D 项：有2 个交点，当选。【选D】
【注意】每个图都有正方形——优先正方形内的交点、正方形上的交点。
【例10】(2023 事业单位)从所给的四个选项中，选择最合适的一个填入问
号处，使之呈现一定的规律性：
【解析】10.多边形被分割，优先考虑数面。考虑笔画数，图4、图5 的笔
画数有很多，不考虑笔画数；考虑面，数面无规律，图1 有3 个面，图2 有4
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个面，图3 有6 个面，可以看面的细化，如看三角形的面是否有规律，图1 有2
个三角形的面，图2 有1 个三角形的面，无规律，考虑相同的面、最大面、最小
面，都无规律，就算最小面是三角形，根据选项也无法选出唯一答案。
多边形被分割，数面没规律，只能考虑内外分开看。看多边形被分割时，数
面无规律，可以数外框有几条直线。内外分开看时，外边数的是边框的数量，内
部数的是面、点、线的数量，数完之后有可能做运算。
如果数边框无规律，可以数面，数面无规律，可以数点，数点无规律，可以
数线，如果还没有规律，内和外之间可以做运算，比如外边框和面可以做运算，
外边框可以和内部的点做运算，外边框也可以和内部的线做运算。
在数的时候，外部要数一行，内部要数三行，在数的过程中，单独有规律可
以直接做，单独没有规律要注意有没有做运算。外部边框数为4、3、5、4、4，
无规律；数内部面，分别为3、4、6，无规律；可以数内部的交点，分别为0、1、
2、3、4，有规律，“？”处找有5 个交点的图即可。
A 项：1 个交点，排除。
B 项：2 个交点，排除。
D 项：4 个交点，排除。
C 项：5 个交点，当选。【选C】
【注意】
1.多边形被分割但数面没规律——内外分开看。
2.多边形被分割但数面没规律——外看边框、内看面、点、线。数面考查最
多，数点考查相对少一些，数线考查更少，这种图几乎没有考查过内部数线，主
要集中在面和点两个考点，所以按照顺序来数即可。
3.答疑：
（1）可以数一数四边形有没有规律，图1 有1 个四边形，图2 有3 个四边
形，图3 没有5 个四边形，无规律。
（2）数面无规律，还要数内部的面，因为数面无规律指的是单纯数面，把
外框的边数出来之后，如果再数面，面和边框可以做运算，有可能会考查外边框
直线的数量和面的数量相等，而且这类题目考查非常多。
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（3）这样的图可能会考查框上的交点，但是考查很少，可以倒退到19 年之
前，在19 年前除了考查数边框的数量之外，有可能会考查数在外框上的交点数
量，这类题目太老了，在事业单位有可能考查，在公务员考试中基本不会考查，
因为公务员考试的题目比较主流，只要记住主流的考查类型即可。如果都是相同
的框，喜欢考框内或框上的交点，如果框不同，很少考查框上的交点，考查框内
的交点居多，在题库中大多数题目都是这样考查。
【注意】
1.外框为直线，如果都是正方形，考虑内部和上面的交点。
2.如果都有多边形外框且数面无规律，外看边框，内看面、点、线，内和外
可做运算。
3.今天讲的很多内容和前面课程的内容有关联，如果只听这节课会觉得有些
难，一定要听前面的课程，这样才能连接到一起。比如曲直性，今天说每个图都
有曲有直，可以考虑曲直性，今天上午没有曲直性的题目，但是下午会有曲直性
的题目，如果每个图都有曲有直，曲直性有规律能够排除选项，那么是一种思维，
如果曲直性有规律，不能排除选项，那么就会考虑另外一种思维，这样到下午再
考查复合考点时还会进行梳理。
考点二：角数量
1.整体数角(特征图：扇形、折线、改造图)
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图一
2.只数直角(特征图：直角三角形、电话卡、改造图)
图二
图三
【注意】角数量：整体数角考查很少，目前几乎不太考查，了解即可。
1.出现扇形比较喜欢考角，如图一，给出一个扇形，有一个角，如果给出一
个多边形，例如三角形就会有三个角，把三角形的一条边画成斜线，就去掉了两
个角，所以可能考查扇形的角。
2.出现折线时会产生很多角，所以出现折线时喜欢考角。
3.改造图就是让你看起来不舒服的地方，比如图一中图2 内部没有画成长方
形，而是留着一点口，因为如果是长方形，那么就是4 个角，如果留着一点口就
少了2 个角。图一中图3 很像用椭圆挡住三角形的底部，三角形应该有3 个角，
挡住之后少了2 个角，只剩1 个角。
4.出现扇形、折线、改造图，比较喜欢整体考查角。现在主流考法是只数直
角。如出现特别多的直角三角形，尤其出现单独存在的直角三角形，比较喜欢考
数直角。
（1）如图二中，每个图都出现了直角三角形，而且在图1 中直角三角形没
有靠着元，为独立存在的直角三角形。
（2）如图三中，电话卡在考直角中出现无数次，包括之前国考在2021 年还
是2022 年也考查了电话卡数直角，如大家买了手机之后装卡时，卡不是正方形
或者长方形，明显缺了一个直角，如果是正方形或者长方形，那么就是4 个直角，
明显缺了这个角其实就是想考这个角，是故意位置。
（3）如改造图，在图三中，图2 明显是想写数字3，如果有人把数字3 写
出图2 的形式，会感觉很奇怪，正常来说写数字3 应该横平竖直，会好看一些，
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把上面的地方稍微扬起来一些，就是把直角改为钝角，这样就有问题，刻意为之
的地方就是要考查的地方。图3 中应该有一个直角三角形，但是用半圆盖住直角
三角形的一部分，想盖住角的时候就是想考角，这是欲盖弥彰。
【例11】(2021 国考)从所给的四个选项中，选择最合适的一个填入问号处，
使之呈现一定的规律性：
【解析】11.除了图1 之外，很多图都有扇形，如果有扇形，比较喜欢考查
角，图2、图3、图4、图5 都有1 个扇形，扇形每次都增加45°，一开始没有
角度，为0°，图2 为45°，图3 为90°，图4 为135°，图5 为180°，180°
+45°=225°，A 项当选。
对于图形推理题，只要记住图形特征就会做题。如果是一个三角形，就有3
个角，如果画扇形，相当于把1 条边去掉画成1 个弧线，就是三角形变成一个扇
形，所以喜欢考查角的位置。
如果实在没有思路，可以相邻比较，可以比较题干，也可以比较选项。B、C
项和A、D 项不同，B 项和C 项都有两个图，A 项和D 项都有一个图，题干都有一
个图，所以可以排除B 项和C 项，剩下A 项和D 项，对比A 项和D 项，都有弧线，
但是两条弧线的弧度不同，题干中的弧线变得越来越大，排除D 项，A 项当选。
如果一道题没有看到扇形，没有想到角的情况下，通过对比题干或者对比选
项，也是一种思维，有时候能帮助你蒙对这道题。【选A】
【注意】
除了考查角的数量之外，还会考查角度。
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【例12】(2021 江苏)从所给的四个选项中，选择最合适的一个填入问号处，
使之呈现一定的规律性：
【解析】12.每幅图里面都有直角，图1 和图5 的直角三角形独立存在，要
数直角。图1 有1 个直角，图2 有2 个直角，图3 有3 个直角，图4 有4 个直角，
图5 有5 个直角，“？”处应该找6 个直角。
A 项：5 个直角，排除。
B 项：6 个直角，当选。
C 项：8 个直角，排除。
D 项：0 个直角，排除。【选B】
【注意】直角三角形较多且图1 和图5 出现独立的直角三角形——优先直角。
【例13】(2025 四川)从所给的四个选项中，选择最合适的一个填入问号处，
使之呈现一定的规律性：
【解析】13.题干的直角三角形较多，而且直角三角形被遮挡，图1 应该是
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直角三角形，被遮挡，图2 中直角三角形上画了一个圆，不能明显地看到直角三
角形，在这种情况下，优先考虑数直角，图1 有1 个直角，图2 有2 个直角，图
3 有3 个直角，图4 有4 个直角，图5 有5 个直角，“？”处应该有6 个直角。
A 项：4 个直角，排除。
B 项：6 个直角，当选。
C 项：在数角的时候不能重复数，如果中间加了一条线，就不能数大角。选
项有4 个直角，排除。
D 项：2 个直角，排除。【选B】
【注意】直角三角形见多且直角三角形被遮挡——优先直角。
【例14】(2023 江苏)从所给的四个选项中，选择最合适的一个填入问号处，
使之呈现一定的规律性：
【解析】14.题干有扇形、直角三角形、电话卡，优先数直角，图1 有1 个
直角，图2 有2 个直角，图3 有3 个直角，图4 有4 个直角，图5 有5 个直角，
“？”处应该为6 个直角，
A 项：8 个直角，排除。
B 项：4 个直角，排除。
C 项：6 个直角，当选。
D 项：7 个直角，排除。
如果没有C 项，可以选D 项，因为D 项有一个直角在外部，题干的直角都在
内部，所以D 项为易错选项。
在数图形时，也要数外部的角，90%以上的题目都要数外部的角，但是如果
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数上外部的角没有答案，那么可以不数外部的角。如果这道题没有C 项，D 项不
数外部的角有答案，那么可以数D 项，所以一般情况下要数外部的角，只有少数
情况不数外部的角。【选C】
【注意】扇形、直角三角形、电话卡——优先直角。
【例15】（2023 浙江）从所给的四个选项中，选择最合适的一个填入问号
处，使之呈现一定的规律性。
【解析】15.观察图形特征，除了图2，其余图形明显分内外，优先考虑分
开看的思维。继续观察发现，图4 是2 个电话卡，出现电话卡，优先考虑数直角，
由于内外分开，故内外分开数直角。题干外部图形直角数依次为0、1、2、3、4，
则“？”处图形外框应有5 个直角。
A 项：外框有6 个直角，排除。
B 项：外框有5 个直角，保留。
C 项：外框有1 个直角，排除。
D 项：外框有4 个直角，排除。【选B】
【注意】
1.内外分开——优先分开看。
2.电话卡——优先直角（电话卡考直角至少考过5 次，省考、国考、江苏、
浙江、四川等多地都考过）。
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【注意】角：出现扇形、折线、改造图，考虑整体数角，整体数可以考虑角
的数量、角度（如0°、45°、90°）；出现直角三角形、电话卡、改造图，考
虑数直角。数直角时，外角一般要数（90%的题目要数），个别时候不数，先数
能解题就直接解题，若数外角没答案，而不数外角有答案，再考虑不数。
考点三：素数量
1.什么是素？
独立小图形
颜色不同，一般为两种
大小不同，一般为一种
2.出现小元素，做题思路？
（1）优先考虑元素种类和个数
（2）找相同（自身/相邻）
【注意】素数量：相对比较简单，记住其思维，大多数都是比较好做的。
1.什么是素：独立小图形。如第一行图，有小白圆、小黑心，都是独立的小
图形。
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2.出现小元素，做题思路如下：优先考虑元素种类和个数，若无法解题，再
找相同的元素。
（1）优先考虑元素种类（长得一样的是一种，长得不一样的是两种）和个
数。
①如第一行图，元素个数依次为2、3、4，元素种类数依次为1、2、3。
②元素种类：颜色不同，一般为两种；大小不同，一般为一种。如第二行图，
（1）中是两种元素，（2）中是一种元素。出现图形一样，但方向不同，如正三
角形和倒三角形，可能看成一种元素或两种元素，具体算几种元素，要看具体题
目。
（2）找相同元素：图形自身有几个相同元素、相邻图形有几个相同元素（如
图1 和图2 相比，有几个相同元素）。
【例16】（2024 事业单位）把下面的六个图形分为两类，使每一类图形都
有各自的共同特征或规律，分类正确的一项是：
A.①③⑤，②④⑥
B.①②④，③⑤⑥
C.①④⑥，②③⑤
D.①②⑥，③④⑤
【解析】16.出现独立小元素，优先考虑元素种类和个数。若要数元素个数，
图③个数很多，故数元素个数没规律，就考虑数元素种类数，依次为1、2、2、
1、2、1。因此，图①④⑥为一组，均有1 种元素；图②③⑤为一组，均有2 种
元素，C 项当选。【选C】
【注意】独立小元素——优先元素种类和个数。
【例17】（2022 四川）从所给的四个选项中，选择最合适的一个填入问号
处，使之呈现一定的规律性。
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【解析】17.出现独立小元素，如小星星、三角形、小图形，优先考虑元素
种类和个数，但这道题元素种类（图1 存在连着的数不清的地方，后面元素种类
数依次为2、2、3）和个数都无规律。此时考虑找相同，即看图形自身有几个相
同元素、相邻图形有几个相同元素（如图1 和图2 相比，有几个相同元素）。题
干每幅图中都有3 个元素长得一样，据此可以选到B 项。【选B】
【注意】
1.独立小元素——优先元素种类和个数。
2.元素细化——找相同（自身/相邻，其考查最多）、看属性（考查相对较
少，故放后面看）。
【例18】（2018 山东选调）从所给的四个选项中，选择最合适的一个填入
问号处，使之呈现一定的规律性。
【解析】18.出现独立小元素，优先考虑数元素种类和个数。题干和选项都
有6 个元素，故考虑数元素种类。题干图形都有3 种元素，则“？”处图形也应
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有3 种元素。
A、C 项：有3 种元素，均保留。
B 项：有4 种元素，排除。
D 项：有5 种元素，排除。
剩下A、C 项，根据元素种类和个数选不到答案，就找相同，题干图形自身
相同元素比例为“2、2、2”“3、2、1”交替出现，则“？”处图形自身相同元
素比例应为“3、2、1”，C 项当选。
A 项：自身相同元素比例为“2、2、2”，排除。【选C】
【注意】
1.独立小元素——优先元素种类和个数。
2.元素细化——找相同（自身/相邻）、看属性。
【注意】
1.这类题第一次考是在国考，国考考完后，山东接着考，山东考完了上海考，
上海考完后，下次可能就是我们考了。
2.2016 国考：题干种类数都是3，个数都是5，据此无法选到答案，故考虑
找相同，题干图形自身相同元素比例为“3、1、1”“2、2、1”交替出现，则“？”
处图形自身相同元素比例应为“2、2、1”，B 项当选。
3.2022 上海：题干图形都有9 个、4 种元素，选不到唯一答案，考虑找相同，
题干图形自身相同元素比例均为“4、2、2、1”，A 项当选。B 项相同元素有3
个的，排除。C、D 项相同元素有5 个的，均排除。
4.当元素个数是相同的，但选不到答案，就可以考虑找相同，除了找数量之
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外，如每幅图都有3 个相同元素，还会看到自身相同元素会有比例的规律。
【例19】（2024 浙江选调）把下面的六个图形分为两类，使每一类图形都
有各自的共同特征或规律，分类正确的一项是：
A.①②③，④⑤⑥
B.①③⑤，②④⑥
C.①③④，②⑤⑥
D.①②⑤，③④⑥
【解析】19.出现独立小元素，优先考虑元素种类和个数。题干图形都有6
个元素，据此无法分组；看种类，每幅图都有5 种元素（因为每幅图中都有2
个元素长得是一样的），也无法分组。此时找相同、看属性。先自身找相同，会
发现相同元素要么挨着，要么在对角上不挨着。因此，图①③④为一组，相同元
素均在对角上不挨着；图②⑤⑥为一组，相同元素均挨着，C 项当选。
有同学认为上述思维不严谨，实际上是严谨的，因为这道题是2024 浙江考
过的一道题，且国考对于这种考法考过2 次，也就是说，浙江不是第一个这样考
的，国考考过2 次、山东考过1 次、联考考过1 次，浙江又考了1 次，即考过很
多次了。记住：如果每幅图元素个数是相同的，且相同元素有2 个，基本上就考
2 个相同元素的位置关系。【选C】
【注意】
1.独立小元素——优先元素种类和个数。
2.元素细化——找相同（自身/相邻）、看属性。
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【例20】（2021 四川）把下面的六个图形分为两类，使每一类图形都有各
自的共同特征或规律，分类正确的一项是：
A.①②④，③⑤⑥
B.①⑤⑥，②③④
C.①③⑤，②④⑥
D.①③⑥，②④⑤
【解析】20.题干图形都有4 个、2 种元素，根据元素个数和种类均无法分
组，考虑找相同，题干图形都有2 个白球、2 个黑球，就看相同元素的位置关系。
图①相同元素都挨着，图②相同元素被分开了，图③相同元素被分开了，图④同
理，图⑤虽然2 个黑球不挨着，但没被割开，是可以挨着的，图⑥同理。
因此，图①⑤⑥为一组，相同元素均可以挨着（没有被间隔）；图②③④为
一组，相同元素均不可以挨着，B 项当选。【选B】
【注意】
1.独立小元素——优先元素种类和个数。
2.元素细化——找相同（自身/相邻）、看属性。
【例21】（2023 四川）从所给的四个选项中，选择最合适的一个填入问号
处，使之呈现一定的规律性。
45
A.254
B.235
C.432
D.215
【解析】21.观察图形特征，上方给出一组图，下方给出一组图，内部给出
好多字母、数字。出现数字，可以考虑数面，但这道题不可行，因为面数量没规
律（上方一组图面数量依次为2、1、1、0）。常规思维无法解题（字母本身就
是一种元素，可以考虑数元素个数、种类，但没有答案），考虑相邻比较，即比
较相邻的两幅图，找相同的地方或不同的地方。
图1 有“O”，图2 也有“O”，但所处的位置不同，即从尾变成了头（前一
幅图尾部的字母与后一幅图开头的字母相同），往后看也满足这个规律。“？”
前为“12”，后面为“45”，则“？”处应为“2”开头，“4”结尾，A 项当选。
【选A】
【注意】
1.独立小元素——优先元素种类和个数。
2.元素细化——找相同（自身/相邻）、看属性。
【注意】素：出现独立小元素，优先考虑元素种类和个数，若均没答案，就
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考虑找相同——看自身是否有相同元素，自身可以看数量、比例、位置（有2
个相同的才考虑看位置）；相邻可以看有几个相同元素、相同元素所在位置是什
么样的。
【例22】（2024 国考）把下面的六个图形分为两类，使每一类图形都有各
自的共同特征或规律，分类正确的一项是：
A.①③④，②⑤⑥
B.①②④，③⑤⑥
C.①②⑥，③④⑤
D.①⑤⑥，②③④
【解析】22.出现独立小元素，优先考虑元素种类和个数，但元素种类和个
数均无法解题（题干图形均有9 个、9 种元素），此时考虑找相同、看属性。由
于是分组分类题，不能看相邻（相邻只能在一组图、两组图、九宫格中看），就
只能看自身。自身没有相同的元素，说明找相同失效了，故看属性（对称、曲直、
开闭）。图①有4 个封闭图形，图②有4 个封闭图形，后续图形中封闭图形个数
依次为5、4、5、5。
因此，图①②④为一组，均有4 个封闭图形；图③⑤⑥为一组，均有5 个封
闭图形，B 项当选。
答疑：有同学没考虑封闭图形有几个，而是直接数面，即看有4 个面还是有
5 个面，据此也可以选到B 项，但老师认为这个不是出题人考查的本质，因为看
所有考过的题目，会发现考的是封闭图形有几个。如图⑥，假设将第一行第二列
的图形中加上一条线，就会有2 个面，此时数面就没有规律了，但数封闭图形就
是有规律的。看面数量有规律的原因在于，出题人没有想为难考生，若出题人要
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为难考生，就会如老师说的，加上线条，面就没规律，只能看属性。【选B】
【注意】
1.独立小元素——优先元素种类和个数。
2.元素细化——找相同（自身/相邻）、看属性（对称、曲直、开闭，其中
对称考查少，主要是考曲直和开闭，故优先考虑曲直和开闭，若没规律，再考虑
对称；对称考查不多的原因在于，对称类型较多，若对称类型要保持一致，就不
太好出题，故对于对称性就考查得很少，主要考曲直和开闭）。
【注意】
1.2023 深圳：出现独立小元素，优先考虑元素种类和个数，但根据元素种
类和个数均选不到答案，此时考虑找相同。自身没有相同，相邻也没有相同，则
找相同失效了，故看属性（对称、曲直、开闭）。图形有曲有直，故先看曲直性，
规律为每幅图均有1 个曲+直、3 个直，据此选到B 项。
2.2024 江苏：这道题考得不是很严谨，出现独立小元素，优先元素种类和
个数。题干图形元素个数依次为4、5、6、7、8，则“？”处图形应有9 个元素，
排除A 项。题干图形只有3 种元素，据此排除D 项（因为D 项有4 种元素）。对
比B、C 项找不同，可以看对称、曲直、开闭是否有不同的地方，B 项“Y”是开
放的；题干图形中都有封闭图形、开放图形，据此排除C 项，B 项当选。
3.看比例：要求数量一样才看比例，如果数量不一样，看比例意义不大。如
分钱，5 个人做生意，我占比10%，若是8 个人做生意，我占比10%，二者是不
一样的，因为都不一样多，此时看比例就没意义。
4.看属性：曲直和开闭要多一些，不行再看对称。
48
【注意】素：细化考法有找相同和看属性（属性优先曲直和开闭，因为考查
多，二者均不行时，再看对称），这两种细化考法要先看相同（因为考查多），
不可行再考虑看属性，因为属性考查少。
【例23】（2021 联考）从所给的四个选项中，选择最合适的一个填入问号
处，使之呈现一定的规律性。
【解析】23.出现独立小元素，优先考虑元素种类和个数；先看种类数，因
为数种类数比较费劲一些，而数个数会很好数，谁都会（如小学生都会），故数
个数考查不多，一旦涉及数个数，就不仅仅是要求数个数，一定会增加难度，即
通过运算增加难度（只要数数简单的，都会在运算上增加难度）。
第一行图元素个数依次为6、1、8，第二行图元素个数依次为7、5、3，第
三行图元素个数依次为？、9、4，每行/列/对角线元素个数相加都是15（源自
河书洛图，若学《易经》，就会学到这个东西），则“？”处图形元素个数应为
49
2，且这2 个元素必须是黑的（若为2 个白的不能选，因为九宫格四个角都是黑
的），B 项当选。
答疑：有同学考虑偶数都是黑色的，“？”处缺的是黑色的，而黑色的要为
偶数，据此选到B 项也没问题。黑白可以代表阴和阳。【选B】
【注意】独立小元素——优先元素种类和个数。
【例24】（2020 联考）从所给的四个选项中，选择最合适的一个填入问号
处，使之呈现一定的规律性。
【解析】24.出现黑白球，两种元素，可以分开数（无论是位置、样式、属
性……，只要能分成2 的情况下，都可以分开看）。黑球数依次为2、0、2、2，
白球数依次为1、2、3、5，规律为前两幅图相同元素个数加和得到第三幅图相
同元素个数，则“？”处图形应有4 黑、8 白，B 项当选（只看黑球数就可以选
到B 项）。
本题考了做运算，因为单独数数太简单了，为了提升难度，就会考做运算。
一组图中是相邻图形数量运算得到第三幅图（如依次为1、2、3、5）。面和素
超级喜欢考做运算，九宫格中考整行相加。【选B】
【注意】两种元素——分开数，可做运算。
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【例25】（2023 国考）把下面的六个图形分为两类，使每一类图形都有各
自的共同特征或规律，分类正确的一项是：
A.①②⑤，③④⑥
B.①②④，③⑤⑥
C.①④⑤，②③⑥
D.①③⑤，②④⑥
【解析】25.每幅图都出现圆、正方形这两种元素，考虑分开数。题干圆形
个数依次为5、0、1、3、4、2，正方形个数依次为4、1、2、2、3、3，会发现
差值都是1，看谁比谁多1 即可。因此，图①④⑤为一组，均是圆形比正方形多
1 个；图②③⑥为一组，均是正方形比圆形多1 个，C 项当选。
做运算中减法较多、加法稍微少一些，而乘、除也是有可能的。此前讲过一
道题，曲直交点是曲线数的两倍，就是做除法。做运算可以做加减乘除。【选C】
【注意】两种元素——分开数，可做运算。
【例26】（2019 浙江）从所给的四个选项中，选择最合适的一个填入问号
处，使之呈现一定的规律性。
【解析】26.出现两种元素，分开看，但分开数没规律（三角形个数依次为
3、1、2、3、1，圆形个数依次为1、2、2、2、3），做运算也没规律，此时考
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虑做换算（为固定思维/套路，因为其很难想到）。如该题，换算就是一个圆等
于几个三角形，或一个三角形等于几个圆，即存在等量关系，然后将题干元素换
算成同一种元素，就会呈现规律，如元素个数在数量上就会呈现等差数列，如1、
3、5、7、9，等差数列有一个规律，即两边的2 个数相加等于中间数乘以2（为
固定规则），如1+5=3×2、5+9=7×2。
图1+图3=2×图2，即“5△+3○=2△+4○”，化简得到“○=3△”，将题
干图形均换算为三角形，三角形个数依次为6、7、8、9、10，则“？”处图形
应有11 个三角形，B 项当选。
A、D 项：有12 个三角形，均排除。
C 项：有8 个三角形，排除。
答疑：若是恒定的，也满足规律，因为其也是等差数列，只是公差为0。若
是等比，会出现平方，如该题，前三幅图应为“（3△+○）（2△+2○）=（2○+
△）
2”，有平方就无法算，故不用考虑等比，考虑等差就行了。曾经考过等比，
但考等比时，不需要计算，如图1 是4 个三角形、2 个圆，图2 是2 个三角形、
1 个圆，此时能直接看出是2 倍的关系，这是二十年前的题目了。等比不要求算，
要求算的一般是等差。
计算比较花时间，若不想算，可以用等差数列的第二个规则，如等差数列为
a1、a2、a3……，a5-a1=a6-a2（因为都是4 个公差，也就是说，右下角数字的差相
等，就永远是相等的）。此时不用一个一个去看，而是可以间隔去看，图1 有3
个三角形，图4 中也有3 个三角形，中间间隔两幅图，二者的差值是差了1 个圆，
“？”处图形与图3 相隔两幅图，则二者也是差值1 个圆，即在图3 基础上加上
1 个圆，就是“？”所需图形，据此也可以选到B 项。【选B】
【注意】两种元素——分开数，先做运算，再做换算。
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【注意】
1.2023 四川：图3 上和下是两种元素，若当成了一种元素，就没有考的意
义了，故不同方向的元素看成两种元素，才能做题。图1 和图3 间隔一幅图，差
了一个朝下的，则“？”处图形与图4 间隔一幅图，差了一个朝下的，A 项当选。
2.2020 江苏：图1 有圆也有五角星，看谁均可。若看五角星，如图1 和图2
相隔0 幅图，但多了1 个圆，则“？”处图形与图5 相隔0 幅图，要多1 个圆，
据此能选到A 项。也可以看圆，图1 和图3 相隔一幅图，多了1 个五角星，“？”
处与图4 相隔一幅图，要多1 个五角星，据此也能选到A 项。这样的题，只要能
找答案，就可以解题，但老师不能说所有题都可以这样解题，若通过这样的方法，
选不到A 项这样的答案，就只能按部就班地去算（80%-90%的题目都可以用这样
的方法去做题，剩下的没法这样做的题目，再用算的方法去解题）。
部分数
1.什么是部分数？
连在一起就是一部分
2.什么时候考虑部分数？
生活化、粗线条图形
【注意】部分数
1.什么是部分数：连在一起就是一部分。如上图，图1 是一部分，图2 是两
部分（因为中间断开了）。
2.什么时候考虑部分数：生活化、粗线条图形。
【例27】（2022 江苏）从所给的四个选项中，选择最合适的一个填入问号
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处，使之呈现一定的规律性。
【解析】27.出现生活化图形，如图1 是灯、图2 类似领带结、图3 有信封，
90%的概率都是考属性（对称、曲直、开闭）、数量（面、部分）。图5 不对称，
曲直性、开闭性也没规律；考虑数面，面数量依次为2、5……，也没规律，就
考虑部分数。题干图形部分数均为2，则“？”处图形也应有2 部分，B 项当选。
A 项：有3 部分，排除。
C 项：有4 部分，排除。
D 项：有一部分，排除。【选B】
【注意】生活化或粗线条——属性（对称、曲直、开闭）、数量（面、部分）。
【例28】（2023 湖北选调）把下面的六个图形分为两类，使每一类图形都
有各自的共同特征或规律，分类正确的一项是：
A.①②⑤，③④⑥
B.①②⑥，③④⑤
C.①③④，②⑤⑥
D.①⑤⑥，②③④
【解析】28.出现生活化图形，图③是下雨的云朵、图④是除号，先看属性，
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但对称、曲直、开闭均无规律，接着看面，也没规律，就考虑部分数。因此，图
①②⑥为一组，均是一部分；图③④⑤为一组，均是多个部分，B 项当选。
答疑：有同学考虑图①②⑥是全直线，图③④⑤是有曲有直的，但图⑤中有
纯黑的部分，其考曲直性的概率很低，同理的还有图③下方的“雨滴”（据此也
选到B 项）。对称按照不严谨分类虽然能分（图②④⑤均是轴对称图形），但没
有对应的选项。【选B】
【注意】生活化或粗线条——属性（对称、曲直、开闭）、数量（面、部分）。
生活化、粗线条图形常见考法：
1.属性（对称、开闭、曲直）
2.面
3.部分
【注意】生活化、粗线条图形常见考法：
1.属性：对称、开闭、曲直。如第一行图，题干图形都是开放图形。
2.面：如第二行图，考的是面的个数，依次为3、4、5、6。
3.部分数：如最后一行图，考虑部分数，出现纯黑色的图形，一般不会考曲
直性。
4.其他考法：在讲数直线的题目，出现打乒乓球，就是数直线，也有可能考
笔画数，但以上三种考法占90%以上，这几个都没规律，再根据图形特征定位别
的考点。
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省考出题人不严谨考法汇总：
1.属性：对称/不对称、全直/有曲、全开放/有封闭
2.数量：一笔画/多笔画、一部分/多部分
【注意】省考出题人不严谨考法汇总：考过的优先，没考过的就不要优先。
1.属性：对称/不对称、全直/有曲、全开放/有封闭。
2.数量：一笔画/多笔画、一部分/多部分。交点、面数量等没有不严谨的考
法（有的老师会介绍，没介绍的说明出题人不会这样考，要做到心中有数）。
【注意】素：
1.出现独立小图形，考虑元素种类和个数。其常规考法和细化考法如思维导
图所示（注意：看属性时，先曲直和开闭，因为对称考查少）。
2.出现生活化粗线条，考虑部分数。
3.特殊考法：具体如思维导图所示（注意：换算有快速解题的方法）。
4.黑白块也可以考部分数，即黑球有几部分，白球有几部分，后续会有一节
课讲解黑白块，其可以考平移、黑白运算、部分数、笔画数……。
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遇见不一样的自己
Be your better self
