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理论攻坚-判断 2
（讲义+笔记）
主讲教师：王三石
授课时间：2021.01.10
粉笔公考·官方微信理论攻坚-判断 2（讲义）
第五节 数量规律
一、线数量
特征图：
1.直线数：多边形、单一直线
2.曲线数：圆、曲线图形、单一曲线
【例1】（2017宁德）从所给的四个选项中，选择最合适的一个填入问号处，
使之呈现一定的规律性。（ ）
【例2】（2018浙江）从所给的四个选项中，选择最合适的一个填入问号处，
使之呈现一定的规律性。（ ）
1【例3】（2017江苏）下面给出了五个图形，请你从选项所给的四个图形中
选出唯一的一项，作为保持下面五个图形规律性的第六个图形。（ ）
一笔画图形特征：
1.线条之间全部连通
2.奇点数为0个或2个
奇点：发射出奇数条线的点
注：所有的端点都是奇点，数奇点时要数上端点
多笔画：
图形笔画数=奇点数÷2（任何连通图形的奇点数一定为偶数）
常见笔画数特征图：
五角星，“日”，“田”，“日”和“田”的变形图，圆和圆相切、相交，具有
出头端点图形，明显一笔完成图形
【例4】（2015联考）从所给的四个选项中，选择最合适的一个填入问号处，
使之呈现一定的规律性。（ ）
2【例5】（2018联考）从所给的四个选项中，选择最合适的一个填入问号处，
使之呈现一定的规律性。（ ）
【例6】（2018新疆兵团）从所给的四个选项中，选择最合适的一个填入问
号处，使之呈现一定的规律性。（ ）
3二、角数量
特征图：含有直角的图形
【例7】（2019浙江）从所给的四个选项中，选择最合适的一个填入问号处，
使之呈现一定的规律性。（ ）
三、面数量
特征图：图形被分割、封闭面明显
【例8】（2018联考）从所给的四个选项中，选择最合适的一个填入问号处，
使之呈现一定的规律性。（ ）
【例9】（2019公务员）从所给的四个选项中，选择最合适的一个填入问号
处，使之呈现一定的规律性。（ ）
4【例10】（2016联考）从所给的四个选项中，选择最合适的一个填入问号处，
使之呈现一定的规律性。（ ）
【例11】（2019联考）从所给的四个选项中，选择最合适的一个填入问号处，
使之呈现一定的规律性。（ ）
四、点数量
特征图：线条和线条交叉明显
【例12】（2017联考）从所给的四个选项中，选择最合适的一个填入问号处，
使之呈现一定的规律性。（ ）
5【例13】（2018内蒙古）从所给的四个选项中，选择最合适的一个填入问号
处，使之呈现一定的规律性。（ ）
【例14】（2019联考）从所给的四个选项中，选择最合适的一个填入问号处，
使之呈现一定的规律性。（ ）
五、素数量
1.元素种类
2.元素个数
63.部分数
【例15】（2017汕尾）从所给的四个选项中，选择最合适的一个填入问号处，
使之呈现一定的规律性。（ ）
【例16】（2019深圳）从所给的四个选项中，选择最合适的一个填入问号处，
使之呈现一定的规律性。（ ）
【例17】（2019江苏）从所给的四个选项中，选择最合适的一个填入问号处，
使之呈现一定的规律性。（ ）
7第六节 空间重构
一、相对关系
应用：一组相对面同时出现的选项——排除
展开图中如何判断相对面：
1.同行或同列相隔一个面
2.“Z”字形两端，且紧靠着“Z”字形中间那条线
【例1】（2017联考）左边给定的是纸盒外表面的展开图，右边哪一项能由
它折叠而成？（ ）
8【例2】（2017阳泉）左边给定的是纸盒外表面的展开图，右边哪一项能由
它折叠而成？（ ）
二、相邻关系
应用：折叠前后相邻关系保持不变
【例3】（2018武汉）左边给定的是正方体外表面的展开图，右边哪一项能
由它折叠而成？（ ）
【例4】（2019联考）左边给定的是纸盒外表面的展开图，右边哪一项能由
它折叠而成？（ ）
9【例5】（2017衡阳）左边给定的是纸盒外表面的展开图，右边哪一项能由
它折叠而成？（ ）
画边法排除错误相邻关系
【例6】（2016厦门）能折成此正方体的是（ ）。
【例7】（2017公务员）左边给定的是纸盒外表面的展开图，右边哪一项能
由它折叠而成？（ ）
1011理论攻坚-判断 2（笔记）
图形推理
元素相同：位置
元素相似：样式
元素不同：优先属性
特殊规律：功能元素
【注意】图形推理：
1.上节课学习了图形推理的位置规律、样式规律、属性规律和功能元素，强
调根据图形特征找规律。元素相同考虑位置，元素相似考虑样式，元素不同，优
先考虑属性规律，其次考虑数量规律，还包括特殊规律的功能元素。
2.本节课讲解数量规律、空间重构。
第五节 数量规律
数量类识别特征：
元素组成不相同、不相似，且无属性规律
数量规律明显
考点：
线、角、面、点、素
【注意】数量规律：
1.数量类识别特征：元素组成不相同、不相似，且无属性规律，考虑数量规
律。属性规律的对称性、封闭性、曲直性验证很快，数量规律验证比较麻烦，所
以优先考虑属性规律，其次考虑数量规律。如图，图形元素组成不相同、不相似，
图1是雪花，图2是百分号，图3有加号，图4有钱，考虑数量规律。
2.考点：线、角、面、点、素。
12知识点1：线
1、直线
特征图：多边形、单一直线
图一 图二
2、曲线
特征图：曲线图形（全曲线图、圆、弧）
图三 图四 图五
【注意】线：直线和曲线分开看、分开数，一起数考查的题特别少。
1.直线特征图：多边形、单一直线。如图一，图2外面有六边形，图3外面
为四边形，图4、图5出现单一直线，为了“凑数”，考虑数直线。
2.曲线特征图：曲线图形（全曲线图、圆、弧），如图三，图 2、图 4 均是
全曲线图形，图1出现圆（1条曲线），出现弧考虑曲线数。
3.数线：
（1）直线：如图二，有 2 条直线，直线为直着的、完整的一条线，图形中
上面和下面分别为1条直线，共有2条直线。
（2）曲线：如图四，外面圆为 1条曲线；图五“山峰”有 2条曲线，中间
的点为拐点，线的方向发生“突然性”的变化，可以用手摸线条，“扎手”意味
着是拐点，说明不是1条曲线；平滑的曲线不“扎手”，为1条曲线。
【例1】（2017宁德）从所给的四个选项中，选择最合适的一个填入问号处，
使之呈现一定的规律性。（ ）
13【解析】1.首先找特征图，图1是单一直线，图2是多边形，图3、图4外
框依次是四边形、六边形，考虑数直线，题干图形直线数量依次为1、3、5、7，
为递增的等差数列，则“？”处图形应有9条直线。
A项：为6+3=9条线，保留。
B项：为4+2=6条线，排除。
C项：内部有2条直线，外面圆不是直线，排除。
D项：有3+1=4条直线，排除。
梳理：首先找特征图，有单一直线、多边形，考虑数直线，直线、曲线分开
数。
答疑：图1为轴+中心对称图形，图2为轴对称图形，图3为中心对称图形，
图4为轴+中心对称，无法确定“？”处图形的对称特征，且选项均是对称图形，
无法选出答案。图1的“单一直线”一般不看为对称图形。若题目难度较大，可
以优先考虑属性规律，无规律再考虑数量规律。【选A】
【例2】（2018浙江）从所给的四个选项中，选择最合适的一个填入问号处，
使之呈现一定的规律性。（ ）
14【解析】2.找图形特征，元素组成不同，优先考虑属性规律（对称性、曲直
性、开闭性）。优先考虑对称性，第一行图 1、图 3 不对称，对称性无规律；考
虑曲直性，第一行图形均有曲有直，第二行图1只有曲线，图2、图3均有曲有
直，曲直性无规律；考虑封闭性，题干和选项均是封闭图形，选不出答案，考虑
数量规律。
题干第二行图 1、第三行图 1出现圆，第三行图 1、第一行图 3出现弧，涉
及全曲线图形，优先考虑数曲线，曲直和直线分开数。
九宫格，优先横着看，第一行图形均有 1条曲线，第二行图形均有2条曲线，
第三行图形均有3条曲线，则“？”处图形应有3条曲线。
A项：有0条曲线，排除。
B项：有1条曲线，排除。
C项：有2条曲线，排除。
D项：有3条曲线，当选。【选D】
【注意】特征图：曲线图形（全曲线图、圆、弧），考虑数曲线。
线的细化考法：
1.什么时候想细化？
出现数线特征图，但整体数线无规律
2.怎么细化？
a.按方向分：横竖分开数
图一
b.按位置分：内外分开数
图二
15【注意】线的细化考法：
1.什么时候想细化：出现数线特征图，但整体数线无规律，考虑线的细化。
2.怎么细化：
（1）按方向分：横竖分开数。如图一，整体有数线特征图，但是无规律，
图形明显分为横竖交叉，竖线依次为3、3、3，方向规律统一。
（2）按位置分：内外分开数。如图二，外面轮廓均为多边形，内部有单一
直线，整体数线无规律，考虑内外分开看，直线数依次为：图1为外6内5，图
2为外5内4，图3 为外4内3，图4为外4内3，图5为外5内4，规律为外部
直线比内部直线数多1。
3.梳理：优先找数线特征图，整体数线无规律，考虑线的细化，根据方向考
虑横竖分开数（十字交叉明显），根据位置考虑内外分开数（有外框）。
【例3】（2017江苏）下面给出了五个图形，请你从选项所给的四个图形中
选出唯一的一项，作为保持下面五个图形规律性的第六个图形。（ ）
【解析】3.图4为2个四边形，有明显多边形存在，考虑数直线，整体数线
图1和图2依次为2、7，2和7相差较多，无需继续数线，整体数线无规律，考
虑线的细化。
图1、图2、图3只有轮廓，没有内部线条，不考虑内外，考虑横竖分开数，
横线无规律，竖线数量依次为1、2、3、4、5，依次递增，则应选择有6条竖线
的图形。
A项：有4条竖线，排除。
B项：有5条竖线，排除。
C项：有6条竖线，保留。
16D项：有8条竖线，排除。
梳理思路：优先找特征图，题干和选项有多边形，考虑数直线，整体数线无
规律，考虑线的细化，分为方向、位置，本题不能考虑内外的位置，则考虑方向，
据此选出答案。
答疑：直角数依次为 1、4……，无规律；对称轴方向无规律，因为图 4 对
称轴数量较多，不确定以哪个方向为准，对称性无规律。【选C】
线的特殊考点：笔画问题
一笔画：图形由一笔画成，线条不能重复来回画
图一
图二
【注意】线的特殊考点：
1.笔画问题。考查的不是有几条线，考查的是几笔可以画出，其中一笔画考
查最多，多笔画会考查，考查的频率不高。
2.一笔画：图形由一笔画成，线条不能重复来回画，一笔往前画，不能倒退、
重复，如图一，均可以一笔画出。
3.如图二，左图单纯靠想象能力画出来会浪费时间，路线如右图所示，沿着
箭头方向可以一笔画出。考试中不要尝试画出图形，也不允许画出，复杂图形一
17是会画错，二是会浪费时间。
一笔画的判定方法：
（1）线条之间全部连通
图一
（2）奇点数为0个或2个
奇点：发射出奇数条线的点
图二
数奇点的时候不要忘记数上端点！
图三
【注意】一笔画：
1.判定方法：
（1）线条之间全部连通。如图一，不能一笔画图形，因为不是连通图形。
（2）奇点数为0个或2个。
2.奇点：发射出奇数条线的点。
（1）奇数是不能被2整除的数，如1、3、5、7、9。
（2）如图二，图 1 蓝色的点发射 2 条线，2 不是奇数，则不是奇点；图 2
黄色点发射 3 条线，3 是奇数，则是奇点；图 3 黄色点发射3条线，3 是奇数，
则是奇点。
18（3）判断奇点只看从点往几个方向发射线条，则就是几条线，可以看为一
个小人站在点上，看有几个方向可以走。
3.端点也是奇点：如图二，图1红色端点发射1条线，1是奇数，则是奇点，
说明所有的端点都是奇点，数奇点的时候不要忘记数端点。
4.练习：如图三。
（1）图 1 有2个奇点，右侧上面的点发射 3 条线，是奇点；右侧下面的点
发射3条线，是奇点；左侧上面的点发射2条线，不是奇点，图形有2个奇点，
且是连通图，是一笔画图形。
（2）图 2 没有奇点，图形中的点为 2 个圆的切点，发射 4 条线，4 不是奇
数，则不是奇点，图形有0个奇点，且是连通图，是一笔画图形。
（3）图 3 有4个奇点，右侧中间的点引发 3 条线，是奇点，另外 3条边中
间的点均是奇点；中间的“十”字交点发射4条线，4不是奇数，不是奇点。
多笔画：
图形笔画数=奇点数/2（奇点数一定是偶数个）
图1 图2
多部分图形的笔画数：
将每个部分的笔画数分别数出来，再相加
【注意】多笔画：
1.图形笔画数=奇点数/2。如图形有4个奇点，4/2=2，则为两笔画图形，如
有10个奇点，10/2=5，则为五笔画图形。其中奇点数一定是偶数个（0、2、6、
8），不能数出奇数个奇点。
2.如图1，右侧中间的点、左侧中间的点是奇点，左侧上下的2个端点都是
奇点，共有4个奇点，4/2=2，则为两笔画图形；图2有4个奇点/端点，4/2=2，
内部图形是两笔画图形，加上外面的圆，共为三笔画图形。
193.多部分图形的笔画数：将每个部分的笔画数分别数出来，再相加。
笔画数特征图·经典款
五角星、切圆、“日”字、“田”字
笔画数特征图·变形款
笔画数特征图·潮流款
多端点、明显能一笔画成的图形
笔画数特征图：“马走日、象走田，星星端点还有圆，外加三角形一线牵”
20【注意】笔画数特征图：
1.经典款：五角星、切圆、“日”字、“田”字。
2.变形款：
（1）如五角星内部连通、五角星外部加圆。
（2）圆相切变形、圆相交变形，如图第二行图3，将图形无限拉大类似于4
个圆相切。
（3）外部有封闭图形，内部有1条线，均为“日”字变形，包括圆柱。
（4）外部是封闭图形，内部有2条线，均为“田”字变形。
3.潮流款：多端点、明显能一笔画成的图形，想象用手拉图形2个端点，为
一条直线。
4.笔画数特征图口诀：“马走日、象走田，星星端点还有圆，外加三角形一
线牵”。“马走日”是“日”字及其变形，“象走田”是“田”字及其变形，星星、
端点、圆相切/相交、三角形、一线牵均考虑笔画数。
5.“田”是两笔画图形，无需背，根据奇点数判断笔画数。
【例4】（2015联考）从所给的四个选项中，选择最合适的一个填入问号处，
使之呈现一定的规律性。（ ）
21【解析】4.先找特征图，图1是三角形、“日”字变形，图2是圆相切，图
4是五角星，图5是“日”字变形，优先考虑笔画数，数奇点。图1有2个奇点，
图2有0个奇点，图 3没有奇点，图4没有奇点，图5有2个奇点，奇点数是0
或2，且均是连通图，均是一笔画图形，则“？”处应为一笔画图形。
A项：有4个奇点，是两笔画图形，排除。
B项：有0个奇点，但是为两笔画图形，排除。
C项：有2个奇点，为一笔画图形，当选。
D项：有4个奇点，为两笔画图形，排除。【选C】
【例5】（2018联考）从所给的四个选项中，选择最合适的一个填入问号处，
使之呈现一定的规律性。（ ）
22【解析】5.优先找特征图，图1存在端点，图2均是三角形，图3出现五角
星，优先考虑笔画数，数奇点。图 1 有2 个奇点/端点，图 2 有 2 个奇点，图 3
没有奇点，图4有2个奇点，奇点数是0或2，说明均是一笔画图形，则“？”
处应为一笔画图形。
A项：有4个奇点，4/2=2，为两笔画图形，排除。
B项：有4个奇点/端点，为两笔画图形，排除。
C项：有8个奇点，为四笔画图形，排除。
D项：没有奇点，为一笔画图形，当选。【选D】
【例6】（2018新疆兵团）从所给的四个选项中，选择最合适的一个填入问
号处，使之呈现一定的规律性。（ ）
【解析】6.优先找特征图，第一行图1、图2出现端点，第二行有圆相交、
端点，第三行图1为一笔画成图形，A、C项为“田”字变形，B项为“日”字变
23形，考虑笔画数，数奇点。
九宫格横着看，第一行图1有2个奇点，是一笔画图形；图2有2个奇点，
加上圆，是两笔画图形；图 3 有 6 个奇点，6/2=3，为三笔画图形；第二行图 1
没有奇点，为一笔画图形，图2不连通，为两笔画图形；图3有6个奇点（4个
端点），为三笔画图形；第三行图 1为一笔画图形，图 2 有4个奇点，为两笔画
图形，则“？”处应为三笔画图形。
A项：为“田”字变形，有4个奇点，为两笔画图形，排除。
B项：为“日”字变形，有2个奇点，为一笔画图形，排除。
C项：有4个奇点，为两笔画图形，排除。
D项：有6个奇点，为三笔画图形，当选。【选D】
线的考点总结
【注意】线的考点总结：
241.最难的是笔画问题，根据奇点判断笔画数即可，每幅图优先数奇点个数，
数出总数后再根据奇点数判断笔画数，0或2个奇点为一笔画图形，多笔画图形
为奇点数/2。掌握口诀“马走日、象走田，星星端点还有圆，外加三角形一线牵”。
2.直线、曲线单独数难度不大，重点考虑细化，横线分开看、内外分开看。
3.单独考查直线、曲线数没有单独考查笔画数概率大。
知识点2：角
什么是角：直线与直线相交
数什么样的角：小于180°
图1
特殊角：直角
特征图：含有直角的图形
图2
【注意】角：
1.什么是角：直线与直线相交。如图1，有1个直角，曲线相交不是角。
2.数什么样的角：小于180°，分为直角、锐角、钝角。
3.特殊角：直角考查较多，历年考查角的真题均与直角有关，2016到2018
年考查过5道角的题，2018年之后没有考查过角。
4.特征图：含有直角的图形，优先考虑数直角。如图2，有1个直角，共有
3个角。
【例7】（2019浙江）从所给的四个选项中，选择最合适的一个填入问号处，
25使之呈现一定的规律性。（ ）
【解析】7.题干图形均有明显的直角存在，考虑数直角，直角数依次为1、
2、3、4、5，依次递增，则“？”处图形应有6个直角。
A项：有4个直角，排除。
B项：有6个直角，当选。
C项：有1个直角，排除。
D项：有4个直角，排除。【选B】
【注意】数角要一个一个单独数，2个角相加为90°不是直角，不能拆开。
知识点3：面
1.什么是面：空白的封闭区间（窟窿）
图1 图2
26面是白的，黑的不是
2.面的特征图：图形被分割、封闭面明显
图3 图4
【注意】面：
1.什么是面：空白的封闭区间（窟窿），面是白的，黑的不是。如图1，有6
个面，图2有5个面，因为黑色的部分不是面。
2.面的特征图：图形被分割、封闭面明显。如图3，像切蛋糕一样，为图形
明显被分割；图4为明显的封闭面，优先考虑数面。
【例8】（2018联考）从所给的四个选项中，选择最合适的一个填入问号处，
使之呈现一定的规律性。（ ）
【解析】8.图1、图4有五角星，笔画数无规律；每幅图明显被分割、窟窿
明显，考虑数面，题干图形面数量均是3，则“？”处图形应有3个面。
A项：有2个面，排除。
B项：有3个面，保留。
C项：有5个面，排除。
D项：有1个面，排除。【选B】
面的细化考法：
什么时候想细化？
27出现数面特征图，但整体数面无规律
形状
1.所有面
图1 图2
【注意】面的细化考法：
1.什么时候想细化：出现数面特征图，但整体数面无规律，考虑面的细化。
2.考查最多的是形状，首先考虑所有面的形状，如图1，所有面的形状均是
三角形，图2所有面的形状均是四边形。
【例9】（2019公务员）从所给的四个选项中，选择最合适的一个填入问号
处，使之呈现一定的规律性。（ ）
【解析】9.第一组图形明显被切割，窟窿较多，考虑数面，均为4个面，第
二组图形均有5个面，但是4个选项均是5个面，面数量有规律选不出唯一答案，
考虑面的细化，优先考虑所有面的形状。第一组图所有面的形状均是三角形，第
二组图所有面的形状均是四边形。
A项：有三角形，排除。
B项：有三角形，排除。
C项：均是三角形，排除。
D项：均是四边形，当选。【选D】
【注意】数面特征明显、但整体数无唯一答案：面的细化——形状。
28面的细化考法：
什么时候想细化？
出现数面特征图，但整体数面无规律
形状
1.所有面
2.部分面
图1 图2
（相同形状的面、某一形状的面）
【注意】部分面：所有面形状无规律，考虑部分面。
1.相同形状的面：如图1，有 5个形状完全相同的三角形；图2有3个完全
相同的梯形，不是三角形，判断形状时一个一个分开数，有4 个面，不要重复数、
合并数，合并数的考查几率不高，且难度大。
2.某一形状的面：如图1有5个三角形，图2有1个三角形。
3.具体规律结合题目具体分析，哪种情况可以形成规律，考虑哪种情况。
【例10】（2016联考）从所给的四个选项中，选择最合适的一个填入问号处，
使之呈现一定的规律性。（ ）
29【解析】10.题干窟窿较多，封闭面明显，优先考虑数面，面数量依次为3、
4、5、6、7，则“？”处图形应为8个面。
A项：有7个面，排除。
B、C、D项：均有8个面，均保留。
考虑面的细化，优先考虑所有面的形状，图1所有面形状不同，所有面的形
状无规律；考虑部分面的形状，图1有2 个形状相同的“L”，图2有3个形状相
同的梯形，图3有4个形状相同的面，图4有5个形状相同的三角形，图5有6
个形状相同的面，则“？”处图形应有7个形状相同的面。
B项：有7个形状相同的面，当选。
C项：有8个形状相同的面，排除。
D项：有8个形状相同的三角形，排除。【选B】
【例11】（2019联考）从所给的四个选项中，选择最合适的一个填入问号处，
使之呈现一定的规律性。（ ）
【解析】11.第一组图窟窿较多，图形明显被分割，考虑数面，依次为2、3、
3，无规律，考虑面的细化。图 1 形状不同，不考虑所有面形状；考虑部分面的
形状，图1没有相同形状的面；观察某一形状的面，图3的3个面均是三角形，
则优先考虑三角形，第一组图形三角形数量依次为1、2、3，递增规律；第二组
图形三角形数量依次为1、2，则“？”处图形应有3个三角形。
A项：有3个三角形，保留。
B项：有2个三角形，排除。
C项：有1个三角形，排除。
D项：有2个三角形，排除。【选A】
30面的细化考法：
什么时候想细化？
出现数面特征图，但整体数面无规律
形状
1.所有面
2.部分面
（相同形状的面、某一形状的面）
3.单个面（最大、最小）
图1 图2
【注意】单个面：所有面、部分面均无规律，考虑单个面，包括最大（考查
较多）、最小（考查较少），图形有明显的特别大、小的图形，考虑单个面。如图，
图1明显最大面是三角形，图2明显最大面是平行四边形。
【拓展】（2018 浙江）把下面的六个图形分为两类，使每一类都有各自的共
同特征或规律，分类正确的是（ ）
31A.①③④，②⑤⑥ B.①③⑤，②④⑥
C.①②⑥，③④⑤ D.①④⑥，②③⑤
【解析】拓展.课堂正确率为 45%。封闭面明显，窟窿较多，明显被切割，
考虑数面，面数量无规律，考虑面的细化，优先考虑所有面形状，图①所有面形
状不同，考虑部分面形状，也没有完全一致的面，考虑单个面的形状，图①有明
显特别小的面，图②③⑤有明显特别大的面，考虑单个面。
图②③⑤特点为最大面和外轮廓形状完全相同，图①最小面是拱形，与外轮
廓相同，图④最小面三角形和外轮廓相同，图⑥最小面和外轮廓相同，图①④⑥
一组，图②③⑤一组，D项当选。【选D】
什么时候想细化？
当出现明显数面特征图，整体数面无规律，想细化！
【注意】面：
1.特征图：图形被分割、封闭面明显，考虑数面。
2.面是细化：所有面、部分面、单个面依次考虑。
3.当出现明显数面特征图，整体数面无规律，考虑面的细化。
四、点数量
知识点4：点
1.什么是点：线与线的交点
图1 图2
32图3 图4
注：切点、顶点也是交点
端点不是交点
2.数点的特征图：
（1）线条交叉明显（大树杈）
图5 图6
（2）乱糟糟一团线交叉（心乱如麻）
（3）相切较多（擦边球）
【注意】点数量：
1.什么是点：线与线的交点。如图1为两条直线相交的交点，图2为两条曲
线相交的交点，交点与直线曲线无关，只要相交，均为交点。图3为顶点，顶点
也是交点，图4为圆与直线相切的切点，也是交点。
2.切点、顶点是交点，端点不是交点。
3.特征图：
（1）线条交叉明显（大树杈），如图5和图6。
（2）乱糟糟一团线（心乱如麻）。
（3）相切较多（擦边球）。
33【例12】（2017联考）从所给的四个选项中，选择最合适的一个填入问号
处，使之呈现一定的规律性。（ ）
【解析】12.优先判断图形特征。图 1为“心乱如麻”，图 3、图4、图5 类
似“大树杈”，优先考虑数点。题干图形交点数依次为2、3、4、5、6，则“？”
处图形应有7个交点。
A项：有8个交点，排除。
B项：有8个交点，排除。
C项：有7个交点，当选。
D项：有9个交点，排除。【选C】
【注意】线条交叉明显（大树杈），优先考虑数点。
点的细化考法：
图1 图2
点的细化考法：曲直交点
图3
34出现数点特征图，但整体数点无规律，且存在曲直相交，考虑点的细化，数
曲直交点
【注意】点的细化考法：
1.如图1为杂乱无章的线条，数点特征明显，考虑数点，若整体数点无规律。
在图1的基础上添加一个圆形外框，如图2所示，此时可以进行细化考查，如曲
直交点、内外交点。
2.当出现数点特征图，但整体数点无规律时，且存在曲直相交，考虑点的细
化，即曲直交点，如图3有2个曲直交点。
【例13】（2018内蒙古）从所给的四个选项中，选择最合适的一个填入问
号处，使之呈现一定的规律性。（ ）
【解析】13.优先找特征图形。图1、图2、图3均出现“大树杈”，线条交
叉明显考虑数交点，但是本题数交点无规律。考虑点的细化，通过图形均有圆，
圆是曲线，考虑曲直交点。题干图形曲直交点数均为 3，则“？”处图形曲直交
点数也应为3。
A项：有3个曲直交点，保留。
B项：有3个曲直交点，保留。
C项：没有曲直交点，排除。
D项：有4个曲直交点，排除。
对比A、B项，A项内部有5条直线，B项内部有3条直线，题干图形内部均
有3条直线，B项当选。
答疑：题干图形均有圆，圆是外框，也可以考虑框上交点。【选B】
35点的细化考法：内外交点
出现数点特征图，但整体数点无规律，且存在明显框架图形
考虑点的细化，数框上、框外、框内交点
【注意】内外交点：当出现数点特征图，但整体数点无规律时，且存在明显
框架图形，如上图出现明显的圆，则可以考虑点的细化，数框上（直线与圆的交
点）、框外（圆外部的交点）、框内交点（圆内部的交点）。
【例14】（2019联考）从所给的四个选项中，选择最合适的一个填入问号
处，使之呈现一定的规律性。（ ）
【解析】14.题干图形出现“大树杈”，交叉明显，考虑数点，但是点数量
没有规律，考虑点的细化。题干图形没有曲线，则不考虑曲直交点，题干图形均
有正方形边框，考虑框上、框外、框内交点，本题没有框外交点，考虑框内、框
上交点，且优先数交点较少的细化。如图1，框上有1个交点，框内有1个交点；
图2框上有1个交点，框内有3个交点，明显框上交点较少，则优先数框上交点。
题干图形框上均有1个交点，则“？”处选择框上有1个交点的图形。
A项：框上有2个交点，排除。
B项：框上没有交点，排除。
C项：框上有1个交点，保留。
D项：框上有1个交点，保留。
36对比C、D 项，框上交点位置不同，题干图形框上交点依次顺时针移动一条
边，则“？”处框上的点在左侧，对应D项。【选D】
【注意】框上、框内、框外的交点要分开数。
什么时候想细化？
当出现明显数点特征图，整体数点无规律，想细化！
【注意】点：
1.特征图：“大树杈”“心乱如麻”“擦边球”考虑数点。
2.考法：整体数点无规律时，考虑细化考点——曲直交点、内外交点。
知识点5：素
1.元素个数
图1
2.元素种类
图2
【注意】素：任何独立的小图形就是素，如“.”“√”“○”等。
371.元素个数：图1中素数量依次为2、3、4、5。
2.元素种类：按照形状分类，形状相同的是一种素，图2中元素种类依次为
1（四个加号算一种素）、2（两个一样的三角形算一种素）、3（三角形+圆+六边
形）。
特征图：多个长得不一样的小元素
【注意】特征图：出现多个独立小图形，喜欢考查素，如上图均为真题。
【例15】（2017汕尾）从所给的四个选项中，选择最合适的一个填入问号
处，使之呈现一定的规律性。（ ）
【解析】15.题干图形中有多个独立小图形，考虑元素种类和个数，题干和
选项图形均有 2种素（星星和黑点），不能选出答案。考虑数个数，题干每幅图
均有6个小元素。
A项：有7个元素，排除。
38B项：有7个元素，排除。
C项：有6个元素，当选。
D项：有3个元素，排除。
还可以单独看星星个数，依次为5、4、3、2，排除B、D项；单独看黑点，
依次为1、2、3、4，也可以选出C项。【选C】
【注意】
1.遍历：缺啥补啥。
2.出现多个独立小图形，考虑元素的种类和个数。
【例16】（2019深圳）从所给的四个选项中，选择最合适的一个填入问号
处，使之呈现一定的规律性。（ ）
【解析】16.题干图形出现多个独立小图形，考虑元素的种类或者个数。第
一行图1“机器猫”都是圆，是1种素；图2是4个梯形，是一种素；图3有3
个三角形，是一种素。第二行图1全部是圆，是1种素；图2有3个梯形，是1
种素，则“？”处选择有1种素的图形。
A项：既有曲线，又有直线，不是一种素，排除。
B项：分别是梯形和三角形，是2种素，排除。
C项：分别有圆和长方形，不是一种素，排除。
D项：两个相同梯形，是一种素，当选。【选D】
【注意】大小不同、形状相同，通常视为同一种元素。
393.部分数（线条与线条连在一起叫做一部分）
图1 图2 图3 图4
特征：生活化图形、粗线条图形
【注意】部分数：线条与线条连在一起就算一部分。
1.如图 1“叶子”均连在一起，为一部分；图 2“飞机”的翅膀是一部分，
下方机身是一部分，共有两部分；图3“辽”的“辶”上面的点和下面的笔画是
分开的，是两部分，“了”是一部分，共有三部分；图4 内部是五部分，外部圆
圈是一部分，共有六部分。
2.特征图：
（1）生活化图形。
（2）黑色粗线条图形。
【例17】（2019江苏）从所给的四个选项中，选择最合适的一个填入问号
处，使之呈现一定的规律性。（ ）
【解析】17.题干图形是生活化图形同时也是黑色粗线条图形，考虑部分数，
题干图形均为1部分。
A项：每个小点均为独立的1部分，排除。
B项：4个黑块没有相连，是4部分，排除。
C项：3个圆圈没有挨着，是3部分，排除。
D项：图形相连，是1部分，当选。【选D】
40【注意】素数量。
1.出现独立小图形，考虑个数和种类。
2.出现生活化、粗线条图形，考虑部分数。
【注意】数量规律特征图：
1.点：线条交叉明显（大树杈）、乱糟糟一团线（心乱如麻）、相切较多（擦
边球）。
2.线：
（1）直线：多边形、单一直线。
（2）曲线：曲线图形（全曲线图、圆、弧）。
（3）笔画数：马走日、象走田、星星端点还有圆，外加三角形一线牵。
413.角：优先数直角。
4.面：图形被分割、封闭面明显；生活化、黑粗线条留白区域。
5.素：
（1）出现多个独立小图形，优先考虑种类和数量。
（2）生活化、粗线条图形，考虑部分数。
第六节 空间重构
【注意】空间重构：
1.这部分题目大家可能会觉得比较难，但是大家不要担心，认为空间重构难
是因为自己的空间想象能力不是很好，接下来讲解的所有解题技巧都是用平面思
维解题。
2.这部分内容不需要很好的空间想象能力，如果同学们空间想象能力好，不
需要任何技巧，只需要闭上眼睛想，答案就会出现在脑海中。但是大多数人没有
很好的空间想象能力，所以可以通过平面的思维解决空间类的题目。
3.大家第一次听技巧时，可能觉得有些难度，但是将内容掌握后，空间重构
的正确率一定会比平面类的正确率要高，因为解题技巧相同。考试中空间重构主
要考查六面体，所以本次课程主要以六面体为主讲解。
1.折叠方向
左边给定的是纸盒外表面的展开图，右边哪一项能由它折叠而成？
42图1 图2
2.所有的方法都是排除错误选项的
【注意】折叠方向：左边给定的是纸盒外表面的展开图，右边哪一项能由
它折叠而成。
1.折叠方向不要反，折叠后带图案的图形要在外面，所以应该按照图1的
方式折叠，因为只有用图1的方式折叠，才能看到外面的字母，而图2折叠后
看不见字母。
2.所有的解题方法都是排除错误选项，正确选项不需要正向验证，因为正
确选项都是靠想象出来的，排除3个错误选项，剩下的就是答案。
方法一：相对面
图1 图2
应用：一组相对面出现2个的选项——排除
【注意】相对面：两个面没有交集（不挨着）。
1.如图1，面A与面F为相对面，面B与面D为相对面，面E与面C为相
对面。
2.图 2中面 A、面 D、面E 均是相对面中的一个，面 C、B、F 均看不到，
发现规律为在立体图中每组相对面只出现了一个。如果选项出现一组相对面或
者没有出现相对面，均排除。
展开图中如何判断相对面：
1.同行或同列相隔一个面
43图1 图2
2.“Z”字形两端（紧邻中线）
图3 图4 图5 图6
【注意】展开图中如何判断相对面：
1.同行或同列相隔一个面就是相对面。如图1中，2个红色面同行隔一个
面，2 个蓝色面同列隔一个面，2 个白色面同列隔一个面，均为相对面。图 2
有2个红色面为相对面，相对面在立体图中只能出现一个，则图2是错误选项。
2.“Z”字形两端（紧邻中线）：如图 3、图 4、图 5中的2 个蓝色面均位
于“Z”字形两端且紧邻中线，均为相对面。图 6 中面 a 的相对面是面 d，而
非面e，因为面a与面e没有紧邻“Z”字中线。
【例1】（2017联考）左边给定的是纸盒外表面的展开图，右边哪一项能由
它折叠而成？（ ）
【解析】1.给出平面图，根据选项排除选项。
A项：出现黑方块面、实对角线面、虚对角线面，实线对角线面和虚线对角
线面是相对面（同列隔一个），相对面同时出现，排除。
B项：虚线中线面与实线中线面是相对面（“Z”字两端），相对面同时出现，
排除。
44C项：不存在相对面，不能排除，保留。
D 项：黑色正方形面和黑色菱形面是相对面（同行隔一个），相对面同时出
现，排除。【选C】
【注意】一组相对面同时出现，要排除。
【例2】（2017阳泉）左边给定的是纸盒外表面的展开图，右边哪一项能由
它折叠而成？（ ）
【解析】2.与第一题是一个思路。题干中2个黑点面是同行相隔一个的相对
面，所以2个黑点面在立体图中只能出现1个。
A项：没出现黑点，排除。
B项：出现1个黑点面，保留。
C项：2个黑点面都出现，排除。
D项：1个黑点面都没有，排除。【选B】
【注意】相对面是最快的解题方法，
方法二：相邻面
图1
注：构成直角的两个边是同一条边
45图2 图3
图4
应用：折叠前后相邻关系保持不变
两个面的公共边是唯一的
【注意】相邻面：
1.两个面挨着，有公共边。称为相邻面。如图 1，面 B 与面 A、C、D、E 挨
着，均为相邻面。但是在立体图中只能观察到面B与面A和面C是相邻面，而看
不到面D和面E，清楚两个面是相对面，却找不到公共边，有一些判定技巧。立
体图中，面A和面C的公共边不易观察，可以使用构成直角的两个边是同一条边
的技巧。
2.构成直角的两条边是同一条边，如图2中的面2与面5中绿色边构成直角
边，2条绿色边就是同一边。因为图3中的面1、2、5，对应的就是图2中的面
1、2、5，折叠成立方体后，面 2与面5 的两条直角边合一起，所以为公共边。
图4中面a与面c的2条红色边构成直角，为公共边；面b与面d的2条蓝色边
构成直角，为公共边；面d与面f的2条绿边构成直角，为公共边。
相邻面方法1——看相对位置（图形指向明显）
应用：折叠前后相邻关系保持不变
46【注意】相对位置法：
1.面中带有指向明显的图形，就可以用相对位置法解题。
2.如上图，展开图中出现“箭头”，指向性明显，优先观察“箭头”。折叠前
后相邻关系保持不变，展开图中“箭头”的尖指“心形”面。A项“箭头”指向
“66”面，展开图中“箭头”指向“心形”面，与原图不一致，排除；B项展开
图中“箭头”指向“心形”面，立体图中“箭头”没有指向“心形”面；展开图
中“箭头”的尾巴对着“66”面，立体图中“箭头”尾巴对着“月亮”面，相对
位置错误，排除。
【例3】（2018武汉）左边给定的是正方体外表面的展开图，右边哪一项能
由它折叠而成？（ ）
【解析】3.A项：三个面不能通过相对面排除，考虑相邻面。有指向性明显
的面，可以使用相对位置法。展开图和立体图中“人”字面右侧均为“8”字面，
则需要观察其他面。展开图中菱形面的“尖”对着“8”字面，选项中菱形的“尖”
没有指向“8”字面，错的点不只一个，只要能挑出一个即可，排除。
47B项：展开图中三角形面的“尖”指向“X”面，立体图中三角形面的“尖”
指向“X”面，没有明显错误，先保留。
C 项：展开图中“人”字面较远，优先观察三角形面和“X”面。展开图中
三角形的“尖”指向“X”面，立体图中三角形的“尖”不指向“X”面；展开图
中“人”右边是“8”字面，立体图中“人”面的右边是“X”面，相对位置发生
变化，排除。
D 项：黑点面与“人”字面在“Z”字形两端是相对面，不能同时出现，排
除。【选B】
【注意】第一步优先考虑相对面，如果选不出唯一答案，考虑相邻面，相邻
面中相对位置关系保持不变，如果发生变化，则为错误选项。
【例4】（2019联考）左边给定的是纸盒外表面的展开图，右边哪一项能由
它折叠而成？（ ）
【解析】4.A项：正面为面f，顶面为面b，右侧为面c，在展开图中没有相
对面，考虑相邻面。题干图形指向性明显，考虑相对位置。展开图中面c的“尖”
指向面b，立体图中面c的“尖”指向面f，排除。
B项：右侧面在原图中没有，排除。
C项：正面为面d，顶面为面a，右侧为面e，在展开图中没有相对面，考虑
相邻面，看相对位置。展开图中面e的“嘴”指向面d，立体图中面e的“嘴”
没有指向面d，排除。【选D】
48【注意】出现无中生有的面，直接排除。
【例5】（2017衡阳）左边给定的是纸盒外表面的展开图，右边哪一项能由
它折叠而成？（ ）
【解析】5.先将展开图中的面依次命名。
A项：正面是“难过”面，顶面是“开心”面，右面是“二指禅”面，没有
相对面，考虑相邻面，看相对位置。展开图中三个面相隔较远，不易观察，先保
留。
B项：展开图中“面无表情”面和“难过”面脸贴脸，立体图中“面无表情”
面与“难过”面没有脸贴脸，排除。
C项：展开图“三指禅”面的手指指向“一指禅”面，立体图“三指禅”面
没有指向一指禅”面，排除。
D项：展开图“三指禅”面的手指指向与“一指禅”面，立体图“三指禅”
面没有指向“一指禅”面，排除。【选A】
相邻面方法方法2——画边法
①结合选项，找一个特殊面的唯一点
49图1 图2 图3 图4
②顺时针方向画边（画同一个面）
③题干与选项对应面不一致——排除
从唯一点出发画边
图5
【注意】画边法：利用相对位置法不能解题，可以用画边法，画边法可以解
决80%的难题。
1.第一步：结合选项，找一个特殊面的唯一点。
（1）唯一点：某一点在面中独一无二，没有任何点和它一样，且只能在面
的顶点中找，不能在面的边上找。
（2）如面 a，4个蓝点相同，没有唯一点；面 b中，2 个绿点、2 个蓝点均
相同，也没有唯一点；面c中，绿色与红色的点是独一无二的，均是唯一点，但
2个蓝色点一样，不是唯一点。
2.第二步：以唯一点为起点出发依次画4条边。如图5，面c中挨着黑色小
正方形顶点的点为唯一点，从唯一点出发沿面C顺时针画边，顺时针与逆时针没
有区别，大家可以养成顺时针画的习惯，按顺序依次标号1-4。在立体图中也是
从唯一点出发，顺时针依次画边并标号。
3.第三步：题干与选项对应面依次对应，若选项与题干不一致，直接排除。
图5的展开图中边1挨着面 b，立体图中边 1挨着面 f，可以直接排除。展开图
中边2挨着面e，立体图中边2挨着空白面，排除。
50【例6】（2016厦门）能折成此正方体的是（ ）
【解析】6.本题有相对面，利用相对面可以排除B项，B项横线面与三角形
面是相对面，直接排除。
题干图形没有指向明显的面，考虑画边法。以A项为例，黑三角形面有唯一
点。以黑三角面的黑色直角点为唯一点顺时针画4条边，标号1-4，在选项中依
次从唯一点出发顺时针画边并标号。
A项：展开图中边1与边2不清楚挨着哪个面，观察边3与边4挨着的面。
如下图1所示，展开图中边3挨着黑线条面，立体图中边3挨着圆形面，排除。
C项：如下图2所示，立体图边3与空白面的下边构成直角，所以这两条边
是同一条边，则边3挨着空白面，展开图中边3挨着横线面，排除。【选D】
图1
图2
【例7】（2017公务员）左边给定的是纸盒外表面的展开图，右边哪一项能
由它折叠而成？（ ）
51【解析】7.A项涉及的面没有相对面也没有指向性明显的面，考虑画边法。
黑三角与灰三角的直角顶点都可以作为惟一点，每个选项均涉及这两个三角形面。
以灰色三角形的直角为唯一点，从唯一点出发，顺时针画4条边，标号1-4。
A项：展开图边1挨着黑色三角形面，立体图中边3挨着黑色三角形面，排
除。
B项：展开图边1挨着黑色三角形面，立体图中边3挨着黑色三角形面，排
除。
C项：展开图边 1挨着黑色三角形面，立体图边4挨着黑色三角形面，排除。
【选D】
【注意】开始使用画边法会认为比较难，但是熟练以后会很好用。
空间重构重点梳理
1.再次强调：所有方法都是用来排除错误选项的；
2.相对面优先看；
3.对于有图形方向明显的面可以优先考虑相对位置；
52图1
4.对于有明显的唯一点或唯一边的题目可用画边法；
图2
5.方法开始觉得难，用得慢是正常现象，首先是学会，然后通过练习巩固，
熟能生巧，加油！
【注意】空间重构重点梳理：
1.做所有题目都使用排除法，不要正向验证答案。
2.优先使用相对面做排除。
3.相邻面：若有指向性明显的面，优先用相对位置解题。
4.没有指向性明显的图案，可以运用画边法。
5.画边法开始大家觉得难很正常，因为没有那么熟练。只要能够找到唯一点
就能使用画边法。
元素组成相同——位置（平移、旋转、翻转）
元素组成相似——样式（遍历、加减同异、黑白运算）
元素组成不同——先属性（对称、开闭、曲直）
后数量（点、线、角、面、素）
空间类——相对面、相邻面（相对位置、画边法）
【注意】
1.元素组成相同考虑位置规律：平移、旋转、翻转。
2.元素组成相似考虑样式规律：遍历、加减同异、黑白运算。
3.元素组成不同：先属性，后数量。
4.空间类：相对面、相邻面（相对位置、画边法）。
53【随堂练习1】请从所给的四个选项中，选择最合适的一个填在问号处，使
之呈现一定的规律性：
【解析】1.课堂正确率为 86%。题干图形明显被分割，优先考虑数面，题干
图形面数量依次为8、7、6、5、4，则“？”处图形应为3个面，排除C、D项。
选不出唯一答案，考虑面的细化，题干中所有面的形状都是三角形，B项出
现四边形，A项当选。【选A】
【随堂练习2】请从所给的四个选项中，选择最合适的一个填在问号处，使
之呈现一定的规律性：
【解析】2.课堂正确率为63%。题干特征图明显，马走日、象走田、星星端
点还有圆，再加三角形一线牵。图1、图2和B选项均是圆相切，图4是“日”
字变形，A项是“田”字变形图，优先考虑笔画数。图1有0个奇点，图2有2
个奇点，图3有2个奇点，图4有2个奇点，均为一笔画图形。
A项：有4个奇点，是2笔画图形，排除。
B项：有0个奇点，是1笔画图形，当选。
C项：有4个奇点，是2笔画图形，排除。
D项：有4个奇点，是2笔画图形，排除。【选B】
54【随堂练习3】从所给四个选项中，选择最合适的一个填入问号处，使之符
合所给的题干所示：
【解析】3.课堂正确率为 70%。本题较为特殊，给出3个立体图，选择展开
图。但是通过图1就能选择答案，图1有指向性明显的面，即五角星面，五角星
面有“黑尖”，五角星面的“黑尖”指向圆面。
A项：五角星面的“黑尖”指向斜线面，排除。
B项：五角星面的“黑尖”指向正方形面，排除。
C项：“黑尖”上面挨着的面不清楚，先保留。
D项：此项中圆面在“五角星”面的右边，题干图1中圆面在五角星面的上
边，排除。【选C】
【答案汇总】数量规律1-5：ADCCD；6-10：DBBDB；11-15：ACBDC；16-17：
DD；空间重构1-5：CBBDA；6-7：DD；课后练习1-3：ABC
55遇见不一样的自己
Be your better self
56
