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2026 年高考二轮信息必刷卷 01
数 学·参考答案
第一部分（选择题 共58分）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要
求的。
1 2 3 4 5 6 7 8
D B A B C B D C
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部
选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9 10 11
AC ABD BCD
第二部分（非选择题 共92分）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．
13．
14．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。
15．（13分）
(1) ；(2)
【分析】（1）利用正弦定理将边化角，再由诱导公式及两角和的正弦公式化简，求出 ，即可得解；
（2）利用余弦定理求出 ，再由正弦定理求出 ，即可求出 ，最后由面积公式计算可
得.
【详解】（1）因为在 中， ，
故 ，而 ，
故 ，
即 ，又 ， ，可得 ， ，又 ， ；....................................（6分）
（2）由于 ， ， ，
故 ，
则 ；....................................（8分）
又 ，
故 ，....................................（10分）
又 为锐角，
所以
，....................................（12分）
故 ；....................................（13分）
16．（15分）
(1) 为 的中点时， 平面 ，证明见解析
(2)（i） ；（ii）
【分析】（1）取 的中点 ，连接 ，证明平面 平面 ，即可判定；
（2）结合题意证明 两两垂直，进而建立空间直角坐标系，利用坐标法求解即可.
【详解】（1）解：（1） 为 的中点时， 平面 ，
证明如下：
取 的中点 ，连接 ．因为 为 中点，
所以 ，
因为 平面 ， 平面 ，
所以 平面 ，....................................（2分）
因为 为 中点， 为 中点，
所以 ，
因为 平面 ， 平面 ，
所以 平面 ，....................................（4分）因为 ， 平面
所以平面 平面 ，....................................（5分）
因为 平面 ，
所以 平面 .....................................（6分）
（2）（2）（i）因为 平面 ， 平面 ，
所以
因为四边形 是边长为2的正方形，
所以
所以 两两垂直，
因为四边形 与 都是直角梯形， ，
所以 ，....................................（8分）
故以 为原点，直线 分别为 轴建立空间直角坐标系．
，
设平面 的法向量 ，
则 ，即 ，取 ，得 ，
所以
所以点 到平面 的距离为 .....................................（11分）
（ii） ，得 ，
设平面 的法向量 ，
则 ，即 ，取 ，得 ，....................................（13分）设平面 与平面 夹角为 ，
则 .
所以平面 与平面 夹角的余弦值为 ....................................（15分）
17．（15分）
(1) ；(2)证明见解析
【分析】（1）依题意 在区间 上恒成立，参变分离可得 在区间 上恒成立，
构造函数并判断函数的单调性，求出 的范围，再由 构造函数，利用导数求出函数的最小值，即
可得解；
（2）依题意需证 成立，令 ，利用导数
说明函数的单调性，求出函数的最小值，即可得证.
【详解】（1）因为 ，所以 ，
因为 在区间 上单调递增，所以 在区间 上恒成立，
即 ，即 在区间 上恒成立，....................................（2分）
设 ， ，因为 与 在区间 上单调递减，
所以 在区间 上单调递减，....................................（4分）
所以 ，则 ，
由 可得 ，
令 ，则 ，
当 时， ，则 单调递减，
当 时， ，则 单调递增，
所以 的最小值为 ，则 ，
综上可得 ．....................................（7分）
（2）证明：要证 成立，需证 成立，
令 ，则 ，
再令 ，显然 在 上是增函数，
当 时， ，当 时， ，....................................（10分）所以 ，即 ，即 ，
当 时， ， ，当 ， ．
所以 ，得证．...................（15
分）
18．（17分）
(1) ；(2)证明见解析；(3)
【分析】（1）设椭圆 的方程为： ，根据题意求得 的值，即可得椭圆 的方程；
（2）设直线 ，与椭圆方程联立，利用韦达定理求得点 的坐标，根据垂直时的斜率关系，得
点 的坐标，求出直线 的方程，即可得到直线MN所过定点；
（3）利用中点，求得 面积等于 ，用 分别表示 ，可将 面积表示成关于
的函数，利用二次函数的最值及不等式的性质可求得 面积的最小值．
【详解】（1）设椭圆 的方程为： ，
则 ，解得： .
所以椭圆 的方程为： .....................................（3分）
（2）由（1）知 .
由B，D在x轴上方，知直线 的斜率存在，且不为零.
设直线 ，与椭圆恒有两个交点.
则由 ，得 .
由韦达定理得 .
所以 ，所以 的中点 .....................................（5分）
由 ，知直线 的斜率 ，所以其方程为： .
所以，以 代替 可得 的中点 ，即 .
所以
所以当 时，直线 的方程为： ，....................................（8分）
化简得 .所以直线 过定点 .
当 时， ，直线 过定点 ；
当 时， ，直线 过定点 .
综上所述，直线 过定点 .....................................（10分）
（3）因为 分别为 和 中点．
所以
.....................................（12分）
由（2）知， ；
以 代替 得 .
所以.
所以，当 ，即 时， 取得最大值 ，此时 取得最小值 .
故 面积的最小值为 ．....................................（17分）
19．（17分）
(1)分布列见解析， ，
(2)（i） ；（ii）若 ，增加2个元件后利润提高；
若 时，增加2个元件后利润没有提高.
【分析】（1）由题意可知 ，利用二项分布求解即可求得期望，根据互斥事件的和事件的概率
公式求解 ；
（2）（i）先写出升级改造后单位时间内产量的分布列，求出设备升级后单位时间内的利润，即为 ；
（ii）分以下三种情况讨论：①原系统中至少有4个元件正常工作；②原系统中恰好有3个元件正常工作，
新增2个元件中至少有1个正常工作；③原系统中恰好有2个元件正常工作，新增2个元件全部正常工作，
再对三种情况进行求和，得到 ，计算 ，与 作比较，再根据 判断即可.
【详解】（1）因为 ，所以控制系统中正常工作的元件个数 的可能取值为 ，
因为每个元件的工作相互独立，且正常工作的概率均为 ，所以 ，
所以 ，
，
，，
所以控制系统中正常工作的元件个数 的分布列为
0 1 2 3
控制系统中正常工作的元件个数 的数学期望为 ，....................................（4分）
..................................（5分）
（2）（i）升级改造后单位时间内产量的分布列为
产量 0
设备运行概率
所以升级改造后单位时间内产量的期望为 ，
所以
产品类型 高端产品 一般产品
产量（单位：件）
利润（单位：元） 2 1
设备升级后单位时间内的利润为 ，即 .....................................（9分）
（ii）若增加2个元件，则第一类：原系统中至少有4个元件正常工作，其概率为 ；
第二类：原系统中恰好有3个元件正常工作，新增2个元件中至少有1个正常工作，
其概率为 ；
第三类：原系统中恰好有2个元件正常工作，新增2个元件全部正常工作，
其概率为 .
所以
，....................................（14分）
则 ，
所以当 时， ，即增加2个元件设备正常工作的概率变大；当 时， ，即增加2个元件设备正常工作的概率没有变大.
又因为 ，
所以当 时，增加2个元件后利润提高；当 时，增加2个元件后利润没有提高.......（17
分）
