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第 38 讲 统计初步与独立性检验
【典型例题】
例1．（2024·高三·山东菏泽·阶段练习）下列说法错误的是（ ）
A．若随机变量 、 满足 且 ，则
B．样本数据 ， ， ， ， ， ， ， ， ， 的第 百分位数为
C．若事件 、 相互独立，则
D．若 、 两组成对数据的相关系数分别为 、 ，则 组数据的相关性更强
【答案】D
【解析】对于A：因为 且 ，所以 ，故A正确；
对于B：因为 ，所以第 百分位数为从小到大排列的第 个数，即为 ，故B正确；
对于C：若事件 、 相互独立，则 ，
所以 ，故C正确；
对于D：若 、 两组成对数据的相关系数分别为 、 ，
因为 ，所以 组数据的相关性更强，故D错误.
故选：D
例2．（2024·河北·一模）某校为了解本校高一男生身高和体重的相关关系，在该校高一年级随机抽取了7
名男生，测量了他们的身高和体重得下表：
身高 （单位： 167 173 175 177 178 180 181
体重 （单位： 90 54 59 64 67 72 76
由表格制作成如图所示的散点图：
由最小二乘法计算得到经验回归直线 的方程为 ，其相关系数为 ；经过残差分析，点对应残差过大，把它去掉后，再用剩下的6组数据计算得到经验回归直线 的方程为 ，相关系数
为 .则下列选项正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】身高的平均数为 ，
因为离群点 的横坐标167小于平均值176，纵坐标90相对过大，
所以去掉 后经验回归直线的截距变小而斜率变大，故
去掉 后相关性更强，拟合效果也更好，且还是正相关，
，
故选：A．
例3．（2024·宁夏银川·一模）有甲、乙两个班级进行数学考试，按照大于等于85分为优秀，85分以下为
非优秀统计成绩，得到如下所示的列联表：
优秀 非优秀 总计
甲班 10 b
乙班 c 30
合计
附：
P（K2≥k） 0.05 0.025 0.010 0.005
0
k 3.841 5.024 6.635 7.879
0
已知在全部105人中随机抽取1人，成绩优秀的概率为 ，则下列说法正确的是（ ）
A．列联表中c的值为30，b的值为35
B．列联表中c的值为15，b的值为50
C．根据列联表中的数据，若按97.5%的可靠性要求，能认为“成绩与班级有关系”
D．根据列联表中的数据，若按97.5%的可靠性要求，不能认为“成绩与班级有关系”
【答案】C【解析】由题意知，成绩优秀的学生数是 ，
成绩非优秀的学生数是75，所以 ，
选项A、B错误；
根据列联表中的数据，
得到
因此有97.5%的把握认为“成绩与班级有关系”.
故C正确，D错误，
故选：C.
例4．（2024·高三·山东·开学考试）为研究某池塘中水生植物的覆盖水塘面积 （单位： ）与水生植
物的株数 （单位：株）之间的相关关系，收集了4组数据，用模型 去拟合 与 的关系，
设 与 的数据如表格所示：得到 与 的线性回归方程 ，则 （ ）
3 4 6 7
2 2.5 4.5 7
A．-2 B．-1 C． D．
【答案】C
【解析】由已知可得， ， ，
所以，有 ，解得 ，
所以， ，
由 ，得 ，
所以， ，则 .
故选：C.
例5．（2024·上海·一模）为帮助乡村脱贫，某勘探队计划了解当地矿脉某金属的分布情况，测得了平均金
属含量 （单位：克每立方米）与样本对原点的距离 （单位：米）的数据，并作了初步处理，得到了下
面的一些统计量的值．（表中 ）．
6 97.90 0.21 240 0.14 14.12 26.13
(1)利用相关系数的知识，判断 与 哪一个更适宜作为平均金属含量 关于样本对原点的距
离 的回归方程类型；(2)根据（1）的结果建立 关于 的回归方程，并估计样本对原点的距离 米时，平均金属含量是多
少？
【解析】（1）因为 的线性相关系数 ，
的线性相关系数 ，
因为 ，
所以 更适宜作为平均金属含量 关于样本对原点的距离 的回归方程类型.
（2）依题意， ，
则 ，于是 ，
所以 关于 的回归方程为 .
当 时，金属含量的预报值为 .
例6．（2024·河北邯郸·三模）某民营学校为增强实力与影响力，大力招揽名师、建设校园硬件设施，近5
年该校招生人数的数据如下表：
年份序号x 1 2 3 4 5
招生人数y/千人 0.8 1 1.3 1.7 2.2
(1)由表中数据可看出，可用线性回归模型拟合 与 的关系，请用相关系数加以证明；
(2)求 关于 的回归直线方程，并预测当年份序号为7时该校的招生人数．
参考数据： ， ， ．
参考公式：相关系数 ，回归方程 中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为 ， ．
【解析】（1）由题意知 ， ，
，
所以 ，
因为 与1非常接近，故可用线性回归模型拟合 与 的关系．
（2） ， ，
所以 关于 的回归直线方程为 ．
当 时， ，
由此预测当年份序号为7时该校的招生人数为2.8千人．
例7．（2024·黑龙江·二模）2023 年是全面贯彻落实党的二十大精神的开局之年，也是实施“十四五”规
划承上启下的关键之年，经济增长呈现稳中有进的可喜现象.某省为做好刺梨产业的高质量发展，项目组统
计了全省近5年刺梨产业综合产值如下：
年份代码x，综合产值y（单位：亿元）
201
年份 2020 2021 2022 2023
9
年份代码
1 2 3 4 5
x
综合产值
1.5 2 3.5 8 15
y
(1)请通过样本相关系数，推断y与x之间的相关程度；（若 ，则线性相关性程度很强;若
，则线性相关性程度一般，若 ，则线性相关性程度很弱.）
(2)求出y关于x的经验回归方程，并预测 2024 年该省刺梨产业的综合产值.参考公式：样本相关系数 经验回归方程 中斜率和截距的最小二乘法
估计公式分别为 ， .
参考数据：
【解析】（1）依题意， ， ，
，
， ，
故 ，
所以线性相关性程度很强.
（2）由（1）得 ，则 ，
所以 关于 的经验回归方程为 ，当 时， .
例8．（2024·内蒙古赤峰·模拟预测）直播带货是一种直播和电商相结合的销售手段，目前已被广大消费者
所接受.针对这种现状，某公司决定逐月加大直播带货的投入，直播带货金额稳步提升，以下是该公司
2023年前5个月的带货金额的统计表（金额 （万元））.
月份 1月 2月 3月 4月 5月
月份编号 1 2 3 4 5
金额 （万
7 12 13 19 24
元）
(1)根据统计表，
①求该公司带货金额的平均值 ；
②求该公司带货金额 与月份编号 的样本相关系数（精确到0.01），并判断它们是否具有线性相关关系
（ ，则认为 与 的线性相关性较强； ，则认为 与 的线性相关性较弱）；(2)该公司现有一个直播间销售甲、乙两种产品.为对产品质量进行监控，质检人员先用简单随机抽样的方法
从甲、乙两种产品中分别抽取了5件、3件产品进行初检，再从中随机选取3件做进一步的质检，记抽到
甲产品的件数为 ，试求 的分布列与期望.
附：相关系数公式 ，参考数据： ， ，
， .
【解析】（1）①由统计表数据可得： ，
②由于 ， ， ，
所以相关系数 ，
因此，两个变量具有很强的线性相关性.
（2）由题意知， 的可能取值为0，1，2，3，
因为 ， ，
， ，
所以 的分布列为：
0 1 2 3
所以 .
例9．（2024·高三·安徽·阶段练习）某学校有甲、乙、丙三家餐厅，分布在生活区的南北两个区域，其中
甲、乙餐厅在南区，丙餐厅在北区各餐厅菜品丰富多样，可以满足学生的不同口味和需求．
(1)现在对学生性别与在南北两个区域就餐的相关性进行分析，得到下表所示的抽样数据，依据 的
独立性检验，能否认为在不同区域就餐与学生性别有关联？
就餐区域
性别 合计
南区 北区
男 33 10 43女 38 7 45
合计 71 17 88
(2)张同学选择餐厅就餐时，如果前一天在甲餐厅，那么后一天去甲，乙餐厅的概率均为 ；如果前一天在
乙餐厅，那么后一天去甲，丙餐厅的概率分别为 ， ；如果前一天在丙餐厅，那么后一天去甲，乙餐厅
的概率均为 ．张同学第1天就餐时选择甲，乙，丙餐厅的概率分别为 ， ， ．
（ⅰ）求第2天他去乙餐厅用餐的概率；
（ⅱ）求第 天他去甲餐厅用餐的概率 ．
附： ；
0.100 0.050 0.025 0.010
2.706 3.841 5.024 6.635
【解析】（1）
依据表中数据， ，
依据 的独立性检验，没有充分证据推断 不成立，因此可以认为 成立，即认为在不同区域就
餐与学生性别没有关联．
（2）设 “第 天去甲餐厅用餐”， “第 天去乙餐厅用餐”， “第 天去丙餐厅用餐”，
则 两两独立， ．
根据题意得 ，
．
（ⅰ）由 ，结合全概率公式，得
，
因此，张同学第2天去乙餐厅用餐的概率为 ．
（ⅱ）记第 天他去甲，乙，丙餐厅用餐的概率分别为 ，
则 ，由全概率公式，得故 ①
同理 ②
③
④
由①②， ，
由④， ，
代入②，得： ，即 ，
故 是首项为 ，公比为 的等比数列，
即 ，所以
于是，当 时
综上所述：
例10．（2024·高三·湖北黄冈·期末）篮球是一项风靡世界的运动，是深受大众喜欢的一项运动.
喜爱篮球运
不喜爱篮球运动 合计
动
男性 60 40 100
女性 20 80 100
合计 80 120 200
(1)为了解喜爱篮球运动是否与性别有关，随机抽取了男性和女性各100名观众进行调查，得到如上 列
联表，判断是否有99.9%的把握认为喜爱篮球运动与性别有关；
(2)校篮球队中的甲、乙、丙三名球员将进行传球训练，第1次由甲将球传出，每次传球时，传球者都等可能的将球传给另外两个人中的任何一人，如此不停地传下去，且假定每次传球都能被接到.记开始传球的人
为第1次触球者，第 次触球者是甲的概率记为 ，即 .
①求 （直接写出结果即可）；
②证明：数列 为等比数列，并比较第9次与第10次触球者是甲的概率的大小.
0.100 0.050 0.025 0.010 0.001
2.706 3.841 5.024 6.635 10.828
附： ， .
【解析】（1）（1）根据列联表数据，经计算得 ,
根据独立性检验：即有 的把握认为喜爱篮球运动与性别有关.
（2）①由题意得：第二次触球者为乙，丙中的一个，第二次触球者传给包括甲的二人中的一人，故传给
甲的概率为 ，故 .
②第 次触球者是甲的概率记为 ，则当 时，第 次触球者是甲的概率为 ，
第 次触球者不是甲的概率为 ，
则
从而 ，又 ，
所以 是以 为首项，公比为 的等比数列，
故第 次触球者是甲的概率大.
【过关测试】
一、单选题
1．（2024·高二·全国·单元测试）某学校校医研究温差 （℃）与本校当天新增感冒人数y（人）的关系，
该医生记录了5天的数据，且样本中心点为 ．由于保管不善，记录的5天数据中有两个数据看不清
楚，现用 代替，已知 ， ，则下列结论正确的是（ ）
x 5 6 8 9 121
y m 25 n 35
7
A．在 确定的条件下，去掉样本点 ，则样本的相关系数r增大
B．在 确定的条件下，经过拟合，发现基本符合线性回归方程 ，则
C．在 确定的条件下，经过拟合，发现基本符合线性回归方程 ，则当 时，残差为
D．事件“ ， ”发生的概率为
【答案】D
【解析】对于A中，因为回归直线方程过数据的样本中心点 ，
所以在 确定的条件下去掉样本点 ，则相关系数 不变，所以A错误；
对于B中，由样本中心点为 ，可得 ，解得 ，所以B错误；
对于C中，由 ，当 ，可得 ，则 ，
所以C错误；
对于D中，由 ，则 可取 ， 的可取 ，
则 的取值为 ，
所以 ， 的概率为 ，所以D正确.
故选：D．
2．（2024·江苏苏州·模拟预测）为研究某地区疫情结束后一段时间内的复工率，用模型（1）和模型（2）
模拟复工率y（%）与复工时间x（x的取值为5，10，15，20，25，30天）的回归关系：模型（1）
，模型（2） ，设两模型的决定系数依次为 和 .若两模型的残差图分别如下，则
（ ）
A． < B． =
C． > D． 、 关系不能确定
【答案】A
【解析】根据残差点图，模型（2）残差点比较均匀地落在水平的带状区域中，带状区域宽度窄，拟合精度较高，所以 < ，
故选：A.
3．（2024·高三·全国·专题练习）下列四个命题中，正确命题的个数为（ ）
①甲乙两组数据分别为：甲：28，31，39，42，45，55，57，58，66；；乙：，29，34，35，48，42，
46，55，53，55，67．则甲乙的中位数分别为45和44.
②相关系数 ，表明两个变量的相关性较弱.
③若由一个 列联表中的数据计算得 的观测值 ，那么根据小概率 的独立性检验，认
为两个变量有关.
④用最小二乘法求出一组数据 ， 的回归直线方程 后要进行残差分析，相应于数
据 ， 的残差是指 .
0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001
2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【解析】对于①，甲组数据的中位数为45，乙组数据的中位数为 ，①错误；
对于②，相关系数 时，两个变量有很强的相关性，②错误；
对于③， 的观测值约为 ，
那么根据小概率 的独立性检验，认为两个变量有关，③正确；
对于④，残差分析中，相应数据 的残差 ，④正确；
综上，正确命题的序号是③④，共2个.
故选：B.
4．（2024·四川宜宾·模拟预测）下表为某外来生物物种入侵某河流生态后的前3个月繁殖数量 （单位：
百只）的数据，通过相关理论进行分析，知可用回归模型 对 与 的关系进行拟合，则根据
该回归模型，预测第7个月该物种的繁殖数量为（ ）
第 个月 1 2 3
繁殖数量
A． 百只 B． 百只
C． 百只 D． 百只
【答案】D
【解析】由题意， 两边取自然对数得 ，令 ，则 ，
， ，
∵回归直线必过样本点的中心，∴ ，
得 ，∴ ，则 ，
当 时， ．
故选：D.
5．（2024·福建宁德·二模）5G技术在我国已经进入高速发展的阶段，5G手机的销量也逐渐上升，某手机
商城统计了最近5个月手机的实际销量，如下表所示：
时间x 1 2 3 4 5
销售量y（千只） 0.5 0.8 1.0 1.2 1.5
若y与x线性相关，且线性回归方程为 ，则下列说法不正确的是（ ）
A．由题中数据可知，变量y与x正相关
B．线性回归方程 中
C．可以预测 时该商场5G手机销量约为1.72（千只）
D． 时，残差为
【答案】D
【解析】对于 ，从数据看 随 的增加而增加，所以变量y与x正相关，故 正确；
对于 ，由表中数据知，
所以样本中心点为 ，将样本中心点 代入 中得 ，故 正确；
对于 ，当 时该商场5G手机销量约为 （千只），故 正确．
对于 ，线性回归方程为 ，所以 ， ，故 错误；
故选： ．
6．（2024·高一·江苏苏州·期末）为了解喜爱足球是否与性别有关，随机抽取了若干人进行调查，抽取女
性人数是男性的2倍，男性喜爱足球的人数占男性人数的 ，女性喜爱足球的人数占女性人数的 ，若本
次调查得出“在犯错误的概率不超过0.005的前提下认为喜爱足球与性别有关”的结论，则被调查的男性
至少有（ ）人
0.10 0.05 0.01 0.005 0.0012.706 3.841 5.635 7.879 10.828
A．11 B．12 C．13 D．14
【答案】B
【解析】设男性人数为 ，依题意，得 列联表如下：
喜爱足
不喜爱足球 合计
球
男性
女性
合计
则 的观测值为 ，
因为本次调查得出“在犯错误的概率不超过0.005的前提下认为喜爱足球与性别有关”的结论，
于是 ，即 ，解得 ，而 ，因此
故选：B
二、填空题
7．（2024·高三·全国·竞赛）预制菜指以农、畜、禽、水产品为原辅料，配以调味料等经预选、调制等工
艺加工而成的半成品．近几年预制菜市场快速增长．某城市调查近4个月的预制菜市场规模y（万元）得
到如表所示的数据，根据数据得到y关于x的非线性回归方程
1 2 3 4
按照这样的速度，预估第8个月的预制菜市场规模是 万元．（结果用e表示）
【答案】
【解析】由题设，令 ，则 ， ，
所以 ，则 ，
所以 代入回归方程，则 ，可得 万元.故答案为：
8．（2024·全国·模拟预测）为研究变量x，y的相关关系，收集得到如下数据：
x 1 2 3 4 5
y 60
若由最小二乘法求得y关于x的线性回归方程为 ，并据此计算在样本点 处的残差为0，则
．
【答案】290
【解析】因为在样本点 处的残差为0，
所以 ，得 ，
则y关于x的线性回归方程为 ．
因为 ，所以 ，
所以 ．
故答案为：
9．（2024·高二·河南郑州·阶段练习）对于数据组 ，如果由经验回归方程得到的对应自
变量 的估计值是 ，那么将 称为对应点 的残差．某商场为了给一种新商品进行合理定价，
将该商品按事先拟定的价格进行试销，得到如下所示数据：
单价 元 8.2 8.4 8.6 8.8
销量 件 84 83 78 m
根据表中的数据，得到销量 （单位：件）与单价 （单位：元）之间的经验回归方程为 ，据
计算，样本点 处的残差为 ，则 ．
【答案】75
【解析】根据样本点 处的残差为 ，得 ，得 ，
所以 ，
， ，
由 ，得
故答案为：75
10．（2024·高二·全国·课后作业）为了调查学生对网络课程是否喜爱，研究人员随机调查了相同人数的男、女学生，发现男生中有80%喜欢网络课程，女生中有40%不喜欢网络课程，且有95%的把握认为喜欢网络
课程与性别有关，但没有99%的把握认为喜欢网络课程与性别有关．已知被调查的男、女学生的总人数为
，则 ．
【答案】5或6
【解析】设男、女学生的总人数为 ，则 ，并把 列联表的数据补充完整：
是否喜欢网络课程
喜欢 不喜欢 合计
性别
男生
女生
合计
所以 ．
又因为有95%的把握认为喜欢网络课程与性别有关，但没有99%的把握认为喜欢网络课程与性别有关，
所以 ，即 ．又 ，
所以 或 ．
故答案为: 或 .
11．（2024·全国·模拟预测）害虫防控对于提高农作物产量具有重要意义.已知某种害虫产卵数 （单位：
个）与温度 （单位： ）有关，测得一组数据 ，可用模型 进行拟合，利用
变换得到的线性回归方程为 .若 ，则 的值为 .
【答案】
【解析】对 两边同时取对数可得 ；
即 ，可得
由 可得 ，
代入 可得 ，即 ，所以 .
故答案为：
12．（2024·陕西安康·模拟预测）某池塘中水生植物的覆盖水塘面积 （单位： ）与水生植物的株数
（单位：株）之间的相关关系，收集了4组数据，用模型 去拟合 与 的关系，设 ，
与 的数据如表格所示：
3 4 6 72.5 3 4 5.9
得到 与 的线性回归方程 ，则 .
【答案】
【解析】由已知可得， ， ，
所以，有 ，解得 ，
所以 .
由 ，得 ，
所以 ，
所以 .
故答案为： .
三、解答题
13．（2024·高三·海南省直辖县级单位·开学考试）2023年杭州亚运会于2023年9月23日至10月8日举行，
亚洲45个国家和地区的奥委会代表参会．某校想趁此机会带动学生的锻炼热情，准备开设羽毛球兴趣班，
在全校范围内采用简单随机抽样的方法，分别抽取了男生和女生各100名作为样本，调查学生是否喜欢羽
毛球运动，经统计，得到了如图所示的等高堆积条形图．
(1)根据等高堆积条形图，填写下列 列联表，并依据 的独立性检验，推断是否可以认为该校学
生的性别与是否喜欢羽毛球运动有关联；
是否喜欢羽毛球运动
性
合计
别
是 否
男
生
女
生合
计
(2)已知该校男生与女生人数相同，将样本的频率视为概率，现从全校学生中随机抽取30名学生，设其中
喜欢羽毛球运动的学生人数为X，求 取得最大值时的 值．
附：
0.10 0.05 0.010 0.005 0.001
2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
参考公式：
，其中 ．
【解析】（1）由题意，根据等高堆积条形图，完成 列联表如下：
是否喜欢羽毛球运动
性
合计
别
是 否
男
75 25 100
生
女
55 45 100
生
合
130 70 200
计
零假设为
：该校学生的性别与是否喜欢羽毛球运动没有关联．
，
∴依据小概率值 的独立性检验，
我们推断 不成立，即能认为该校学生喜欢羽毛球运动与性别有关联．
（2）由列联表可知，该校学生喜欢羽毛球运动的频率为 ，
∴随机变量 ，
∴ ．要使 取得最大值，则需 ，
解得 ，
∵ ，∴当 时， 取得最大值．
14．（2024·黑龙江·二模）某兴趣小组，对高三刚结束的测试的物理成绩进行随机调查，在所有选择物理
科的考生中随机抽取100名各类考生的物理成绩，整理数据如下表（单位：人）
A班男生 2 8 15 8
B班男生 3 10 20 4
A班女生 3 4 2 1
B班女生 10 6 4 0
(1)估计该校高三学习物理男生人数与女人数的比值；
(2)求A班物理平均成绩的估计值（同一组中的数据用该组区间中点值为代表，结果四舍五入到整数）；
(3)把成绩在 称为及格，成绩在 为不及格，根据所有数据完成下面 列联表，试根据小概
率值 的独立性检验，分析该校考生的物理成绩与性别是否有关？
成绩
性别 合计
及格 不及格
男生
女生
合计
附：
0.05 0.01 0.001
3.841 6.635 10.828
【解析】（1）由表中数据可知，男生共有 ，女生共有 ，
由此估计该校高三学习物理男生人数与女人数的比值约为 .
（2）A班共有： 人
班物理平均成绩的估计值为
（3）由表中数据可知， 列联表如下：
成绩
性别 合计
及格 不及格
男生 65 5 70
女生 17 13 30
合计 82 18 100
零假设为 ：该校考生的物理成绩与考生性别无关，
根据表格中数据计算得到
根据小概率值 的 独立性检验，推断 不成立，即认为该校考生的物理成绩与性别有关，此推
断犯错误的概率不大于0.01．
15．（2024·全国·模拟预测）软笔书法又称中国书法，是我国的国粹之一，琴棋书画中的“书”指的正是
书法.作为我国的独有艺术，软笔书法不仅能够陶冶情操，培养孩子对艺术的审美还能开发孩子的智力，拓
展孩子的思维与手的灵活性，对孩子的身心健康发展起着重要的作用.近年来越来越多的家长开始注重孩子
的书法教育.某书法培训机构统计了该机构学习软笔书法的学生人数（每人只学习一种书体），得到相关数
据统计表如下：
楷 隶
书体 行书 草书 篆书
书 书
人数 24 16 10 20 10
(1)该培训机构统计了某周学生软笔书法作业完成情况，得到下表，其中 .
认真完
不认真完成 总计
成
男生女生
总计 60
若根据小概率值 的独立性检验可以认为该周学生是否认真完成作业与性别有关，求该培训机构学
习软笔书法的女生的人数.
(2)现从学习楷书与行书的学生中用分层随机抽样的方法抽取10人，再从这10人中随机抽取4人，记4人
中学习行书的人数为 ，求 的分布列及数学期望.
参考公式及数据： .
0.10 0.05 0.01
2.706 3.841 6.635
【解析】（1）根据题意，完成列联表如下：
不认真完
认真完成 总计
成
男生
女生
总计 60 20 80
由题意可得 ，
得 .
易知 为5的倍数，且 ，所以 ，
所以该培训机构学习软笔书法的女生有 （人）.
（2）因为学习软笔书法的学生中学习楷书与行书的人数之比为 ，
所以用分层随机抽样的方法抽取的10人中，学习楷书的有 （人），学习行书的有
（人），
所以 的所有可能取值为 ，
， ， ，， .
的分布列为：
0 1 2 3 4
所以 .
16．（2024·高三·重庆大足·阶段练习）垃圾分类是普惠民生的一项重要国策．垃圾分类不仅能够减少有害
垃圾对环境的破坏，减少污染，同时也能够提高资源循环利用的效率．垃圾分类共分四类，即有害垃圾，
厨余垃圾，可回收垃圾与其他垃圾．某校为了解学生对垃圾分类的了解程度，按照了解程度分为 等级和
等级，随机抽取了100名学生作为样本进行调查．已知样本中 等级的男生人数占总人数的 ，两个等
级的女生人数一样多，在样本中随机抽取1名学生，该生是 等级男生的概率为 ．
(1)根据题意，完成下面的二维列联表．并根据小概率值 独立性检验，判断学生对垃圾分类的了解
程度是否与性别有关？
男生 女生
等级
等级
附：
0.05 0.025 0.01 0.005
3.841 5.024 6.635 7.879
，其中 ．
(2)为了进一步加强垃圾分类工作的宣传力度，学校特举办垃圾分类知识问答比赛活动．每局比赛由二人参
加，主持人 和 轮流提问，先赢3局者获得第一名并结束比赛．甲，乙两人参加比赛，已知主持人 提
问甲赢的概率为 ，主持人 提问甲赢的概率为 ，每局比赛互相独立，且每局都分输赢．抽签决定第一
局由主持人 提问．
（i）求比赛只进行3局就结束的概率；
（ii）设 为结束比赛时甲赢的局数，求 的分布列和数学期望 ．
【解析】（1）由题意得， 等级的男生人数为 ， 等级男生的人数为 ，等级的女生人数相同，均为 人，
故列联表如下：
男生 女生 总计
等级 40 20 60
等级 20 20 40
总计 60 40 100
故 ，
故根据小概率值 独立性检验，学生对垃圾分类的了解程度与性别无关；
（2）（i）比赛只进行3局就结束，甲赢得比赛的概率为 ，
比赛只进行3局就结束，乙赢得比赛的概率为 ，
故比赛只进行3局就结束的概率为 ；
（ii） 的可能取值为 ，
，即进行了3场比赛，且乙赢得比赛，故 ，
，即进行了4场比赛，且乙赢得比赛，前3场中，甲赢得1场比赛，乙第4场赢，
故 ，
，即进行了5场比赛，且乙赢得比赛，前4场中，甲赢得2场比赛，乙第5场赢，
故
，
，即最后甲赢得比赛，由概率性质得
，
所以分布列为
0 1 2 3故数学期望为 .
17．（2024·云南·一模）某大学保卫处随机抽取该校1000名大学生对该校学生进出校园管理制度的态度进
行了问卷调查，结果见下表：
男生（单位：人） 女生（单位：人） 总计
赞成 400 300 700
不赞成 100 200 300
总计 500 500 1000
(1)根据小概率值 的独立性检验，分析该校大学生赞成学生进出校园管理制度与学生的性别是否有
关；
(2)为答谢参与问卷调查的同学，参与本次问卷调查的同学每人可以抽一次奖，获奖结果及概率如下：
奖金（单位：
0 10 20
元）
获奖概率
若甲､乙两名同学准备参加抽奖，他们的获奖结果相互独立，记两人获得奖金的总金额为 （单位：元），
求 的数学期望 .
附： ，其中 .
0.15 0.10 0.05 0.010 0.001
2.072 2.706 3.841 6.635 10.828
【解析】（1）零假设为 ：该校大学生赞成学生进出校园管理制度与学生的性别无关联.由已知得
根据小概率值 的独立性检验，我们推断 不成立，即认为该校大学生赞成学生进出校园管理制
度与学生的性别有关，此推断犯错误的概率不大于0.001.
（2）由题意可知 的取值为 .
记事件 表示甲同学中奖的金额为 元， ；
事件 表示乙同学中奖的金额为 元， ，且事件 与事件 相互独立.
则 ，故 的数学期望
18．（2024·贵州·三模）“村超”是贵州省榕江县举办的“和美乡村足球超级联赛”的简称.在2023年火爆
“出圈”后，“村超”热度不减.2024年1月6日，万众瞩目的2024年“村超”新赛季在“村味”十足的
热闹中拉开帷幕，一场由乡村足球发起的“乐子”正转化为乡村振兴的“路子”.为了解不同年龄的游客对
“村超”的满意度，某组织进行了一次抽样调查，分别抽取年龄超过35周岁和年龄不超过35周岁各200
人作为样本，每位参与调查的游客都对“村超”给出满意或不满意的评价.设事件 “游客对“村超”满
意”，事件 “游客年龄不超过35周岁”，据统计， ， .
(1)根据已知条件，填写下列 列联表并说明理由；
满意度
年龄 合计
满意 不满意
年龄不超过35周岁
年龄超过35周岁
合计
(2)由（1）中 列联表数据，依据小概率值 的独立性检验，能否认为游客对“村超”的满意度与
年龄有关联？
附： .
0.1 0.05 0.01 0.005 0.001
2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
【解析】（1）根据题意，由 ，可得不超过35岁的人中，对“村超”满意且有160人，
又由 ，可得对“村超”满意的人中超过35岁的有140人，
由此列联表如下.满意度
年龄 合计
满意 不满意
不超过35岁 160 40 200
超过35岁 140 60 200
合计 300 100 400
（2）由 .
依据小概率值 的独立性检验，，即认为性别与满意度没有关联.
19．（2024·青海·一模）某公司自去年2月份某项技术突破以后，生产的产品质量得到改进与提升，经过
一年来的市场检验，信誉越来越好，因此今年以来产品的市场份额明显提高，业务订单量明显上升，如下
表是2023年6月份到12月份的订单量数据．
月份 6 7 8 9 10 11 12
月份代码t 1 2 3 4 5 6 7
订单量y（万件） 4.7 5.3 5.6 5.9 6.1 6.4 6.6
(1)试根据相关系数r的值判断订单量y与t的线性相关性强弱（ ，则认为y与t的线性相关性较
强； ，则认为y与t的线性相关性较弱）；
(2)建立y关于t的线性回归方程，并预测该公司2024年3月份接到的订单数量；
(3)为进一步拓展市场，该公司适时召开了一次产品观摩与宣传会，在所有参会人员（人数很多）中随机抽
取部分参会人员进行问卷调查，其中评价“产品质量很好”的占50%，“质量良好”、“质量还需改进”
的分别各占30%，20%，然后在所有参会人员中随机抽取5人作为幸运者赠送礼品，记抽取的5人中评价
“产品质量很好”的人数为随机变量X，求X的分布列与期望．
附参考公式： ， ， ．
参考数据： ， ， ．
【解析】（1）由表格可知 ，
，所以 ，
即订单量y与t的线性相关性较强；
（2）结合数据及（1）可知： ，
则 ，
所以y关于t的线性回归方程为： ，
显然 ，即预测该公司2024年3月份接到的订单数量为 万件；
（3）易知 ，
， ,
， ,
， ，
分别列表如下：
X 0 1 2 3 4 5
则 .
20．（2024·高三·河南·阶段练习）近日，欧冠拉开帷幕，引得无数球迷的纷纷关注，成了体育竞技赛事的
又一热点，为此某中学组织人员对在校学生“是否热爱踢足球”做了一次随机调查．共随机调查了18名男
生和12名女生，调查发现，男、女生中分别有12人和6人喜爱该项运动，其余不喜爱.
(1)根据以上数据完成以下 列联表．
不喜欢踢足
喜欢踢足球 合计
球
男
女
合计依据小概率值 的独立性检验，分析性别与喜欢踢足球是否有关?
(2)从被调查的女生中随机抽取3人，若其中喜爱踢足球的人数为 ，求 的分布列及数学期望.
附： ，其中 .
0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001
2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828
【解析】（1） 列联表如下：
不喜欢踢足
喜欢踢足球 合计
球
男 12 6 18
女 6 6 12
合计 18 12 30
零假设 为：性别与喜欢踢足球无关，
，
故依据小概率值 的独立性检验，可得性别与喜欢踢足球无关；
（2） 的可能取值为 、 、 、 ，
则 ， ，
， ，
故其分布列为：
其期望为： .
21．（2024·云南红河·二模）某网络购物平台专营店统计了某年2月15日至19日这5天在该店购物的人数
（单位：人）的数据如下表：
日期 2月15日 2月16日 2月17日 2月18日 2月19日
日期代号 1 2 3 4 5购物人数 77 84 93 96 100
(1)根据表中数据，建立 关于 的一元线性回归模型，并根据该回归模型预测当年2月21日在该店购物的
人数（人数用四舍五入法取整数）；
(2)为了了解参加网购人群的年龄分布，该店随机抽取了200人进行问卷调查.得到如下所示不完整的 列
联表：
年龄 不低于40岁 低于40岁 合计
参与过网上购物 30 150
未参与过网上购物 30
合计 200
将列联表补充完整，并依据表中数据及小概率值 的独立性检验，能否认为“参与网上购物”与
“年龄”有关.
附：回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为
0.10 0.05 0.010 0.005 0.001
2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
【解析】（1）由表中数据可得 ， ，
，
，
则 ， ，
所以 关于 的一元线性回归方程是 ，
令 ，得 ，
所以估计当年2月21日在该店购物的人数为 人.
（2） 列联表如下：
年龄 不低于 岁 低于 岁 合计
参与过网上购物未参与过网上购
物
合计 200
零假设为 ：参加网上购物和年龄无关，
根据数据，计算得到： ，
所以根据小概率 的独立性检验，我们推断 不成立，
即认为参加网上购物和年龄有关，此推断犯错误的概率不大于 .
22．（2024·内蒙古包头·二模）某企业拟对某产品进行科技升级，根据市场调研与模拟，得到科技升级投
入 （万元）与科技升级直接收益 （万元）的数据统计如下：
序
1 2 3 4 5 6 7
号
2 3 4 6 8 10 13
13 22 31 42 50 56 58
根据表格中的数据，建立了 与 的两个回归模型：模型①： 模型②： .
(1)根据下列表格中的数据，比较模型①､②的相关指数的大小，并选择拟合精度更高､更可靠的模型；
(2)根据（1）选择的模型，预测对该产品科技升级的投入为100万元时的直接收益.
回归模型 模型① 模型②
回归方程
182.4 79.2
（附：刻画回归效果的相关指数 越大，模型的拟合效果越好）
【解析】（1）由表格中的数据， ，
所以，模型①的相关指数小于模型②的相关指数，
即模型②的拟合效果精度更高､更可靠.（2）当 万元时，科技升级直接收益的预测值为：
（万元）
23．（2024·高三·全国·阶段练习）某高中数学兴趣小组，在学习了统计案例后，准备利用所学知识研究成
年男性的臂长 与身高 之间的关系，为此他们随机统计了5名成年男性的身高与臂长，得到如
下数据：
16 17
159 170 180
5 6
67 71 73 76 78
(1)根据上表数据，可用线性回归模型拟合 与 的关系，请用相关系数加以说明；
(2)建立 关于 的回归方程（系数精确到0.01）；
参考数据：
参考公式：相关系数 ，回归方程 中斜率和截距的最小二乘估计公式分
别为 .
【解析】（1）由表中的数据和附注中的参考数据得
，
，
因为 与 的相关系数近似为0.997，说明 与 的线性相关程度相当高，从而可以用线性回归模型拟合
与 的关系.（2）由 及（1）得 ，
，
所以 关于 的回归方程为 .
24．（2024·四川巴中·一模）下图是某市2016年至2022年生活垃圾无害化处理量y（单位：万吨）与年份
t的散点图.
(1)根据散点图推断变量y与t是否线性相关，并用相关系数加以说明；
(2)建立y关于t的回归方程（系数精确到0.01），预测2024年该市生活垃圾无害化处理量.
参考数据：
， ， ， .
参考公式： ， ；相关系数 .
【解析】（1）
根据散点图推断变量y与t线性相关，说明如下：
由题意得 ，
，
，
故 ，
由y与t的相关系数约为0.97表明，y与t线性相关，相关程度相当高；（2）由 以及（1）可得 ，
则 ，
故y关于t的回归方程为 ，
将2024年对应的年份代码 代入回归方程得
故预测2024年该市生活垃圾无害化处理量约为1.84万吨.
25．（2024·高三·上海浦东新·阶段练习）环境监测部门为调研汽车流量对空气质量的影响，在某监测点统
计每日过往的汽车流量 （单位：辆）和空气中的 的平均浓度 （单位： ）． 调研人员采
集了50天的数据，制作了关于 的散点图，并用直线 与 将散点图分成
如图所示的四个区域Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ，落入对应区域的样本点的个数依次为6，20，16，8．
(1)完成下面的 列联表，并判断至少有多大把握认为“ 平均浓度不小于 与“汽车日流
量不小于1500辆”有关；
汽车日流量
汽车日流量 合计
的平均浓度
的平均浓度
合计
(2)经计算得回归方程为 ，且这50天的汽车日流量 的标准差 ， 的平均浓
度 的标准差 ．
①求相关系数 ，并判断该回归方程是否有价值；
②若这50天的汽车日流量 满足 ，试推算这50天的 日均浓度 的平均数 ．（精确
到0.1）
参考公式： ，其中 ．0.100 0.050 0.010 0.001
2.706 3.841 6.635 10.828
回归方程 ，其中 ．
相关系数 ． 若 ，则认为 与 有较强的线性相关性．
【解析】（1） 列联表如下：
汽车日流量 汽车日流量 合计
的平均浓度
16 8 24
的平均浓度
6 20 26
合计 22 28 50
零假设 ：“PM2.5平均浓度不小于100μg/m3”与“汽车日流量不小于1500辆”无关，
因为 ，
所以至少有 的把握（但还不能有 的把握）认为“ 平均浓度不小于 ”与“汽车
日流量不小于1500辆有关”．
（2）①因为回归方程为 ，所以 ，
又因为 ， ，
所以 ．
与 有较强的相关性， 该回归方程有价值．② ，解得
而样本中心点 位于回归直线 上，
因此可推算 .
26．（2024·湖南·模拟预测）将保护区分为面积大小相近的多个区域，用简单随机抽样的方法抽取其中15
个区域进行编号，统计抽取到每个区域的某种水源指标 和区域内该植物分布的数量 （ ，2，…，
15），得到数组 ．已知 ， ， ．
(1)求样本 （ ，2…，15）的相关系数；
(2)假设该植物的寿命为随机变量X（X可取任意正整数）．研究人员统计大量数据后发现：对于任意的
，寿命为 的样本在寿命超过k的样本里的数量占比与寿命为1的样本在全体样本中的数量占比
相同，均等于0.1，这种现象被称为“几何分布的无记忆性”．
（ⅰ）求 （ ）的表达式；
（ⅱ）推导该植物寿命期望 的值．
附：相关系数 ．
【解析】（1）由 ， ， ，
得相关系数 .
（2）（ⅰ）依题意， ，又 ，
则 ，当 时，把 换成 ，则 ，
两式相减，得 ，即 ，
又 ，于是 对任意 都成立，
从而 是首项为0.1，公比为0.9的等比数列，
所以 ；
（ⅱ）由定义知， ，而 ，
显然 ，
于是 ，
两式相减得
，
因此 ，
当 足够大时， ， ，则 ，可认为 ．
所以该植物寿命期望 的值是10.
27．（2024·黑龙江吉林·二模）恰逢盛世，风调雨顺.某稻米产地今秋获得大丰收，为促进当地某品牌大米
销售，甲、乙两位驻村干部通过直播宣传销售所驻村生产的该品牌大米.通过在某时段100名顾客在观看直
播后选择在甲、乙两位驻村干部的直播间（下简称甲直播间、乙直播间）购买的情况进行调查（假定每人
只在一个直播间购买大米），得到以下数据：
在直播间购买大米的情况
网民类型 合计
在甲直播间购买 在乙直播间购买
本地区网民 50 5 55
外地区网民 30 15 45
合计 80 20 100
(1)依据小概率值 的独立性检验，能否认为网民选择在甲、乙直播间购买大米与网民所处地区有关；
(2)用样本分布的频率分布估计总体分布的概率，若共有 名网民在甲、乙直播间购买大米，且网民选
择在甲、乙两个直播间购买大米互不影响，记其中在甲直播间购买大米的网民数为X，求使事件“
”的概率取最大值时k的值.
附： ，其中 .
0.1 0.05 0.01 0.005
2.706 3.84 6.635 7.8791
【解析】（1）提出零假设 ：网民选择在甲、乙直播间购买大米与网民所处地区没有关联，
经计算得 ，
依据小概率值 的独立性检验，我们推断 不成立，
即认为网民选择在甲、乙直播间购买大米与网民所处地区有关联.
（2）利用样本分布的频率估计总体分布的概率，
可知网民选择在甲直播间购买夏橙的概率为 ，
则 ，记 ， ，
则 ，
则问题等价于求当 取何值时 取最大值，
因为 ， ，
又 ，
所以当 时， ；
当 时， ；
当 时， ；
所以 ，
，
所以当 时， 取最大值，
即使事件“ ”的概率取最大值的 的值为 .
28．（2024·山东淄博·一模）为了解居民体育锻炼情况，某地区对辖区内居民体育锻炼进行抽样调查.统计
其中400名居民体育锻炼的次数与年龄，得到如下的频数分布表.
年龄
[20,30) [30,40) [40,50) [50,60]
次数
每周0~2次 70 55 36 59
每周3~4次 25 40 44 31
每周5次及以上 5 5 20 10(1)若把年龄在 的锻炼者称为青年，年龄在 的锻炼者称为中年，每周体育锻炼不超过2次的
称为体育锻炼频率低，不低于3次的称为体育锻炼频率高，根据小概率值 的独立性检验判断体育
锻炼频率的高低与年龄是否有关联；
(2)从每周体育锻炼5次及以上的样本锻炼者中，按照表中年龄段采用按比例分配的分层随机抽样，抽取8
人，再从这8人中随机抽取3人，记这3人中年龄在 与 的人数分别为 ，求ξ的
分布列与期望；
(3)已知小明每周的星期六、星期天都进行体育锻炼，且两次锻炼均在跑步、篮球、羽毛球3种运动项目中
选择一种，已知小明在某星期六等可能选择一种运动项目，如果星期六选择跑步、篮球、羽毛球，则星期
天选择跑步的概率分别为 ，求小明星期天选择跑步的概率.
参考公式：
附：
α 0.10 0.05 0.01 0.005 0.001
2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
【解析】（1）零假设： 体育锻炼频率的高低与年龄无关，
由题得 列联表如下：
中
青年 合计
年
体育锻炼频率
125 95 220
低
体育锻炼频率
75 105 180
高
合计 200 200 400
，
根据小概率值 的独立性检验推断 不成立，
即认为体育锻炼频率的高低与年龄有关，此推断犯错误的概率不大于0.01.
（2）由数表知，利用分层抽样的方法抽取的8人中，年龄在 内的人数分别为1，2，
依题意， 的所有可能取值分别为为0，1，2，所以 ，
，
，
所以 的分布列：：
0 1 2
所以 的数学期望为 .
（3）记小明在某一周星期六选择跑步、篮球、羽毛球，分别为事件A，B，C，
星期天选择跑步为事件 ，则 ，
，
所以
所以小明星期天选择跑步的概率为 .
