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计数模型：方阵与比赛问题 （笔记） 主讲教师：唐宋 授课时间：2025.12.18 粉笔公考·官方微信 1 计数模型：方阵与比赛问题（笔记） 【答案汇总】1-5：BABCD；6-10：ABCCB；11-14：BBAA 说在课前 ①方阵问题约30～40 分钟，比赛问题约50～60 分钟，中间不休息。 ②本节课的两个题型，属于考试中的冷门低频题型，只建议学有余力的同学 查漏补缺。 ③如果不确定自己目标考试是否考查这些，可以看一眼例题，如果有你的目 标考试可以考虑学习。 【注意】说在课前： 1.方阵问题约30～40 分钟，比赛问题约50～60 分钟，中间不休息。 2.本节课的两个题型，属于考试中的冷门低频题型，若数学还在打基础不建 议学习，只建议学有余力的同学查漏补缺。 3.如果不确定自己目标考试是否考查这些，可以看一眼例题，如果有你的目 标考试可以考虑学习。 方阵问题 方阵是n 行n 列的正方形矩阵，其总人数n²必为完全平方数。 常用计算技巧： ①（a±b）²=a²+b²±2ab 【注意】方阵问题：方阵一定是正方形，长方形的是矩阵。 1.方阵是n 行n 列的正方形矩阵，如3 行3 列、2 行2 列、5 行5 列，其总 人数n²必为完全平方数，如2 行2 列的总人数为2²=2。 2.常用计算技巧：（a±b）²=a²+b²±2ab，n 可能会扩大或缩小，（n+3）²=n ²+3²+2*3*n；（n-2）²=n²+2²-2*2*n。 【例1】（2023 广东事业单位）某公司计划在年终庆典上用若干无人机进行 方阵表演。活动当天突然有41 台无人机发生故障无法使用，剩下的无人机恰好 2 仍能组成方阵，但比原计划少了一行和一列。则原计划方阵表演使用的无人机数 量是（ ）台。 A.400 B.441 C.484 D.529 【解析】1.方法一：原来的无人机能进行方阵表演，剩下的无人机还可以进 行方阵表演，但比原计划少了一行和一列，假设原来是n 行n 列，则原来无人机 有n²台，剩下的无人机比原计划少了一行和一列，有（n-1）²台，两者之间相 差41 台，列式：n²-（n-1）²=41→n²-（n²+1-2n）=41→2n-1=41→n=21，所求 =n²=441，对应B 项。 方法二：原计划比剩下的相差41 台，结合选项，A、B 项之间相差41，B 项 -A 项=41，利用选项关系，以坑治坑，原来的是B 项，剩下的是A 项，猜测答案 为B 项。【选B】 【例2】（2020 浙江）某学校要将全体运动员排成方阵，老师按人数粗略估 计进行第一次排列，发现多出99 人，于是又将每行和每列多加了4 人进行排列， 发现缺少37 人。问学校共有运动员多少人？ A.256 B.289 C.324 D.361 【解析】2.方法一：第一次排列不知道每行、每列是几个人，但外面多了 99 人；“每行和每列多加了4 人进行排列”，转化为n+4 的方阵，缺少了37 人， 都是与实际人数对比，实际人数=第一个方阵+99 人=第二个方阵-37 人，假设第 一次排列是n 行n 列，实际人数=n²+99，第二次每行每列多加4 人，变成n+4 的方阵，实际人数=（n+4）²-37，列式：n²+99=n²+16+8n-37→8n=120→n=120/8=15， 不要算出n 就选择n²，选项没有设置n²的“坑”，问实际人数，所求=n² +99=225+99=324，对应C 项。 方法二：猜题方法。实际人数比第一次排列多了99，观察选项，选项之间 没有相差99 的，实际人数比第二次排列少了37，即实际人数=第二个方阵-37， 观察选项，A、B 项相差33，C、D 项相差37，C 项=D 项-37，猜测实际人数为C 项。 3 方法三：“将每行和每列多加了4 人进行排列，发现缺少37 人”，利用多退 少补变成平方数，利用选项求解，选项+37=平方数，观察选项，选项+37 分别为 293、326、361、398，只有C 项+37 后是平方数，对应C 项。【选C】 【注意】一个数-99=一个数-100+1；选项-99 分别为157、190、225、262， 只有225 是平方数，选择C 项。 【例3】（2024 四川事业单位）某工厂将全体员工排成正方形方阵，进行第 一次排列时，发现多出58 人，于是又将每行和每列多加了2 人进行排列，发现 缺少14 人。则该工厂共有（ ）名员工。 A.323 B.347 C.385 D.421 【解析】3.题干强调是“正方形方阵”，题干与例2 很相似，前两个方法与 例2 相同。 方法一：假设第一次排列为n 行n 列，“进行第一次排列时，发现多出58 人”，实际人数=n²+58，“每行和每列多加了2 人进行排列，发现缺少14 人”→ 第二次每行每列多2 人，实际人数=（n+2）²-14，列式：n²+58=（n+2）²-14→ 4n=48→n=17，问共有多少，所求=n²+58=17*17+58=尾数9+尾数8=尾数7，选择 B 项。 方法二：观察选项，选项之间没有相差14、58 的，不能以坑治坑的猜题； 可以通过多退少补凑平方，实际人数=第一次方阵+58 人，把多的58 人退掉正好 是方阵，方阵一定是平方数，考试中常见的平方数不会考查太大，可以把选项-58， 或根据第二次方阵，“将每行和每列多加了2 人进行排列，发现缺少14 人”，将 选项+14，选项+14 分别为337、361、399、435，不要求对平方数背的滚瓜烂熟， 只要产生印象，知道哪个是平方数即可，361 是平方数（结合体育品牌361°记 忆），只有B 项+14 是平方数，选择B 项。【选B】 【例4】（2024 江苏）某高校运动会开幕式的学生表演方阵中，有3 排是研 究生，其余都是本科生。若本科生的人数是270，则研究生的人数是： 4 A.42 B.45 C.54 D.171 【解析】4.方法一：问研究生人数，研究生在前三排，本科生在后面几排， 本科生有270 人，问研究生有多少人，研究生人数+270=平方数，结合选项，A 项+270=312、B 项+270=315，均不是平方数，排除；C 项+270=324 是平方数，D 项+270=441 也是平方数，保留；C、D 项剩二代一，可以代入小的C 项，也可以 认为D 项是错误的代入D 项，因为错误答案代入起来更快，错误答案往往在某一 个步骤上出错，不需要把正确答案全代入一遍，比如C 项正确，需要把C 项代入 后严丝合缝，把所有条件都走一遍，反而更浪费时间，D 项是错误答案，先代入 比较像错误的答案，反而中途就错了，会更快的排除答案，根据习惯选择，一般 B、C 项正确率更高，老师优先讲解代入D 项，若171 人是研究生，每排171/3=57 人，本科生有270 人，有若干排，270/57 不能整除，D 项错误，选择C 项；如果 代入C 项逻辑相同，若有54 个研究生，每排有54/3=18 人，本科生有270 人， 270/18=15 排，加上研究生3 排，刚好有18 排，刚好每排有18 人，满足18 排、 18 人的方阵，完全满足要求，C 项验证的时间反而更长。 方法二：正常计算，整个方阵为n 行n 列，有3 排是研究生，即研究生人数 为3n，其余有n-3 行，每行有n 人，即研究生人数为（n-3）*n，本科生有270 人，即（n-3）*n=270，方程不好求解，可以代入选项，代入A 项，42=3n→n=14， （14-3）*14＜270，排除，代入B 项：45=3n→n=15，（15-3）*15＜270，排除； 代入C 项：54=3n→n=18，18*（18-3）=18*15=270，当选。【选C】 【注意】可以居中代入，代入B 项比270 小，则A 项会比270 更小，可以同 时排除A、B 项，剩余C、D 项只需要代入一次即可。 方阵问题 方阵是n 行n 列的正方形矩阵，其总人数n²必为完全平方数。 常用计算技巧： ①（a±b）²=a²+b²±2ab ②任何一层人数=该层每边人数*4-4 5 ③相邻两层的人数差=8 【注意】方阵问题： 1.方阵是n 行n 列的正方形矩阵，其总人数n²必为完全平方数。 2.常用计算技巧： （1）（a±b）²=a²+b²±2ab。 （2）任何一层人数=该层每边人数*4-4。如图所示，方阵每一边只有2 个人， 不能认为有2*4=8 人，因为横着2 人、左边竖着2 人，左上角的人算两边，同理 竖着数和横着数左下角的交点算2 边，同理，每个交点会计算两次，故四个交点 各重复1 次，需要减掉重复的四个点，为2*4-4=4 人；如果方阵每边有n 人，这 一层不算里面，只算这一层外面，同理，每边有n 个，有4 条边，但每个交点上 的人横着数和竖着数都算了两遍，需要减掉四个交点各重复一次，为n-4-4。 （3）相邻两层的人数差=8。方阵可以理解为是一层一层嵌套出来的，类似 于一个回字，到最中间填满就结束，类似于阅兵时，最外面有10 人，再往里面 慢慢人数越来越少；如图所示，为5 行5 列的方阵，在里面画一层，最外层每边 有5 人，里面每边有3 人，因为左右各少一个，每边少2 个，一共有4 条边，会 少8 个，如最外层蓝色一层总人数为5*4-4=16 人，中间有3 人，有4 条边，再 减去每个端点重复的人，为3*4-4=8 人，16-8=8，即相邻两层差8 人，“-4”是 公式中自带的常数，两者没有差距关系，每边都少2 人，四条边会少8 人，常数 不会有相差的。 6 【引例】（2021 大连事业单位）某校校运会开幕式中，正迎面走来的是高一 年级运动员组成的正方形实心方阵，已知此正方形实心方阵最外围一圈共有60 名运动员，则该正方形实心方阵由（ ）名高一年级运动员组成。 A.196 B.225 C.256 D.289 【解析】拓展.“最外围一圈”→最外层，最外层有60 人，60=n*4-4→n=16， 即最外层有每条边有16 人，总人数为16²=尾数6，有两个尾数6 的选项，需要 计算，16*16=256，对应C 项。【选C】 【例5】（2023 江苏事业单位）学校校庆计划进行方阵表演，男女同学按照 最外层是男生，从外往内每层按男生、女生相间排列。已知最外层有68 位男生， 则整个方阵男生比女生多（ ）人。 A.16 B.24 C.32 D.36 【解析】5.本题容易误解为男女间隔排序，要求“从外往内每层按男生、女 生相间排列”，如最外层是男生，则靠内的一层是女生，再靠外的一层为男生， 再靠内的为女生，“已知最外层有68 位男生”，方阵的总人数有很多，若把所有 方阵人数求出再计算比较麻烦，不用计算出总人数，一层一层分析，最外层男生 为68，相邻两层相差8 人，则下一层女生为60 人，下一层男生为52，下一层女 生为44、下一层男生为36、下一层女生为28、下一层男生为20、下一层女生为 12，下一层男生为4 人，可以把男生人数加和，女生人数加和，做减法即可，但 这样求解计算量比较大，容易失误，问整体差多少人，每一层都相差8 人，男生 7 多了4*8+4=32+4=36 人，对应D 项。【选D】 【例6】（2022 福建事业单位）用原味和海鲜味两种口味的罐装薯片组成一 个实心方阵（所有罐装薯片大小完全相同），最外层都是原味罐装薯片，从外往 内每层按原味罐装薯片、海鲜味罐装薯片相间摆放。如果最外一圈的正方形有原 味罐装薯片44 罐，那么摆成这个实心方阵共需海鲜味罐装薯片（ ）罐。 A.60 B.62 C.64 D.70 【解析】6.问海鲜味总共有多少，从外到内每一层数量依次为44、36、28、 20、12、4，原味的有44、28、12 个，海鲜味有4+20+36，每两个数之间相差16， 因为4 和20 隔了2 个8，同样20 到36 隔了2 个8，有等差数列，等差数列求和， 本题数字比较少，可以直接加和，若数据很长，逐个加和比较浪费时间，可以利 用等差数列求和公式，等差数列求和公式中比较快的是“中间项*项数”，所求 =20*3=60，对应A 项。【选A】 【注意】原味的有44、28、12 个,原味共有28*3=84 个。 方阵问题小结 1、n 行n 列的方阵，总人数为n²。 2、任何一层人数=该层每边人数*4-4 3、相邻两层的人数差=8 4、若选项始终凑不成方阵，可以多退少补凑平方数，结合选项排除答案。 8 【注意】方阵问题小结： 1.n 行n 列的方阵，总人数为n²，考试几乎没有考过矩阵问题。 2.任何一层人数=该层每边人数*4-4。 3.相邻两层的人数差=8，相间两层之间（中间隔了一层）的人数差为2*8=16。 4.若选项始终凑不成方阵，可以多退少补凑平方数，结合选项排除答案；类 似于余数型倍数特性，不凑倍数，凑平方数。 比赛问题 一、单循环赛 共n 支队伍，每支队伍都要与其他队伍比赛一场，则比赛结束时有以下结论： ①每支队伍比赛场数=n-1 ②所有队伍总场数=C（n,2）=n*（n-1）/2 【注意】比赛问题：分为三种，第一个是最简单的，单循环赛，只说循环赛 也是单循环赛，双循环赛极为罕见（任何两个队伍之间，如A 和B 打一场，B 和 A 打一场，可以正着打，也可以反着打，类似于一个主场、一个客场），几乎不 考。 1.共n 支队伍，每支队伍都要与其他队伍比赛一场，则比赛结束时有以下结 论： （1）每支队伍比赛场数=n-1。 （2）所有队伍总场数=C（n,2）=n*（n-1）/2。 2.例：如有10 支队伍，每支都要与其他队伍比一场，如唐宋的队伍与其他 9 支队伍都比，则比了9 场，是“10-1”得到的，10 场包括自己在内，除了自己 之外有9 支队伍，都比一遍，为9 场比赛；10 支队伍每支队伍比9 场，但总场 数不是9*10=90，A 和B 只比一场，从A 角度考虑把A 比B 算了一场，从B 角度 考虑把B 比A 算了一场，同一场比赛正反算两遍，会出现重复，用9*10 得到的 结果会每一场都算2 遍，要除以2，故总场数=C（n,2）=C（9,2）=10*9/2，从n 个队伍中选2 个队伍进行组合，只比一次，没有前后顺序。 【例7】（2024 山东）某市举办高校足球比赛，每所高校都要与其余所有参 9 赛高校各进行一场比赛。积分规则为：胜一场积3 分，平一场积1 分，负一场积 0 分。已知此次比赛的冠军积分为14 分，其中取胜场次比平局场次多2 场，平 局场次是告负场次的2 倍。问参加这次足球比赛的高校有多少所？ A.7 B.8 C.9 D.10 【解析】7.“每所高校都要与其余所有参赛高校各进行一场比赛”→循环赛， “其中”指的是冠军，设未知数，数据很小可以凑出数据，如设告负场次为1， 则平局场次为2，取胜场次为2+2=4，凑一下会发现数字是对的；如果懒得凑可 以设未知数，设告负场次为x，则平局场次为2x，取胜场次为2x+2，“胜一场积 3 分，平一场积1 分，负一场积0 分”，总分为14 分，根据题意列式，（2x+2） *3+2x*1+x*0=14→6x+6+2x=14→x=1，冠军取胜了4 场，平均2 场，负局1 场， 一共打了7 场，每一所高校都要打一场，说明其余有7 个学校，一共有8 所，对 应B 项。【选B】 比赛问题 二、淘汰赛 共若干支队伍，每一轮两两对决、败者淘汰，直到决出最终冠军，则比赛结 束时有以下结论： ①比赛总场数=被淘汰的队伍数。 【注意】 1.比赛总场数=被淘汰的队伍数。假设有4 支队伍，两两对决，打2 场，剩 下2 支队伍，再打1 场，共需要2+1=3 场。 2.每一轮比赛，都是败者淘汰，每淘汰一个人，对应一场比赛，总共淘汰多 少人，对应多少局比赛。淘汰n 个人，对应n 局比赛。100 人比，最后决出冠军， 对应99 场。 【例8】（2018 河北事业单位）有101 位兵乓球运动员在进行冠军争夺赛。 通过比赛，将从中产生一名冠军。这次比赛实行淘汰制。在一轮比赛全部结束后， 失败者失去继续比赛的资格，而胜利者再次抽签，参加下一轮的比赛。问一共要 10 进行多少场比赛，才能最终产生冠军？ A.32 B.63 C.100 D.101 【解析】8.只有冠军没有被淘汰，淘汰的是另外101-1=100 个人，则比100 场。【选C】 【注意】比赛总场数=被淘汰的队伍数。只需决出冠亚军，n 人需要（n-1） 场。 【问法改编】（2018 河北事业单位）有101 位兵乓球运动员在进行冠军争夺 赛。通过比赛，将从中产生一名冠军。这次比赛实行淘汰制。在一轮比赛全部结 束后，失败者失去继续比赛的资格，而胜利者再次抽签，参加下一轮的比赛。问 一共要进行多少场比赛，才能最终产生前四名的排序？ A.32 B.63 C.100 D.101 【解析】拓展.还要决出第三名、第四名，则需要n 人需要n 场，101 人需 要101 场。【选D】 【注意】比赛总场数=被淘汰的队伍数。还要决出季军（第三名）殿军（第 四名），n 人需要n 场。比如A、B、C、D 四个人进行淘汰赛，AB 比一场、CD 比 一场，之后两个胜者比决定冠军和亚军；要决定第三名、第四名，则要两个败的 人再比一场，比正常只决定冠军、亚军多一场。 比赛问题 二、淘汰赛 共若干支队伍，每一轮两两对决、败者淘汰，直到决出最终冠军，则比赛结 束时有以下结论： ①比赛总场数=被淘汰的队伍数。 ②若队伍数不超过2 n，则只需n 轮比赛即可。 11 【注意】本节课的所有例题，都不能用方程解。 1.只要两个人打过1 次，就是1 场。第一轮，100 人每2 个人组成一场比赛， 则第一轮有50 场。 2.比赛总场数=被淘汰的队伍数。 3.若队伍数不超过2 n，则只需n 轮比赛即可。如2 人比赛，只需要2 1场，1 轮；4 个人比赛，需要2²场，2 轮。如人数不足2 n，这种情况会有人轮空。比如 7 个人＜2³，是6 个人进行3 场，还有1 个人轮空，直接进入下一局，三个获胜 的人和轮空的人进入下一轮，下一轮（第二轮）有4 个人，决出2 个获胜的，第 三轮决出冠军，共需要3 轮。 【例9】 （2023 山东）某工会组织了一次乒乓球单打比赛，由54 名职工参加， 比赛规则如下：每轮比赛所有参赛人抽签捉对厮杀，胜者和轮空者进入下一轮， 直至决出冠军，问总共要进行多少轮比赛？ A.4 B.5 C.6 D.7 【解析】9.如果问几场，答案为54-1=53 场。问几轮，只需要看54 最接近 但不超过2 的几次方，2 6=64，需要进行6 轮。【选C】 【注意】 1.若队伍数不超过2 n，则只需n 轮比赛即可。 2.2²=4；2 4=4²=16；2 6=16*2²=64。 二、淘汰赛 12 共若干支队伍，每一轮两两对决、败者淘汰，直到决出最终冠军，则比赛结 束时有以下结论： ①比赛总场数=被淘汰的队伍数。 ②若队伍数不超过2^ n，则只需n 轮比赛即可。 ③每逢队伍数为奇数，则有1 队轮空。 【注意】 1.7 为奇数，比如54、53、55，轮空场数不同，需要列出来过程，出现几次 奇数就有几次轮空。 2.每逢队伍数为奇数，则有1 队轮空。 3.比如15 支队伍，取整14 支队伍比7 场，1 支队伍轮空；第二轮有8 支队 伍，没有轮空；第三轮有4 支队伍，没有轮空；第四轮有2 支队伍，没有轮空， 最后决出冠军。 4.比如47 人比赛，47（奇数）+1=48，48/2=24，24/2=12，12/2=6，6/2=3 （奇数），3+1=4，4/2=2，共出现2 次奇数，则有2 次轮空。 【例10】（2017 河南）140 支社区足球队参加全市社区足球淘汰赛，每一轮 都要在未失败过的球队中抽签决定比赛对手，如上一轮未失败过的球队是奇数， 则有一队不用比赛直接进入下一轮。问夺冠的球队至少要参加几场比赛？ A.3 B.4 C.5 D.6 【解析】10.问夺冠最少参加几场，可能每次轮空都轮到夺冠的队伍上， 140/2=70；70/2=35；（35+1）/2=18；18/2=9；（9+1）/2=5；（5+1）/2=3；（3+1） /2=2，2/2=1。其中偶数140、70、18 没有轮空，一定会打，共4 场。【选B】 13 【注意】 1.每逢队伍数为奇数，则有1 队轮空。 2.如果问最多打多少场，则所有比赛都参加即可，共8 场。可以套结论，140 没有超过2 8=256，要比8 轮。 【拓展】（2021 浙江选调）20 人参加一场象棋大环赛，每轮比赛胜者积3 分，负者扣1 分，若打平则两名选手均不积分。已知第一轮比赛过后，所有选手 积分合计为14 分。问首轮比赛中平局的场次为多少场？ A.3 B.4 C.6 D.7 【解析】拓展.出现“轮”，循环赛没有“轮”的概念，每个队伍都要和所有 的队伍比，只有淘汰赛有“轮”，为淘汰赛。20 个人，第一轮比赛有10 场，所 有选手总分为14 分。如果比赛有胜负，则所有选手总共得3+（-1）=2 分。如果 都是平均，所有选手都为0 分，总共得0 分，有的一场得2 分，有的一场得0 分，总共14 分，说明其中7 场有胜负，剩下3 场为平局，选择A 项。【选A】 三、无尽模式 共3 支队伍，每场两人对决，败者下一局轮空休息，持续若干场比赛，则有 以下结论： ①某人轮空休息时，其余两人在比赛； ②可能连续参赛，但不可能连续轮空； ③比赛总场数=任一人参赛场数+他轮空休息场数。 【注意】共3 支队伍，每场两人对决，败者下一局轮空休息，持续若干场比 赛，则有以下结论： 1.某人轮空休息时，其余两人在比赛。 2.可能连续参赛，但不可能连续轮空。比如甲乙比赛，丙轮空，则下一局是 甲乙获胜的人和丙比，导致轮空的人永远不能连着轮空。 3.比赛总场数=任一人参赛场数+他轮空休息场数。比如某人参加比赛，要么 14 参赛、要么休息，没有第三种，参赛场数+休息场数=总场数。 【例11】（2019 武汉事业单位）甲乙丙三人打乒乓球，每局两人比赛，一人 休息，三人约定输的一方换人。最终，甲休息了2 局，乙打了5 局，丙打了4 局，则三人一共打了多少局？ A.5 B.7 C.9 D.11 【解析】11.甲休息2 局，说明乙和丙对局了2 局，乙共打了5 局，要么和 丙打、要么和甲打，说明甲乙对局5-2=3 局。同理，丙共打了4 局，其中2 局和 乙打，则和甲打4-2=2 局。甲共打了3+2=5 局，休息2 局，三个人的比赛，甲要 么上场，要么休息，一共5+2=7 局。【选B】 【注意】 1.秒杀技：比赛总场数=两人参赛次数加和-另一人轮空休息次数。 2.口算：其中2 个人打的场数加和，减去休息的场数，等于总的场数，即 5+4-2=7。 3.推导：甲休息+甲打=甲休息2 场+甲丙比+甲乙比=甲休息2 场+（4-2）+ （5-2），这3 个2 都是同一个数“甲休息了2 局”，因此转化为4+5-2。 【问法改编】（2019 武汉事业单位）甲乙丙三人打乒乓球，每局两人比赛， 一人休息，三人约定输的一方换人。最终，甲休息了2 局，乙打了5 局，丙打了 4 局，则甲打了多少局？ A.5 B.7 C.9 D.11 【解析】拓展.总=5+4-2=7 场=甲打的+甲休息的（2 场），则甲打的=7-2=5 场。【选A】 【注意】秒杀技：比赛总场数=两人参赛次数加和−另一人轮空休息次数。 15 【例12】（2019 联考）小张、小李和小王三人以擂台形式打乒乓球，每局2 人对打，输的人下一局轮空。半天下来，小张共打了6 局，小王共打了9 局，而 小李轮空了4 局。那么，小李一共打了多少局？ A.5 局 B.7 局 C.9 局 D.11 局 【解析】12.总场数=6+9-4=11 场。总的11 场=小李打的场数+小李休息的场 数（4），则小李打的场数=11-4=7。【选B】 【注意】秒杀技：比赛总场数=两人参赛次数加和-另一人轮空休息次数。 【例13】（2017 辽宁事业单位）小王、小刘、小张一起打乒乓球，每局两人 比赛另一人休息，每局比赛必有输赢，三人约定每一局的输方下一局休息，结束 时算了一下，小刘休息了三局，小王共打了十局，小张共打了六局，则参加第七 局比赛的是（ ）。 A.小王和小刘 B.小王和小张 C.小张和小刘 D.以上皆有可能 【解析】13.方法一：总共10+6-3=13 局，其中小张参加了一半左右，小张 打6 局、轮空7 局，轮空不能连续，总共13 局轮空7 局，只能是1、3、5、7、 9、11、13 场轮空，第7 场小张轮空，排除B、C、D 项，选择A 项。 方法二：猜题秒杀。问特定某一场，直接看谁的场数居中（给的三个数中谁 居中），小刘3、小王10、小张6，小张居中，排除包含小张的，选择A 项。【选 A】 【注意】猜题秒杀技：问特定某一场比赛是谁参赛的，直接看谁场数居中， 排除所有包含他的选项。 【例14】（2018 浙江事业单位）小赵、小钱、小孙一起打羽毛球，每局两人 比赛，另一人休息。三人约定每一局的输方下一局休息。结束时算了一下，小赵 休息了2 局，小钱共打了8 局，小孙共打了5 局。则参加第9 局比赛的是（ ）。 16 A.小赵和小钱 B.小钱和小孙 C.小赵和小孙 D.以上皆有可能 【解析】14.方法一：总共8+5-2=11 局，小孙打5 局、轮空6 局，只能是1、 3、5、7、9、11 局轮空，第9 局小孙轮空，排除B、C 项，选择A 项。 方法二：猜题秒杀， “小赵休息了2 局，小钱共打了8 局，小孙共打了5 局”， 小孙居中，排除含有小孙的B、C 项，选择A 项。【选A】 【注意】猜题秒杀技：问特定某一场比赛是谁参赛的，直接看谁场数居中， 排除所有包含他的选项。 【难度拔高※】（2025 河南）小张、小王、小李练习乒乓球，第一局小张对 小王，往后每一局都由上一局轮空的人对上一局的胜者。已知一共打了6 局比赛， 其中小张打了3 局，且第3 局的参赛人组合与第一局不同。问各局比赛可能的不 同组合一共有多少种（任一局参赛人不同或胜负关系不同，都算不同的组合）？ A.2 B.4 C.6 D.12 【解析】拓展.方法一：任何一场人不同、胜负不同，都算不同的组合，第 一局小张没有轮空，“已知一共打了6 局比赛，其中小张打了3 局”，小张轮空了 6-3=3 局。则小张2、4、6 局轮空，第一局小张对小王，一定是小张输（小张之 后轮空）。“且第3 局的参赛人组合与第一局不同”，第三局小张上场，则小张和 小李比，之后小张输；第四局小李、小王比，第五局小张上场，小李、小王谁胜 谁负不能确定，存在情况数C（2,1）=2。第五局小张和第四局获胜的人比，小 张又输了，第六局是小王和小李比，小王、小李谁赢了需要讨论，C（2,1）=2。 “既……又……”用乘法，所求=2*2=4 种。 17 方法二：以坑治坑猜题。排列组合最容易犯错的点是算重复或算遗漏，本题 最容易错的是最后一局忘记考虑胜负，结合选项，A 项*2=B 项；C 项*2=D 项，排 除A、C 项。轮空确定之后，参赛的人有2 种，胜负也是2 种，答案应该为n 个 2 相乘，D 项存在3 因子，计算过程中不存在“*3”，排除D 项，猜B 项。【选B】 【注意】 1.可能连续参赛，但不可能连续轮空。（小张在后5 局中轮空3 局，一定是 哪三局？）。 2.可能连续参赛，但不可能连续轮空。（小张在后5 局中轮空3 局，一定是 第2、4、6 局） 【最新真题练习】（2026 军队文职）某省城市足球联赛分两个阶段进行。第 一阶段，代表各自城市的13 支足球队进行单循环积分赛。第二阶段，由积分赛 前8 名的足球队进行单淘汰赛，决出联赛的冠军和亚军。该足球联赛一共比赛（ ） 场。 A.78 B.82 C.85 D.106 【解析】拓展.单循环，13 支队伍，每个队伍都要和其他队伍比，每个队伍 打12 场，比如对于苏州，苏州和南京、南京和苏州都算了一遍，出现重复，需 要除2，第一阶段比C（n,2）=13*12/2=78 场。第二阶段，n 个队伍进行淘汰赛， 决出冠亚军，n-1=8-1=7 场。所求=78+7=85 场。【选C】 比赛问题小结 18 一、单循环赛共n 支队伍，每支队伍比赛场数=n-1，所有队伍总场数=C（n， 2）=n*（n-1）/2 二、淘汰赛 共若干支队伍，每一轮两两对决、败者淘汰，直到决出最终冠军 ①比赛总场数=被淘汰的队伍数。 （n 人决出冠亚要n-1 场，决出前4 名要n 场） ②若队伍数不超过2 n，则只需n 轮比赛即可。 ③每逢队伍数为奇数，则有1 队轮空。 三、无尽模式共3 支队伍，每场两人对决，败者下一局轮空休息，持续若干 场比赛 ①可能连续参赛，但不可能连续轮空。 ②比赛总场数=两人参赛次数加和−另一人轮空休息次数。 ③猜题秒杀技：问特定某一场比赛是谁参赛的，直接看谁场数居中，排除所 有包含他的选项。 【注意】比赛问题小结 1.单循环赛共n 支队伍，每支队伍比赛场数=n-1，所有队伍总场数=C（n，2） =n*（n-1）/2。 2.淘汰赛：共若干支队伍，每一轮两两对决、败者淘汰，直到决出最终冠军。 比如8 个队伍决出冠亚军，需要7 场，如果决出第三名、第四名，需要7+1=8 场。 （1）比赛总场数=被淘汰的队伍数（n 人决出冠亚要n-1 场，决出前4 名要 n 场）。 （2）若队伍数不超过2 n，则只需n 轮比赛即可。 （3）每逢队伍数为奇数，则有1 队轮空。 3.无尽模式共3 支队伍，每场两人对决，败者下一局轮空休息，持续若干场 比赛 （1）可能连续参赛，但不可能连续轮空（轮空一定是间隔的）。 （2）比赛总场数=两人参赛次数加和−另一人轮空休息次数。 （3）猜题秒杀技：问特定某一场比赛是谁参赛的，直接看谁场数居中，排 19 除所有包含他的选项。 20 遇见不一样的自己 Be your better self
