2018年昆明市初中学业水平考试
(满分:120分 时间:120分钟)
一、填空题(每小题3分,满分18分)
1.在实数-3,0,1中,最大的数是 .
2.共享单车进入昆明市已两年,为市民的低碳出行带来了方便.据报道,昆明市共享单车投放量已达到240 000辆,数字240 000用科学记数法表示为 .
3.如图,过直线AB上一点O作射线OC,∠BOC=29°18',则∠AOC的度数为 .
1 1
4.若m+ =3,则m2+ = .
m m2
5.如图,点A的坐标为(4,2).将点A绕坐标原点O旋转90°后,再向左平移1个单位长度得到点A',则过点A'的正比例函数的解析式为 .
6.如图,正六边形ABCDEF的边长为1,以点A为圆心,AB的长为半径,作扇形ABF,则图中阴影部分的面积为 (结果保留根号和π).
二、选择题(每小题4分,满分32分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是正确的)
7.下列几何体的左视图为长方形的是( )
8.关于x的一元二次方程x2-2 x+m=0有两个不相等的实数根,则实数m的取值范围是( )
√3
A.m<3 B.m>3 C.m≤3 D.m≥3
√5-1
9.黄金分割数 是一个很奇妙的数,大量应用于艺术、建筑和统计决策等方面.请你估算√5-1的值( )
2
A.在1.1和1.2之间 B.在1.2和1.3之间
C.在1.3和1.4之间 D.在1.4和1.5之间
10.下列判断正确的是( )
A.甲乙两组学生身高的平均数均为1.58,方差分别为S2 =2.3,S2
=1.8,则甲组学生的身高较整齐
甲 乙
B.为了了解某县七年级4 000名学生的期中数学成绩,从中抽取100名学生的数学成绩进行调查,这个问题中样本容量为4 000
C.在“童心向党,阳光下成长”合唱比赛中,30个参赛队的决赛成绩如下表:
比赛成绩/分 9.5 9.6 9.7 9.8 9.9
参赛队个数 9 8 6 4 3
则这30个参赛队决赛成绩的中位数是9.7
D.有13名同学出生于2003年,那么在这个问题中“至少有两名同学出生在同一个月”属于必然事件11.在△AOC中,OB交AC于点D,量角器的摆放如图所示,则∠CDO的度数为( )
A.90° B.95° C.100° D.120°
12.下列运算正确的是( )
( 1) 2
A. - =9 B.2 0180-√3 -8=-1
3
C.3a3·2a-2=6a(a≠0) D. - =
√18 √12 √6
13.甲、乙两船从相距300 km的A,B两地同时出发相向而行,甲船从A地顺流航行180 km时与从B地逆流航行的乙船相遇,水流的速度为6 km/h,若甲、乙两船在静水中的速度均为x km/h,则求两船在静水中的速度可列方程为( )
180 120 180 120
A. = B. =
x+6 x-6 x-6 x+6
180 120 180 120
C. = D. =
x+6 x x x-6
k 1
14.如图,点A在双曲线y= (x>0)上,过点A作AB⊥x轴,垂足为点B,分别以点O和点A为圆心,大于 OA的长为半径作弧,两弧相交于D,E两点,作直线DE交x轴于点C,交y轴于点F(0,2),连接AC,若AC=1,则k的值为( )
x 2
32 4√3 2√5+2
A.2 B. C. D.
25 5 5
三、解答题(共9题,满分70分.作答时必须写出运算步骤、推理过程或文字说明)
15.(本小题6分)如图,在△ABC和△ADE中,AB=AD,∠B=∠D,∠1=∠2.求证:BC=DE.
16.(本小题7分)先化简,再求值:
( 1 ) a2-1
+1 ÷ ,其中a=tan 60°-|-1|.
a-2 3a-617.(本小题7分)近几年购物的支付方式日益增多,某数学兴趣小组就此进行了抽样调查,调查结果显示,支付方式有:A微信、B支付宝、C现金、D其他.该小组对某超市一天内购买者的支付方式进行调查统计,得到如下两幅不完整的统计图.
请你根据统计图提供的信息,解答下列问题:
(1)本次一共调查了多少名购买者?
(2)请补全条形统计图;在扇形统计图中A种支付方式所对应的圆心角为 度;
(3)若该超市这一周内有1 600名购买者,请你估计使用A和B两种支付方式的购买者共有多少名.
18.(本小题6分)为了促进“足球进校园”活动的开展,某市举行了中学生足球比赛活动.现从A,B,C三支获胜足球队中,随机抽取两支球队分别到两所边远地区学校进行交流.
(1)请用列表或画树状图的方法(只选择其中一种),表示出抽到的两支球队的所有可能结果;
(2)求出抽到B队和C队参加交流活动的概率.19.(本小题7分)小婷在放学路上,看到隧道上方有一块宣传“中国——南亚博览会”的竖直标语牌CD,她在A点测得标语牌顶端D处的仰角为42°,测得隧道底端B处的俯角为30°(B,C,D在同一条直线上),AB=10 m,隧道高6.5 m(即BC=6.5 m),求标语
牌CD的长(结果保留小数点后一位).
(参考数据:sin 42°≈0.67,cos 42°≈0.74,tan 42°≈0.90,√3≈1.73)
20.(本小题8分)(列方程(组)及不等式解应用题)
水是人类生命之源,为了鼓励居民节约用水,相关部门实行居民生活用水阶梯式计量水价政策.若居民每户每月用水量不超过10立方米,每立方米按现行居民生活用水水价收费(现行居民生活用水水价=基本水价+污水处理费);若每户每月用水量超过10
立方米,则超过部分每立方米在基本水价基础上加价100%,每立方米污水处理费不变,甲用户4月份用水8立方米,缴水费27.6元;乙用户4月份用水12立方米,缴水费46.3元.
(注:污水处理的立方数=实际生活用水的立方数)
(1)求每立方米的基本水价和每立方米的污水处理费各是多少元;
(2)如果某用户7月份生活用水水费计划不超过64元,该用户7月份最多可用水多少立方米?21.(本小题8分)如图,AB是☉O的直径,ED切☉O于点C,AD交☉O于点F,AC平分∠BAD,连接BF.
(1)求证:AD⊥ED;
(2)若CD=4,AF=2,求☉O的半径.
22.(本小题9分)如图,抛物线y=ax2+bx过点B(1,-3),对称轴是直线x=2,且抛物线与x轴的正半轴交于点A.
(1)求抛物线的解析式,并根据图象直接写出当y≤0时,自变量x的取值范围;
(2)在第二象限内的抛物线上有一点P,当PA⊥BA时,求△PAB的面积.
23.(本小题12分)如图1,在矩形ABCD中,P为CD边上一点(DP<CP),∠APB=90°,将△ADP沿AP翻折得到△AD'P,PD'的延长线交边AB于点M,过点B作BN∥MP交DC于点N.
(1)求证:AD2=DP·PC;
(2)请判断四边形PMBN的形状,并说明理由;
DP 1 EF
(3)如图2,连接AC,分别交PM,PB于点E,F.若 = ,求 的值.
AD 2 AE2018年昆明市初中学业水平考试
一、填空题
1. 答案 1
解析 正数大于0,负数小于0,所以-3<0<1,所以最大的数是1.
2. 答案 2.4×105
解析 数字240 000用科学记数法表示,形式为a×10n(1≤a<10),其中a=2.4,n是比原数整数位数少1的数,故n=5,所以数字240 000用科学记数法表示为2.4×105.
3. 答案 150°42'(或150.7°)
解析 ∠AOC=180°-∠BOC=180°-29°18'=150°42'(150°42'=150.7°).
4. 答案 7
解析 ∵m+1=3,∴m2+ 1 =( 1) 2 -2=32-2=7.
m+
m m2 m
4
5. 答案 y=-4x或y=- x
3
解析 分情况讨论:①当点A绕原点O顺时针旋转90°时,旋转后得点A'(2,-4),向左平移1个单位长度得点(1,-4),代入y=kx(k≠0)中,得k=-4,所以y=-4x;②当点A绕原点O逆时针旋转90°时,旋转后得点A'(-2,4),向左平移1个单位长度得点(-3,4),代入
4 4 4
y=kx(k≠0)中,得k=- ,所以y=- x.所以过点A'的正比例函数的解析式为y=-4x或y=- x.
3 3 3
3√3 π
6. 答案 -
2 3
√3 120π×12 3√3 π
解析 S =S -S =6× ×12- = - .
阴影 正六边形ABCDEF 扇形ABF 4 360 2 3
二、选择题
答案速查
7 8 9 10 11 12 13 14
C A B D B C A B
7.C 选项A、B、D中的几何体的左视图分别是圆、等腰梯形、等腰三角形,只有选项C中的几何体的左视图为长方形,故选C.
8.A 由题意知Δ=b2-4ac=12-4m>0,解得m<3,故选A.
9.B ∵2.22<5<2.32,∴2.2<√5<2.3,∴2.2-1<√5-1<2.3-1,即1.2<√5-1<1.3,故选B.
10.D 选项A,两组学生身高的平均数相同, > ,故乙组学生的身高较整齐,错误;选项B,这个问题中样本容量为100,错误;选项C,中位数是9.6,错误;选项D,13名同学在2003年出生,至少有两名同学出生在同一个月是必然事件,正确,故选D.
S2 S2
甲 乙
1
11.B 由题图知∠COA=130°,OA=OC,∠BOC=60°,∴∠C=∠CAO= ×(180°-130°)=25°,
2
∴∠CDO=180°-∠C-∠BOC=95°,故选B.
12.C 选项A,( 1) 2 =1,错误;选项B,2 0180- =1+2=3,错误;选项C,3a3·2a-2=6a(a≠0),正确;选项D, - =3 -2 ,错误.故选C.
- √3 -8 √18 √12 √2 √3
3 9
180 120 180 120
13.A 甲船航行的速度为(x+6)km/h,航行180 km用时 h,乙船航行的速度为(x-6)km/h,航行了300-180=120 km,用时 h,两船航行时间相同,则可列方程为 = ,故选A.
x+6 x-6 x+6 x-614.B 设DE与AO交于点G,
由题意知,DE为线段OA的垂直平分线,
∴DE⊥AO,OG=AG,
∴OC=AC=1,
在Rt△FOC中,CF= = ,
√OC2+OF2 √5
∴OG=2√5,∴AO=4√5.易证△FOC∽△OBA,∴ S △OBA =(OA) 2 ,∴S △OBA =16.
5 5 S FC 25
△FOC
32
∴k=2S = ,故选B.
△OBA
25
三、解答题
15. 证明 ∵∠1=∠2,
∴∠1+∠DAC=∠2+∠DAC,
即∠BAC=∠DAE,(1分)
{∠BAC=∠DAE,
在△ABC和△ADE中, AB=AD, (3分)
∠B=∠D,
∴△ABC≌△ADE(ASA),(5分)
∴BC=DE.(6分)
(其他证法参照此标准给分)
16. 解析 原式=( 1 a-2)÷(a+1)(a-1)(3分)
+
a-2 a-2 3(a-2)
a-1 3(a-2) 3
= · = .(4分)
a-2 (a+1)(a-1) a+1
∵a=tan 60°-|-1|=√3-1,(6分)
3 3
∴原式= = =√3.(7分)
√3-1+1 √3
17. 解析 (1)56÷28%=200(名).
答:本次一共调查了200名购买者.(2分)
(2)如图所示(画对一条得1分):
(4分)
108.(5分)
(3)1 600×( 60 )=928(名).(6分)
×100%+28%
200
答:在1 600名购买者中,使用A和B两种支付方式的购买者大约共有928名.(7分)
18. 解析 (1)列表如下:
第2
支球队 A B C
第1支球队
A (A,B) (A,C)
B (B,A) (B,C)
C (C,A) (C,B)
(3分)
或画树状图如下:(3分)
(2)由(1)可知,可能出现的结果共有6种,并且它们出现的可能性相同.(4分)
2 1
抽到B队和C队参加交流活动的情况共有2种:(B,C),(C,B),∴P(抽到B队和C队)= = .(6分)
6 3
19. 解析 如图,过点A作AE⊥BD于点E,(1分)
由题意得∠DAE=42°,∠EAB=30°,
在Rt△ABE中,∠AEB=90°,AB=10,∠EAB=30°,
1 1
∴BE= AB= ×10=5.(2分)
2 2
AE √3
∵cos∠EAB= ,∴AE=AB·cos 30°=10× =5√3.(4分)
AB 2
在Rt△DEA中,∠DEA=90°,∠DAE=42°,
DE
∵tan∠DAE= ,
AE
9√3
∴DE=AE·tan 42°≈5√3×0.90= ,(5分)
2
9√3
∴CD=BE+ED-BC=5+ -6.5≈6.3(m).(6分)
2
答:标语牌CD的长约为6.3 m.(7分)
20. 解析 (1)设每立方米的基本水价为x元,每立方米的污水处理费为y元.(1分)
{ 8x+8 y=27.6,
由题意得 (3分)
10x+(12-10)×(1+100%)x+12y=46.3.
{x=2.45,
解这个方程组得 (4分)
y=1.
答:每立方米的基本水价为2.45元,每立方米的污水处理费为1元.(5分)
(2)设该用户7月份用水m立方米.∵64>10×(1+2.45),
∴m>10.
根据题意得10×2.45+(m-10)×2.45×(1+100%)+m≤64.(6分)
解之得m≤15.(7分)
答:该用户7月份最多可用水15立方米.(8分)
21. 解析 (1)证法一:连接OC.(1分)
∵ED切☉O于点C,∴OC⊥DE,∴∠OCE=90°,
∵OA=OC,∴∠OAC=∠OCA.∵AC平分∠BAD,∴∠OAC=∠DAC,∴∠OCA=∠DAC,(3分)
∴OC∥AD,∴∠D=∠OCE=90°,∴AD⊥ED.(4分)
证法二:连接OC,(1分)
∵ED切☉O于点C,∴OC⊥DE,∴∠OCD=90°,
∵OA=OC,∴∠OAC=∠OCA,
∵AC平分∠BAD,∴∠OAC=∠DAC,
∴∠OCA=∠DAC,(3分)
∵∠OCA+∠ACD=90°,∴∠DAC+∠ACD=90°,∴∠D=90°,∴AD⊥ED.(4分)(2)解法一:设线段OC与BF的交点为H.
∵AB是☉O的直径,∴∠AFB=∠HFD=90°,(5分)
∵∠OCD=∠D=90°,∴四边形HFDC是矩形,
∴∠CHF=90°,即OC⊥BF,FH=DC=4,(6分)
∴FB=2FH=8.(7分)
在Rt△BFA中,∠AFB=90°,AF=2,
由勾股定理可得AB= = =2 ,
√AF2+BF2 √22+82 √17
∴☉O的半径为√17.(8分)
解法二:过点O作ON⊥AF于点N.(5分)
∵OC⊥DE,AD⊥ED,
∴∠OND=∠D=∠OCD=90°,
∴四边形ONDC是矩形,(6分)
∴ON=CD=4,∵ON⊥AF,AF=2,
1
∴AN= AF=1.(7分)
2
在Rt△OAN中,∠ONA=90°,由勾股定理可得OA= = = ,
√ON2+AN2 √42+12 √17
∴☉O的半径为√17.(8分)
{ b
22. 解析 (1)解法一:∵抛物线y=ax2+bx过点B(1,-3),对称轴为直线x=2,∴ - =2, (1分)
2a
a+b=-3,
{ a=1,
解之得 (2分)
b=-4.
∴抛物线的解析式为y=x2-4x.(3分)
∵抛物线过原点,对称轴为直线x=2,
∴由抛物线的对称性得A(4,0),
由题图可知,当y≤0时,自变量x的取值范围为0≤x≤4.(4分)
解法二:抛物线y=ax2+bx过原点,对称轴为直线x=2,
由抛物线的对称性得A(4,0),
{16a+4b=0,
把A(4,0),B(1,-3)分别代入y=ax2+bx中,得 (1分)
a+b=-3,
{ a=1,
解之得 (2分)
b=-4.
∴抛物线的解析式为y=x2-4x.(3分)
由题图可知,当y≤0时,自变量x的取值范围为0≤x≤4.(4分)
(2)解法一:过点B作BE⊥x轴于点E,过点P作PF⊥x轴于点F,∵点A的坐标为(4,0),点B的坐标为(1,-3),∴BE=AE=3,
∴∠EAB=∠EBA=45°,∵PA⊥BA,即∠PAB=90°,
∴∠PAF=45°,∴∠FPA=∠PAF=45°,∴PF=AF.(5分)
设点P的坐标为(x,x2-4x),∵点P在第二象限内,
∴x<0,PF=x2-4x,又AF=4-x,∴x2-4x=4-x,
解得x=4(不符合题意,舍去),x =-1,
1 2
当x=-1时,y=(-1)2-4×(-1)=5,
∴点P的坐标为(-1,5),(6分)
{-k+m=5, {k=-4,
∴PF=5.设直线PB的解析式为y=kx+m(k≠0),且交x轴于点C,把P(-1,5),B(1,-3)分别代入y=kx+m中,得 解得
k+m=-3, m=1.
∴直线PB的解析式为y=-4x+1.(7分)
当y=0时,-4x+1=0,∴x=1,∴C(1 ),
,0
4 4
1 15
∴AC=4- = ,(8分)
4 4
1 15 1 15
∴S =S +S = × ×5+ × ×3=15.(9分)
△PAB △PAC △ABC
2 4 2 4
解法二:过点B作BE⊥x轴于点E,过点P作PF⊥x轴于点F,设PA与y轴交于点D.
∵点A的坐标为(4,0),点B的坐标为(1,-3),
∴BE=AE=3,∴∠EAB=∠EBA=45°,且AB=3√2,
∵PA⊥BA,即∠PAB=90°,∴∠PAF=45°,∴∠ODA=∠PAF=45°,
∴OD=OA=4,∴点D的坐标为(0,4),
设直线PA的解析式为y=kx+m(k≠0),
{ m=4, {k=-1,
把D(0,4),A(4,0)分别代入y=kx+m中,得 解得 ∴直线PA的解析式为y=-x+4.(5分)
4k+m=0, m=4.
由x2-4x=-x+4解得x=4,x=-1,
1 2
∵点P在第二象限内,∴x=-1,
当x=-1时,y=(-1)2-4×(-1)=5,
∴点P的坐标为(-1,5),(6分)
∵∠PAF=∠APF=45°,∴PF=AF=5,
在Rt△PFA中,∠AFP=90°,
由勾股定理得AP= = =5 .(7分)
√AF2+PF2 √52+52 √2
在Rt△PAB中,∠PAB=90°,
1 1
∴S = AP·AB= ×5√2×3√2=15.(9分)
△ABP
2 2
(其他解法参照此标准给分)
23. 解析 (1)证明:在矩形ABCD中,AD=BC,∠C=∠D=90°,∴∠DAP+∠APD=90°,
∵∠APB=90°,∴∠CPB+∠APD=90°,∴∠DAP=∠CPB,(1分)
AD DP
∴△ADP∽△PCB,∴ = ,(2分)
PC CB
∴AD·CB=DP·PC.∵AD=BC,∴AD2=DP·PC.(3分)
(2)四边形PMBN为菱形,理由如下:(4分)
在矩形ABCD中,CD∥AB,
∵BN∥PM,∴四边形PMBN为平行四边形,
∵△ADP沿AP翻折得到△AD'P,∴∠APD=∠APM,
∵CD∥AB,∴∠APD=∠PAM,∴∠APM=∠PAM,(6分)
∵∠APB=90°,∴∠PAM+∠PBA=90°,∠APM+∠BPM=90°,
又∵∠APM=∠PAM,∴∠PBA=∠BPM,∴PM=MB.
又∵四边形PMBN为平行四边形,
∴四边形PMBN为菱形.(7分)(3)解法一:∵∠APM=∠PAM,∴PM=AM,
∵PM=MB,∴AM=MB,∵四边形ABCD为矩形,
∴CD∥AB且CD=AB,设DP=a,则AD=2DP=2a,
由AD2=DP·PC得PC=4a,∴DC=AB=5a,(8分)
5a
∴MA=MB= ,∵CD∥AB,
2
∴∠ABF=∠CPF,∠BAF=∠PCF,∴△BFA∽△PFC,
AF AB 5a 5
∴ = = = ,(9分)
CF CP 4a 4
AF 5
∴ = ,同理可得△MEA∽△PEC,
AC 9
5a
AE AM 5 AE 5
∴ = = 2 = ,∴ = ,(10分)
CE CP 8 AC 13
4a
EF AF AE 5 5 20
∴ = - = - = ,(11分)
AC AC AC 9 13 117
EF AE EF EF 20 5 4
∵ ∶ = ,∴ = ∶ = .(12分)
AC AC AE AE 117 13 9
解法二:过点F作FG∥PM,交MB于点G.
∵∠APM=∠PAM,∴PM=AM,∵PM=MB,∴AM=MB,
∵四边形ABCD为矩形,∴CD∥AB且CD=AB,
设DP=a,则AD=2DP=2a,由AD2=DP·PC得PC=4a,
∴DC=AB=5a,(8分)
5a
∴MA=MB= .∵CD∥AB,∴∠CPF=∠ABF,∠PCF=∠BAF,
2
PF CP 4a 4
∴△PFC∽△BFA,∴ = = = ,(9分)
BF AB 5a 5
MG PF 4
∵FG∥PM,∴ = = ,(10分)
BG BF 5
MG 4 MG 4
∴ = ,∵AM=MB,∴ = ,∵FG∥PM,
MB 9 AM 9
EF MG 4
∴ = = .(12分)
AE AM 9
