文档文本内容
2026广东省考体系重塑-数学运算
王科
2021
2022
2023
2024
2025
县级
乡镇
县级
乡镇
县级
乡镇
统一卷
统一卷
基础应用题
2
4
2
4
3
4
2
2
工程问题
1
1
1
1
1
1
经济利润问题
1
1
1
1
1
行程问题
2
1
1
1
1
1
1
容斥问题
1
1
1
1
排列组合
1
1
1
1
1
1
1
1
概率问题
1
1
几何问题
1
1
1
1
1
1
1
最值问题
1
1
1
年龄问题
1
植树问题
1
1
1
1
星期日期问题
1
1
牛吃草
1
1
周期问题
1
1
1
1
数列问题
1
合计
10
10
10
10
10
10
10
10
第一章 常用解题方法
第一节 代入排除法
第二节 倍数特性法
第三节 方程法
第四节 赋值法
第五节 十字交叉法
第一节 代入排除法
1、何时用：
①看题型：多位数问题、余数问题、不定方程问题
②看选项：选项信息多
③正面求解困难
2、怎么用：
①先验证计算量最小的条件
②最值代入：求最大/小
1、（2016广东）大型体育竞赛开幕式需要列队，共10排。导演安排演员总数的
一半多一个在第一排，安排剩下演员人数的一半多一个在第2排……..依次类推。
如果在第10排恰好将演员排完，那么参与排队列的演员共有（ ）名。
A.2000
B.2008
C.2012
D.2046
2、（2023辽宁）某学校组织学生分组参观红色教育基地，租赁了若干辆客车。
其中，一辆大型客车可容纳5个小组，一辆中型客车可容纳3个小组，大型客车
比中型客车多容纳16个小组，那么至少租赁了大型客车和中型客车各多少辆？
A.3；5
B.5；3
C.4；3
D.5；6
第二节 倍数特性法
一、整除型
1、被3整除:各位数字之和能被3整除
2、被9整除：各位数字之和能被9整除
3、被2或5整除：末尾数字能被2或5整除即可
4、被4或25整除：末2位数字能被4或25整除即可
5、被8或125整除：末3位数字能被8或125整除即可
178964
2361225
3574128
2367250
3、（2021北京）为响应国家“做好重点群体就业工作”的号召，某企业扩大
招聘规模，计划在年内招聘高校毕业生240名，但实际招聘的高校毕业生数量多
于计划招聘的数量。已知企业将招聘到的高校毕业生平均分配到7个部门培训，
并在培训结束后将他们平均分配到9个分公司工作。问该企业实际招聘的高校毕
业生至少比计划招聘数多多少人？
A.6
B.12
C.14
D.28
二、比例型（a、b、m、n均为整数）
某班级男女生人数之比为2:3
某班级男生人数比女生少1/3
某班级女生人数是男生的1.5倍
某班级男生占比40%
看到比例、分数、倍数、百分数，全部写成上下比的形式，直接套结论
4、（2025广东事业单位）某单位采购了大、中、小3种不同尺寸的文件袋，大
号文件袋和中号文件袋共145个，小号文件袋的数量比大号文件袋多26%，且
比中号文件袋的数量多，则大号文件袋的数量比中号文件袋多（ ）个。
A.45
B.55
C.65
D.75
5、（2018广东）某市服务行业举行业务技能大赛，其中东区参赛人数占总人数的
1
5，
西区参赛人数占总人数的
2
5，南区参赛人数占总人数的
1
4，其余的是北区的参赛人员。
结果东区参赛人数的
1
3获奖，西区参赛人数的
1
12获奖，南区参赛人数的
1
9获奖。已知参
赛总人数超过100人，不到200人，则参赛总人数为（ ）。
A.120
B.140
C.160
D.180
6、（2020广东）某单位食堂后勤部门采购了一批大米，并将其平均分给了甲、乙
两个饭堂。5周后，甲饭堂只剩余大米7千克；又过了1周，乙饭堂也只剩余大米6千
克，已知甲乙饭堂的就餐人数固定，前往甲饭堂就餐的人数比乙饭堂多1人。如果
每人每周消耗大米1千克，则这批大米共有（ ）千克。
A.72
B.84
C.96
D.108
倍数特性法小结
1、熟记2、3、4、5、8、9、25、125的倍数判定技巧
2、看到比例、分数、倍数、百分数，优先写成上下比例的形式，套用比例的结论
3、有多个比例时，优先尝试与所求量最直接相关的比例
4、擅于挖掘题目中隐藏的比例
第三节 方程法
一、普通方程
二、不定方程
三、不定方程组
第三节 方程法
一、普通方程
设未知数
①求什么，设什么
② 设中间变量：
③设份数：出现比例时，按份数设
引例1.公司组织全员春游，派了若干辆车，若每车坐9人，有4人
没有座位；若每车坐10人，有5辆车均少坐1人，求总人数？
引例2.某有色金属公司四种主要有色金属总产量的1/5为铝，1/3为铜，镍的产量
是铜和铝产量之和的1/4，而铅的产量比铝多600吨。问该公司镍的产量为多少吨？
7、（2020广东）中秋节前夕，某商场采购了一批月饼礼盒，此后第一周售出了
总数的一半多10份，第二周售出了剩下的一半多5份，若此时还剩下20份月饼礼
盒，则商场最初采购了（ ）份月饼礼盒。
A.60
B.80
C.100
D.120
8、（2025广东事业单位）某地教育部门计划向当地各小学发放学习材料，如
果每所小学分配6套材料，则剩余70套材料，如果每所小学分配8套材料，则缺
40套材料，则当地共有（ ）所小学需要发放材料。
A.40
B.55
C.70
D.85
9、（2020江苏）某社区组织了一次助学捐款活动，在场的老王、老李和老
张均积极捐款。若老王捐款的
1
3是老李捐款的
1
5、老张捐款的
1
11，且老张比老
王多捐192元，则他们的捐款总额是：
A.418
B.456
C.494
D.532
二、 不定方程
1、特征：一个方程，多个未知数。
2、解法：
①代入排除法
②奇偶特性
③倍数特性
④尾数特性
奇偶特性解不定方程
两数相乘，一偶则偶，同奇则奇；两数加减，奇反偶同、和差同性。
引例1.x、y均为正整数，且满足7x+4y=29，则x与y之差为（）。
1、任意两个数的和或差是奇数，则两数奇偶相反；和或差是偶数，则两数奇偶相同。
2、任意两个数的和如果是奇数，那么差也是奇数；如果和是偶数，那么差也是偶数。
倍数特性解不定方程
结论：方程中几部分均为某个数的整数倍，则剩下那部分也是该数的整数倍。
引例2：x、y均为正整数，且满足7x+3y=27，则x与y之差为（）。
尾数特性解不定方程
重点关注5x、10y等的尾数。
引例3：x、y均为10以内的正整数，且满足3x+5y=38，则x与y之差可能为（）。
10、（2020年广东）某部门正在准备会议材料，共有153份相同的文件，需要装
到大小两种文件袋里送至会场，大的每个能装24份文件，小的每个能装15份文件。
如果要使每个文件袋都正好装满，则需要大文件袋（ ）个。
A.2
B.3
C.5
D.7
11、（2022广东乡镇）某防疫工作机构有检验人员和其他工作人员共55人，将
检验人员平均分成若干个小组开展工作。近期，该机构补充了20位工作人员，其
中，检验人员增加了2组，每组人数不变，其他工作人员增加了30%，则该机构
原有检验人员共（ ）组。
A.4
B.5
C.6
D.7
12、（2020四川）某人花400元购买了若干盒樱桃。已知甲、乙、丙三个品种
的樱桃单价分别为28元/盒、32元/盒和33元/盒，问他最多购买了多少盒丙品
种的樱桃？
A.3
B.4
C.5
D.6
三、不定方程组
1、特征：两个方程，三个未知数
2、题型细分：
①求单个未知数：消元后，变成不定方程去做
②求未知数的整体值，如求n倍的（x+y+z）：赋零法，令系数大的未知数为0
13、（2023江苏）小王经营一家鲜花网店，每位顾客均随机获赠一个装有一支康
乃馨、玫瑰花或百合花的盲盒，3种盲盒的成本分别为3元、5元、8元。某日该鲜
花网店共有顾客24人，赠送盲盒的总成本为127元，则获赠玫瑰花盲盒的顾客最
多有：
A.19人
B.20人
C.21人
D.22人
14、（2018上海）现有甲、乙、丙三种货物，若购买甲1件、乙3件、丙7件共需
200元；若购买甲2件、乙5件、丙11件共需350元。则购买甲、乙、丙各1件共需
（ ）元。
A.50
B.100
C.150
D.200
方程法小结
1、普通方程设未知数的技巧：求啥设啥、设中间变量、出现比例设份数
2、不定方程解法
①代入排除
②奇偶性：奇反偶同、和差同性
③倍数特性法：看方程各部分是否存在公因子
④尾数：出现5x、10y优先考虑
3、不定方程组
①求单个未知数则消元后转化为不定方程求解
②求未知数整体值时，则赋系数最大的未知数为0
第四节 赋值法
1、什么时候用：
①给比例求比例
②三个量满足乘法关系
第四节 赋值法
2、怎么用：
①赋值不变量，赋为最小公倍数
②赋值比例关系
引例1：一个容器内有一定量盐水，第一次加入适量水后，容器内盐水浓度为3%，
第二次再加入同样多水后，容器内盐水浓度为2%，则第三次加入同样多的水后盐
水浓度为：
15、（2020广东乡镇）某企业四月的营业额比三月的营业额多三分之一，五
月的营业额比四月多三分之一，则三月的营业额比五月的营业额少（ ）。
16、（2017广东）有两支蜡烛，粗细不同，长度相等，粗蜡烛燃尽需要2小时，细
蜡烛燃尽需要1小时。一天晚上停电，同时点燃了这两支蜡烛，若干分钟后来电了，
将两支蜡烛同时熄灭，此时，粗蜡烛的长度是细蜡烛的2倍。假如蜡油的燃烧速度
（单位时间的蜡油燃量）恒定，则停电时长为多少分钟？
A.30
B.35
C.40
D.45
17、（2019四川选调）2016年某电子产品定价为n元/台，2017年由于技术升级成
本降低，定价降低10%。每台产品利润提升10%，2017年全年销售这种产品的总利
润较2016年增加了21%，2017年的销量比2016年：
A.提升了不到20%
B.提升了20%或以上
C.降低了不到20%
D.降低了20%或以上
赋值法小结
1、使用场景
①给比例，求比例
②存在A=B×C
2、怎么赋值
①优先赋值不变量，赋为最小公倍数
②根据比例关系赋值
第五节 十字交叉法
1、什么时候用：存在Aa+Bb=（A+B）r
2、怎么用
第五节 十字交叉法
3、适用题型
①平均数：A比B为个数之比
②投资、贷款：A比B为本金之比
③溶液混合：A比B为混合前两溶液之比
④分批售卖
⑤打折销售：
⑥增长率问题：
引例1：男生平均分82，女生平均87，全班平均分85，求男女人数比
引例2：200毫升浓度为4%的盐水，加入多少毫升水，浓度变为1%？
18、（2014广东）在环保知识竞赛中，男选手的平均得分为80分，女选手的
平均得分为65分，全部选手的平均得分为72分。已知全部选手人数在35到50
之间，则全部选手人数为？
A.48
B.45
C.43
D.40
19、（2024黑龙江）某企业向银行申请A、B两种贷款共6000万元，假设A种贷款
年利率为8%，B种贷款年利率为9%，那么每年共需付利息500万元，问该企业申
请的A、B两种贷款相差（ ）万元。
A.4000
B.3000
C.2000
D.1000
十字交叉法总结
使用条件：有整体和部分的关系，满足Aa+Bb=（A+B）r
适用题型：平均数、溶液问题、经济利润、混合增长率
操作：
结论：
平均数问题：得到的比例为两组数据的个数之比
溶液问题：得到的比例为混合前后溶液质量或体积之比
折扣问题：得到的比例为对应产品的总定价之比
分批售卖利润率问题：得到的比例为打折部分与不打折部分的数量之比
投资、贷款问题：得到的比例为两种产品的本金之比
增长率问题：得到的比例为两个基期量之比
第二章 工程问题
第一节 完工时间型
第二节 效率比值型
第三节 其他型
核心公式：总量=效率×时间
第一节 完工时间型
1、特征：至少给出两个完工时间
2、方法：赋值法
①赋总量：赋为完工时间的公倍数
②求效率
③围绕“总量=效率×时间”求解
例.某项工程甲单独完成需要4小时，乙单独完成6小时，则二人合作要多久完成？
1、（2020重庆选调）一批零件，小王单独做需要50天加工完，小李单独做
需要75天加工完。为了尽快完成任务，两人合作加工零件，中间小李休息了
几天，最后共用了40天把这批零件加工完，那么小李休息了多少天？
A.25
B.3
C.20
D.15
2、（2021湖北选调）某工程队甲、乙、丙三组承担了一公路修筑任务，甲组
单独完成需要24天，乙组单独完成需要28天，丙组单独完成需要36天，且各组
日工作量恒定。现按甲、乙、丙的顺序轮班工作，每组工作1天后换班。问工程
最后一天是哪组工程队施工，需要完成其日工作量的多少？
3、（2021江苏）为发展乡村旅游，某地需建设一条游览线路，甲工程队施工，
工期为60天，费用为144万元；若由乙工程队施工，工期为40天，费用为158
万元。为在旅游旺季到来前完工，工期不能超过30天，为此需要甲、乙两工程
队合作施工，则完成此项工程的费用最少是：
A.156万
B.154万
C.151万
D.149万
第二节 效率比值型
1、特征：给出了效率间的比例关系
①直接给：
②间接给：
③特殊给：
甲乙丙效率之比为6:5:4
甲乙合作3天完成的量与甲单独工作5天相当
多少个工人、多少台机器，默认效率都是1
第二节 效率比值型
2、解题步骤：
①根据比例关系赋值效率
②求出总量
③围绕“总量=效率×时间”求解
例.已知甲乙丙效率之比为6:5:4，三人合作用时6天可完成某工程，则甲单干要多久？
4、（2018江西）甲、乙、丙三人工作的效率比为7∶9∶8，现将A、B两项工作
量相同的工程交给这三个人，甲负责A工程，乙负责B工程，丙作为机动参与A
工程若干天后转而参与B工程，两项工程同时开工，耗时8天同时结束，问丙在
A工程中参与施工多少天？
A.3
B.4
C.5
D.6
5、（2019黑龙江）某地计划修筑一条道路。如果该道路交由甲施工队先单独
施工6天，乙施工队再单独施工15天即可完工；如果交由乙施工队先单独施工6
天，那么甲施工队还需要单独施工24天才能修筑完成。如果这条道路交由甲施
工队单独施工，道路修筑完成需要：
A.30天
B.32天
C.36天
D.40天
6、（2021广东乡镇）某茶园需要在一定时间内完成采摘。前4天安排了20名采
茶工，完成了五分之一的工作量。如果再用10天完成全部采摘，至少还需要增
加（ ）名采茶工。
A.12
B.11
C.10
D.9
第三节 其他型
1、特征：完工时间不到2个，且没有效率的比值
2、方法:
①比例法：
②方程法
总量一定，效率比等于时间的反比。
效率一定，完工量之比等于时间比。
甲乙二人洗碗，每人要洗100个，甲每分钟洗2个，乙每分钟洗1个，完成时间比为？
甲每分钟洗2个碗，已知他上午洗了2小时，下午3小时，上下午洗的数量比为？
甲每分钟洗2个，乙每分钟洗1个，同时开始1小时后，二人洗的数量比为？
7、（2021四川）某工程队计划每天修路560米，恰好可按期完成任务。如每天
比计划多修80米，则可以提前2天完成，且最后1天只需修320米。问如果要提
前6天完成，每天要比计划多修多少米？
A.160
B.240
C.320
D.400
8、（2025年国考）某种机械由3个A模块和2个B模块组成。甲车间每天可生产
6个A模块或3个B模块，乙车间每天可生产1个A模块或2个B模块。现两车间合
作生产40台该机械所需模块，问至少需要多少天？
A.24
B.26
C.28
D.30
9、（2025广东事业单位）甲、乙两名工人合作完成一批零件的加工任务，当
乙完成了200个零件的加工时，甲完成了总量的一半，当零件加工完成时，甲完
成了总量的
3
5，假如两人的工作效率始终保持不变，则这批零件共有（ ）个。
A.500
B.600
C.640
D.800
工程问题总结
一、完工时间型
1、特征：至少给出2个完工时间
2、步骤：赋总量、求效率
3、与周期问题结合：计算每个周期的完工量
4、与费用结合，求最低费用：比较单价，便宜的多干活
二、效率比值型
1、特征：有效率比
2、步骤：赋效率、求总量
三、分工型
1、特征：两项工程求最短时间。2、方法：各自负责擅长的，合作完成剩余部分
四、其他方法：方程法或比例法
第三章 经济利润问题
第一节 基础经济利润问题
第二节 分段计费问题
第三节 最值类经济利润问题
第一节 基础经济利润问题
厘清概念间的关系，用方程法、赋值法、比例法、十字交叉法等方法解题。
①单件利润 = 售价-成本
②折扣率= 售价/ 定价
③利润率 = 利润 / 成本（进价）
④成本 × （1+期望利润率）= 定价
⑤总价 = 单价 × 数量
⑥总利润 = 单利 × 销量
1、（2023北京）一件商品售价100元/件时，卖出4件的利润与售价80元/件时
卖6件的利润相同。则这种商品的成本是多少元/件？
A.30
B.40
C.50
D.60
2、（2023江西）某商品的利润率是20%。如果进货价降低20%，售价保持不
变，此时利润率是多少？
A.40%
B.30%
C.60%
D.50%
分批售卖问题
1、特征：先原价卖一批，剩余的打折销售。
2、方法：十字交叉法或赋值法
3、十字交叉原理：第1批的成本×利润率1＋第2批的成本×利润率2=总成本×总利润率
由于单位成本不变：第1批的数量×利润率1＋第2批的数量×利润率2=总数量×总利润率
4、十字交叉结论：A比B等于两批的数量比
例.一批服装按30%的利润率定价，原价售出40%后，剩余服装打折全部售出，最
终利润率为27%，请问折扣率为多少？
3、（2024江苏）某商店购进一款无线路由器，进价100元/个，加价30%出售，
半年后将剩下的打7折全部售出，共盈利7410元。若成本利润率为19%，则打7
折售出的无线路由器共有（ ）。
A.90个
B.100个
C.105个
D.110个
第二节 分段计费问题
1、特征：多重收费标准类似的描述，如电费、水费、税费、出租车计费、停车计
费、购物打折等
2、方法：分段计算、再汇总求和，可以画线段分析
4、（2020新疆）某地居民生活使用天然气每月标准立方数的基本价格为4元/
立方，若每月使用天然气超过标准立方数，超出部分按其基本价格的80%收费。
某用户2月份使用天然气100立方，共交天然气费380元，则该市每月使用天然
气标准立方数为多少立方？
A.60
B.65
C.70
D.75
第三节 最值类经济利润问题
1、特征：
①有两个量存在此消彼长的关系
②以最大获利或收入为目标
2、常见形式：降价多卖或涨价少卖
3、解题步骤
①设涨价或降价次数为x
②将收入或利润用x表示出来
③令两个括号的数等于0，解得x1和x2后加和求平均
例：原来卖一台空调老板可以赚500元，但是
每个月只能卖出12台，若每台降价50元，则会
多卖2台，降几次价才能利润最大？
5、（2022浙江）北京冬奥会期间，冬奥会吉祥物“冰墩墩”纪念品十分畅销。销
售期间某商家发现，进价为每个40元的“冰墩墩”，当售价定为44元时，每天可售
出300个，售价每上涨1元，每天销量减少10个。现商家决定提价销售，若要使销售
利润达到最大，则售价应为：
A.51元
B.52元
C.54元
D.57元
经济利润问题总结
1、熟悉进价、定价、售价、利润、利润率等概念之间的关系。
2、常用解题方法
①方程法。列表形式把概念之间的关系表示出来，设未知数计算。
②赋值法。给比例、求比例，优先赋值。
③比例法。总利润不变，则单利与销量成反比。
④十字交叉法。分批售卖的，A/B为两部分商品的销售量之比。
3、分段计费问题
找到分段点，根据每段的计费标准，配合画线段，分段计算。
4、价格与销量此消彼长，求最大利润或收入
①设涨价或降价次数为x
②将收入或利润用x表示出来
③令两个括号的数等于0，解得x1和x2，当x取值为二者的平均数时，所求为最大。
第四章 行程问题
第一节 基础行程问题
第二节 相遇追及问题
第三节 流水行船问题
第一节 基础行程问题
一、普通行程
1、核心公式：
2、方法：画图分析过程，找关系列式或用比例法
路程一定，速度比等于时间的反比。
速度一定，路程比等于时间比。
时间一定，路程比等于速度比。
注意单位换算！！！
1、（2023广东乡镇）小明骑车从甲镇前往乙镇。如果骑车的速度为每小时20
千米，那么将准时到达。如果骑车的速度为每小时24千米，那么将提早5分钟到
达。则甲镇到乙镇的距离为（ ）千米。
A.7
B.10
C.12
D.6
2、（2021江苏C类）甲、乙两人从湖边某处同时出发，沿两条环湖路各自匀速
行走。甲恰好用2小时回到出发点，比乙晚到20分钟，多走了2800米。若甲每
分钟比乙多走10米，则甲行走的速度是：
A.4.2千米／小时
B.4.5千米／小时
C.4.8千米／小时
D.5.4千米／小时
第一节 基础行程问题
二、火车过桥（隧道）
1、完全通过桥
2、完全在桥上
3、（2019河南）某隧道长1500米，有一列长150米的火车通过这条隧道，从
车头进入隧道到完全通过隧道花费的时间为50秒，整列火车完全在隧道中的时
间是：
A.43.2秒
B.40.9秒
C.38.3秒
D.37.5秒
第一节 基础行程问题
三、平均速度
平均速度=总路程÷总时间
1、匀变速直线运动（匀加或匀减）：�
−= �1+�2
2
2、等距离平均速度：�
−= 2�1�2
�1+�2
4、（2024山西）甲骑车从A地前往3千米外的B地，出发时均匀加速，骑行到一半
路程时的速度为30千米/小时。此后均匀减速，到达B地时的速度为20千米/小时。
问甲全程用时为多少分钟？
A.不到9分30秒
B.9分30秒~10分之间
C.10分~10分30秒之间
D.超过10分30秒
5、（2020海南）小明每天从家中出发骑自行车经过一段平路，再经过一道斜坡后
到达学校上课。某天早上，小明从家中骑车出发，一到校门口就发现忘带课本，马
上返回，从离家到赶回家中共用了1个小时，假设小明当天平路骑行速度为9千米/小
时，上坡速度为6千米/小时，下坡速度为18千米/小时，那么小明的家距离学校多远？
A.3.5千米
B.4.5千米
C.5.5千米
D.6.5千米
第二节 相遇追及问题
1、单次相遇与追及
6、（2022陕西事业单位）一列快车和一列慢车同时从甲乙两地相对开出，出发后4
小时相遇。已知快车的速度比慢车快25公里/小时，两地相距620公里。问相遇时快
车和慢车各行驶了多少公里？
A.380，240
B.350，270
C.320，300
D.360，260
7、（2018广东）一列货运火车和一列客运火车同向匀速行驶，货车的速度为
72千米/时，客车的速度为108千米/时。已知货车的长度是客车的1.5倍，两列
火车由车尾平齐到车头平齐共用了20秒，则客运火车长（ ）米。
A.160
B.240
C.400
D.600
第二节 相遇追及问题
2、环形多次相遇与追及
同一起点出发的结论：相遇n次，合跑n圈；追上n次，多跑n圈。
8、（2019青海）某环形跑道，两人由同一起点同时出发，异向而行，每隔10分钟
相遇一次；如果两人由同一起点同时出发，同向而行，每隔25分钟相遇一次。已知
环形跑道的长度是1800米，那么两人的速度分别是多少？（ ）
A.126米/分、54米/分
B.138米/分、42米/分
C.110米/分、70米/分
D.100米/分、80米/分
9、（2023天津事业单位）师范大学体育场的环形跑道长400米，王鹏、李华、周可
从同一地点同时同向出发，围绕跑道分别慢跑、快跑和轮滑。已知三人的速度分别
是2米/秒、6米/秒和8米/秒，问李华第4次超越王鹏时，周可已经超越了王鹏多少次？
A.6
B.7
C.8
D.9
第二节 相遇追及问题
3、直线往返多次相遇：
①同端出发多次相遇：路程和=2ns
②两端出发多次相遇：路程和=（2n—1）s
甲乙两款模型船在长100米的水池两边同时开始相向
匀速航行，甲航行100米要72秒，乙航行100米要60
秒，不考虑调头转身时间，在12分钟内二者相遇几次？
10、（2019江西）A、B两单位之间的距离为1100米，上午9时甲从A单位前往B单
位，乙从B单位前往A单位，两人到达对方单位后分别用5分钟办事，然后原路返回，
甲的速度是每小时5千米，乙的速度为每小时6千米，则两人第二次相遇时是上午：
A.9：17
B.9：22
C.9：23
D.9：30
11、（2021新疆）甲乙两人同时沿直线跑道两端匀速相向而行，两人第一次迎
面相遇时距跑道中点50米，两人到达跑道尽头时立即掉头重新出发，重新出发后
两人第二次相遇，第二次两人相遇也为迎面相遇，且距跑道中点150米。则此时
两人中速度较快一人比速度较慢一人多行走多少米？
A.150
B.200
C.300
D.400
第三节 流水行船问题
结论：V顺=V船+V水 V逆=V船—V水
S顺=S逆
12、（2020新疆）一艘轮船顺流而行，从甲地到乙地需要6天；逆流而行，从
乙地到甲地需要8天。若不考虑其他因素，一个漂流瓶从甲地到乙地需要多少天？
A.24
B.36
C.48
D.56
13、（2020广东）A、B两座港口相距300公里且仅有1条固定航道，在某一时刻甲
船从A港顺流而下前往B港，同时乙船从B港逆流而上前往A港，甲船在5小时之后抵
达了B港，停留1小时后开始返回A港，又过了6小时追上了乙船。则乙船在静水中的
时速为（ ）公里。
A.20
B.25
C.30
D.40
行程问题总结
1、常用方法：画图、方程、比例、公式
2、两个平均速度公式：
①匀变速：�
−= �1+�2
2 ②等距离平均速度�
−= 2�1�2
�1+�2
3、火车过桥（隧道）
①通过桥：路程=桥长+车长 ②在桥上：路程=桥长—车长
4、直线单次相遇追及 ①相遇：路程和=起点距离 ②追及：路程差=起点距离
5、环形同起点相遇追及：相遇n次合跑n圈；追上n次多跑n圈
6、直线两端同时出发多次往返相遇：相遇n次合走(2n-1)S
7、直线同端同时出发多次往返相遇：相遇n次合走2nS
8、流水行船：v船=
�顺+�逆
2
；v水=
�顺—�逆
2
第五章 容斥问题
第一节 两集合容斥
第二节 三集合容斥
第一节 两集合容斥
1、特征：两个类别有重复
2、方法：
①画图
②公式
例.某班级，有15人喜欢吃肠粉，有20人喜欢吃
炒米粉，有8人这两种食物都喜欢吃，还有5人这
两种都不喜欢吃，问求班级总人数。
第一步：根据“都”、“都不”画图
第二步：从里向外标数
第三步：尾数法计算面积
总数=A+B-都+都不
1、（2017广东）某单位有107名职工为灾区捐献了物资，其中78人捐献衣物，
77人捐献食品。该单位既捐献衣物，又捐献食品的职工有多少人？
A.48
B.50
C.52
D.54
2、（2021四川）为实现产业振兴，农科院对某县的所有自然村进行了调研，结
果发现，适合种植A作物的自然村占
4
13。适合种植B作物的自然村有25个，同时
适合种植两种作物的自然村占总数的
1
14，则在该县，不适合种植两种作物的自然
村至少有多少个？
A.57
B.67
C.114
D.134
3、（2025广东事业单位）某部门组织全体员工参与甲乙两项考核，其中有9人
未通过甲考核，有12人通过了乙考核。如果只通过了其中一项考核的员工有10
人，通过了两项考核的员工有5人，则该部门员工总人数为（ ）。
A.17
B.20
C.23
D.26
第二节 三集合容斥
标准型公式：总数=A+B+C-AB-AC-BC+都满足+都不满足
题干把AB、BC、AC描述的很详细，在题目中是三个条件（三句话）
4、（2020新疆）某单位共有240名员工，其中订阅A期刊的有125人，订阅B期
刊的有126人，订阅C期刊的有135人，订阅A、B期刊的有57人，订阅A、C期
刊的有73人，订阅3种期刊的有31人，此外，还有17人没有订阅这三种期刊中
的任何一种。问订阅B、C期刊的有多少人？
A.57
B.64
C.69
D.78
非标准型公式：
总数=A+B+C-（只）满足两个条件的-都满足×2+都不满足
题干只说了“满足两个条件”，在题目中是一个条件（只有一句话）。
第二节 三集合容斥
5、（2015广东）某乡镇举行运动会，共有长跑、跳远和短跑三个项目。参加
长跑的有49人，参加跳远的有36人，参加短跑的有28人，其中只参加两个项目
的有13人，参加全部项目的有9人。那么参加该次运动会的总人数为多少：
A.75
B.82
C.88
D.95
6、（2024国考）某高校外国语学院中，会俄语的学生都会英语，其中一半还会
法语；会英语的学生中有一半会法语；这三种语言都会的学生有50人，只会其
中两种语言的有100人，只会其中一种语言的有150人。问会法语的学生有多少
人?
A.50
B.100
C.150
D.200
容斥问题总结
1、两集合公式
总数=A+B-都+都不
2、三集合标准公式
总数=A+B+C-AB-AC-BC+都+都不
3、三集合非标准公式
总数=A+B+C-（只）满足两个条件的-都×2+都不
注意：若用画图法，一定是从里向外标数！！！
第六章 几何问题
第一节 基本公式类
第二节 三角形相关
第三节 最短路径类
第四节 几何最值类
1.常见周长公式
正方形周长＝4a；长方形周长＝2（a＋b）；圆形周长＝2πR。
2.常见面积公式
正方形面积＝�2；长方形面积＝ab；三角形面积＝
1
2 ah；
平行四边形面积＝ah；梯形面积＝
1
2 （a＋b）h；
圆形面积＝π�2；扇形面积＝
�°
360° π�2。
第一节 基本公式类
3.表面积公式
正方体的表面积＝6�2
长方体的表面积＝2×（ab＋bc＋ac）
球体的表面积＝4π�2＝π�2
圆柱体的表面积＝2π�2＋2πRh
圆柱体的底面积＝2π�2
圆柱体的侧面积＝2πRh
4.体积公式
正方体的体积＝�3
长方体的体积＝abc
球的体积＝
4
3 π�3 ＝
1
6 π�3
圆柱体的体积＝π�2h
圆锥体的体积＝
1
3 π�2h
柱体的体积＝Sh
锥体的体积＝
1
3 Sh（S为底面积）
1、（2022广东乡镇）如图阴影部分是一块由8块相同的正方形草皮围成的草坪。
已知草坪的外圈均铺有一圈小石子带，小石子带的总长度是48米，则该草坪的
面积为（ ）平方米。
A.48
B.72
C.81
D.96
2、（2023江苏）某食品企业为丰富产品造型，将一款甜点的外形由圆柱形改
为半球形。若圆柱形甜点的底面半径是高的2倍，半球形甜点的体积缩小到圆柱
形甜点的
9
16，则半球形甜点的底面半径是圆柱形甜点底面半径的（ ）。
第二节 三角形相关
一、特殊三角形
1、直角三角形
常见勾股数：
3、4、5；1、3、2；1、1、2；5、12、13；8、15、17；7、24、25
常见根号值：
2=1.414 3 = 1.732 5 = 2.236
2、等边三角形
每个角都是60度、三线合一（高、角平分线、中线）、面积为
3
4 × 边长的平方
第二节 三角形相关
二、结合方位：画图分析（上北、下南、左西、右东）
3、（2024山东）某巡逻艇在海域A点发现正南方30千米处的B点有一艘可疑船
只正匀速向正西方行驶，巡逻艇以比该可疑船只快
1
3的速度沿某一方向直线追击，
两船恰好在C点相遇。问B、C两点之间的距离约为多少千米？
A.26
B.28
C.30
D.34
第二节 三角形相关
三、等底或等高：分析面积
底边长相等，则面积比等于高之比；
高相等，则面积比等于底边长之比。
4、（2017年广东）如图所示，公园有一块四边形的草坪，由四块三角形的小
草坪组成。已知四边形草坪的面积为480平方米，其中两个小三角形草坪的面积
分别为70平方米和90平方米，则四块三角形小草坪中最大的一块面积为多少平
方米？
A.120
B.150
C.180
D.210
第二节 三角形相关
四、相似三角形
对应边成比例，面积比等于边长比的平方，体积比等于边长比的3次方。
一个圆锥形容器，尖朝上，装满水，现在倒掉一部分，使水面高度为
原来的一半，则剩下水的体积是原先的？
5、（2020天津事业单位）某人站在高为15.3米的路灯旁边，此时他在地面上的影
长为0.8米，若他沿着影子方向移动3米后，测得影长增加了0.4米，则此人的身高为
（ ）米。
A.1.6
B.1.7
C.1.74
D.1.8
第三节 最短路径类
1、特征：在AB两点连线的一侧找一个点，使得该点到A、B两点的距离之和最小。
2、解法：找A点的对称点A’，连接A’B，即为最短距离。
补例（2024国考）甲、乙两个联络站相距10千米。一条道路与甲、乙联络
站连线相平行，且与两联络站连线的垂直距离为12千米。现需紧邻该道路
建一个工作站，问工作站距离甲、乙联络站距离之和最小为多少千米？
A. 20
B. 22
C. 24
D. 26
6、A、B两村在一条笔直公路的同侧，到公路的垂直距离分别是3公里和7公里，两村相距8.5公里，
现需在公路边建一个物资集散中心，为节约物资配送成本，集散中心到两个村的直线路程之和应尽可
能小，若货车的速度约为60公里/小时，那么货车从集散中心出发，到两村送货后返回中心，路途所
花费的最少时间为：
A.18分钟
B.21分钟
C.24分钟
D.27分钟
第四节 几何最值类
1、立体几何：
①表面积一定，形状越趋近于球体，体积越大
②体积一定，形状越趋近于球体，表面积越小
2、平面几何
①周长一定，形状越趋近于圆，面积越大
②面积一定，形状越趋近于圆，周长越小
3、长方形
①四边形周长一定，正方形面积最大
②四边形面积一定，正方形周长最小
7、某村拟建造一个容积为144立方米，深度为4米的长方体无盖蓄水池。
经测算，蓄水池底部造价为260元/平方米，侧面造价为180元/平方米。那
么该水池的最低总造价为：
A.11440元
B.25920元
C.26640元
D.31680元
几何问题总结
1、熟记规则图形的周长、面积和体积公式，尤其活用三角形面积公式。
2、熟悉常见的勾股数。
3、等边三角形的重要结论：三线合一、面积为
3
4 × 边长的平方
4、会画方位图：上北、下南、左西、右东
5、相似三角形：
①两种模型（A字型和8字型）
②结论：对应边成比例，面积比为边长比的平方，体积比为边长比的3次方
6、两点同侧求最短距离：做其中一个点的对称点，连接对称点与另一点，即为最短。
7、平面图形周长一定，越接近圆，面积越大。
周长一定的四边形，为正方形时，面积最大。
第七章 最值问题
第一节 最不利构造
第二节 数列构造
第三节 多集合反向构造
第一节 最不利构造
1、特征：至少...保证
2、方法：最不利值+1
例2. 在一个口袋中有8个黑球、7个白球、5个红球，至少从中取出几个球才能保证
其中有白球？
例1. 在一个口袋中有2个黑球、1个白球，至少从中取出几个球才能保证其中有白球？
第一节 最不利构造
1、特征：至少...保证
2、方法：最不利值+1
例4.有黑、白、红、黄玻璃球各8粒，装在一只袋子里，至少从中取出几粒，摸出的
球一定有4粒颜色相同？
例3. 在一个口袋中有8个黑球、7个白球、5个红球，至少从中取出几个球才能保证
其中有2个白球？
第一节 最不利构造
1、特征：至少...保证
2、方法：最不利值+1
3、步骤：
①找到单种情况下的不利值——N-1
②单种情况下不利值加和得到最不利情况
③对于没有达到 N-1的 种类数，有多少个加多少个
④最后再加1
例4.有黑、白、红、黄玻璃球各8粒，装在一只袋子里，
至少从中取出几粒，摸出的球一定有4粒颜色相同？
1、（2025贵州）一场大学生机器人预选赛中，某高校A专业有5名学生备赛，B
专业有7名学生备赛，C专业有8名学生备赛。问至少派出多少名备赛学生，才能
保证一定有3名学生的专业相同？
A.5
B.6
C.7
D.8
2、（2024深圳）某早餐店推出“10元2件”套餐，顾客花费10元即可在白粥、豆
浆、油条、蛋饼、叉烧包、云吞面6个品类中任选2件，既可以选相同的，也可以选
不同的。则至少售出（ ）份该套餐时，一定有2份套餐的搭配完全一致。
A.15
B.16
C.21
D.22
第二节 数列构造
1、特征：最多的（最少的）...最多（最少）、排名第几的...最多（最少）
2、方法：
①定位
②构造
③加和
3、注意：是否强调“各不相同”
例.将21本书分给5位小朋友，每人分到的数量都不
相同，则分到书最多的人最少有几本书？
将21本书分给5位小朋友，每个人都有分到。
1.每人分到的数量都不相同，则分到书最多的人最少有几本书？
2.其中一人分到的比其他人都多，则分到书最多的人最少有几本书？
3.分到书最多的人最少有几本书？
4.分到书最多的人最多有几本书？
5.每人分到的数量都不相同，则分到书最多的人最多有几本书？
3、（2023江西）为推行垃圾分类，某小区物业准备了230盒垃圾袋免费派发给10栋
楼，要求任意两栋楼派发的垃圾袋数量都不相同，但最多相差不超过1倍。假设垃圾
袋不拆盒发放，那么派发垃圾袋数量最少的那栋楼最少可派发垃圾袋？
A.18盒
B.15盒
C.14盒
D.12盒
4、（2020内蒙）从某物流园区开出6辆货车，这6辆货车的平均装货量为62吨，已
知每辆货车载重量各不相同且均为整数，最重的装载了71吨，最轻的装载了54吨。
问这6辆货车中装货第三重的卡车至少装载了多少吨？
A.59
B.60
C.61
D.62
5、（2018广东）一项足球比赛共有8支队伍参加，每两支队伍之间需要踢两场比赛，
获胜得3分，打平得1分，落败不得分。在该项足球比赛中，获得第一名的队伍积分
最多可能比第二名多（ ）分。
A.40
B.30
C.20
D.10
第三节 多集合反向构造
1、特征：至少...都
2、方法：
①反向
②加和
③作差
例.100道模拟题，甲做对了90题，乙做对了95题，
丙做对了98题，则3人都做对了的题至少有多少题？
6、（2018年广东）某软件公司对旗下甲、乙、丙、丁四款手机软件进行使用情况
调查，在接受调查的1000人中，有68%的人使用过甲软件，有87%的人使用过乙软
件，有75%的人使用过丙软件，有82%的人使用过丁软件。那么，在这1000人中，
使用过全部四款手机软件的至少有（ ）人。
A.120
B.250
C.380
D.430
7、（2024广东事业单位）某知识竞赛共有60人参加，其中答对第一题的有45人，
答对第二题的有36人，答对第三题的有54人，答对第四题的有48人，答对第五题
的有52人。如果有4人一道题都没有答对，则至少有（ ）人五道题都答对了。
A.7
B.9
C.11
D.13
最值问题总结
一、最不利构造
1、特征：至少...保证
2、方法：最不利值+1
二、数列构造
1、特征：最...的，最.../排名第几的...最...
2、方法：定位、构造、加和
3、注意：是否强调“各不相同”、从箭头处构造
反向、加和、作差
3、注意：不满足条件的先从总数中剔除。
第八章 植树问题
第一节 直线植树
第二节 环形植树
第一节 直线植树
1、树的棵数计算公式：
①单边线形（两端都有）：棵数=
②单边楼间（两端都无）：棵数=
第一节 直线植树
2、重复数量计算公式
①单边线形（两端都有）：重复数量=
②单边楼间（两端都无）：重复数量=
1、（2020年广东）为加强治安防控，现计划在一段L形的围墙（如下图）上安装治
安摄像头，其中A点到B点长度为750米，B点到C点长度为1350米。按要求ABC三
个位置必须安装一个摄像头，且相邻两个摄像头之间的距离要保持一致，则整段围
墙至少需要安装（ ）个摄像头。
A.14
B.15
C.16
D.17
2、（2018重庆选调）某公路的一侧从一端到另一端每隔3米植一棵树，一共挖了
49个坑。现在要改成每隔4米植一棵树，那么可以不重新挖的坑共有（ ）个。
A.8
B.9
C.11
D.13
第二节 环形植树
1、树的棵数计算公式：
单边环形：棵数=
2、重复数量计算公式：
重复数量=
3、（2017年广东）施工队给一个周长为40米的圆形花坛安装护栏，刚开始，每
隔1米挖一个洞用于建栏杆。后来发现间隔太远，决定改为每0.8米挖一个洞。那
么至少需要再挖（ ）个洞。
A.39
B.40
C.41
D.42
4、（2020年深圳）某公园举办春节花展，在周长400米的中心区布置了环形花槽，
并在花槽上每隔16米挂一只灯笼。不久后元宵灯会临近，公园决定增加并挪动一
些灯笼，但仍保持灯笼间距相等。已知加入新灯笼后，共有5只旧灯笼没有移动，
则调整后的灯笼间距最大为（ ）米。
A.12
B.10
C.8
D.5
5、（2025江苏B类）为了丰富居民的业余生活，区政府拟在花苑小区西面围墙外的
空地上，修建一个矩形文化广场，广场的一边为小区围墙。现沿广场周边植树，相邻
两棵树、最东边的树与围墙的间隔最多为4m，且远离围墙的两个角上都植树。已知
围墙一侧无需植树，最终共植树63棵，那么文化广场的最大面积为：
A.7442
B.7848
C.8192
D.8498
植树问题总结
1、棵数的计算（总长度为S，间距为L）
①单边线形（两端都有）：
�
�+1
②单边楼间（两端都无）：
�
�—1
③单边环形：
�
�
2、重复处的计算（总长度为S，两次间距的最小公倍数为M）
①单边线形（两端都有）：
�
�+1
②单边楼间（两端都无）：
�
�—1
③单边环形：
�
�
3、双边=单边×2
第九章 星期日期问题
1、基本结论
①平年365天，闰年366天。
②大月为：1、3、5、7、8、10、12月（每月均为31天）；
小月为：4、6、9、11月（每月30天）；2月平年28天、闰年29天。
第九章 星期日期问题
2、拓展结论
①两个日期相差天数为7的整数倍，星期不变；若相差不是7的倍数，则余几加几
②每经过一个平年，星期数＋1；每经过一个闰年，星期数＋2
③任意连续7天一定是一个完整的星期
1、（2013国考）根据国务院办公厅部分节假日安排的通知，某年8月份有22个
工作日，那么当年的8月1日可能是？
A.周一或周三
B.周三或周日
C.周一或周四
D.周四或周日
2、（2025深圳）M、N两部电视剧于2025年3月20日（周四）同日开播，M剧周
四至周六每天播出3集，N剧周一至周五每天播出2集，但清明节期间（4月4日、4月
5日、4月6日）两部剧都停播。若至2025年4月21日，M、N两部剧均未播完，则期
间共有（ ）天两部剧都有播出。
A.8
B.9
C.10
D.11
3、（2017河南）小王每周一到周五都要去健身房锻炼，已知某一年他每个季度
去健身房的天数都相等，那么当年的国庆节是：
A.星期四
B.星期五
C.星期六
D.星期天
第九章 星期日期问题
3、周期问题
①每m天，周期为m
②每隔m天，周期为m+1；
③两人周期不同，某次同时，下次再同时是周期的最小公倍数天数之后。
例.甲每2天上1天班、乙每隔2天上一天班，如果二人本月1号都上班了，
那下次二人同时上班是几号？
4、（2021黑龙江）甲乙丙三个志愿者共同照顾李奶奶，甲每4天去一次，乙每5天
去一次，丙每6天去一次。如果他们三个于5月5日在李奶奶家同时见面，则他们三
人下次在李奶奶家同时见面的时间是？
A.7月4日
B.7月5日
C.9月1日
D.9月2日
星期日期问题总结
1、两个日期相差天数为7的整数倍，则星期不变；相差不是7的倍数，则余几加几
2、每经过一个平年，星期数＋1；每经过一个闰年，星期数＋2
3、任意连续7天一定是一个完整的星期（一样一天）
4、每m天，周期为m；每隔m天，周期为m+1
5、周期不同的几个主体，某日同时出现，下次再同时是周期的最小公倍数天数之后
第十章 排列组合
第一节 基础排列组合
第二节 技巧类排列组合
第一节 基础排列组合
1、两个原理：
①加法原理：“或”的关系，把所有情况数相加
②乘法原理：“且”的关系，把所有情况数相乘
某早餐店售卖3种粥、4种肠粉，某顾客选择一样食物，有几种选择方式？
某早餐店售卖3种粥、4种肠粉，某顾客选择一种粥和一种肠粉，有几种选择方式？
2、排列与组合
二者都是用于解决选择类的问题，区别在于排列与顺序有关（选取＋排序），组合
与顺序无关（只选取，不排序）。
排列用A表示，组合用C表示。
(
1)
(
1)
连乘个
m
n
m
A
n
n
n
m
(
1)
(
1)
(
1)
1
m
n m
n
n
n
n
n m
C
C
m
m
例：某专业一共8个人，其中男生 3人，女生 5 人：
（1）挑 4人去参加一场学术交流会，有几种不同的安排？
（2）挑 2男2女共4人参加一场学术交流会，有几种不同的安排？
（3）挑 5人排成一排照相，有几种不同的安排？
（6）挑2男3女共5人排成一排照相，有几种不同的安排？
3、解题思想：
①正面求解：分类讨论
②反面求解：总情况数-反面（不满足的情况数）
例.某高校开设A类选修课四门，B类选修课三门，小刘从中选取四门课程，若要
求两类课程各至少选一门，则有几种选法？
1、（2021国考）某商场开展“助农销售”活动，凡购买某种农产品满300元者可获
得一个礼盒，其中装有6种干货中的随机3种各1小袋，以及1袋小米或红豆。问内容
不完全相同的礼盒共有多少种可能？
A.30
B.40
C.45
D.50
2、（2025河北）某研究机构对不同蔬果的代谢质量进行评分，分数越高代表代谢
质量越高。现有13种蔬果，其中2种蔬果为5分，4种蔬果为4分，3种蔬果为3分，4
种蔬果为2分，那么从中选取3种蔬果得分总和不低于13分的组合共有多少种？
A.21
B.19
C.16
D.13
3、（2021江苏）某三甲医院派甲、乙、丙、丁四名医生到A、B、C、D四个
社区义诊，每个医生只负责一个社区。已知甲不去A社区，且如果丙去C社区，
那么丁去D社区，则不同的派法共有：
A.15种
B.18种
C.21种
D.24种
4、（2025湖北）某地军工驿站就业直通车送6名工人到A、B、C三个开发区务工，
实观从“家门”直达“厂门”就业。若A开发区至少需要2名工人，B、C开发区至少
各安排1名工人，每名工人只能去其中的一个开发区，则共有多少种不同的安排方法？
A.180
B.320
C.345
D.360
第二节 技巧类排列组合
一、捆绑法
1、特征：相邻、挨着、连续、不完全相邻
2、思路
①把要求相邻的元素当成一个整体（注意内部顺序）
5个同学坐一排的5个座位，其中甲乙丙三人必须挨在一起。
②“不全相邻“=总情况—全相邻
5个同学坐一排的5个座位，其中甲乙丙三人不能全挨在一起。
5、（2024河北）某公司开展迎新春三分球投篮比赛。3个部门分别派出2、4、4个
选手共计10人参加。规则要求同一个部门的选手顺序相连、全部投完再安排另一个
部门的人员开始投篮，则这10人不同的投篮顺序种数的范围是：
A.小于1000
B.1000~5000
C.5001~10000
D.10000以上
6、（2017广东）单位工会组织拔河比赛，每支参赛队都由3名男职工和3名女职工
组成。假设比赛时要求3名男职工的站位不能全部连在一起，则每支队伍有几种不同
的站位方式？
A.432
B.504
C.576
D.720
第二节 技巧类排列组合
二、插空法
1、特征：不能挨着、必须分开
2、思路
先安排其他元素，再把必须分开的元素插入形成的空里。
5个同学坐一排的5个座位，其中甲乙二人不能挨着。
7、（2017河南选调）某兴趣组有男女各5名，他们都准备了表演节目，现在需要
选出4名学生各自表演1个节目，这4人中既要有男生，也要有女生，且不能由男生
连续表演节目，那么不同的节目安排有多少种？
A.1200
B.2400
C.3000
D.3600
8、（2018广东）某条道路一侧共有20盏路灯。为了节约用电，计划只打开其中
的10盏。但为了不影响行路安全，要求相邻的两盏路灯中至少有一盏是打开的，则
共有（ ）种开灯方案。
A.2
B.6
C.11
D.13
9、（2020国考）扶贫干部某日需要走访村内6个贫困户甲、乙、丙、丁、戊和己。
已知甲和乙的走访次序要相邻，丙要在丁之前走访，戊要在丙之前走访，己只能在
第一个或最后一个走访。问走访顺序有多少种不同的安排方式？
A.32
B.48
C.16
D.24
第二节 技巧类排列组合
三、隔板法
1、特征：把相同的元素，分成若干份，要求每份至少一个。
2、结论：N个相同的元素分成M份，每份至少一个，有��—1
�—1 种分法。
7个相同的橘子分给4个小朋友，要求每人至少1个。
3、拓展：把“每份至少X个”转化为“每份至少一个”。
17个相同的橘子分给4个小朋友，要求每人至少3个。
10、（2020云南）某城市一条道路上有4个十字路口，每个十字路口至少有1名交
通协管员，现将8个协管员名额分配到这4个路口，则每个路口协管员名额的分配方
案有：
A.35种
B.70种
C.96种
D.114种
第二节 技巧类排列组合
四、错位重排
1、特征：元素不在本来的位置上
2、结论：�3（3个元素全部错位有2种情况）
�4（4个元素全部错位有9种情况）
�5（5个元素全部错位有44种情况）
11、（2020安徽事业单位）某个为期2天的会议有8名发言人，每人在每天都要发言
1次。已知第1天的发言次序固定，第2天要求仅有3名发言人的发言次序与第1天一
样，且另有2人正好交换发言次序，问共有多少种不同的安排方式？
A.不到500种
B.500-1000种之间
C.1000-2000种之间
D.超过2000种
第二节 技巧类排列组合
五、环形排列
1、特征：元素围成一个圈
2、结论：N个元素环形排列有��−1
�−1种情况。
12、（2016陕西）6个小朋友围成一圈做游戏，小华和小明需要挨在一起，问有多
少种安排方法？
A.720
B.180
C.560
D.480
E.360
F.240
G.120
H.48
第十一章 概率
1、基本公式：
掷一枚骰子，奇数点朝上的概率为？
1.从A前往B有三趟公交车，发车时间分别是9、10和11点，问甲乙二人在未经商量
的情况下，恰好乘坐同一趟公交的概率为多少？
2.体彩大乐透每期开奖会从1-35号红球中摇出5个红球，再从1-12号蓝球中摇出2个
蓝球。小明买了一注大乐透（5红＋2蓝），求他中一等奖（号码完全对上，不考虑
顺序）的概率。
第十一章 概率
2、分类概率与分步概率
①分类概率：“或”的关系，把概率值相加
②分步概率：“且”的关系，把概率值相乘
掷一枚骰子，正面是偶数点的概率为？
一枚骰子连续掷两次，点数乘积是36的概率为？
第十一章 概率
3、逆向思维
某种情况发生的概率=1—该情况不发生的概率
某次考试，甲乙丙丁四人及格的概率分别是0.1、0.2、0.3和0.4，则
四人中至少一人及格的概率为？
1、（2024青海）中秋节前夕，小赵买了6个外观相同的月饼，其中有3个是
蛋黄馅的。回到家后，小赵从中任取3个月饼，里面恰好有1个是蛋黄馅的概
率是：
2、（2020广东）一个纸箱里装有大小及材质完全相同的10个小球，其中3个黑色，
2个白色，1个红色，2个黄色，1个绿色，1个紫色。如果不放回地依次随机取出3个
小球，则取出的小球依次是黑色，红色，白色的概率为（ ）。
3、（2025深圳）阿哥、阿姐请小妹帮忙买奶茶，每杯奶茶都有4个必选定制项（如
下图所示）。小妹在途中把阿哥、阿姐不同的定制要求忘了，如果她随意购买3杯不
同的奶茶，则恰有1杯刚好满足阿哥或阿姐定制要求的概率是（ ）。
4、（2024山东）山东手造精品众多，某展览会有叶雕、皮影、风筝、麦秸画、
柳编、葫芦画、锡雕、鲁班枕8个展厅。因时间原因，一名参观者决定从8个展
厅中随机选取3个进行参观。问叶雕和皮影展厅至少一个被选中的概率是多少？
5、（2025甘肃）小王、小李参加某项知识竞赛答题，小王每题答对的概率相等，
且均为小李的1.5倍。已知小王连续答对2题的概率比小李高0.2，问小王前2题全对
且小李前2题全错的概率在以下哪个范围内？
A.不到0.05
B.0.05—0.08
C.0.08—0.11之间
D.0.11以上
4.跟屁虫原理
适用场景：求多个对象选择相同/在同一组/在同一排或列的概率
方法：先安排其中一人（概率为1），再安排另一人（从剩余的总数中计算满足的情
况数）。
1.从A前往B有三趟公交车，发车时间分别是9、10和11点，问甲乙二人在未经商量的情况下，恰
好乘坐同一趟公交的概率为多少？
2.甲乙未经商量的情况下买到了同一日期、起始点一样的高铁车次二等座，已知该车共有8节二等
座车厢，则二人恰好在同一车厢的概率为？
6、（2018辽宁）一张纸上画了5排共30个格子，每排格子数相同。小王将1个红
色和1个绿色棋子随机放入任意一个格子（2个棋子不在同一格子），则2个棋子在
同一排的概率：
A.不高于15%
B.高于15%但低于20%
C.正好为20%
D.高于20%
