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C H A O G E J I A O Y U
主讲老师：高
照
2026数量拿分稳稳班
第2节课（第二章方程问题）
1.普通方程：一个未知数（x）
2.普通方程：多个未知数（设x、y、z）
3.不定方程
4.不定方程组
第二章 方程问题
普通方程：一个未知数（x）
1、普通方程：一个未知数（x）
设未知数技巧
1、设小不设大： 甲是乙的两倍
2、出现比例设份数： 甲：乙=3:5
3、设中间量： 甲：乙=3:1，乙：丙=2:3
做题步骤：
（1）设未知数
（2）找等量关系
（3）约分
【例1】（2025广东）某服务大厅设有若干个服务窗口，其中1个是快捷服务窗口，某日服务窗口的
平均业务量为29单，其中快捷服务窗口的业务量为41单，其余窗口的平均业务量为28单，则服务大
厅共有（）个窗口。
A.13
B.14
C.15
D.16
【例2】（2025天津）某连锁餐厅甲、乙、丙三个店面2024年销售额总计为1000万元，利润总计为120
万元。其中，甲店面的销售额是利润的10倍，是丙店面销售额的
2
3，乙店面的利润比甲店面多10万元且
比丙店面少10万元。问乙店面的销售额是利润的多少倍？
A.6
B.6.25
C.7
D.7.2
【例3】（2025联考）物流公司有两种载重分别为1.5吨和2吨的货车，甲乙两名调度员均调动10辆车满载
运货。若甲乙调动的两种车的数量比相反，全部货物运完后，乙运的货物比甲运的货物多1吨，则乙运的
货物重量为：
A.16吨
B.17吨
C.18吨
D.19吨
【例4】（2025联考）某产品甲、乙两个经销商第一季度销售总额为200万元。第二季度，甲、乙的
销售额比第一季度分别高20%、25%，且甲的销售额比乙高44万元。问上半年甲的销售额比乙高多
少万元？
A.72
B.76
C.80
D.84
2、普通方程组：多个未知数（设x、y、z）
（1）存在多个未知数，设xyz
（2）抓住问题消元求解（没有必要把xyz都求出来）
【例5】（2024山东）某科技创新项目有6人投资，共筹资110万元。投资额度有10万元、20万元和
30万元三种。已知投资10万元的比投资20万元的多2人，问投资30万元的有多少人？
A.2
B.3
C.4
D.5
【例6】（2023联考）浮雕银杯是我国古代常见的一种盛酒容器，有大银杯和小银杯之分。已知5个
大银杯加1个小银杯，可以盛酒3斛（斛，是古代的一种容量单位），5个小银杯加1个大银杯，可以
盛酒2斛，则1斛酒至多可以倒满小银杯的数量为：
A.2个
B.3个
C.4个
D.5个
不定方程
（1）普通不定方程（ax + by = M）奇偶、 倍数、尾数、代入
（2）多个未知数的不定方程（ax+by+cz=M）倍数特性、代入
不定方程
不定方程
奇偶特性
【引例1】3x+4y=25，x=?（x、y均为正整数）
A. 2
B. 3
C. 4
D. 5
倍数特性
ax + by = M，当a或b与M有公因子时，考虑倍数特性
【引例2】7x+3y=60，y最大为多少? （x、y均为正整数且不为0 ）
A. 12
B. 13
C. 16
D. 18
尾数
ax + by = M，当a或b尾数是0时，考虑尾数
【引例3】37x+20y=271，x=? （x、y均为正整数）
A. 1
B. 3
C. 2
D. 4
【例7】（2025联考）甲乙两部门组织户外团建，共设A、B、C三项活动。甲部门每人三项活动均参加1次，
乙部门每人任选2项不同活动各参加1次。已知A、B、C三项活动分别有18人、16人、15人参加，问甲部
门成员至多有多少人?
A.11
B.12
C.13
D.14
【例8】（2025联考）甲和乙两个科研单位共有99名工作人员。其中甲单位研究人员占本单位工作人员总
数的75%，乙单位研究人员占本单位工作人员总数的88%。问甲单位的非研究人员比乙单位的非研究人员：
A.少不到5人
B.少5人以上
C.多不到5人
D.多5人以上
（1）普通不定方程（ax + by = M）奇偶、 倍数、尾数、代入
（2）多个未知数的不定方程（ax+by+cz=M）倍数特性、代入
不定方程
不定方程
【例9】（2020四川）某人花400元购买了若干盒樱桃。已知甲、乙、丙三个品种的樱桃单价分别为
28元/盒、32元/盒和33元/盒，问他最多购买了多少盒丙品种的樱桃？
A.3
B.4
C.5
D.6
【例10】（2025浙江）篮球比赛中，三分线内，投中一次得2分，三分线外，投中一次得3分；若被
犯规，则获得罚球机会，投中一次得1分。某场比赛，小张2分球命中率为62.5%，3分球命中率为
44.4%，最终得分25分。已知小张罚球次数为7次，那么他的罚球命中率在以下哪个范围？
A.30%-40%
B.40%-50%
C.50%-60%
D.60%-70%
不定方程组
𝑎1𝑥＋𝑏1y＋𝑐1z＝M
𝑎2𝑥＋𝑏2y＋𝑐2z＝N
➢第一类：（整数型）未知数一定是整数（主流）
方法：先消元转化为不定方程，再按不定方程求解。
备注：只有整数型才可以用，不定方程特性（奇偶、 倍数、尾数、代入）解题。
【例11】（2024联考）商店销售甲、乙、丙、丁四种商品，每件分别盈利15元、9元、4元和1元。
某日销售这四种商品共40件，共盈利201元。四种商品每种至少销售1件，且甲、丁商品销量相同。
问当天丙商品的销量为多少件？
A.21
B.27
C.29
D.31
【例12】（2025天津）某旅行团有游客15人，租用6辆车外出旅行，每辆车乘坐游客最多4人。已知
每辆车至少乘坐1名游客，问乘坐2名游客的车辆至多有几辆？
A.1
B.2
C.3
D.4
不定方程组
𝑎1𝑥＋𝑏1y＋𝑐1z＝M
𝑎2𝑥＋𝑏2y＋𝑐2z＝N
➢第一类：（整数型）未知数一定是整数（主流）
方法：先消元转化为不定方程，再按不定方程求解。
备注：只有整数型才可以用，不定方程特性（奇偶、 倍数、尾数、代入）解题。
➢第二类：未知数可以是小数（单价和时间）
（1）凑系数（高中考法，不好想）
（2）赋零法：赋其中1个未知数为零，进而快速计算出其他未知数
赋谁为零：大的数，不好算的数。
【例13】（2025四川）某企业采购甲、乙和丙三种不同配置的电脑，已知甲、乙、丙各1台共2.3万元，
2台甲加1台乙的总价比1台丙的单价高2.2万元。该企业最终决定采购1台甲、3台乙和7台丙，问采购
总费用为多少万元？
A.6.6
B.7.1
C.7.6
D.8.1
【例14】（2023湖北事业单位）顾客安女士在水果店里购买了1箱苹果、3盒草莓和5盒蓝莓，共花费
260元。顾客何先生在同一水果店以同样的单价购买了1箱苹果、4盒草莓和7盒蓝莓，共花费320元。
那么购买1箱苹果、1盒草莓和1盒蓝莓需花费（
）元。
A.140
B.150
C.160
D.170
【例15】（2021黑龙江边境）幼儿园需采购春联、窗花、小狗玩偶三种新年用品，已知大班采购春
联7幅，窗花12对、小狗玩偶5个，共花费200元，中班采购春联9幅、窗花19对、小狗玩偶5个，共
花费224元。问小班采购春联10幅，窗花10对，小狗玩偶10个需花费多少元？
A.170
B.176
C.340
D.352
专项拔高练习二
【练习1】（2025浙江）农学院学生采集了甲、乙两个品种的水稻样本各若干份，其中36份为有效
样本。已知乙品种采集样本30份，那么甲品种的有效样本比乙品种的无效样本：
A.多6份
B.多12份
C.少6份
D.少12份
【练习2】（2023北京）张、王、李三人总共有120本书，张、王的书分别是李的2倍和5倍，则王有
多少本书？
A.65
B.70
C.75
D.80
【练习3】（2023广东）甲、乙两个仓库共存有340吨粮食。如果甲仓库存放的粮食是乙仓库的2倍
多10吨，则甲仓库存有粮食（
）吨。
A.110
B.120
C.230
D.240
【练习4】（2020江苏B）某社区组织了一次助学捐款活动，在场的老王、老李和老张均积极捐款。
若老王捐款的
1
3是老李捐款的
1
5、老张捐款的
1
11，且老张比老王多捐192元，则他们的捐款总额是：
A.418元
B.456元
C.494元
D.532元
【练习5】（2025联考）某单位优化办事流程，每个窗口总服务时间不变，但个人服务和企业服务的
单次用时分别下降了50%和20%。原来每个窗口每天可以服务80名个人和30家企业，现在每个窗口
可以服务54名个人和42家企业。问现在每次企业服务的用时是个人服务的多少倍（服务衔接时间忽
略不计）？
A.不到11倍
B.11~13倍之间
C.13~15倍之间
D.超过15倍
【练习6】（2024联考）某包装车间包装甲、乙两种规格的袋装杂粮，甲、乙两袋杂粮的重量之比为
5：2，如果从甲袋中称出2公斤放入乙袋后，甲、乙两袋杂粮的重量之比变为4：3。问甲袋杂粮原来
重量为：
A.8公斤
B.10公斤
C.12公斤
D.15公斤
【练习7】（2024广东）某企业在展销会上销售甲、乙两种产品。已知甲产品的库存比乙产品多100
件，展销会结束后，甲产品全部售完，乙产品售出库存的60%，两种产品共售出1260件，则甲、乙
两种产品原有总库存（
）件。
A.1450
B.1500
C.1550
D.1600
【练习8】（2020广东）某部门正在准备会议材料，共有153份相同的文件，需要装到大小两种文件
袋里送至会场，大的每个能装24份文件，小的每个能装15份文件。如果要使每个文件袋都正好装满，
则需要大文件袋（
）个。
A.2
B.3
C.5
D.7
【练习9】（2022江苏）某企业年终评选了30名优秀员工，分三个等级，分别按每人10万元、5万元、
1万元给与奖励。若共发放奖金89万元，则获得1万元奖金的员工有：
A.14人
B.19人
C.20人
D.21人
【练习10】（2018上海）现有甲、乙、丙三种货物，若购买甲1件、乙3件、丙7件共需200元；若
购买甲2件、乙5件、丙11件共需350元。则购买甲、乙、丙各1件共需多少元？
A.50
B.100
C.150
D.200
作业：今天所讲的题进行“3+2作业”（数量要精做、精刷）
3：三遍（先问题、再题干）（问题圈谁?）数量的表述看似多样，实则相对单一，熟悉和记忆就是最好的
方法。了解方程未知数之间的关系的表述和特征，找等量关系，归纳题型特征，实现考场快速识别题型。
2：计算2遍：问题和式子之间的关系，消元，消谁？计算是思路的展开，题型理解，该做做，该猜猜。
预习：第三章 周期
你把时间花在哪里，你的花就会开在哪里，不要东张希望，不要看见别人发光
就觉得自己暗淡，你不必任何人差。别那么焦虑，走好脚下的路，每个人都活在自
己的节奏 里，熬的住就出众，熬不住就出局，如果你的野心很大，那么你就没资
格停下，要沉淀，要有格局，目光放长远，而不是长期留在原地。
间歇性努力就是假努力，考不考的上？有时候，你比考官都清楚。
这个世界上，含着金汤匙出生的人毕竟是少数，绝大多数是普通人。而普通人
想要改变自己的命运，无非是通过读书。要知道，读书是普通人逆袭的最佳途径。
读书不苦，那是你通往世界的路，所以别怕吃学习的苦。
总有一天，那些苦，会变成你遨游天际的翅膀。
做一个善良的人，做一个有棱角的人，做一个自己真正想做的人。
愿你：心有所想，事有所成，有收获，有成就。
高 照
读书虽苦，但值得。
如果没有天赋，
那就一直重复，
当你快到本能反应的时候，
你的重复，
就是别人眼里的天赋
高 照
