2024年高考数学试卷（天津）（解析卷）_历年高考真题合集_数学历年高考真题_新·PDF版2008-2025·高考数学真题_数学（按省份分类）2008-2025_2008-2025·（天津）数学高考真题

2024 年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷） 数学 本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共 150分，考试用时 120分钟．第 Ⅰ卷 1至 3页，第Ⅱ卷 4至 6页． 答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上，并在规定位置 粘贴考试用条形码．答卷时，考生务必将答案涂写在答题卡上，答在试卷上的无效．考试结 束后，将本试卷和答题卡一并交回． 祝各位考生考试顺利！ 第Ⅰ卷（选择题） 注意事项： 1．每小题选出答案后，用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干 净后，再选涂其他答案标号． 2．本卷共 9小题，每小题 5分，共 45分． 参考公式： PA B= PA+PB ·如果事件A，B互斥，那么 U ． PAB= PAPB ·如果事件A，B相互独立，那么 ． 4 V = πR3 ·球的体积公式 3 ，其中R表示球的半径． 1 V = Sh ·圆锥的体积公式 3 ，其中S表示圆锥的底面面积，h表示圆锥的高． 一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． A=1,2,3,4 B=2,3,4,5 A B= 1. 集合 ， ，则 I （ ） A. 1,2,3,4 B. 2,3,4 C. 2,4 D. 1 【答案】B 【解析】 【分析】根据集合交集的概念直接求解即可. 【详解】因为集合A=1,2,3,4 ，B=2,3,4,5 ， 所以A I B=2,3,4 ， 第1页/共24页 学科网（北京）股份有限公司故选：B 2. 设a,bÎR，则“a3 =b3”是“3a =3b”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】说明二者与同一个命题等价，再得到二者等价，即是充分必要条件. 【详解】根据立方的性质和指数函数的性质，a3 =b3和3a =3b都当且仅当a =b，所以二者互为充要条件. 故选：C. 3. 下列图中，相关性系数最大的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由点的分布特征可直接判断 【详解】观察4幅图可知，A图散点分布比较集中，且大体接近某一条直线，线性回归模型拟合效果比较 好，呈现明显的正相关， r 值相比于其他3图更接近1. 故选：A 4. 下列函数是偶函数的是（ ） ex-x2 cosx+x2 ex-x sinx+4x A. y = B. y = C. y = D. y = x2 +1 x2 +1 x+1 e|x| 【答案】B 第2页/共24页 学科网（北京）股份有限公司【解析】 【分析】根据偶函数的判定方法一一判断即可. ex-x2 e-1-1 e-1 【 详 解 】 对 A ， 设 f x= ， 函 数 定 义 域 为 R ， 但 f -1= ， f 1= ， 则 x2 +1 2 2 f -1¹ f 1 ，故A错误； cosx+x2 对B，设gx= ，函数定义域为R ， x2 +1 cos-x+-x2 cosx+x2 且g-x= = = gx ，则gx 为偶函数，故B正确； -x2 +1 x2 +1 ex-x 对C，设hx= ，函数定义域为 x|x¹-1 ，不关于原点对称， 则hx 不是偶函数，故C错误； x+1 sinx+4x sin1+4 -sin1-4 对D，设jx= ，函数定义域为R ，因为j1= ，j-1= ， e|x| e e 则j1¹j-1 ，则jx 不是偶函数，故D错误. 故选：B. 5. 若a=4.2-0.3，b=4.20.3，c=log 0.2，则a，b，c的大小关系为（ ） 4.2 A. a>b>c B. b>a>c C. c>a>b D. b>c>a 【答案】B 【解析】 【分析】利用指数函数和对数函数的单调性分析判断即可. 【详解】因为y =4.2x在R 上递增，且-0.3<0<0.3， 所以0<4.2-0.3 <4.20 <4.20.3， 所以0<4.2-0.3 <1<4.20.3，即0a>c， 故选：B 6. 若m,n为两条不同的直线，a为一个平面，则下列结论中正确的是（ ） 第3页/共24页 学科网（北京）股份有限公司A. 若m//a，nÌa，则m//n B. 若m//a,n//a，则m//n C. 若m//a,n^a，则m^n D. 若m//a,n^a，则m与n相交 【答案】C 【解析】 【分析】根据线面平行的性质可判断AB的正误，根据线面垂直的性质可判断CD的正误. 【详解】对于A，若m//a，nÌa，则m,n平行或异面，故A错误. 对于B，若m//a,n//a，则m,n平行或异面或相交，故B错误. 对于C，m//a,n^a，过m作平面b，使得b I a=s， 因为mÌb，故m//s，而sÌa，故n^s，故m^n，故C正确. 对于D，若m//a,n^a，则m与n相交或异面，故D错误. 故选：C. æ πö é π πù 7. 已知函数 f x=sin3 ç wx+ ÷ w>0 的最小正周期为π．则函数在 ê - , ú 的最小值是（ ） è 3ø ë 12 6û 3 3 3 A. - B. - C. 0 D. 2 2 2 【答案】A 【解析】 é π πù 【分析】先由诱导公式化简，结合周期公式求出w，得 f x=-sin2x，再整体求出xÎ - , 时，2x ê ú ë 12 6û 的范围，结合正弦三角函数图象特征即可求解. æ πö 2π 2 【详解】 f x=sin3 ç wx+ ÷ =sin3wx+π=-sin3wx，由T = =π得w= ， è 3ø 3w 3 é π πù é π πù 即 f x=-sin2x，当xÎ - , 时，2xÎ - , ， ê ú ê ú ë 12 6û ë 6 3û 画出 f x=-sin2x图象，如下图， é π πù 由图可知， f x=-sin2x在 - , 上递减， ê ú ë 12 6û π π 3 所以，当x= 时， f x =-sin =- 6 min 3 2 第4页/共24页 学科网（北京）股份有限公司故选：A x2 y2 8. 双曲线 - =1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F、F .P是双曲线右支上一点，且直线PF 的斜 a2 b2 1 2 2 率为2．△PFF 是面积为8的直角三角形，则双曲线的方程为（ ） 1 2 x2 y2 x2 y2 x2 y2 x2 y2 A. - =1 B. - =1 C. - =1 D. - =1 8 2 8 4 2 8 4 8 【答案】C 【解析】 【分析】可利用△PFF 三边斜率问题与正弦定理，转化出三边比例，设 PF =m，由面积公式求出m， 1 2 2 由勾股定理得出c，结合第一定义再求出a. 【详解】如下图：由题可知，点P必落在第四象限，ÐFPF =90°，设 PF =m， 1 2 2 2 ÐPF F =q,ÐPFF =q ，由k =tanq =2，求得sinq = ， 2 1 1 1 2 2 PF 2 1 1 5 1 1 因为ÐFPF =90°，所以k ×k =-1，求得k =- ，即tanq = ， 1 2 PF 1 PF 2 PF 1 2 2 2 1 sinq = ，由正弦定理可得： PF : PF : FF =sinq:sinq :sin90°=2:1: 5， 2 5 1 2 1 2 1 2 则由 PF =m得 PF =2m, FF =2c= 5m， 2 1 1 2 1 1 由S = PF × PF = m×2m=8得m=2 2 ， VPF 1 F 2 2 1 2 2 第5页/共24页 学科网（北京）股份有限公司则 PF =2 2, PF =4 2, FF =2c=2 10,c= 10， 2 1 1 2 由双曲线第一定义可得： PF - PF =2a =2 2，a= 2,b= c2 -a2 = 8， 1 2 x2 y2 所以双曲线的方程为 - =1. 2 8 故选：C 9. 一 个 五 面 体 ABC-DEF ． 已 知 AD∥BE∥CF ， 且 两 两 之 间 距 离 为 1 ． 并 已 知 AD=1，BE =2，CF =3．则该五面体的体积为（ ） 3 3 3 1 3 3 3 1 A. B. + C. D. - 6 4 2 2 4 2 【答案】C 【解析】 【分析】采用补形法，补成一个棱柱，求出其直截面，再利用体积公式即可. 【详解】用一个完全相同的五面体HIJ -LMN （顶点与五面体ABC-DEF 一一对应）与该五面体相嵌， 使得D,N；E,M ;F,L重合， 因为AD∥BE∥CF ，且两两之间距离为1．AD =1,BE =2,CF =3， 则形成的新组合体为一个三棱柱， 该三棱柱的直截面（与侧棱垂直的截面）为边长为1的等边三角形，侧棱长为1+3=2+2=3+1=4， 1 1 1 3 3 V = V = ´ ´1´1´ ´4= . ABC-DEF 2 ABC-HIJ 2 2 2 2 故选：C. 第Ⅱ卷 第6页/共24页 学科网（北京）股份有限公司注意事项： 1．用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上． 2．本卷共 11 小题，共 105分． 二、填空题：本大题共 6 小题，每小题 5分，共 30分．试题中包含两个空的，答对 1个的给 3分，全部答对的给 5分．     10. 已知i是虚数单位，复数 5+i × 5-2i =______． 【答案】7- 5i 【解析】 【分析】借助复数的乘法运算法则计算即可得.     【详解】 5+i × 5-2i =5+ 5i-2 5i+2=7- 5i. 故答案为：7- 5i. 6 æ 3 x3ö 11. 在ç + ÷ 的展开式中，常数项为______． x3 3 è ø 【答案】20 【解析】 【分析】根据题意结合二项展开式的通项分析求解即可. æ 3 x3 ö 6 æ 3 ö 6-ræ x3 ö r 【详解】因为ç + ÷ 的展开式的通项为T =Cr ç ÷ ç ÷ =36-2rCrx6r-3 ,r =0,1,×××,6， è x3 3 ø r+1 6 è x3 ø è 3 ø 6 令6r-3=0，可得r =3， 所以常数项为30C3 =20. 6 故答案为：20. 12. (x-1)2 + y2 =25的圆心与抛物线y2 =2px(p>0)的焦点F 重合，A为两曲线的交点，则原点到直线 AF 的距离为______． 4 【答案】 ##0.8 5 【解析】 【分析】先求出圆心坐标，从而可求焦准距，再联立圆和抛物线方程，求A及 AF 的方程，从而可求原点 到直线 AF 的距离. 第7页/共24页 学科网（北京）股份有限公司p 【详解】圆(x-1)2 + y2 =25的圆心为F1,0 ，故 =1即 p =2， 2 ìïx-12 + y2 =25 由í 可得x2 +2x-24=0，故x=4或x=-6（舍）， ïîy2 =4x 4 故A4,±4 ，故直线AF: y =± x-1即4x-3y-4=0或4x+3y-4=0， 3 4 4 故原点到直线 AF 的距离为d = = ， 5 5 4 故答案为： 5 13. A,B,C,D,E五种活动，甲、乙都要选择三个活动参加.（1）甲选到A的概率为______；已知乙选了A 活动，他再选择B活动的概率为______． 3 1 【答案】 ①. ②. 5 2 【解析】 【分析】结合列举法或组合公式和概率公式可求甲选到A的概率；采用列举法或者条件概率公式可求乙选 了A活动，他再选择B活动的概率. 【详解】解法一：列举法 从五个活动中选三个的情况有： ABC,ABD,ABE,ACD,ACE,ADE,BCD,BCE,BDE,CDE,共10种情况， 其中甲选到A有6种可能性：ABC,ABD,ABE,ACD,ACE,ADE， 6 3 则甲选到A得概率为：P= = ； 10 5 乙选A活动有6种可能性：ABC,ABD,ABE,ACD,ACE,ADE， 其中再选则B有3种可能性：ABC,ABD,ABE， 3 1 故乙选了A活动，他再选择B活动的概率为 = . 6 2 解法二： 设甲、乙选到A为事件M ，乙选到B为事件N ， C2 3 则甲选到A的概率为PM= 4 = ； C3 5 5 第8页/共24页 学科网（北京）股份有限公司C1 3 PMN C3 1 乙选了A活动，他再选择B活动的概率为P  N M  = = 5 = PM C2 2 4 C3 5 3 1 故答案为： ； 5 2 uur uur uuur 1 14. 在边长为1的正方形ABCD中，点E为线段CD的三等分点， CE = DE,BE =lBA+mBC，则 2 uuur uuur l+m=______；若F 为线段BE 上的动点，G为 AF 中点，则AF×DG的最小值为______． 4 5 【答案】 ①. ②. - 3 18 【解析】 uuur uuur uuur uur 【分析】解法一：以 BA,BC 为基底向量，根据向量的线性运算求 u B u E ur ，即可得l+m，设BF =kBE， uuur uuur uuur uuur uuur 求AF,DG，结合数量积的运算律求AF×DG的最小值；解法二：建系标点，根据向量的坐标运算求BE， 即可得l+m，设Fa,-3a,aÎ é ê - 1 ,0 ù ú ，求 u A u F ur ,D uu G ur ，结合数量积的坐标运算求 u A u F ur × u D u G ur 的最小值. ë 3 û uur uur uur uuur uur uur uuur 1 2 1 【详解】解法一：因为CE = DE，即CE = BA，则BE = BC+CE = BA+BC， 2 3 3 1 4 可得l= ,m=1，所以l+m= ； 3 3 uuur uuur uuur uuur 由题意可知： BC = BA =1,BA×BC =0， uuur uuur 1 uuur uuur 因为F 为线段BE 上的动点，设BF =kBE = kBA+kBC,kÎ0,1 ， 3 uuur uuur uuur uuur uuur æ1 öuuur uuur 则AF = AB+BF = AB+kBE = ç k-1 ÷ BA+kBC ， è3 ø uuur uuur uuur uuur 1uuur 1æ1 öuuur æ1 öuuur 又因为G为 AF 中点，则DG = DA+ AG =-BC+ AF = ç k-1 ÷ BA+ ç k-1 ÷ BC， 2 2è3 ø è2 ø uuur uuur éæ1 öuuur uuurù é1æ1 öuuur æ1 öuuurù 可得AF×DG = êç k-1 ÷ BA+kBC ú × ê ç k-1 ÷ BA+ ç k-1 ÷ BC ú ëè3 ø û ë2è3 ø è2 ø û 第9页/共24页 学科网（北京）股份有限公司2 2 1æ1 ö æ1 ö 5æ 6ö 3 = k-1 +k k-1 = k- - ， ç ÷ ç ÷ ç ÷ 2è3 ø è2 ø 9è 5ø 10 5 又因为kÎ0,1 ，可知：当k=1时， u A u F ur × u D u G ur 取到最小值- ； 18 解法二：以B为坐标原点建立平面直角坐标系，如图所示， æ 1 ö 则A-1,0,B0,0,C0,1,D-1,1,E ç - ,1 ÷， è 3 ø uuur uuur uuur æ 1 ö 可得BA=-1,0,BC =0,1,BE = ç - ,1 ÷， è 3 ø ì 1 uuur uuur uuur ï-l=- 4 因为BE =lBA+mBC =-l,m，则í 3，所以l+m= ； 3 ï îm=1 é 1 ù é 1 ù 因为点F 在线段BE: y =-3x,xÎ - ,0 上，设Fa,-3a,aÎ - ,0 ， ê ú ê ú ë 3 û ë 3 û æa-1 3 ö 且G为 AF 中点，则G ç ,- a ÷， è 2 2 ø uuur uuur æa+1 3 ö 可得AF =a+1,-3a,DG = ç ,- a-1 ÷， è 2 2 ø uuur uuur a+12 æ 3 ö æ 2ö 2 3 则AF×DG = +-3a - a-1 =5 a+ - ， ç ÷ ç ÷ 2 è 2 ø è 5ø 10 é 1 ù 1 uuur uuur 5 且aÎ ê - ,0 ú ，所以当a=- 时，AF×DG取到最小值为- ； ë 3 û 3 18 4 5 故答案为： ；- . 3 18 15. 若函数 f x=2 x2 -ax - ax-2 +1有唯一零点，则a的取值范围为______．     【答案】 - 3,-1 È 1, 3 第10页/共24页 学科网（北京）股份有限公司【解析】 ì 2 ax-3,x³ ï ï a 【分析】结合函数零点与两函数的交点的关系，构造函数gx=2 x2 -ax 与hx=í ，则 2 ï 1-ax,x< ïî a 两函数图象有唯一交点，分a=0、a>0与a<0进行讨论，当a>0时，计算函数定义域可得x³a或 x£0，计算可得aÎ0,2 时，两函数在y轴左侧有一交点，则只需找到当aÎ0,2 时，在y轴右侧无交 点的情况即可得；当a<0时，按同一方式讨论即可得. 【详解】令 f x=0，即2 x2 -ax = ax-2 -1， 由题可得x2 -ax³0， 2 当a=0时，xÎR，有2 x2 = -2 -1=1，则x=± ，不符合要求，舍去； 2 ì 2 ax-3,x³ ï ï a 当a>0时，则2 x2 -ax = ax-2 -1=í ， 2 ï 1-ax,x< ïî a ì 2 ax-3,x³ ï ï a 即函数gx=2 x2 -ax 与函数hx=í 有唯一交点， 2 ï 1-ax,x< ïî a 由x2 -ax³0，可得x³a或x£0， 当x£0时，则ax-2<0，则2 x2 -ax = ax-2 -1=1-ax， 即4x2 -4ax=1-ax2 ，整理得  4-a2 x2 -2ax-1=é2+ax+1ùé2-ax-1ù =0， ë ûë û 1 当a=2时，即4x+1=0，即x=- ， 4 1 1 当aÎ0,2 ，x=- 或x= >0（正值舍去）， 2+a 2-a 1 1 当aÎ2,+¥时，x=- <0或x= <0，有两解，舍去， 2+a 2-a 即当aÎ0,2 时，2 x2 -ax - ax-2 +1=0在x£0时有唯一解， 则当aÎ0,2 时，2 x2 -ax - ax-2 +1=0在x³a时需无解， 当aÎ0,2 ，且x³a时， 第11页/共24页 学科网（北京）股份有限公司ì 2 ax-3,x³ ï ï a 2 1 3 由函数hx=í 关于x= 对称，令hx=0，可得x= 或x= ， 2 a a a ï 1-ax,x< ïî a æ1 2ö æ2 3ö 且函数hx 在ç , ÷上单调递减，在ç , ÷上单调递增， èa aø èa aø 2 æ aö x- ç ÷ 令gx= y =2 x2 -ax ，即 è 2ø - y2 =1， a2 a2 4 x2 y2 故x³a时，gx 图象为双曲线 a2 - a2 =1 右支的x轴上方部分向右平移 a 所得， 2 4 x2 y2 a - =1 y =± x=±2x 由 a2 a2 的渐近线方程为 a ， 2 4 æ aö 即gx 部分的渐近线方程为y =2 ç x- ÷，其斜率为2， è 2ø ì 2 ax-3,x³ ï ï a 2 又aÎ0,2 ，即hx=í 在x³ 时的斜率aÎ0,2 ， 2 a ï 1-ax,x< ïî a 令gx=2 x2 -ax =0，可得x=a或x=0（舍去）， 且函数gx 在 a,+¥ 上单调递增， ì1 a ïîa ì 2 ax-3,x£ ï ï a 当a<0时，则2 x2 -ax = ax-2 -1=í ， 2 ï 1-ax,x> ïî a 第12页/共24页 学科网（北京）股份有限公司ì 2 ax-3,x£ ï ï a 即函数gx=2 x2 -ax 与函数hx=í 有唯一交点， 2 ï 1-ax,x> ïî a 由x2 -ax³0，可得x ³0或x£a， 当x ³0时，则ax-2<0，则2 x2 -ax = ax-2 -1=1-ax， 即4x2 -4ax=1-ax2 ，整理得  4-a2 x2 -2ax-1=é2+ax+1ùé2-ax-1ù =0， ë ûë û 1 当a=-2时，即4x-1=0，即x= ， 4 1 1 当aÎ-2,0 ，x=- <0（负值舍去）或x= 0， 2+a 2-a 1 1 当aÎ-¥,2 时，x=- >0或x= >0，有两解，舍去， 2+a 2-a 即当aÎ-2,0 时，2 x2 -ax - ax-2 +1=0在x ³0时有唯一解， 则当aÎ-2,0 时，2 x2 -ax - ax-2 +1=0在x£a时需无解， 当aÎ-2,0 ，且x£a时， ì 2 ax-3,x£ ï ï a 2 1 3 由函数hx=í 关于x= 对称，令hx=0，可得x= 或x= ， 2 a a a ï 1-ax,x> ïî a æ2 1ö æ3 2ö 且函数hx 在ç , ÷上单调递减，在ç , ÷上单调递增， èa aø èa aø x2 y2 同理可得：x£a时，gx 图象为双曲线 a2 - a2 =1 左支的x轴上方部分向左平移 a 所得， 2 4 æ aö gx 部分的渐近线方程为y =-2 ç x+ ÷，其斜率为-2， è 2ø ì 2 ax-3,x³ ï ï a 2 又aÎ-2,0 ，即hx=í 在x< 时的斜率aÎ-2,0 ， 2 a ï 1-ax,x< ïî a 令gx=2 x2 -ax =0，可得x=a或x=0（舍去）， 第13页/共24页 学科网（北京）股份有限公司且函数gx 在 -¥,a 上单调递减， ì1 >a ï ïa 故有í ，解得- 30，则根据余弦定理得b2 =a2 +c2 -2accosB， 第14页/共24页 学科网（北京）股份有限公司9 即25=4t2 +9t2 -2´2t´3t´ ，解得t =2（负舍）； 16 则a =4,c=6. 【小问2详解】 2 æ 9 ö 5 7 法一：因为B为三角形内角，所以sinB= 1-cos2 B = 1- ç ÷ = ， è16ø 16 4 5 a b = 7 再根据正弦定理得 = ，即sinA 5 7 ，解得sin A= ， sinA sinB 4 16 b2 +c2 -a2 52 +62 -42 3 法二：由余弦定理得cosA= = = ， 2bc 2´5´6 4 2 因为AÎ0,π ，则sinA= 1- æ3ö = 7 ç ÷ è4ø 4 【小问3详解】 9 æ πö 法一：因为cosB= >0，且BÎ0,π ，所以BÎ ç 0, ÷， 16 è 2ø 5 7 由（2）法一知sinB = ， 16 2 æ 7 ö 3 因为ab>0)椭圆的离心率e= ．左顶点为A，下顶点为B，C 是线段OB的中点， a2 b2 2 3 3 其中S = ． △ABC 2 （1）求椭圆方程． æ 3ö uur uuur （2）过点ç 0,- ÷的动直线与椭圆有两个交点P，Q．在y轴上是否存在点T 使得TP×TQ £0恒成 è 2ø 立．若存在求出这个T 点纵坐标的取值范围，若不存在请说明理由． x2 y2 【答案】（1） + =1 12 9 æ 3ö uur uuur （2）存在T0,t ç -3£t £ ÷，使得TP×TQ £0恒成立. è 2ø 【解析】 【分析】（1）根据椭圆的离心率和三角形的面积可求基本量，从而可得椭圆的标准方程. 3 （2）设该直线方程为：y =kx- ，Px ,y ,Qx ,y ,T0,t ， 联立直线方程和椭圆方程并消元，结 2 1 1 2 2 uur uuur uur uuur 合韦达定理和向量数量积的坐标运算可用k,t表示TP×TQ，再根据TP×TQ £0可求t的范围. 【小问1详解】 1 因为椭圆的离心率为e= ，故a=2c，b= 3c，其中c为半焦距， 2   æ 3cö 1 3 3 3 所以A-2c,0,B 0,- 3c ,Cç0,- ÷，故S = ´2c´ c= ， ç è 2 ÷ ø △ABC 2 2 2 x2 y2 故c= 3，所以a=2 3，b=3，故椭圆方程为： + =1. 12 9 【小问2详解】 æ 3ö 3 若过点ç 0,- ÷的动直线的斜率存在，则可设该直线方程为：y =kx- ， è 2ø 2 第18页/共24页 学科网（北京）股份有限公司设Px ,y ,Qx ,y ,T0,t ， 1 1 2 2 ì3x2 +4y2 =36 ï 由í 3 可得  3+4k2 x2 -12kx-27=0， y =kx- ï î 2 12k 27 故Δ=144k2 +108  3+4k2 =324+576k2 >0且x +x = ,x x =- , 1 2 3+4k2 1 2 3+4k2 uur uuur 而TP=x ,y -t,TQ=x ,y -t， 1 1 2 2 uur uuur æ 3 öæ 3 ö 故TP×TQ= x x +y -ty -t= x x + ç kx - -t ÷ç kx - -t ÷ 1 2 1 2 1 2 è 1 2 øè 2 2 ø 2 =  1+k2 x x -k æ3 +t ö x +x + æ3 +t ö ç ÷ ç ÷ 1 2 è2 ø 1 2 è2 ø 2 =  1+k2 ´ æ - 27 ö -k æ3 +t ö ´ 12k + æ3 +t ö ç ÷ ç ÷ ç ÷ è 3+4k2 ø è2 ø 3+4k2 è2 ø 2 æ3 ö -27k2 -27-18k2 -12k2t+3 +t +3+2t2 k2 ç ÷ è2 ø = 3+4k2 2 æ3 ö é3+2t2 -12t-45ùk2 +3 +t -27 ç ÷ ë û è2 ø ， = 3+4k2 ì3+2t2 -12t-45£0 uur uuur ï 3 因为TP×TQ £0恒成立，故í æ3 ö 2 ，解得-3£t £ . ï3 ç +t ÷ -27£0 2 î è2 ø æ 3ö 若过点ç 0,- ÷的动直线的斜率不存在，则P0,3,Q0,-3 或P0,-3,Q0,3 ， è 2ø 3 此时需-3£t £3，两者结合可得-3£t £ . 2 æ 3ö uur uuur 综上，存在T0,t ç -3£t £ ÷，使得TP×TQ £0恒成立. è 2ø 【点睛】思路点睛：圆锥曲线中的范围问题，往往需要用合适的参数表示目标代数式，表示过程中需要借 助韦达定理，此时注意直线方程的合理假设. 19. 已知数列 a  是公比大于0的等比数列．其前n项和为S ．若a =1,S =a -1． n n 1 2 3 （1）求数列 a  前n项和S ； n n 第19页/共24页 学科网（北京）股份有限公司ìk,n=a （2）设b =í k ，b =1，其中k是大于1的正整数． n b +2k,a 0，根据题意结合等比数列通项公式求 q ，再结合等比数列求 n 和公式分析求解； （2）①根据题意分析可知a =2k-1,b =k+1，b =k  2k -1  ，利用作差法分析证明；②根据题意结合 k n n-1 2k-1 1 等差数列求和公式可得 åb = é3k-14k -3k-44k-1ù，再结合裂项相消法分析求解. i 9 ë û i=2k-1 【小问1详解】 设等比数列 a  的公比为q>0， n 因为a =1,S =a -1，即a +a =a -1， 1 2 3 1 2 3 可得1+q =q2 -1，整理得q2 -q-2=0，解得q= 2或q = -1（舍去）， 1-2n 所以S = =2n -1. n 1-2 【小问2详解】 （i）由（1）可知a =2n-1，且kÎN*,k ³2， n ìa =2k-1 <2k -1=n-1 当n=a =2k ³4时，则í k ，即a 1时h¢t>0. t t 所以ht 在0,1上递减，在 1,+¥ 上递增，这就说明ht³h1 ，即t-1³lnt，且等号成立当且仅当 t =1. 设gt=at-1-2lnt，则     æ æ 1 ö 1 ö æ 1 ö f x-a x- x = xlnx-a x- x = xça ç -1 ÷ -2ln ÷= x×g ç ÷. è è x ø x ø è x ø 1 当xÎ0,+¥ 时， 的取值范围是 0,+¥ ，所以命题等价于对任意tÎ0,+¥ ，都有gt³0. x 一方面，若对任意tÎ0,+¥ ，都有gt³0，则对tÎ0,+¥ 有 1 æ1 ö 2 0£ gt=at-1-2lnt =at-1+2ln £at-1+2 ç -1 ÷ =at+ -a-2， t èt ø t 取t =2，得0£a-1，故a ³1>0. 2 2 a  2 再取t = ，得0£a× +2 -a-2=2 2a -a-2=- a - 2 ，所以a=2. a a 2 另一方面，若a=2，则对任意tÎ0,+¥ 都有gt=2t-1-2lnt =2ht³0，满足条件. 综合以上两个方面，知a的取值范围是 2 . 【小问3详解】 f b- f a 先证明一个结论：对0 +lna =1+lna， b-a b-a a a 1- 1- b b 第22页/共24页 学科网（北京）股份有限公司blnb-alna f b- f a 所以lna+1< 时 f¢x>0. e e 所以 f x 在 æ ç 0, 1ù ú 上递减，在 é ê 1 ,+¥ ö ÷上递增. è eû ëe ø 不妨设x £ x ，下面分三种情况（其中有重合部分）证明本题结论. 1 2 1 情况一：当 £ x £ x <1时，有 e 1 2 f x - f x  = f x - f x <lnx +1x -x < x -x < x -x ，结论成立； 1 2 2 1 2 2 1 2 1 2 1 1 情况二：当0< x £ x £ 时，有 f x - f x  = f x - f x = x lnx -x lnx . 1 2 e 1 2 1 2 1 1 2 2 æ 1ù 1 对任意的cÎ ç 0, ú ，设jx= xlnx-clnc- c-x，则j¢x=lnx+1+ . è eû 2 c-x 由于j¢x 单调递增，且有 æ ö c c 1 1 1 1 1 j¢ç ÷ =ln +1+ 时，由 ³ln -1可知 4 ç ln -1 ÷ 2 2 c-x c è c ø 1 c 1 1 æ 2 ö j¢x=lnx+1+ >ln +1+ = - ç ln -1 ÷ ³0. 2 c-x 2 2 c-x 2 c-x è c ø 所以j¢x 在 0,c 上存在零点x ，再结合j¢x 单调递增，即知0< x< x 时j¢x<0，x < x0. 故jx 在 0,x  上递减，在 x ,c 上递增. 0 0 ①当x £ x£c时，有jx£jc=0； 0 1   æ1ö 2 æ 1 ö ②当0< x< x 时，由于 cln =-2f c £-2f ç ÷ = <1，故我们可以取qÎ ç cln ,1 ÷. 0 c èeø e è c ø 第23页/共24页 学科网（北京）股份有限公司c 从而当0< x< 时，由 c-x >q c ，可得 1-q2 æ 1 ö jx= xlnx-clnc- c-x <-clnc- c-x <-clnc-q c = c ç cln -q ÷ <0. è c ø 再根据jx 在 0,x  上递减，即知对0< x< x 都有jx<0； 0 0 综合①②可知对任意0< x£c，都有jx£0，即jx= xlnx-clnc- c-x £0. æ 1ù 根据cÎ ç è 0, eû ú 和0< x£c的任意性，取c= x 2 ，x= x 1 ，就得到x 1 lnx 1 -x 2 lnx 2 - x 2 -x 1 £0. 所以 f x - f x  = f x - f x = x lnx -x lnx £ x -x . 1 2 1 2 1 1 2 2 2 1 1 情况三：当0< x £ £ x <1时，根据情况一和情况二的讨论，可得 1 e 2 æ1ö 1 æ1ö 1 f x - f ç ÷ £ -x £ x -x ， f ç ÷ - f x  £ x - £ x -x . 1 èeø e 1 2 1 èeø 2 2 e 2 1 æ1ö æ1ö 而根据 f x 的单调性，知 f x - f x  £ f x - f ç ÷ 或 f x - f x  £ f ç ÷ - f x  . 1 2 1 èeø 1 2 èeø 2 故一定有 f x - f x  £ x -x 成立. 1 2 2 1 综上，结论成立. 【点睛】关键点点睛：本题的关键在于第3小问中，需要结合 f x 的单调性进行分类讨论. 第24页/共24页 学科网（北京）股份有限公司