2024年高考数学试卷（新课标Ⅰ卷）（解析卷）_历年高考真题合集_数学历年高考真题_新·PDF版2008-2025·高考数学真题_数学（按省份分类）2008-2025_2008-2025·（浙江）数学高考真题

绝密 ★ 启用前 2024 年普通高等学校招生全国统一考试（新课标 I 卷） 数学 本试卷共 10页，19小题，满分 150分. 注意事项： 1.答题前，先将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在试卷和答题卡上，并将准考证 号条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2.选择题的作答：每小题选出答案后，用 2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试 卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 3.填空题和解答题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试卷、草 稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 4.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交. 一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分. 在每小题给出的四个选项中，只有一 个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上. A=  x∣-5< x3 <5  ,B={-3,-1,0,2,3} A B= 1. 已知集合 ，则 I （ ） A. {-1,0} B. {2,3} C. {-3,-1,0} D. {-1,0,2} 【答案】A 【解析】 【分析】化简集合A，由交集的概念即可得解.   【详解】因为A= x|-3 5 < x< 3 5 ,B=-3,-1,0,2,3 ，且注意到1< 3 5 <2， 从而A I B= -1,0 . 故选：A. z 2. 若 =1+i，则z =（ ） z-1 A. -1-i B. -1+i C. 1-i D. 1+i 【答案】C 【解析】 【分析】由复数四则运算法则直接运算即可求解. 第1页/共23页 学科网（北京）股份有限公司z z-1+1 1 1 【详解】因为 = =1+ =1+i，所以z =1+ =1-i. z-1 z-1 z-1 i 故选：C. 3. 已知向量a r =(0,1),b r =(2,x)，若b r ^(b r -4a r )，则x=（ ） A. -2 B. -1 C. 1 D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】根据向量垂直的坐标运算可求x的值. r r r r r r 【详解】因为b^ b-4a ，所以b× b-4a =0， 所以b r2 -4a r ×b r =0即4+x2 -4x=0，故x=2， 故选：D. 4. 已知cos(a+b)=m,tanatanb=2，则cos(a-b)=（ ） m m A. -3m B. - C. D. 3m 3 3 【答案】A 【解析】 【分析】根据两角和的余弦可求cosacosb,sinasinb的关系，结合tanatanb的值可求前者，故可求 cosa-b 的值. 【详解】因为cosa+b=m，所以cosacosb-sinasinb=m， 而tanatanb=2，所以sinasinb=2cosacosb， 故cosacosb-2cosacosb=m即cosacosb=-m， 从而sinasinb=-2m，故cosa-b=-3m， 故选：A. 5. 已知圆柱和圆锥的底面半径相等，侧面积相等，且它们的高均为 3，则圆锥的体积为（ ） A. 2 3π B. 3 3π C. 6 3π D. 9 3π 【答案】B 【解析】 【分析】设圆柱的底面半径为r，根据圆锥和圆柱的侧面积相等可得半径r的方程，求出解后可求圆锥的体 第2页/共23页 学科网（北京）股份有限公司积. 【详解】设圆柱的底面半径为r，则圆锥的母线长为 r2 +3， 而它们的侧面积相等，所以2πr´ 3 =πr´ 3+r2 即2 3 = 3+r2 ， 1 故r =3，故圆锥的体积为 π´9´ 3 =3 3π. 3 故选：B. ì-x2 -2ax-a,x<0 6. 已知函数为 f(x)=í ，在R上单调递增，则a取值的范围是（ ） îex +ln(x+1),x³0 A. (-¥,0] B. [-1,0] C. [-1,1] D. [0,+¥) 【答案】B 【解析】 【分析】根据二次函数的性质和分界点的大小关系即可得到不等式组，解出即可. 【详解】因为 f x 在R 上单调递增，且x³0时， f x=ex +lnx+1 单调递增， ì -2a - ³0 ï 则需满足í 2´-1 ，解得-1£a£0， ï î-a£e0 +ln1 即a的范围是[-1,0]. 故选：B. æ pö 7. 当xÎ [0,2p]时，曲线y =sin x与y =2sin ç 3x- ÷的交点个数为（ ） è 6 ø A. 3 B. 4 C. 6 D. 8 【答案】C 【解析】 【分析】画出两函数在 0,2π 上的图象，根据图象即可求解 【详解】因为函数y =sin x的的最小正周期为T =2π， æ πö 2π 函数y =2sin ç 3x- ÷的最小正周期为T = ， è 6ø 3 æ πö 所以在xÎ0,2π 上函数y =2sin ç 3x- ÷有三个周期的图象， è 6ø 在坐标系中结合五点法画出两函数图象，如图所示： 第3页/共23页 学科网（北京）股份有限公司由图可知，两函数图象有6个交点. 故选：C 8. 已知函数为 f(x)的定义域为R， f(x)> f(x-1)+ f(x-2)，且当x<3时 f(x)= x，则下列结论中一 定正确的是（ ） A. f(10)>100 B. f(20)>1000 C. f(10)<1000 D. f(20)<10000 【答案】B 【解析】 【分析】代入得到 f(1)=1, f(2)=2，再利用函数性质和不等式的性质，逐渐递推即可判断. 【详解】因为当x<3时 f(x)= x，所以 f(1)=1, f(2)=2， 又因为 f(x)> f(x-1)+ f(x-2)， 则 f(3)> f(2)+ f(1)=3, f(4)> f(3)+ f(2)>5， f(5)> f(4)+ f(3)>8, f(6)> f(5)+ f(4)>13, f(7)> f(6)+ f(5)>21， f(8)> f(7)+ f(6)>34, f(9)> f(8)+ f(7)>55, f(10)> f(9)+ f(8)>89， f(11)> f(10)+ f(9)>144, f(12)> f(11)+ f(10)>233, f(13)> f(12)+ f(11)>377 f(14)> f(13)+ f(12)>610, f(15)> f(14)+ f(13)>987， f(16)> f(15)+ f(14)>1597>1000，则依次下去可知 f(20)>1000，则B正确； 且无证据表明ACD一定正确. 故选：B . 【点睛】关键点点睛：本题的关键是利用 f(1)=1, f(2)=2，再利用题目所给的函数性质 第4页/共23页 学科网（北京）股份有限公司f(x)> f(x-1)+ f(x-2)，代入函数值再结合不等式同向可加性，不断递推即可. 二、选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分. 在每小题给出的选项中，有多项符合 题目要求. 全部选对得 6 分，部分选对的得部分分，选对但不全的得部分分，有选错的得 0 分. 9. 为了解推动出口后的亩收入（单位：万元）情况，从该种植区抽取样本，得到推动出口后亩收入的样本 均值x =2.1，样本方差s2 =0.01，已知该种植区以往的亩收入X 服从正态分布N  1.8,0.12 ，假设推动 出口后的亩收入Y 服从正态分布 N  x,s2 ，则（ ）（若随机变量 Z 服从正态分布 N  u,s2 ， P(Z 2)>0.2 B. P(X >2)<0.5 C. P(Y >2)>0.5 D. P(Y >2)<0.8 【答案】BC 【解析】 【分析】根据正态分布的3s原则以及正态分布的对称性即可解出. 【详解】依题可知，x =2.1,s2 =0.01，所以Y : N2.1,0.1 ， 故PY >2= PY >2.1-0.1= PY <2.1+0.10.8413>0.5，C正确，D错误； 因为X : N1.8,0.1 ，所以PX >2= PX >1.8+2´0.1 ， 因为PX <1.8+0.10.8413，所以PX >1.8+0.11-0.8413=0.1587<0.2， 而PX >2= PX >1.8+2´0.1< PX >1.8+0.1<0.2，B正确，A错误， 故选：BC． 10. 设函数 f(x)=(x-1)2(x-4)，则（ ） A. x=3是 f(x)的极小值点 B. 当0< x<1时， f(x)< f  x2 C. 当1< x<2时，-4< f(2x-1)<0 D. 当-1< x<0时， f(2-x)> f(x) 【答案】ACD 【解析】 【分析】求出函数 f x 的导数，得到极值点，即可判断A；利用函数的单调性可判断B；根据函数 f x 第5页/共23页 学科网（北京）股份有限公司在 1,3 上的值域即可判断C；直接作差可判断D. 【详解】对A，因为函数 f x 的定义域为R，而 f¢x=2x-1x-4+x-12 =3x-1x-3， 易知当xÎ1,3 时， f¢x<0，当xÎ-¥,1 或xÎ3,+¥ 时， f¢x>0 函数 f x 在 -¥,1 上单调递增，在 1,3 上单调递减，在 3,+¥ 上单调递增，故x=3是函数 f x 的极 小值点，正确； 对B，当0< x<1时，x-x2 = x1-x>0，所以1> x> x2 >0， 而由上可知，函数 f x 在 0,1 上单调递增，所以 f x> f  x2 ，错误； 对C，当1< x<2时，1<2x-1<3，而由上可知，函数 f x 在 1,3 上单调递减， 所以 f 1> f 2x-1> f 3 ，即-4< f 2x-1<0，正确； 对D，当-1< x<0时， f(2-x)- f(x)=1-x2-2-x-x-12x-4=x-122-2x>0， 所以 f(2-x)> f(x)，正确； 故选：ACD. 11. 造型 可以做成美丽的丝带，将其看作图中曲线C的一部分.已知C过坐标原点O.且C上的点满足横坐 标大于-2，到点F(2,0)的距离与到定直线x=a(a<0)的距离之积为4，则（ ） A. a=-2 B. 点(2 2,0)在C上 4 C. C在第一象限的点的纵坐标的最大值为1 D. 当点 x ,y  在C上时，y £ 0 0 0 x +2 0 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据题设将原点代入曲线方程后可求a，故可判断A的正误，结合曲线方程可判断B的正误，利 用特例法可判断C的正误，将曲线方程化简后结合不等式的性质可判断D的正误. 第6页/共23页 学科网（北京）股份有限公司【详解】对于A：设曲线上的动点Px,y ，则x>-2且 x-22 + y2 ´ x-a =4， 因为曲线过坐标原点，故 0-22 +02 ´ 0-a =4，解得a=-2，故A正确. 对于B：又曲线方程为 x-22 + y2 ´ x+2 =4，而x>-2， 故 x-22 + y2 ´x+2=4.  2   当x =2 2,y =0时， 2 2-2 ´ 2 2+2 =8-4=4，   故 2 2,0 在曲线上，故B正确. 对于C：由曲线的方程可得 y2 = 16 -x-22 ，取x= 3 ， x+22 2 64 1 64 1 64 5 256-245 则y2 = - ，而 - -1= - = >0，故此时y2 >1， 49 4 49 4 49 4 49´4 故C在第一象限内点的纵坐标的最大值大于1，故C错误. 16 16 对于D：当点 x 0 ,y 0  在曲线上时，由C的分析可得 y 0 2 = x +22 -x 0 -22 £ x +22 ， 0 0 4 4 故- £ y £ ，故D正确. x +2 0 x +2 0 0 故选：ABD. 【点睛】思路点睛：根据曲线方程讨论曲线的性质，一般需要将曲线方程变形化简后结合不等式的性质等 来处理. 三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分. x2 y2 12. 设双曲线C: - =1(a>0,b>0)的左右焦点分别为F、F ，过F 作平行于y轴的直线交C于A，B a2 b2 1 2 2 两点，若|FA|=13,| AB|=10，则C的离心率为___________． 1 3 【答案】 2 【解析】 【分析】由题意画出双曲线大致图象，求出 AF ，结合双曲线第一定义求出 AF ，即可得到a,b,c的值， 2 1 从而求出离心率. x2 y2 【详解】由题可知A,B,F 三点横坐标相等，设A在第一象限，将x=c代入 - =1 2 a2 b2 第7页/共23页 学科网（北京）股份有限公司b2 æ b2 ö æ b2 ö 2b2 b2 得y =± ，即Açc, ÷,Bçc,- ÷，故 AB = =10， AF = =5， a è a ø è a ø a 2 a b2 又 AF - AF =2a，得 AF = AF +2a =2a+5=13，解得a = 4，代入 =5得b2 =20， 1 2 1 2 a c 6 3 故c2 =a2 +b2 =36,，即c=6，所以e= = = . a 4 2 3 故答案为： 2 13. 若曲线y =ex +x在点 0,1 处的切线也是曲线y =ln(x+1)+a的切线，则a =__________. 【答案】ln2 【解析】 【 分 析 】 先 求 出 曲 线 y=ex +x在 0,1 的 切 线 方 程 ， 再 设 曲 线 y =lnx+1+a的 切 点 为  x ,lnx +1+a  ，求出y¢，利用公切线斜率相等求出x ，表示出切线方程，结合两切线方程相同即可求 0 0 0 解. 【详解】由y=ex +x得y¢=ex +1，y¢| =e0 +1=2， x=0 故曲线y=ex +x在 0,1 处的切线方程为y =2x+1； 1 由y =lnx+1+a得y¢ = ， x+1 设切线与曲线y =lnx+1+a相切的切点为  x ,lnx +1+a  ， 0 0 1 1 æ 1 1ö 由两曲线有公切线得y¢= =2，解得x =- ，则切点为ç - ,a+ln ÷， x +1 0 2 è 2 2ø 0 æ 1ö 1 切线方程为y =2 ç x+ ÷ +a+ln =2x+1+a-ln2， è 2ø 2 根据两切线重合,所以a-ln2=0，解得a=ln2. 故答案为：ln2 第8页/共23页 学科网（北京）股份有限公司14. 甲、乙两人各有四张卡片，每张卡片上标有一个数字，甲的卡片上分别标有数字1，3，5，7，乙的卡 片上分别标有数字2，4，6，8，两人进行四轮比赛，在每轮比赛中，两人各自从自己持有的卡片中随机选 一张，并比较所选卡片上数字的大小，数字大的人得1分，数字小的人得0分，然后各自弃置此轮所选的 卡片（弃置的卡片在此后的轮次中不能使用）.则四轮比赛后，甲的总得分不小于2的概率为_________. 1 【答案】 ##0.5 2 【解析】 【分析】将每局的得分分别作为随机变量，然后分析其和随机变量即可. 【详解】设甲在四轮游戏中的得分分别为X ,X ,X ,X ，四轮的总得分为X . 1 2 3 4 对于任意一轮，甲乙两人在该轮出示每张牌的概率都均等，其中使得甲获胜的出牌组合有六种，从而甲在 6 3 3 该轮获胜的概率PX =1= = ，所以EX = k =1,2,3,4 . k 4´4 8 k 8 4 4 3 3 从而EX= EX + X + X + X =åEX =å = . 1 2 3 4 k 8 2 k=1 k=1 记 p = PX =kk =0,1,2,3 . k 如果甲得0分，则组合方式是唯一的：必定是甲出1，3，5，7分别对应乙出2，4，6，8，所以 1 1 p = = ； 0 A4 24 4 如果甲得3分，则组合方式也是唯一的：必定是甲出1，3，5，7分别对应乙出8，2，4，6，所以 1 1 p = = . 3 A4 24 4 3 而X 的所有可能取值是0，1，2，3，故 p + p + p + p =1， p +2p +3p = EX= . 0 1 2 3 1 2 3 2 1 1 3 1 1 1 所以 p + p + =1， p +2p + = ，两式相减即得 p + = ，故 p + p = . 1 2 12 1 2 8 2 2 24 2 2 3 2 1 所以甲的总得分不小于2的概率为 p + p = . 2 3 2 1 故答案为： . 2 【点睛】关键点点睛：本题的关键在于将问题转化为随机变量问题，利用期望的可加性得到等量关系，从 而避免繁琐的列举. 四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 记 V ABC内角A、B、C的对边分别为a，b，c，已知sinC = 2cosB，a2 +b2 -c2 = 2ab （1）求B； 第9页/共23页 学科网（北京）股份有限公司（2）若 ABC的面积为3+ 3，求c． V π 【答案】（1）B= 3 （2）2 2 【解析】 【分析】（1）由余弦定理、平方关系依次求出cosC,sinC，最后结合已知sinC = 2cosB得cosB的值 即可； （2）首先求出A,B,C，然后由正弦定理可将a,b均用含有c的式子表示，结合三角形面积公式即可列方 程求解. 【小问1详解】 由余弦定理有a2 +b2 -c2 =2abcosC ，对比已知a2 +b2 -c2 = 2ab， a2 +b2 -c2 2ab 2 可得cosC = = = ， 2ab 2ab 2 因为CÎ0,π ，所以sinC >0， 2 æ 2 ö 2 从而sinC = 1-cos2C = 1-ç ÷ = ， ç ÷ 2 2 è ø 1 又因为sinC = 2cosB，即cosB= ， 2 注意到BÎ0,π ， π 所以B= . 3 【小问2详解】 π 2 π π π 5π 由（1）可得B= ，cosC = ，CÎ0,π ，从而C = ，A=π- - = ， 3 2 4 3 4 12 æ5πö æπ πö 2 3 2 1 6+ 2 而sinA=sin =sin + = ´ + ´ = ， ç ÷ ç ÷ è12ø è4 6ø 2 2 2 2 4 a b c = = 由正弦定理有 5π π π ， sin sin sin 12 3 4 6+ 2 3+1 3 6 从而a= × 2c= c,b= × 2c= c， 4 2 2 2 第10页/共23页 学科网（北京）股份有限公司由三角形面积公式可知， ABC的面积可表示为 V 1 1 3+1 6 2 3+ 3 S = absinC = × c× c× = c2， VABC 2 2 2 2 2 8 3+ 3 由已知 ABC的面积为3+ 3，可得 c2 =3+ 3， V 8 所以c=2 2. æ 3ö x2 y2 16. 已知A(0,3)和P ç 3, ÷为椭圆C: + =1(a>b>0)上两点. è 2ø a2 b2 （1）求C的离心率; （2）若过P的直线l交C于另一点B，且 ABP的面积为9，求l的方程． V 1 【答案】（1） 2 （2）直线l的方程为3x-2y-6=0或x-2y =0. 【解析】 【分析】（1）代入两点得到关于a,b的方程，解出即可； （2）方法一：以 AP 为底，求出三角形的高，即点B到直线AP的距离，再利用平行线距离公式得到平移 后的直线方程，联立椭圆方程得到B点坐标，则得到直线l的方程；方法二：同法一得到点B到直线AP的 距离，再设Bx ,y  ，根据点到直线距离和点在椭圆上得到方程组，解出即可；法三：同法一得到点B到 0 0 直线AP的距离，利用椭圆的参数方程即可求解；法四：首先验证直线AB斜率不存在的情况，再设直线 y =kx+3，联立椭圆方程，得到点B坐标，再利用点到直线距离公式即可；法五：首先考虑直线PB斜率 3 不存在的情况，再设PB: y- =k(x-3)，利用弦长公式和点到直线的距离公式即可得到答案；法六：设 2 1 线法与法五一致，利用水平宽乘铅锤高乘 表达面积即可. 2 【小问1详解】 ì b=3 ï ï 9 ìb2 =9 由题意得í ，解得í ， ï 9 + 4 =1 îa2 =12 ïîa2 b2 b2 9 1 所以e= 1- = 1- = . a2 12 2 第11页/共23页 学科网（北京）股份有限公司【小问2详解】 3 3- 1 法一： 2 1，则直线AP的方程为y = - x+3，即x+2y-6=0， k = =- 2 AP 0-3 2 æ 3ö 2 3 5 x2 y2 AP = 0-32 + 3- = ，由（1）知C: + =1， ç ÷ è 2ø 2 12 9 2´9 12 5 d = = 设点B到直线AP的距离为d，则 3 5 5 ， 2 12 5 则将直线AP沿着与AP垂直的方向平移 单位即可， 5 此时该平行线与椭圆的交点即为点B， 设该平行线的方程为：x+2y+C =0， C+6 12 5 则 = ，解得C =6或C =-18， 5 5 ì x2 y2 ì x=-3 ï + =1 ì x=0 ï 当C =6时，联立í 12 9 ，解得í 或í 3， ï îy =-3 ï y =- îx+2y+6=0 î 2 æ 3ö 即B0,-3 或ç -3,- ÷， è 2ø 3 3 当B0,-3 时，此时k = ，直线l的方程为y = x-3，即3x-2y-6=0， l 2 2 æ 3ö 1 1 当B ç -3,- ÷时，此时k = ，直线l的方程为y = x，即x-2y =0， è 2ø l 2 2 ì x2 y2 ï + =1 当C =-18时，联立í 12 9 得2y2 -27y+117=0， ï îx+2y-18=0 D=272 -4´2´117=-207<0，此时该直线与椭圆无交点. 综上直线l的方程为3x-2y-6=0或x-2y =0. 法二：同法一得到直线AP的方程为x+2y-6=0， 12 5 点B到直线AP的距离d = ， 5 第12页/共23页 学科网（北京）股份有限公司ì x +2y -6 12 5 ï 0 0 = ì x =-3 ï 5 5 ï 0 ì x =0 设Bx ,y  ，则í ，解得í 3或í 0 ， 0 0 ï x 0 2 + y 0 2 =1 ï î y 0 =- 2 î y 0 =-3 ï î 12 9 æ 3ö 即B0,-3 或ç -3,- ÷，以下同法一. è 2ø 法三：同法一得到直线AP的方程为x+2y-6=0， 12 5 点B到直线AP的距离d = ， 5 设B  2 3cosq,3sinq  ，其中qÎ0,2p，则有 2 3cosq+6sinq-6 = 12 5 ， 5 5 ì 3 ïcosq=- ï 2 ìcosq=0 联立cos2q+sin2q=1，解得í 或í ， ï 1 îsinq=-1 sinq=- ïî 2 æ 3ö 即B0,-3 或ç -3,- ÷，以下同法一； è 2ø 法四：当直线AB的斜率不存在时，此时B0,-3 ， 1 3 3 S = ´6´3=9，符合题意，此时k = ，直线l的方程为y = x-3，即3x-2y-6=0， VPAB 2 l 2 2 当线AB的斜率存在时，设直线AB的方程为y =kx+3， ì y =kx+3 ï 1 联立椭圆方程有íx2 y2 ，则  4k2 +3  x2 +24kx=0，其中k ¹k ，即k ¹- ， + =1 AP 2 ï î12 9 -24k 1 解得x=0或x= ，k ¹0，k ¹- ， 4k2 +3 2 -24k -12k2 +9 æ -24k -12k2 +9ö 令x= ，则y = ，则Bç , ÷ 4k2 +3 4k2 +3 è 4k2 +3 4k2 +3 ø 同法一得到直线AP的方程为x+2y-6=0， 12 5 点B到直线AP的距离d = ， 5 第13页/共23页 学科网（北京）股份有限公司-24k -12k2 +9 +2´ -6 3 则 4k2 +3 4k2 +3 12 5 ，解得k = ， = 2 5 5 æ 3ö 1 1 此时B ç -3,- ÷，则得到此时k = ，直线l的方程为y = x，即x-2y =0， è 2ø l 2 2 综上直线l的方程为3x-2y-6=0或x-2y =0. æ 3ö 法五：当l的斜率不存在时，l:x=3,B ç 3,- ÷ , PB =3,A到PB距离d =3， è 2ø 1 9 此时S = ´3´3= ¹9不满足条件. VABP 2 2 3 当l的斜率存在时，设PB: y- =k(x-3)，令Px ,y ,Bx ,y  ， 2 1 1 2 2 ì 3 y =k(x-3)+ ï ï 2 í ，消y可得  4k2 +3  x2 -  24k2 -12k  x+36k2 -36k-27=0， x2 y2 ï + =1 ïî12 9 1 Δ=  24k2 -12k 2 -4  4k2 +3  36k2 -36k-27  >0，且k ¹k ，即k ¹- ， AP 2 ì 24k2 -12k 27 ï x +x = 4 3 k2 +1 3k2 +9k+ ï í 1 2 4k2 +3 , PB = k2 +1 x +x 2 -4x x = 4 ， ï 36k2 -36k-27 1 2 1 2 4k2 +3 x x = ïî 1 2 4k2 +3 3 27 3 3k+ 4 3 k2 +1 3k2 +9k+ 3k+ A到直线PB距离 2 1 4 2 ， d = ,S = × × =9 k2 +1 VPAB 2 4k2 +3 k2 +1 1 3 1 3 \k = 或 ，均满足题意，\l: y = x或y = x-3，即3x-2y-6=0或x-2y =0. 2 2 2 2 æ 3ö 法六：当l的斜率不存在时，l:x=3,B ç 3,- ÷ , PB =3,A到PB距离d =3， è 2ø 1 9 此时S = ´3´3= ¹9不满足条件. VABP 2 2 3 当直线l斜率存在时，设l: y =k(x-3)+ ， 2 æ 3ö 设l与y轴的交点为Q，令x=0，则Q ç 0,-3k+ ÷， è 2ø 第14页/共23页 学科网（北京）股份有限公司ì 3 联立 ï í y =kx-3k+ 2 ，则有  3+4k2 x2 -8k æ ç 3k- 3ö ÷ x+36k2 -36k-27=0， ï î3x2 +4y2 =36 è 2ø  3+4k2 x2 -8k æ ç 3k- 3ö ÷ x+36k2 -36k-27=0， è 2ø 其中Δ=8k2 æ 3k- 3ö 2 -4  3+4k2 36k2 -36k-27  >0，且k ¹- 1 ， ç ÷ è 2ø 2 36k2 -36k-27 12k2 -12k-9 则3x = ,x = ， B 3+4k2 B 3+4k2 1 1 3 12k+18 1 3 则S = AQ x -x = 3k+ =9，解的k = 或k = ，经代入判别式验证均满足题意. 2 P B 2 2 3+4k2 2 2 1 3 则直线l为y = x或y = x-3，即3x-2y-6=0或x-2y =0. 2 2 17. 如图，四棱锥P-ABCD中，PA^底面ABCD，PA= AC =2，BC =1,AB= 3． （1）若AD^ PB，证明：AD//平面PBC ； 42 （2）若AD^ DC，且二面角A-CP-D的正弦值为 ，求AD． 7 【答案】（1）证明见解析 （2） 3 【解析】 第15页/共23页 学科网（北京）股份有限公司【分析】（1）先证出 AD^平面 PAB，即可得 AD^AB，由勾股定理逆定理可得BC^ AB，从而 AD//BC ，再根据线面平行的判定定理即可证出； （2）过点D作DE^AC于E，再过点E作EF ^CP于F ，连接DF，根据三垂线法可知，ÐDFE即 为二面角A-CP-D的平面角，即可求得tanÐDFE = 6，再分别用AD的长度表示出DE,EF，即可 解方程求出AD． 【小问1详解】 （1）因为PA^平面ABCD，而ADÌ平面ABCD，所以PA^ AD， 又AD^ PB，PB PA= P，PB,PAÌ平面PAB，所以AD^平面PAB， I 而ABÌ平面PAB，所以AD^AB. 因为BC2 + AB2 = AC2，所以BC^ AB， 根据平面知识可知AD//BC ， 又ADË平面PBC ，BCÌ平面PBC ，所以AD//平面PBC ． 【小问2详解】 如图所示，过点D作DE^AC于E，再过点E作EF ^CP于F ，连接DF， 因为PA^平面ABCD，所以平面PAC ^平面ABCD，而平面PAC 平面ABCD= AC， I 所以DE^平面PAC ，又EF ^CP，所以CP ^平面DEF ， 根据二面角的定义可知，ÐDFE即为二面角A-CP-D的平面角， 42 即sinÐDFE = ，即tanÐDFE = 6． 7 x 4-x2 因为AD^ DC，设AD = x，则CD= 4-x2 ，由等面积法可得，DE = ， 2 x2 4-x2 4-x2 4-x2 又CE =  4-x2 - = ，而 V EFC为等腰直角三角形，所以EF = ， 4 2 2 2 x 4-x2 2 故tanÐDFE = = 6，解得x= 3，即AD = 3． 4-x2 2 2 第16页/共23页 学科网（北京）股份有限公司x 18. 已知函数 f(x)=ln +ax+b(x-1)3 2-x （1）若b=0，且 f¢(x)³0，求a的最小值； （2）证明：曲线y= f(x)是中心对称图形； （3）若 f(x)>-2当且仅当1< x<2，求b的取值范围． 【答案】（1）-2 2 （2）证明见解析 （3）b³- 3 【解析】 【分析】（1）求出 f¢x =2+a后根据 f¢(x)³0可求a的最小值； min （2）设Pm,n 为y = f x 图象上任意一点，可证Pm,n 关于 1,a 的对称点为Q2-m,2a-n 也在 函数的图像上，从而可证对称性； 2 （3）根据题设可判断 f 1=-2即a=-2，再根据 f(x)>-2在 1,2 上恒成立可求得b³- . 3 【小问1详解】 x b=0时， f x=ln +ax，其中xÎ0,2 ， 2-x 1 1 2 则 f¢x= + = +a,xÎ0,2 ， x 2-x x2-x 2 æ2-x+xö 因为x2-x£ =1，当且仅当x=1时等号成立， ç ÷ è 2 ø 故 f¢x =2+a，而 f¢x³0成立，故a+2³0即a³-2， min 所以a的最小值为-2.， 【小问2详解】 第17页/共23页 学科网（北京）股份有限公司x f x=ln +ax+bx-13 的定义域为 0,2 ， 2-x 设Pm,n 为y = f x 图象上任意一点， Pm,n 关于 1,a 的对称点为Q2-m,2a-n ， m 因为Pm,n 在y = f x 图象上，故n=ln +am+bm-13 ， 2-m 2-m é m ù 而 f 2-m=ln +a2-m+b2-m-13 =- ln +am+bm-13 +2a， ê ú m ë 2-m û =-n+2a， 所以Q2-m,2a-n 也在y = f x 图象上， 由P的任意性可得y = f x 图象为中心对称图形，且对称中心为 1,a . 【小问3详解】 因为 f x>-2当且仅当1< x<2，故x=1为 f x=-2的一个解， 所以 f 1=-2即a=-2， 先考虑1< x<2时， f x>-2恒成立. x 此时 f x>-2即为ln +21-x+bx-13 >0在 1,2 上恒成立， 2-x t+1 设t = x-1Î0,1 ，则ln -2t+bt3 >0在 0,1 上恒成立， 1-t t+1 设gt=ln -2t+bt3,tÎ0,1， 1-t 2 t2 -3bt2 +2+3b  则g¢t= -2+3bt2 = ， 1-t2 1-t2 当b³0，-3bt2 +2+3b³-3b+2+3b=2>0， 故g¢t>0恒成立，故gt 在 0,1 上为增函数， 故gt> g0=0即 f x>-2在 1,2 上恒成立. 2 当- £b<0时，-3bt2 +2+3b³2+3b³0， 3 故g¢t³0恒成立，故gt 在 0,1 上为增函数， 故gt> g0=0即 f x>-2在 1,2 上恒成立. 第18页/共23页 学科网（北京）股份有限公司2 2 当b<- ，则当0-2在 1,2 上恒成立时b³- . 3 2 而当b³- 时， 3 2 而b³- 时，由上述过程可得gt 在 0,1 递增，故gt>0的解为 0,1 ， 3 即 f x>-2的解为 1,2 . 2 综上，b³- . 3 【点睛】思路点睛：一个函数不等式成立的充分必要条件就是函数不等式对应的解，而解的端点为函数对 一个方程的根或定义域的端点，另外，根据函数不等式的解确定参数范围时，可先由恒成立得到参数的范 围，再根据得到的参数的范围重新考虑不等式的解的情况. 19. 设m为正整数，数列a ,a ,...,a 是公差不为0的等差数列，若从中删去两项a 和a i< j 后剩余 1 2 4m+2 i j 的4m项可被平均分为m组，且每组的4个数都能构成等差数列，则称数列a ,a ,...,a 是 i, j-可分 1 2 4m+2 数列． （1）写出所有的 i, j ，1£i< j £6，使数列a ,a ,...,a 是 i, j-可分数列； 1 2 6 （2）当m³3时，证明：数列a ,a ,...,a 是 2,13-可分数列； 1 2 4m+2 （3）从1,2,...,4m+2中一次任取两个数i和 ji< j ，记数列a ,a ,...,a 是 i, j-可分数列的概率 1 2 4m+2 1 为P ，证明：P > ． m m 8 【答案】（1） 1,2,1,6,5,6 （2）证明见解析 （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）直接根据 i, j-可分数列的定义即可； （2）根据 i, j-可分数列的定义即可验证结论； （3）证明使得原数列是 i, j-可分数列的 i, j 至少有m+12 -m个，再使用概率的定义. 【小问1详解】 第19页/共23页 学科网（北京）股份有限公司首先，我们设数列a ,a ,...,a 的公差为d，则d ¹0. 1 2 4m+2 由于一个数列同时加上一个数或者乘以一个非零数后是等差数列，当且仅当该数列是等差数列， a -a 故我们可以对该数列进行适当的变形a¢ = k 1 +1k =1,2,...,4m+2， k d 得到新数列a¢ =kk =1,2,...,4m+2 ，然后对a¢,a¢,...,a¢ 进行相应的讨论即可. k 1 2 4m+2 换言之，我们可以不妨设a =kk =1,2,...,4m+2 ，此后的讨论均建立在该假设下进行. k 回到原题，第1小问相当于从1,2,3,4,5,6中取出两个数i和 ji< j ，使得剩下四个数是等差数列. 那么剩下四个数只可能是1,2,3,4，或2,3,4,5，或3,4,5,6. 所以所有可能的 i, j 就是 1,2,1,6,5,6 . 【小问2详解】 由于从数列1,2,...,4m+2中取出2和13后，剩余的4m个数可以分为以下两个部分，共m组，使得每组 成等差数列： ① 1,4,7,10,3,6,9,12,5,8,11,14 ，共3组； ② 15,16,17,18,19,20,21,22,...,4m-1,4m,4m+1,4m+2 ，共m-3组. （如果m-3=0，则忽略②） 故数列1,2,...,4m+2是 2,13-可分数列. 【小问3详解】 定义集合A=  4k+1k =0,1,2,...,m  =1,5,9,13,...,4m+1 ， B=  4k+2 k =0,1,2,...,m  =2,6,10,14,...,4m+2 . 下面证明，对1£i< j £4m+2，如果下面两个命题同时成立， 则数列1,2,...,4m+2一定是 i, j-可分数列： 命题1：iÎA, jÎB或iÎB, jÎA； 命题2： j-i ¹3. 我们分两种情况证明这个结论. 第一种情况：如果iÎA, jÎB，且 j-i ¹3. 此时设i =4k +1， j =4k +2，k ,k Î0,1,2,...,m . 1 2 1 2 第20页/共23页 学科网（北京）股份有限公司1 则由i< j可知4k +1<4k +2，即k -k >- ，故k ³k . 1 2 2 1 4 2 1 此时，由于从数列1,2,...,4m+2中取出i =4k +1和 j =4k +2后， 1 2 剩余的4m个数可以分为以下三个部分，共m组，使得每组成等差数列： ① 1,2,3,4,5,6,7,8,...,4k -3,4k -2,4k -1,4k  ，共k 组； 1 1 1 1 1 ②4k +2,4k +3,4k +4,4k +5,4k +6,4k +7,4k +8,4k +9,...,4k -2,4k -1,4k ,4k +1，共 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 k -k 组； 2 1 ③4k +3,4k +4,4k +5,4k +6,4k +7,4k +8,4k +9,4k +10,...,4m-1,4m,4m+1,4m+2，共 2 2 2 2 2 2 2 2 m-k 组 2 . （如果某一部分的组数为0，则忽略之） 故此时数列1,2,...,4m+2是 i, j-可分数列. 第二种情况：如果iÎB, jÎA，且 j-i ¹3. 此时设i =4k +2， j =4k +1，k ,k Î0,1,2,...,m . 1 2 1 2 1 则由i< j可知4k +2<4k +1，即k -k > ，故k >k . 1 2 2 1 4 2 1 由于 j-i ¹3，故 4k +1-4k +2¹3，从而k -k ¹1，这就意味着k -k ³2. 2 1 2 1 2 1 此时，由于从数列1,2,...,4m+2中取出i =4k +2和 j =4k +1后，剩余的4m个数可以分为以下四个部 1 2 分，共m组，使得每组成等差数列： ① 1,2,3,4,5,6,7,8,...,4k -3,4k -2,4k -1,4k  ，共k 组； 1 1 1 1 1 ② 4k +1,3k +k +1,2k +2k +1,k +3k +1 ， 3k +k +2,2k +2k +2,k +3k +2,4k +2 ，共 1 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 2 2组； ③全体 4k + p,3k +k + p,2k +2k + p,k +3k + p ，其中 p =3,4,...,k -k ，共k -k -2组； 1 1 2 1 2 1 2 2 1 2 1 ④4k +3,4k +4,4k +5,4k +6,4k +7,4k +8,4k +9,4k +10,...,4m-1,4m,4m+1,4m+2，共 2 2 2 2 2 2 2 2 m-k 组. 2 （如果某一部分的组数为0，则忽略之） 这里对②和③进行一下解释：将③中的每一组作为一个横排，排成一个包含k -k -2个行，4个列的数 2 1 表以后，4个列分别是下面这些数： 第21页/共23页 学科网（北京）股份有限公司4k +3,4k +4,...,3k +k  ， 3k +k +3,3k +k +4,...,2k +2k  ， 1 1 1 2 1 2 1 2 1 2 2k +2k +3,2k +2k +3,...,k +3k  ， k +3k +3,k +3k +4,...,4k  . 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 2 可以看出每列都是连续的若干个整数，它们再取并以后，将取遍 4k +1,4k +2,...,4k +2 中除开五个集 1 1 2 合 4k +1,4k +2 ， 3k +k +1,3k +k +2 ， 2k +2k +1,2k +2k +2 ， 1 1 1 2 1 2 1 2 1 2 k +3k +1,k +3k +2 ， 4k +1,4k +2 中的十个元素以外的所有数. 1 2 1 2 2 2 而这十个数中，除开已经去掉的4k +2和4k +1以外，剩余的八个数恰好就是②中出现的八个数. 1 2 这就说明我们给出的分组方式满足要求，故此时数列1,2,...,4m+2是 i, j-可分数列. 至此，我们证明了：对1£i< j £4m+2，如果前述命题1和命题2同时成立，则数列1,2,...,4m+2一定 是 i, j-可分数列. 然后我们来考虑这样的 i, j 的个数. 首先，由于AÇB=Æ，A和B各有m+1个元素，故满足命题1的 i, j 总共有m+12 个； 而如果 j-i=3，假设iÎA, jÎB，则可设i =4k +1， j =4k +2，代入得 4k +2-4k +1=3. 1 2 2 1 1 但这导致k -k = ，矛盾，所以iÎB, jÎA. 2 1 2 设i =4k +2， j =4k +1，k ,k Î0,1,2,...,m ，则 4k +1-4k +2=3，即k -k =1. 1 2 1 2 2 1 2 1 所以可能的 k ,k  恰好就是 0,1,1,2,...,m-1,m ，对应的 i, j 分别是 1 2 2,5,6,9,...,4m-2,4m+1 ，总共m个. 所以这m+12 个满足命题1的 i, j 中，不满足命题2的恰好有m个. 这就得到同时满足命题1和命题2的 i, j 的个数为m+12 -m. 当我们从1,2,...,4m+2中一次任取两个数i和 ji< j 时，总的选取方式的个数等于 4m+24m+1 =2m+14m+1. 2 而根据之前的结论，使得数列a ,a ,...,a 是 i, j-可分数列的 i, j 至少有m+12 -m个. 1 2 4m+2 所以数列a ,a ,...,a 是 i, j-可分数列的概率P 一定满足 1 2 4m+2 m 第22页/共23页 学科网（北京）股份有限公司2 1 æ 1ö m+12 -m m2 +m+1 m2 +m+ 4 ç è m+ 2 ÷ ø 1. P ³ = > = = m 2m+14m+1 2m+14m+1 2m+14m+2 22m+12m+1 8 这就证明了结论. 【点睛】关键点点睛：本题的关键在于对新定义数列的理解，只有理解了定义，方可使用定义验证或探究 结论. 第23页/共23页 学科网（北京）股份有限公司