西电开学考第6题·20种解法(上)

第 6 题。直觉会说「直径贴着长边放」，直觉这次是对的，但要说清为什么。
题目：长 12、宽 8 的矩形内放入一个半圆，求半圆面积的最大值。
答案：(296 − 160√3)π ≈ 59.2877。
半圆的位置有两个自由度：圆心在哪、半径多大。
「贴边」只是把其中一个自由度用掉，另一个还没定。
真正的最优是「两个约束同时紧」—— 这正是这类题的题眼。
上篇 7 种：
解法一 正放对比法 —— 先把最省事的放法算出来，作为下界
解法二 外接矩形建模 —— 把倾斜的半圆框进一个外接矩形
解法三 端点扫描法 —— 先暴力扫一遍，看清 r(θ) 长什么样
解法四 两约束同时紧 —— 最优时两个不等式同时取等号
解法五 消元降元法 —— 把 r 消掉，只剩 θ 一个未知数
解法六 二次方程法 —— 化成关于 cosθ 的二次方程
解法七 判别式 / 可行域 —— 不求 θ，直接求 r 的上界
同一句「面积最大」，可以被翻译成判别式、可以被翻译成拉格朗日乘子、也可以被翻译成两条曲线相切。