西电开学考第6题·20种解法(中)

第 6 题。直觉会说「直径贴着长边放」，直觉这次是对的，但要说清为什么。
题目：长 12、宽 8 的矩形内放入一个半圆，求半圆面积的最大值。
答案：(296 − 160√3)π ≈ 59.2877。
半圆的位置有两个自由度：圆心在哪、半径多大。
「贴边」只是把其中一个自由度用掉，另一个还没定。
真正的最优是「两个约束同时紧」—— 这正是这类题的题眼。
中篇 9 种：
解法八 拉格朗日乘数法 —— 把约束写进同一个函数再求偏导
解法九 KKT 互补松弛 —— 不用先猜哪个约束紧，让 KKT 自己说
解法十 相切几何法 —— 最优时半圆与四条边都相切
解法十一 辅助角公式 —— 把 a·sinθ + b·cosθ 合成一个正弦
解法十二 半角有理化 —— 用 t = tan(θ/2) 把三角化成代数
解法十三 单位圆图解法 —— 把方程看成单位圆与直线的交点
解法十四 缩放 / 相似法 —— 先算「单位矩形」里的最优，再放大
解法十五 面积上界法 —— 先证一个上界，再证明能达到
解法十六 比例对称法 —— 两个约束的结构决定了解的形式
同一句「面积最大」，可以被翻译成判别式、可以被翻译成拉格朗日乘子、也可以被翻译成两条曲线相切。