西电开学考第6题·20种解法(下)

第 6 题。直觉会说「直径贴着长边放」，直觉这次是对的，但要说清为什么。
题目：长 12、宽 8 的矩形内放入一个半圆，求半圆面积的最大值。
答案：(296 − 160√3)π ≈ 59.2877。
半圆的位置有两个自由度：圆心在哪、半径多大。
「贴边」只是把其中一个自由度用掉，另一个还没定。
真正的最优是「两个约束同时紧」—— 这正是这类题的题眼。
下篇 4 种：
解法十七 三分法 —— 把可行域按约束松紧分成三块分别求
解法十八 网格扫描法 —— 用程序把 (θ, r) 平面扫一遍
解法十九 蒙特卡洛法 —— 随机撒点，靠密度估最优
解法二十 精确回代验证 —— 把解代回原始约束，逐项核对
同一句「面积最大」，可以被翻译成判别式、可以被翻译成拉格朗日乘子、也可以被翻译成两条曲线相切。