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小学数学学习的一些基本概念(3):学技能,不要学技巧
51、哪些分数可以转化为有限小数，哪些分数可以转化为无限循环小数？
有限小数的分数，分母一定是10x10x10…的形式。
我们学过分解因数，10=2x5 、100=2x5x2x5 …… 那么这类分数（最简形式）的分母分解因数后只有2和5.
一个分数能不能转化为有限小数？取决于分母分解后，有没有2、5之外的质数。
很显然，1/4 、1/8、1/20都是有限小数。1/3 、1/6、1/13是无限循环小数。
52、有限小数和循环小数，都可以转化为分数。
这些分数和整数，统称为有理数---要么长度有限、要么有规律的循环，好像很讲道理的样子。
有理数在英文中叫Rational number，词根是ratio（比例），正确的意思是可比数，也就是分数（整数可看做为分母是1的分数）。
53、2000多年前的毕达哥拉斯学派，认为任何数都可以写成两个整数的比，万物皆数。
比如哆啦咪发嗦啦西只要调整琴弦长度的整数比就可以。
后来该学派有一位学生，发现边长为1正方形，对角线的长度（√2）好像无法写成分数。
为了解决这个体系（所有的数字都可以写成整数的比）的漏洞，学派想出了一个办法：以泄密之罪把这个学生扔到湖里淹死了。
严谨。
54、数学体系的严谨还有一个案例：1既不是质数，也不是合数。
根据定义，1应该是质数。
但是数学有一条定理：
任何合数，都可以分解为唯一的一组质数相乘。比如30=2x3x5; 60=2x2x3x5 。
如果1是质数，那么30既可以写成2x3x5，也可以写成1X2x3x5 .
为了保证定理的严密，所以把1从质数的队伍了开除了。
简单、粗暴；高端的道理，就是这么朴实无华。
质数、合数，正数、负数、奇数、偶数、有理数、无理数？
搞出那么多名头干什么？为了方便归类，纲举目张。
鸡和燕子，都属于鸟。（没错，鸡是飞行能力退化的鸟类）
鸡和猫，都属于动物。
鸡和鸭，都属于家禽。
鸡和油，都属于食材。---炸鸡腿，美美美。
数字2，一会儿质数，一会儿偶数，一会儿是正数，一会儿有理数。
相当于鸡又是鸟类，又是动物，又是家禽，又是食材。
2是偶数，是从能不能“对折” “平衡”的角度来分类的；
2是质数，是从能不能拆解为“除了自身之外的其他数字相乘”来分类的；
2是有理数，是从能不能写成整数比值的角度去分类的。
2是正数，这样说法是不对的。
严格的应该是说“正2”，代表在正方向上，相对基准，偏离2个单位。
正负数，是“数字+方向”； 未来我们还会接触到“向量”。
下图中，为了使滑块不从斜面上滑下去，需要有一个拉力，和一个斜面的支撑力；
这些力，有大小，有方向，并且不单单是正负两个方向，还有角度。
55、根号2是无理数（无限不循环小数）的证明非常优美。
首先提出归谬假设：√2是有理数。 如果这个假设成立，那么√2就能够表示为两个整数比的形式：√2 = a/b，a/b是最简分数，其中a和b一定有一个奇数（两个偶数一定可以继续化简）。 将两边平方，a²=2b² 。a²一定是偶数，a一定是偶数。（奇数的平方不可能是偶数） a是偶数，a可以表示为2m； 那么4m²=2b²， b²=2m² ；说明b也是偶数 和假设推出的结论（a，b一定至少有一个奇数）矛盾。 所以假设是谬论，√2不是有理数。
56、归纳法、归谬法是数学学习的两大利器，比任何“妙招”“思想”都好用。毕竟科学就是归纳、推理、总结的过程，是吧。
下图是东京大学的招生试题，和√2是无理数的证明思路是一样的。
我们只要找到归谬法这一条路，不仅不需要看他的证法，并且还能找到比他更简单的方法。
这就是为什么我们主张用大白话把底层的道理讲清楚，不要去强行总结一些高大上的名词，让学生去背。
知道了归谬这种方法，又知道有理数可以分类为整数和分数，那么我们假设一个数字X是分数，然后得出了错误的结论。
那么就可以证明X是整数。 ---学生只要稍具一些类比的能力，就能顺利成章的自己得出结论。
下面一张手写稿，能够很好的说明一道中学的竞赛题，是如何用一些最简单的小学知识处理的：
题目是M可能的最小正整数值。
那我们先假设一种情况，可以计算出M=4 ，说明M可以取到4. （界定范围，此时心里已经安定了30%， 我们只要看看M能不能取1、2、3就好了）
我们假定M=1, 会得出一个结论：等式的左边除以4，余3 ；等式的右边除以4，余1 ； 这是不可能同时出现的。 所以M不可能等于1. 我们假设M=2, 我们利用倍数的关系，可以找到一组合适的a 和 b . 说明M可以等于2. （证明不可能，一定是严格的逻辑推导所有的情况都不可能；证明可能，我们只要找到一种情况就够了） 因为题目要找的最小正整数，我们证明了1不可能，2可能。那么结果就是2.
57、学会归纳总结，是一种有用的技能。
技能和技巧有什么区别？技能表现于一般性，技巧表现于特殊性。
比如说各种奇奇怪怪的速算口诀，一般就属于技巧。
我们可以用十进制计数法的拆数、交换律、结合律、分配率代替背口诀，就属于技能。
下面图片中桃江县四年级130班的邓同学，明显就中了技巧之毒。幼学之年，就开始研究茴香豆的茴有四种写法，实在令人同情。
19 x 11 ，其实更合理的拆解动作是19x(10+1) : 那就是10个19，加上1个19，等于190+19=209.
所谓的“头同尾合十”，只不过是乘法分配律的一种巧合：
83 x 87 = (80+3）x (80 +7) = 80 x80 +80x7 + 3 x 80+ 3x7
=80x80 +80x(3+7)+3x7 =80x(80+10) +3x7 =8x(8+1)x100+3x7
知道背后的原理，比背诵“头乘（头加1），放在前两位； 尾乘尾，放在后两位”的口诀更有意义。
了解一些是可以的。但花很大力气、用很多时间去学这些窍门，就中计了。
技巧的价值在于做一些特定的题、快速出答案；技能的价值在于分析问题、解决问题的能力。
为技巧而技巧，那叫凑巧。训练归纳总结能力的过程，就叫学习。
而把归纳总结的能力运用在解决问题的过程中，就叫研究。
学习的目的不是为了做题，是一点点学会研究一个事情，不然每个年级都可能是分水岭：
分数乘法是分水岭、数轴是分水岭，因数分解是分水岭，函数是分水岭……
其实分水岭只有一个：习惯背诵之后，到了背诵应付不了的抽象。
58、我们也可以就把“归纳、总结”理解成“抽象”的过程；数学就是一门抽象的学科。
59、我们看到十五的满月，知道它的圆的；我们看到初一的残月，知道它不是圆的。
圆不圆不是拿嘴说的，到底什么是圆？ 我们总结了：平面内满足一中同长，就是圆；不满足的就不是圆。
这就是归纳、总结、抽象的过程。
当我们说圆的时候，是指在一种平面上一中同长的形状，而不是任何具体事物，比如天幕上的月亮、太阳；书页上的镜子、盘子。
当我们知道圆的定义的时候，就可以很科学的说出，为什么这个盘子是圆的。或者说你感觉不圆，我可以证明它是圆。
这是小学和初中的一个重要区别：小学你在试卷上看到一个方格，那它就是正方形；
初中几何你看到一个方格，是不是正方形？未必。你得看标注，是不是四个角都是直角，四边是不是相等，才能确定它是正方形。
小学数学，大多是描述性质的语言，让大家有一个初步的意识。
等到了初中高中，就会逐步进入严格的定义、逻辑；这是很多同学小学成绩具有欺骗性的原因之一。