以下是《直线、射线、线段》一课的教学片段：

师：同学们，你们在小学阶段已经学过直线、射线与线段，现在回忆一下，再相互讨论一下他们的区别与联系。

(学生们议论纷纷，3分钟后，老师让同学们安静下来。)

(接着，老师从头上拔下一根头发，同学们很惊奇的看着老师。)

师：大家刚才讨论了直线、射线与线段的区别与联系，这个头发是直线、射线、线段中的哪一种?现在小组讨论然后组员代表分别说说。

(2分钟后，各组员代表举起了手。)

生1:我们小组经过讨论认为该头发是一条射线，其中毛囊是射线的端点，发梢可以无限延伸。

生2:我们小组认为该头发是一条线段，既然头发已经拔下来了，那它也不长了。

师：挺好的，从头发拔下来不再长了这一角度看，是一条线段，从头发还可以再长这个角度看，又是一条射线，还有其他意见吗?

生3:我们小组经过讨论认为老师的问题有错误，该头发既不是线段、射线也不是直线，而是曲线，因为老师没有把该头发绷紧。

(学生们大笑起来，老师也微笑着环顾同学们。)

师：真是后生可畏，老师们真为你们有这种质疑的精神而点赞，你们小组认真严谨的学习态度征服了我，俗话说：长江后浪推前浪。和大家一起探索数学的奥秘，老师也收获不少，真是谢谢大家!

根据以上材料，回答下列问题：

(1)对生3小组敢于质疑和批评教师这种行为阐述你的看法；

(2)简述如何做好小学与初中衔接内容的教学；

(3)在数学课堂教学中，如何更好地实施分组讨论教学。

【案例】教学课题：人民教育出版社数学九年级上册《第二十四章圆》

24.2点和圆、直线和圆的位置关系：过圆外一点作圆的两条切线，切线长有什么关系?

教学过程：

(1)发现结论：在透明纸上画出如图①所示的图形：设PA,PB是⊙0的两条切线，A、B分别是切点；

让学生操作，沿直线OP将图形对折，启发学生思考或组织学生交流，最终学生可以得出结论：PA=PB,∠APO=∠BPO.

(2)证明结论：如图②,连接OA、OB,

∵PA、PB是○0的两条切线

∴∠PAO=∠PBO=90°.

∴△POA与△POB均为直角三角形。

在Rt△POA与Rt△POB中，OP=OP,OA=OB.

∴Rt△POA≌Rt△POB。

∴PA=PB,∠APO=∠BPO

根据这个教学案例，请你回答下列问题：

(1)以上教学过程中，用到了哪两种推理方法?

(2)结合案例，简要阐述这两种推理方法的不同点及相互联系。

(3)写出你对上述教学过程的反思。

同课异构：《探究判定三角形全等的“边边边”判定方法》

教学实录1:

教师让每一个学生都在纸上画一个三条边分别为5cm、6cm和8cm的三角形，然后把它剪下来，并和座位相邻的同学比较。

师：同学们，你们发现这些三角形之间有怎样的关系吗?

学生集体回答：全等!

师：通过这个事实，你认为我们可以得到一个怎样的结论?也就是说只要满足怎样的条件，两个三角形就全等了呢?

通过个别学生的回答，教师初步总结出：三条边对应相等的两个三角形全等。

师：我们只是通过一个给出边长的三角形就这样得到的结论；其他三角形也是如此吗?

生：我们可以按照三角形的分类，通过各类三角形都探究出此结论。

师生活动：师生分别作图，学生剪图，比较图，最终得到三角形全等的“边边边”判定方法。

教学实录2:

师：同学们，我们曾经做过这样的实验：将三根木条订成一个三角形木架，这个三角形木架，大小就不变了，你能解释其中的道理吗?

学生自由讨论起来。

师：同学们，我们可不可以利用所学数学知识手动实践起来?

生：我可以任意画一个△ABC,利用尺规作图，画一个△AB'C,使

A'B'=AB,B'C'=BC,C A=CA,把画好的△AB'C'剪下来，与△ABC放在一起进行比较

师生活动：师生共同尺规作图，学生剪图，比较图，发现两个三角形形状，大小完全相同。

师：作图、比较图的结果反映了什么规律?你能用文字语言和符号语言概括吗?

师生活动：学生回答问题，并相互补充，老师板书，得到三角形全等的“边边边”判断方法。

根据以上教学案例，请你回答下列问题

(1)以上两个案例值得借鉴的方面有哪些?

(2)结合案例，有效运用动手实践进行教学须注意的要点有哪些?

案例一：“一元一次方程的解法”教学片段

师：解0.5x=1时，先两边除以0.5,把左边变为1x,即x,这时右边变为1÷0.5=1×2=2,所以x=2。

生1:两边同时乘以2,马上得到x=2,更简单。

师：结果对的但书上步骤是两边除以0.5(一次项系数),要按书上格式和要求来。

师：再看一个方程：如何解?(思考……)一个学生举手。

生2:老师，不用计算就看出x=1。

师：光看不行，要按步骤进行计算。接着教师让另一名学生到黑板按书上要求完成了此题，并表扬了这名学生。

案例二：探究“一元二次方程的求根公式”片段

师：对于一般的一元二次方程ax²+bx+c=0(a≠0),该如何求解，解的个数情况又是怎样?(学生想到了解方程的所有方法如开平方法、配方法等)

师：我们要研究这样一般的方程的求解方法和解的个数无从下手，该怎么办?

生：举具体例子。

师：非常好!请同桌互相出一个大元二次方程，写出求解过程，并判断根的个数然后小组交流。

探究解方程的通用方法，挑选有代表的予以展示。师生列出方程解的个数情况以及配方法通用性，并请大家试着用配方法解一元二次方程ax²+bx+c=0(a≠0)

生：我利用配方法导出,然后该怎么办?(陷入困境)

师：(展示另一个学生的做法)是否正确?

生：不对，应该

师：很好!还有不同的做法吗?问题的关键在哪?

……(师生共同归纳出一元二次方程解的一般情况)

师：请大家快速写出有2个不等实数解，两个相等实数解和无实数解的一元二次方程。

根据以上实例，回答下列问题：

(1)分析案例一中教师处理生1、生2的回答哪些地方存在不足，面对这种情况你会如何处理?

(2)分析案例二，你认为接下来的重点是什么?难点是什么?这个环节体现了什么数学思想?

(3)结合新课程标准，阐述案例二中教师是如何体现出培养学生的数学创新意识。

【案例】“同底数幂的乘法”教学片段

师：请同学们运用乘方的意义计算下列各题

(1)10³×10⁴=()×()==10()

(2)a³×a⁴=()×()==a()

(3)10"×10"=()×()==10()

教师引导学生共同完成第(1)(2)小题如下：

(1)10³×10⁴=(10×10×10)×(10×10×10×10)=10×10×10×10×10×10×10=10⁷

(2)a³×a⁴=

观察前面两个小题的运算过程，你发现了什么规律吗?请说出它们的共同特征。

生1:根据乘法的意义，第(1)题是3个10的积乘以4个10的积，结果是7个10的积就等于10的7次方；第(2)题是3个a的积乘以4个a的积，结果是7个a的积就等于a的7次方。

师：那第(3)题又如何填空呢?

生2:m个10的积乘以n个10的积就等于(m+n)个10的积，也就等于10的(m+n)次方。

师：通过对以上过程的观察，你们发现这三个题目的运算有什么规律吗?

生3:第(1)题每个式子都是乘法运算；第(2)题每个式子都有幂的运算在里面，第(3)题乘号两边的乘法底数都一样。它们中间都是同底数幂的乘法，底数不变，指数相加。

师：你能用一个式子表达这个规律吗?

生4:

师：回顾法则的探究过程，我们经历了怎样的过程?生5:从特殊到一般的过程。

师：大家读一读法则，并思考运用法则的条件是什么?生6:必须是同底数的幂。

师：如果运算过程中幂的底数不相同，应该怎么办?生7:化为同底。

根据以上这个教学案例，请你回答下列问题：

(1)案例中三个计算小题，有何教学设计意图?

(2)结合案例，简要阐述你对算法和算理的理解?

(3)结合《义务教育数学课程标准(2022版)》简要阐述你对培养与发展运算能力的理解?

案例：“提公因式法”的教学片段

(一)情境导入

计算：

教师活动：

1.教师提出问题：“你是用什么方法计算的?”

学生回答：依据乘法分配律的逆运算.

2.引入本节新课

师：如果老师将上面运算中的用字母a来替换，你发现了什么?

生：上面的式子变成了一个多项式，多项式的每一项都有相同的因式a.我们称之为公因数，那么多项式中的相同因式a我们能不能给它

师：上面的式中下个定义呢?能不能类比刚才的计算方法，对刚才的多项式进行因式分解呢?

生：字母a可以定义为公因式.

引入本节课的课题：提公因式法

(二)探究新知

活动内容1:探究公因式的概念。

多项式ab+ac中，各项有相同的因式吗?多项式x²+4x呢?多项式mb²+nb-b呢?

学生回答问题

师：根据以上观察能不能归纳总结出公因式的定义?

结论：多项式中各项都含有相同的因式，这个因式叫作这个多项式各项的公因式.

活动内容2:如何找到公因式(小组合作探究)

1.多项式2x²y+6x³y²中各项的公因式是什么?

2.谁能总结一下找公因式的方法?

生：因为多项式2x²y+6x³y²可以改写成2x²y.1+2x²y·3xy,各项中都含有相同的

因式2x²y,因此多项式2x²y+6x³y²中各项的公因式是2x²y.

教师引导学生归纳总结，并得到找公因式的“三定”原则：先定系数，再定字母，最后定指数.

活动内容3:探讨提公因式法的概念.

将以下多项式写成几个因式的乘积的形式.

1.ab+ac

3.mb²+nb-b

学生采用类比学习法，将以上多项式写成几个因式的乘积的形式.

提公因式的概念：……

(三)例题讲解

根据以上教学案例，请你回答下列问题：

(1)写出本案例中情境导入和探究新知环节的设计意图。

(2)本案例中主要体现了什么数学思想?它在教学中的作用是什么?

(3)结合新课程标准，谈谈教师如何有效指导学生开展“自主探索、合作交流”。

(教师带领学生一起复习直线、射线与线段之间的相同点、不同点及其联系，学生总结直线、射线、线段的共同点、不同点及其联系，在这个基础上，教师出示平原上两条铁轨向前方无限延伸)

师：同学们，我们来看一看这个图，两条铁轨的位置关系如何?

生：两条铁轨向前方延伸，但是不相交。

师：说得好，两条铁轨无论怎么延长，都不会相交。我们就把同一平面内不相交的两条直线叫做平行线，这两条直线的位置关系叫做互相平行，其中，每一条直线都叫做另一条直线的平行线。

根据以上材料，回答下列问题：

(1)简单谈谈你对上述案例的看法。

(2)分析案例，你认为本节课的教学目标是什么?案例中体现了什么核心素养?

(3)在教学实践中，如何发展学生的空间观念?

找规律

师：同学们你听过儿歌《数青蛙》吗?还会读吗?一起来快乐地读吧!(播放微视频)一只青蛙四条腿，两个眼睛一张嘴；两只青蛙八条腿，四只眼睛两张嘴；..

生：齐声读儿歌《数青蛙》。

师：如果一直读下去是不是没完没了了?这首儿歌能读完吗?

生：儿歌可以无限往下读。

师：如果用n代替具体的数会怎样?

生：n只青蛙，n张嘴，2n只眼睛，4n条腿。

活动内容一：搭小正方形

师：请同学们认真看题，利用图形解答下列问题(利用电脑或投影仪)

(1)按图的方式，搭2个正方形需要   根火柴棒，搭3个正方形需要    根火柴棒。

(2)搭10个这样的正方形需要多少根火柴棒?

(3)搭100个这样的正方形需要多少根火柴棒?你是怎样得到的?

生：以小组为单位，拿出准备好的火柴棒，进行搭正方形活动

(待学生解答完以上问题后，出示引申题)

师：(4)用x表示所搭正方形的个数，搭x个这样的正方形需要多少根火柴棒?与同伴进行交流。

(鼓励学生拿出准备好的火柴棒进行探索，并用自己的语言表达各自的方法。留给学生充分的时间，让学生经历操作与思考，表达与交流等过程，待小组讨论成熟，组织各小组进行成果展示。)

生1:以第一个搭的正方形为基础，然后每增加三根火柴棒，便多一个正方形，即4+3(x-1)

生2:以第一根火柴为基础，然后每增加三根火柴棒，便多一个正方形，即1+3x

生3:把所搭正方形的火柴棒分三部分考虑(上面一排、下面一排和竖直方向一排),即x+(x+1)+x

生4:用火柴棒拼接出完整的正方形排放在一起，然后将第二个正方形起的每一个正方形都删除掉一根火柴棒，即4x-(x-1)

师：课件演示四种不同的计算方法，引导归纳从特殊到一般的探索规律的方法，并得出

“字母可以用来表示规律”的小结论。

根据以上材料，请回答下列问题：

(1)结合新课程标准，请你评析上述教学片段。

(2)结合案例，谈谈抽象能力的主要表现。

(3)结合教学实践，谈谈如何培养学生的抽象能力?

下列是《等腰三角形的性质》的教学片段，请你先阅读，再回答下列问题:

师:请同学们拿出手中的等腰三角形纸片,看一看、量一量、折一折,看看你能发现等腰三角形的哪些特征?(学生分为三个小组，分别准备有锐角、直角、钝角等腰三角形纸片，经过小组内观察、折纸、测量等活动并交流讨论后，学生开始表达观点，)

生1:两腰相等!

生 2:是一个轴对称图形!

生3:底角相等!

师:如何验证等腰三角形是轴对称图形以及它的两个底角相等呢?

生 4:再将等腰三角形纸片对折的时候，发现折痕两边的纸片完全重合了，两个底角也是完全重合的，所以等腰三角形是轴对称图形，它的两个底角相等

生5:底角也可以用量角器测量，从而知道它们是相等的

师:你们说得都非常好，测量或操作是我们发现一些命题常用的方法，但并不能作为证明命题成立的方法。请同学们继续思考，如何证明出这个结论呢?

(学生先独立思考，教师再巡视并启发学生从折纸的过程寻找辅助线的做法，一段时间后，学生举手回答)

生6:作等腰三角形顶角的平分线，通过三角形全等进行证明

生7:也可以作等腰三角形底边上的中线，通过三角形全等进行证明

生8:还可以作等腰三角形底边上的高线，通过三角形全等进行证明，

师:上述三位同学说法不一，但都给了我们一些有益的启发，大家能根据他们的叙述，自己试着证明吗?还有其他的方法吗?这些证明方法的共性是什么?请同学们拿出练习本进行书写

学生独立完成后，相互交流讨论)

(学生书写证明过程，教师巡视在小组合作中，学生们证明了等腰三角形两底角相等和“三线合一”的性质

【后续教学环节】在教师的引导下，但由于不具备“HL”的知识基础，尚不能通过作等腰三角形底边上的高线证明结论，此时，教师交代学生将在今后学习直角三角形知识的时候再对这一问题进行探究。

根据以上材料，回答下列问题:

1、请你谈谈案例中值得借鉴的地方有哪些。

3、结合教学实践，谈谈如何培养学生的推理能力

2、结合案例，谈谈推理能力的主要表现。

播放多媒体，大屏幕展示:

小明在一条东西方向的马路上不断走动)师:小明从某一点开始，假设先向东走了2米，紧接着又向东走了3米，问两次运动后的位置与原出发点的关系如何?

生:向东5米。

师:对!我们若把东西方向的马路看做一条数轴(边说边画图)，设起点为0点，规定向东为正方向，则向西为负方向。向东走2米就可以记作(+2)，向东走3米可以记作(+3)，那么，两次运动后就达到(+5)处，则有:(+2)+(+3)=+5。

师:下面同学们体会一下，看是否能理解。

师:(学生思考)若这道题目改为:小明从某一点开始，在东西方向的路上，先走了2米，紧接着又走了3米，问两次运动后的位置与原出发点的关系如何?同学们先独立思考，然后相互交流。学生根据不同的步行方式，得到如下算式(2)+(-3)-=-1，(-2)+(-3)=-5;(-2)+(+3)-+1;教师有举出(+5)+(-5)=0:(+5)+0=+5;(-5)+0=-5 等例子，在共同分析的基础上，得到有理数的加法法则。

(过程此处略)

根据以上材料，请回答以下问题:

1、案例中教师创设的情境存在什么不足?

2、结合案例，谈谈教师教学中应如何创设二个好的情境?

3、简述案例中涉及的数学思想，谈谈教师教学实践中，如何有效开展数学思想教学?

在进行平行线的性质与判定的教学时，教师是这样进行的:

师:如果知道两条直线平行，那么可以得到哪些结论?

生:可以得到同位角相等、内错角相等、同旁内角互补。

师:你是怎样猜到的?

(学生相互看看，没有举手的)

师:你是如何验证的?

生:利用量角器测量。

师:请同学们都通过测量验证吧。

教师请一名学生到黑板将他测量的结果展示，但该生只测量了一个角，教师对他的做法进行了否定。教师又请一名学生到黑板展示他测量的结果。

教师利用几何画板演示两条直线平行，所截的同位角的度数，在截线与被截直线的角度发生变化时，所得到的一对同位角(内错角)的度数总是相等的、同旁内角的度数总是互补的。

师生共同归纳结论:两直线平行，同位角相等。两直线平行，内错角相等。两直线平行，同旁内角互补。

教师给出三个结论的几何表达式。

师生共同分析这三个结论先知道什么、后知道什么。

师:如果我们把第一个结论作为公理，你能推导出其余两个结论吗?

学生口答，教师板书。

根据以上材料，请回答以下问题:

1、案例中教师发展学生哪些核心素养，它有什么特点?

2、请你谈谈如何把推理能力的培养有机融合在数学教学过程中?

3、结合本案例，给课堂提出教学改进建议

案例①:上课伊始，教师首先播放神舟六号安全返回的画面，并提出问题:在茫茫草原中，科学家是怎样找到返回舱的?它的位置如何确定?从而引出课题:确定位置。

案例②:教师在教授指数内容时，为了让学生对 224大数的了解，教师引入教学情境:“某人听到一则谣言后1小时内传给2人,此2人在1小时内每人又分别传给2人……如此下去,一昼夜能传遍一个千万人口的城市吗?”

案例③:教师在教授指数相关内容时，引入了“登月天梯”:“我班有 43 名同学，每个同学都有一张同规格的纸，如果学号是1的同学将纸对折1次，学号是2的同学将纸对折2次，以此类推，学号是43的同学将纸对折43次，将所有折好的纸叠加，“长梯”，我们能否用它登上月球?”

根据以上材料，请回答下列问题:

1. 你认为数学教学中，创设情境的目的和作用是什么?

2. 案例中，教师让学生从小到大推理问题结果，请你谈谈推理能力有哪些具体表现。

3. 在教育教学过程中，如何培养学生的推理能力?

数学教材(七上)第三章复习题中有这样一道题:

请你任意想一个数，把这个数乘2后加8，然后除以 4,再减去你所想的那个数的一半，我就可以知道你计算的得数是2，你相信吗?请与你的同学交流。

在课堂上，教师分两步呈现这道题:

老师:第一步，请你任意想一个数，把这个数乘2后加8，然后除以4，再减去你所想的那个数的一半，结果是多少?

学生1:2

学生 2:2

学生很快说出了答案(几位同学答案不是2的，经再次检查后，也得出正确的结论)

老师:请同学再换一个数，结果是多少?这一次所有同学的结果为2.这时有许多同学情不自禁地说“不论想的是什么数，结果均是2。”

老师:教师适时地进行第二步，你能说明为什么吗?

学生 3:这个数用一个字母a表示，那么把它乘2后加8就是2a+8，然后除以4就是a/2+2

老师:很好，我们的学生都完成得很好。

正在我和同学们沉浸在经过探索获得成功的喜悦之中时，冷不了，一个同学大声地喊“不对，你们说得不对，这个数是π就不行了!”瞬间的寂静后，教室里炸开了锅:

学生3:“任何数都可以，π当然行了。

学生4:"是一个无限不循环小数，无限不循环的部分怎么没了呢?

同学们展开了热烈的讨论，有为数不少原来很坚定认为结果是2的尚学也开始怀疑。

根据以上实例，回答下列问题:

1、请你根据新课程标准，结合案例，评价该教师的教学行为;

2、结合课程标准，谈谈如何有效实施教学评价?

3、教师如何成为学生数学学习的组织者、引导者与合作者?