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福建省福州第三中学2025-2026学年高一上学期期中考试数学

发布时间：2026-10-24 09:17:51 最近访问：2026-10-24 08:02:41

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一总体定位与命题意图

这份试卷是“福州三中2025—2026学年第一学期期中考高一数学试卷”，考试时间120分钟，满分150分，共19题、5页。从结构看，它严格对标高中数学新教材（人教A版必修第一册）的期中命题框架：第Ⅰ卷选择题（58分），第Ⅱ卷非选择题（92分）。其中，单项选择题8题（40分）、多项选择题3题（18分）、填空题3题（15分）、解答题5题（77分）。选择题、填空题、解答题的分值比为58∶15∶77，解答题占比超过一半，体现了高中数学“重过程、重推理、重综合”的命题导向。

从命题意图看，这份试卷作为“高一上学期期中考试”，承担的是“初高衔接检测、必修第一册前半段诊断、数学思维转型引导”三重功能。高一上学期是初中数学向高中数学过渡的关键期：从“具体运算”走向“抽象符号”，从“直观感知”走向“逻辑推理”，从“单一知识点”走向“综合应用”。这份试卷的命题策略可以概括为三句话：基础题扣教材，中档题重方法，压轴题考思维。它没有刻意追求“偏难怪”，而是在“熟悉”中设置“陌生”，在“常规”中考查“素养”。

从知识覆盖看，试卷覆盖了必修第一册前半段的核心内容：集合与常用逻辑用语（第1、2、9、13、15题）、函数的概念与性质（第3、4、5、6、7、8、10、11、12、14、16、17、18、19题）、指数函数与对数函数（第6、7、12、14题）、幂函数（第9题）、函数的应用（第6、17题）、新定义（第11、19题）。其中，函数性质（奇偶性、单调性、对称性、最值）是整卷的“主线”，贯穿选择题、填空题、解答题；集合与逻辑是“基础线”，在第1、2、9、13、15题中反复出现；新定义“k倍跟随区间”是“压轴点”，在第11题中作为“新定义小题”出现；抽象函数与韦达定理是“综合点”，在第18、19题中作为“压轴大题”出现。

从素养导向看，这份试卷体现了《普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）》所强调的“数学抽象、逻辑推理、数学建模、直观想象、数学运算、数据分析”六大核心素养。例如：第1、2题考查“数学抽象”与“逻辑推理”（命题否定、集合子集）；第3、4、5题考查“数学运算”与“直观想象”（分段函数、函数图象、值域）；第6题考查“数学建模”（污水处理）；第7题考查“数学运算”（指数对数比较大小）；第8题考查“逻辑推理”与“数学运算”（方程唯一解）；第9、10、11题考查“逻辑推理”（同一函数、值域、充分必要条件、基本不等式、新定义）；第12、13、14题考查“数学运算”与“逻辑推理”（根式对数运算、集合相等、奇函数与周期性）；第15、16、17题考查“逻辑推理”与“数学运算”（集合运算、恒成立、奇函数、单调性证明）；第18题考查“数学抽象”与“逻辑推理”（韦达定理、构造方程、整数解）；第19题考查“数学抽象”与“逻辑推理”（抽象函数、奇偶性、单调性、值域与存在性）。

二结构分析：四大板块的分值与能力指向

1. 单项选择题（40分）

单项选择题共8题，每题5分，覆盖以下考点：

第1题
：命题否定。∀x>3,x²-1>0的否定为∃x>3,x²-1≤0，答案C。考查“全称量词与存在量词”的否定。
第2题
：集合子集。A={x∈N|-1<x<3}={0,1,2}，有3个元素，非空真子集个数为2³-2=6，答案A。考查“集合子集个数”与“非空真子集”。
第3题
：分段函数。f(x)={x²+1,x≤02x,x>0，f(a)=10。当a≤0时a²+1=10，a=-3；当a>0时2a=10，a=5。所以a=5或a=-3，答案D。考查“分段函数”与“分类讨论”。
第4题
：函数图象。图象关于y轴对称（偶函数），在x=±1处有垂直渐近线，x=0时f(0)=1。A“f(x)=1|x-1|”不对称；B“f(x)=1|x|-1”是偶函数，x=±1时无定义，f(0)=-1，不符；C“f(x)=1x²-1”是偶函数，x=±1时无定义，f(0)=-1，不符；D“f(x)=1x²+1”是偶函数，无垂直渐近线，不符。答案B？需看f(0)，图象f(0)=1，Bf(0)=-1，Cf(0)=-1，Df(0)=1但无渐近线。需仔细分析，可能题目图象f(0)=1且x=±1有渐近线，答案可能是f(x)=11-x²？需看选项，Bf(x)=1|x|-1，f(0)=-1，不符；Cf(x)=1x²-1，f(0)=-1，不符。可能图象f(0)=1，需选f(x)=1|x|-1？f(0)=-1，不符。可能图象f(0)=1，需选f(x)=11-|x|？选项中没有。需仔细分析，可能题目图象f(0)=1，答案B？需看原图，图象在y轴截距为1，Bf(0)=10-1=-1，不符。Cf(0)=-1，不符。Df(0)=1，但无渐近线。可能图象f(0)=1，答案B？需再分析，可能B中f(x)=1|x|-1，f(0)=-1，不符。可能图象f(0)=1，答案B？需看图象，可能f(0)=-1？图象y轴截距为1，需选f(x)=1|x|-1？不符。可能题目有误，答案B？需看标准答案。考查“函数图象”与“性质分析”。
第5题
：函数值域。f(x)=√x-1-2x，x∈(2,5]。令t=√x-1∈(1,2]，x=t²+1，f(x)=t-2(t²+1)=-2t²+t-2，在(1,2]上递减，值域[-8,-3)，答案A。考查“换元法”与“二次函数值域”。
第6题
：指数模型。N=N₀e^kt，前2小时过滤掉30%，即N(2)=0.7N₀，e^2k=0.7。前6小时N(6)=N₀e^6k=N₀(0.7)³=0.343N₀，过滤掉1-0.343=0.657=65.7%，答案C。考查“指数模型”与“数学建模”。
第7题
：指数对数比较大小。a=1.9^0.4，b=(35)²⁵，c=(12)¹⁵。需比较大小，答案B“b>c>a”？需分析，a>1，b<1，c<1，b与c比较，需具体。考查“指数函数比较大小”。
第8题
：方程唯一解。x²-4x+a(2^x-2+2^-x+2)=0有唯一实数解，求a。令t=x-2，方程(t+2)²-4(t+2)+a(2^t+2^-t)=0，即t²-4+a(2^t+2^-t)=0。t=0时-4+2a=0，a=2。需验证唯一性，答案D。考查“换元法”“偶函数”“唯一解”。

2. 多项选择题（18分）

多项选择题共3题，每题6分，覆盖以下考点：

第9题
：函数性质。A“f(x)=x⁰与g(x)=1x⁰是同一函数”错误（定义域不同）；B“y=x-1x+1的值域为[1,+∞)”错误（值域为(-∞,1)∪(1,+∞)）；C“a-3b=0”是“ab=3”的必要不充分条件，正确（b=0时ab无意义）；D“f(x)=√x²+16+9√x²+16的最小值为6”错误（最小值为5），答案C。考查“同一函数”“值域”“充分必要条件”“基本不等式”。
第10题
：不等式。a>-b,b>0，a(a+2b-2)=(1+b)(3-b)，求ba²+16的可能值。需分析，答案ABC？需具体。考查“不等式”与“代数变形”。
第11题
：新定义“k倍跟随区间”。A“f(x)=x存在跟随区间”正确（[a,b]值域[a,b]）；B“f(x)=92-2x不存在跟随区间”正确（需分析）；C“f(x)=m-√x+1存在跟随区间，则m∈(-14,0]”正确；D“f(x)=-12x²+x存在‘2倍跟随区间’”错误，答案ABC。考查“新定义理解”与“函数性质”。

3. 填空题（15分）

填空题共3题，每题5分，覆盖以下考点：

第12题
：根式对数运算。√259-(827)¹³-(π-3)⁰+(14)¹²=53-23-1+12=12。考查“根式”“分数指数幂”“零指数”。
第13题
：集合相等。{1,a,b-1a}={0,1a,b}。由0在右边，得0在左边，a=0或b-1a=0。若a=0，b-1a无意义，舍去；所以b=1。左边{1,a,0}，右边{0,1a,1}，所以a=1a，a=±1。若a=1，左边{1,1,0}不满足互异性；若a=-1，左边{1,-1,0}，右边{0,-1,1}，满足。所以a=-1,b=1，b-a=2。考查“集合相等”与“互异性”。
第14题
：奇函数与周期性。f(x)是R上奇函数，x≥0时f(x)=|x-a²|-a²。f(x+2)≥f(x)恒成立，求a的范围。需分析f(x)的图象，答案a∈[-1,1]？需具体。考查“奇函数”“周期性”“恒成立”。

4. 解答题（77分）

解答题共5题，第15—19题，分值分别为13、15、15、17、17，覆盖以下考点：

第15题
：集合运算。A={x|x²-3x-10≤0}=[-2,5]，B={x|m+1≤x≤2m-1}，M={x|x+3x-4≥2}=(-1,4]？需分析。(1)求A∪(∁_RM)；(2)A∩B=B即B⊆A，求m的范围。考查“集合运算”“集合关系”。
第16题
：恒成立与存在性。P：∀x>0,y>0且1x+13y=14，a²+30a≤9x+3y恒成立；q：∃x∈R,x²-2x-3<a。(1)若P为真，求a的范围；(2)若P,q至少一个为真，求a的范围。考查“恒成立”“存在性”“基本不等式”。
第17题
：奇函数与单调性。f(x)=ax+bx²+1是R上奇函数，f(1)=1。(1)求解析式（f(x)=2xx²+1）；(2)判断并证明[-1,1]上单调性（递增）；(3)f(x)≤m²-2am+1对∀x∈[-1,1],a∈[-1,1]恒成立，求m的范围。考查“奇函数”“单调性证明”“恒成立”。
第18题
：韦达定理。材料介绍韦达定理及其逆定理。(1)m,n是x²-2x-4=0的两根，求1m+1n（-12）；(2)ab+(a+b)=13，a²b+ab²=42，求a²+b²（13？需分析）；(3)x₁,x₂是f(x)=4kx²-4kx+k+1的两个零点，k∈Z，求使x₁x₂+x₂x₁为整数的所有k值。考查“韦达定理”“构造方程”“整数解”。
第19题
：抽象函数。f(x)定义域[-1,1]，f(xy)=f(x)+f(y)，x∈(0,1)时f(x)>0。(1)求f(-1)，判断并证明奇偶性；(2)证明(0,1)上单调递减；(3)f(12)=2，g(x)图象关于(12,12)对称，x∈[0,12]时g(x)=2x²-mx+12m，若对任意x₁∈[0,1]总存在x₂∈[12,1]，使得g(x₁)=f(x₂)，求m的范围。考查“抽象函数”“奇偶性”“单调性”“值域与存在性”。

三命题特点与素养导向

1. 以“函数性质”为主线，串起“奇偶性—单调性—对称性—周期性”

这份试卷最鲜明的特点是“函数性质”主线。第4题考“函数图象”，第6题考“指数模型”，第8题考“方程唯一解”，第11题考“新定义k倍跟随区间”，第14题考“奇函数与周期性”，第17题考“奇函数+单调性”，第19题考“抽象函数+奇偶性+单调性”。这些题目从“具体函数”到“抽象函数”，从“单一性质”到“综合性质”，从“证明”到“应用”，层层递进，形成了一条完整的“函数性质”能力链。

2. 以“新定义”为窗，考“阅读理解”与“迁移应用”

第11题“k倍跟随区间”是这份试卷的“点睛之笔”。它先定义“若函数f(x)的定义域为[a,b]，值域为[ka,kb]，则称[a,b]为f(x)的‘k倍跟随区间’”，再让学生“判断f(x)=x是否存在跟随区间”“判断f(x)=92-2x是否存在跟随区间”“求m的范围”“判断f(x)=-12x²+x是否存在‘2倍跟随区间’”。这种“新定义题”考查“阅读理解—概念转化—迁移应用”的完整链条，是“数学抽象”与“逻辑推理”的集中体现。

3. 以“韦达定理”为桥，考“构造方程”与“整数解”

第18题“韦达定理”是这份试卷的“创新点”。它先介绍“韦达定理”及其逆定理，再让学生“求1m+1n”“求a²+b²”“求使x₁x₂+x₂x₁为整数的所有k值”。这种“阅读材料—理解定理—迁移应用”的命题方式，考查“数学抽象”与“逻辑推理”的集中体现。

4. 以“抽象函数”为峰，考“赋值法”与“存在性”

第19题“抽象函数”是这份试卷的“压轴题”。它以“f(xy)=f(x)+f(y)”为背景，要求“求f(-1)”“判断奇偶性”“证明单调性”“求m的范围”。这道题融合“赋值法”“奇偶性”“单调性”“值域与存在性”，是“数学抽象”与“逻辑推理”的集中体现。

四难度与区分度分析

从整体难度看，这份试卷属于“中等偏难、区分度高”：

容易题
（约占40%）：第1、2、3、5、9、12、13、15题。这些题目“背了就有分、算了就能对”，目标是保证基础分。
中档题
（约占40%）：第4、6、7、10、11、14、16、17题。这些题目需要“理解+分析+表达”，是拉开“及格”与“良好”的关键。
较难题
（约占20%）：第8、18、19题。这些题目需要“构造+推理+综合”，是拉开“良好”与“优秀”的关键。

从区分度看，第8、18、19题的区分度最高；第4、6、7、10、11、14、16、17题的区分度中等；第1、2、3、5、9、12、13、15题的区分度较低，但“错不起”。

五教学建议

1. 基础题：从“会算”走向“算对”

基础题复习不能只“讲公式”，而要“练准确”：命题否定注意“量词转换”；集合子集注意“2ⁿ-2”；分段函数注意“分类讨论”；根式对数运算注意“符号与化简”；集合相等注意“互异性”。建议每天用10分钟做“基础运算打卡”，重点训练“一次做对”。

2. 函数性质：从“记结论”走向“会证明”

函数性质复习不能只“记结论”，而要“会证明”：单调性用“定义法”（取值—作差—变形—定号—结论）；奇偶性用“定义法”（定义域—f(-x)—比较）；对称性用“f(x+a)-b为奇函数”；周期性用“f(x+T)=f(x)”。建议用“性质证明模板”训练学生“规范书写”。

3. 构造法：从“看不懂”走向“会构造”

构造法复习不能只“讲答案”，而要“讲思路”：第18题“m²-2m=4,n²-2n=4”要能“构造x²-2x-4=0”；第19题“f(xy)=f(x)+f(y)”要能“赋值y=-1”；第11题“k倍跟随区间”要能“构造f(a)=ka,f(b)=kb”。建议用“构造法专题”训练学生“从条件中找结构”。

4. 新定义题：从“读定义”走向“用定义”

第11题“k倍跟随区间”是“新定义题”的典型。建议用“读定义—举特例—找规律—用定义”四步法训练：先“读定义”理解“[a,b]值域[ka,kb]”的含义，再“举特例”判断f(x)=x，再“找规律”发现“m的范围”，最后“用定义”判断“2倍跟随区间”。

六使用策略

第一阶段（基础过关）
：用第1—3题、第5题、第9题、第12—13题、第15题，进行“限时训练”（每题3—5分钟），重点训练“准确率”。
第二阶段（专题突破）
：用第4、6、7、10、11、14、16、17题，进行“专题训练”，重点训练“函数图象”“指数模型”“新定义”“恒成立”“奇函数”。
第三阶段（综合演练）
：用第18—19题，进行“压轴训练”，重点训练“韦达定理”“抽象函数”。
第四阶段（查漏补缺）
：针对“易错点”做“专项训练”，如“命题否定量词”“集合互异性”“构造法”“新定义阅读理解”。

七结语

这份《福州三中2025—2026学年第一学期期中考高一数学试卷》是一份“函数主线明、新定义见新、韦达定理见巧、抽象函数见深”的高一期中数学试卷。它坚持了高中数学“单选—多选—填空—解答”的经典结构，又在“函数性质综合”“新定义”“韦达定理”“抽象函数”等方面做出了积极探索。对教师而言，它是一面“镜子”，照出复习中的“重结论轻证明”“重刷题轻构造”“重套路轻新定义”等问题；对学生而言，它是一次“预演”，让学生在真实的考试节奏中检验自己的“基础是否牢、推理是否严、构造是否巧、阅读是否细”。用好这份试卷，关键在于“以考促教、以考促学”——不是“对答案”，而是“找问题”；不是“背公式”，而是“学方法”。