数分习题7

2.5 求参数的取值范围, 使得下列函数项级数在给定区间上一致收敛:

(1), .

解: 由 AM-GM 不等式,

故当  时,  收敛, 由 Weierstrass 判别法知原级数一致收敛.

下面考虑发散的情况.

固定 , 通项的阶为 , 因此逐点收敛只需考虑 . 但是一致收敛要求更强, 这里需要利用 Cauchy 准则.

若 , 取 , 则当  时, 存在与  无关的常数 , 使得

因此

不满足一致收敛的 Cauchy 准则, 所以原级数不一致收敛.

综上, 原级数一致收敛当且仅当 . 

(2), .

解: 设 .

先考虑 .

故  先增后减, 在  处取得最大值,

当  时,

 收敛.

故由 Weierstrass 判别法知原级数一致收敛.

还要说明当  时不一致收敛.

对于某个 , 取 , 则

因此不满足一致收敛的 Cauchy 准则.

当  时, ; 当  时, .

此时通项均不一致收敛于 , 所以级数不一致收敛.

综上, 原级数一致收敛当且仅当 . 

2.10 记集合  上全体有界实值函数构成的集合为 , 在  上定义距离为 , .

(1) 证明: 按上述方式定义的距离满足: (a) , 且  的充分必要条件是 ; (b) ; (c) .

证明:

(a) 显然 .

若 , 则 .

反之, 若 , 则对任意 , 有 , 故 .

(b) 显然 .

(c) 由于 , 取上确界即有

.

故满足距离的三个条件. 

(2) 证明: 函数列  在  上一致收敛于  的充分必要条件是 .

证明: 先证必要性.

若  在  上一致收敛于 , 则对任意 , 存在 , 使得当  时, 对任意 , 有

.

因此

,

故 .

再证充分性.

若 , 则对任意 , 存在 , 使得当  时,

.

于是对任意 , 均有 , 即  在  上一致收敛于 . 

2.11 设  在  上连续.

(1) 证明: 函数列  在  上一致收敛的充分必要条件是 .

证明: 先证必要性.

由于  连续, 对任意 , 有 .

而在  处, 有 .

若函数列一致收敛, 则极限函数连续, 因此必须有 .

再证充分性.

若 , 则  在  上逐点收敛于 .

要证 .

任取 , 由  在  处连续, 存在 , 使当  时, 有 .

在  上, 由于  连续, 故有界. 设 , 则

.

因此存在 , 使当  时, 对任意 , 均有 .

而当  时, 有

.

故  在  上一致收敛于 . 

(2) 设  在  上连续. 试给出函数列  在  上一致收敛的充分必要条件.

证明: 先考虑逐点极限.

当  时, , 由  连续, 有 ; 当  时, .

因此极限函数为

若函数列一致收敛, 则极限函数连续, 所以必须有 .

但是这一条件还不够, 因为  在  上的值域始终为 .

由一致收敛性, 有

注意右边与  无关, 因此只能有 , 即  对任意  成立.

反之, 若  在  上为常值函数, 则 , 显然一致收敛.

因此  在  上一致收敛的充分必要条件是  为常值函数. 

2.14 设  均为  上的单调函数, , 且级数  和  均绝对收敛. 证明:  在  上绝对一致收敛.

证明: 由单调性, 对任意 , 有

.

又因为  与  均收敛, 故

 收敛.

因此由 Weierstrass 判别法知  在  上一致收敛, 即原级数绝对一致收敛. 

2.16 设  在  上连续, 定义 , . 证明:  在任意有界闭区间上一致收敛.

证明: 由  连续, 根据 Riemann 积分和的性质, 对任意固定的 , 有

又有

因此

任取有界闭区间 .

由于  在  上一致连续, 对任意 , 存在 , 使当  时, 有 .

取 , 使得 . 则当  时, 对任意 , 均有

故  在任意有界闭区间上一致收敛于 . 

2.18 设  在  上连续. 给定闭子区间 , 定义 , , . 证明:  在  上一致收敛于 .

证明: 首先有

.

因此

由于  在  上一致连续, 对任意 , 存在 , 使得当  时, 对任意 , 有 .

又因为  在  上有界, 设 , 则

令 , 第二项趋于 , 而且估计与  无关.

因此对充分大的 , 有 .

由于  任意, 故  在  上一致收敛于 . 

2.20 设  在  上一致连续, 记 , . 若 , , 证明:  在  上一致收敛于 .

证明: 要证对任意 , 存在 , 使得当  时, 对任意 , 均有 .

由  在  上一致连续, 存在 , 使得当  时, 有 .

取正整数 , 使得 , 将  分成  个小区间, 分点为 , .

由于对每个分点 , 均有 , 且分点只有有限个, 因此存在公共的 , 使当  时,

.

固定 , 考虑离它最近的分点 .

则

因此  在  上一致收敛于 . 

2.25 设  在  上可微, 且存在正常数 , 使得 , , . 证明: 若  在  上收敛, 则必是一致收敛.(这是所谓的Bendixson 判别法)

证明: 首先考虑一致收敛的 Cauchy 准则.

记 , .

由已知条件, 对任意 , 有 , 故 .

由 Lagrange 中值定理,

.

固定 , 由于原级数逐点收敛, 有 , 且对  一致.

唯一的问题是  依赖于 , 所以将区间分点处理, 使其变成公共的 .

任取 , 将  等分为若干个小区间, 使得每个小区间的长度小于 , 记分点为

.

因为原级数在  上逐点收敛, 对每个分点 , 均有 , 且对  一致.

由于分点只有有限个, 所以可以取公共的 , 使当  时, 对任意  及所有分点 , 均有

.

对任意 , 取其所在小区间的端点 , 则

因此由一致收敛的 Cauchy 准则, 原级数在  上一致收敛. 

2.27 设函数列  在区间  上满足: (1) ; (2) , , 其中  为常数. 再设数项级数  收敛. 证明: 级数  在  上一致收敛.

证明: 利用 Abel 变换.

由于数项级数  收敛, 对任意 , 存在 , 使得当  时, 有

.

记 , 则由 Abel 变换,

又由已知条件,

所以

因为估计与  无关, 且  任意, 所以由一致收敛的 Cauchy 准则知  在  上一致收敛. 

2.32 证明函数  在  上连续, 在  上有任意阶导数.

证明: 首先有

.

由 Weierstrass 判别法知  在  上一致收敛, 因而连续.

下面证明任意阶可导性.

任取 .

由于

所以由逐项求导定理,  在  上连续可微.

再对任意  进行归纳.

设形式上的  阶导函数级数为

其中  是某个次数不超过  的多项式.

由多项式的性质, 存在常数 , 使得当  时,

.

因此

由 Weierstrass 判别法知各阶导函数级数在  上一致收敛.

因此由逐项求导定理及数学归纳法可知,  在  上有任意阶导数. 

2.34 设  是  上的非负递减函数, 在  上逐点收敛于连续函数 , 且 . 证明:  在  上一致收敛.

证明: 显然是利用分点, 但是区间无穷, 所以分成两段. 先处理无穷区间, 注意单调递减, 所以只用控制端点值.

任取 .

因为 , 且  非负递减, 存在充分大的 , 使当  时, 有

.

又因为 , 可以取 , 使当  时, 有

.

由于  非负且递减, 对 , 有

下面处理有界区间 .

因为  连续, 所以在  上一致连续.

取分点 , 使得对任意 , 有

.

又因为  在各分点处收敛于 , 且分点只有有限个, 存在公共的 , 使当  时, 对所有分点均有

.

对任意 , 由单调性有

,

.

因此

取 , 则当  时, 对所有 , 均有

.

这就完成了一致收敛性的证明. 

2.38 利用一致收敛性证明定积分的分部积分公式和变量替换公式在更大的范围内成立.

(1) 设  在  上可积,  是  上严格单调的可微函数, 且  在  上可积, 满足 , . 证明: .

证明: 基本想法是利用阶梯函数逼近.

先证明对阶梯函数的换元公式.

不妨设  严格递增. 设

,

其中 , 端点处的取值不影响积分.

则

.

由于  严格递增且连续, 存在分点 , 使得 .

因此

回到一般情况.

由于  在  上 Riemann 可积, 可取阶梯函数 , 使得

,

且 .

又因为 , 所以

.

积分后有

利用阶梯函数的换元公式, 上下界之差为

.

因此由夹逼可得

.

若  严格递减, 则交换积分上下限, 同理可得结论. 

(2) 设  和  在  上可积, 记 , . 证明: .

证明: 设  为逼近  的阶梯函数列, 使得

, .

令

,

.

则由阶梯函数对应的分部积分公式, 有

.

只用证明各项积分收敛.

首先

,

.

而且

类似地,

同时  一致收敛于 , 所以端点乘积也收敛.

取极限, 就有

. 

2.42 设函数列  在区间  上一致收敛于函数 , 且 , , 均是  上的一致连续函数. 证明:  也在  上一致连续.

证明: 重要估计的是 , 为此作如下估计:

任取 .

由  一致收敛, 存在 , 使得当  时, 对任意 , 有

.

固定这样的 , 由于  一致连续, 存在 , 使得对任意 , 当  时, 有

.

代入上述估计, 得

.

因此  在  上一致连续. 

2.47 给定  是连续函数, 定义 , , . 证明:  一致收敛于函数 , 并求出 .

证明: 相当于默写 Picard 迭代的存在唯一性定理.

有

.

只需证明级数  一致收敛.

由于各个  非负, 有

设 .

由数学归纳法, 可得

.

由于  收敛, 由 Weierstrass 判别法知函数项级数一致收敛, 因而  一致收敛于某个函数 .

于是  一致收敛, 可在积分号下取极限, 得

.

再求导,

.

所以 , 即

.

由 , 得

.

因为 , 故 . 

2.48 设  是  上的连续函数, 定义 , , .

(1) 证明: 函数项级数  在  上内闭一致收敛.

证明: 一模一样的方法.

任取有界闭区间 , 设 .

则

类似地, 由数学归纳法可得

.

由于  收敛, 由 Weierstrass 判别法知  在  上一致收敛.

由于  任意, 故级数在  上内闭一致收敛. 

(2) 写出  满足的方程.

解: 设 , 则

因此  满足

.

(3) 若 , , 求解 .

解: 若 , 则

故 .

2.49 设 , 且  两两互不相同. 令 , . 证明:  在  时不连续, 而在其他点连续.

证明: 注意, 这与一致收敛性和连续性之间并不矛盾.

因为

,

而  收敛, 由 Weierstrass 判别法知原级数在  上一致收敛.

在  时, 每一项  都在  处连续, 因此由一致收敛性, 和函数  在  处连续.

而当  时, 写成

由于  两两不同, 第二项的每个函数都在  处连续, 且级数一致收敛, 故第二项在  处连续.

但是第一项在  处不连续, 左右极限之差为 .

因此  在  处不连续. 

2.54 设二元连续函数列  和  在包含定向曲线  的一个有界闭区域  上分别一致收敛于  和 . 证明: .

证明: 设  为可求长的定向曲线, 记其长度为 .

由一致收敛性,

因此曲线积分与极限可以交换. 

2.58 证明: .

证明: 利用 Levi 单调收敛定理即可, 或者利用本章定理.

先证内闭一致收敛.

任取 , 则对任意 , 有

.

而 , 因此由 Weierstrass 判别法知级数  在  上一致收敛.

对于无穷区间, 有

当  时成立.

另一方面, 由于各项非负, 直接由 Levi 单调收敛定理可得

故命题成立. 

2.60 设 , 证明:

(1).

证明: 先证内闭一致收敛性.

任取 , 对任意 , 有

于是逐点极限为

.

又有

故级数在  上一致收敛.

下面说明积分与极限可以交换.

任取 , 有

再令 .

这里还要控制靠近  的部分, 而且估计要关于  一致.

由于 , 且

所以

,

而且这个估计与  无关.

同理, .

因此可先令 , 再令 , 得到积分与求和可以交换.

于是

故命题得证.