试卷复盘:华政附中 2026 学年第一学期高一数学期中考试

一、整卷判断：以基础验收为主，中档题层次可以更丰富

本卷共 21 题：12 道填空题，共 36 分；4 道选择题，共 12 分；5 道解答题，共 52 分。考试时间为 90 分钟。

题型采用“12 填空＋4 选择＋5 解答”的结构。上海市教育考试院对 2018 年春考数学的官方评析中，也列出过这一结构。

让我觉得它偏基础的，是相当多题目的解题链条较短。比如第 17 题作差后配方，第 18 题对数运算与解不等式组，第 20 题第（1）问求交并集，合计占 24 分，主要是在执行已经学过的常规方法，对自行选择方法、整合信息的要求相对有限。

第 8—11 题涉及退化为一次方程、区间端点、恒成立和基本不等式取等，需要理解相应条件，但题型比较常见，可进一步展开的内容有限。较明显的迁移与综合主要集中在第 12、15 题以及第 21 题末问。

我的评价是：作为高一上学期的基础验收卷，它有合理性；作为从基本操作走向较复杂综合问题的过渡卷，中档题的层次还不够丰富。

高一阶段与高考的衔接，可以体现在对概念本质、方法迁移和综合应用的逐步训练上。上海市教育考试院对 2026 年春考数学的评析，也同时强调了这些方面。对这张期中卷，我更关心它们在已学内容中如何展开。

二、第 12 题：值得保留的阅读迁移题

这题值得讲的地方，是从“给出的方法”走向“新的表达式”。原题不需要先把  分别求出来，而是要看出第二个式子来自怎样的替换。

把原来的式子暂时记为

当  时，所求式子就是 。因此只需解

得到

这里还有一个容易被省略的检查：使用  时限制了 ，但原来要求解的第二个式子在  时其实有意义，值为 ，不满足小于零，所以没有漏解。

我比较认可这道题。它的计算量不大，真正的要求是识别结构、利用已知解集，再检查变形的适用范围。出现陌生表达式时，不必立刻展开计算，这种意识值得从高一开始建立。

可能出现的卡点也很清楚：把所有字母都当成必须先求出的未知数；只记得“取倒数要反向”，却不分正负区间；或者得到答案后没有回看 。讲评时应把这些环节展开，而不是只展示一次替换。

可能的误区：照搬示例中的具体替换

如果照搬示例中的动作，把原解集中的数直接取相反数，可能得到

这个结果对应的是 ，题目要求的却是 。这里可能把“迁移替换的方法”理解成“重复同一个替换动作”，忽略了新式子与原式子的具体关系。

把两种替换分别写开，区别就很清楚：

与题目所求式子一致的是 。先确认表达式的关系，再处理解集。真正要迁移的是识别替换关系的方法。

三、第 15 题：把两个推理方向分开

答案为 B。比答案更有价值的，是分别说明两个方向，而不是凭“绝对值与同号有关”的印象选择。

若等式成立，两边平方可得

所以 ，即 。这是必要性。

但反过来不成立。取 ，虽然 ，等式左边却是 ，右边是 。所以它不是充分条件。

继续追问一句“还缺什么条件”，就能把这道题从选项判断变成概念辨析。完整的等价条件是

从数轴上看，也就是  位于  与  之间，包括端点。

这道题可能出现两种混淆：把必要条件当成充要条件，或把平方变形无条件地当作等价变形。讲评的重点是把每一步推理的方向与条件说清楚。

可能的误区：用一个反例否定两个方向

取 ，可以说明  不能推出等式。如果把这个反例的作用扩大到反方向，就可能误选 D，即“既非充分也非必要”。

把两个方向分开写，判断会更清楚：

一个反例只能否定它所针对的那个推理方向，不能自动把两个方向一起否定。 使用反例时，要明确它满足了哪一项条件，又违反了哪一项结论。

四、第 21 题：信息整理与边界控制

这道题的综合性主要体现在末问：需要把前两问的信息重新组织起来，并将“有两个子集”转化为“恰好保留一个整数”。

先把两个集合整理清楚

绝对值两边均非负，可以平方，得到

因此

第（1）问于是得到 。

第（2）问中， 等价于相应表达式对所有实数都严格小于零。 时表达式恒为 ； 时再结合判别式

可得

这里  不能包含，因为此时表达式为 ， 仍含有 ； 则可以包含。

所以第（3）问里的集合是

末问的关键：守住相邻的临界整数

集合  有且仅有两个子集，意味着  恰有一个元素。现在的问题变成：变化的开区间 ，何时恰好装进上面整数集中的一个数？

当  时，最先进入  的可选整数是 。要包含  而不包含 ，需

即 。在这一范围内， 左端大于 ，不会碰到  及更小的整数；而  时已经同时包含 ，不可能只剩一个。

当  时，最先进入的可选整数是 。要包含  而不包含 ，需

即 。在这一范围内， 的右端小于 ，不会碰到  及更大的整数。继续减小 ，则至少同时包含 。

于是答案为

我会特别讲的两个地方

一个是开区间与参数端点的关系。 时， 恰好位于  的右端、不计入集合，反而使这个参数值符合条件； 时， 同理。不能看到区间端点不取，就认为参数端点也一律不取。

另一个是  的含义。它是所有使  非空的参数值组成的固定数集，并不意味着第（3）问还额外要求当前的  必须属于 。例如最后答案允许 ：此时当前的  为空，但 ，并不矛盾。原题在不同位置复用字母 ，容易造成阅读上的混淆；解释时把它写成  会更清楚。

我会保留这道题作为本卷主要的综合讲评题。 它能训练把文字转成集合、整理参数分类、控制相邻整数。第 8 题已经考过“两个子集意味着一个元素”，第 10 题也考过二次式恒负与退化情形，末问的价值正在于重新组合这些信息。

可能的误区：特殊值在最后合并时遗漏

第（1）问也可以分段去绝对值，得到 。两边平方能减少分类，原因在于两边均非负。这一点恰好可以与第 15 题对照： 的符号需要另外判断。

第（2）问可能出现一种遗漏：已经单独讨论 ，得出此时 ，但在求完二次项系数非零时的范围后，最终只写出 ，没有把先前找到的  合并回来。

这个遗漏还可能继续影响第（3）问，把  写成

从而把  或  作为候选。正确的  不含 ，右侧第一个可选整数应是 。前问漏合并一个特殊值，后问的补集端点与候选整数就可能一起改变。

另一个可能的误区，是把  中元素的范围当成当前参数  必须满足的范围，额外加上  或  的限制。可以用  检验：此时

当前  不必属于 ，照样可以满足题意。讲评可以按这样的顺序展开：先合并前问的分类结果，再确定  中哪些整数可选，最后研究变化的  如何恰好包含其中一个。

五、第 18 题：命题的诊断盲点与运算收尾

两个不等式分别给出

由于 ，最终交集就是 。

问题也出在这里：即使漏掉第二个不等式，只解第一行，也会写出正确的最终答案。 因而只核对最后的解集，不能判断是否真的处理了绝对值不等式、是否知道不等式组要取交集。

过程评分可以识别漏做，但如果主要目的在于同时检查两类不等式与交集运算，让两个条件分别影响最终结果，会更有诊断价值；如果有意考查包含关系，则可以增加解释两个解集之间关系的设问。

一种小幅改法是把第二行改成 。它的解集变成

最终答案为

此时左侧边界由第一个条件限制，右侧边界由第二个条件限制，漏掉任何一行都会改变结果。这样不需要显著加难，就能更有效地检查“分别求解，再取交集”。

可能的误区：中间结果与最终答案不一致

即使两行不等式已经分别求出“ 或 ”和“ 或 ”，最后也可能在取交集或书写区间时，把右侧边界误写成 。这时需要核对中间结果与最终答案是否一致。

可以取  验证：它同时满足原来的两个不等式，却被  漏掉。用一个位于争议区间内的数回代，能直接发现最终解集漏掉了哪些值。

第（1）问则可能停在求值的中间一步。三个对数可以正确合并为

括号内化简为  后，如果直接写出答案 ，就把“真数化简完毕”当成了“整个对数已经求值”。整个式子应为 。再对照 、、，就能看清真数与对数值的区别。

六、第 20（2）题：空集讨论与参数端点

 等价于 。

当  时，，自然符合。当  时，，需

得到 。合并两种情况，答案是 。

这题的正面价值，是把空集、包含关系和开区间边界放在一起。例如  时， 完全包含于 ，所以参数端点可以取到。

这题也可能出现“过程漏了一种情况，答案却碰巧正确”的现象：没有讨论  何时为空，就直接套用非空区间的端点比较，仍可能得到 。可以补看  时的集合：此时 ，不能按普通开区间去比较端点。

分类之后，还要合并结果

完整过程包括  与  两种情况，分别得到  与 ，最后合并为 。

这一题可以与第 21（2）问对照：特殊情况即使已经单独讨论，也可能在收尾时漏掉。分类讨论的最后一步，是把各分支的结果完整合并。

七、第 16 题：数学内容有价值，题干的装饰可以减少

位数与对数的联系值得讲。正整数  是  位数，等价于

因此 。代入题目给出的近似值，

所以位数是 ，选 C。

我认可它把对数从“运算规则”连接到“数量级和十进制位数”。但前面介绍数学运算价值的文字，大部分不参与建模与推理，删去后并不影响题目的核心要求。

这是一道有实际数学意义的常规应用题。讲评的重点是位数对应的不等式，以及取对数的整数部分后为什么还要加一。

作答时可能直接把  的整数部分当作位数，漏掉最后的“加一”。回到 ，就能看清位数  与指数下界  的关系。

八、第 2 题：另一个值得保留讨论的表述问题

参考解析给出的答案为 ：先得到  或 ，再以“集合元素互异性”为由排除 。

这符合这类高中题常见的命题意图：默认列出的三个式子代表三个不同的元素。但若只按集合记号本身的字面意义理解，这里有一个不够严谨的地方。

当  时，

仍然包含 。同一个数被重复写出，并不会让集合本身不存在，只是不会因此增加一个新元素。所以在不额外假定“恰有三个元素”的解释下， 也满足题面的成员关系。

我不太喜欢用这种未明说的约定来考互异性。 更稳妥的写法是明确说：“集合  恰有三个元素，且 。”这样排除  才有明确的题面依据。

九、第 19 题及几处值得细看的基础问题

第 19 题：正确建模之后，还要检查代数变形

这道题值得把建模、代数变形和求最值连起来看。模型列对之后，后续改写仍可能改变函数本身。

根据利润关系，先列出

代入  后，得到

接下来可能出现一次错误通分，将它误写成

这两式并不相等。若一定要通分，正确关系应为

不能把分母外的  直接合进分子。更重要的是，这道题根本不需要先合并成一个分式。

如果第（2）问沿用这个错误表达式，再把  拆成 ，就会得到  时利润最大的错误结论。后面的单调性判断即使与这个式子一致，求出的也已经是另一个函数的最大值。

这类错误的起点，可能是正确模型后的一次不等价变形。检查解题过程时，需要先找到两个式子从哪一步开始不再相等。

这里值得讲两个习惯。第一个是变形后的数值快检：取允许的 ，原式得到 ，改写后的式子却得到 ，立刻就能发现二者不同。代一个数不能证明恒等，但出现不同结果就足以否定恒等。

第二个是根据目标选择形式。保留原来的两项，并把  改写成 ，可得

由于 ，基本不等式适用；等号在 ，即  时成立，且满足 。所以投入  万元时利润最大，为  万元。

这题的讲评重点是让变形服务于求最值的目标。保留  与  的组合，就能直接使用基本不等式；盲目通分反而可能掩盖这个结构。

第 10 题：可能漏掉退化情形

这一题可能只按二次式的开口与判别式列条件，得到 ，漏掉二次项系数为零的情况。正确范围为 。

分子为 ，需要分母对所有实数严格小于零。 时分母恒为 ，显然满足。只有在  的二次式情形，才使用开口与判别式条件，得到 ，最后还要与  合并。

分别代入两个边界检查： 符合； 时分母为 ，在  处为零，原式无意义，所以不符合。参数端点能不能取，可以直接回到原式检验。

这里还可能出现与第 21（2）问相同的遗漏：单独讨论过 ，最后却没有并入答案。因此，收尾时还应对照各个分支，检查特殊值是否保留。

第 14 题：不等式变形前，先看符号与适用条件

B 可能被误认为是“两边平方后仍保持原来的大小关系”。取  就能反驳：虽然 ，但 。平方比较的是绝对值大小，需要检查符号条件。A 则要注意  的情形。

正确选项为 D。由 ，有

其中 ，而 ；后一个因式只有在  时才为零，这与  不符。

这道题适合与第 15 题连着讲：先检查运算的条件，再判断推理能否成立。例如把 B 的前提补成 ，结论就成立了；前后对照，缺少的符号条件也就清楚了。

第 3 题：指数运算可能在哪一步出错

这一题的计算环节很短，可能出错的地方有三个：根式改写为分数指数、同底数幂相除时指数相减、外层平方作用于整个指数。

把三步连起来，可得

按这个顺序逐步核对，就能分清问题出在根式改写、指数相减，还是最后的乘方。第 18（1）问也可以这样检查每一步运算究竟完成了什么。

十、讲评安排：从运算、边界到迁移与综合

讲评可以围绕几个具体环节组织：运算是否完成，变形是否等价，特殊情况是否合并，推理方向是否正确，以及已知信息如何迁移到新的表达式中。第 19、12、21 题适合展开，其余题目可以按相关问题穿插。

具体展开时，可以先用短题梳理指数、对数与端点，再围绕第 19、12、21 题讨论等价变形、方法迁移和信息整合。相关问题前后对照，比逐题重复计算更容易看清共同的出错环节。

十一、整卷评价与后续训练

这张卷子以基础验收为主，也安排了迁移与综合，但较多分值仍落在熟悉、短链条的操作上，中档题还可以增加层次。

后续可以补充几道这样的题：方法不能一眼套出，但可以用已学知识完成；两个条件都真正影响答案；要求说明边界为什么能取、为什么不能取；或把一个熟悉的结论放到新的表述中重新识别。

基础题的讲评，也可以具体到每一个容易出错的环节。 第 18 题可以检查运算是否真正结束，第 19 题可以检查变形是否等价，第 10、20、21 题可以对照特殊情况与边界处理，再由第 12、21 题向迁移和综合推进。

附：试卷与作答草稿

试卷链接：华政附中 2026 学年第一学期高一数学期中考试

我的作答草稿