三见赵鸿涛老师:高中数学教学案例

赵老师又来了，上一次谈的是"刷题红利消减后课堂往哪转"这一次，赵老师把镜头拉回到了更前面的地方，从"怎么讲"回到"为什么这样讲"——备课。屏幕上一行大字点明主题：教材研读的几个维度，下面悬着四个问题：如何深度理解教材中的概念与定理？如何理解例题的编排意图？如何规范使用数学语言与符号？如何有效运用教材中的各种栏目？

开场她先给备课划了个边界：备课要回答的是讲什么、怎么讲、为什么这样讲、达到啥目标四件事；教学设计的目的只有一个——教学效果最优，而它的底层逻辑是"基于学生已有的理解，构建学生新的理解"。这句话，成了整场讲座的暗线。

一、专家讲座两个核心观点

观点一：教材是教学的"根"与"魂"，研读要先立规矩再谈发挥

赵老师首先回答"教材为什么值得反复研读"：教材是课程标准的具象化载体，每一篇文本、每一个例题、每一组习题、每一个注释、每一个探究思考，甚至用词与语句表述，都经历了层层打磨；教材编排的顺序贴合学生认知规律，梯度清晰、逻辑严谨、重点突出。她给出一句很重的判断——教辅是补充，技巧是辅助，课程标准是教学的准绳，教材是教学的"根"与"魂"。由此她提出教材研读的三条原则：先忠于教材，再解释教材（准确理解教材原意和编排逻辑，再谈个人解读和补充发挥）；先保证规范，再比较方法（先规范数学语言、符号、证明，再讨论不同解法的优略）；先完成主线，再开发资源（先吃透教材的知识主线和核心目标，再考虑拓展变式及课外资源）。相应地，研读流程落为五步：通读定位（章目录、序言、目标、例题、习题、栏目）、对照教参、自主重建（先独立做例题和关键习题，再回看教材解法与设问）、课堂转译（转成教师语言、板书语言和学生任务）、课后复盘（记录学生错误，更新概念、证明和资源清单）。

在操作层面，她把"深度理解"拆成了可执行的清单。概念理解四环节：生成情境（为什么在这里提出这个概念？它能解决什么问题？）、拆解定义（写出条件、结论、适用范围）、概念辨析（准备正例及反例）、追踪迁移（标出概念在后续章节再次使用的位置）；定理理解三步：拆条件并逐项编号、举正例验证结论、举反例（删去一个条件构造反例，构造不出时查阅教参或组织学生探究）。她还特别提醒了一个易被忽略的细节——板书须规范，因为学生作业是教师板书的翻版；"因为……所以……"用汉字可在同行，用符号∵∴必须另起一行。

观点二：课堂的问题出在"教师讲授为主"，概念教学要走完符号化的三步

第二组观点来自具体的课堂诊断。赵老师展示了函数单调性随堂课的实录还原：教师设置了温度曲线、校门口上下坡、y=x³图像三个情境，但上下坡情境引发学生"上坡""下坡"答法不一，教师未给辨析机会就直接宣布"要对x轴方向而言"，浪费了课时；y=x³情境中部分学生答"x减小y增大"与约定冲突，教师重复解释却未澄清学生说法本身正确、只是方向约定不同。由此归纳出的整体问题很直接：教师讲授为主，缺少学生主动思维构建；多数学生只能机械记忆定义与模仿证明；素养目标未达成。具体病灶有三处：生活情境切口过大易发散，高中数学其实可优先使用学科本身情境（如初中学过的函数图像），不必每节课都去找生活情境；从生活语言到符号语言的过渡缺失，抽象素养没有载体——教师直接告知y₁<y₂，没让学生经历变量关系的数量化表达过程；时间节奏失衡，严格性解释占用过多时间，概念辨析没有设计成问题让学生思考，而是教师单向讲述。改进方案被她提炼为概念教学三步：第一步自然语言描述，引导学生用"f(x)随x增大而增大"描述上升特征，利用初中一次函数的认知基础搭梯；第二步拆分双变量，把上述描述拆解为"x增大"与"f(x)增大"分别表述；第三步符号化表达，点拨"增大"即两量大小关系，可用小于号/大于号表示，逐步生成 x₁<x₂⇒f(x₁)<f(x₂) 的符号定义。她同时给了两条边界提示：本节课不建议引入 Δx/Δy 记号，可留待导数学习时再讲；把教师想解释的问题（如"任意能否换成存在""图像上升是否一定递增"）设计成概念辨析题，比单向讲述更有效。

二、我的感悟

感悟一：预习设问可以"分层"，让学生先读得动、再想得深

讲座中一个让我印象很深的工具是预习设问的三个层次：第一层是"对象本身"——定义是什么、表现形式有哪些，性质与规律，几何意义与用处；第二层是"逻辑与依据"——怎么证明、这一步怎么来的、条件是否必要；第三层是"拓广与边界"——能否推广、什么情况不成立、有没有反例，以及"反思与创新"——学习策略、新想法、我还能怎么想。配套的实施建议也很接地气：第一层的内容学生阅读即可找到，应作为预习主体；第二层一节课提一个即可，避免学生畏难；第三层适合习题课前布置；先从第一层稳定一段时间，学生习惯后再逐步渗透第二、三层。这提示我们，预习不是甩一句"回去看看书"，而是给学生的思维搭一级一级的台阶。

感悟二：例题不是"讲完就好"，而是有层次的思维台阶

关于例题，赵老师给出的处理规范是"从独立作答到板书模板"：先按考试规范独立完成一遍，记录条件、目标、关键转化、结论；再逐行比较教材解法与自己的解法，体会设问意图与方法选择；然后改变一个条件或目标，判断原方法是否有效、边界在哪；讲课时先讲教材解法，再展示其他解法，通法特法作比较；最后把证明流程写成可迁移的板书模板。她更以导数研究函数单调性为例展示了例题的层次：例1解释定理、建立"求导—定号—判断"的流程；例2用两个驻点强化流程；例3用 f(x)=x³ 说明 f'(x)>0 是单调递增的充分不必要条件、驻点未必是分界点；例4用 f(x)=x⁻² 拓展边界，说明没有定义的点也可能成为单调区间的分界点。一套例题串下来，学生的认识是被一层层"抬"上去的，而不是靠老师一句结论塞进去的。

感悟三：多版本教材放在一起读，才看得见自己漏了什么

同样讲导数与单调性，不同版本的处理差异极大：人教A版前两页重复高台跳水等内容，例1用三次函数、例2涉及切线放缩，梯度偏大，且"导函数恒为零则函数有何特性"这一问号学生难以理解；沪教版直接给出定理，明确定位为"验证合理性"而非"证明"，例1二次函数验证、例2三次函数强化求导流程并引入驻点概念、例3用唯一驻点说明充分不必要条件、例4用导函数无零点拓展边界，梯度清晰且强调信息技术验证；北师大版则补充了"导函数≥0且仅在有限个点为0则单调递增"，完备性更好，可以借鉴给学生讲解。这种并排比较带来的收获，比单独捧着一本教材研读要大得多。

感悟四：课件的"取舍"本身就是教学判断

讲座尾声的复数概念同课异构对比，把"回到原点"落到了具体取舍上。课例A走数学史视频驱动路线，引入环节用了三段视频（卡尔达诺解三次方程遇负数开平方、数系扩充史、复数应用），概念讲解直接给出形式化定义与Venn图分类；评价意见是视频过多、一个即可，反而冲淡了数学的理性思维内容。课例B则走预习检测与理性思维落脚型路线：课前布置预习任务，课上直接检测提问，练习紧扣概念、全部为学生活动；素养落脚点放在后半段——为什么扩充、归纳数系扩充路径与规则、两个复数不能比大小但模可以、数系扩充的启示，学生甚至举例"被骂时先冷静"。赵老师明确表达了倾向：更欣赏第二个课件，简洁，不那么花哨，更像数学老师做的课件。她还认同教参对这节课的定位——落脚点应是数系扩充历程对学生的启示，而非单纯的知识反馈，并肯定了预习驱动的模式，引用上海教科院"小组提交核心问题、教师只讲学生不会处"的做法。

结语

把这一场的内容合起来看，"回到原点"的原点并不玄虚：是把教材读厚再读薄，是把例题做出层次，是让概念从生活语言一步步走到符号语言，是在一堆素材里敢于取舍。赵老师讲座里有一句"三条主线"的概括可以作为结语——学科的知识结构、学生的认知结构、教师的教学结构，知识结构是源头与依据，认知结构是起点与归宿，教学结构是中介与桥梁；教学的专业性不仅仅是"讲清楚讲明白"，更体现在是否能够把学科逻辑转化为适合学生的学习路径。

愿我们都能从这一节课的原点出发，重新把自己的课备一遍。