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2011 年第九届小学“希望杯”全国数学邀请赛试卷（六年级第2
试）
一、填空题（5'×12＝60'）
1．（5分）计算：3.625+ ﹣ ＝ ．
2．（5分）对于任意两个数x和y，定义新运算◆和 ，规则如下：
⊗
x◆y＝ ，x y＝ ；如 1◆2＝ ，1 2＝ ，由此计算
⊗ ⊗
◆ ＝ ．
3．（5分）用4根火柴，在桌面上可以拼成一个正方形；用13根火柴，可以拼成四个正方形；
…如图，拼成的图形中，若最下面一层有15个正方形，则需要火柴 根．
4．（5分）若自然数N可以表示城3个连续自然数的和，也可以表示成11个连续自然数的和，
还可以表示成12个连续自然数的和，则N的最小值是 ．（注：最小的自然数是0）
5．（5分）十进制计数法，是逢10进1，如24 ＝2×10+4×1， ；
10
计算机使用的是二进制计数法，是逢 2 进 1，如 ，
，如果一个自然数可以写成m进制数45 ，
m
也可以写成 n 进制数 54 ，那么最小的 m＝ ，n＝ ．（注：
n
）
6．（5分）我国除了用公历纪年外，还采用干支纪年，根据图2中的信息回答：公历1949年按
第1页（共11页）干支纪年法是 年．
7．（5分）盒子中装有很多相同的，但分红、黄、蓝三种颜色的玻璃球，每次摸出两个球，为了
保证有5次摸出的结果相同，则至少需要摸球 次．
8．（5分）根据图中的信息回答，小狗和小猪同时读出的数是 ．
9．（5分）图中的阴影部分的面积是 平方厘米．（ 取3）
π
10．（5分）甲、乙两人合买了n个篮球，每个篮球n元．付钱时，甲先乙后，10元，10元地轮流
付钱，当最后要付的钱不足10元时，轮到乙付．付完全款后，为了使两人所付的钱数同样
多，则乙应给甲 元．
11．（5分）某代表队共有23人参加第16届广州亚运会，他们按身高从高到低排列，前5位队
员的平均身高比前8位队员的平均身高多3厘米；后15位队员的平均身高比后18位队员
的平均身高少0.5厘米．那么前8位队员的平均身高比后15位队员的平均身高多
厘米．
12．（5分）甲、乙、丙三人同时从A地出发到B地，他们的速度的比是4：5：12，其中甲、乙两
人步行，丙骑自行车，丙可以带一人同行（速度保持不变）．为了使三人在最短的时间内同
第2页（共11页）时到达B地，则甲、乙两人步行的路程之比是 ．
二、解答题（15'×4＝60'）
13．（15分）一辆汽车从甲地开往乙地，若车速提高20%，可提前25分钟到达；若以原速行驶
100千米，再将车速提高25%，可提前10分钟到达，求甲乙两地的距离．
14．（15分）如图，在一个棱长为20厘米的正方体密闭容器的下底固定了一个实心圆柱体，容
器内盛有m升水时，水面恰好经过圆柱体的上底面．如果将容器倒置，圆柱体有8厘米露
出水面．已知圆柱体的底面积是正方体底面积的 ，求实心圆柱体的体积．
15．（15分）有8个足球队进行循环赛，胜队得1分，负队得0分，平局的两队各得0.5分．比
赛结束后，将各队的得分按从高到低排名后发现：各队得分互不相同，且第二名的得分与
最后四名所得的总分一样多．求这次比赛中，取得第二名的队的得分．
16．（15分）将两个不同的自然数中较大的数换成他们的差，称为一次操作，如此继续下去，
直到这两个数相同为止．如对20和26进行这样的操作，过程如下：
（20，26）→（20，6）→（14，6）→（8，6）→（2，6）→（2，4）→（2，2）
（1）对45和80进行上述操作．
（2）若对两个四位数进行上述操作，最后得到的相同数是17．求这两个四位数的和的最大
值．
第3页（共11页）2011 年第九届小学“希望杯”全国数学邀请赛试卷（六
年级第 2 试）
参考答案与试题解析
一、填空题（5'×12＝60'）
1．（5分）计算：3.625+ ﹣ ＝ ．
【解答】解：3.625+ ﹣ ，
＝ + ﹣ ，
＝ + ﹣ ，
＝ ﹣（ ﹣ ），
＝ ﹣ ，
＝ ．
2．（5分）对于任意两个数x和y，定义新运算◆和 ，规则如下：
⊗
x◆y＝ ，x y＝ ；如 1◆2＝ ，1 2＝ ，由此计算
⊗ ⊗
◆ ＝ ．
【解答】解： ＝ ，
而 ＝ ，
◆ ＝ ◆ ，
第4页（共11页）＝ ，
＝ ÷ ，
＝ × ，
＝ ，
故答案为： ．
3．（5分）用4根火柴，在桌面上可以拼成一个正方形；用13根火柴，可以拼成四个正方形；
…如图，拼成的图形中，若最下面一层有15个正方形，则需要火柴 15 1 根．
【解答】解：根据题干分析可得：最下面一层有15根火柴的是第8个图形，
所以共需要火柴是：4+9+13+17+21+25+29+33＝151（根）．
答：需要151根火柴．
故答案为：151．
4．（5分）若自然数N可以表示城3个连续自然数的和，也可以表示成11个连续自然数的和，
还可以表示成12个连续自然数的和，则N的最小值是 6 6 ．（注：最小的自然数是0）
【解答】解：自然数N可以表示成3个连续自然数的和，
因为3与11为奇数，
所以所以N能被3和11整除，也就是能被33整除；
又偶数个连续自然数之和等于中间两个数的平均值乘以数的个数，
所以N等于一个整数加上0.5再乘以12，
就是被12除余6，而这个又能被33整除，
所以这个数最小可为66．
故答案为：66．
5．（5分）十进制计数法，是逢10进1，如24 ＝2×10+4×1， ；
10
第5页（共11页）计算机使用的是二进制计数法，是逢 2 进 1，如 ，
，如果一个自然数可以写成m进制数45 ，
m
也可以写成 n 进制数 54 ，那么最小的 m＝ 11 ，n＝ 9 ．（注：
n
）
【解答】解：45 ＝4m+5；
m
54 ＝5n+4；
n
那么：
4m+5＝5n+4
即：4（m﹣1）＝5（n﹣1），
如果m﹣1＝5，n﹣1＝4，则m＝6，n＝5，但此时n进制中不能出现数字5；
如果m﹣1＝10，n﹣1＝8，则m＝11，n＝9，符合题意．
即m最小是11，n最小是9．
故答案为：11，9．
6．（5分）我国除了用公历纪年外，还采用干支纪年，根据图2中的信息回答：公历1949年按
干支纪年法是 己丑 年．
【解答】解：因为干支纪年法60年一循环，
1949+60＝2009，
所以1949年的干支纪年法和2009年的干支纪年法相同，
再根据公历的2010年是庚寅年，2009年是己丑年，
所以1949年是己丑年；
故答案为：己丑．
第6页（共11页）7．（5分）盒子中装有很多相同的，但分红、黄、蓝三种颜色的玻璃球，每次摸出两个球，为了
保证有5次摸出的结果相同，则至少需要摸球 2 5 次．
【解答】解：（3+3）×4+1
＝6×4+1，
＝25（次）．
答：至少要摸球25次．
8．（5分）根据图中的信息回答，小狗和小猪同时读出的数是 28 7 ．
【解答】解：（1002﹣1）÷（5+2），
＝1001÷7，
＝143；
143×2+1，
＝286+1，
＝287；
故答案为：287．
9．（5分）图中的阴影部分的面积是 168.7 5 平方厘米．（ 取3）
π
【解答】解：阴影部分的面积＝3×152× ，
＝3×225× ，
＝675× ，
＝168.75（平方厘米），
第7页（共11页）答：阴影部分的面积是168.75平方厘米．
故答案为：168.75．
10．（5分）甲、乙两人合买了n个篮球，每个篮球n元．付钱时，甲先乙后，10元，10元地轮流
付钱，当最后要付的钱不足10元时，轮到乙付．付完全款后，为了使两人所付的钱数同样
多，则乙应给甲 2 元．
【解答】解：n2的十位数字为奇数，因为乙最后付钱，又不超过10元，根据完全平方数的性
质，篮球个数必须在6个以上（付钱次数在两次以上）．若付钱次数只有两次，则篮球个数
可为4个，所以n的个位必须是4或6，因此n2的个位为6，乙最后一次付了6元，应该给
甲：
（10﹣6）÷2＝2（元）．
答：乙应给甲2元．
故答案为：2．
11．（5分）某代表队共有23人参加第16届广州亚运会，他们按身高从高到低排列，前5位队
员的平均身高比前8位队员的平均身高多3厘米；后15位队员的平均身高比后18位队员
的平均身高少0.5厘米．那么前8位队员的平均身高比后15位队员的平均身高多 8 厘
米．
【解答】解：6～8位比前5位平均身高少了：3÷3×8＝8（厘米）；
因此第6～8位的平均身高比第9～23位的平均身高多0.5÷3×18＝3厘米．
前8位的平均身高比第9～23位的平均身高多8﹣3+3＝8厘米．
12．（5分）甲、乙、丙三人同时从A地出发到B地，他们的速度的比是4：5：12，其中甲、乙两
人步行，丙骑自行车，丙可以带一人同行（速度保持不变）．为了使三人在最短的时间内同
时到达B地，则甲、乙两人步行的路程之比是 7 ： 1 0 ．
【解答】解：首先把总的距离看作“1”甲乙丙三人的速度分别为4，5和12．
设丙从a点先带甲行进到x距离的地方，放下甲，甲自己步行，丙返回去带乙，并与甲同时
到达b点．
丙返回遇到乙需要的时间是 ，
第8页（共11页）丙遇到乙时走的距离为： ×12，
丙从x返回去带乙，再返回x，最终到b点所走的总路程为：
×12×2+（1﹣X）＝1﹣ X，
所用的时间为： ，
甲步行到达b点所需时间： ，
两式相等： ＝ ，
解得：x＝ ；
所以甲步行的距离：1﹣x＝ ，
乙步行的距离是： + ×5＝ ，
甲，乙二人步行路程比为：（ ）：（ ）＝（7：10）；
答：甲乙的速度比是7：10．
二、解答题（15'×4＝60'）
13．（15分）一辆汽车从甲地开往乙地，若车速提高20%，可提前25分钟到达；若以原速行驶
100千米，再将车速提高25%，可提前10分钟到达，求甲乙两地的距离．
【解答】解：原定时间为：
25÷[1﹣1÷（1+20%）]，
＝25÷[1﹣ ]，
＝25÷ ，
＝25×6＝150（分钟）；
第9页（共11页）行驶100千米后的时间为：
10÷[1﹣1÷（1+25%）]，
＝10÷[1﹣ ]，
＝10÷ ，
＝10×5，
＝50（分钟）；
原速行驶100千米需要：
150﹣50＝100（分钟），
距离为：
150÷100×100＝150（千米）．
答：甲乙两地的距离是150千米．
14．（15分）如图，在一个棱长为20厘米的正方体密闭容器的下底固定了一个实心圆柱体，容
器内盛有m升水时，水面恰好经过圆柱体的上底面．如果将容器倒置，圆柱体有8厘米露
出水面．已知圆柱体的底面积是正方体底面积的 ，求实心圆柱体的体积．
【解答】解：第一个正方体容器中空白的高是：
8×（1﹣ ）＝8× ＝7（厘米）；
正方体容器的底面积是：
20×20＝400（平方厘米）；
圆柱的底面积是：
400× ＝50（平方厘米）；
圆柱的体积是：
50×（20﹣7）
第10页（共11页）＝50×13
＝650（立方厘米）；
答：实心圆柱体的体积是650立方厘米．
15．（15分）有8个足球队进行循环赛，胜队得1分，负队得0分，平局的两队各得0.5分．比
赛结束后，将各队的得分按从高到低排名后发现：各队得分互不相同，且第二名的得分与
最后四名所得的总分一样多．求这次比赛中，取得第二名的队的得分．
【解答】解：每个队需要进行7场比赛，则全胜的队得7分，
而最后四队之间赛6场至少共得6分，
所以第二名的队得分至少为6分．
如果第一名全胜，则第二名只输给第一名，得6分；
如果第二名得6.5分，则第二名6胜1平，第一名最好也只能是6胜1平，与题目中得分互
不相同不符．
所以，第二名得分为6分．
答：第二名得6分．
16．（15分）将两个不同的自然数中较大的数换成他们的差，称为一次操作，如此继续下去，
直到这两个数相同为止．如对20和26进行这样的操作，过程如下：
（20，26）→（20，6）→（14，6）→（8，6）→（2，6）→（2，4）→（2，2）
（1）对45和80进行上述操作．
（2）若对两个四位数进行上述操作，最后得到的相同数是17．求这两个四位数的和的最大
值．
【解答】解：（1）（45，80）→（45，35）→（10，35）→（10，25）→（10，15）→（10，5）→（5，5）．
（2）9999÷17＝588…3，
9999﹣3＝9996，
9996﹣17＝9979，
9996+9979＝19975．
答：两个四位数的和的最大值是19975．
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日期：2019/4/22 15:48:53；用户：小学奥数；邮箱：pfpxxx02@xyh.com；学号：20913800
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