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强化提升-数资 3
（笔记）
主讲教师：陈红建
授课时间：2024.04.29
粉笔公考·官方微信强化提升-数资 3（笔记）
【注意】今天先讲数字推理，再讲数学运算三大方法和工程问题。行程问题、
经济利润问题、容斥、排列组合与概率明晚讲解，明天课程最后还有猜题思维。
基础数列
熟悉基础数列（敏感）
等差数列：1、3、5、7、9、11……
等比数列：2、4、8、16、32、64……
质数数列：2、3、5、7、11、13、17、19……
周期数列：1、4、1、4、1、4……
简单递推数列：1、2、3、5、8、13、21……
【注意】基础数列：数字推理要想多拿分，要有数字敏感度，怎么培养敏感
度，要了解基础数列，对基础数列敏感。
1.等差数列：相邻两项之间的差值为定值，比如 1、3、5、7、9、11……，
差值为2。
2.等比数列：相邻两项之间的比值为定值，比如 2、4、8、16、32、64……，
相邻两项之间的比值都是2。
3.质数数列：2、3、5、7、11、13、17、19……。20 以内的质数要掌握清
楚并熟悉，20以内剩下的就是合数（1既不是质数也不是合数）。
4.周期数列：1、4、1、4、1、4……。要判断一个数列为周期数列，必须出
现 2 个完整的周期循环，如果给 1、4、1 无法判断是周期数列，因为可能是 1、
4、1 的循环，也可能是 1、4的循环，还有可能是 1、4、1后面还有别的数，可
能不是周期数列，必须出现 1、4、1、4 两个完整的周期循环才能确定这是一个
周期数列。
5.简单递推数列：比较爱考查和递推，比如 1、2、3、5、8、13、21……。
前面两项相加等于第三项，1+2=3。
01特征数列
1分数数列
题型特征：全部或大部分是分数
解题思路：观察分子、分母是否依次递增或递减
是：①分开看：分子、分母分别成规律
②一起看：两分数之间四则运算
否：反约分转化为单调递增或递减，再找规律
引例：1/2，3/5，7/10，13/17，21/26，（ ）
A.31/47 B.5/7
C.65/97 D.31/37
【注意】分数数列：
1.题型特征：全部或大部分是分数，还有些特别情况，数列里分数不多，但
是选项也是分数，也可以考虑分数数列。
2.解题思路：观察分子、分母是否依次递增或递减。
（1）是：
①分开看：分子、分母分别成规律。
②一起看：两分数之间四则运算。前面的分子+分母有没有可能等于后面的
分子+分母等等加减乘除的情况。
（2）否：反约分转化为单调递增或递减，再找规律。反约分要找到破坏单
调性的分数，优先考虑简单的规律，比如看到 5，后面要反约分优先考虑 6，优
先考虑等差或者等比的思维，通过简单规律再反约分其他数。
3.引例：1/2，3/5，7/10，13/17，21/26，（ ）。
A.31/47 B.5/7
C.65/97 D.31/37
答：全部都是分数，考虑分数数列，分子、分母都是单调递增的，分子、分
母分开看找规律，分母：2、5、10、17、26，如果数字敏感度不高，一言不合作
差，得到 3、5、7、9，是公差为 2 的等差数列，下一项为 11，（ ）的分母为
26+11=37。
结合选项，发现只有 D 项有 37，能否选择 D 项？其实可以直接选择 D 项，37 约
分约不到47、7、97，37不能再约分，不用再确定分子，可以直接选择 D项。如
2果做出分母是36，选项有 18、2、4就不能直接选了。如果本题有选项的分母是
74 也不能直接选择 D 项，要再确定分子，分子也是相同逻辑，分子作差得到 2、
4、6、8，下一项是 10，（ ）的分子为21+10=31，对应 D项。
【例1】（2019 江苏）17，8，5，7/2，13/5，（ ）
A.1/2 B.3/2
C.2 D.7
【解析】1.数列出现分数，选项也有分数，考虑分数数列。明显出现整数，
必然得反约分，找破坏单调性的，通过简单规律查找，13/5 之前的 7/2 要反约
分，5 之前能想到 4，则 7/2=14/4，对于 5，反约分为 15/3，对于 8，反约分为
16/2，对于17，反约分为 17/1，则所求项是12/6=2，对应C项。【选 C】
多重数列
题型特征：数列项数较多，一般在 7项或 7项以上（包括未知项）
解题思路：先交叉再分组
（1）交叉：奇数项和偶数项分别成规律
示例1：2，3，3，6，4，12，5，（ ）
（2）分组：两两分组、自然分组（有分隔符）或三三分组（9 项或 12 项）
分组后看组内的和、差、乘积、倍数关系，或者前后运算
示例2：2，6，5，10，3，9，1，（ ）
【注意】多重数列：
1.题型特征：数列项数较多，一般在 7 项（广东爱考）或7项以上（包括未
知项），浙江至少 8项才考虑多重。
32.解题思路：先交叉再分组。
（1）交叉：奇数项和偶数项分别成规律。做题时优先看未知项所在的项数，
能出规律则另外的不用找了，除非假设未知数在偶数项，但是通过偶数项找到的
规律不够严谨，则再借鉴奇数项判别。举个例子，奇数项和偶数项有时候可能是
相同的规律，比如都是等差，如果未知数在偶数项，但是通过偶数项找不到规律，
但是奇数项是等差，可以大胆猜偶数项也是等差，如果前面是 1、3，下一项就
可以猜5。
①示例1：2，3，3，6，4，12，5，（ ）。
②答：项数很长，考虑多重数列，先交叉，优先看未知项所在的项数：3、6、
12、（ ），是公比为 2的等比数列，所求项为 24，不用再看奇数项的规律。
（2）分组：两两分组、自然分组（有分隔符）或三三分组（一般是 9 项或
12 项）。刷题中由于考数推的省份比较少，上海会出现有分隔符的分组，这叫
有分隔符的自然分组，如果做到上海题，则直接分组找规律。分组后看组内的和、
差、乘积、倍数关系，或者前后运算：江苏考分组时会考特殊的前后运算点，比
如（1、2）、（2、3），可能会发现前面一组的 1*2=第二组的 2，前面一组的
1+2=第二组的3，这叫组之间的前后运算，目前为止只有江苏会考这个比较特殊
的点。
①示例2：2，6，5，10，3，9，1，（ ）。
②答：项数比较长，先交叉，优先看未知项所在的项数，偶数项：6、10、9、
（ ），没有明显规律，分开看找不到规律，考虑分组，8项直接两两分组，（2，
6）、（5，10）、（3，9）、[1，（ ）]，组内加法得到 8、15、12 没有规律，组内
进行减法，得到4、5、6，下一项是7，（ ）=1+7=8。
3.一道数字推理题，做题时规律是多种多样的，做题过程中一般考虑简单规
律，不用考虑复杂规律，示例2组内能看到倍数关系 3、2、3，但是 3、2、3无
法确定规律，可能是 3、2、3、4，也可能是 3、2、3、2，周期数列必须有 2 个
完整的周期循环，这里无法确定规律。
2.（2023广东）10，3，13，1，14，2，16，5，（ ）
A.18 B.19
4C.20 D.21
【解析】2.数列很长，考虑多重，优先交叉，先看未知项所在项数，10、13、
14、16、（ ），没有明显规律，一言不合作差，得到 3、1、2，3 对应第一个
偶数项，1 对应第二个偶数项，2 对应第三个偶数项，则下一项对应第四个偶数
项5，（ ）=16+5=21。【选D】
【注意】边作差边和原数列比对。
作商数列
题型特征：相邻两项之间有倍数（约分）关系
解题思路：两两作商
注意：（1）作商时注意方向一致
（2）商有正有负，有整数、有小数、有分数
【注意】作商数列：
1.题型特征：相邻两项之间有倍数（可约分）关系。
2.解题思路：两两作商。
3.注意：
（1）作商时注意方向一致。如果统一前/后，就统一前/后。如果统一后/
前，就统一后/前。
（2）商有正有负，有整数、有小数、有分数。不管什么数，作出来是什么
数，都老实写清楚，再按照常规情况找规律。比如作出来得到 1/2、2/3、3/4，
可以按照分数数列再去找规律，得到下一项是 4/5，可以把样式写统一再去解题。
3.（2019河南司法所）2，6，24，168，（ ）
5A.740 B.1848
C.1478 D.924
【解析】3.相邻项 2和6、6和24、24和 168，明显有倍数关系，考虑作商，
方向统一，建议后/前，得到 3、4、7，3+4=7，简单的和递推，4+7=11，（ ）
=168*11，错位相加是 1848，对应B项。【选 B】
幂次数列
题型特征：数字本身是幂次数或在幂次数附近
解题思路：
普通幂次：直接转化成 an找规律
修正幂次：先转化为 an±修正项，再找规律
引例1：8，27，64，（ ），216
引例2：9，28，65，（ ），217
补充记忆
11²=121，12²=144，13²=169
14²=196，15²=225，16²=256
3³=27，4³=64，5³=125，6³=216
34=81，44=256，54=625
21～10：2、4、8、16、32、64、128、256、512、1024
特别注意
①1/a=a-1（a≠0）
②1=1m=m0（m为非零数）；0=0n（n＞0）
③优先考虑转化唯一幂次数（先避开 1、16、64、81）
（1）16=24=4²；（2）64=26=4³=8²
（3）81=34=9²；（4）625=54=25²
引例：27、16、5、1、1/7、（ ）
【注意】幂次数列：非常锻炼数字敏感度。
1.题型特征：数字本身是幂次数或在幂次数附近。
2.解题思路：
6（1）普通幂次：直接转化成 an找规律。先转化唯一的幂次数。
①引例1：8，27，64，（ ），216。
②答：都是幂次数，普通幂次转化成 an找规律，先转化唯一的幂次数，则
27=3³、216=6³，64和 8虽然转化形式多种多样，但是为了规律简单，可以写成
64=4³，8=2³，则（ ）=5³=125。
（2）修正幂次：如果有27、64、81附近的数，先转化为an±修正项，再找
规律。
①引例2：9，28，65，（ ），217。
②答：28在27 附近，65在64 附近，优先考虑幂次修正，65=64+1、28=27+1、
9=8+1、217=216+1，所求项是+1，底数都是幂次数，先转化唯一的幂次数，则
27=3³、216=6³、64=4³、8=2³，（ ）=5³+1=125+1=126。
3.补充记忆：没有敏感度要慢慢培养，把常见的记下来。
（1）11²=121，12²=144，13²=169，14²=196，15²=225，16²=256。
（2）3³=27，4³=64，5³=125，6³=216。
（3）34=81，44=256，54=625。
（4）21～10：2、4、8、16、32（不是很快速能反应出来的幂次数，所以要特
殊记忆一下32=25）、64、128、256、512、1024，类似2048小游戏。
4.特别注意：
（1）1/a=a-1（a≠0），是负幂次。
（2）万金油数据：1=1n=mº（m为非零数）；0=0n（n＞0）。
7（3）优先考虑转化唯一幂次数（先避开 1、16、64、81、625）。
①16=24=4²。
②64=26=4³=8²。
③81=34=9²。
④625=54=25²。
（4）引例3：27、16、5、1、1/7、（ ）。
（5）答：27、16 都是幂次数，1 也可以转化为幂次数，1/7 是负幂次，考
虑幂次数列，优先转化唯一的，27=3³，5=51，1/7=7-1，3 和 5 之间规律最简单，
想到4，16=4²，3、4、5后面到了6，1=60，（ ）=8-2=1/8²=1/64。
4.（2017浙江）1，0，1，8，81，（ ）
A.121 B.125
C.243 D.1024
【解析】4.1、0、1是万金油的数，8和 81是幂次数，明显的幂次数列，优
先进行转化，8 可以写成 81，接下来 81=9²，但是前面不好转化，8 还可以写成
23，则81=34，往前的1=1²，再往前的0=01，再往前的1=（-1）0，则（ ）=45=210=1024，
选择D项。如果不想算，45=肯定是偶数，前三个选项都不是偶数，排除 A、B、C
项，选择D项。【选 D】
图形数阵
题型特征：三角形、圆形
8解题思路：
（1）三角形、圆形：
①有中心凑中心（特色：公倍数）
②无中心凑相等（对角线、横、竖）
（2）方阵：
①大数位置一致：优先按行/按列凑大数
②大数位置不一致：优先按行/按列加和
【注意】图形数阵：浙江一般只考三角形和圆形。广东会考方阵，过一会儿
会拓展。
1.题型特征：三角形、圆形。
2.解题思路：
（1）三角形、圆形：
①有中心凑中心（特色：公倍数）。中心用周围数不好凑，但是中心是周围
数的倍数，可以考虑公倍数。
9②无中心凑相等（优先对角线、横、竖，通过加减乘除凑一个数）。
（2）方阵：
①大数位置一致：优先按行/按列凑大数。
②大数位置不一致：优先按行/按列加和。
5.（2020浙江）
A.0 B.1
C.2 D.3
【解析】5.典型的圆，没有中心凑相等，优先对角线，图一：发现 8-4=18-14，
验证规律，图二：7-9=3-5，图三：6-2=8-4，规律满足，图四：5-？=10-5=5，？
=0，选择A项。【选 A】
6.（2019浙江）
A.10 B.12
C.14 D.16
【解析】6.给三角形，有中心，有中心优先凑中心，对于前面 3个图，如果
要凑中心，优先看图三，会比较好找规律，前两个图周围的数存在相同的数的情
10况，位置不确定，图三的数都不一样，找规律比较明显。图三：2、7、4 凑 10，
2*7-4=10，验证规律，图一：5*2-5=5，图二：3*3-3=6，规律满足，图四：4*6-？
=10，?=14，选择C 项。【选C】
【拓展1】（2022广东）
A.62 B.64
C.66 D.68
【解析】拓展 1.方阵，先观察大数位置是否一致，如果大数都在同一行或
者同一列，则按行按列把规律凑出来，3、10、29是每行中最大的，大数位置一
致，按行或按列凑大数。本题按行凑，前两个数凑第三个数，第二行：2*5=10，
但是第三行：3*10-1=29，意味着有修正，第一行：1*2+1=3，修正项是+1、+0、
-1，下一项修正是-2，第四行：（ ）=4*17-2=66，选择C项。【选 C】
【拓展2】（2020广东）
A.16 B.27
C.38 D.49
【解析】拓展 2.7、16、27，大数位置一致，第二行：8+8=16，但是第一行
和第三行都要修正，且没有规律，大数不能凑时，当作大数位置不一样，把每一
行或者每一列的数全部加起来找规律，竖着只能加 2次，建议每一行来加，第一
11行：4+5+7=16，第二行：8+8+16=32，第三行：12+9+27=48，刚好是公差为 16
的等差数列，48+16=64，第四行：16+10+？=64，？=38，选择C项。【选 C】
二、非特征数列
多级数列
题型特征：无其他明显特征，数列变化平缓（一般情况下单调）
解题思路：两两作差（一次、两次）
作和（江浙特色，小数字较多）
注意点：
方向性：要么后减前，要么前减后
【注意】多级数列：
1.题型特征：数字无明显特征，数列变化平缓（一般情况下单调）。
2.解题思路：
（1）优先两两作差：一次作差不行就两次。
（2）作和：浙江和江苏的特色，如果数列没有明显特征，并且小于 10的数
字非常多，比如给 6 项，有 4 项都是比 10 小，而且没有明显特征，优先加和找
规律。
3.注意点：方向一致，要么后减前，要么前减后。
1.（2020新疆）2，12，28，56，102，172，（ ）
A.202 B.214
C.242 D.272
【解析】1.28 在27附近，56附近的幂次数不好找，不考虑幂次修正，没有
其他明显特征，考虑多级，优先作差，方向一致，统一后-前，得到：10、16、
28、46、70，没有明显特征，一次不行，再作一次，得到：6、12、18、24，是
公差为 6 的等差数列，下一项是 30，70+30=100，（ ）=172+100=272，选择 D
项。【选D】
122.（2022深圳）-8，10，-7，12，-5，（ ）
A.18 B.16
C.14 D.11
【解析】2.数列没有明显特征，一般是优先作差，但是给的好几个数都比
10 小，典型的深圳题，借鉴了浙江特色，如果数列没有明显特征，并且小于 10
的数字非常多，优先加和找规律，加和得到 2、3、5、7，是质数数列，下一项
是11，倒推回去，-5+16=11，（ ）=16，选择 B项。【选 B】
递推数列
题型特征：无明显特征，非多级数列
解题思路：1.圈三个数（圈中间的不大不小的三个数）
2.找规律（递增：和，倍，积，方；递减：差，商）
3.做验证
注：偶尔考四项递推（数字小，数列长，作和）
【注意】递推数列：
1.题型特征：无明显特征，非多级数列。
2.解题思路：
（1）圈三个数（圈中间的不大不小的三个数，数字太小规律太多，数字太
大不好找规律）。
（2）找规律（递增：变化平缓考虑加和、倍数。变化非常陡，比如一位数
到2位数到4位数，考虑乘积和幂次。递减：考虑作差或作商）。
（3）做验证。
3.注：偶尔考四项递推（数字小，数列长，作和）。2014年浙江考了一个古
13早规律，没有明显特征，按多级作差作和也没有规律，小于 10 的数字非常多，
大于7项，直接考虑四项递推，拓展题详细说。
3.（2020浙江）36，12，30，36，51，（ ），94.5
A.61 B.69
C.77 D.85
【解析】3.数列没有明显特征，按常规逻辑解题，多级没有规律，如果一步
步做，光多级就浪费非常多时间，前面的数都是整数，到了最后一个数带了“.5”，
36和51没有倍数关系，作商不行，跳到除以 2的递推，圈不大不小三个数，比
如12、30、36，找规律，30+36差6，6和 12 有除以2的关系，12/2+30=36，①
/2+②=③，验证规律，36/2+12=30，30/2+36=51，规律满足，36/2+51=69，刚好
对应 B 项。时间不够，直接选 B 项走人，时间充足且不放心则验证一下，
51/2+69=94.5，规律满足，选择B项。【选 B】
【注意】考场小贴士：整数中出现“.5”，优先考虑作商或者/2的递推。
4.（2020深圳）0，24，12，18，15，（ ）
A.14 B.15.5
C.16 D.16.5
【解析】4.没有明显特征，整数中出现“.5”，优先考虑作商或者/2 的递
推。24/0不现实，作商不行，跳到除以 2的递推，圈不大不小三个数，比如 24、
12、18，变化平缓，考虑加和、倍数，（24+12）/2=18，（①+②）/2=③，验证，
（0+24）/2=12，（12+18）/2=15，规律符合，（ ）=（18+15）/2=16.5，对应
D项。【选D】
5.（2020江苏）3，7，16，36，80，（ ）
A.176 B.148
C.166 D.188
14【解析】5.观察数字，80 在 81 附近，要修正，16 和 36 不用修正，考虑幂
次修正不太现实，没有明显特征，考虑多级，但是按多级发现也没有规律，考虑
递推，圈不大不小三个数，比如 7、16、36，变化比较平缓，考虑加和或者倍数，
7+16=23，不好找，16-7=9，9*4=36，（16-7）*4=36，（②-①）*4=③，验证，
（7-3）*4=16，（36-16）*4=80，规律满足，（ ）=（80-36）*4=176，选择A
项。【选A】
【拓展】（2018 吉林）1，3，4，8，15，27，（ ）
A.45 B.65
C.58 D.50
【解析】拓展.虽然 27、8、4 都是幂次数，但是 3 和 15 要修正，有些要修
正，有些不要修正，幂次不好找规律，考虑多级，但是多级考虑过程中，不管作
差还是作和都找不到规律，就到了递推，数列包括所求项有 7项，有 4个数都在
10以下，数字很小，数列很长，考虑 4项递推，考虑加和，1+3+4=8，3+4+8=15，
4+8+15=27，规律符合，前三项加和=第四项，8+15+27=50，选择 D 项。【选 D】
【注意】考场小贴士：四项递推（数字小，数列长，作和）。
三、组卷练习
1.（2019深圳）35，5，（ ），5/49，5/343
A.5/7 B.3/7
C.5/42 D.4/49
【解析】1.出现分数，选项是分数，优先考虑分数数列，前面的整数要反约
分，5/49 和5/343，5和5的规律很简单，49和343是幂次数，所求项的分子是
5，49=7²，343=73，考虑规律的简单化，（ ）=5/71=5/7，有这个选项，考场上
没有时间直接选择 A 项。如果想要严谨一点，老实把前面两个转化出来，
5=5/1=5/70，35=5÷（1/7）=5/7-1，所求项也能锁定 A项。【选A】
152.（2023天津事业单位）8，7，5，4，（ ）
A.1 B.2
C.3 D.4
【解析】2.没有明显特征，考虑多级，数字很小，小数字非常多，优先作和
找规律，得到15、12、9，是公差为3的等差数列，下一项是 6，（ ）=6-4=2，
选择B项。【选B】
【注意】本题是事业单位的题目，事业单位的题目出题中可能出现规律不严
谨的情况，多个选项满足的情况下，优先考虑简单的规律。正规考试中，国考省
考中不会出现这种情况。
3.（2023广东事业单位）10，6，10，12，30，48，150，（ ）
A.266 B.277
C.288 D.299
【解析】3.数列非常长，考虑多重，优先看未知项所在的项数，6、12、48、
（ ），倍数关系明显，作商得到 2、4，直接推规律不太严谨，未知数推规律
不太严谨时，借鉴另外一组，10、10、30、150，同样是作商，得到 1、3、5，
是公差为2的等差数列，未知项所在的项数考虑等差，2和4差2，下一项是 6，
（ ）=48*6=288，有这个答案，说明借鉴没问题，对应 C项。【选 C】
4.（2020深圳）-1，7，34，98，223，（ ）
A.461 B.441
C.440 D.439
16【解析】4.方法一：幂次数附近，34 附近有 36，98 附近有 100，223 附近
有 225，考虑幂次修正，223=225-2，98=100-2，34=36-2，7=9-2，-1=1-2，前
面依次为1²、3²、6²、10²、15²，底数作差是 2、3、4、5，下一项是 6，15+6=21，
故21²=441，（ ）=441-2=439，选择D项。
方法二：如果一时半会看不出明显规律，考虑多级，一言不合作差，得到 8、
27、64、125，是幂次数列，依次为23、33、43、53，下一项是63=216，（ ）=223+216=439。
【选D】
5.（2022深圳）0，1，2，6，16，44，（ ）
A.58 B.66
C.120 D.132
【解析】5.16 是平方数，但是其他都需要修正，幂次不行。没有明显特征，
考虑多级，但是发现作差作和都找不到规律，多级不行（不带大家试错了），考
虑递推，建议圈6、16、44，出现2个两位数的是最好找规律的，发现变化平缓，
考虑加和或者倍数，6+16=22，22*2=44，（6+16）*2=44，（①+②）*2=③，验
证，（0+1）*2=2，（1+2）*2=6，（2+6）*2=16，规律满足，（ ）=（16+44）
*2=120，对应C项。【选 C】
17【注意】
1.基础数列要非常熟悉。
2.修正幂次经常出现的数有27、64、81，注意先转化为唯一的幂次数。
3.浙江特色，图形数阵可能考查公倍数这个点。
4.多级数列中，如果小数字比较多，优先考虑作和找规律。
5.递推数列中，如果发现小数字很多，数列很长，四项去找规律。
6.做题基本逻辑：观察数列是否有特征，根据特征选择对应解题方法。
（1）平均一道题 50s左右，可以一分钟左右，一个题不要纠结太长时间。
（2）先看有无明显特征——多级数列——递推数列——pass。正确率要达
到80%。
18【注意】代入排除：
1.何时用：
（1）题型：年龄、余数、多位数、不定方程。
（2）选项：选项信息充分，如选项为一组数（如 A.40 60）。
（3）题干：主体多、关系乱。
2.怎么用：
（1）先排除：大小、奇偶、倍数、尾数。
（2）再代入：
①最值原则：如果出现最大、最小的问法，就先代入最大、最小。
②从简原则：简单条件，好算原则。
3.代入逻辑：遇矛盾，就排除；全符合，就选择，见好就收。
1.（2021 事业单位）今年小华一家四口的年龄之和为 110 岁，其中哥哥比
小华大2岁，爸爸比妈妈大 2岁，14年前全家的年龄之和为 55岁，问哥哥今年
多少岁？
A.15 B.16
C.17 D.18
【解析】1.出现“年龄”，为年龄问题，考虑代入排除法，边读题边代选项。
有哥哥、小华、爸爸、妈妈一家四口，今年小华一家四口的年龄之和为 110 岁，
哥哥比小华大2岁，爸爸比妈妈大 2岁，14 年前全家的年龄之和为 55岁，问哥
哥今年的年龄。代入 A 项，今年：哥哥 15 岁，“哥哥比小华大 2 岁”，则小华
1915-2=13 岁，15+13=28 岁，爸爸和妈妈的年龄和=110-28=82 岁。14 年前：年龄
往前推 14 岁，哥哥 1 岁，小华还没有出生（0 岁），则爸爸和妈妈的年龄和
=82-14-14=54 岁，1+0+54=55 岁。今年爸爸和妈妈的年龄和为 82 岁，能凑出爸
爸比妈妈大2岁的情况，符合题干所有条件，选择 A项。【选A】
【注意】年龄问题中，如果孩子还没有出世，就当作 0岁计算。
2.（2022 事业单位）一些篮球爱好者包下了一个篮球场地，包场费用按第
一个小时 420 元，不足一小时按一小时计，之后每 10 分钟增加 70 元，不足 10
分钟的按10分钟计。比赛结束后，恰好人均付费 63元，那么最少有多少人参加
比赛？
A.20 B.15
C.10 D.5
【解析】2.本题用分段计费也可以做，但是还需要设未知数，比较麻烦。问
的是最少有多少人参加比赛，给了人均费用，如果知道了人数，总钱数可以求出，
选项信息很充分，考虑代入排除法。代入排除问题中，如果出现最值问法，就按
照最值来，问最少，先代入 D 项：人数=5，5*63=315＜420，不满足，排除；代
入C项：人数=10，10*63=630，630=420+210，“每10分钟增加70元”，210=70*3，
即3个10分钟，满足题干所有条件，C项当选。【选C】
【注意】结合题干发现，尾数肯定是 0，先排除 B、D项，剩下 A、C项，考
虑代入排除，问最小，先代入 C项。
20【注意】倍数特性法：
1.基础知识：
（1）当B、C 为整数时，如果A=B*C，则 A能被B、C整除。
（2）口诀：如 2052：2+0+5+2=9，既是 3 的倍数、也是 9 的倍数；末两位
52/4=13，是4的倍数；尾数为 2，不是5的倍数。
①3、9看各位数字之和。
②4看末两位。
③5看末位（0 或5）。
（3）因式分解。12=3*4≠2*6，分解时必须互质（只有互质才能验证全部约
数）。
（4）拆分：拆成两个数的和或差。如判断 639是否是7的倍数：639=630+9，
630是7的倍数，9 不是7的倍数，说明639 不是7的倍数。
2.余数型：多退少补。如 11 个人分苹果，剩 3 个就是余 3 个，总数-3=11
的倍数；缺3个就是少 3个，总数+3=11的倍数。
（1）若y=ax+b，则y-b能被a整除。
（2）若y=ax-b，则y+b能被a整除。
（3）前提：a、x均为整数。
3.比例型：出现比例（如 3：5）、分数（如 3/5）、百分数（如 60%）、小数
（如0.6）。
（1）若A/B=m/n，则：
21①A是m的倍数，B是n的倍数。
②A±B是m±n 的倍数。
（2）前提：A、B均为整数，m/n是最简整数比。
4.解题思维：利用选项结合倍数关系，先排除，排除不完再代入。
3.（2023北京）某单位 3个部门共有员工 50人，拥有中级工程师职称的人
员比重为 40%。其中甲、乙两个部门拥有中级工程师职称的人员比重分别为 45%
和32%，则丙部门拥有中级工程师职称的人员比重为：
A.60% B.52%
C.44% D.36%
【解析】3.边读题，边算出简单数据，拥有中级工程师职称的人员比重为
40%”，说明中级工程师一共有 50*40%=20人，“其中甲、乙两个部门拥有中级工
程师职称的人员比重分别为 45%和 32%”，问丙部门拥有中级工程师职称的人员
比重，列方程比较麻烦。要求人数（具体量），出现百分数，考虑比例型倍数特
性。甲部门中级职工人数/甲部门总人数=45%=45/100=9/20（最简整数比），乙部
门中级职工人数/乙部门总人数=32%=32/100=8/25，说明甲部门总人数是 20的倍
数，乙部门总人数是 25 的倍数。一共 50 人，说明乙部门一定是 25 人，则甲部
门20人（如果是40 人，总数超过50人），丙部门=50-25-20=5人；同理，甲部
门中级职工人数是 9 人，乙部门中级职工人数是 8 人，则丙部门中级职工人数
=20-9-8=3人，故所求=3/5=60%，对应A项。【选A】
4.（2024浙江考生回忆版）某公司招聘员工，来应聘的男、女人数比是 18：
17，最后被录取的有 280 人，其中男、女人数比是 3：4，未被录取的男、女人
数比是6：5。问来应聘的共有多少人？
A.630 B.720
C.1050 D.1400
【解析】4.方法一：要求人数（具体值），出现比例，考虑比例型倍数特性。
“来应聘的男、女人数比是 18：17”→男生/女生=18/17，说明总人数是 18+17=35
的倍数。35=5*7，结合选项，选项都是 5 的倍数，只有 B 项（720）不是 7 的倍
22数，说明720不是 35的倍数，排除 B项。“未被录取的男、女人数比是 6：5”，
总人数-280=未被录取人数（未被录取：男生/女生=6/5，则未被录取人数=11的
倍数），A 项：630-280=350，350 不是 11 的倍数，排除；C 项：1050-280=770，
770 是 11 的倍数，保留；D 项：1400-280=1120，1120 不是 11 的倍数，排除；
选择C项。
方法二：等量关系明显，数字也不难算，可以用方程法。“来应聘的男、女
人数比是 18：17”，假设来应聘的男生人数为 18x，女生人数为 17x，总人数为
18x+17x=35x；“最后被录取的有 280人，其中男、女人数比是 3：4”，总共 3+4=7
份→280，1份→40，则录取男生人数为 3*40=120人、录取女生人数为 4*40=160
人；总人数-录取人数=未被录取人数，“未被录取的男、女人数比是 6：5”，则
未录取男生人数 18x-120、未录取女生人数 17x-160，（18x-120）/（17x-160）
=6/5，一个未知数、一个方程，直接求解，90x-600=102x-960，解得x=360/12=30，
总人数=35x=35*30=1050，对应C项。【选C】
5.（2023事业单位）某旅行团有游客 58 人，将他们按照年龄划分为甲、乙、
丙、丁四档，其中乙档人数比甲档人数的 3 倍少2人，丙档人数是甲档人数的 2
倍，甲档人数是丁档人数的 1.5倍，则这个旅行团中年龄属于乙档的人数为多少
人？
A.25 B.26
C.27 D.28
【解析】5.出现倍数，考虑倍数特性。“乙档人数比甲档人数的 3 倍少 2
人”，余数型倍数特性，多退少补，乙+2=3 甲=3的倍数，四个选项+2分别为27
（3 的倍数）、28（不是 3 的倍数）、29（不是 3 的倍数）、30（3 的倍数），排除
B、C 项；剩下 A、D 项，剩二代一，如果代入 A 项：乙=25，甲=（25+2）/3=9，
丙=9*2=18，丁=9/1.5=6，25+9+18+6=58，满足题干所有条件，选择 A 项。【选A】
23【注意】方程法：
1.普通方程：设未知数。
（1）设小不设大（避免分数）。
（2）设中间量（方便列式）。
（3）求谁设谁（避免陷阱）。
（4）出现比例：设份数，如比例为18：17，直接按照份数设未知数。
2.不定方程：代入排除。
（1）奇偶特性：系数一奇一偶。
（2）倍数特性：系数与常数有公因子。
（3）尾数特性：系数尾数为 5或0。
（4）直接代入选项。
3.不定方程组：
（1）未知数一定是整数，消元（求谁保留谁）。
（2）拓展：未知数不一定是整数（如钱数、时间等），特值法（一般赋 0）。
不定方程组
第二类：未知数不一定是整数
方法：特值法（一般赋零），可以赋其中 1 个未知数为零，进而快速计算出
其他未知数
例：（2018 年北京）老张购买学习和生活用品捐赠给山区贫困小学生。3 个
笔盒、2 个皮球和 4 个杯子一共 89 元，5 个笔盒、6 个皮球和 7 个杯子一共 127
元。如果笔盒、皮球、杯子各买一个共多少元？
A.26 B.27
24C.28 D.29
【注意】不定方程组：
1.第二类：未知数不一定是整数，如钱数、时间。
2.方法：特值法（一般赋零），可以赋其中 1 个未知数为零，进而快速计算
出其他未知数。
3.例：（2018 年北京）老张购买学习和生活用品捐赠给山区贫困小学生。3
个笔盒、2个皮球和 4个杯子一共89元，5个笔盒、6个皮球和7个杯子一共 127
元。如果笔盒、皮球、杯子各买一个共多少元？
A.26 B.27
C.28 D.29
答：等量关系明显，设未知数列方程求解。设一个笔盒、一个皮球、一个杯
子的价格分别为 x、y、z，3x+2y+4z=89，5x+6y+7z=127，三个未知数、两个方
程，是不定方程组。要求的是钱数，未知数不一定是整数，不定方程组有无数组
解，但这是单选题，不管解出哪组解，最终加和都为定值。考虑赋零，z的系数
比较大，可以赋值 z=0，3x+2y=89①，5x+6y=127②，①*3-②得：4x=140，解得
x=35，3*35+2y=89，解得y=-8，x+y+z=35-8+0=27。
4.ax+by+cz=M ，ax+b y+cz=M，如果 x、y、z是整数，考虑消元，比如消
1 1 1 1 2 2 2 2
去 z，式子就转化为 ax+by=M 的形式，如果 a、b 一奇一偶，先根据奇偶特性排
除一些选项；如果 M 和 a、b 之间有公因子，就用倍数特性排除一些选项；如果
a、b中有一个是尾 0或者尾5，就用尾数特性排除一些选项；最终如果还有其它
选项，考虑代入排除。
6.（2022 事业单位）某单位举办员工运动会，包括跑步、跳高、跳绳、拔
河、掷铅球 5 个比赛项目，共 42 人参加了项目，每人只参加一项，已知有 12
人参加跑步项目，参加跳高和跳绳项目人数相同，参加拔河项目人数最多，参加
掷铅球项目人数最少仅有 5人。参加拔河项目的人数为多少人？
A.13 B.14
C.15 D.16
【解析】6.“每人只参加一项”→比如参加了跑步，就不能参加其它的。等
25量关系明显，设未知数列方程求解。“参加跳高和跳绳项目人数相同”，设跳高、
跳绳的人数均为 x、拔河的人数为 y，12+x+x+y+5=42→2x+y=25，两个未知数、
一个方程，为不定方程。25为奇数，2x为偶数，偶数+奇数=奇数，则 y为奇数，
排除 B、D 项；剩下 A、C 项，剩二代一，代入 A 项，y=13，2x+13=25，2x=12，
解得x=6，满足题干所有条件，不用再代入 C项，选择A项。【选A】
7.（2021 黑龙江公检法司）幼儿园需采购春联、窗花、小狗玩偶三种新年
用品。已知大班采购春联 7 副、窗花 12 对、小狗玩偶 5 个，共花费 200 元；中
班采购春联 9 副、窗花 19 对、小狗玩偶 5 个，共花费 224 元。问小班采购春联
10副、窗花10对、小狗玩偶 10个需花费多少元？
A.170 B.176
C.340 D.352
【解析】7.等量选项明显，设未知数列方程求解。假设春联、窗花、玩偶单
价分别为 x、y、z，7x+12y+5z=200，9x+19y+5z=224，三个未知数、两个方程，
是不定方程组。要求的是钱数，钱数不一定是整数，采取赋零的思维，y的系数
比较大，考虑把y 赋值为0，7x+5z=200①，9x+5z=224②，②-①得：2x=24，解
得 x=12 ， 代 入 ① 得 ： 7*12+5z=200 ， 5z=200-84=116 ， 故 所 求
=10x+10y+10z=10*12+10*0+116*2=120+232=352，对应D项。【选D】
【注意】工程问题：
261.完工时间型：
（1）第一步，赋总量：完工时间的公倍数。
（2）第二步，求效率：效率=总量/时间。
（3）第三步，再做题：根据工作过程列式。
2.效率比例型：
（1）第一步，赋效率：对应比例。
（2）第二步，求总量：总量=效率*时间。
（3）第三步，再做题：根据工作过程列式。
3.给具体量型：
（1）列式。
（2）列方程。
4.牛吃草类型：
（1）题型判断：排比句：有增长、有消耗。
（2）核心公式：Y=（N-X）*T。
8.（2022 事业单位）一批试卷分配给甲、乙两人评阅。如果甲单独评阅，
需30小时才能完成任务。乙单独评阅，需 40小时才能完成任务。现在他们两人
一起同时开始评阅，经过 25 小时评卷结束。评卷期间甲休息了 7 小时，问乙在
评卷期间休息了多少小时？
A.6 B.7
C.8 D.9
【解析】8.“甲单独评阅，需 30 小时才能完成任务；乙单独评阅，需 40
小时才能完成任务”，出现多个完工时间，属于给完工时间型工程问题。（1）赋
总量：赋值总量为 30 和 40 的公倍数 120；（2）算效率：甲效率=120/30=4，乙
效率=120/40=3；（3）根据工作过程列式求解：已知“现在他们两人一起同时开
始评阅，经过25小时评卷结束；评卷期间甲休息了 7小时”，甲工作了 25-7=18
小时，假设乙在评卷期间休息了 t小时，则乙工作了 25-t小时，工作总量不变，
4*18+3*（25-t）=120，能约分的先约分，解得 t=9，对应D项。【选 D】
279.（2021 北京）农场使用甲、乙两款收割机各 1 台收割一片麦田。已知甲
的效率比乙高 25%，如安排甲先工作 3 小时后乙加入，则再工作 18 小时就可以
完成收割任务。问如果增加 1台效率比甲高 40%的丙，3台收割机同时开始工作，
完成收割任务的用时在以下哪个范围内？
A.8小时以内 B.8～10小时之间
C.10～12小时之间 D.12 小时以上
【解析】9.收割麦田，是工程问题。“甲的效率比乙高 25%”，甲=乙*（1+25%），
甲/乙=5/4，给了甲、乙的效率比例关系，属于给效率比例型工程问题。（1）赋
效率：赋值甲效率是 5，乙效率是 4。（2）算总量：W=5*3+（5+4）*18=177。（3）
列式求解：“丙的效率比甲高 40%”，则丙效率=5*（1+40%）=7，t=总量/效率和
=177/（5+4+7）=177/16=11+，对应C项。【选 C】
10.（2024 江苏网友回忆版）甲、乙、丙三人合作完成一项任务。乙先做 9
天，再和甲合作 6 天，完成了任务的 60%，剩下的任务，若由丙做，恰好 10 天
完成。甲、乙、丙三人的工作效率之比是：
A.5：4：6 B.6：4：5
C.10：15：12 D.12：15：10
【解析】10.方法一：如果直接做，要设的未知数比较多，最终要求三者效
率之比，选项给的都是比例，选项是一组数，选项信息充分，用代入排除思维。
代入 A 项：已知效率比，赋值甲效率=5，乙效率=4，丙效率=6，“乙先做 9 天，
再和甲合作 6 天，完成了任务的 60%”，可以算出总任务量，剩下的 40%丙做了
10天，40%*W=6*10，解得 W=60/40%=150；150*60%=90，4*9+（5+4）*6=36+54=90，
满足题干所有条件，选择 A项，不用再代入其余选项。
方法二：“乙先做 9天，再和甲合作6 天，完成了任务的60%”，甲、乙干了
这么长时间才完成 60%，而丙只要 10 天完成，说明丙干得更快，丙的效率肯定
最大，结合选项，排除 B、C、D项，选择A 项。【选A】
【注意】本题给的不是完工时间，不能赋值总量。
28【拓展】牛吃草问题
题型特征：有增长有消耗（排比句）
公式：Y=（N-X）*T，Y：原有草量，N：牛的头数×牛吃草速度（一般设为
1），X：草生长的速度，T：时间。
【引例】一片草地，10头牛30天吃完，20头牛10天吃完，问 30头牛几天
吃完？
真题常见形式：挖沙、排队、抽水等
【注意】牛吃草问题：特殊题型，套路题。
1.题型特征：有增长有消耗（排比句）。
2.公式：Y=（N-X）*T，Y：原有草量，N：牛的头数*牛吃草速度（一般设为
1，如果题干给出牛吃草的速度，需要乘上去），X：草生长的速度，T：时间。推
导：原有草量+草生长的量=牛吃的草量，假设时间为 T，Y+X*T=N*T，Y=N*T-X*T=
（N-X）*T。如果出现多台机器、多个人，可以赋值每台机器、每个人单位时间
的效率为1。
3.引例：一片草地，10头牛30天吃完，20头牛10天吃完，问 30头牛几天
吃完？
答：牛吃草、草消耗，草也在长，有增长、有消耗，出现排比句，是牛吃草
问题，核心公式：Y=（N-X）*T。Y=（10-X）*30=（20-X）*10=（30-X）*T，30-3X=20-X，
解得X=5，15*10=25*T，解得T=6天。
4.真题常见形式：挖沙、排队、抽水等。如挖沙的时候，一边挖沙、上游还
会带来泥沙；排队的时候，窗口消耗人、陆续还有人来排队；抽水的时候，一边
抽水、一边下雨。
11.（2020广东）某政务服务大厅开始办理业务前，已经有部分人在排队等
候领取证书，且每分钟新增的人数一样多。从开始办理业务到排队等候的人全部
领到证书，若同时开 5个发证窗口就需要1 个小时，若同时开 6个发证窗口就需
要40分钟。按照每个窗口给每个人发证书需要 1分钟计算，如果想要在 20分钟
内将排队等候的人的证书全部发完，则需同时开多少个发证窗口？
A.7 B.8
29C.9 D.10
【解析】11.窗口消耗人、队伍增加人，有增长、有消耗，出现排比句，是
牛吃草问题，核心公式：Y=（N-X）*T。Y指的是一开始排队的人数（原有草量），
X 指的是每分钟新增的人数（草生长的量），N 指的是发证窗口数（牛的头数），
“按照每个窗口给每个人发证书需要 1 分钟计算”→T，前面说的是小时，后面
说的是分钟，单位统一，1小时=60分钟，Y=（5*1-x）*60=（6*1-x）*40=（N*1-X）
*20，15-3X=12-2X，解得 x=3，3*40=（N-3）*20，解得N=6+3=9，对应 C项。【选
C】
12.（2022江苏）某疫苗接种点市民正在有序排队等候接种。假设之后每小
时新增前来接种疫苗的市民人数相同，且每个接种台的效率相同，经测算：若开
8个接种台，6小时后不再有人排队；若开 12 个接种台，3小时后不再有人排队。
如果每小时新增的市民人数比假设的多25%，那么为保证2小时后不再有人排队，
需开接种台的数量至少为：
A.14个 B.15 个
C.16个 D.17 个
【解析】12.接种台消耗人、排队增加人，有增长、有消耗，出现排比句，
是牛吃草问题，公式：Y=（N-X）*T。一开始有序排队的市民数→Y，每小时新增
的市民数→X，接种台→N，“每个接种台的效率相同”，赋值每个接种台的效率为
1，Y=（8-X）*6=（12-X）*3，一个未知数、一个方程，直接求解，16-2X=12-X，
解得 X=4，Y=（8-4）*6=24。“每小时新增的市民人数比假设的多 25%”，X’=4*
（1+25%）=5，代入公式：24=（N-5）*2，解得 N=17，对应D项。【选 D】
【拓展】（2021 深圳）某轮船发生漏水事故，漏洞处不断地匀速进水，船员
发现险情后立即开启抽水机向外抽水。已知每台抽水机每分钟抽水 20 立方米，
若同时使用 2 台抽水机 15 分钟能把水抽完，若同时使用 3 台抽水机 9 分钟能把
水抽完。当抽水机开始向外抽水时，该轮船已进水（ ）立方米。
A.360 B.450
C.540 D.600
30【解析】拓展.边抽水、边漏水，有增长、有消耗，出现排比句，是牛吃草
问题，核心公式：Y=（N-X）*T。Y指的是原来已经进水的体积，X指的是匀速的
进水速度，“每台抽水机每分钟抽水 20立方米”，N指的是抽水机的台数*抽水速
度，Y=15*（2*20-X）=9*（3*20-X），200-5X=180-3X，解得 X=20/2=10，Y=（2*20-10）
*15=450，对应B项。【选 B】
【答案汇总】
特征数列1-5：CDBDA；6：C
非特征数列1-5：DBBDA
组卷练习1-5：ABCDC
数量关系1-5：ACACA；6-10：ADDCA；11-12：CD
31遇见不一样的自己
Be your better self
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