文档内容
方法精讲-数量 5
（笔记）
主讲教师：李晟
授课时间：2023.06.13
粉笔公考·官方微信方法精讲-数量 5（笔记）
数量关系 方法精讲5
学习任务：
1.课程内容：排列组合与概率问题、容斥原理问题
2.授课时长：3小时
3.对应讲义：第198～203页
4.重点内容：
（1）掌握常用的排列组合公式，理解分类讨论与分步计算的区别，正难反
易则从反面求解
（2）掌握枚举法、捆绑法、插空法和隔板法的适用范围和使用步骤
（3）掌握概率问题的两种题型——给情况求概率、给概率求概率
（4）掌握两集合容斥原理公式、三集合容斥原理的标准型和非标准型公式
（5）掌握画图法在容斥原理问题中的运用
第八节 排列组合与概率问题
一、排列组合问题
两个原理
加法原理：分类用加法
乘法原理：分步用乘法
两个概念
排列
组合
【注意】排列组合问题：如果此前从未学过（如有些地方高中的文科生，教
材中删去了这一部分），上课要认真听讲。能够听懂40%～50%的内容，代表这一
题型有很大潜力，要好好去把握。课上听不太懂的，课后多听几遍，认真巩固。
如果实在听不懂，可以选择战略性放弃，把时间用在其他题型上。但排列组合与
概率问题考频非常高（每年必考 1 题），且不会考的特别复杂，一般考查基础概
念（分步、分类、排列组合），所以但凡能够听懂一点点，都要努力克服一下困
1难，认真学习。
1.两个原理：贯穿于排列组合与概率问题始终。
（1）加法原理：分类用加法。
（2）乘法原理：分步用乘法。
2.两个概念：
（1）排列。
（2）组合。
（一）基础概念
基础概念1：分类与分步
分类用加法（要么……要么；或；选择其一）
选择任何一种情况均可完成目标，则相加得到总情况数
【示例 1】下课后去吃饭，有 3 家黄焖鸡，2 家沙县，4 家兰州拉面，只选
择一家，有多少种不同的选择方式？
分步用乘法（既……又；且；缺一不可）
各种情况都选好了才能完成最终的目标，则相乘得到总情况数
【示例2】决定吃黄焖鸡，已知黄焖鸡有4种口味，有大份、小份2种规格，
有多少种不同的选择方式？
【注意】基础概念1：分类与分步。
1.分类用加法（要么……要么；或；选择其一）：要么选择A，要么选择B；
如高考填志愿，要么去清华，要么去北大。“或”的关系。
（1）选择任何一种情况均可完成目标，则相加得到总情况数。
（2）示例1：下课后去吃饭，有3家黄焖鸡，2家沙县，4家兰州拉面，只
选择一家，有多少种不同的选择方式？
答：要满足“吃饭”这一目标，“只选择一家”，要么去吃黄焖鸡，要么去吃
沙县，要么去吃兰州拉面，三者之间是“或”的关系，选择其中任何一种情况都
可以完成“吃饭”这一目标，把每一种类别的情况数相加即可，所求=3+2+4=9
种。
2.分步用乘法（既……又；且；缺一不可）：
2（1）各种情况都选好了才能完成最终的目标，则相乘得到总情况数。
（2）示例 2：决定吃黄焖鸡，已知黄焖鸡有 4 种口味，有大份、小份 2 种
规格，有多少种不同的选择方式？
答：黄焖鸡既有口味又有规格，需要跟老板说吃什么口味（如：特辣、中辣、
微辣、不辣），有4种选择；还要选择吃大份或小份，有 2种选择。要想吃到一
碗黄焖鸡，既要选好口味，又要选好规格，两个动作为“且”的关系，缺一不可，
属于分步，要把每一类乘起来，所求=4*2=8种。
基础概念2：排列与组合
组合（C）：与顺序无关（只需要选人）
从8个人中选出3个人打扫卫生，共有多少种选法？
排列（A）：与顺序有关（选完人后需要排序）
从8个人中选出3个人排成一队照相，共有多少种安排方式？
【示例1】取经途中，师傅被妖怪抓走了，需要从4名徒弟中选择2人去救
师傅，有几种方式？
【示例 2】师傅又被妖怪抓走了，需要从 4 名徒弟中选择 2 人去救师傅，1
人负责探路，1人负责打妖怪，有几种方式？
有序用排列A：A（n,m）=从n开始往下递减乘m个数
A（8,3）=8*7*6
无序用组合C：C（n,m）=从n开始往下递减乘m个数/从m开始往下递减乘
到1
C（8,3）=（8*7*6）/（3*2*1）
【注意】基础概念 2：排列与组合（难点）。问做一件事的方案数有多少，
如选几个人去打扫卫生，一共有几种选择方式。
1.组合（C）：与顺序无关（只需要选人）。
例：从8个人中选出3个人打扫卫生，共有多少种选法？
答：选出3个人去“打扫卫生”，不需要考虑先选A、先选B还是先选C，3
3个人也不需要做不同的工作，与顺序无关，只需要把这3个人选出来就可以，用
组合（C），把总人数“8”写在下面，要选的人数“3”写在上面，记作C（8,3）。
2.排列（A）：与顺序有关（选完人后需要排序）。
例：从8个人中选出3个人排成一队照相，共有多少种安排方式？
答：“选出3个人照相”，是甲乙丙还是乙甲丙，谁在中间、谁在两边，位置
不同，结果不同。包括两个动作：先选出人，再进行排序。排序用A，把总人数
“8”写在下面，要选的人数“3”写在上面，记作A（8,3）。表示先从8个人中
把3个人选出来：C（8,3），再对这 3个人进行排序：A（3,3），为“且”的关系，
用乘法，则A（8,3）=C（8,3）*A（3,3）。
3.判定标准：
（1）有序用排列A：任选两个主体，调换顺序，结果不同，与顺序有关（排
列 A）。如选 3 个人排队照相，排为甲乙丙还是乙甲丙，谁在中间、谁在两边，
位置不同，结果不同，说明做这件事需要考虑顺序，用排列（A）来计算，A（8,3）。
（2）无序用组合C：任选两个主体，调换顺序，结果不变，与顺序无关（组
合 C）。如选出 3 个人打扫卫生，只需要把 3 个人选出来即可，先选谁后选谁没
有区别，改变顺序不影响结果，说明做这件事不需要考虑顺序，用组合（C）来
计算，C（8,3）。
（3）示例 1：取经途中，师傅被妖怪抓走了，需要从 4 名徒弟中选择 2 人
去救师傅，有几种方式？
答：题目要求较单纯，只需要从4名徒弟中选出2人去救师傅，没有分工要
求，只需要把人选出来就可以，用组合（C）计算，把总人数“4”写在下面，要
选出的人数“2”写在上面，记作C（4,2）。
4（4）示例2：师傅又被妖怪抓走了，需要从4名徒弟中选择2人去救师傅，
1人负责探路，1人负责打妖怪，有几种方式？
答：选出的2个人后，有不同的分工，比如选了悟空和八戒，谁去探路、谁
去打妖怪，需要进行排序分工。先选人，再排序，与顺序有关，用排列（A）计
算，从4个人中选出2人，记作A（4,2）=C（4,2）*A（2,2）。
4.计算公式：
（1）有序用排列A：A（n,m）=从n开始往下递减乘m个数。
①A（8,3）=8*7*6。从下角标（8）开始乘，依次递减1，乘上角标（3）个
数。
②A（12,5）=12*11*10*9*8。从下角标（12）开始乘，依次递减1，乘上角
标（5）个数。
③A（8,8）=8*7*6*5*4*3*2*1。8个人都需要进行排序，叫做全排列，上下
角标数字相同，从下角标（8）开始乘，依次递减1，一直乘到1。
（2）无序用组合 C：C（n,m）=从 n 开始往下递减乘 m 个数/从 m 开始往下
递减乘到1。
①C（8,3）=（8*7*6）/（3*2*1）。C（8,3）的分子与A（8,3）相同，分母
为从上角标的数开始往下递减乘到1为止。选同样的人，排序的情况数肯定更多，
不排序的情况数更少。A（8,3）=C（8,3）*A（3,3）→C（8,3）=A（8,3）/A（3,3）。
②C（12,5）=A（12,5）/A（5,5）=（12*11*10*9*8）/（5*4*3*2*1），计算
过程中分子、分母可以进行约分。
排列组合三步走
第一步：确定目标（做什么事）
第二步：如何完成目标：是否需要分类
第三步：用排列（A）还是组合（C）
注：简单题目可能不需要分类讨论，复杂题目分类后再分步
【示例 1】5 名男生，6 名女生。选出 3 个人去参加培训，要求 1 男 2 女。
5有多少种情况？
【示例 2】5 名男生，6 名女生。选出 4 个人去参加培训，要求至少 3 名女
生，有多少种情况？
【注意】排列组合三步走：
1.第一步：确定目标（做什么事）。
2.第二步：如何完成目标：是否需要分类。
3.第三步：用排列（A）还是组合（C）。
4.注：简单题目可能不需要分类讨论，复杂题目分类后再分步。
5.示例 1：5 名男生，6 名女生。选出 3 个人去参加培训，要求 1 男 2 女。
有多少种情况？
答：要求“选3个人，1男2女”。先从5名男生中选出1名男生，1个人不
用排序，为 C（5,1）；再从 6 名女生中选出 2 名女生，“参加培训”没有顺序，
只需要把人选出来就可以了，不用排序，为C（6,2）。把握不准用加法还是乘法，
自己造句进行判断，是“要么选出 1名男生，要么选出 2 名女生”，还是“既要
选出1 名男生，又要选出2 名女生”，应该是“既……又……”的关系，分步用
乘法，所求=C（5,1）*C（6,2）。
6.示例 2：5 名男生，6 名女生。选出 4 个人去参加培训，要求至少 3 名女
生，有多少种情况？
答：“要求至少3名女生”，需要分类讨论。（1）3女1男：从6名女生中选
出3名，为 C（6,3）；从 5 名男生中选出1 名，为 C（5,1）；既要选 3 名女生，
又要选1名男生，分步用乘法，C（6,3）*C（5,1）。（2）4女：从 6名女生中选
出4名，不需要排序，为C（6,4）。分两个类别，要么选3女1男，要么选4女，
为“或”的关系，用加法，所求=C（6,3）*C（5,1）+C（6,4）。
6【例1】（2024联考）某单位从所有职工中选出若干人参加培训，如果选择
4人，可能的选择方式正好是选择3人时的10倍，问该单位有多少名职工？
A.32 B.33
C.42 D.43
【解析】1.由题干条件可得：选4人的情况数/选3人的情况数=10，设单位
有x名职工。从x名职工中选4个人，不需要考虑顺序，为C（x,4）；从x名职
工中选3个人，不需要考虑顺序，为C（x,3）。列式：C（x,4）/C（x,3）=10，
不要担心难计算，出现相同字母、数字，一定可以约分。{[x*（x-1）*（x-2）*
（x-3）]/（4*3*2*1）}÷{[x*（x-1）*（x-2）]/（3*2*1）}，写成乘法：{[x*
（x-1）*（x-2）*（x-3）]/（4*3*2*1）}*{（3*2*1）/[x*（x-1）*（x-2）]}，
不要展开，直接约分可得：（x-3）/4=10，解得x=43，对应D项。【选D】
【注意】
1.作为广东省考试（其他省份也一样），绝对不会考查 3次方或者更高次方
的计算，遇到比较复杂的式子，往往都可以约分。
2.此题中没有出现x的阶乘，只有出现A（x,x）时才会出现x的阶乘。
3.如果对计算方法比较熟悉，可以想到C（x,4）的计算步骤，分子比C（x,3）
多了“*（x-3）”，分母比C（x,3）多了“*4”，可以直接得到 C（x,4）/C（x,3）
=（x-3）/4=10。
74.排列组合问题主要考查排列和组合、分类和分步的基础概念，不要在一些
无关紧要的地方想太多。
【例2】（2024广东）某高校中文系计划从 3名男生和 3名女生中选派 4 名
学生参加暑期支教活动。如果选派的女生不少于2名，则选派方案共有多少种？
A.4 B.8
C.12 D.16
【解析】2.第一步：确定目标：选4 个人，女生至少2名。第二步：分类讨
论：（1）2 女2男：从3名男生中选出 2 名，无顺序，为C（3,2）；从 3名女生
中选出2名，无顺序，为C（3,2）；既要选出2名男生，又要选出2名女生，属
于分步，用乘法：C（3,2）*C（3,2）=[（3*2）/（2*1）]*[（3*2）/（2*1）]=9
种。（2）3 女1男：从3名女生中选出 3 名，无顺序，为C（3,3）；从 3名男生
中选出1名，无顺序，为C（3,1）；既要选出3名女生，又要选出1名男生，属
于分步，用乘法：C（3,3）*C（3,1）=1*3=3种。一共3名女生，不会出现4名
全是女生的情况。要么选2女2男，要么选3女1男，分类用加法，所求=9+3=12
种，对应C项。【选C】
【注意】组合小技巧：
1.C（n,1）=n。如从3个人中选1个，就是3种情况，可以不写C（n,1），
直接写为“1”。严格来说，C（n,1）=A（n,1），但是一般在专业的排列组合书中
是不会出现A（n,1）这种表述的，因为选1个人没办法进行排序。
2.C（n,n）=1。如一共3个人，把 3个人都选出来，只有1种情况，C（3,3）
8=1。
3.C（n,m）=C[n,（n-m）]。如C（3,2）=C（3,1），举例子理解：从3个人
中选出 2个人去打扫卫生（参加培训），和从 3 个人中选出1个人不去打扫卫生
（参加培训），属于同一种情况。
【例3】（2022联考）滑雪和滑冰是冬奥会的两大项赛事，其中高山滑雪、
自由式滑雪、单板滑雪、跳台滑雪、越野滑雪和北欧两项是滑雪大项中的6个分
项，短道速滑、速度滑冰和花样滑冰是滑冰大项中的3个分项。小林打算去现场
观看比赛，共选择6个项目，并且每个大项不少于1个，若所有项目比赛时间均
不交叉，则不同的观赛方式有：
A.83种 B.84种
C.92种 D.102种
【解析】3.方法一：正面分类讨论。确定目标：选6个项目，要求“每个大
项不少于1个”，即滑雪、滑冰都要选。“冬奥会”的项目顺序都是安排好的，自
己无法再改变顺序，所以只要把项目选出即可，不考虑排序，都用C来计算。分
类讨论：
（1）1 项滑冰、5 项滑雪：3 项滑冰中选 1 项，C（3,1）；6 项滑雪中选 5
项，为C（6,5）；既要选滑冰，又要选滑雪，分步完成，用乘法：C（3,1）*C（6,5）
=3*C（6,1）=3*6=18种。
（2）2项滑冰、4项滑雪：3项滑冰中选 2项，为C（3,2）；6项滑雪中选4
项，为C（6,4）；分步完成，用乘法：C（3,2）*C（6,4）=3*C（6,2）=3*[（6*5）
/（2*1）]=3*15=45种。
（3）3项滑冰、3项滑雪：3项滑冰中选 3项，为C（3,3）；6项滑雪中选3
项，为C（6,3）；分步完成，用乘法：C（3,3）*C（6,3）=1*[（6*5*4）/（3*2*1）]=20
种。要么选 1冰5雪，要么选2冰4 雪，要么选3冰3雪，为“或”的关系，分
类用加法，所求=18+45+20=83种，对应A项。
9方法二：正面情况数多（情况数≥3个），可从反面考虑。只要出现“至少1
个”的表述，反面往往比正面的情况数少。出现“每个大项不少于 1个”，可以
考虑反面。满足要求的情况数=总的情况数-反面的情况数。正面：滑雪、滑冰都
要选；则反面：只选滑雪或者只选滑冰，但滑冰项目一共只有3项，无法满足6
个项目，则反面情况只有“只选滑雪”，从 6个滑雪项目中选出 6项，无顺序，
为C（6,6）。总的情况数：从 9个项目中选出 6 项，无顺序，为 C（9,6）。所求
=C（9,6）-C（6,6）=C（9,3）-1=[（9*8*7）/3*2*1]-1=84-1=83种，对应 A项。
【选A】
【注意】
1.不要只关注单独一道题的最佳解题思维，正面分类套路、反面解题都要学
会。不是所有题目都是从反面来做更快，有些题目从正面来做也很快，从反面做
反而更麻烦。
2.C（n,m）=C[n,（n-m）]。C（9,6），从9个项目中选出6 项参加，和从9
个项目中选出3项不参加，属于同一种情况，即C（9,6）=C（9,3）。
3.正面为“A、B 都要选”，反面为“只选 A、只选 B、都不选”三种情况。
但是“都不选”从逻辑上是不通的，本题要求“选择6个项目”，如果滑雪、滑
10冰都不选，就无法满足这一要求，所以不可以为“滑冰、滑雪都不选”。同时滑
雪只有3个分项，无法选出6项，则反面情况只有“只选滑雪”一种情况。假如
改为滑冰大项中有 13 个分项，此时反面就包含“只选滑冰”和“只选滑雪”两
种情况。所求=C（19,6）-[C（6,6）+C（13,6）]，但此时从反面来做意义不大，
计算步骤没有减少。
（二）经典题型
经典方法
捆绑法
插空法
隔板法
【注意】经典方法：
1.捆绑法。
2.插空法。
3.隔板法。
捆绑法：在一起、相邻、相连
思路：
①先捆：把相邻的元素捆绑起来，注意内部有无顺序；
②再排：将捆绑后的看成一个元素，进行后续排列。
【例】A、B、C、D、E 五个人站成一排照相，其中 A、B 是一对情侣，要求
照相时必须相邻，一共有多少种排法？
【注意】捆绑法：几个人/几个元素要求在一起、相邻、相连。
1.思路：
（1）先捆：把要求相邻的元素捆绑起来，注意内部有无顺序，有顺序用A，
无顺序用C，一般涉及到相邻/在一起，都会有顺序（用A）。
（2）再排：将捆绑后的看成一个元素，进行后续排列。
2.例：A、B、C、D、E 五个人站成一排照相，其中 A、B 是一对情侣，要求
照相时必须相邻，一共有多少种排法？
11答：先捆：要求A、B相邻，先用绳子将A、B捆为一个整体，由于是照相，
捆成AB 还是BA，结果不同，有顺序，这一整体内的两人有顺序，为 A（2,2）。
再排：将 AB 看作一个大胖子，与 C、D、E 一起，共四个元素进行全排列，为 A
（4,4）。先捆绑，再排列，分两步完成，用乘法，所求=A（2,2）*A（4,4）=（2*1）
*（4*3*2*1）=2*24=48种。
3.改例：A、B、C、D、E 五个人站成一排照相，其中 A、B 是一对情侣，要
求照相时必须相邻，C、D是一对好朋友，也要求必须相邻，一共有多少种排法？
答：先捆：出现多个主体分别相邻，多拿几根绳子，将 A、B捆为一个大胖
子，内部有顺序，为 A（2,2）；再将 C、D 捆为一个大胖子，内部有顺序，为 A
（2,2）。再排：此时AB一个大胖子、CD一个大胖子，和E一起，共三个元素进
行排列，为 A（3,3）。既要捆绑 A、B，又要捆绑 C、D，还要整体三个元素进行
排序，分三步完成，用乘法：所求=A（2,2）*A（2,2）*A（3,3）=（2*1）*（2*1）
*（3*2*1）。
【例 1】（2024 联考）某公司开展“迎新春，三分球”投篮比赛。3 个部门
分别派出2、4、4个选手共计10人参加。规则要求同一个部门的选手顺序相连，
全部投完再安排另一个部门的人员，则这10人不同的投篮顺序种数的范围是：
A.小于1000 B.1000～5000
C.5001～10000 D.10000以上
【解析】1.出现“顺序相连”，用捆绑法，两步走。第一步：先捆要求相邻
的元素。问“顺序”，则需要考虑顺序，用A计算。将3个部门的人（2、4、4）
12分别捆绑为一个大胖子，各自内部有顺序，分别为A（2,2）、A（4,4）、A（4,4）。
既要捆2个人，又要捆4个人，还要捆另外4个人，分步完成，用乘法：A（2,2）
*A（4,4）*A（4,4）。第二步：再对整体排序。三个元素进行排列，有顺序，为
A（3,3）。既要捆绑，又要整体排序，分两步完成，用乘法，所求=[A（2,2）*A
（4,4）*A（4,4）]*A（3,3）=（2*1）*（4*3*2*1）*（4*3*2*1）*（3*2*1）
=2*24*24*6=48*144=48*100+=5000+，对应C项。【选C】
【注意】
1.顺序相连：捆绑法。
2.思路：
（1）先捆要求相邻的元素。
（2）再对整体排序。
3.拆分法：48*144=（50-2）*144=50*144-2*144＞5000，能估算就估算，估
算不出来就动笔乘一下。
插空法：不在一起、不相邻
思路：
①先排：先安排其它元素，形成若干个空位；
②再插：将不相邻的元素插入到空位中。
【例】A、B、C、D、E 五个人站成一排照相，其中 A、B 吵架了，要求照相
时不能相邻，一共有多少种排法？
【注意】插空法：不在一起、不相邻。
1.思路：要想插空，先要有空位。
（1）先排：先安排其它元素，形成若干个空位。
13（2）再插：将不相邻的元素插入到空位中。
2.例：A、B、C、D、E 五个人站成一排照相，其中 A、B 吵架了，要求照相
时不能相邻，一共有多少种排法？
答：方法一：先排：要求 A、B不相邻，先不管A、B，考虑C、D、E三个人，
有顺序，为A（3,3），形成 4个空。再插：从4个空中选出2个空排A、B，选出
2个空为C（4,2），A在左边还是B在左边，有顺序，需要进行排序，为A（2,2），
即C（4,2）*A（2,2）=A（4,2）。分步用乘法，所求=A（3,3）*A（4,2）=（3*2*1）
*（4*3）=72种。
方法二：当一个题从正面解题已经够简单时，不需要考虑反面解题。反面思
路：不相邻情况数=总情况数-相邻的情况数=A（5,5）-[A（2,2）*A（4,4）]，
反面需要计算的更多了。
【例2】（2020联考）某学习平台的学习内容由观看视频、阅读文章、收藏
分享、论坛交流、考试答题五个部分组成。某学员要先后学完这五个部分，若观
看视频和阅读文章不能连续进行，该学员学习顺序的选择有：
A.24种 B.72种
C.96种 D.120种
【解析】2.问“顺序”，后续都用A来计算。出现“不能连续”，用插空法，
思路：两步走。（1）先安排其它元素：排除“观看视频和阅读文章”后，对剩余
的三件事进行排序，为A（3,3）。（2）再插空：三件事形成 4个空，从4个空中
选出 2 个空插入“观看视频、阅读文章”，再进行排序，为 A（4,2）。既要排其
它元素，又要插空，分步用乘法，所求=A（3,3）*A（4,2）=（3*2*1）*（4*3）
=6*12=72种，对应B项。【选B】
14【注意】
1.不能连续：插空法。
2.思路：
（1）先安排其它元素。
（2）再插空。
3.排列组合问题的考试，难度两极分化，但大多数的题目为比较常规的基础
性题目。
【例 3】（2023 安徽）某空军基地举行飞行训练，有 8 架歼击机、3 架预警
直升机、2架反潜直升机参与训练，每架飞机编号不同。训练时，需派出3架歼
击机、2架预警直升机、1 架反潜直升机进行起降飞行。若每次只能起飞 1架飞
机，其中3架歼击机必须相邻起飞，2架预警直升机不能相邻起飞，那么不同的
起飞方式有多少种？
A.504 B.4032
C.8064 D.24192
【解析】3.本题为复合型考法。总的飞机最后只用到其中一部分，需要先选
择，再排序。出现“必须相邻、不能相邻”，既要捆绑，又要插空。
（1）先选择：从 8 架歼击机中选出 3 架，为 C（8,3）；从 3 架预警直升机
选出2 架，为 C（3,2）；从 2架反潜直升机选出 1架，为C（2,1）；既要选歼击
机，又要选预警直升机，又要选反潜直升机，分步完成，用乘法：C（8,3）*C
（3,2）*C（2,1）。
（2）再捆绑，后排序：将3架歼击机捆绑为一个元素，由于“编号不同”，
内部有顺序，为A（3,3）。将这一捆绑后的元素与1架反潜直升机进行排序，为
15A（2,2）。既要捆绑，又要排序，分步用乘法：A（3,3）*A（2,2）。
（3）再插空：歼击机整体和 1 架反潜直升机两个元素排序，形成 3个空，
从中选出2个空，将2架预警直升机插入，有顺序，为A（3,2）。
（4）分多步完成，用乘法：[C（8,3）*C（3,2）*C（2,1）]*[A（3,3）*A
（2,2）]*A（3,2）=[（8*7*6）/（3*2*1）]*3*2*（3*2*1）*（2*1）*（3*2）
=56*36*12，选项差距很大，直接估算范围，所求=56*36*12＞50*30*10=15000，
对应D项。【选D】
【注意】
1.只需要其中一部分飞机：先选择，再排序。
2.既要捆绑又要插空：先捆绑，再插空。
3.不可以用直接用 A（8,3）*A（3,3）*A（2,1）*A（3,2），因为不是所有
的飞机都用完了，要先把用的几架飞机选出来。
4.尾数法也可以用，但计算出尾数为2时，只能排除 A、C项，B、D项的尾
数都为2，还需要进行后续计算，所以不考虑用尾数法，
隔板法：同素分堆问题
【例】7个相同的苹果分给三个小朋友，每人至少分一个，有多少种分法？
适用条件：①必须是相同的东西；②每人至少一个
结论：n个相同物品分给m个不同的主体，每个主体至少一个，共有C（n-1,m-1）
种分法。
16【注意】隔板法：同素分堆问题（分相同的东西）。
1.例：7个相同的苹果分给三个小朋友，每人至少分一个，有多少种分法？
答：分苹果的时候只有数量上的差异，没有个体上的差异。把苹果分给三个
小朋友→把苹果分成三堆，而放1个板子可以分成2堆，放2个板子可以分成3
堆，所以要放2个板子，虽然7个苹果可以形成 8个空，但一头一尾不能放，只
有中间6个空可以放，从6个空中选2个空放2个板子，为C（6,2）。如果改为
分给四个小朋友，就要放3个板子，为C（6,3）。
2.适用条件：
（1）必须是相同的东西（常见：水果、名额、任务、材料）。
（2）每人至少一个。
3.结论：n 个相同物品分给 m 个不同的主体，每个主体至少一个，共有 C
（n-1,m-1）种分法。
【例4】（2020联考）某城市一条道路上有 4个十字路口，每个十字路口至
少有1名交通协管员，现将8个协管员名额分配到这4个路口，则每个路口协管
员名额的分配方案有：
A.35种 B.70种
C.96种 D.114种
【解析】4.8个相同名额分给4个路口，每个路口至少分1个，用隔板法，
为C（8-1,4-1）=C（7,3）=（7*6*5）/（3*2*1）=35，对应A项。【选A】
【拓展】（2019 事业单位）有 25 颗苹果，打算全部分发给 A、B、C 三人，
若每人至少拿到6颗苹果，则有多少种分发方式？
A.15 B.20
C.35 D.36
【解析】拓展.分苹果→默认苹果相同；只有满足“至少分 1个”才能用隔
板法，所以要先把“至少分 6个”转化为“至少分 1个”，即先给每人分 5个，
还剩下 25-5*3=10 个，转化为：10 个苹果分给 3 个人，每人至少分 1 个，此时
可以用隔板法，为 C（10-1,3-1）=C（9,2）=（9*8）/（2*1）=36，对应 D 项。
17【选D】
【注意】如果是至少n个，则每个人先给n-1个，再套用结论即可。
二、概率问题
1.给情况求概率
公式：概率=满足要求的情况数/所有的情况数
（1）5名男生，6名女生。选出 3个人去参加培训，要求1男2女。有多少
种情况？
（2）5名男生，6名女生。选出3个人去参加培训。则选出的人中只有一名
男生的概率是多少？
2.给概率求概率
（1）分类用加法：P=P+P+……+P
1 2 n
（2）分步用乘法：P=P*P*……*P
1 2 n
逆向思维：正难反易，P=1-反面情况概率
【注意】概率问题：与排列组合用到的做题思维很类似，需要考虑分类与分
步、排列与组合（有无顺序）。
1.给情况求概率（概率本身是比重的概念）：
（1）公式：概率=满足要求的情况数/所有的情况数。
（2）有同学分不清概率问题和排列组合问题，其实看问法即可，概率的答
案是百分数，排列组合的答案是具体数字。
①5名男生，6名女生。选出 3 个人去参加培训，要求 1男 2女。有多少种
情况？
答：问有多少种情况，为排列组合问题。从5名男生中选1名，为C（5,1）；
从6名女生中选2名，为C（6,2）；分步用乘法，所求=C（5,1）*C（6,2）。
②5名男生，6名女生。选出 3 个人去参加培训。则选出的人中只有一名男
生的概率是多少？
答：问概率是多少，为概率问题。总情况数：总共 5+6=11 人，从中选出 3
个人，为 C（11,3）；满足要求的情况数：要求只有 1 名男生，总共选 3 个人，
18说明有2名女生，从5名男生中选1名，为C（5,1）；从6名女生中选2名，为
C（6,2）；分步用乘法，为 C（5,1）*C（6,2）。P=满足要求的情况数/总情况数
=[C（5,1）*C（6,2）]/C（11,3）。
2.给概率求概率：
（1）分类用加法：P=P+P+……+P。
1 2 n
（2）分步用乘法：P=P*P*……*P。
1 2 n
3.逆向思维：正难反易，P=1（100%）-反面情况概率。
【例1】（2024联考）中秋节前夕，小赵买了6个外观相同的月饼，其中有
3个是蛋黄馅的。回到家后，小赵从中任取 3个月饼，里面恰好有1个是蛋黄馅
的概率是：
A.9/20 B.1/2
C.3/5 D.11/20
【解析】1.概率问题，P=满足要求的情况数/总情况数。总情况数：从 6 个
月饼中选3个，没有顺序，为C（6,3）；满足要求的情况数：总共选3个，要求
只有1个蛋黄馅，说明有2个非蛋黄馅，既要从3个蛋黄馅的月饼中选 1个，为
C（3,1）；又要从3个非蛋黄馅的月饼中选2个，为C（3,2）；分步用乘法，为 C
（3,1）*C（3,2）。P=[C（3,1）*C（3,2）]/C（6,3）=（3*3）÷[（6*5*4）/
（3*2*1）]=9/20，对应A项。【选A】
【例2】（2024联考）某社区服务中心拟引入优质资源为本社区45名老人提
供居家养老服务。已知老人的年龄构成如下（设老人的年龄为x）：60≤x＜70，
有17人；70≤x＜80，有12人；80≤x＜90，有11人；90岁及以上有5人。现
从该社区中随机抽取2名老人了解居家养老服务情况，那么这2名老人恰好都在
80岁以上（含80岁）的概率是：
A.4/33 B.11/45
C.16/45 D.1/3
【解析】2.概率问题，P=满足要求的情况数/总情况数。总情况数：从 45
名老人中选2人，没有顺序，为C（45,2）。满足要求的情况数：80岁以上（含
1980 岁）的老人一共有 11+5=16 人，从中选 2 人，为 C（16,2）。P=C（16,2）/C
（45,2）=[（16*15）/（2*1）]÷[（45*44）/（2*1）]=（8*15）/（45*22）=4/33，
对应A项。【选A】
【例3】（2024山东）山东手造精品众多，某展览会有叶雕、皮影、风筝、
麦秸画、柳编、葫芦画、锡雕、鲁班枕8个展厅。因时间原因，一名参观者决定
从8个展厅中随机选取3个进行参观。问叶雕和皮影展厅至少一个被选中的概率
是多少？
A.5/14 B.15/28
C.9/14 D.19/28
【解析】3.方法一：如果遇到“至少一个”，反面求解更简单。总情况数：
从 8 个展厅中选 3 个，为 C（8,3）；反面情况数：“叶雕和皮影展厅至少一个被
选中”（2个中至少选1个）的反面是“叶雕和皮影都没被选中”（2个都不选），
只能从剩余的6个展厅中选3个，为C（6,3）。P =1-P =1-C（6,3）/C（8,3）
满 反
=1-[（6*5*4）/（3*2*1）]÷[（8*7*6）/（3*2*1）]=1-（6*5*4）/（8*7*6）
=1-5/14=9/14，对应C项。
方法二：正面求解。总情况数：从8个展厅中选3个，为C（8,3）；满足要
求的情况数：要求叶雕和皮影展厅至少一个被选中，要么二选一，要么二选二。
（1）二选一：先在叶雕和皮影展厅中选一个，为 C（2,1）；再从剩余的 6 个展
厅中选 2个，为 C（6,2），分步用乘法，为 C（2,1）*C（6,2）=2*15=30。（2）
二选二：叶雕和皮影展厅全选，为C（2,2）；再从剩余的6个展厅中选1个，为
C（6,1），分步用乘法，为C（2,2）*C（6,1）=1*6=6。分类用加法，为30+6=36。
P=满足要求的情况数/总情况数=36/C（8,3）=9/14，对应C项。【选C】
【例4】（2024上海）某市向广大市民随机发放消费券，规则是先公布消费
券发放额，再根据商家的参与量决定中签率。第一批消费券商家参与度较高，中
签率为 60%；第二批和第三批消费券的中签率均为 20%。三批消费券依次发放，
市民张先生连续三次申请，则他恰好成功两次的概率约为：
A.20% B.40%
20C.60% D.80%
【解析】4.根据题意可知，第一次成功的概率为60%，第二次成功的概率为
20%，第三次成功的概率为20%。连续三次申请且恰好成功两次→2次成功、1次
未成功，分类讨论：
（1）既要第一次成功、又要第二次成功、还要第三次未成功：“且”关系，
分步用乘法，60%*20%*（1-20%）=60%*20%*80%=9.6%。
（2）既要第一次成功、又要第二次未成功、还要第三次成功：“且”关系，
分步用乘法，60%*（1-20%）*20%=9.6%。
（3）既要第一次未成功、又要第二次成功、还要第三次成功：“且”关系，
分步用乘法，（1-60%）*20%*20%=1.6%。
综上所述，要么（1）、要么（2）、要么（3），“或”关系，分类用加法，所
求=9.6%+9.6%+1.6%=20.8%，最接近A项。【选A】
【注意】给概率求概率的题目通常不涉及A和C的计算，只要弄清楚分类用
加法、分步用乘法即可。
【注意】排列组合与概率问题：
1.排列组合问题：
（1）基础概念：重点。
①分类用加法（要么……要么……）；分步用乘法（既……又……）。
②有序用排序（不可互换，A）；无序用组合（可以互换，C）。
21（2）经典题型：后三个是重点，枚举法考得少，强化课会有练习题。
①情况数少（选项在10以内）：枚举法→依照次序。
②必须相邻：捆绑法→先捆再排。
③不能相邻：插空法→先排再插。
④同素分堆：隔板法→C（n-1,m-1）。
（3）正难反易：总情况数-反面情况数。
2.概率问题：
（1）给情况求概率：满足条件的情况数/总情况数。
（2）给概率求概率：分类用加法，分步用乘法。
（3）正难反易：1-反面情况概率。
第九节 容斥原理问题
容斥原理本质：去重补漏
考查类型：
两集合容斥原理
三集合容斥原理
解题方法：
公式法
画图法
【注意】容斥原理问题：主要是套公式+画图，这个题型不同于前面讲的题
型（工程、行程、经济利润、排列组合等），它并不是高频题型，不是每年必考
（广东在2022、2023年考过），之所以放在方法课中讲解，是因为这个题型只要
学了就会做题，很容易得分。
1.容斥原理本质（集合）：去重补漏。
2.考查类型：
（1）两集合容斥原理。
（2）三集合容斥原理。
3.解题方法：
（1）公式法。
22（2）画图法。
两集合容斥原理
识别：两个主体，主体间有交叉
公式：A+B-AB=总数-都不满足
【注意】两集合容斥原理：
1.识别：两个主体，主体间有交叉（满足A、满足B、同时满足A和B）。
2.公式：A+B-AB=总数-都不满足。
3.推导：用面积来理解，求两个圆圈覆盖的面积，先加上 A、B（A+B），但
最中间（A∩B）会重复一次，则需要减掉一次（-A∩B），即A+B-A∩B=两个圆圈
覆盖的面积=总数（方框）-都不满足（方框以内、圆圈以外的空白部分），考试
为了节约时间，可以把A∩B直接写成AB。
4.例：班上总共有 300 人，广东省考进面的有 270 人，深圳市考进面的有
180人，两个都没进面的有1人，问两个都进面的有几人？
答：代入公式：270+180-AB=300-1。
【例1】（2023天津事业单位）某大学为培养学生的兴趣爱好，开设了书法
和绘画两种兴趣班。某专业大一年级共有32名学生，其中选择书法的有20名，
选择绘画的有24名，两个都不选的有2名，那么两个兴趣班都选的学生人数为：
A.14 B.15
C.16 D.17
【解析】1.两集合容斥原理问题，公式：A+B-AB=总数-都不，设两个兴趣班
都选的学生人数（AB）为 x，代入数据：20+24-x=32-2，解得x=14，对应 A项。
【选A】
23【注意】近两年的两集合容斥原理考得比较多，如果想增加难度，会结合第
二节课的倍数特性考查。
【例2】（2022联考）某班期末考试结束后统计，物理、化学均不及格的人
数占全班的 14%，物理及格的人数比化学及格的人数多 10 人，且化学及格的人
数占全班人数的 60%。已知全班人数不超过 70 人，问物理及格的人中化学也及
格的有多少人？
A.25 B.26
C.27 D.28
【解析】2.问物理及格的人中化学也及格的有多少人，即都及格的人数。题
干没有直接给出总人数，只给出人数的范围和相关比例关系，可以根据这两个条
件锁定具体人数。“物理、化学均不及格的人数占全班的 14%”→都不/总人数
=14/100=7/50，则总人数是 50 的倍数；“全班人数不超过 70 人”→总人数只能
是 50 人，进一步推出都不及格的人数是 7 人；“化学及格的人数占全班人数的
60%”→化学及格的人数是50*60%=30人；“物理及格的人数比化学及格的人数多
10人”→物理及格的人数是30+10=40人。两集合容斥原理问题，公式：A+B-AB=
总数-都不，设都及格为x人，代入数据：30+40-x=50-7，解得x=27，对应C项。
【选C】
三集合标准型公式
判定：分别给出或求解两两集合的交集（既A又B、既A又C、既B又C）
公式：A+B+C-AB-AC-BC+ABC=总数-都不满足
【注意】三集合标准型公式：
1.判定：分别给出或求解两两集合的交集（既A又B、既A又C、既B又C）。
2.公式：A+B+C-AB-AC-BC+ABC=总数-都不满足。
3.推导：用面积来理解，求三个圆圈覆盖的面积，先加上A、B、C（A+B+C），
肯定有重复的部分，AB 在加 A 的时候加了一次，在加 B 的时候也加了一次，一
共加了两次，所以需要减掉一次（-AB）；同理，AC、BC 都加了两次，都需要减
掉一次（-AC、-BC）；最中间的 ABC，在加 A、B、C 的时候分别加了一次，一共
24加了三次；在减 AB、AC、BC 的时候分别减了一次，一共减了三次，依旧是空着
的，所以需要加上一次（+ABC），即A+B+C-AB-AC-BC+ABC=三个圆圈覆盖的面积=
总数-都不满足。
【例3】（2020新疆）某单位共有240名员工，其中订阅A期刊的有125人，
订阅B期刊的有126人，订阅C期刊的有135人，订阅A、B期刊的有57人，订
阅A、C期刊的有73人，订阅3种期刊的有 31人，此外，还有17人没有订阅这
三种期刊中的任何一种。问订阅B、C期刊的有多少人？
A.57 B.64
C.69 D.78
【解析】3.给出两两集合的交集（AB、AC），用三集合标准型公式：
A+B+C-AB-AC-BC+ABC=总数-都不。设订阅 B、C 期刊的有 x 人，代入数据：
125+126+135-57-73-x+31=240-17，数字较多，用尾数法（尽量凑0），125+135=
尾数0，可以划掉；-57-73=尾数0，可以划掉；剩下126-x+31=240-17，即尾数
7-x的尾数=尾数3→x的尾数=4，对应B项。【选B】
三集合非标准型公式
判定：统一给出或求解只满足两种
公式：A+B+C-只满足两项-2*ABC=总数-都不满足
【注意】三集合非标准型公式：
1.判定：统一给出或求解只满足两种。
2.公式：A+B+C-只满足两项-2*ABC=总数-都不满足。
3.推导：只满足两项=只满足 AB（M）+只满足 BC（N）+只满足 AC（P）。用
面积来理解，求三个圆圈覆盖的面积，先加上 A、B、C（A+B+C），M、N、P都加
了两次，可以作为一个整体，相当于只满足两项的部分加了两次，所以需要减掉
25一次（-只满足两项）；最中间的ABC，在加A、B、C 的时候分别加了一次，一共
加了三次；在减只满足两项的时候没有减掉这部分，由于最终只需要加一次，所
以需要减掉两次（-2*ABC），即A+B+C-只满足两项-2*ABC=三个圆圈覆盖的面积=
总数-都不满足。
【例4】（2023事业单位联考）某高新技术园区对园区内的部分企业的专利
申请情况进行了调查，在接受调查的企业中，申请了发明专利的有 46 家，申请
了实用新型专利的有69家，申请了外观设计专利的有25家，三类专利都申请了
的有12 家，申请了其中两类专利的有 39家，三类专利都没申请的有 16家，那
么接受调查的企业有多少家？
A.89 B.93
C.106 D.111
【解析】4.没有给出两两集合的交集（AB、AC、BC），只给出“申请了其中
两类专利的有39家”，注意此处不包含三类专利都申请的，相当于只满足两项。
用三集合非标准型公式：A+B+C-只满足两项-2*ABC=总数-都不，代入数据：
46+69+25-39-2*12=总数-16，用尾数法，69-39=尾数 0，可以划掉；剩下
46+25-2*12=总数-16，即尾数7=总数的尾数-尾数6→总数的尾数=3，对应B项。
【选B】
方法选择
1.公式法：题目中所给所求都是公式中的一部分
2.画图法：题目中所给所求公式里没有，公式法不好用（往往出现只满足一
个条件）
画图法三步走：
第一步，画圈圈
26第二步，标数字（从里到外，注意去重）
第三步，列算式
【注意】方法选择：
1.公式法：题目中所给所求都是公式中的一部分。
2.画图法：
（1）题目中所给所求公式里没有，公式法不好用（往往出现只满足一个条
件，如“只喜欢数量”、“只喜欢1类”等）。
（2）画图法三步走：
①第一步：画圈圈（2个集合就画2个圆圈，3个集合就画3个圆圈）。
②第二步：标数字（从里到外，注意去重）。有数字就标数字，没数字就设
未知数，如三集合，先标满足三项，再标只满足两项，最后标只满足一项。
③第三步：列算式。
3.广东省考的容斥原理问题：2022年考直接套公式，2023年考画图。
【例5】（2023广东）某单位共有员工 200 人，其中订阅杂志的人数比只订
阅报纸的人数多88%。则报纸和杂志均未订阅的员工有多少人？
A.36 B.56
C.76 D.96
【解析】5.虽然整道题只有三句话，但不像前面的题目那么直观，出现两个
主体（订阅杂志、订阅报纸），为两集合容斥原理问题，但数据不足，无法直接
套公式。给了总人数和比例，所以也不能赋值，只能设未知数。第二节课讲过，
A比B多3/5→A/B=1+3/5=8/5，同理可得，订阅杂志的人数比只订报纸的人数多
88%→88%=88/100=22/25，订阅杂志/只订阅报纸=1+22/25=47/25=47x/25x，可以
画图辅助理解。两个集合画两个圈，左侧圆圈为订阅杂志（对应 47x），右侧月
牙为只订阅报纸（对应 25x），这两个部分加在一起就是两个圆圈覆盖的面积；
方框以内、圆圈以外的空白部分为均未订阅（都不），这三个部分加在一起对应
总人数，即47x+25x+都不=200→都不=200-72x，要保证都不＞0，即72x＜200，
所以 x 只能是 1 或 2。当 x=1 时，都不=200-72=100+，没有对应的选项；当 x=2
时，都不=200-72*2=200-144=56，对应B项。【选B】
27【注意】容斥原理问题：
1.公式法：
（1）两集合：A+B-A∩B=总数-都不。
（2）三集合：
①标准型：A+B+C-A∩B-A∩C-B∩C+A∩B∩C=总数-都不。
②非标准型：A+B+C-满足两项-2*满足三项=总数-都不。
2.画图法：
（1）画圆圈，标数据。
（2）从内到外，注意去重。
28【练习 1】（2023广东）某公司向餐馆订购盒饭，要求每份盒饭包含 2种荤
菜、2种素菜。如果餐馆共准备了6种荤菜和4种素菜，则最多有（ ）种盒饭。
A.42 B.60
C.72 D.90
【解析】练习1.课堂正确率88%。排列组合问题，要求每份盒饭包含2种荤
菜、2种素菜。从6种荤菜中选2种，不讲究摆放顺序，因为都是放到盒饭里，
为 C（6,2）；同理，从 4 种素菜中选 2种，为 C（4,2）；既要 2 种荤菜，又要 2
种素菜，分步用乘法，所求=C（6,2）*C（4,2）=[（6*5）/（2*1）]*[（4*3）/
（2*1）]=15*6=90，对应D项。【选D】
【练习2】（2022广东）某单位计划从全部80名员工中挑选专项工作组成员，
要求该组成员须同时有基层经历和计算机等级证书。已知，单位内有 40人有基
层经历，有 46 人有计算机等级证书，既没有基层经历又未获得计算机等级证书
的有10人。那么能够进入工作组的员工有（ ）人。
A.16 B.40
C.46 D.54
【解析】练习 2.课堂正确率 93%。两集合容斥原理问题，公式：A+B-AB=总
数-都不。设能够进入工作组的员工有x人（同时有基层经历和计算机等级证书），
代入数据：40+46-x=80-10，解得x=16，对应A项。【选A】
数量关系复习建议
数字推理：
①每天保持刷题，把题库中广东所有的数推题做2～3遍
②除广东外，浙江、江苏、深圳、吉林的题目也可以做
数学运算：
1、容易且考频高（必修）
工程、经济、和差倍比问题、基础行程、几何问题
植树问题、概率问题
292、容易但考频不是很高（选修1）
容斥、最值、溶液、等差数列等
3、难度高但是考频高（选修2）
排列组合、复杂行程、几何构造等
【注意】数量关系复习建议：
1.数字推理：要保持数字敏感度，每天练5道题，直到考前。
（1）每天保持刷题，把题库中广东所有的数推题做2～3遍，因为每个省份
的数推命题方向都有自己的特色，以前考过的规律会反反复复考。不用挑年份，
按照时间顺序来做即可，而且也不用担心自己会记住答案，因为一般隔十天半个
月再做同一道题就像新题一样。
（2）除广东外，浙江、江苏、深圳、吉林的题目也可以做（吉林以前考，
现在不考），但这些地方的题目难度远远大于广东，要有心理准备，做难题只是
为了开拓思路。
（3）如何在题库中做题：在粉笔APP的顶部添加“公务员行测-广东省考”
和“事业单位笔试-广东”，找到下方的“历年试卷”，里面都是真题，每套题的
数运前5题都是数推题，充分利用好自己的零碎时间。
2.数学运算：掌握必修的这些题型，达到60%～70%的正确率是没问题的。
30（1）容易且考频高（必修）：主要是方法精讲涉及的题型，工程、经济、和
差倍比问题（代入排除法+倍数特性法+方程法）、基础行程（读完题会做，没有
太多弯弯绕绕）、几何问题、概率问题、排列组合、植树问题（考频比较高，会
在强化课中讲解，跟着课程进度即可）。
（2）容易但考频不是很高（选修1）：容斥、最值、溶液、等差数列等，目
前只讲了容斥，后面的题型会在学霸养成课（有直播）、真题课中讲到，没必要
提前学，什么时候讲到就什么时候学，除非自身基础很好。
（3）难度高但是考频高（选修2）：排列组合（因人而异，大部分题目可以
归类到“必修”）、复杂行程（读完题不会做，出现很多次相遇追及、速度变来变
去等，基础好的可以努力攻克，基础一般的不用太纠结）、几何构造（如构造模
型、涂色类，这类题没有技巧，可能这道题会做，换道题就不会做了，所以不要
花太多时间在这上面）等。
（4）注：
①按照题型来刷题，充分利用课程配套的纸质图书（专项题集），或者在题
库中自己打印套题（但是套题没有题型分类），或者自己买5000题（大部分是真
题，也包括一些优质模拟题），数学运算最好用纸质版做。
②APP刷题：在粉笔APP的顶部添加“公务员行测-广东省考”，找到下方的
“数量关系”，点开旁边的小箭头，里面有各种题型分类。
③《行测的思维》不用刷，它类似于一本工具书。
3.做题时间：数字推理（5 题）至少留 5 分钟，数学运算（10 题）至少留
10分钟，当然能留出更多时间是最好的。
【答案汇总】
排列组合问题：基础概念1-3：DCA；经典题型1-4：CBDA
概率问题1-4：AACA
容斥原理问题1-5：ACBBB
31遇见不一样的自己
Be your better self
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