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文档内容
2012 年全国硕士研究生入学统一考试
数学二试题解析
一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求
的，请将所选项前的字母填在答
．
题
．
纸
．
指定位置上.
x2 +x
（1）曲线y = 渐近线的条数为（）
x2 −1
（A）0
（B）1
（C）2
（D）3
【答案】：C
x2 +x
【解析】：lim =∞，所以x=1为垂直的
x→1 x2 −1
x2 +x
lim =1，所以y =1为水平的，没有斜渐近线 故两条选C
x→∞ x2 −1
（2）设函数 f(x)=(ex −1)(e2x −2)(enx −n)，其中n为正整数，则 f '(0)=
（A）(−1)n−1(n−1)!
（B）(−1)n(n−1)!
（C）(−1)n−1n!
（D）(−1)nn!
【答案】：C
【解析】：f '(x)=ex(e2x −2)(enx −n)+(ex −1)(2e2x −2)(enx −n)+(ex −1)(e2x −2)(nenx −n)
所以 f '(0)= (−1)n−1n!
（3）设 a
n
>0(n=1,2,…)，S
n
=a
1
+a
2
+…a
n
，则数列(s
n
)有界是数列（a
n
）收敛的
(A)充分必要条件. (B)充分非必要条件.
（C）必要非充分条件. （D）即非充分地非必要条件.
【答案】：(B)（4）设I = ∫ k ex2 sinxdx(k=1,2,3),则有 D
k
e
（A）I < I 0, <0,f(x
1
,y
1
) x y < y (B) x > x y >y
1 2, 1 2. 1 2, 1 1.
(C) x < x y < y (D) x < x y > y
1 2, 1 2. 1 2, 1 2.
【答案】：(D)
【解析】：
∂f(x,y)
>0 ，
∂f(x,y)
<0 表示函数 f(x,y)关于变量x是单调递增的，关于变
∂x ∂y
量 y是单调递减的。因此，当 x < x ,y > y 必有 f(x ,y )< f(x ,y ) ，故选 D
1 2 1 2 1 1 2 2
π ( )
（6）设区域D由曲线y =sinx,x=± ,y =1,围成，则∫∫ x5y−1dxdy =( )
2
(A)π (B)2 (C)−2 (D)−π
【答案】：（D）
【解析】： 由二重积分的区域对称性，
π
∫∫ ( x5y−1 ) dxdy=∫2 dx∫ 1 ( x5y−1 ) dy=−π
−
π
sinx
2
0 0 1 −1
（7）设α = 0 ,α = 1 ,α = −1 ,α = 1 其中c ,c ,c ,c 为任意常数，则下列向量组线性相关
1 2 3 4 1 2 3 4
c c c c
1 2 3 4
的是（ ）（A）α,α,α （B）α,α,α
1 2 3 1 2 4
（C）α,α,α （D）α,α,α
1 3 4 2 3 4
【答案】：（C）
0 1 −1
1 −1
【解析】：由于 (α,α,α ) = 0 −1 1 =c =0，可知α,α,α 线性相关。故选（C）
1 3 4 1 −1 1 1 3 4
c c c
1 3 4
1
（8）设 A 为 3 阶矩阵， P 为 3 阶可逆矩阵，且 P−1AP= 1 ， P=(α,α,α) ，
1 2 3
2
Q=(α +α,α,α)则Q−1AQ=（ ）
1 2 2 3
1 1
（A） 2 （B） 1
1 2
2 2
（C） 1 （D） 2
2 1
【答案】：（B）
1 0 0 1 0 0
【解析】：Q= P 1 1 0 ，则Q−1 = −1 1 0 P−1，
0 0 1 0 0 1
1 0 0 1 0 0 1 0 01 1 0 0 1
故Q−1AQ= −1 1 0 P−1AP 1 1 0 = −1 1 0 1 1 1 0 = 1
0 0 1 0 0 1 0 0 1 20 0 1 2
故选（B）。
二、填空题：9−14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答
．
题
．
纸
．
指定位置上.
（9）设y = y(x)是由方程x2 − y+1=ey所确定的隐函数，则 ________。
【答案】：1 1 1 1
（10）计算limn + +…+ = ________。
x→∞ 1+n2 22 +n2 n2 +n2
π
【答案】：
4
【解析】：原式= lim 1 ∑ n 1 = ∫ 1 dx = arctan x 1 = π .
n→∞ n i 2 01+ x2 0 4
i=1
1+
n
1 ∂z ∂z
（11）设z = f ln x+ ,其中函数 f (u)可微，则x + y2 = ________。
y ∂x ∂y
【答案】：0.
∂z 1 ∂z 1 ∂z ∂z
【解析】：因为 = f ′⋅ , = f ′⋅ − ，所以x + y2 = 0.
∂x x ∂y y2 ∂x ∂y
（12）微分方程 ydx+(x−3y2)dy = 0满足初始条件 y| =1的解为________。
x=1
【答案】：x = y2
dx 1 dx 1
【解析】：ydx+(x−3y2)dy = 0⇒ =3y − x ⇒ + x =3y为一阶线性微分方程，
dy y dy y
所以
−∫ 1 dy ∫ 1 dy 1 1
x = e y ∫3y⋅e y dy +C = ∫3y2dy +C = (y3 +C)
y y
又因为 y =1时x =1，解得C = 0，故x = y2 .2
（13）曲线 y = x2 + x(x < 0)上曲率为 的点的坐标是________。
2
【答案】：(−1,0 )
【解析】：将 y’ = 2x+1, y” = 2代入曲率计算公式，有
| y′′| 2 2
K = = =
(1+ y′2)3/2 3 2
1+(2x+1)22
整理有(2x+1)2 =1，解得x=0或−1，又x<0，所以x=−1，这时y =0，
故该点坐标为(−1,0 )
（14）设A为3阶矩阵， A =3,A*为A的伴随矩阵，若交换A的第一行与第二行得到矩阵B,则
BA* =________。
【答案】：-27
【解析】：由于B= E A，故BA* = E A⋅A* =| A|E =3E ，
12 12 12 12
所以，|BA*|=|3E |=33|E |=27*(−1)=−27.
12 12
三、解答题：15—23 小题，共 94 分.请将解答写在答 ． 题 ． 纸 ． 指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或
演算步骤.
（15）（本题满分10分）
1+x 1
已知函数 f(x)= − ，记a=lim f(x)
sinx x, x→0
（1）求a的值
（2）若当x→0时， f(x)−a是xk的同阶无穷小，求k
1 1 x−sinx
【解析】：（1）lim f(x)=lim( − +1)=lim +1=1，即a =1
x→0 x→0 sinx x x→0 x2
1 1 x−sinx
（2）,当x→0时，由 f(x)−a = f(x)−1= − =
sinx x xsinx
1
1
又因为,当x→0时，x−sinx与 x3等价，故 f (x)−a ~ x，即k =1
6 6
（16）（本题满分10分）
x2 + y2
求 f ( x,y )= xe− 的极值。
2x2 + y2
【解析】： f ( x,y )= xe− ，
2
先求函数的驻点. f ′( x,y )=e−x=0, f ′( x,y )=−y =0，解得函数为驻点为( e,0 ) .
x y
又A= f ′( e,0 )=−1,B= f ′( e,0 )=0,C = f ′( e,0 )=−1，
xx xy yy
1
所以B2 −AC <0,A<0，故 f ( x,y )在点( e,0 )处取得极大值 f ( e,0 )= e2 .
2
（17）（本题满分10分）
过点（0，1）点作曲线L：y =lnx的切线，切点为A，又L与x轴交于B点，区域D由L与直线AB及
x轴围成，求区域D的面积及D绕x轴旋转一周所得旋转体的体积。
【解析】：
1 1
设切点坐标为 A ( x ,lnx )，斜率为 ，所以设切线方程为 y−lnx = ( x−x )，又因为该切线过
0 0 x 0 x 0
0 0
1
B(0,1)，所以x =e2，故切线方程为：y = x+1
0 e2
( )
切线与x轴交点为B −e2,0
y
A
Y=lnx
（0,1）
x
B
2
2 1
（1）A=∫
ey −e2(y−1)
dy =
ey −e2( y2 − y)
=e2 −1
0 2
0
（2）
V = 1 π⋅22⋅e2 − ( −e2 )−π∫ e2 ln2 xdx
3 1
8 ( )e2 e2
= πe2 −π xln2 x −∫ 2lnxdx
3 1 1
= 8 πe2 −π 4e2 −( 2xlnx )e2 +∫ e2 2dx
3 1 1
8 ( ) 2 ( )
= πe2 −2π e2 −1 = π e2 +3
3 3（18）（本题满分10分）
计算二重积分∫∫xydσ，其中区域D为曲线r =1+cosθ ( 0≤θ≤π ) 与极轴围成。
D
π 1+cosθ
【解析】： ∫∫xydσ=∫ dθ∫ rcosθ⋅rsinθ⋅rdr
0 0
D
1 π
= ∫ sinθ⋅cosθ⋅(1+cosθ)4dθ
4 0
π θ θ θ θ θ
=16∫ sin cos (2cos2 −1)cos8 d
0 2 2 2 2 2
π π
=32∫2sintcos11tdt −16∫2sintcos9 tdt
0 0
8 8
= −
3 5
16
=
15
（19）（本题满分11分）已知函数 f(x)满足方程 f ''(x)+ f '(x)−2f(x)=0及 f '(x)+ f(x)=2ex
1）求表达式 f(x)
x
2）求曲线的拐点y = f(x2)∫ f(−t2)dt
0
【解析】：
1）特征方程为r2 +r −2=0，特征根为r =1,r = −2，齐次微分方程 f′′(x)+ f′(x)−2f(x)=0的通解
1 2
为 f(x) =C ex +C e−2x.再由 f '(x)+ f(x)=2ex得2Cex −C e−2x =2ex，可知C =1,C =0。
1 2 1 2 1 2
故 f(x)=ex
2）曲线方程为y =ex2∫ x e−t2 dt ，则y'=1+2xex2∫ x e−t2 dt，y''=2x+2 ( 1+2x2 ) ex2∫ x e−t2 dt
0 0 0
令y''=0得x=0。为了说明x=0是y''=0唯一的解，我们来讨论y''在x>0和x<0时的符号。
当 x>0 时 ， 2x>0,2 ( 1+2x2 ) ex2∫ x e−t2 dt >0 ， 可 知 y''>0 ； 当 x<0 时 ，
0
2x<0,2 ( 1+2x2 ) ex2∫ x e−t2 dt <0，可知y''<0。可知x=0是 y''=0唯一的解。
0
同时，由上述讨论可知曲线 y = f(x2)∫ x f(−t2)dt在x=0左右两边的凹凸性相反，可知( 0,0 )点是曲线
0
x
y = f(x2)∫ f(−t2)dt唯一的拐点。
0
（20）（本题满分10分）1+x x2
证明：xln +cosx≥1+ ,−1< x<1
1−x 2
1+x x2
【解析】：令 f ( x )= xln +cosx−1− ，可得
1−x 2
1+x 1+x 2
f '( x )=ln +x −sinx−x
1−x 1−x ( 1−x )2
1+x 2x
=ln + −sinx−x
1−x 1−x2
1+x 1+x2
=ln + x−sinx
1−x 1−x2
1+x 1+x2 1+x2
当0< x<1时，有ln ≥0， >1，所以 x−sinx≥0，
1−x 1−x2 1−x2
1+x x2
故 f '( x )≥0，而 f ( 0 )=0，即得xln +cosx−1− ≥0
1−x 2
1+x x2
所以xln +cosx≥ +1。
1−x 2
1+x 1+x2 1+x2
当−1< x<0，有ln ≤0， >1，所以 x−sinx≤0，
1−x 1−x2 1−x2
1+x x2
故 f '( x )≥0，即得xln +cosx−1− ≥0
1−x 2
1+x x2
可知，xln +cosx≥1+ ,−1< x<1
1−x 2
（21）（本题满分11分）
1
（1）证明方程xn +xn−1+...+x=1(n>1的整数)，在区间 ,1内有且仅有一个实根；
2
（2）记（1）中的实根为x ，证明limx 存在，并求此极限。
n n
n→∞
【 解 析 】： (1) 由 题 意 得 ： 令 f(x)= xn +xn−1++x−1 ， 则 f(1)>0 ， 再 由
1 1
(1−( )n)
1 1 1
f( )= 2 2 −1=−( )n <0，由零点定理得在( ,1)肯定有解x ，假设在此区间还有另外一根x ，
2 1 2 2 0 1
1−
2所以x n +x n−1++x −1= x n +x n−1++x −1，由归纳法得到x = x ，即唯一性得证
0 0 0 n n n 1 0
x (1−x n) 1
（2）假设根为x ，即 f(x )= x n +x n−1++x −1=0，所以 f(x )= n n −1=0,( < x <1)，
n n n n n n 1−x 2 n
n
由 于 x n+1+x n ++x −1=0 ， 可 知 x n +x n−1++x −1<0 ， 由 于
n+1 n+1 n+1 n+1 n+1 n+1
1
x n +x n−1++x −1=0，可知x < x 。又由于 < x <1，也即{ x }是单调的。则由单调有界收敛
n n n n+1 n 2 n n
定理可知{ x }收敛，假设limx =a，可知a< x < x =1。
n n 2 1
n→∞
x (1−x n) a 1
当n→∞时，lim f(x )=lim n n −1= −1=0, 得limx =
n→∞ n n→∞ 1−x 1−a n→∞ n 2
n n
（22）（本题满分11分）
1 a 0 0 1
0 1 a 0 −1
设A= ，b=
0 0 1 a 0
a 0 0 1 0
（Ⅰ）求 A
（Ⅱ）已知线性方程组Ax=b有无穷多解，求a，并求Ax=b的通解。
1 a 0 0
1 a 0 a 0 0
0 1 a 0
【解析】：（Ⅰ） =1× 0 1 a +a×(−1)4+1 1 a 0 =1−a4
0 0 1 a
0 0 1 0 1 a
a 0 0 1
1 a 0 0 1 1 a 0 0 1 1 a 0 0 1
0 1 a 0 −1 0 1 a 0 −1 0 1 a 0 −1
→ →
0 0 1 a 0 0 0 1 a 0 0 0 1 a 0
a 0 0 1 0 0 −a2 0 1 −a 0 0 a3 1 −a−a2
（Ⅱ）
1 a 0 0 1
0 1 a 0 −1
→
0 0 1 a 0
0 0 0 1−a4 −a−a2
可知当要使得原线性方程组有无穷多解，则有1−a4 =0及−a−a2 =0，可知a=−1。1 −1 0 0 1 1 0 0 −1 0
0 1 −1 0 −1 0 1 0 −1 −1
此时，原线性方程组增广矩阵为 ，进一步化为行最简形得
0 0 1 −1 0 0 0 1 −1 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
1 0 1 0
1 −1 1 −1
可知导出组的基础解系为 ，非齐次方程的特解为 ，故其通解为k +
1 0 1 0
1 0 1 0
线性方程组Ax=b存在2个不同的解，有| A|=0.
λ 1 1
即： A = 0 λ−1 0 =(λ−1)2(λ+1)=0，得λ=1或-1.
1 1 λ
1 1 1x x
1
当λ=1时, 0 0 0 x = 0 ，显然不符，故λ=−1.
2
1 1 1x 1
3
（23）（本题满分 11 分）三阶矩阵 ，AT 为矩阵A的转置，已知r(ATA)=2，且二次型
f = xTATAx。
1）求a
2）求二次型对应的二次型矩阵，并将二次型化为标准型，写出正交变换过程。
【解析】：1）由r(ATA)=r(A)=2可得，
1 0 1
0 1 1 =a+1=0⇒a=−1
−1 0 a
2 0 2x
1
f = xTATAx=( x ,x ,x ) 0 2 2 x
2） 1 2 3
2
2 2 4x
3
=2x2 +2x 2 +4x 2 +4x x +4x x
1 2 3 1 2 2 3
2 0 2
则矩阵B= 0 2 2
2 2 4λ−2 0 −2
λE−B = 0 λ−2 −2 =λ(λ−2 )(λ−6 )=0
−2 −2 λ−4
解得B矩阵的特征值为：λ=0;λ =2;λ =6
1 2 3
1
对于λ=0,解(λE−B ) X =0得对应的特征向量为：η = 1
1 1 1
−1
1
对于λ =2,解(λE−B ) X =0得对应的特征向量为：η = −1
2 2 2
0
1
对于λ =6,解(λE−B ) X =0得对应的特征向量为：η = 1
3 3 3
2
将η,η,η单位化可得：
1 2 3
1 1 1
1 1 1
α = 1 ，α = −1 ，α = 1
1 2 3
3 2 6
−1 0 2
Q=(α,α,α)
1 2 32011 年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题答案
一、选择题(1～8小题，每小题4分，共32分．下列每题给出的四个选项中，只有一
个选项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上．)
．．．
(1)【答案】(C)．
3sinx−sin3x 3sinx−sinxcos2x−cosxsin2x
【解析】因为lim =lim
x→0 cxk x→0 cxk
( )
sinx 3−cos2x−2cos2 x 3−cos2x−2cos2 x
=lim =lim
x→0 cxk x→0 cxk−1
( )
3− 2cos2 x−1 −2cos2 x 4−4cos2 x 4sin2 x
=lim =lim =lim
x→0 cxk−1 x→0 cxk−1 x→0 cxk−1
4
=lim =1．
x→0 cxk−3
所以c=4,k =3，故答案选(C)．
