2013年数学一解析_数学一真题+解析[87-25]_数学一解析

2013年（数一）真题答案解析 一、选择题 (1)D 解 用洛必达法则 l — 1 2 2 — X x arctanx = 1 +x = 1 + x 1 —1 = l x i 丑 m X , li 一m -o kx k -l x li - m 0 kx k -l (1 + X z ) = k x h·勺 m x k - 1 c #-O, = 1 = 因此k -1 Z, 一-c,即k 3,c -一故． 应选D. k 3 CZ) A = = = 解F: zx -ysin(xy)+L F: -xsin(xy)+z, F: y . 2 X = — = 曲面x + cos(xy) + yz十 0在点(0'1, 1)处的切平面的法向晕n {l,-1,1}, 切平面方程为： — — — = 1• (x 0) (y 1) + 1• (z + 1) 0, — 即x y +z --Z故. 应选A. (3) C 解 观察到S(x)是f(x)的正弦函数，对J进行奇延拓，其周期为z. 故S(x) f(x). s(- —) s - 4 9 = S( - 4 1 ) -— ( 4 1 ) = - 1( 了 1 ） ＝ 勹 1 一 故应选C (4) D 解 由格林公式得 =』 山+ — 2 I, - f(y +f) (Zx -�) dy (1 x -f ) 心dy' z z 1 其中 D :x +y 冬1, 2 2 2 D :x +y �z, 2 D3:f+y 冬1, y z 口 D x +��l. z 显然在几内有 2 yz 2 yz l- x -—>O,在 队外有l-x -—I1,I4>Iz. = = 2 y 又D4 几+D4\D 5 ,几 D 5 +D3\D 5 ,在D3\D 5 上l-x --<0, 在D4\D5上 z 2 y 1 -x -— >O, zf) f) 故J4 = II(1-x 2 — dx dy + II (1 — X 2 -- dx dy D5 D八Ds =』 — 2 勹 y ） — 2 飞） > 13 (1 x dxdy + II (1 .亢 dxdy. 故应选D. D5 D叭D5 (5) B 解 由千AB=C,那么对�矩阵A,C按列分块，有 b b b - － b11 b12 b1n （＂ 1， ＂ 2，．．．， ＂ ＂ ） … 21 … 22 � 2 … n＿ （ , ” 1，, ” 2，．．．，` “ ，， 、 ｀， b b b ＿ 丿 n1 ”2 n n = l … － Y1 b11a 1 +b 心＋ + b.1a., … 即｛了:, … �b,,a, +b心＋ +b.,a., = … r. b1n a1 +bz�.az + +b n.an. … … 这说明矩阵C的列向最组r口rz' , r.可 由矩阵A的列向量组a1, a2, , a. 线性表出． 又矩阵 B可逆，从而A=CB飞那么矩阵A的列向量组也可由矩阵C的列向械组线性表出． 由向量组等价的定义可知，应选B. (6) B 解 记A�[�: �'考察矩阵A的特征值为2,b,O的条件． 首先，显然1At�:, 因L是A的特征值． = 其次，矩阵A的迹tr(A) 2 -t-b, 因此如果2是矩阵A的特征值，则b就是矩阵A的另一个 “ ” 特征值于是 充要条件 为2是A的特征值．由 lzE — Al = — —a 2-b — a = — 4a 2 =O气=O. l -a l 因此充要条件为a = O,b为任意实数，故应选B. (7) A 解 将随机变量义和x3化成标准正态后再比较其大小． P1 = P{ — 2�X1�2} = Pz > p3. 故应选A.(8) C 2 z 解 当X-t(n)时，X -FO,n),又Y-FO,n),故Y与x 同分布． 当C> 0时，由t分布的对称性有 2 2 2 — P{Y>c }=P{X >c }==P{ X >c}=P{X>cUX< c}=2P{X>c}=2a. 故应选C. 二、填空题 (9) 1 解 把 X=O代入方程有八0)= 1.方 程y-X = e xO -y)两端同时对x求导有 f'(工)-1 = e[l-f(x )] [1-f( x)- xf'(x) J. 把 X=O代入上式得厂(0)=2 -f(O)= l. f 又 釭） － ］ lim -=f'(O)=l, x-o X 1 —l 三卢— 飞巴!(-;;} 气尸 �1 1] n 立 红 OO)C1e +cz产-xe 解 由常系数非齐次线性微分方程解的性质可得 3x x Y 1 -Y 3 = e , Y 2 -Y 3 = e 是相应二阶齐次线性微分方程的两个特解． 故相应二阶齐次线性微分方程的通解为 3 YO =C I e ·x +C 2 e . 所以所求非齐次方程的通解可表示为 x 芒— 2x y =C 1e +C 2 Xe • 心 (11) •• dx dy 解 · —= cost, -= tc ost, dt dt . dy tcost •• -= =t, dx cost 叶店） 2 - d y 2 =- d - ( —dy ) ＝—一 dt ＝－ 1 c!x dx clx clx cost c!t 心 1 从而dx 2 ,-f = — 亢 ＝ 迈． cos 4 (12) lnZ 厂 +厂 += += 解 lnx 2 dx= _ lnx dx =O+ln x 1 =O — ln_l= ln2 1 O+x) l+x 1 1 O+x)x l+x 1 2(13) -1 T — — 解 题设条件"a;;+A; ; = 0 "即A = A*'于是A = [Al'可见A只可能是 — 0或 1. T 天 又r(A) = r (A ) = r (-A* )= r (A ），则rCA)只可能为3或0. 而A为非零矩阵，因此r(A)不能为o,从而r(A) = 3 , A [ #- 0 , [ A [ = -1. T 或，用特例法．取一个行列式为—1的正交矩阵满足A =-A勹 故应填-1. ——1 04)1 e 解 由于X�E(l),a>O,则由指数分布的分布函数有 P{Y>a,Y,s;:;a+l} P{aa}= = — P{ Y >a} 1 P{Y冬a} = 1 -e l 一 — (a+ ( ]) 1 — — 0 e- a - ) e-" ) = e-a— e -a e-a-1 =l —e-1 = 1 ——1 e 三、解答题 05)解 由条件显然有 ln(x + 1) J(l)=O, J'(x)= X 由分部积分法及换元积分法有 八 『 x) 。 石dx =2 f 。 J(x)d左 1 rx — =2左f(x)1 2f 厂(x)dx = — 2f 。 In釭 r + D dx X =-4 。ln(x +Dd 五 f 『 『 石 山 = — 4左ln(x+1 ) +4 + o o 1 X 2 令t =石 t -4ln2+s f0 1 + t 2dt [I: — =- 4ln2+ 8 ( 1 l�t 2 ) dt ] =- 4ln2 + 8 -- Sarctant / 1。 — =-4ln2 + 8 2兀 = = 06) CI)证 S飞x)=�na占 n-1, S"Cx) =区 n(n-l)anX n-Z, n�l n- Z — 又•,'an -2 = n (n l)an (n�2), = = : .S"(x) =�an-zX n-Z =� 幻x"=S(x), n-2 n-011 :. S (x) -S( x) = 0得证． — = C II)解 S"(x) S(x) O为二阶常系数齐次线性微分方程，其特征方程为 2 — = 入 1 O, = 从而入＝士 1,于是S(x) C1亡+c飞． = 。 = = 又S(O) a 3,S'(O)=a1 l, = 1+C2 3 代入上式得 厂-C1+C2 = l ' = = 得C1 l,C2 2, 解 = x 所以S(x) e- + 2e气 (17)解 先求驻点，令 厂 ( x ' + Y + l 』 x " ) e " ' ' � o ' = 3 = Y (l+y+3x )产 0 J 解 得 ［ 二 ＼ 或 { : = � ½ 为了判断这两个驻点是否为极值点，求二阶导数 1 fx x = ( 归 + 2 x 2 + y + 3 X 3 ) e + y fxy = (X 2 + 1 +Y + 1 X3 ) e x+y 了 儿 = ( 2 + y + 卢 ） e x + y (-1, ——23 ) 在点 处， = A = fxx (-1, -f) -e 主 ， = — = B fxy (-1, f) e-'-l- C = fyy (-1, — f) = e 宁 ， 因 为 A < o , A C — B 2< O , 所 以 —( 1 — — 2 ' )不是极值点． 3 (1 4 一 类似地，在点 ， 了 ）处， A = fxx (1,— 4 ）=3e 叶 ， 了 —勹 = = B fxy (1, e-½' —勹 = = C fyy (1, e-½(1.-f) 因为A>o,AC —B2 =2e气>O,所以 是极小值点，极小值为 (-+ !(1, —：片）= +½) e··½= -e勹． (18)证 CI)设F(x)=f(x)-.1::, xE [ —1,l ]. ·; f(x)是奇函数，:. f(O)= 0. 从而 F(l)= JO)—1= 0, F(O) = f(O) -0 =0, 且 F(x)在[0,1]上连续，在(0'1) 内可导．由罗尔中值定理，存在 fE CO,l)使得J'CO= JCO —1= 0. 且fl .f'co=1 . < II)设 G(x)=厂(x)+J(x)—x, —1冬 X < l_ ·: J(x)在[-1,1]上是奇函数， : . J'(x)在[-1,1 ]上是偶函数， G Cl)= J'Cl) + f( 1)- 1= J'(1) , G(-1)= J'C— l)+ f(—1) +1 =厂（—1)= J'Cl). 故G(l)=G(-1), 且G(x)在[-1,l ]内连续，在(-1,1)内可导．由罗尔中值定理， 3 TJ E (—1,1)使得 G'( ) = J" C ) + J'( )- 1= o. r; r; r; 即广( )+ J'( )= 1. r; r; 、I 另解1: 设G(x)=e(J (X) -1)'则由(1):G仿）=O. 又由于 f(x)为奇函数，故 J'(x)为偶函数，可知G(—¢)=0. 则五EC一名的C (-1,1)使 G'( )=O, r; 即e�[厂( )—l]+e�/'C )=0. r; r; 、 亦即广( )+J'( )=l. r; r; 、 另解2: 令GC.d=e'CJ'(x)-1),则 G伶）=0. 由于 J釭）为奇函数，故 j气x)为偶函数，得G(-$)=0. G位）在[-¢,¢JC[--1,l]上可导，由罗尔定理知 五EC-尽的E(--1,1)心( )=O, r; 即广( )+ J'( )= 1 . r; r; (19)解 CI)AB= {—1,1,1} L: X -1 =-Y =-Z -1 1 1 2 ? VM(x,y, 之) E 1:, 对应于L上的点M。位。，Yo,之汃则艾 十y =亡+y� ' x0 =l--乏 由 {Yo=z 得 2:X2+沪=(1-之)2 + z2 即 2:X2+沪=2之2 --2乏+1. 』之 dv err J 显然x�o,y�o,z�J ' J�dv= 尸+ 2 2 z 记D {(x ,y) y �2z - 2z + 1}, J: 』』 』山 = 2 = dv dz dy=穴f:(2z -2z + l)dz =六气（ 4+2) ¥1t, J: (s = 3 — 2 — = J�zdv f>dz』『dxdy=穴 (2z 2z 十z)dz =穴 ¥+2) ¥n:, 7 ． Z-＝_， 5 � 75 ) :. 形心坐标(o,o,一． 1 = X Xz (20)解 设C ( 3 J'则AC-CA =B成立的充分必要条件为 X X [,+ax,�O = (*) 1 2 ax +x -t-ax 4 l , — — 3 X -x4 1, = 3 -ax b. 。 。 对方程组的增广矩阵施以初等行变换得 。 。 —。 。 -1 a 1 -1 l 1 。 J 。 。 。 。 { 1 a 1 �a 。 ）． 。 。 。 。 -1 -1 +1 1 �-a b 当a c:j=�l或b # 0时，方程组（＊）无解． = = 当a �l,b 0时，方程组（＊）有解，通解为 [j] x �[il + k [(] + k , , k ,, 如为任意常数 =— = 综上，当且仅当a,l+k 1,＋b k0时，存在满足条件的矩阵C,且 l 2 C= 已 ＼ k l 丿，如心为任意常数． x (x \ xl （I ） i ＿ x 2 ， 由于 (21)证 ＿ \ 3） 1 = 1 1 江2 3 3 2 I 2 2 3 3 2 f(x , 工，Xz) 2(a x +a +a X ) +(b心 +b X +b X ) ,x{J 2 [ (x,, x, (a,, a, ,a,{::]]+ [ (兀x,,x,)[ l ( /,,, b, ,b{:l ] = 1 「 2x (a矿）X +x' cpp勹x T =x气2a矿＋仰勹x, 1 1 又2a矿＋仰 为对称矩阵，所以二次型J对应的矩阵为2aa +PP .T T CII )记A=Zaa +PP , 由于 a,p正交且均为单位向晕，所以 Aa = (Zaa T + pp勹a= Za , AP -(Za矿＋仰 T )P=P' 于是入=Z,幻=l是矩阵A的特征值，又 T r(A) =r(Zaa +PP勹�r(Za矿）十rCPP勹�Z, 所以从=O是矩阵A的特征值，故J在正交变换下的标准形为Zyi+y:. (22)解 C I)由题设条件知，P{l�Y乏2}= 1 记Y的分布函数为F凶y)'则 当yO, 其他 n 1 n 当 X1 ,X2, …，Xn > 0时，lnL(0) = 2nln0 -0� —3�lnx,. i-1 X, ,-1 n d[lnL(0)] 竺— 上 2n 令 = � =0, 得0的最大似然估计值为iJ - ＂ d0 0 -, 1 X , �-, 1 』X , Zn 所以0的最大似然估计量为0= 2 工 ,�1 X,