2014年数学二解析_数学二真题+解析[87-25]_数学二解析

新东方网考研频道 http://kaoyan.xdf.cn 2014 年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题答案 1.B ln(12x) (2x) lim  lim 2lim x1 0 x0+ x x0 x x0 1 1 1 ( x2) (1cosx)2 2 1 1 2 1 lim  lim ( ) lim xa 0 x0 x x0 x 2 x0 2  102  2、C 1 y  xsin x 1 xsin y x k lim lim 1 x x x x 1 limyxlimsin 0 x x x 1 y  xsin 存在斜渐近线y  x x 3、D 令f x x2,则在[0,1]区间 f(0)0 f(1)1 举例： gx0(1x)1x x  f x gx 又f ''x20D 4．C 新东方网考研频道 http://kaoyan.xdf.cn/新东方网考研频道 http://kaoyan.xdf.cn dy 2t4  dx 2t dy 3 dx t1 22t2(2t4) d2y (2t)2 8   dx2 2t (2t)3 d2y  1 dx2 t1 y" 1 k   3 3 (1 y'2)2 (132)2 1 3 3 R (132)2 102 10 10 k 5、D f(x) arctanx 1 xarctanx   .故2  . x x 12 arctanx 2 xarctanx xarctanx lim lim lim x0 x2 x0 x2 arctanx x0 x3 1 1 1x2 x2 1 lim lim  . x0 3x2 x03x2(1x2) 3 6、A 2u 2u 2u 2u 2u 排除法当B  0，因为  0，故A 与B 异号. xy x2 y2 x2 y2 ACB2 0，函数u(x,y)在区域D内没有极值. 连续函数在有界闭区域内有最大值和最小值，故最大值和最小值在D的边界点取到. 7、B 解析： 新东方网考研频道 http://kaoyan.xdf.cn/新东方网考研频道 http://kaoyan.xdf.cn 0 a b 0 a 0 0 b 0 c d 0 c 0 0 d a b 0 a b 0 a(1)21 c d 0 c(1)41 0 0 b 0 0 d c d 0 a b a b ad(1)33 cb(1)23 c d c d a b a b ad bc c d c d a b (bcad) c d (ad bc)2 8、A 解析： 已知，，无关 1 2 3 设（+k)( l)0 1 1 3 2 2 3 即++（kl) 0 1 1 2 2 1 2 3  kl 0 1 2 1 2 从而+k，+l无关 1 3 2 3 反之，若+k，+l无关，不一定有，，无关 1 3 2 3 1 2 3 1 0 0       例如，= 0 ，= 1 ，= 0 1   2   3         0 0 0       1 1 1 1 1 x1 1   3 9. dx dx arctan |1  [ ( )]   x2 2x5 x12 4 2 2  2 4 2 8 10. 新东方网考研频道 http://kaoyan.xdf.cn/新东方网考研频道 http://kaoyan.xdf.cn f 'x2(x1)x[0,2]  f(x) x2 2xc 又f(x)是奇函数  f(0)0c0  f(x) x2 2x x[0,2] f(x)的周期为4  f(7) f(3) f(1)f(1)(12)1 11、解：方程两边对x求偏导： z z e2yz(2y ) 2 x  0 x x 1 1 代入x  ,y  解得： 2 2 z 1 = x z（ 1 ， 1 ） e 2 2 +1 两边对y求偏导 z z e2yz(2z  2y ) 2y   0 y y 1 1 代入x  ,y  解得： 2 2 1 1 z（ 1 ， 1 ） 1  z（ ， ）e 2 2 z 2 2 = y z（ 1 ， 1 ） e 2 2 +1 12. 解：把极坐标方程化为直角坐标方程 令 新东方网考研频道 http://kaoyan.xdf.cn/新东方网考研频道 http://kaoyan.xdf.cn xrcoscos  y rsinsin dy dy d sincos 则   dx dx cossin d  1 0 dy 2 2   dx     2 0 1 2 xcos0   当 时，  2 y sin   2 则切线方程为  2 (y ) (x0) 2  化简为 2  y  x  2 13、质心的横坐标： 1 2 1 1 1 1 ( x4 x3 x2)  xf(x)dx  x( x2 2x 1)dx 4 3 2 0 11 0  0    1 f(x)dx  1 ( x2 2x 1)dx ( 1 x3 x2 x) 1 20 0 0 3 0 14、 f(x ,x ,x )  x 2 x 2 2ax x  4 x x 1 2 3 1 2 1 3 2 3  (x  ax ) 2 (x  2x )2  4 x 2 a2 x 2 1 3 2 3 3 3 f的负惯性指数为1  4-a2  0  2  a  2 新东方网考研频道 http://kaoyan.xdf.cn/新东方网考研频道 http://kaoyan.xdf.cn 15. 解： 1 1 x x 1  (t2(et1)t)dt  (t2(et1)t)dt x2(ex1)x 1 1 lim 1 lim 1 lim limx2(ex1 ) x x2ln(1 1 ) x x2 1 x 1 x x x x 1 1t t2 (t2)1t 1 et 1t 1 2 令 tlim lim  x x t2 x t2 2 16、 解： x2  y2y'1 y' 1x2 y' y2 1 令y'0,x1 2x(y2 1)(1x2)2yy' y'' (y2 1)2 又 y'(1) y'(1)0 2 y''(1) 0,y(1)为极大值 y2(1)1 2 y''(1) 0,y(1)为极小值 y2(1)1 下求极值 1x2 y' ,(y2 1)dy (1x2)dx,(y2 1)dy  (1x2)dx y2 1 1 1  y3 y  x x3c 3 3 又 y(2)0 2 c 3 1 1 2  y3 y x x3 3 3 3 新东方网考研频道 http://kaoyan.xdf.cn/新东方网考研频道 http://kaoyan.xdf.cn 代入 x1 1 1 2  y3(1) y(1)1  3 3 3 y(1)1 代入 x1, 1 1 2  y3(1) y(1)1  0 3 3 3 y(1)0 17、 解：积分区域D关于y  x对称，利用轮对称行， xsin( x2  y2) ysin( x2  y2)  dxdy  dxdy x y x y D D 1 xsin( x2  y2) ysin( x2  y2)    dxdy 2 x y x y D 1  sin( x2  y2)dxdy 2 D 1  2 1 2  2d sin(r)rdr   rdcos(r) 2 0 1 4 1 1 1 2  rcos(r)|2   cos(r)dr 4 1 4 1 1 1 3    2 4 4 18、 解 ： 新东方网考研频道 http://kaoyan.xdf.cn/新东方网考研频道 http://kaoyan.xdf.cn z  f' ex  cosy, x 2z  cosy(f''ex  cosyex  f' ex)  f''(ex  cosy)2  f' ex  cosy x2 z  f' ex (siny), y 2z  ex[f''ex (siny) f'  cosy]  (ex)2 siny2f'' f'  cosyex y2 2z 2z   f''e2x  (4z ex  cosy)e2x x2 y2  f''(ex  cosy)  4 f(ex  cosy)ex  cosy 令t  ex  cosy, f''(t)  4 f(t)t  y'' 4y  x 求特征值： 2  4  0  x  2  y(x)  Ce2x  Ce2x 1 2 再求非其次特征值。 1 y  (ax b) 代入 y  - x 4 1  y  y(x) y  Ce2x  Ce2x  x 1 2 4 y(0)=0=C  C 1 2 1 y'(0)=0=x  x  1 2 4  1 C  C  0 C   1 2   1 16   1    2C  2C   1  1 2 4 C    2 16 1 1 1  f()  e2  e2   16 16 4 19. 解：（I） 新东方网考研频道 http://kaoyan.xdf.cn/新东方网考研频道 http://kaoyan.xdf.cn x h(x) g(t)dt 1 a h(a)0 1 h '(x) g(x)0 1 h(x)单调不减 1 当xa,b时，h(x)0 1 x h (x) g(t)dtxa 2 a h '(x) g(x)1 2 0 g(x)1h '(x)0 2 h (x)单调不增又h (a)0 2 2 当xa,b时，h (x)0 2 x x a g(t)dt p(x) f(u)g(u)du a f(u)du a a x  x  p'(x) f(x)g(x) f[a g(t)dt]g(x) f(x) f[a g(t)dt] g(x) a  a  0 g(x)1 x x x  g(t)dt  dt  xaa g(t)dt  x a a a 又f(x)单调增加 x （Ⅱ） f(x) f[a g(t)dt]p'(x)0 a p(x)单调不减 又（p a）=0p(b)0 b b a g(t)dt 即 f(x)g(x)dx a f(x)dx a a 20、 解： 新东方网考研频道 http://kaoyan.xdf.cn/新东方网考研频道 http://kaoyan.xdf.cn x f(x)  ,f(x)  f(x) 1  x 1 x x 1  x f(x)  f(f(x))   2 1 x 1  2x 1  1  x x x 1  2x f(x)  f(f(x))   3 2 x 1  3x 1  1  2x x 用归纳法知：f(x)  ,x[0,1] n 1  nx 1 x 1 1 nx 1  1 S   dx   dx n 0 1  nx n 0 1  nx 1 1 1   (1  )dx n 0 1  nx 1 1   ln(1  n) n n2 1 1 ln(1  n) limnS  lim n[  ln(1  n)]  1  lim n n n n n2 n n  1 21. 解： f 因 2(y1) 则 y f(x,y) y2 2y(x) f(y,y)(y1)2 (2 y)  f(y,y) y2 2y(y) 则(y) y1 故f(x,y) y2 2yx1 f(x,y)0 xy2 2y1 2 2 2 2  x2  2 V   f(x)1 dx   f 2(x)2f(x)1  dx (2x)dx2x  2 0 0 0  2  0 22、 解： 新东方网考研频道 http://kaoyan.xdf.cn/新东方网考研频道 http://kaoyan.xdf.cn 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4       (A)= 0 1 1 1 r 1 r 3 0 1 1 1 4r 2r 3 0 1 1 1             1 2 0 3 0 4 3 1 0 0 1 3       1 2 0 5 1 0 0 1        r 3 3 r   r2 r   0 1 0 2  2r 2 r 1  0 1 0 2  3 1     0 0 1 3 0 0 1 3     x x x  1 1 4 1     x 2x x 2 2 4  2 c   c为任意常数 x 3x x  3  3 4  3    x  x  x  1  4 4 4 x y z  1 1 1   设 B= x y z  2 2 2   x y z   3 3 3 x  1 1 2 3 4 1 1       A x  0  0 1 1 1 0  2            x   0   1 2 0 3 0  3 y  0 1 2 3 4 0 1       A y  1  0 1 1 1 1  2            y   0   1 2 0 3 0  3 z  0 1 2 3 4 0 1       A z  0  0 1 1 1 0  2            z   1   1 2 0 3 1  3 即 1 2 3 4 1 0 0 1 2 3 4 1 0 0     0 1 1 1 0 1 0  0 1 1 1 0 1 0         1 2 0 3 0 0 1 0 4 3 1 0 0 1     1 2 3 4 1 0 0 1 2 0 5 4 12 3      0 1 1 1 0 1 0  0 1 0 2 1 3 1         0 0 1 3 0 0 1 0 0 1 3 1 4 1     1 0 0 1 2 6 -1    0 1 0 -2 -1 -3 1     0 0 1 -3 -1 -4 1   新东方网考研频道 http://kaoyan.xdf.cn/新东方网考研频道 http://kaoyan.xdf.cn x  1  2   y  1  6  z  1 1 1 1 1                   x 2 1 y 2 3 z 2 1  2 c       2 c       2 c      x  1 3  1  y  2 3  4 z  3 3   1  3 3 3                    x   1   0   y   1   0   z   1   0  4 4 4 c 2 c 6 c 1 1 2 3   2c 1 2c 3 2c 1 B  1 2 3   3c 1 3c 4 3c 1 1 2 3   c c c   1 2 3 c ,c ,c 为任意常数 1 2 3 23、 解： 1 1 1 0 0 0 1     1 1 1 0 0 0 2 设A    B            1 1 1 0 0 0 n  1 1 1 1  1 1 E  A   ( n)n1 1 1  1 所以A 的n个特征值为=n,=  =0 1 2 n 又因为A是一个实对称矩阵，所以A可以相似对角化，且 n   0 0 1   0 0  0 2 A   ，E  B   ( n)n1      0 0 0 0  N 所以B 的n个特征值为’=n,’=  ’=0 1 2 n 0 0 0 -1 0 0 0 -2 又 0E  B  0 0 0 -n 所以r(0E B)  1 故B的n-1重特征值0有n-1个线性无关的特征向量 新东方网考研频道 http://kaoyan.xdf.cn/新东方网考研频道 http://kaoyan.xdf.cn n    0 所以B也可以相似对角化，且B        0 所以A 与B 相似。 新东方网考研频道 http://kaoyan.xdf.cn/