![2017年数学二解析_数学二真题+解析[87-25]_数学二解析](https://static.diaifu.net/ssd/ssd5/wenku/2026-02-04/f0379619aeb8d10616d097564acff2ce/f0379619aeb8d10616d097564acff2ce_1.webp)
![2017年数学二解析_数学二真题+解析[87-25]_数学二解析](https://static.diaifu.net/ssd/ssd5/wenku/2026-02-04/f0379619aeb8d10616d097564acff2ce/f0379619aeb8d10616d097564acff2ce_2.webp)
![2017年数学二解析_数学二真题+解析[87-25]_数学二解析](https://static.diaifu.net/ssd/ssd5/wenku/2026-02-04/f0379619aeb8d10616d097564acff2ce/f0379619aeb8d10616d097564acff2ce_3.webp)
![2017年数学二解析_数学二真题+解析[87-25]_数学二解析](https://static.diaifu.net/ssd/ssd5/wenku/2026-02-04/f0379619aeb8d10616d097564acff2ce/f0379619aeb8d10616d097564acff2ce_4.webp)
![2017年数学二解析_数学二真题+解析[87-25]_数学二解析](https://static.diaifu.net/ssd/ssd5/wenku/2026-02-04/f0379619aeb8d10616d097564acff2ce/f0379619aeb8d10616d097564acff2ce_5.webp)
![2017年数学二解析_数学二真题+解析[87-25]_数学二解析](https://static.diaifu.net/ssd/ssd5/wenku/2026-02-04/f0379619aeb8d10616d097564acff2ce/f0379619aeb8d10616d097564acff2ce_6.webp)
![2017年数学二解析_数学二真题+解析[87-25]_数学二解析](https://static.diaifu.net/ssd/ssd5/wenku/2026-02-04/f0379619aeb8d10616d097564acff2ce/f0379619aeb8d10616d097564acff2ce_7.webp)
![2017年数学二解析_数学二真题+解析[87-25]_数学二解析](https://static.diaifu.net/ssd/ssd5/wenku/2026-02-04/f0379619aeb8d10616d097564acff2ce/f0379619aeb8d10616d097564acff2ce_8.webp)
![2017年数学二解析_数学二真题+解析[87-25]_数学二解析](https://static.diaifu.net/ssd/ssd5/wenku/2026-02-04/f0379619aeb8d10616d097564acff2ce/f0379619aeb8d10616d097564acff2ce_9.webp)
![2017年数学二解析_数学二真题+解析[87-25]_数学二解析](https://static.diaifu.net/ssd/ssd5/wenku/2026-02-04/f0379619aeb8d10616d097564acff2ce/f0379619aeb8d10616d097564acff2ce_10.webp)
![2017年数学二解析_数学二真题+解析[87-25]_数学二解析](https://static.diaifu.net/ssd/ssd5/wenku/2026-02-04/f0379619aeb8d10616d097564acff2ce/f0379619aeb8d10616d097564acff2ce_11.webp)
![2017年数学二解析_数学二真题+解析[87-25]_数学二解析](https://static.diaifu.net/ssd/ssd5/wenku/2026-02-04/f0379619aeb8d10616d097564acff2ce/f0379619aeb8d10616d097564acff2ce_12.webp)
![2017年数学二解析_数学二真题+解析[87-25]_数学二解析](https://static.diaifu.net/ssd/ssd5/wenku/2026-02-04/f0379619aeb8d10616d097564acff2ce/f0379619aeb8d10616d097564acff2ce_13.webp)
![2017年数学二解析_数学二真题+解析[87-25]_数学二解析](https://static.diaifu.net/ssd/ssd5/wenku/2026-02-04/f0379619aeb8d10616d097564acff2ce/f0379619aeb8d10616d097564acff2ce_14.webp)
![2017年数学二解析_数学二真题+解析[87-25]_数学二解析](https://static.diaifu.net/ssd/ssd5/wenku/2026-02-04/f0379619aeb8d10616d097564acff2ce/f0379619aeb8d10616d097564acff2ce_15.webp)
![2017年数学二解析_数学二真题+解析[87-25]_数学二解析](https://static.diaifu.net/ssd/ssd5/wenku/2026-02-04/f0379619aeb8d10616d097564acff2ce/f0379619aeb8d10616d097564acff2ce_16.webp)
![2017年数学二解析_数学二真题+解析[87-25]_数学二解析](https://static.diaifu.net/ssd/ssd5/wenku/2026-02-04/f0379619aeb8d10616d097564acff2ce/f0379619aeb8d10616d097564acff2ce_17.webp)
![2017年数学二解析_数学二真题+解析[87-25]_数学二解析](https://static.diaifu.net/ssd/ssd5/wenku/2026-02-04/f0379619aeb8d10616d097564acff2ce/f0379619aeb8d10616d097564acff2ce_18.webp)
文档内容
2017考研数学（二）参考答案
－、选择题
C l)A
1-cos石
x>O,
解由f(x)�{ ax ' 在X�0处连续，得limfCrl�&.
工-•o+
b, X�0
—
l cos石 X 1
又limf(x)= lim = ltm =—=b.
x-o+ 工-o+ ax 工一o+ 2ax 2a
1
所以ab=—．故应选A.
2
(2) B
,._
解由广(x)> 0知曲线y= f( x)在[— 1, l]上是凹的，因此当f(x)为凹的偶函数时满
『
0
足题设条件J(-l)=J(l),此时f f(x)dx= f(x)dx, 显然可排除选项C,D;
- 1
取f(x)=宣-1, 则f(-1)= JO)= 1,/ CO)= -1,J"位）=4>0,
J1
J1 O, 所以函数之 =f位，y)关于自变量x是单
兀调增函数，从而知 (*)
f(O,l) < J(l,l)
af(x,y)
同理由 1 Q + IO V 1 (t) Vz (t) ]dt 10-20= -10.
= — = 。 s —
I
t 25时，S (t) Sz( t) r压(t) Vz(t)]dt
o s
=
2 2
r 压Ct)-v Ct)]dt+r压(t)-V (t) ] dt
= 0 = — 10
10-20 10.
= 。
1 2 2
t>25时，s Ct)-s Ct) 『压(t)-v (t)]dt
5
=
f2 2 2
0 压(t)-v (t)]dt十『25 压(t)-V (t) ] dt
—
2
= 10+『25压 (t)-v (t)]dt>-lO.
故应选C.
(7) B 0
�o.
＝
解 由P-'AP�[ 1 J可知，应 应 五应�,立
2
(8) B所以 A(a1 +a2 +a3) =a + 2a3.
解 因为A和B都是上三角矩阵，所以特征值都是1,2,2.
．
所以，要判别A和B能否相似对角化，只需考察—属于2的—线性无关的特
=
征向量的个数即可
对于A,属于2的线性无关的特征向量的个数3 r(2E A) = =3 — -1 = 2.
对千B,属于2的线性无关的特征向量的个数3-r (2E -B) 3 2 1.
所以，A可以和C相似，但是B不能．
故应选B.二、填空题
+
(9) y =x 2
勹
x (1 + arcsin
Y (x)
解 因为a= Jim = Jim
工-+00 X x-+= X
习2
＝
烟 !.,(1+ arcsin =l
b 勹r皿 (y(x) -ax)= 工［叶 (1+ arcsin -; 2 ) -x]
= r 1 m x• arcs1 . n— 2 = I l ffi X• — 2 =2
工一十= X x-十= X
所以y=ax +b =x +z为已知曲线的一条斜渐近线；
+
当 X _.. —～时，同理知斜渐近线仍为y=x Z:
+
故应填 y=x Z.
1
(10)
--
8
dy
.. dy ＝ dt ＝ cos t
解
dx dx 1 + e'
dt
2
d y d dy dt d dy 1 S 1
亡 ＝ 孟 ． （忑）· 忑 ＝ 孟 ． （忑） • -dx = (
1
C ::t ) I •
l
+
e'
dt
- --sin-t• (-1 + e-') --cost-• e' · - 1
+
(1 e') 2 1 +e'
=--sint•- (1 +- e') +- cost-• e'
+
(1 e') 3
= - -sint +- (sin-+ t + -cost)•- e'
3
(1 e')
-I
:. d勺 2 =-- 1 ，故应填－ —1 s ·
dx ,-o 8
(11) 1
I
厂勹�:;; 厂
解 dx= f l nCl+x)• d(厂十 � r )
. lnCl+x) += dx += dx
三皿 l+x + o +f 。 Cl+x) 2 = f 。 Cl+x)2
-I
1 +=
=- =-(0 — 1) =l
l+x o
故应填1.
(12) xyeY
解 由题意儿'(x,y) =ye ,J;cx ,y) =x(l+ y)e人f f
所以有f(x,y) = 1:cx ,y)dx = yedx = xye Y +C(y).
1; (x ,y) = [xye Y +C(y)]' = x(l+ y)e +c'(y)= x(l +y)e
= =
:.c'(y) O=>C(y) C.
因此f(x,y) = xye+c,又八0,O) = O.
故 =
所以C=O. f(x ,y) xye入
故应填xye入
—
(13) lncosl
解 如右图所示，交换
由已知二次积分的上、下限可得积分区域D Y
二f 次积f 分的积分次序f 得： y=x
i dy i ta X nx dx= i dx 『 。 尸 x dy
= I I o ta X nx dx I工。 dy = I I 。 ta X nx • y 工 0 dx X
f f1
= :tanxdx =— 。
c
上
osx
d(cosx)= — lnl cosx I
0
1
= -In I cosl I= -lncosl (·: cosl>O)
—
故应填 lncosl.
04) — l
—
4 1 2 1 1
[l 2 ][1] [1],
解 直接解得
设 a 气 a�-l.
—
3 1 1 2 2
三、解答题
— = —
(15)解 令x t u, 则t=x -u, dt = du.
『
。
左二 工』工
e'dt e 丘e-udu
=
lim lim R
工-o+ J.尸 x-o+
『
。
Fue-"du
= lim
J
X千
石尸
=lim
广伽o+ —3 石
2
2
.
—
3
(16) 解 因为 y = f(e 工 ， COSX), 所以
—
dy
= o/(u, v) e 工 — af(u, v) SlilX,
dx OU av
2 2 2
d y ＝of(u,v) 工 0 /(u,v) 0 /(u,v)
亡 如 e ＋（如2 e - a 呤V SlllX) e·'-- aJ(u, v) a勹(u,v) 工 a汀(u,v)
如 cosx -( 如加 e - av 2 smx )smx.
当 X=O时u， = e0 =1 , v= cosO= 1 ,所 以
气
＝打(1,1)'
dx x-0 au
d勺 aJo,u a勹(1,1)一句(1,1)
忑 工-o = 如 十 a记 加 ·
" "
k k k k 1
(17)解 li - m = � k-1 n 2 ln(1 + - n ) = " l 一 i ． m 气 � -i — n l n(1 +— n ) · — n
=r 。X in(l + X) dx
1 I 1 I x 2
=—x国Cl+x)— —f dx
Z o Zol+x
I
1 1 1
＝了lnZ— 了I。(x—1+ X) dx
l +
I I
1 1 1
2
＝了lnZ-
4
Cx -1)
。
一了ln(l+ x) J
0
(18)解 由x 3 十沪 —3x+3y—2 =0,得
3x 2 +3y 2 y 1— 3+3y 1 =0, e
6x + 6y(y 1 ) 2 +3 沪y"+ 3y"= 0. )＠
—
在O式中令y'=0得x= l,x= 1 .
当x分别取-1和1时，由x 3 十沪—3x+3y— 2=0得y(-1)=O,y(l) =l.
将x=—l,y(—1)=0及y'(—1)=O代入＠式得y"(-1)=2.
因为Y I (-1)= 0 , y 11 ( -1) > Q ,所 以y(—1)=O是Y(x)的极小值．
将x=l,y(l)=l及y'(l)=O代入＠式得y"(l)=—1.
因为y'(l)=0,y"(l) < o,所 以y(l)=l是y(x)的极大值．
f
f (x) f
(19)解 < I)由题设知 位）连续且J ,- im o+ —一 X －存在，所以 (0) = 0.
义
f(x) /(a)
由li - m o+ x o,所 以存在bE (a,l) C (O,l),使 得f(b)=0, 即方程f(x)=0在区间(0,1)
内至少存在一个实根．
C II)由CI)知f(O)=f(b)= 0,根 据罗尔定理，存在cE (O,b) C (0,1),使 得
1
f (c) =O.
令F(x)=f(x)厂(x)'由题设知F(x)在区间[O,b]上可导且，
F(O) =O,F(c)= O,F(b)= 0.
1 1
根据罗尔定理，存在�E CO,c), E (c,b),使 得F (0=F C ) =O, 即名T/是方程
r; r;
1 2
f(x)广(x)+ (f (x)) =O在区间(0'1)内的两个不同实根．解』 』
(20) (x+l) 2 dxdy= (x 2 +zx +ndxdy.
D D
D的边界曲线在极坐叫标：系下的方程为r=2sin0(0�0�11:),所 以
』 J:
� 2 dxdy= smO尸cos2 0dr
六
=4J sin"0cos20d0
亢 l — cos20
=I si旷20d0
2
穴 亢
=』 2 I 0 sin 220 dB—』 2 』 0 cos20sin 2 20 dB
六
=』I (1-cos40) d0
4 0
�
0
』 =』 ff
又因为 (2x+ l)dx dy 2xdx dy+ dx dy = 0 +六三
D
ff
=己
所以 (x + l)2 dxdy
4
D
(21)解 曲线l:y = y (x)在点P(x,y)的切线方程为
—
Y-y=y'(X X).
—
令X=O得YI' =y xy'.
曲线l:y = y (x)在点P(x,y)的法线方程为
y'(Y-y)=—x+x.
令Y=O得xp =x + yy'.
—
由题设知x+yy'=y xy''整理得
y
—
一—l
I y X X
y = = .
y+ x —y
+1
X
y dy du
令一=u,则-=u+x — ，代入上述方程并分离变益得
X dx dx
1
l+u
du =--dx.
l+u 2 X
1
两边积分得arctanu+ -ln(l+ 矿）=-In巨I+c,
2
即arctan
—y + —1
ln(x 2 + y 2 ) =C.
X 2
因为曲线l过点 (1,0)' 所以 C=O,于是曲线l上点的坐标(x,y)满足的方程为
y 1
arctan -+-ln(x 2 + y 2 ) =0.
X 2+ <
(22) C a3=a 1 2a2, 2.
解 I)由 知O心心线性相关，故r(A)
又因为A有3个不同的特征值，所以A至少有2个不为零的特征值，从而r(A)�2.
故r(A)= 2.
一
(Il)由a, +za, 一 ,�o,知AU}··故［ 勹J为方程组Ax�O的 个解
＿
:
一
又c(A)�z,所以[zJ为Ax�o的 个基础解系．
_ :[:J.
一
尸
因为p�a, 五+a 所以[!]为方程组Ax�p的 个特解
J []
．
故Ax�p的通解为X�[] +k 2 , 其中k为任意常数
(23)
解 二次型J的矩阵为
2 1 -4
A�[ I -I I .
芒三；三勹/—言勹勹:�-
6)' -3,6,0
所以特征值为
1
T
A =-3 /J1 (1,-1,l) ;
矩阵 属千特征值儿 的单位特征向量为 =—
1 岛
T
=6 /Jz =-(-1,Q,l) ;
属千特征值从 的单位特征向量为
迈
T
=O /J3=-(1,2,l) .
r- -
属千特征值从 的单位特征向量为
岛
1 1 1
迈祁
岛
一 Q=CP1,P2,P3)=Il - - 1 0 J 2 6 .
故所求的 个正交矩阵为 —
岛
1 1 1
瓦 迈 屈2016 年考研数学二真题与解析
一、选择题 1—8小题．每小题4 分，共32分．
1
１．当x 0 时，若ln(12x)，(1cosx)均是比x高阶的无穷小，则的可能取值范围是（ ）
1 1
（A）(2,) （B）(1,2) （C）( ,1) （D）(0, )
2 2
1
1 1 2 2
【详解】ln(12x)~ 2x，是阶无穷小，(1cosx) ~ x是 阶无穷小，由题意可知2
1
1
2
所以的可能取值范围是(1,2)，应该选（B）．
2．下列曲线有渐近线的是
1 1
（A） y xsinx （B） y x2 sinx（C） y xsin （D） y x2 sin
x x
1 y 1
【详解】对于 y xsin ，可知lim 1且lim(y x) limsin 0，所以有斜渐近线 y x
x x x x x x
应该选（C）
3．设函数 f(x)具有二阶导数，g(x) f(0)(1 x) f(1)x，则在[0,1]上（ ）
（A）当 f'(x) 0时， f(x) g(x) （B）当 f'(x) 0时， f(x) g(x)
（C）当 f(x) 0时， f(x) g(x) （D）当 f(x) 0时， f(x) g(x)
【分析】此题考查的曲线的凹凸性的定义及判断方法．
【详解1】如果对曲线在区间[a,b]上凹凸的定义比较熟悉的话，可以直接做出判断． 显然
g(x) f(0)(1 x) f(1)x就是联接(0, f(0)),(1, f(1))两点的直线方程．故当 f(x) 0时，曲线是凹
的，也就是 f(x) g(x)，应该选（D）
【详解2】如果对曲线在区间[a,b]上凹凸的定义不熟悉的话，可令
F(x) f(x) g(x) f(x) f(0)(1 x) f(1)x，则F(0) F(1) 0，且F"(x) f"(x)，故当
f(x) 0时，曲线是凹的，从而F(x) F(0) F(1) 0，即F(x) f(x) g(x) 0，也就是f(x) g(x)，应该选（D）
x t2 7,
4．曲线 上对应于t 1的点处的曲率半径是（ ）
y t2 4t 1
10 10
（Ａ） （Ｂ） (Ｃ）10 10 （Ｄ）5 10
50 100
y" 1
【详解】 曲线在点(x, f(x))处的曲率公式K ，曲率半径R ．
(1 y'2)3 K
2
dx dy dy 2t 4 2 d2y t2 1
本题中 2t, 2t 4，所以 1 ， ，
dt dt dx 2t t dx2 2t t3
y" 1 1
对应于t 1的点处 y'3,y" 1，所以K ，曲率半径R 10 10．
(1 y'2)3 10 10 K
应该选（C）
2
5．设函数 f(x)arctanx，若 f(x) xf'()，则lim （ ）
x0 x2
2 1 1
（Ａ）1 （Ｂ） （Ｃ） （Ｄ）
3 2 3
1 1
【详解】注意（1） f'(x) ，（2）x 0时,arctanx x x3 o(x3)．
1 x2 3
1 f(x) arctanx xarctanx
由于 f(x) xf'()．所以可知 f'() ，2 ，
12 x x (arctanx)2
1
x(x x3)o(x3)
2 xarxtanx 3 1
lim lim lim ．
x0 x2 x0 x(arctanx)2 x0 x3 3
2u
6．设u(x,y)在平面有界闭区域 D 上连续，在 D 的内部具有二阶连续偏导数，且满足 0 及
xy
2u 2u
0，则（ ）．
x2 y2
（A）u(x,y)的最大值点和最小值点必定都在区域D的边界上；
（B）u(x,y)的最大值点和最小值点必定都在区域D的内部；
（C）u(x,y)的最大值点在区域D的内部，最小值点在区域D的边界上；（D）u(x,y)的最小值点在区域D的内部，最大值点在区域D的边界上．
【详解】u(x,y) 在平面有界闭区域D上连续，所以u(x,y)在D内必然有最大值和最小值．并且如果在
u u 2u 2u 2u 2u
内部存在驻点(x ,y )，也就是 0，在这个点处 A ,C ,B ，由
0 0 x y x2 y2 xy yx
条件，显然AC B2 0，显然u(x,y)不是极值点，当然也不是最值点，所以u(x,y)的最大值点和最
小值点必定都在区域D的边界上．
所以应该选（A）．
0 a b 0
a 0 0 b
7．行列式 等于
0 c d 0
c 0 0 d
（A）(ad bc)2 （B）(ad bc)2 （C）a2d2 b2c2 （D）a2d2 b2c2
【详解】
0 a b 0
a 0 b a 0 b
a 0 0 b a b a b
a0 d 0 b0 c 0 ad bc (ad bc)2
0 c d 0 c d c d
c 0 d c 0 d
c 0 0 d
应该选（B）．
8．设, , 是三维向量，则对任意的常数k,l，向量 k ， l 线性无关是向量, ,
1 2 3 1 3 2 3 1 2 3
线性无关的
（A）必要而非充分条件 （B）充分而非必要条件
（C）充分必要条件 （D） 非充分非必要条件
【详解】若向量, , 线性无关，则
1 2 3
1 0
（ k ， l ）(, , )0 1(, , )K ，对任意的常数k,l，矩阵K 的秩都等
1 3 2 3 1 2 3 1 2 3
k l
于2，所以向量 k ， l 一定线性无关．
1 3 2 3
1 0 0
而当 0, 1, 0 时，对任意的常数k,l ，向量 k ， l 线性无关，但
1 2 3 1 3 2 3
0 0 0
, , 线性相关；故选择（A）．
1 2 3二、填空题（本题共6 小题，每小题4分，满分24 分. 把答案填在题中横线上）
1 1
9． dx ．
x2 2x5
1 1 1 dx 1 x1 1 3
【详解】 dx arctan |1 ( ) ．
x2 2x5 (x1)2 4 2 2 2 4 2 8
10．设 f(x)为周期为4的可导奇函数，且 f'(x) 2(x1),x 0,2 ，则 f(7) ．
【 详 解 】 当 x 0,2 时 ， f(x) 2(x1)dx x2 2xC ， 由 f(0) 0 可 知 C 0 ， 即
f(x) x2 2x； f(x)为周期为4奇函数，故 f(7) f(1) f(1)1．
7
11．设z z(x,y)是由方程e2yz x y2 z 确定的函数，则dz| ．
4 1 , 1
2 2
7 1
【详解】设F(x,y,z) e2yz x y2 z ，F 1,F 2ze2yz 2y,F 2ye2yz 1，当x y
4 x y z 2
z F 1 z F 1 1 1
时，z 0， x ， y ，所以dz| dx dy．
x F 2 y F 2 1 , 1 2 2
z z 2 2
12．曲线L的极坐标方程为r ，则L在点(r,) , 处的切线方程为 ．
2 2
x r()coscos
【详解】先把曲线方程化为参数方程 ，于是在 处， x 0,y ，
y r()sinsin 2 2
dy sincos 2 2
| | ，则 L在点(r,) , 处的切线方程为 y (x0)，即
dx cossin 2 2 2
2 2
2
y x .
2
13．一根长为1的细棒位于 x轴的区间 0,1 上，若其线密度(x) x2 2x1，则该细棒的质心坐标
x ．
11
1 x(x)dx 1 (x3 2x2 x)dx
【详解】质心坐标x 0 0 12 11 ．
1 (x)dx 1 (x2 2x1)dx 5 20
0 0 3
14．设二次型 f(x ,x ,x ) x2 x2 2ax x 4x x 的负惯性指数是 1，则 a 的取值范围
1 2 3 1 2 1 3 2 3是 ．
【详解】由配方法可知
f(x ,x ,x ) x2 x2 2ax x 4x x
1 2 3 1 2 1 3 2 3
(x ax )2 (x 2x )2 (4a2)x2
1 3 2 3 3
由于负惯性指数为1，故必须要求4a2 0，所以a的取值范围是 2,2 ．
三、解答题
15．（本题满分10分）
1
x
(t2(et 1)t)dt
求极限 lim 1 ．
x 1
x2ln(1 )
x
【分析】．先用等价无穷小代换简化分母，然后利用洛必达法则求未定型极限．
【详解】
1 1
x (t2(et 1)t)dt x (t2(et 1)t)dt 1
lim 1 lim 1 lim(x2(ex 1) x)
x 1 x x x
x2ln(1 )
x
1 1 1 1
limx2( o( ) x
x x 2x2 x2 2
16．（本题满分10分）
已知函数 y y(x)满足微分方程x2 y2y'1 y'，且 y(2) 0，求 y(x)的极大值和极小值．
【详解】
dy
解：把方程化为标准形式得到(1 y2) 1 x2，这是一个可分离变量的一阶微分方程，两边分别积分
dx
1 1 2
可得方程通解为： y3 y x x3 C，由 y(2) 0得C ，
3 3 3
1 1 2
即 y3 y x x3 ．
3 3 3
dy 1 x2 d2y 2x(1 y2)2 2y(1 x2)2
令 0，得x 1，且可知 ；
dx 1 y2 dx2 (1 y2)3
当x 1时，可解得 y 1， y" 1 0，函数取得极大值 y 1；
当x 1时，可解得 y 0， y" 2 0，函数取得极小值 y 0．
17．（本题满分10分） xsin( x2 y2)
设平面区域D (x,y)|1 x2 y2 4,x 0.y 0 ．计算 dxdy
x y
D
【详解】由对称性可得
xsin( x2 y2) ysin( x2 y2) 1 (x y)sin( x2 y2)
dxd dxd dxdy
x y x y 2 x y
D D D
1 sin( x2 y2) 1 2 3
dxd 2d rsinrdr
2 1 2 0 1 4
D
18．（本题满分10分）
2z 2z
设 函 数 f(u) 具 有 二 阶 连 续 导 数 ， z f(excos y) 满 足 (4zexcosy)e2x ． 若
x2 y2
f(0) 0, f'(0) 0，求 f(u)的表达式．
【详解】
设u excos y，则z f(u) f(excos y)，
z 2z
f'(u)excosy, f"(u)e2xcos2 y f'(u)excos y;
x x2
z 2z
f'(u)exsin y, f"(u)e2xsin2 y f'(u)excos y；
y y2
2z 2z
f"(u)e2x f"(excos y)e2x
x2 y2
2z 2z
由条件 (4zexcosy)e2x，
x2 y2
可知
f"(u) 4f(u)u
这是一个二阶常用系数线性非齐次方程．
对应齐次方程的通解为：
f(u)C e2u C e2u其中C ,C 为任意常数．
1 2 1 2
1
对应非齐次方程特解可求得为 y* u．
4
1
故非齐次方程通解为 f(u)C e2u C e2u u．
1 2 41 1
将初始条件 f(0) 0, f'(0) 0代入，可得C ,C ．
1 16 2 16
1 1 1
所以 f(u)的表达式为 f(u) e2u e2u u．
16 16 4
19．（本题满分10分）
设函数 f(x),g(x)在区间 a.b 上连续，且 f(x)单调增加，0 g(x)1，证明：
x
（1） 0 g(t)dt xa, x a,b ；
a
ab
g(t)dt b
（2） a f(x)dx f(x)g(x)dx．
a a
【详解】
x x x
（1）证明：因为0 g(x)1，所以 0dx g(t)dt 1dt x a,b ．
a a a
x
即0 g(t)dt xa, x a,b ．
a
x
x a g(t)dt
（2）令F(x) f(u)g(u)du a f(u)du，
a a
x
则可知F(a) 0，且F'(x) f(x)g(x) g(x)fa g(t)dt，
a
x
因为0 g(t)dt xa, 且 f(x)单调增加，
a
x
所以 fa g(t)dt f(a xa) f(x)．从而
a
x
F'(x) f(x)g(x) g(x)fa g(t)dt f(x)g(x) g(x)f(x) 0， x a,b
a
也是F(x)在 a,b 单调增加，则F(b) F(a) 0，即得到
ab
g(t)dt b
a f(x)dx f(x)g(x)dx．
a a
20．（本题满分11分）
x
设函数 f(x) ,x 0,1 ，定义函数列
1 x
f (x) f(x)， f (x) f(f (x))，, f (x) f(f (x)),
1 2 1 n n1
设S 是曲线 y f (x)，直线x 1, y 0所围图形的面积．求极限limnS ．
n n n
n
【详解】
x
x f (x) 1 x x x
f (x) , f (x) 1 ， f (x) ,，
1 1 x 2 1 f (x) x 12x 3 13x
1 1
1 xx
利用数学归纳法可得 f (x) .
n 1nx
1 1 x 1 1 1 1 ln(1n)
S f (x)dx dx (1 )dx (1 )，
n 0 n 01nx n 0 1nx n n
ln(1n)
limnS lim1 1．
n n n n
21．（本题满分11分）
f
已知函数 f(x,y)满足 2(y1)，且 f(y,y)(y1)2 (2 y)ln y，求曲线 f(x,y) 0所成的
y
图形绕直线 y 1旋转所成的旋转体的体积．
【详解】
f
由于函数 f(x,y)满足 2(y1)，所以 f(x,y) y2 2yC(x)，其中C(x)为待定的连续函数．
y
又因为 f(y,y)(y1)2 (2 y)ln y，从而可知C(y)1(2 y)ln y，
得到 f(x,y) y2 2yC(x) y2 2y1(2 x)lnx．
令 f(x,y) 0，可得(y1)2 (2 x)lnx．且当 y 1时，x 1,x 2．
1 2
曲线 f(x,y) 0所成的图形绕直线 y 1旋转所成的旋转体的体积为
2 2 5
V (y1)2dx (2 x)lnxdx (2ln2 )
1 1 4
22．（本题满分11分）
1 2 3 4
设A0 1 1 1 ，E为三阶单位矩阵．
1 2 0 3
（1） 求方程组AX 0的一个基础解系；
（2） 求满足AB E的所有矩阵．
【详解】（1）对系数矩阵A进行初等行变换如下：
1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 1 0 0 1
A0 1 1 1 0 1 1 1 0 1 1 1 0 1 0 2，
1 2 0 3 0 4 3 1 0 0 1 3 0 0 1 3
得到方程组AX 0同解方程组x x
1 4
x 2x
2 4
x 3x
3 4
1
2
得到AX 0的一个基础解系 ．
1 3
1
x y z
1 1 1
x y z
（2）显然B矩阵是一个43矩阵，设B
2 2 2
x y z
3 3 3
x y z
4 4 4
对矩阵(AE)进行进行初等行变换如下：
1 2 3 4 1 0 0 1 2 3 4 1 0 0
(AE)0 1 1 1 0 1 00 1 1 1 0 1 0
1 2 0 3 0 0 1 0 4 3 1 1 0 1
1 2 3 4 1 0 0 1 0 0 1 2 6 1
0 1 1 1 0 1 00 1 0 2 1 3 1
0 0 1 3 1 4 1 0 0 1 3 1 4 1
由方程组可得矩阵B对应的三列分别为
x 2 1 y 6 1 z 1 1
1 1 1
x 1 2 y 3 2 z 1 2
2 c ， 2 c ， 2 c ，
x
1
1
3
y
4
2
3
z
1
3
3
3 3 3
x 0 1 y 0 1 z 0 1
4 4 4
即满足AB E的所有矩阵为
2c 6c 1c
1 2 3
12c 32c 12c
B 1 2 3
13c 43c 13c
1 2 3
c c c
1 2 3
其中c ,c ,c 为任意常数．
1 2 3
23．（本题满分11分）
1 1 1 0 0 1
1 1 1 0 0 2
证明n阶矩阵 与 相似．
1 1 1 0 0 n1 1 1 0 0 1
1 1 1 0 0 2
【详解】证明：设A ，B ．
1 1 1 0 0 n
分别求两个矩阵的特征值和特征向量如下：
1 1 1
1 1 1
E A (n)n1，
1 1 1
所以A的n个特征值为 n, 0；
1 2 3 n
0
而且A是实对称矩阵，所以一定可以对角化．且A~
；
0
0 1
0 2
E B (n)n1
0 0 n
所以B的n个特征值也为 n, 0；
1 2 3 n对于n1重特征值 0，由于矩阵(0E B) B的秩显然为1，所以矩阵B对应n1重特征值 0
的特征向量应该有n1个线性无关，进一步矩阵B存在n个线性无关的特征向量，即矩阵B一定可以对
0
角化，且B ~
0
1 1 1 0 0 1
1 1 1 0 0 2
从而可知n阶矩阵 与 相似．
1 1 1 0 0 n
