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2024 年中考第一次模拟考试（广东省卷）
数学·全解全析
一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选
项中，只有一项符合题目要求的）
1．小戴同学的微信钱包账单如图所示， 表示收入 元，下列说法正确的是
（ ）
A． 表示收入 元 B． 表示支出 元
C． 表示支出 元 D．收支总和为 元
【答案】B
【分析】明确“正”和“负”所表示的意义，有理数的加法逐项分析判断即可．
【详解】解：∵+5.20表示收入5.20元，
∴-1.00表示支出1.00元，故B正确，A，C不正确；
收支总和为+5.20+（-1.00）=+4.20，收入4.20元，故D不正确；
故选：B．
【点睛】此题主要考查了正负数的意义，解题关键是理解“正”和“负”的相对性，
明确什么是一对具有相反意义的量．在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为
正，则另一个就用负表示．
2．下列四个图案中是轴对称图形的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【分析】这4个图形各自沿着某条直线对折，直线两旁的部分能够完全重合，都是轴
对称图形．
【详解】第二个，第四个是轴对称图形．
故选B．
【点睛】本题考查了轴对称图形，熟练掌握轴对称图形的定义，是解决此类问题的关键．
3．据中国新闻网消息，2023年我国将新建开通 基站60万个，总数将突破290万个，
位居世界第一．将数据“290万”用科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】科学记数法的表示形式为 的形式，其中 ，n为整数．确定n的
值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相
同．当原数绝对值 时，n是正数；当原数的绝对值 时，n是负数．
【详解】解：290万 ．
故选：B．
【点睛】本题主要考查科学记数法．科学记数法的表示形式为 的形式，其中
，n为整数．解题关键是正确确定a的值以及n的值．
4．如图，直线 ，在 ， 之间放置一块直角三角板，使三角板的锐角顶点A，B
分别在直线 ， 上．若 ，则 等于（ ）
A．115° B．65° C．26° D．25°
【答案】D
【分析】作CD∥l，由平行线的性质求解即可．
1
【详解】解：如图，作CD∥l，则∠1＝∠ACD，
1
∵l∥l，
1 2
2
原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！∴CD∥l，
2
∴∠2＝∠DCB，
∵∠ACD＋∠DCB＝90°，
∴∠1＋∠2＝90°，
∵∠1＝65°，
∴∠2＝25°，
故选：D．
【点睛】本题考查的是平行线的性质，根据题意作出辅助线，构造出平行线是解答此
题的关键．
5．化简 结果正确的是（ ）
A．1 B． C． D．
【答案】A
【分析】根据同分母分式加减运算法则进行计算即可．
【详解】解： ，故A正确．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了分式加减，解题的关键是熟练掌握同分母分式加减运算法则，
准确计算．
6．神奇的自然界处处隐含着数学美！生物学家在向日葵圆盘中发现：向日葵籽粒成螺
线状排列，螺线的发散角是 ．我们知道圆盘一周为 ， ，
．这体现了（ ）A．轴对称 B．旋转 C．平移 D．黄金分割
【答案】D
【分析】根据黄金分割数的近似值为 可直接得出答案．
【详解】解： ，黄金分割数的近似值为 ，
体现了“黄金分割”．
故选：D．
【点睛】本题考查黄金分割的应用，解题的关键是牢记黄金比的近似值为 ．
7．如图，电路图有4只未闭合的开关，一个电源和一个小灯泡，已知电路图上的每个
部分都能正常工作，任意闭合其中两只开关，使得小灯泡发光的概率为 （ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】用所求情况数除以总情况数即可解答．
【详解】由题意可知，共有六种情况，而小灯泡不发光的情况只有 关闭时，
∴小灯泡发光的概率为
故选A．
【点睛】本题考查了概率公式，熟练掌握概率公式是解答本题的关键．
4
原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！8．不等式组 的解集为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】先求出每个不等式的解集，再求出不等式组的解集即可．
【详解】
解①得：
解②得：
不等式组的解集为： ，
故选择：D
【点睛】本题主要考查解一元一次不等式组，解一元一次不等式组，先求出不等式组
中每一个不等式的解集，再利用口诀求出这些解集的公共部分：同大取大，同小取小，
大小小大中间找，大大小小解不了（无解）．
9．如图， ， 是 上直径 两侧的两点．设 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】先利用直径所对的圆周角是直角得到∠ACB=90°，从而求出∠BAC，再利用
同弧所对的圆周角相等即可求出∠BDC．
【详解】解：∵C ，D是⊙O上直径AB两侧的两点，
∴∠ACB=90°，
∵∠ABC=25°，
∴∠BAC=90°-25°=65°，
∴∠BDC=∠BAC=65°，
故选：D．
【点睛】本题考查了圆周角定理的推论，即直径所对的圆周角是90°和同弧或等弧所对
的圆周角相等，解决本题的关键是牢记相关概念与推论，本题蕴含了属性结合的思想方法．
10．已知二次函数 ．如图，此二次函数的图象经过点（0，-4），正方形
ABCD的顶点C、D在x轴上，A、B恰好在二次函数的图象上，则图中阴彩部分的面
积之和为（）
A．2 B．4 C．8 D．18
【答案】C
【分析】先把函数图象经过的点（0，-4）代入解析式求出m的值，再根据抛物线和正
方形的对称性求出OD=OC，并判断出 ，设点B的坐标为（n，2n）
（n>0），把点B的坐标代入抛物线解析式求出n的值得到点B的坐标，然后求解即可．
【详解】解：二次函数 的图象经过点（0，-4），
∴ ．
∴二次函数的解析式是： ．
∵四边形ABCD为正方形和抛物线都是轴对称图型，且y轴为它们的公共对称轴，
∴OD=OC， ，
设点B的坐标为（n，2n）(n>0)，
∵点B在二次函数 的图象上，
∴2n= ，
解得： ，
∴点B的坐标为：（2，4），
6
原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！∴ ．
故选C．
【点睛】本题考查不规则图形的面积，求二次函数的解析式，正方形的性质，二次函
数的图象与性质等知识，掌握割补法（面积和差运算）是解题的关键．
二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分）
11．分解因式： ．
【答案】
【分析】直接利用平方差公式进行分解因式即可．
【详解】解： ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了利用平方差公式进行因式分解，熟练掌握平方差公式是解题的关
键．
12．计算： ×（﹣ ）＝ ．
【答案】
【分析】根据二次根式乘法法则计算即可．
【详解】解：原式＝ ．
故答案为：﹣3．
【点睛】本题考查了二次根式的乘法，熟练掌握二次根式的乘法法则
是解题的关键．
13．已知近视眼镜的度数y（度）与镜片焦距x（m）满足的关系式为y＝ ，则当近
视眼镜为200度时，镜片焦距为 ．
【答案】0.5m
【分析】令y=200，代入反比例函数，求得x的值即可，
【详解】令y = 200,
即：200=解得：x=0.5，
故200度近视眼镜镜片的焦距为0.5米．
故答案为：0.5m．
【点睛】本题考查了反比例函数的应用，解答该类问题的关键是确定两个变量之间的
函数关系，然后利用待定系数法求出它们的关系式，本题已经给出了解析式就使得难
度大大降低．
14．小亮借到一本72页的图书，要在10天之内读完，开始2天每天只读5页，在剩下
的时间里，小明每天至少要读 页．（假定小亮每天读书页数是整数）
【答案】8
【分析】设以后每天读 页，根据小明借到一本有72页的图书，要在10天之内读完，
开始2天每天只读5页，可列出不等式求解．
【详解】解：设以后每天读 页，
，
．
故小明每天至少读8页才能读完．
故答案为：8
【点睛】本题考查一元一次不等式的应用，关键设出每天读多少页，以总页数作为关
系式列不等式求解．
15．如图： 中， ， ， ，把边长分别为 ， ， ，
的 个正方形依次放在 中：第一个正方形 的顶点分别放在
的各边上；第二个正方形 的顶点分别放在 △ 的各边上， 其他正方
形依次放入，则第2022个正方形的边长x 为 ．
2022
8
原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！【答案】
【分析】根据相似三角形的性质就可以求出第一个正方形的边长，同理求得其它正方
形的边长，观察规律即可求得第n个正方形的边长，即可求解．
【详解】解：设第一个正方形的边长是 ，
∵ ∥AC， ∥BC，
∴ BAC， ABC，
△ △ △ △
则 ，
同理得到 ，
两式相加得到 ，
解得 = ，
同理求得：
第二个的边长是 ，
第三个的边长是 ，
…
∴ ．∴ ．
故答案为： ．
【点睛】本题考查了正方形的性质，相似三角形的判定和性质，考查了学生的观察归
纳能力．解题的关键是数形结合思想与方程思想的应用．
三、解答题（一）（本大题共3小题，第16题10分，第17、18题个7分，共24分）
16．（1）计算： ；
（2）已知一次函数的图象经过点（2，6）和（-4，-9），求这个函数的解析式．
【答案】（1） ；（2）
【分析】(1)根据实数的运算法则，先算乘除，在算加减，要合并同类二次根式，计算
即可，
(2)利用待定系数法即可求得函数的解析式．
【详解】 原式
；
设一次函数的解析式为 ，
则 ，
解得 ．
所以一次函数的解析式为 ．
【点睛】本题考查的是实数的运算，用待定系数法求一次函数的解析式，一次函数图
象上点的坐标特征，熟记用待定系数法求一次函数的解析式是解题的关键．
17．为保护耕地，某地需要退林还耕1500亩．已知甲施工队每天退林还耕的亩数是乙
10
原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！施工队的1.2倍；若单独完成退林还耕任务，甲施工队会比乙施工队少用5天．求甲、
乙两队每天完成退林还耕多少亩．
【答案】甲队每天退林还耕60亩，乙队每天退林还耕50亩
【分析】本题考查了分式方程的应用，根据题意“单独完成退林还耕任务，甲施工队
会比乙施工队少用5天”列出方程是解题的关键．
【详解】解：设乙队每天退林还耕x亩，根据题意得
．
解得 ．
经检验， 是原方程的解．
甲队每天退林还耕的亩数是 （亩）．
答：甲队每天退林还耕60亩，乙队每天退林还耕50亩．
18．如图，为了测量河流某一段的宽度，在河北岸选了一点 ，在河南岸选了相距
100m的 ， 两点．现测得 ， ，求这段河流的宽度（结果精
确到0.1m）．
【答案】63.4m
【分析】过A作AD⊥BC于D，根据∠ABC＝60°，∠ACB＝45°即可求出BD、CD与
AD关系，根据BC＝100m，可以求得AD的长度．
【详解】解：过A作AD⊥BC于D，
在Rt ADB中，∠B＝60°，
∴∠B△AD＝30°，∴BD＝AD•tan30°＝ AD，
在Rt ADC中，∠C＝45°，
∴CD△＝AD，又BC＝100m，
∴BD+CD＝ AD+AD＝100．
解得AD≈63.4m．
答：这段河的宽约为63.4米．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，解题关键是恰当构建直角三角形，利用三
角函数求解．
四、解答题（二）（本大题共3小题，每小题9分，共27分）
19．如图，已知 ， 为对角线．
（1）请用尺规作图法，过点D作 的垂线，交 于点E；（不要求写作法，保留
作图痕迹）
（2）在（1）的条件下，若 ， ，求点D到线段 的距离．
【答案】（1）见解析；（2）点D到线段 的距离是2，见解析.
【详解】（1）解：过点D作 的垂线如图；
①任意取一点P，使该点和点D在对角线 的两侧；②以点D为圆心， 的长为半
径作弧，交对角线 于F，G两点；③分别以点F，G为圆心，大于 的长为半
径作弧，在点P的同侧交于点H；④过点D、H作直线，交 于点E，直线 即为
所求作的垂线．
12
原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！（2）解答的关键是：①理解点D到线段 的距离是点D到线段 的垂线段的长度，
即为线段 的长度；②根据平行四边形的性质求出 ；③利用锐角三角函数求
解．
解：∵四边形 是平行四边形，
∴ ，
∴ .
由（1）知 ，
∴在 中， ，
即点D到线段 的距离是2.
20．如图，每个小正方形的边长都为1．
(1)直接写出 的长为________；
(2)请用无刻度的直尺画图：在格点上找点E，连接 ，使 ，垂足为H；
(3) 是直角吗？判断并说明理由．
【答案】(1)
(2)见解析
(3)∠ABC是直角，理由见解析
【分析】（1）运用勾股定理求解即可；
（2）如图，可证明 得 ，由 得
，推出 ，从而可得结论；
（3）运用勾股定理逆定理可判断 是直角三角形，可得出
【详解】（1）由勾股定理得： ，
故答案为：
（2）如图所示：点E即为所求；（3） 是直角，理由如下：
如上图，连接 ， ，
又 ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ 是直角．
【点睛】本题主要考查了勾股定理、勾股定理逆定理以及全等三角形的判定与性质，
熟练掌握书店同时也看见解答本题的关键．
21．甲，乙两名队员参加训练，每人射击10次的成绩分别被制成下列两个统计图：
根据以上信息，整理分析数据如下：
平均成绩环 众数/环 中位数/环 方差/环2
甲 a 7 7 1.2
乙 7 b c 4.6
14
原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！(1)写出表格中a，b，c的值： ________， __________， __________；
(2)根据以上统计数据，你会选择谁参加比赛，请说明理由．
【答案】(1)7，6，6.5
(2)派甲参赛，理由见解析．
【分析】（1）根据平均数、中位数、中位数的定义分别计算即可解决问题；
（2）甲选手的稳定性较好，乙选手得高分的可能性较大，所以从保名次上说，应该派
甲选手；从争取更高的名次来说，应该派乙选手（答案不唯一）．
【详解】（1） （环）；
乙的成绩从小到大排列：3，5，6，6，6，7，8，9，10，10，
∴ （环） （环）．
故答案为：7，6，6.5；
（2）应派甲选手参赛.
理由:由上一问可知，从众数来说，甲选手高于乙选手；从中位数来说，甲选手好于乙
选手；从方差来说，甲选手的稳定性较好；
综合以上情况，应该派甲选手参赛.
【点睛】本题考查条形统计图、折线统计图、平均数、中位数、方差等知识，解题的
关键是灵活运用所学知识解决问题．
五、解答题（三）（本大题共2小题，每小题12分，共24分）
22．在矩形ABCD中，AB=6cm，BC=12cm，点P从点A出发，沿AB边向点B以每
秒1cm的速度移动，同时点Q从点B出发沿BC边向点C以每秒2cm的速度移动P、
Q两点在分别到达B、C两点后就停止移动，设两点移动的时间为t秒，回答下列问题：
（1）如图1，当t为几秒时， PBQ的面积等于5cm2？
（2）如图2，当t=1.5秒时，试△判断 DPQ的形状，并说明理由；
（3）如图3，以Q为圆心，PQ为半△径作⊙Q．在运动过程中，是否存在这样的t值，
使⊙Q正好与四边形DPQC的一边所在的直线相切？若存在，求出t值；若不存在，请
说明理由.【答案】（1）1秒或5秒；（2） DPQ的形状是直角三角形．（3）①t=0或t=﹣
△
18+12 ；②0＜t＜6 ﹣18.
【详解】试题分析：（1）由题意可知PA=t，BQ=2t，从而得到PB=6﹣t，BQ=2t，然
后根据△PQB的面积=5cm2列方程求解即可；
（2）由t= ，可求得AP= ，QB=3，PB= ，CQ=9，由勾股定理可证明
DQ2+PQ2=PD2，由勾股定理的逆定理可知△DPQ为直角三角形；
（3）①当t=0时，点P与点A重合时，点B与点Q重合，此时圆Q与PD相切；当
⊙Q正好与四边形DPQC的DC边相切时，由圆的性质可知QC=QP，然后依据勾股定
理列方程求解即可；
②先求得⊙Q与四边形DPQC有两个公共点时t的值，然后可确定出t的取值范围．
试题解析：（1）∵当运动时间为t秒时，PA=t，BQ=2t，
∴PB=6﹣t，BQ=2t．
∵△PBQ的面积等于5cm2，
∴ PB•BQ= （6﹣t）•2t．
∴ ．
解得：t=1，t=5．
1 2
答：当t为1秒或5秒时，△PBQ的面积等于5cm2．
（2）△DPQ的形状是直角三角形．
理由：∵当t= 秒时，AP= ，QB=3，
∴PB=6﹣ = ，CQ=12﹣3=9．
在Rt PDA中，由勾股定理可知：PD2=DA2+PA2=122+（ ）2= ．
△
同理：在Rt PBQ和Rt DCQ中由勾股定理可得：DQ2=117，PQ2= ．
△ △
∵117+ = ，
∴DQ2+PQ2=PD2．
16
原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！所以△DPQ的形状是直角三角形．
（3）①（Ⅰ）由题意可知圆Q与AB、BC不相切．
（Ⅱ）如图1所示：当t=0时，点P与点A重合时，点B与点Q重合．
∵∠DAB=90°，
∴∠DPQ=90°．
∴DP⊥PQ．
∴DP为圆Q的切线．
（Ⅲ）当⊙Q正好与四边形DPQC的DC边相切时，如图2所示．
由题意可知：PB=6﹣t，BQ=2t，PQ=CQ=12﹣2t．
在Rt PQB中，由勾股定理可知：PQ2=PB2+QB2，即（6﹣t）2+（2t）2=（12﹣2t）2．
△
解得：t=﹣18+12 ，t=﹣18﹣12 （舍去）．
1 2
综上所述可知当t=0或t=﹣18+12 时，⊙Q与四边形DPQC的一边相切．
②（Ⅰ）当t=0时，如图1所示：⊙Q与四边形DPQC有两个公共点；
（Ⅱ）如图3所示：当圆Q经过点D时，⊙Q与四边形DPQC有两个公共点．
由题意可知：PB=6﹣t，BQ=2t，CQ=12﹣2t，DC=6．由勾股定理可知：DQ2=DC2+CQ2=62+（12﹣2t）2，PQ2=PB2+QB2=（6﹣t）2+（2t）2．
∵DQ=PQ，
∴DQ2=PQ2，即62+（12﹣2t）2=（6﹣t）2+（2t）2．
整理得：t2+36t﹣144=0．
解得：t=6 ﹣18，t=﹣6 ﹣18（舍去）．
1 2
∴当0＜t＜6 ﹣18时，⊙Q与四边形DPQC有三个公共点．
考点：1、三角形的面积公式，2、勾股定理,3、勾股定理的逆定理
23．在 中， ， ．点P是平面内不与点A，C重合的任意一点．
连接AP，将线段 绕点P逆时针旋转a得到线段 ，连接 ．
(1)观察证明如图1，当 时
①猜想 与 的数量关系为______，并说明理由．
②直线 与直线 相交所成的较小角的度数是______．
(2)类比猜想
如图2，当 时，请直接写出 的值及直线 与直线 相交所成的小角的度
数
(3)解决问题
当 时，若点E，F分别是 的中点，点P在直线 上，请直接写出点
C，P，D在同一直线上时 的值，
【答案】(1)①1；②
(2) ；
18
原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！(3) 或
【分析】（1）观察猜想：由“ ”可证 ，可得 ，
，即可求解；
（2）类比探究：通过证明 ，可得 ， ，
即可求解；
（3）分两种情形：①当点 在线段 上时，延长 交 的延长线于 ．证明
即可解决问题；②当点 在线段 上时，同法可证： 解决问题．
【详解】（1）解： ， ，
是等边三角形，
， ，
由旋转的性质得， ， ，
是等边三角形，
， ，
，
， ，
，
， ，
；
如图1中，延长 交 的延长线于 ，设 交 于点 ．
在 和 中，
， ，
，
直线 与直线 相交所成的较小角的度数是 ；故 ，直线 与直线 相交所成的较小角的度数是 ；
（2）解：类比探究：
如图2中，设BD交PC于点G．
，
，
，
，
， ，
，
，
∴直线 与直线 相交所成的小角的度数为 ；
（3）解：如图3，当点 在线段 上时，延长 交 的延长线于 ．
， ，
，
，
，
，
，
，
， ，
20
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，
，
，
，
，
，
，
，
， ， , 四点共圆，
， ，
，
，设 ，则 ， ，
；
如图4中，当点 在线段 上时，同法可证： ，设 ，则
， ，
，
；
综上所述： 的值为 或 ．
【点睛】本题是四边形综合题，考查了旋转变换，等边三角形的性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键
是正确寻找全等三角形或相似三角形解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题．
22
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