文档内容
2024 年中考第三次模拟考试（徐州卷）
数学·全解全析
注意事项：
1．本试卷共6页．全卷满分140分．考试时间为120分钟．考生答题全部答在答题卡上，答在本试卷上无
效．
2．请认真核对监考教师在答题卡上所粘贴条形码的姓名、考试证号是否与本人相符合，再将自己的姓名、
考试证号用0.5毫米黑色墨水签字笔填写在答题卡及本试卷上．
3．答选择题必须用2B铅笔将答题卡上对应的答案标号涂黑．如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他
答案．答非选择题必须用0.5毫米黑色墨水签字笔写在答题卡上的指定位置，在其他位置答题一律无效．
4．作图必须用2B铅笔作答，并请加黑加粗，描写清楚．
第Ⅰ卷
一、选择题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题
目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑）
1．一包零食的质量标识为“ 克”，则下列质量合格的是（ ）
A．66克 B．67克 C．71克 D．74克
【答案】C
【分析】本题考查的是正负数，熟练掌握其定义是解题的关键．
根据正负数的定义求解即可．
【详解】解：∵一包零食的质量标识为“ 克”，
而 (克)， (克)，
∴一包零食的质量合格范围为： 克，
∴ 克在其合规范围内，
故选：C．
2．下列各式中，计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题主要考查了同底数幂的乘除法，合并同类项以及幂的乘方，熟记幂的运算法则是解答本题的
关键．分别根据同底数幂的乘法法则，幂的乘方运算法则，同底数幂的除法法则以及合并同类项法则逐一
判断即可．
【详解】解：A． ，故本选项符合题意；B． ，故本选项不合题意；
C． ，故本选项不合题意；
D． 与 不是同类项，所以不能合并，故本选项不合题意．
故选：A．
3．要使分式 有意义，则x的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了分式有意义的条件，以及二次根式的被开方数为非负数，解题的关键是熟练掌握分式
有意义的条件，以及二次根式有意义的条件，
根据分式有意义的条件，以及二次根式的被开方数为非负数解答即可
【详解】解： 分式 有意义
且 ，
解得 且 ，
故选：A
4．在中国，鼓是精神的象征，舞是力量的表现，先贤孔子曾说过“鼓之舞之”，可见“鼓舞”一则起源
之早，如图是集会时击鼓瞬间的情景及鼓的立体图形，该立体图形的左视图是（ ）
A． B． C． D．【答案】D
【分析】本题考查简单几何体的三视图，通过观察立体图形，根据左边看到的图形为左视图，即可求解．
【详解】解：该立体图形的左视图是 ，
故选：D．
5．一枚质地均匀的正方体骰子（六个面分别标有数字1，2，3，4，5，6），投掷5次，分别记录每次骰
子向上的一面出现的数字．根据下面的统计结果，能判断记录的这5个数字中一定没有出现数字1的是（
）
A．中位数是4，众数是4 B．平均数是3，中位数是3
C．平均数是4，方差是2 D．平均数是3，众数是2
【答案】C
【分析】本题考查中位数、众数、平均数、方差，解题的关键是根据每个选项中的设定情况，列出可能出
现的5个数字．根据中位数、众数、平均数、方差的定义，结合选项中设定情况，逐项判断即可．
【详解】解：当中位数是4，众数是4时，记录的5个数字有可能为：1，2，4，4，5，故A选项不合题意；
当平均数是3，中位数是3时，5个数之和为15，记录的5个数字可能为1，1，3，4，6，故B选项不合题
意；
当平均数是4，方差是2时，5个数之和为20，假设1出现了1次，方差最小的情况下另外4个数为：4，
4，5，6，此时方差 ，
因此假设不成立，即一定没有出现数字1，故C选项符合题意；
当平均数是3，众数是2时，5个数之和为15，2至少出现两次，记录的5个数字可能为1，2，2，4，6，
故D选项不合题意；
故选：C．
6．如图，正方形 内接于 ，点E在 上连接 ，若 ，则
（ ）A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查正多边形和圆，连接 ，易得： ，进而得到
，即可得出结果．
【详解】解：连接 ，则：
∴ ，
∵正方形 内接于 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
故选C．
7．在物理活动课上，某小组探究电压一定时，电流 与电阻 之间的函数关系，通过实验得到如下表所示
的数据：
根据表中数据，下列描述正确的是（ ）
A．在一定范围内， 随 的增大而增大 B． 与 之间的函数关系式为
C．当 时， D．当 时，
【答案】B
【分析】本题考查了反比例函数的应用；根据表格数据得出解析式，进而根据反比例函数的性质即可求解．
【详解】解：根据表格数据：
∴ 与 之间的函数关系式为 ，在一定范围内， 随 的增大而减小，故A选项错误，不符合题意；B选项正确，符合题意；
当 时， ，故C选项不正确，不符合题意；
当当 时， ，故D选项不正确，不符合题意；
故选：B．
8．如图，在 中， ， ， ，点 是 边上一动点，连接 ，作
于点 ，连接 ，则线段 长度的最小值为( )
A．3 B． C． D．1
【答案】B
【分析】本题主要考查了等腰直角三角形的基本性质，圆周角定理以及勾股定理 连接 ，如图 ，先根
据等腰三角形的性质得到 ，再根据圆周角定理，由 为直径得到 ，接着由
得到点 在以 为直径的 上，于是当点 、 、 共线时， 最小，如图 ，在
中利用勾股定理计算出 ，从而得到 的最小值
【详解】 ， ， ，
，
，
点 在以 为直径的 上，
连接 ，
，
在 中，， ，
，
由于 ， 是定值，
点 在线段 上时， 最小，如图2，
，即线段 长度的最小值为 ，
故选：B．
第Ⅱ卷
二、填空题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分）
9．因式分解： ．
【答案】
【分析】本题考查了因式分解，根据提公因式法分解因式求解即可．
【详解】解： ，
故答案为： ．
10． 的平方根是 ．
【答案】
【分析】本题考查平方根，掌握平方根的求法是解题的关键．
根据平方根的定义进行求解即可．【详解】解：根据平方根的定义得 的平方根为： ，
故答案为： ．
11．分式方程 的解为 ．
【答案】
【分析】本题考查了解分式方程，根据解分式方程的步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化
为1、检验，计算即可得出答案．
【详解】解：去分母得： ，
去括号得： ，
移项得： ，
合并同类项得： ，
系数化为1得： ，
检验，当 时， ，
原分式方程的解为 ，
故答案为： ．
12．中央广播电视总台2024年春节联欢晚会以匠心独运的歌舞创编、暖心真挚的节目表演，充满科技感和
时代感的视觉呈现，为海内外受众奉上了一道心意满满、暖意融融的除夕“文化大餐”．截至2月 10日2
时，总台春晚全媒体累计触达142亿人次．将142亿用科学记数法表示为 ．
【答案】
【分析】本题主要考查科学记数法，根据科学记数法的表示方法求解即可．科学记数法的表示形式为
的形式，其中 ，n为整数．解题关键是正确确定a的值以及n的值．
【详解】将142亿用科学记数法表示为 ．
故答案为： ．
13．关于 的一元二次方程 （ ）有两个相等的实数根，则 ．【答案】
【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，根据一元二次方程有两个相等的实数根，可知
，即可求出实数 的值，熟知“一元二次方程有两个相等的实数根，则 ”
是解题的关键．
【详解】解：∵关于 的一元二次方程 （ ）有两个相等的实数根，
∴ ，
∴ ，
故答案为： ．
14．如图，BC为圆锥底面直径，AD为圆锥的高，若 ， ，则这个圆锥的侧面积为
（结果保留 ）．
【答案】
【分析】根据 ，得到 ，结合 ，得到 ，
，根据侧面积公式计算即可，被看出来圆锥侧面积计算，熟练掌握公式是解题的关键．
【详解】∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ， ，
∴ ．
故答案为： ．
15．如图，在矩形 中， ，以点 为圆心， 的长为半径画弧交 于点 ．随机向
矩形 内抛掷一粒小米（落在边界上需重新抛掷），则小米正好落在阴影部分的概率为 ．【答案】
【分析】本题考查了几何概率，先根据锐角三角函数求出 ，再根据扇形面积公式求出阴影部分
的面积，最后根据几何概率的求法解答即可．
【详解】解：∵以A为圆心， 的长为半径画弧，交 于点E，
∴ ，
在矩形 中， ， ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴阴影部分的面积： ，
∵矩形的面积为2，
∴将一骰子（看成一个点）投到矩形 中，则骰子落在阴影部分的概率为 ，
故答案为： ．
16．如图，在 中， 于点D．分别以 为边向外作正方形，得到较大的三
个正方形的面积分别为 ，那么最小的正方形面积为 ．【答案】7
【分析】本题考查了勾股定理及正方形的面积，熟记勾股定理是解题关键，由正方形的面积公式可得
结合勾股定理即可求解．
【详解】解： 在 中， ，
，
三个正方形的面积分别为 ，
，
在 及 中，由勾股定理可得：
， ，
，
，
即最小的正方形面积为7，
故答案为：7．
17．在反比例函 的图象上有 等点，它们的横坐标依次为1，2，3，…2025，分别过这
些点作x轴与y轴的垂线，图中所构成的阴影部分的面积从左到右依次为 则
．
【答案】
【分析】本题考查了反比例函数与几何的综合应用，解题的关键是求出 ．求出 …的纵坐标，从而可计算出 …的高，进而求出 …，从而得出
的值．
【详解】当 时， 的纵坐标为12，
当 时， 的纵坐标为6，
当 时， 的纵坐标为4，
当 时， 的纵坐标为3，
当 时， 的纵坐标为 ，
…
则 ；
；
；
；
…
；
，
∴ ．
故答案为： ．
18．如图，线段 为 的直径，点 在 的延长线上， ， ，点 是 上一动点，连接
，以 为斜边在 的上方作Rt ，且使 ，连接 ，则 长的最大值为 ．【答案】 /
【分析】作 ，使得 ， ，则 ， ， ，由
，推出 ，即 （定长），由点 是定点， 是定长，点 在半径
为1的 上，由此即可解决问题．
【详解】解：如图，作 ，使得 ， ，则 ， ， ，
， ，
，
，
，
，
即 （定长），
点 是定点， 是定长，
点 在半径为1的 上，
，的最大值为 ，
故答案为： ．
三、解答题（本大题共10个小题，共86分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
19．先化简，再求值： ，其中 是方程 的根．
【答案】 ；4
【分析】本题主要考查了分式的化简求值，以及解一元二次方程，先对分式通分，并利用完全平方公式运
算并化简，利用式子相乘法解一元二次方程得出m的值，最后代入化简后的分式求值即可．
【详解】解：
，
即 ，
解得： ， ，
∵m是 的一个根，且
∴ ，
∴原式 ．
20．（1）计算： ．
（2）解不等式组 ，并写出满足条件的正整数解．【答案】（1） ；（2） ，不等式组的正整数解为1，2
【分析】本题考查了实数的运算，解一元一次不等式组，解题的关键是∶
（1）利用零指数幂、负整数指数幂的意义，算术平方根的定义，乘方法则计算即可；
（2）分别求出两个不等式的解集，然后求出公共部分，进而求出正整数解．
【详解】（1）解：
；
（2）解：解不等式 ，得： ，
解不等式 ，得： ，
∴不等式组的解集为 ，
则不等式组的正整数解为1，2．
21．某动物园清明节期间举办了“喜迎两会”的活动，吸引了众多市民前来参观，小明和小亮两名同学分
别到该园游玩．如图是该动物园出、入口示意图．
(1)小明从A入口进入动物园的概率是 ；
(2)参观结束后，小明和小亮都从C出口走出展馆的概率是多少？（列表或画树状图）
【答案】(1)
(2)
【分析】此题考查的是用树状图法求概率．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两
步或两步以上完成的事件；用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
（1）由概率公式求解即可；
（2）用树状图法得出9种等可能的结果，小明和小亮都从C出口走出展馆的只有一种，再结合概率公式求解即可．
【详解】（1）解：依题意，共有2个入口，
∴小明从A入口进入动物园的概率是 ；
（2）解：画树状图如下
共有9种等可能的结果，其中小明和小亮从同一出口走出的结果有1种，
∴小明和小亮都从C出口走出展馆的概率是 ．
22．寒假期间，某校举行学生参加家务劳动视频评比，成绩记为 分（ ），分为四个分数段：
， ， ， ．学校从 人的参赛视频中随机抽取了部分
视频统计成绩，并绘制了统计图表，部分信息如下：
请根据以上信息，完成下列问题：
(1)补全频数分布直方图；
(2)样本成绩的中位数落在第______分数段中；
(3)若 分以上（含 分）成绩的学生被评为“劳动能手”，根据统计成绩，试估计全校被评为“劳动能
手”的学生人数．
【答案】(1)补图见解析；
(2) ；
(3) 人．
【分析】（ ）根据的学生人数及其百分比求出随机抽取的学生人数，即可得到和学生人数，进而可补全频数分布直方图；
（ ）根据中位数的定义即可求解；
（ ）用 乘以80分以上（含80分）成绩的学生占比即可求解；
本题考查了频数分布直方图，扇形统计图，中位数，样本估计总体，看到统计图是解题的关键．
【详解】（1）解：由题意可得，随机抽取的学生为 人，
∴ 的学生为 人，
∴ 的学生为 人，
∴补全频数分布直方图如图：
（2）解：∵随机抽取的学生为 人，
∴按照从低到高的顺序排列，中位数为第 位和第 位成绩的平均数，
∴中位数落在第 分数段中，
故答案为： ；
（3）解： ，
答：估计全校被评为“劳动能手”的学生人数为 人．
23．如图，在四边形 中， ， ， 为边 上一点，且 ，连接 ．
(1)求证：四边形 是矩形；
(2)若 平分 ，求 的长．
【答案】(1)证明见解析(2)
【分析】本题考查了矩形的判定，等角对等边的知识：
（ ）首先判定该四边形为平行四边形，然后由 ，即可证明四边形 是矩形；
（ ）由角平分线的定义和平行线的性质证明 ，得到 ，由此即可求得 的长．
【详解】（1）证明：∵ ， ，
∴四边形 是平行四边形．
又∵ ，
∴四边形 是矩形；
（2）解：∵ 平分 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ．
24．如图①，在我国古建筑的大门上常常悬挂着巨大的匾额，图②中的线段 就是悬挂在墙壁 上的
某块匾额的截面示意图．已知 米， ，从水平地面点D处看点C的仰角 ，从
点E处看点B的仰角 ，且 米．
(1)求点C到墙壁 的距离；
(2)求匾额悬挂的高度 的长．（参考数据： ）
【答案】(1)点C到墙壁 的距离为 米
(2)匾额悬挂的高度是4米
【分析】本题主要考查了解直角三角形的实际应用，矩形的性质与判定；
（1）过C作 于F， 直接解 求出 的长即可得到答案；（2）过C作 于H，则四边形 是矩形，可得 ．解 得到
米；求出 ，解直角三角形得到 ，再解 ，得到 ，则
，可得 ， 米，．
【详解】（1）解：如图所示，过C作 于F，
在 中， 米，
∴ 米；
答：点C到墙壁 的距离为 米；
（2）解：过C作 于H，
∴ ，
则四边形 是矩形，
∴ ．
在 中， 米， ，
∴ 米
在 中， ，
∴ ，
∴ ，
在 中， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 米，
答：匾额悬挂的高度是4米．25．如图，在 中， ，以 为直径的 交边 于点 ，连接 ，过点 作 ．
(1)请用无刻度的直尺和圆规作图：过点 作 的切线，交 于点 ；（不写作法，保留作图痕迹，标
明字母）
(2)在（1）的条件下，求证： ；
(3)在（1）的条件下， ， ，求⊙O的半径．
【答案】(1)画图见解析
(2)证明见解析
(3)⊙O的半径为 ．
【分析】（1）根据尺规作图，过点 作 的垂线，交 于点 ，即可求解；
（2）根据题意切线的性质以及直径所对的圆周角是直角，证明 ，根据平行线的性质以及等
腰三角形的性质得出 ，进而证明 ，即可得证．
（3）由（2）得： ， ，设 ，再利用勾股定理可得
，再解方程即可.
【详解】（1）解：方法不唯一，如图所示．.
（2）∵ ，
∴ ．
又∵ ，
∴ ，
∴ ．
∵点 在以 为直径的圆上，
∴ ，
∴ ．
又∵ 为 的切线，
∴ ．
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
∵在 和 中，
∴ ．
∴ ．
（3）由（2）得： ，
∵ ，
∴ ，
设 ，
∴ ，∵ ，
∴ ，
解得： ，
∴⊙O的半径为 ．
26．阅读材料：
例：说明代数式 的几何意义，并求它的最小值．
解： ．
几何意义：如图，建立平面直角坐标系，点 是 轴上一点，则 可以看成点 与点
的距离， 可以看成点 与点 的距离，所以原代数式的值可以看成线段 与 长度之
和，它的最小值就是 的最小值．
求最小值：设点 关于 轴对称点 ，则 ．因此，求 的最小值，只需求 的最小
值，而点 ， 间的直线段距离最短，所以 的最小值为线段 的长度．为此，构造直角三角形
，因为 ， ，所以由勾股定理得 ，即原式的最小值为 ．
根据以上阅读材料，解答下列问题：
(1)代数式 的值可以看成平面直角坐标系中点 与点 ，点B 的距离之
和．（填写点B的坐标）
(2)代数式 的值可以看成平面直角坐标系中点 与点A 、点B 的距离之和．
（填写点A，B的坐标）(3)求出代数式 + 的最小值．
【答案】(1) 或 ；
(2) ；
(3)最小值为10．
【分析】本题属于几何变换综合题，考查的是轴对称−最短路线问题，解答此题的关键是利用数形结合思
想解决问题，学会用转化的思想解决问题．
（1）先把原式化为 的形式，再根据题中所给的例子即可得出结论；
（2）先把原式化为 的形式，故得出所求代数式的值可以看成平面直角坐标系中点
与点 的距离之和；
（3）在坐标系内描出各点，利用勾股定理得出结论即可．
【详解】（1）∵原式化为 的形式，
∴代数式 的值可以看成平面直角坐标系中点 与点 ，点 或
的距离之和，
故答案为 或 ；
（2）∵原式化为 的形式，
∴所求代数式的值可以看成平面直角坐标系中点 与点 的距离之和，
故答案为： ．
（3）如图所示：设点A关于x轴的对称点为 ，则 ，∴ 的最小值，只需求 的最小值，而点 、B间的直线段距离最短，
∴ 的最小值为线段 的长度，
∵
∴ ， ，
∴ ，
∴代数式 的最小值为10．
27．定义：对角线互相垂直的圆内接四边形叫做圆的“奇妙四边形”．
(1)若 是圆的“奇妙四边形”，则 是_________（填序号）：
①矩形；②菱形；③正方形
(2)如图1，已知 的半径为R，四边形 是 的“奇妙四边形”．求证： ；
(3)如图2，四边形 是“奇妙四边形”，P为圆内一点， ， ，
，且 ．当 的长度最小时，求 的值．
【答案】(1)③(2)见解析
(3)
【分析】（1）利用平行四边形的性质，圆内接四边形的性质，“奇妙四边形”的定义和正方形的判定定
理解得即可；
（2）过点B作直径 ，分别连接 ， ， ， ，证明 ， ．
可得 ，可得 ，再利用勾股定理可得答案；
（3）设 的长度为a， ，在 中，利用勾股定理列出方程，利用 即可求得 的最小
值，求得必值，再利用相似三角形是性质即可求得结论．
【详解】（1）解：若平行四边形 是“奇妙四边形”，则四边形 是正方形．
理由∶
∵四边形 是平行四边形，
∴ ，
∵四边形 是圆内接四边形，
∴ ，
∴ ，
∴平行四边形 是矩形，
∵四边形 是“奇妙四边形”，
∴ ，
∴矩形 是正方形，
故答案为∶③；
（2）证明∶过点B作直径 ，分别连接 ， ， ， ，
∵ 是 的直径，
∴ ，
∴ ，
∵四边形 是“奇妙四边形”，∴ ，
∴ ，
又 ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴
∴ ；
（3）解：连接 交 于E，设 的长度为a， ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∵
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∵
∴ ，
整理得 ，
∴∴ ，
又 ，
∴ ，
∴a有最小值2，
即 的长度最小值为2，
∴ ，
解得∶ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
28．在平面直角坐标系 中，抛物线 的图像与x轴交于点 和点 ．与y轴交于
点 是线段 上一点．
(1)求这条抛物线的表达式和点C的坐标；(2)如图，过点D作 轴，交该抛物线于点G，当 时，求 的面积；
(3)点P为该抛物线上第三象限内一点，当 ，且 时，求点P的坐标．
【答案】(1) ，
(2)
(3)
【分析】（1）将 、 代入得， ，可求 ，则 ，当 时，
，进而可求 ；
（2）如图1，作 于 ，记 与 的交点为 ，设 ，则 ，
，则 ， ， ， ，由
，可得 ，计算求出满足要求的解为 ，则
，待定系数法求直线 的解析式为 ，进而可得 ，则 ，根据
，计算求解即可；
（3）如图2，作 于 ，在 上取 ，连接 交抛物线于点 ，由
，可知点 即为所求，由勾股定理得， ，由
，可求 ，则 ，待定系数法求直线 的解
析式为 ，设 ，由 ，可求 ， （舍去），则 ，待定系数法求直线 的解析式为 ，联立得， ，计算求解，
然后作答即可．
【详解】（1）解：将 、 代入得， ，
解得， ，
∴ ，
当 时， ，即 ；
（2）解：如图1，作 于 ，记 与 的交点为 ，
设 ，则 ， ，
∴ ， ， ， ，
∵ ，∴ ，
∴ ，即 ，
解得， ，经检验， 是原分式方程的解，且符合要求；
∴ ，
设直线 的解析式为 ，
将 ， 代入得， ，
解得， ，
∴直线 的解析式为 ，
当 时， ，即 ，
∴ ，
∴ ，
∴ 的面积为 ；
（3）解：如图2，作 于 ，在 上取 ，连接 交抛物线于点 ，
∵ ， ，
∴ ，
∴点 即为所求，
由勾股定理得， ，∵ ，
∴ ，
解得， ，
∴ ，
设直线 的解析式为 ，
将 ， 代入得， ，
解得， ，
∴直线 的解析式为 ，
设 ，
∴ ，
解得， ， （舍去），
∴ ，
设直线 的解析式为 ，
将 ， 代入得， ，
解得， ，
∴直线 的解析式为 ，
联立得， ，
解得， 舍去或 ，
∴ ．
