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2018年山东省聊城市中考数学试卷
一、选择题（本题共12个小题，每小题3分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目
要求）
1．（3分）下列实数中的无理数是（ ）
A． B． C． D．
2．（3分）如图所示的几何体，它的左视图是（ ）
A． B． C． D．
3．（3分）在运算速度上，已连续多次取得世界第一的神威太湖之光超级计算机，其峰值性能
为12.5亿亿次/秒，这个数据以亿次/秒为单位用科学记数法可以表示为（ ）
A．1.25×108亿次/秒 B．1.25×109亿次/秒
C．1.25×1010亿次/秒 D．12.5×108亿次/秒
4．（3分）如图，直线AB∥EF，点C是直线AB上一点，点D是直线AB外一点，若∠BCD＝
95°，∠CDE＝25°，则∠DEF的度数是（ ）
A．110° B．115° C．120° D．125°
5．（3分）下列计算错误的是（ ）
A．a2÷a0•a2＝a4 B．a2÷（a0•a2）＝1
C．（﹣1.5）8÷（﹣1.5）7＝﹣1.5 D．﹣1.58÷（﹣1.5）7＝﹣1.5
6．（3分）已知不等式 ≤ ＜ ，其解集在数轴上表示正确的是（ ）
第1页（共23页）A．
B．
C．
D．
7．（3分）如图， O中，弦BC与半径OA相交于点D，连接AB，OC．若∠A＝60°，∠ADC＝
85°，则∠C的⊙度数是（ ）
A．25° B．27.5° C．30° D．35°
8．（3分）下列计算正确的是（ ）
A．3 ﹣2 ＝ B． •（ ÷ ）＝
C．（ ﹣ ）÷ ＝2 D． ﹣3 ＝
9．（3分）小亮、小莹、大刚三位同学随机地站成一排合影留念，小亮恰好站在中间的概率是（
）
A． B． C． D．
10．（3分）如图，将一张三角形纸片ABC的一角折叠，使点A落在△ABC外的A'处，折痕为
DE．如果∠A＝ ，∠CEA′＝ ，∠BDA'＝ ，那么下列式子中正确的是（ ）
α β γ
第2页（共23页）A． ＝2 + B． ＝ +2 C． ＝ + D． ＝180°﹣ ﹣
11．（3分γ ）如α图β，在平面直角坐γ标系α 中β，矩形OABC的两γ 边αOβA，OC分别在x轴γ 和y轴上α，并β且
OA＝5，OC＝3．若把矩形OABC绕着点O逆时针旋转，使点A恰好落在BC边上的A 处，
1
则点C的对应点C 的坐标为（ ）
1
A．（﹣ ， ） B．（﹣ ， ） C．（﹣ ， ） D．（﹣ ， ）
12．（3分）春季是传染病多发的季节，积极预防传染病是学校高度重视的一项工作，为此，某
校对学生宿舍采取喷洒药物进行消毒．在对某宿舍进行消毒的过程中，先经过5min的集
中药物喷洒，再封闭宿舍10min，然后打开门窗进行通风，室内每立方米空气中含药量y
（mg/m3）与药物在空气中的持续时间x（min）之间的函数关系，在打开门窗通风前分别满
足两个一次函数，在通风后又成反比例，如图所示．下面四个选项中错误的是（ ）
A．经过5min集中喷洒药物，室内空气中的含药量最高达到10mg/m3
B．室内空气中的含药量不低于8mg/m3的持续时间达到了11min
C．当室内空气中的含药量不低于5mg/m3且持续时间不低于35分钟，才能有效杀灭某种
传染病毒．此次消毒完全有效
第3页（共23页）D．当室内空气中的含药量低于2mg/m3时，对人体才是安全的，所以从室内空气中的含药
量达到2mg/m3开始，需经过59min后，学生才能进入室内
二、填空题（本题共5个小题，每小题3分，共15分.只要求填写最后结果）
13．（3分）已知关于x的方程（k﹣1）x2﹣2kx+k﹣3＝0有两个相等的实根，则k的值是
．
14．（3分）某十字路口设有交通信号灯，东西向信号灯的开启规律如下：红灯开启30秒后关
闭，紧接着黄灯开启3秒后关闭，再紧接着绿灯开启42秒，按此规律循环下去．如果不考
虑其他因素，当一辆汽车沿东西方向随机地行驶到该路口时，遇到红灯的概率是 ．
15．（3分）用一块圆心角为216°的扇形铁皮，做一个高为40cm的圆锥形工件（接缝忽略不
计），那么这个扇形铁皮的半径是 cm．
16．（3分）如果一个正方形被截掉一个角后，得到一个多边形，那么这个多边形的内角和是
．
17．（3分）若x为实数，则[x]表示不大于x的最大整数，例如[1.6]＝1，[ ]＝3，[﹣2.82]＝﹣3
等．[x]+1是大于x的最小整数，对任意的实数x都满足不等式[x]≤x＜π [x]+1． 利用这个
不等式 ，求出满足[x]＝2x﹣1的所有解，其所有解为 ． ①
三、解答题①（本题共8个小题，共69分，解答题应写出文字说明、证明过程或推演步骤）
18．（7分）先化简，再求值： ﹣ ÷（ ﹣ ），其中a＝﹣ ．
19．（8分）时代中学从学生兴趣出发，实施体育活动课走班制．为了了解学生最喜欢的一种
球类运动，以便合理安排活动场地，在全校至少喜欢一种球类（乒乓球、羽毛球、排球、篮
球、足球）运动的1200名学生中，随机抽取了若干名学生进行调查（每人只能在这五种球
类运动中选择一种），调查结果统计如下：
球类名称 乒乓球 羽毛球 排球 篮球 足球
人数 42 a 15 33 b
解答下列问题：
（1）这次抽样调查中的样本是 ；
第4页（共23页）（2）统计表中，a＝ ，b＝ ；
（3）试估计上述1200名学生中最喜欢乒乓球运动的人数．
20．（8分）如图，正方形ABCD中，E是BC上的一点，连接AE，过B点作BH⊥AE，垂足为点
H，延长BH交CD于点F，连接AF．
（1）求证：AE＝BF．
（2）若正方形边长是5，BE＝2，求AF的长．
21．（8分）建设中的大外环路是我市的一项重点民生工程．某工程公司承建的一段路基工程
的施工土方量为120万立方，原计划由公司的甲、乙两个工程队从公路的两端同时相向施
工150天完成．由于特殊情况需要，公司抽调甲队外援施工，由乙队先单独施工40天后甲
队返回，两队又共同施工了110天，这时甲乙两队共完成土方量103.2万立方．
（1）问甲、乙两队原计划平均每天的施工土方量分别为多少万立方？
（2）在抽调甲队外援施工的情况下，为了保证150天完成任务，公司为乙队新购进了一批
机械来提高效率，那么乙队平均每天的施工土方量至少要比原来提高多少万立方才能保
证按时完成任务？
22．（8分）随着我市农产品整体品牌形象“聊•胜一筹!”的推出，现代农业得到了更快发展．
某农场为扩大生产建设了一批新型钢管装配式大棚，如图1．线段AB，BD分别表示大棚
的墙高和跨度，AC表示保温板的长．已知墙高AB为2米，墙面与保温板所成的角∠BAC
＝150°，在点D处测得A点、C点的仰角分别为9°，15.6°，如图2．求保温板AC的长是多
少米？（精确到0.1米）
（参考数据： ≈0.86，sin9°≈0.16，cos9°≈0.99，tan9°≈0.16，sin15.6°≈0.27，
第5页（共23页）cos15.6°≈0.96，tan15.6°≈0.28）
23．（8分）如图，已知反比例函数y＝ （x＞0）的图象与反比例函数y＝ （x＜0）的图象
关于y轴对称，A（1，4），B（4，m）是函数y＝ （x＞0）图象上的两点，连接AB，点C（﹣
2，n）是函数y＝ （x＜0）图象上的一点，连接AC，BC．
（1）求m，n的值；
（2）求AB所在直线的表达式；
（3）求△ABC的面积．
24．（10分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BE平分∠ABC交AC于点E，作ED⊥EB交AB
于点D， O是△BED的外接圆．
（1）求证⊙：AC是 O的切线；
（2）已知 O的半⊙径为2.5，BE＝4，求BC，AD的长．
⊙
25．（12分）如图，已知抛物线y＝ax2+bx与x轴分别交于原点O和点F（10，0），与对称轴l交
于点E（5，5）．矩形ABCD的边AB在x轴正半轴上，且AB＝1，边AD，BC与抛物线分别
第6页（共23页）交于点M，N．当矩形ABCD沿x轴正方向平移，点M，N位于对称轴l的同侧时，连接
MN，此时，四边形ABNM的面积记为S；点M，N位于对称轴l的两侧时，连接EM，EN，此
时五边形ABNEM的面积记为S．将点A与点O重合的位置作为矩形ABCD平移的起点，
设矩形ABCD平移的长度为t（0≤t≤5）．
（1）求出这条抛物线的表达式；
（2）当t＝0时，求S△OBN 的值；
（3）当矩形ABCD沿着x轴的正方向平移时，求S关于（t 0＜t≤5）的函数表达式，并求出t
为何值时，S有最大值，最大值是多少？
第7页（共23页）2018 年山东省聊城市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本题共12个小题，每小题3分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目
要求）
1．【分析】分别根据无理数、有理数的定义即可判定选择项
【解答】解： ， ， 是有理数，
是无理数，
故选：C．
【点评】此题主要考查了无理数的定义，注意带根号的要开不尽方才是无理数，无限不循
环小数为无理数．如 ， ，0.8080080008…（每两个8之间依次多1个0）等形式．
2．【分析】根据从左边π看得到的图形是左视图，可得答案．
【解答】解：从左边看是等宽的上下两个矩形，上边的矩形小，下边的矩形大，两矩形的公
共边是虚线，
故选：D．
【点评】本题考查了简单组合体的三视图，从左边看得到的图形是左视图．
3．【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，
要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原
数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【解答】解：12.5亿亿次/秒＝1.25×109亿次/秒．
故选：B．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中
1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
4．【分析】直接延长FE交DC于点N，利用平行线的性质得出∠BCD＝∠DNF＝95°，再利用
三角形外角的性质得出答案．
【解答】解：方法一：
延长FE交DC于点N，
第8页（共23页）∵直线AB∥EF，
∴∠BCD＝∠DNF＝95°，
∵∠CDE＝25°，
∴∠DEF＝95°+25°＝120°．
故选：C．
方法二：
过点D作DM∥AB，
∵直线AB∥DM，∠BCD＝95°，
∴∠CDM＝85°，
∵∠CDE＝25°，
∴∠EDM＝60°，
∵AB∥DM，AB∥EF，
∴EF∥DM，
∴∠DEF＝180°﹣60°＝120°．
故选：C．
【点评】此题主要考查了平行线的性质以及三角形的外角，正确掌握平行线的性质是解题
关键．
5．【分析】根据同底数幂的除法法则，同底数幂的乘法的运算方法，以及零指数幂的运算方法，
逐项判定即可．
【解答】解：∵a2÷a0•a2＝a4，
∴选项A不符合题意；
∵a2÷（a0•a2）＝1，
第9页（共23页）∴选项B不符合题意；
∵（﹣1.5）8÷（﹣1.5）7＝﹣1.5，
∴选项C不符合题意；
∵﹣1.58÷（﹣1.5）7＝1.5，
∴选项D符合题意．
故选：D．
【点评】此题主要考查了同底数幂的除法法则，同底数幂的乘法的运算方法，以及零指数
幂的运算方法，同底数幂相除，底数不变，指数相减，要熟练掌握，解答此题的关键是要明
确： 底数a≠0，因为0不能做除数； 单独的一个字母，其指数是1，而不是0； 应用
同底①数幂除法的法则时，底数a可是单②项式，也可以是多项式，但必须明确底数是什③么，指
数是什么．
6．【分析】把已知双向不等式变形为不等式组，求出各不等式的解集，找出解集的公共部分即
可．
【解答】解：根据题意得： ，
由 得：x≥2，
由①得：x＜5，
∴②2≤x＜5，
表示在数轴上，如图所示，
故选：A．
【点评】此题考查了解一元一次不等式组，以及在数轴上表示不等式的解集，熟练掌握运
算法则是解本题的关键．
7．【分析】直接利用三角形外角的性质以及邻补角的关系得出∠B以及∠ODC度数，再利用
圆周角定理以及三角形内角和定理得出答案．
【解答】解：∵∠A＝60°，∠ADC＝85°，
第10页（共23页）∴∠B＝85°﹣60°＝25°，∠CDO＝95°，
∴∠AOC＝2∠B＝50°，
∴∠C＝180°﹣95°﹣50°＝35°
故选：D．
【点评】此题主要考查了圆周角定理以及三角形内角和定理等知识，正确得出∠AOC度数
是解题关键．
8．【分析】根据二次根式的加减乘除运算法则逐一计算可得．
【解答】解：A、3 与﹣2 不是同类二次根式，不能合并，此选项错误；
B、 •（ ÷ ）＝ • ＝ ＝ ，此选项正确；
C、（ ﹣ ）÷ ＝（5 ﹣ ）÷ ＝5﹣ ，此选项错误；
D、 ﹣3 ＝ ﹣2 ＝﹣ ，此选项错误；
故选：B．
【点评】本题主要考查二次根式的混合运算，解题的关键是掌握二次根式混合运算顺序和
运算法则．
9．【分析】先利用列表法展示所以6种等可能的结果，其中小亮恰好站在中间的占2种，然后
根据概率定义求解．
【解答】解：列表如下：
，
共有6种等可能的结果，其中小亮恰好站在中间的占2种，
所以小亮恰好站在中间的概率＝ ．
故选：B．
【点评】本题考查了列表法与树状图法：先利用列举法或树形图法不重不漏地列举出所有
可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，求出概率．
第11页（共23页）10．【分析】根据三角形的外角得：∠BDA'＝∠A+∠AFD，∠AFD＝∠A'+∠CEA'，代入已知可
得结论．
【解答】解：由折叠得：∠A＝∠A'，
∵∠BDA'＝∠A+∠AFD，∠AFD＝∠A'+∠CEA'，
∵∠A＝ ，∠CEA′＝ ，∠BDA'＝ ，
∴∠BDAα'＝ ＝ + + ＝β2 + ， γ
故选：A． γ α α β α β
【点评】本题考查了三角形外角的性质，熟练掌握三角形的外角等于与它不相邻的两个内
角的和是关键．
11．【分析】直接利用相似三角形的判定与性质得出△ONC 三边关系，再利用勾股定理得出
1
答案．
【解答】解：过点C 作C N⊥x轴于点N，过点A 作A M⊥x轴于点M，
1 1 1 1
由题意可得：∠C NO＝∠A MO＝90°，
1 1
∠1＝∠2＝∠3，
则△A OM∽△OC N，
1 1
∵OA＝5，OC＝3，
∴OA ＝5，A M＝3，
1 1
∴OM＝4，
∴设NO＝3x，则NC ＝4x，OC ＝3，
1 1
则（3x）2+（4x）2＝9，
解得：x＝± （负数舍去），
则NO＝ ，NC ＝ ，
1
第12页（共23页）故点C的对应点C 的坐标为：（﹣ ， ）．
1
故选：A．
【点评】此题主要考查了矩形的性质以及勾股定理等知识，正确得出△A OM∽△OC N是
1 1
解题关键．
12．【分析】利用图中信息一一判断即可；
【解答】解：A、正确．不符合题意．
B、由题意x＝4时，y＝8，∴室内空气中的含药量不低于8mg/m3的持续时间达到了
11min，正确，不符合题意；
C、y＝5时，x＝2.5或24，24﹣2.5＝21.5＜35，故本选项错误，符合题意；
D、当x≤5时，函数关系式为y＝2x，y＝2时，x＝1；当x＞15时，函数关系式为y＝ ，y
＝2时，x＝60；60﹣1＝59，故
当室内空气中的含药量低于2mg/m3时，对人体才是安全的，所以从室内空气中的含药量
达到2mg/m3开始，需经过59min后，学生才能进入室内，正确．不符合题意，
故选：C．
【点评】本题考查反比例函数的应用、一次函数的应用等知识，解题的关键是读懂图象信
息，属于中考常考题型．
二、填空题（本题共5个小题，每小题3分，共15分.只要求填写最后结果）
13．【分析】根据二次项系数非零及根的判别式△＝0，即可得出关于k的一元一次不等式及
一元一次方程，解之即可得出k的值．
【解答】解：∵关于x的方程（k﹣1）x2﹣2kx+k﹣3＝0有两个相等的实根，
∴ ，
解得：k＝ ．
第13页（共23页）故答案为： ．
【点评】本题考查了根的判别式以及一元二次方程的定义，牢记“当△＝0时，方程有两个
相等的实数根”是解题的关键．
14．【分析】根据概率的求法，找准两点： 全部情况的总数； 符合条件的情况数目；二者的
比值就是其发生的概率． ① ②
【解答】解：∵红灯亮30秒，黄灯亮3秒，绿灯亮42秒，
∴P（红灯亮）＝ ＝ ，
故答案为： ．
【点评】本题考查概率的求法：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其
中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）＝ ．
15．【分析】设这个扇形铁皮的半径为Rcm，圆锥的底面圆的半径为rcm，根据圆锥的侧面展
开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．和
弧长公式得到2 r＝ ，解得r＝ R，然后利用勾股定理得到402+（ R）2＝R2，
π
最后解方程即可．
【解答】解：设这个扇形铁皮的半径为Rcm，
圆锥的底面圆的半径为rcm，
根据题意得2 r＝ ，解得r＝ R，
π
因为402+（ R）2＝R2，解得R＝50．
所以这个扇形铁皮的半径为50cm．
故答案为50．
【点评】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥
底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．
16．【分析】剪掉一个多边形的一个角，则所得新的多边形的角可能增加一个，也可能不变，也
可能减少一个，根据多边形的内角和定理即可求解．
【解答】解：n边形的内角和是（n﹣2）•180°，
第14页（共23页）边数增加1，则新的多边形的内角和是（4+1﹣2）×180°＝540°，
所得新的多边形的角不变，则新的多边形的内角和是（4﹣2）×180°＝360°，
所得新的多边形的边数减少1，则新的多边形的内角和是（4﹣1﹣2）×180°＝180°，
因而所成的新多边形的内角和是540°或360°或180°．
故答案为：540°或360°或180°．
【点评】本题主要考查了多边形的内角和的计算公式，理解：剪掉一个多边形的一个角，则
所得新的多边形的角可能增加一个，也可能不变，也可能减少一个，是解决本题的关键．
17．【分析】根据题意可以列出相应的不等式，从而可以求得x的取值范围，本题得以解决．
【解答】解：∵对任意的实数x都满足不等式[x]≤x＜[x]+1，[x]＝2x﹣1，
∴2x﹣1≤x＜2x﹣1+1，
解得，0＜x≤1，
∵2x﹣1是整数，
∴x＝0.5或x＝1，
故答案为：x＝0.5或x＝1．
【点评】本题考查了解一元一次不等式组，解答本题的关键是明确题意，会解答一元一次
不等式．
三、解答题（本题共8个小题，共69分，解答题应写出文字说明、证明过程或推演步骤）
18．【分析】首先计算括号里面的减法，然后再计算除法，最后再计算减法，化简后，再代入a
的值可得答案．
【解答】解：原式＝ ﹣ ÷[ ﹣ ]，
＝ ﹣ ÷[ ﹣ ]，
＝ ﹣ ÷ ，
＝ ﹣ • ，
＝ ﹣ ，
＝﹣ ，
当a＝﹣ 时，原式＝﹣ ＝﹣4．
第15页（共23页）【点评】此题主要考查了分式的化简求值，关键是掌握化简求值，一般是先化简为最简分
式或整式，再代入求值．
19．【分析】（1）直接利用样本的定义分析得出答案；
（2）用喜欢排球的人数除以其所占的百分比即可求得样本容量，用样本容量乘以羽毛球所
占的百分比即可求得a，用样本容量减去其他求得b值；
（3）用总人数乘以喜欢乒乓球的人所占的百分比即可．
【解答】解：（1）这次抽样调查中的样本是：时代中学学生最喜欢的一种球类运动情况；
故答案为：时代中学学生最喜欢的一种球类运动情况；
（2）∵喜欢篮球的有33人，占22%，
∴样本容量为33÷22%＝150；
a＝150×26%＝39（人），
b＝150﹣39﹣42﹣15﹣33＝21（人）；
故答案为：39，21；
（3）最喜欢乒乓球运动的人数为：1200× ＝336（人）．
【点评】本题考查了扇形统计图、用样本估计总体等知识，解题的关键是正确的从统计图
中读懂有关信息．
20．【分析】（1）根据ASA证明△ABE≌△BCF，可得结论；
（2）根据（1）得：△ABE≌△BCF，则CF＝BE＝2，最后利用勾股定理可得AF的长．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝BC，∠ABE＝∠BCF＝90°，
∴∠BAE+∠AEB＝90°，
∵BH⊥AE，
∴∠BHE＝90°，
∴∠AEB+∠EBH＝90°，
∴∠BAE＝∠EBH，
在△ABE和△BCF中，
，
第16页（共23页）∴△ABE≌△BCF（ASA），
∴AE＝BF；
（2）解：∵AB＝BC＝5，
由（1）得：△ABE≌△BCF，
∴CF＝BE＝2，
∴DF＝5﹣2＝3，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝AD＝5，∠ADF＝90°，
由勾股定理得：AF＝ ＝ ＝ ＝ ．
【点评】此题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理，本题证明
△ABE≌△BCF是解本题的关键．
21．【分析】（1）设甲队原计划平均每天的施工土方量为x万立方，乙队原计划平均每天的施
工土方量为y万立方，根据“甲乙两队合作150天完成土方量120万立方，甲队施工110
天、乙队施工150天完成土方量103.2万立方”，即可得出关于x、y的二元一次方程组，解
之即可得出结论；
（2）设乙队平均每天的施工土方量比原来提高a万立方才能保证按时完成任务，根据完成
工作的总量＝甲队完成的土方量+乙队完成的土方量，即可得出关于a的一元一次不等式，
解之取其中的最小值即可得出结论．
【解答】解：（1）设甲队原计划平均每天的施工土方量为x万立方，乙队原计划平均每天的
施工土方量为y万立方，
根据题意得： ，
解得： ．
答：甲队原计划平均每天的施工土方量为0.42万立方，乙队原计划平均每天的施工土方
量为0.38万立方．
（2）设乙队平均每天的施工土方量比原来提高a万立方才能保证按时完成任务，
根据题意得：110×0.42+（40+110）×（0.38+a）≥120，
解得：a≥0.112．
答：乙队平均每天的施工土方量至少要比原来提高0.112万立方才能保证按时完成任务．
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：
第17页（共23页）（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，找出关于a的
一元一次不等式．
22．【分析】作CE⊥BD、AF⊥CE，设AF＝x，可得AC＝2x、CF＝ x，在Rt△ABD中由AB＝
EF＝2知BD＝ ，DE＝BD﹣BE＝ ﹣x，CE＝EF+CF＝2+ x，根据
tan∠CDE＝ 列出关于x的方程，解之可得．
【解答】解：如图所示，过点C作CE⊥BD于点E，过点A作AF⊥CE于点F，
则四边形ABEF是矩形，
∴AB＝EF、AF＝BE，
设AF＝x，
∵∠BAC＝150°、∠BAF＝90°，
∴∠CAF＝60°，
则AC＝ ＝2x、CF＝AFtan∠CAF＝ x，
在Rt△ABD中，∵AB＝EF＝2，∠ADB＝9°，
∴BD＝ ＝ ，
则DE＝BD﹣BE＝ ﹣x，CE＝EF+CF＝2+ x，
在Rt△CDE中，∵tan∠CDE＝ ，
∴tan15.6°＝ ，
解得：x≈0.75，
则2x＝1.5，即AC＝1.5米，
即保温板AC的长约是1.5米．
第18页（共23页）【点评】本题主要考查解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，解题的关键是理解题意，构
建直角三角形，并熟练掌握三角函数的应用．
23．【分析】（1）先由点A确定k，再求m的值，根据关于y轴对称，确定k 再求n；
2
（2）先设出函数表达式，再代入A、B两点，得直线AB的表达式；
（3）过点A、B作x轴的平行线，过点C、B作y轴的平行线构造矩形，△ABC的面积＝矩形
面积﹣3个直角三角形的面积．
【解答】解：（1）因为点A、点B在反比例函数y＝ （x＞0）的图象上，
∴k ＝1×4＝4，
1
∴m×4＝k ＝4，
1
∴m＝1
∵反比例函数y＝ （x＞0）的图象与反比例函数y＝ （x＜0）的图象关于y轴对称．
∴k ＝﹣k ＝﹣4
2 1
∴﹣2×n＝﹣4，
∴n＝2
（2）设直线AB所在的直线表达式为y＝kx+b
把A（1，4），B（4，1）代入，得
解得
∴AB所在直线的表达式为：y＝﹣x+5
（3）如图所示：过点A、B作x轴的平行线，过点C、B作y轴的平行线，它们的交点分别是
E、F、B、G．
∴四边形EFBG是矩形．
则AF＝3，BF＝3，AE＝3，EC＝2，CG＝1，GB＝6，EG＝3
∴S△ABC ＝S矩形EFBG ﹣S△AFB ﹣S△AEC ﹣S△CBG
＝BG×EG﹣ AF×FB﹣ AE×EC﹣ BG×CG
＝18﹣ ﹣3﹣3
＝
第19页（共23页）【点评】本题考查了反比例函数的图形及性质、待定系数法确定一次函数解析式及面积的
和差关系．题目具有综合性．注意图形的面积可以用割补法也可以用规则的几何图形求和
差．
24．【分析】（1）连接OE，由OB＝OE知∠OBE＝∠OEB、由BE平分∠ABC知∠OBE＝
∠CBE，据此得∠OEB＝∠CBE，从而得出OE∥BC，进一步即可得证；
（2）证△BDE∽△BEC得 ＝ ，据此可求得BC的长度，再证△AOE∽△ABC得 ＝
，据此可得AD的长．
【解答】解：（1）如图，连接OE，
∵ED⊥EB，
∴∠DEB＝90°，
∴BD是 O的直径，
∵OB＝O⊙E，
∴∠OBE＝∠OEB，
∵BE平分∠ABC，
∴∠OBE＝∠CBE，
∴∠OEB＝∠CBE，
∴OE∥BC，
又∵∠C＝90°，
∴∠AEO＝90°，即OE⊥AC，
∴AC为 O的切线；
⊙
第20页（共23页）（2）∵ED⊥BE，
∴∠BED＝∠C＝90°，
又∵∠DBE＝∠EBC，
∴△BDE∽△BEC，
∴ ＝ ，即 ＝ ，
∴BC＝ ；
∵∠AEO＝∠C＝90°，∠A＝∠A，
∴△AOE∽△ABC，
∴ ＝ ，即 ＝ ，
解得：AD＝ ．
【点评】本题主要考查切线的判定与性质，解题的关键是掌握切线的判定与性质及相似三
角形的判定与性质．
25．【分析】（1）根据点E、F的坐标，利用待定系数法即可求出抛物线的表达式；
（2）找出当t＝0时，点B、N的坐标，进而可得出OB、BN的长度，再根据三角形的面积公
式可求出S△OBN 的值；
（3）分0＜t≤4和4＜t≤5两种情况考虑： 当0＜t≤4时（图1），找出点A、B、M、N的坐
标，进而可得出AM、BN的长度，利用梯形①的面积公式即可找出S关于t的函数关系式，再
利用二次函数的性质即可求出S的最大值； 当4＜t≤5时，找出点A、B、M、N的坐标，
进而可得出AM、BN的长度，将五边形分成两②个梯形，利用梯形的面积公式即可找出S关
于t的函数关系式，再利用二次函数的性质即可求出S的最大值．将 中的S的最大值
进行比较，即可得出结论． ①②
【解答】解：（1）将E（5，5）、F（10，0）代入y＝ax2+bx，
，解得： ，
∴抛物线的表达式为y＝﹣ x2+2x．
第21页（共23页）（2）当t＝0时，点B的坐标为（1，0），点N的坐标为（1， ），
∴BN＝ ，OB＝1，
∴S△OBN ＝ BN•OB＝ ．
（3） 当0＜t≤4时（图1），点A的坐标为（t，0），点B的坐标为（t+1，0），
∴点M ① 的坐标为（t，﹣ t2+2t），点N的坐标为（t+1，﹣ （t+1）2+2（t+1）），
∴AM＝﹣ t2+2t，BN＝﹣ （t+1）2+2（t+1），
∴S＝ （AM+BN）•AB＝ ×1×[﹣ t2+2t﹣ （t+1）2+2（t+1）]，
＝﹣ t2+ t+ ，
＝﹣ （t﹣ ）2+ ，
∵﹣ ＜0，
∴当t＝4时，S取最大值，最大值为 ；
当4＜t≤5时（图2），点A的坐标为（t，0），点B的坐标为（t+1，0），
② ∴点M的坐标为（t，﹣ t2+2t），点N的坐标为（t+1，﹣ （t+1）2+2（t+1）），
∴AM＝﹣ t2+2t，BN＝﹣ （t+1）2+2（t+1），
∴S＝ （5﹣t）（﹣ t2+2t+5）+ （t﹣4）[5﹣ （t+1）2+2（t+1）]，
＝ （ t3﹣3t2+5t+25）+ （﹣ t3+ t2+ t﹣ ），
＝﹣ t2+ t﹣ ，
＝﹣ （t﹣ ）2+ ，
∵﹣ ＜0，
第22页（共23页）∴当t＝ 时，S取最大值，最大值为 ．
∵ ＝ ＜ ，
∴当t＝ 时，S有最大值，最大值是 ．
【点评】本题考查了待定系数法求二次函数解析式、二次函数图象上点的坐标特征、二次
函数的性质、梯形的面积以及三角形的面积，解题的关键是：（1）根据点的坐标，利用待定
系数法求出二次函数关系式；（2）利用二次函数图象上点的坐标特征求出当t＝0时点N
的坐标；（3）分0＜t≤4和4＜t≤5两种情况找出S关于t的函数关系式．
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