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2014年山东省聊城市中考数学试卷
一、选择题（本题共12小题，每小题3分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要
求）
1．（3分）在﹣ ，0，﹣2， ，1这五个数中，最小的数为（ ）
A．0 B．﹣ C．﹣2 D．
2．（3分）如图是一个三棱柱的立体图形，它的主视图是（ ）
A． B．
C． D．
3．（3分）今年5月10日，在市委宣传部、市教育局等单位联合举办的“走复兴路，圆中国
梦”中学生演讲比赛中，7位评委给参赛选手张阳同学的打分如表：
评委代号 A B C D E F G
评分 90 92 86 92 90 95 92
则张阳同学得分的众数为（ ）
A．95 B．92 C．90 D．86
4．（3分）如图，将一块含有30°角的直角三角板的两个顶点叠放在矩形的两条对边上，如果
∠1＝27°，那么∠2的度数为（ ）
第1页（共24页）A．53° B．55° C．57° D．60°
5．（3分）下列计算正确的是（ ）
A．2 ×3 ＝6 B． + ＝ C．5 ﹣2 ＝3 D． ÷ ＝
6．（3分）用配方法解一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0），此方程可变形为（ ）
A．（x+ ）2＝ B．（x+ ）2＝
C．（x﹣ ）2＝ D．（x﹣ ）2＝
7．（3分）如图，点P是∠AOB外的一点，点M，N分别是∠AOB两边上的点，点P关于OA的
对称点Q恰好落在线段MN上，点P关于OB的对称点R落在MN的延长线上．若PM＝
2.5cm，PN＝3cm，MN＝4cm，则线段QR的长为（ ）
A．4.5cm B．5.5cm C．6.5cm D．7cm
8．（3分）下列说法中不正确的是（ ）
A．抛掷一枚硬币，硬币落地时正面朝上是随机事件
B．把4个球放入三个抽屉中，其中一个抽屉中至少有2个球是必然事件
C．任意打开七年级下册数学教科书，正好是97页是确定事件
D．一个盒子中有白球m个，红球6个，黑球n个（每个球除了颜色外都相同）．如果从中任
取一个球，取得的是红球的概率与不是红球的概率相同，那么m与n的和是6
第2页（共24页）9．（3分）如图，在矩形ABCD中，边AB的长为3，点E，F分别在AD，BC上，连接BE，DF，
EF，BD．若四边形BEDF是菱形，且EF＝AE+FC，则边BC的长为（ ）
A．2 B．3 C．6 D．
10．（3分）如图，一次函数y ＝k x+b的图象和反比例函数y ＝ 的图象交于A（1，2），B（﹣
1 1 2
2，﹣1）两点，若y ＜y ，则x的取值范围是（ ）
1 2
A．x＜1 B．x＜﹣2
C．﹣2＜x＜0或x＞1 D．x＜﹣2或0＜x＜1
11．（3分）如图，在平面直角坐标系中，将△ABC绕点P旋转180°，得到△A B C ，则点A ，
1 1 1 1
B ，C 的坐标分别为（ ）
1 1
A．A（﹣4，﹣6），B（﹣3，﹣3），C（﹣5，﹣1）
1 1 1
B．A（﹣6，﹣4），B（﹣3，﹣3），C（﹣5，﹣1）
1 1 1
第3页（共24页）C．A（﹣4，﹣6），B（﹣3，﹣3），C（﹣1，﹣5）
1 1 1
D．A （﹣6，﹣4），B （﹣3，﹣3），C （﹣1，﹣5）
1 1 1
12．（3分）如图是二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）图象的一部分，x＝﹣1是对称轴，有下列判断：
b﹣2a＝0； 4a﹣2b+c＜0； a﹣b+c＝﹣9a； 若（﹣3，y ），（ ，y ）是抛物线上两
1 2
① ② ③ ④
点，则y ＞y ，其中正确的是（ ）
1 2
A． B． C． D．
二、填空①题②（③本题共5个小题①，③每小④题3分，共15分①．②只④要求填写最后结②果）③④
13．（3分）不等式组 的解集是 ．
14．（3分）因式分解：4a3﹣12a2+9a＝ ．
15．（3分）如图，圆锥的表面展开图由一扇形和一个圆组成，已知圆的面积为100 ，扇形的圆
心角为120°，这个扇形的面积为 ． π
16．（3分）如图，有四张卡片（形状、大小和质地都相同），正面分别写有字母A、B、C、D和一
个不同的算式，将这四张卡片背面向上洗匀，从中随机抽取两张卡片，这两张卡片上的算
式只有一个正确的概率是 ．
第4页（共24页）17．（3分）如图，在x轴的正半轴上依次间隔相等的距离取点A ，A ，A ，A ，…，A ，分别过这
1 2 3 4 n
些点做x轴的垂线与反比例函数y＝ 的图象相交于点P ，P ，P ，P ，…P ，再分别过P ，
1 2 3 4 n 2
P 3 ，P 4 ，…P n 作P 2 B 1 ⊥A 1 P 1 ，P 3 B 2 ⊥A 2 P 2 ，P 4 B 3 ⊥A 3 P 3 ，…，P n B n﹣1 ⊥A n﹣1 P n﹣1 ，垂足分别为
B 1 ，B 2 ，B 3 ，B 4 ，…，B n﹣1 ，连接P 1 P 2 ，P 2 P 3 ，P 3 P 4 ，…，P n﹣1 P n ，得到一组Rt△P 1 B 1 P 2 ，
Rt△P 2 B 2 P 3 ，Rt△P 3 B 3 P 4 ，…，Rt△P n﹣1 B n﹣1 P n ，则Rt△P n﹣1 B n﹣1 P n 的面积为 ．
三、解答题（本题共8个小题，共69分．解答应写出文字说明、证明过程或推演步骤）
18．（7分）解分式方程： + ＝﹣1．
19．（8分）为提高居民的节水意识，向阳小区开展了“建设节水型社区，保障用水安全”为
主题的节水宣传活动，小莹同学积极参与小区的宣传活动，并对小区300户家庭用水情况
进行了抽样调查，他在300户家庭中，随机调查了50户家庭5月份的用水量情况，结果如
图所示．
（1）试估计该小区5月份用水量不高于12t的户数占小区总户数的百分比；
（2）把图中每组用水量的值用该组的中间值（如0～6的中间值为3）来替代，估计该小区5
月份的用水量．
第5页（共24页）20．（8分）如图，四边形ABCD是平行四边形，作AF∥CE，BE∥DF，AF交BE于G点，交DF
于F点，CE交DF于H点、交BE于E点．
求证：△EBC≌△FDA．
21．（8分）如图，美丽的徒骇河宛如一条玉带穿城而过，沿河两岸的滨河大道和风景带成为
我市的一道新景观．在数学课外实践活动中，小亮在河西岸滨河大道一段AC上的A，B两
点处，利用测角仪分别对东岸的观景台D进行了测量，分别测得∠DAC＝60°，∠DBC＝
75°．又已知AB＝100米，求观景台D到徒骇河西岸AC的距离约为多少米（精确到1米）．
（ tan60°≈ 1.73 ， tan75°≈ 3.73 ）
22．（8分）某服装店用6000元购进A，B两种新式服装，按标价售出后可获得毛利润3800元
第6页（共24页）（毛利润＝售价﹣进价），这两种服装的进价、标价如下表所示：
A型 B型
进价（元/件） 60 100
标价（元/件） 100 160
（1）求这两种服装各购进的件数；
（2）如果A中服装按标价的8折出售，B中服装按标价的7折出售，那么这批服装全部售
完后，服装店比按标价售出少收入多少元？
23．（8分）甲、乙两车从A地驶向B地，并以各自的速度匀速行驶，甲车比乙车早行驶2h，并
且甲车途中休息了0.5h，如图是甲乙两车行驶的距离y（km）与时间x（h）的函数图象．
（1）求出图中m，a的值；
（2）求出甲车行驶路程y（km）与时间x（h）的函数解析式，并写出相应的x的取值范围；
（3）当乙车行驶多长时间时，两车恰好相距50km．
24．（10分）如图，AB，AC分别是半 O的直径和弦，OD⊥AC于点D，过点A作半 O的切
线AP，AP与OD的延长线交于点⊙P．连接PC并延长与AB的延长线交于点F．⊙
（1）求证：PC是半 O的切线；
（2）若∠CAB＝30°，⊙AB＝10，求线段BF的长．
25．（12分）如图，在平面直角坐标系中，△AOB的三个顶点的坐标分别是A（4，3），O（0，0），
第7页（共24页）B（6，0）．点M是OB边上异于O，B的一动点，过点M作MN∥AB，点P是AB边上的任意
点，连接AM，PM，PN，BN．设点M（x，0），△PMN的面积为S．
（1）求出OA所在直线的解析式，并求出点M的坐标为（1，0）时，点N的坐标；
（2）求出S关于x的函数关系式，写出x的取值范围，并求出S的最大值；
（3）若S：S△ANB ＝2：3时，求出此时N点的坐标．
第8页（共24页）2014 年山东省聊城市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本题共12小题，每小题3分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要
求）
1．【分析】用数轴法，将各选项数字标于数轴之上即可解本题．
【解答】解：画一个数轴，将A＝0、B＝﹣ 、C＝﹣2、D＝ ，E＝1标于数轴之上，
可得：
∵C点位于数轴最左侧，是最小的数
故选：C．
【点评】本题考查了数轴法比较有理数大小的方法，牢记数轴法是解题的关键．
2．【分析】根据从正面看得到的图形是主视图，可得答案．
【解答】解；从正面看是矩形，看不见的棱用虚线表示，
故选：B．
【点评】本题考查了简单组合体的三视图，从正面看得到的图形是主视图，注意看不到的
棱用虚线表示．
3．【分析】根据众数的定义，从表中找出出现次数最多的数即为众数．
【解答】解：张阳同学共有7个得分，其中92分出现3次，次数是最多，故张阳得分的众数
为92分．
故选：B．
【点评】考查了众数的概念：一组数据中出现次数最多的数叫该组数据的众数．
4．【分析】根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求出∠3，再根据两直线平
行，同位角相等可得∠2＝∠3．
【解答】解：由三角形的外角性质，
∠3＝30°+∠1＝30°+27°＝57°，
∵矩形的对边平行，
∴∠2＝∠3＝57°．
故选：C．
第9页（共24页）【点评】本题考查了平行线的性质，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的
性质，熟记性质是解题的关键．
5．【分析】根据二次根式的乘除，可判断A、D，根据二次根式的加减，可判断B、C．
【解答】解：A、2 ＝2× ＝18，故A错误；
B、被开方数不能相加，故B错误；
C、被开方数不能相减，故C错误；
D、 ＝ ＝ ，故D正确；
故选：D．
【点评】本题考查了二次根式的加减，注意被开方数不能相加减．
6．【分析】先移项，把二次项系数化成1，再配方，最后根据完全平方公式得出即可．
【解答】解：ax2+bx+c＝0，
ax2+bx＝﹣c，
x2+ x＝﹣ ，
x2+ x+（ ）2＝﹣ +（ ）2，
（x+ ）2＝ ，
故选：A．
【点评】本题考查了用配方法解一元二次方程的应用，解此题的关键是能正确配方，题目
比较好，难度适中．
7．【分析】利用轴对称图形的性质得出PM＝MQ，PN＝NR，进而利用MN＝4cm，得出NQ的
长，即可得出QR的长．
【解答】解：∵点P关于OA的对称点Q恰好落在线段MN上，点P关于OB的对称点R落
在MN的延长线上，
∴PM＝MQ，PN＝NR，
第10页（共24页）∵PM＝2.5cm，PN＝3cm，MN＝4cm，
∴RN＝3cm，MQ＝2.5cm，
即NQ＝MN﹣MQ＝4﹣2.5＝1.5（cm），
则线段QR的长为：RN+NQ＝3+1.5＝4.5（cm）．
故选：A．
【点评】此题主要考查了轴对称图形的性质，得出PM＝MQ，PN＝NR是解题关键．
8．【分析】根据必然事件、不可能事件、随机事件的概念以及概率的求法即可作出判断．
【解答】解：A．抛掷一枚硬币，硬币落地时正面朝上是随机事件，故A选项正确；
B．把4个球放入三个抽屉中，其中一个抽屉中至少有2个球是必然事件，故B选项正确；
C．任意打开七年级下册数学教科书，正好是97页是不确定事件，故C选项错误；
D. ，取得的是红球的概率与不是红球的概率相同，所以m+n＝6，
故D选项正确．
故选：C．
【点评】考查了随机事件，解决本题需要正确理解必然事件、不可能事件、随机事件的概念
以及概率的求法．必然事件指在一定条件下一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件
下，一定不发生的事件．不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发
生的事件．
9．【分析】根据矩形的性质和菱形的性质得∠ABE＝∠EBD＝∠DBC＝30°，AB＝BO＝3，因
为四边形BEDF是菱形，所以BE，AE可求出进而可求出BC的长．
【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A＝90°，
即BA⊥BF，
∵四边形BEDF是菱形，
∴EF⊥BD，∠EBO＝∠DBF，
∵EF＝AE+FC，AE＝CF，EO＝FO
∴AE＝EO＝CF＝FO，
∴AB＝BO＝3，∠ABE＝∠EBO，
∴∠ABE＝∠EBD＝∠DBC＝30°，
∴BE＝ ＝2 ，
∴BF＝BE＝2 ，
第11页（共24页）∴CF＝AE＝ ，
∴BC＝BF+CF＝3 ，
故选：B．
【点评】本题考查了矩形的性质、菱形的性质以及在直角三角形中30°角所对的直角边时
斜边的一半，解题的关键是求出∠ABE＝∠EBD＝∠DBC＝30°．
10．【分析】根据一次函数图象位于反比例函数图象的下方，可得不等式的解．
【解答】解：一次函数图象位于反比例函数图象的下方，
由图象可得x＜﹣2，或0＜x＜1，
故选：D．
【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，一次函数图象位于反比例函数图
象的下方是解题关键．
11．【分析】根据网格结构找出点A、B、C关于点P的对称点A ，B ，C 的位置，再根据平面直
1 1 1
角坐标系写出坐标即可．
【解答】解：
△A B C 如图所示，A （﹣4，﹣6），B （﹣3，﹣3），C （﹣5，﹣1）．
1 1 1 1 1 1
故选：A．
【点评】本题考查了坐标与图形变化﹣旋转，熟练掌握网格结构准确找出对应点的位置是
解题的关键．
12．【分析】利用二次函数图象的相关知识与函数系数的联系，需要根据图形，逐一判断．
第12页（共24页）【解答】解：∵抛物线的对称轴是直线x＝﹣1，
∴﹣ ＝﹣1，
b＝2a，
∴b﹣2a＝0，
故 正确；
∵①抛物线的对称轴是直线x＝﹣1，和x轴的一个交点是（2，0），
∴抛物线和x轴的另一个交点是（﹣4，0），
∴把x＝﹣2代入得：y＝4a﹣2b+c＞0，
故 错误；
∵②图象过点（2，0），代入抛物线的解析式得：4a+2b+c＝0，
又∵b＝2a，
∴c＝﹣4a﹣2b＝﹣8a，
∴a﹣b+c＝a﹣2a﹣8a＝﹣9a，
故 正确；
根③据图象，可知抛物线对称轴的右边y随x的增大而减小，
∵抛物线和x轴的交点坐标是（2，0）和（﹣4，0），抛物线的对称轴是直线x＝﹣1，
∴点（﹣3，y ）关于对称轴的对称点的坐标是（1，y ），
1 1
∵（ ，y ），1＜ ，
2
∴y ＞y ，
1 2
故 正确；
即④正确的有 ，
故选：B． ①③④
【点评】此题主要考查了二次函数图象与系数的关系，在解题时要注意二次函数的系数与
其图象的形状，对称轴，特殊点的关系，也要掌握在图象上表示一元二次方程ax2+bx+c＝0
的解的方法．同时注意特殊点的运用．
二、填空题（本题共5个小题，每小题3分，共15分．只要求填写最后结果）
13．【分析】分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集即可．
【解答】解： ，
第13页（共24页）由 得，x≤4，
①
由 得，x＞﹣ ，
②
故此不等式组的解集为：﹣ ＜x≤4．
故答案为：﹣ ＜x≤4．
【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；
大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
14．【分析】先提取公因式a，再根据完全平方公式进行二次分解．
【解答】解：4a3﹣12a2+9a，
＝a（4a2﹣12a+9），
＝a（2a﹣3）2．
故答案为：a（2a﹣3）2．
【点评】本题考查了提公因式法，公式法分解因式，提取公因式后利用完全平方公式进行
二次分解，注意分解要彻底．
15．【分析】首先根据底面圆的面积求得底面的半径，然后结合弧长公式求得扇形的半径，然
后利用扇形的面积公式求得侧面积即可．
【解答】解：∵底面圆的面积为100 ，
∴底面圆的半径为10， π
∴扇形的弧长等于圆的周长为20 ，
设扇形的母线长为r， π
则 ＝20 ，
π
解得：母线长为30，
∴扇形的面积为 rl＝ ×10×30＝300 ，
故答案为：300 ．π π π
【点评】本题考π查了圆锥的计算及扇形的面积的计算，解题的关键是牢记计算公式．
16．【分析】首先此题需要两步完成，直接运用树状图法或者采用列表法，再根据列举求出所
用可能数，再求出只有一次正确的情况数根据概率公式解答即可．
【解答】解：列表如下：
第1次 A B C D
第14页（共24页）第2次
A BA CA DA
B AB CB DB
C AC BC DC
D AD BD CD
由表可知一共有12种情况，其中抽取的两张卡片上的算式只有一个正确的有8种，
所以两张卡片上的算式只有一个正确的概率＝ ，
故答案为： ．
【点评】此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏地列出所有
可能的结果，适合于两步完成的事件；用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之
比．
17．【分析】根据反比例函数图象上点的坐标特征和三角形面积公式得到Rt△P B P 的面积
1 1 2
＝ ×a×（ ﹣ ），Rt△P B P 的面积＝ ×a×（ ﹣ ），Rt△P B P 的面积＝ ×a×（
2 2 3 3 3 4
﹣ ），由此得出△P n﹣1 B n﹣1 P n 的面积＝ ×a×[ ﹣ ]，化简即可．
【解答】解：设OA 1 ＝A 1 A 2 ＝A 2 A 3 ＝…＝A n﹣2 A n﹣1 ＝a，
∵x＝a时，y＝ ，∴P 的坐标为（a， ），
1
∵x＝2a时，y＝ ，∴P 的坐标为（2a， ），
2
∴Rt△P B P 的面积＝ ×a×（ ﹣ ），
1 1 2
Rt△P B P 的面积＝ ×a×（ ﹣ ），
2 2 3
Rt△P B P 的面积＝ ×a×（ ﹣ ），
3 3 4
…，
∴△P n﹣1 B n﹣1 P n 的面积＝ ×a×[ ﹣ ]＝ ×1×（ ﹣ ）＝ ．
第15页（共24页）故答案为： ．
【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征和三角形面积公式，有一定难度．
三、解答题（本题共8个小题，共69分．解答应写出文字说明、证明过程或推演步骤）
18．【分析】解分式方程一定注意要验根．分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的
解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．
【解答】解：去分母得：﹣（x+2）2+16＝4﹣x2，
去括号得：﹣x2﹣4x﹣4+16＝4﹣x2，
解得：x＝2，
经检验x＝2是增根，分式方程无解．
【点评】此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转
化为整式方程求解．
19．【分析】（1）用用水量不高于12t的户数除以抽查的总的户数即可求出该小区5月份用水
量不高于12t的户数占小区总户数的百分比；
（2）用该组的中间值乘以户数，求出总的用水量，再除以抽查的户数求出每户的平均用水
量，最后乘以该小区总的户数即可得出答案．
【解答】解：（1）根据题意得：
×100%＝52%；
答：该小区5月份用水量不高于12t的户数占小区总户数的百分比是52%；
（2）根据题意得：
300×（3×6+9×20+15×12+21×7+27×5）÷50＝3960（吨），
答：该小区5月份的用水量是3960吨．
【点评】本题考查读频数分布直方图的能力和利用统计图获取信息的能力；利用统计图获
取信息时，必须认真观察、分析、研究统计图，才能作出正确的判断和解决问题．
20．【分析】根据平行三边的性质可知：AD＝BC，由平行四边形的判定方法易证四边形BMDK
和四边形AJCN是平行四边形，所以得∠FAD＝∠ECB，∠ADF＝∠EBC，进而证明：
△EBC≌△FDA．
【解答】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝BC，AD∥BC，
∵AF∥CE，BE∥DF，
第16页（共24页）∴四边形BMDK和四边形AJCN是平行四边形，
∴∠FAD＝∠ECB，∠ADF＝∠EBC，
在△EBC和△FDA中，
∴△EBC≌△FDA（ASA）．
【点评】本题考查了平行四边形的判定以及全等三角形的判定，在全等三角形的5种判定
方法中，选用哪一种方法，取决于题目中的已知条件，若已知两边对应相等，则找它们的
夹角或第三边；若已知两角对应相等，则必须再找一组对边对应相等，且要是两角的夹边，
若已知一边一角，则找另一组角，或找这个角的另一组对应邻边．
21．【分析】如图，过点D作DE⊥AC于点E．通过解Rt△EAD和Rt△EBD分别求得AE、BE
的长度，然后根据图示知：AB＝AE﹣BE＝100，把相关线段的长度代入列出关于ED的方
程 ﹣ ＝100．通过解该方程求得ED的长度．
【解答】解：如图，过点D作DE⊥AC于点E．
∵在Rt△EAD中，∠DAE＝60°，
∴tan60°＝ ，
∴AE＝
同理，在Rt△EBD中，
得到EB＝ ．
又∵AB＝100米，
∴AE﹣EB＝100米，
即 ﹣ ＝100．
第17页（共24页）则ED＝ ≈ ≈323（米）．
答：观景台D到徒骇河西岸AC的距离约为323米．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用．主要是正切概念及运算，关键把实际问题转化
为数学问题加以计算．
22．【分析】（1）设A种服装购进x件，B种服装购进y件，由总价＝单价×数量，利润＝售价
﹣进价建立方程组求出其解即可；
（2）分别求出打折后的价格，再根据总利润＝A种服装的利润+B中服装的利润，求出其解
即可．
【解答】解：（1）设A种服装购进x件，B种服装购进y件，由题意，得
，
解得： ．
答：A种服装购进50件，B种服装购进30件；
（2）由题意，得
3800﹣50（100×0.8﹣60）﹣30（160×0.7﹣100）
＝3800﹣1000﹣360
＝2440（元）．
答：服装店比按标价售出少收入2440元．
【点评】本题考查了销售问题的数量关系的运用，列二元一次方程组解实际问题的运用，
解答时由销售问题的数量关系建立二元一次方程组是关键．
23．【分析】（1）根据“路程÷时间＝速度”由函数图象就可以求出甲的速度求出a的值和m
的值；
（2）由分段函数当0≤x≤1，1＜x≤1.5，1.5＜x≤7由待定系数法就可以求出结论；
第18页（共24页）（3）先求出乙车行驶的路程y与时间x之间的解析式，由解析式之间的关系建立方程求出
其解即可．
【解答】解：（1）由题意，得
m＝1.5﹣0.5＝1．
120÷（3.5﹣0.5）＝40，
∴a＝40．
答：a＝40，m＝1；
（2）当0≤x≤1时设y与x之间的函数关系式为y＝k x，由题意，得
1
40＝k ，
1
∴y＝40x
当1＜x≤1.5时，
y＝40；
当1.5＜x≤7设y与x之间的函数关系式为y＝k x+b，由题意，得
2
，
解得： ，
∴y＝40x﹣20．
y＝ ；
（3）设乙车行驶的路程y与时间x之间的解析式为y＝k x+b ，由题意，得
3 3
，
解得： ，
∴y＝80x﹣160．
当40x﹣20﹣50＝80x﹣160时，
第19页（共24页）解得：x＝ ．
当40x﹣20+50＝80x﹣160时，
解得：x＝ ．
＝ ， ．
260﹣（40x﹣20）＝50
解得x＝5.75，x﹣2＝
答：乙车行驶 小时或 小时或 ，两车恰好相距50km．
【点评】本题考出了行程问题的数量关系的运用，待定系数法求一次函数的解析式的运用，
一次函数与一元一次方程的运用，解答时求出一次函数的解析式是关键．
24．【分析】（1）连接OC，可以证得△OAP≌△OCP，利用全等三角形的对应角相等，以及切
线的性质定理可以得到：∠OCP＝90°，即OC⊥PC，即可证得；
（2）依据切线的性质定理可知OC⊥PE，然后通过解直角三角函数，求得OF的值，再减去
圆的半径即可．
【解答】（1）证明：连接OC，
∵OD⊥AC，OD经过圆心O，
∴AD＝CD，
∴PA＝PC，
在△OAP和△OCP中，
，
∴△OAP≌△OCP（SSS），
∴∠OCP＝∠OAP
∵PA是半 O的切线，
∴∠OAP＝⊙90°．
∴∠OCP＝90°，
即OC⊥PC
∴PC是 O的切线．
⊙
第20页（共24页）（2）解：∵AB是直径，
∴∠ACB＝90°，
∵∠CAB＝30°，
∴∠COF＝60°，
∵PC是半 O的切线，AB＝10，
⊙
∴OC⊥PF，OC＝OB＝ AB＝5，
∴OF＝ ＝ ＝10，
∴BF＝OF﹣OB＝5．
【点评】本题考查了切线的性质定理以及判定定理，以及直角三角形三角函数的应用，证
明圆的切线的问题常用的思路是根据切线的判定定理转化成证明垂直的问题．
25．【分析】（1）利用待定系数法求解析式即可；
（2）作AG⊥OB于G，NH⊥OB于H，利用勾股定理先求得AG的长，然后根据三角形相似
求得NH：AG＝OM：OB，得出NH的长，因为△MBN的面积＝△PMN的面积＝S，即可求
得S与x的关系式．
（3）因为△AMB的面积＝△ANB的面积＝S△ANB ，△NMB的面积＝△NMP的面积＝S，所
以NH：AG＝2：3，因为ON：OA＝NH：AG，OM：OB＝ON：OA，所以OM：OB＝ON：OA＝
2：3，进而求得M点的坐标，求得MN的解析式，然后求得直线MN与直线OA的交点即可．
【解答】解：（1）设直线OA的解析式为y＝k x，
1
∵A（4，3），
∴3＝4k ，
1
解得k ＝ ，
1
∴OA所在的直线的解析式为：y＝ x，
第21页（共24页）同理可求得直线AB的解析式为；y＝﹣ x+9，
∵MN∥AB，
∴设直线MN的解析式为y＝﹣ x+b，把M（1，0）代入
得：b＝ ，
∴直线MN的解析式为y＝﹣ x+ ，
解 ，
得 ，
∴N（ ， ）．
（2）如图2，作NH⊥OB于H，AG⊥OB于G，则AG＝3．
∵MN∥AB，
∴△MBN的面积＝△PMN的面积＝S，
∴△OMN∽△OBA，
∴NH：AG＝OM：OB，
∴NH：3＝x：6，即NH＝ x，
∴S＝ MB•NH＝ ×（6﹣x）× x＝﹣ （x﹣3）2+ （0＜x＜6），
∴当x＝3时，S有最大值，最大值为 ．
（3）如图2，∵MN∥AB，
∴△AMB的面积＝△ANB的面积＝S△ANB ，△NMB的面积＝△NMP的面积＝S
∵S：S△ANB ＝2：3，
第22页（共24页）∴ MB•NH： MB•AG＝2：3，即NH：AG＝2：3，
∴ON：OA＝NH：AG＝2：3，
∵MN∥AB，
∴OM：OB＝ON：OA＝2：3，
∵OB＝6，
∴ ＝ ，
∴OM＝4，
∴M（4，0）
∵直线AB的解析式为；y＝﹣ x+9，
∴设直线MN的解析式y＝﹣ x+b
把点M代入得：0＝﹣ ×4+b，
解得b＝6，
∴直线MN的解析式为y＝﹣ x+6，
解 ，
得 ，
∴N（ ，2）．
第23页（共24页）【点评】本题考查了待定系数法求解析式，直线平行的性质，三角形相似判定及性质，同底
等高的三角形面积相等等，相等面积的三角形的转化是本题的关键．
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