文档内容
2015年山东省聊城市中考数学试卷
一、选择题（共12小题，每小题3分，满分36分）
1．（3分）﹣ 的绝对值等于（ ）
A．﹣3 B．3 C．﹣ D．
2．（3分）直线a、b、c、d的位置如图所示，如果∠1＝58°，∠2＝58°，∠3＝70°，那么∠4等于（
）
A．58° B．70° C．110° D．116°
3．（3分）电视剧《铁血将军》在我市拍摄，该剧展示了抗日英雄范筑先的光辉形象．某校为了
了解学生对“民族英雄范筑先”的知晓情况，从全校2400名学生中随机抽取了100名学
生进行调查．在这次调查中，样本是（ ）
A．2400名学生
B．100名学生
C．所抽取的100名学生对“民族英雄范筑先”的知晓情况
D．每一名学生对“民族英雄范筑先”的知晓情况
4．（3分）某几何体的三视图如图所示，这个几何体是（ ）
A．圆锥 B．圆柱 C．三棱柱 D．三棱锥
第1页（共21页）5．（3分）下列运算正确的是（ ）
A．a2+a3＝a5 B．（﹣a3）2＝a6
C．ab2•3a2b＝3a2b2 D．﹣2a6÷a2＝﹣2a3
6．（3分）不等式x﹣3≤3x+1的解集在数轴上表示如下，其中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
7．（3分）下列命题中的真命题是（ ）
A．两边和一角分别相等的两个三角形全等
B．相似三角形的面积比等于相似比
C．正方形不是中心对称图形
D．圆内接四边形的对角互补
8．（3分）为了了解一路段车辆行驶速度的情况，交警统计了该路段上午7：0至9：00来往车
辆的车速（单位：千米/时），并绘制成如图所示的条形统计图．这些车速的众数、中位数分
别是（ ）
A．众数是80千米/时，中位数是60千米/时
B．众数是70千米/时，中位数是70千米/时
C．众数是60千米/时，中位数是60千米/时
D．众数是70千米/时，中位数是60千米/时
9．（3分）图（1）是一个小正方体的表面展开图，小正方体从图（2）所示的位置依次翻到第1
格、第2格、第3格、第4格，这时小正方体朝上一面的字是（ ）
第2页（共21页）A．梦 B．水 C．城 D．美
10．（3分）湖南路大桥于今年5月1日竣工，为徒骇河景区增添了一道亮丽的风景线．某校数
学兴趣小组用测量仪器测量该大桥的桥塔高度，在距桥塔AB底部50米的C处，测得桥塔
顶部A的仰角为41.5°（如图）．已知测量仪器CD的高度为1米，则桥塔AB的高度约为（
）（参考数据：sin41.5°≈0.663，cos41.5°≈0.749，tan41.5°≈0.885）
A．34米 B．38米 C．45米 D．50米
11．（3分）小亮家与姥姥家相距24km，小亮8：00从家出发，骑自行车去姥姥家．妈妈8：30从
家出发，乘车沿相同路线去姥姥家．在同一直角坐标系中，小亮和妈妈的行进路程S（km）
与北京时间t（时）的函数图象如图所示．根据图象得到小亮结论，其中错误的是（ ）
A．小亮骑自行车的平均速度是12km/h
B．妈妈比小亮提前0.5小时到达姥姥家
C．妈妈在距家12km处追上小亮
D．9：30妈妈追上小亮
12．（3分）如图，点O是圆形纸片的圆心，将这个圆形纸片按下列顺序折叠，使 和 都经
过圆心O，则阴影部分的面积是 O面积的（ ）
⊙
第3页（共21页）A． B． C． D．
二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分）
13．（3分）一元二次方程x2﹣2x＝0的解是 ．
14．（3分）计算：（ + ）2﹣ ＝ ．
15．（3分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，BD是∠ABC的平分线．若AB＝6，则点D
到AB的距离是 ．
16．（3分）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，下列结论： 2a+b＝0； a+c＞
b； 抛物线与x轴的另一个交点为（3，0）； abc＞0．其中正确的①结论是 ② （填写
序号③）． ④
17．（3分）如图，△ABC的三个顶点和它内部的点P ，把△ABC分成3个互不重叠的小三角
1
形；△ABC的三个顶点和它内部的点P 、P ，把△ABC分成5个互不重叠的小三角形；
1 2
△ABC的三个顶点和它内部的点 P 、P 、P ，把△ABC分成7个互不重叠的小三角形；…
1 2 3
△ABC的三个顶点和它内部的点 P 、P 、P 、…、P ，把△ABC分成 个互不重叠的
1 2 3 n
小三角形．
第4页（共21页）三、解答题（本题共8个小题，共69分）
18．（7分）解方程组 ．
19．（8分）在如图所示的直角坐标系中，每个小方格都是边长为1的正方形，△ABC的顶点
均在格点上，点A的坐标是（﹣3，﹣1）．
（1）将△ABC沿y轴正方向平移3个单位得到△A B C ，画出△A B C ，并写出点B 坐标；
1 1 1 1 1 1 1
（2）画出△A B C 关于y轴对称的△A B C ，并写出点C 的坐标．
1 1 1 2 2 2 2
20．（8分）已知反比例函数y＝ （m为常数，且m≠5）．
（1）若在其图象的每个分支上，y随x的增大而增大，求m的取值范围；
（2）若其图象与一次函数y＝﹣x+1图象的一个交点的纵坐标是3，求m的值．
21．（8分）如图，在△ABC中，AB＝BC，BD平分∠ABC．四边形ABED是平行四边形，DE交
BC于点F，连接CE．
求证：四边形BECD是矩形．
22．（8分）在阳光体育活动时间，小亮、小莹、小芳和大刚到学校乒乓球室打乒乓球，当时只
第5页（共21页）有一副空球桌，他们只能选两人打第一场．
（1）如果确定小亮打第一场，再从其余三人中随机选取一人打第一场，求恰好选中大刚的
概率；
（2）如果确定小亮做裁判，用“手心、手背”的方法决定其余三人哪两人打第一场．游戏
规则是：三人同时伸“手心、手背”中的一种手势，如果恰好有两人伸出的手势相同，那
么这两人上场，否则重新开始，这三人伸出“手心”或“手背”都是随机的，请用画树状
图的方法求小莹和小芳打第一场的概率．
23．（8分）在“母亲节”前夕，某花店用16000元购进第一批礼盒鲜花，上市后很快预售一空．
根据市场需求情况，该花店又用7500元购进第二批礼盒鲜花．已知第二批所购鲜花的盒
数是第一批所购鲜花的 ，且每盒鲜花的进价比第一批的进价少10元．问第二批鲜花每
盒的进价是多少元？
24．（10分）如图，已知AB是 O的直径，点P在BA的延长线上，PD切 O于点D，过点B
作BE垂直于PD，交PD的⊙延长线于点C，连接AD并延长，交BE于⊙点E．
（1）求证：AB＝BE；
（2）若PA＝2，cosB＝ ，求 O半径的长．
⊙
25．（12分）如图，在直角坐标系中，Rt△OAB的直角顶点A在x轴上，OA＝4，AB＝3．动点M
从点A出发，以每秒1个单位长度的速度，沿AO向终点O移动；同时点N从点O出发，
以每秒1.25个单位长度的速度，沿OB向终点B移动．当两个动点运动了x秒（0＜x＜4）
时，解答下列问题：
（1）求点N的坐标（用含x的代数式表示）；
（2）设△OMN的面积是S，求S与x之间的函数表达式；当x为何值时，S有最大值？最大
值是多少？
（3）在两个动点运动过程中，是否存在某一时刻，使△OMN是直角三角形？若存在，求出
第6页（共21页）x的值；若不存在，请说明理由．
第7页（共21页）2015 年山东省聊城市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（共12小题，每小题3分，满分36分）
1．【分析】根据当a是负有理数时，a的绝对值是它的相反数﹣a可得答案．
【解答】解：﹣ 的绝对值等于 ，
故选：D．
【点评】本题主要考查了绝对值，关键是掌握 当a是正有理数时，a的绝对值是它本身
a； 当a是负有理数时，a的绝对值是它的相①反数﹣a； 当a是零时，a的绝对值是零．
2．【分②析】根据同位角相等，两直线平行这一定理可知a∥b，③再根据两直线平行，同旁内角互
补即可解答．
【解答】解：∵∠1＝∠2＝58°，
∴a∥b，
∴∠3+∠5＝180°，
即∠5＝180°﹣∠3＝180°﹣70°＝110°，
∴∠4＝∠5＝110°，
故选：C．
【点评】本题主要考查了平行线的判定和性质，对顶角相等，熟记定理是解题的关键．
3．【分析】首先判断出这次调查的总体是什么，然后根据样本的含义：从总体中取出的一部分
个体叫做这个总体的一个样本，可得在这次调查中，样本是所抽取的100名学生对“民族
英雄范筑先”的知晓情况，据此解答即可．
【解答】解：根据总体、样本的含义，可得在这次调查中，
总体是：2400名学生对“民族英雄范筑先”的知晓情况，
样本是：所抽取的100名学生对“民族英雄范筑先”的知晓情况．
第8页（共21页）故选：C．
【点评】此题主要考查了总体、个体、样本、样本容量的含义和应用，要熟练掌握，解答此题
的关键是要明确： 总体：我们把所要考察的对象的全体叫做总体； 个体：把组成总体
的每一个考察对象①叫做个体； 样本：从总体中取出的一部分个体叫②做这个总体的一个
样本； 样本容量：一个样本③包括的个体数量叫做样本容量．
4．【分析④】由主视图和左视图确定是柱体，锥体还是球体，再由俯视图确定具体形状．
【解答】解：由主视图和左视图为三角形判断出是锥体，
由俯视图是圆形可判断出这个几何体应该是圆锥．
故选：A．
【点评】考查了由三视图判断几何体，主视图和左视图的大致轮廓为三角形的几何体为锥
体，俯视图为圆就是圆锥．
5．【分析】根据合并同类项法则、幂的乘方、单项式乘除法的运算方法，利用排除法求解．
【解答】解：A、a2与a3不是同类项，不能合并，故本选项错误；
B、（﹣a3）2＝a6，正确；
C、应为ab2•3a2b＝3a3b3，故本选项错误；
D、应为﹣2a6÷a2＝﹣2a4，故本选项错误．
故选：B．
【点评】本题主要考查了合并同类项的法则，幂的乘方的性质，单项式的乘除法法则，熟练
掌握运算法则是解题的关键．
6．【分析】不等式移项，再两边同时除以2，即可求解．
【解答】解：不等式得：x≥﹣2，其数轴上表示为：
故选：B．
【点评】本题考查了解简单不等式的能力，解答这类题学生往往在解题时不注意移项要改
变符号这一点而出错．
解不等式要依据不等式的基本性质：
（1）不等式的两边同时加上或减去同一个数或整式不等号的方向不变；
（2）不等式的两边同时乘以或除以同一个正数不等号的方向不变；
（3）不等式的两边同时乘以或除以同一个负数不等号的方向改变．
7．【分析】直接根据全等三角形的判定定理、相似三角形的性质、中心对称图形的定义以及圆
内接四边形的性质对各个选项作出判断即可．
第9页（共21页）【解答】解：A、两边和一角分别相等的两个三角形全等，这个角不一定是已知两边的夹角，
此选项错误；
B、相似三角形的面积比等于相似比的平方，此选项错误；
C、正方形是中心对称图形，此选项错误；
D、圆内接四边形的对角互补，此选项正确；
故选：D．
【点评】本题主要考查了命题与定理的知识，解答本题的关键是熟练掌握全等三角形的判
定、相似三角形的性质、中心对称图形的定义以及圆内接四边形的性质，此题难度不大．
8．【分析】在这些车速中，70千米/时的车辆数最多，则众数为70千米/时；处在正中间位置的
车速是60千米/时，则中位数为60千米/时．依此即可求解．
【解答】解：70千米/时是出现次数最多的，故众数是70千米/时，
这组数据从小到大的顺序排列，处于正中间位置的数是 60千米/时，故中位数是60千
米/时．
故选：D．
【点评】本题考查了条形统计图；属于基础题，注意找中位数的时候一定要先排好顺序，然
后再根据奇数和偶数个来确定中位数，如果数据有奇数个，则正中间的数字即为所求，如
果是偶数个则找中间两位数的平均数．
9．【分析】根据两个面相隔一个面是对面，再根据翻转的规律，可得答案．
【解答】解：第一次翻转梦在下面，第二次翻转中在下面，第三次翻转国在下面，第四次翻
转城在下面，
城与梦相对，
故选：A．
【点评】本题考查了正方体相对两个面上的文字，两个面相隔一个面是对面，注意翻转的
顺序确定每次翻转时下面是解题关键．
10．【分析】Rt△ADE中利用三角函数即可求得AE的长，则AB的长度即可求解．
【解答】解：过D作DE⊥AB于E，
∴DE＝BC＝50米，
在Rt△ADE中，AE＝DE•tan41.5°≈50×0.88＝44（米），
∵CD＝1米，
∴BE＝1米，
∴AB＝AE+BE＝44+1＝45（米），
第10页（共21页）∴桥塔AB的高度为45米．
【点评】本题考查仰角的定义，注意能借助仰角构造直角三角形并解直角三角形是解此题
的关键，注意数形结合思想的应用．
11．【分析】根据函数图象可知根据函数图象小亮去姥姥家所用时间为10﹣8＝2小时，进而
得到小亮骑自行车的平均速度，对应函数图象，得到妈妈到姥姥家所用的时间，根据交点
坐标确定妈妈追上小亮所用时间，即可解答．
【解答】解：A、根据函数图象小亮去姥姥家所用时间为10﹣8＝2小时，
∴小亮骑自行车的平均速度为：24÷2＝12（km/h），故正确；
B、由图象可得，妈妈到姥姥家对应的时间t＝9.5，小亮到姥姥家对应的时间t＝10，10﹣
9.5＝0.5（小时），
∴妈妈比小亮提前0.5小时到达姥姥家，故正确；
C、由图象可知，当t＝9时，妈妈追上小亮，此时小亮离家的时间为9﹣8＝1小时，
∴小亮走的路程为：1×12＝12km，
∴妈妈在距家12km出追上小亮，故正确；
D、由图象可知，当t＝9时，妈妈追上小亮，故错误；
故选：D．
【点评】本题考查了一次函数的应用，解决本题的关键是读懂函数图象，获取相关信息．
12．【分析】作OD⊥AB于点D，连接AO，BO，CO，求出∠OAD＝30°，得到∠AOB＝2∠AOD
＝120°，进而求得∠AOC＝120°，再利用阴影部分的面积＝S扇形AOC 得出阴影部分的面积
是 O面积的
⊙
【解答】解：作OD⊥AB于点D，连接AO，BO，CO，
∵OD＝ AO
∴∠OAD＝30°，
∴∠AOB＝2∠AOD＝120°，
第11页（共21页）同理∠BOC＝120°，
∴∠AOC＝120°，
∴阴影部分的面积＝S扇形BOC ＝ × O面积．
⊙
故选：B．
【点评】本题主要考查了折叠问题，解题的关键是确定∠AOC＝120°．
二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分）
13．【分析】本题应对方程左边进行变形，提取公因式x，可得x（x﹣2）＝0，将原式化为两式相
乘的形式，再根据“两式相乘值为0，这两式中至少有一式值为0．”，即可求得方程的解．
【解答】解：原方程变形为：x（x﹣2）＝0，
x ＝0，x ＝2．
1 2
故答案为：x ＝0，x ＝2．
1 2
【点评】本题考查了一元二次方程的解法．解一元二次方程常用的方法有直接开平方法，
配方法，公式法，因式分解法，要根据方程的特点灵活选用合适的方法．本题运用的是因
式分解法．
14．【分析】先利用完全平方公式计算，再把二次根式化为最简二次根式，合并同类项进行计
算．
【解答】解：原式＝2+2 +3﹣2
＝5．
故答案为：5．
【点评】本题考查的是二次根式的混合运算，在进行此类运算时，掌握运算顺序，先运用完
全平方公式，再将二次根式化为最简二次根式的形式后再运算是解答此题的关键．
15．【分析】求出∠ABC，求出∠DBC，根据含30度角的直角三角形性质求出BC，CD，问题即
可求出．
【解答】解：∵∠C＝90°，∠A＝30°，
∴∠ABC＝180°﹣30°﹣90°＝60°，
∵BD是∠ABC的平分线，
第12页（共21页）∴∠DBC＝ ∠ABC＝30°，
∴BC＝ AB＝3，
∴CD＝BC•tan30°＝3× ＝ ，
∵BD是∠ABC的平分线，
又∵角平线上点到角两边距离相等，
∴点D到AB的距离＝CD＝ ，
故答案为： ．
【点评】本题考查了角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质，熟记性质是解题的关
键．
16．【分析】根据抛物线对称轴方程对 进行判断；根据自变量为1时对应的函数值为负数可
对 进行判断；根据抛物线的对称①性，由抛物线与x轴的一个交点为（﹣2，0）得到抛物线
与②x轴的另一个交点为（4，0），则可对 进行判断；由抛物线开口方向得到a＞0，由对称
轴位置可得b＜0，由抛物线与y轴的交③点位置可得c＜0，于是可对 进行判断．
【解答】解：∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣ ＝1， ④
∴2a+b＝0，所以 正确；
∵x＝﹣1时，y＜①0，
∴a﹣b+c＜0，
即a+c＜b，所以 错误；
∵抛物线与x轴的②一个交点为（﹣2，0）
而抛物线的对称轴为直线x＝1，
∴抛物线与x轴的另一个交点为（4，0），所以 错误；
∵抛物线开口向上， ③
∴a＞0，
∴b＝﹣2a＜0，
∵抛物线与y轴的交点在x轴下方，
∴c＜0，
∴abc＞0，所以 正确．
故答案为 ．④
①④
第13页（共21页）【点评】本题考查了二次项函数与系数的关系：对于二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0），二次项
系数a决定抛物线的开口方向和大小：当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向
下开口；一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当a与b同号时（即ab＞
0），对称轴在y轴左； 当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右．（简称：左同右异）；
常数项c决定抛物线与y轴交点：抛物线与y轴交于（0，c）；抛物线与x轴交点个数由△决
定：△＝b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；△＝b2﹣4ac＝0时，抛物线与x轴有1
个交点；△＝b2﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．
17．【分析】利用图形得到，△ABC的三个顶点和它内部的点P ，把△ABC分成互不重叠的小
1
三角形的个数＝3+2×0；△ABC的三个顶点和它内部的点P 、P ，把△ABC分成互不重叠
1 2
的小三角形的个数＝3+2×1；△ABC的三个顶点和它内部的点 P 、P 、P ，把△ABC分成
1 2 3
互不重叠的小三角形的个数＝3+2×2，即分成的互不重叠的小三角形的个数为3加上P点
的个数与1的差的2倍，从而得到△ABC的三个顶点和它内部的点 P 、P 、P 、…、P ，把
1 2 3 n
△ABC分成的互不重叠的小三角形的个数．
【解答】解：如图，△ABC的三个顶点和它内部的点P ，把△ABC分成的互不重叠的小三角
1
形的个数＝3+2×0，
△ABC的三个顶点和它内部的点P 、P ，把△ABC分成的互不重叠的小三角形的个数＝
1 2
3+2×1，
△ABC的三个顶点和它内部的点 P 、P 、P ，把△ABC分成的互不重叠的小三角形的个数
1 2 3
＝3+2×2，
所以△ABC的三个顶点和它内部的点 P 、P 、P 、…、P ，把△ABC分成的互不重叠的小
1 2 3 n
三角形的个数＝3+2（n﹣1）．
故答案为：2n+1．
【点评】本题考查了规律型：图形的变化类：对于找规律的题目首先应找出哪些部分发生
了变化，是按照什么规律变化的，然后通过分析找到各部分的变化规律后直接利用规律求
解．
三、解答题（本题共8个小题，共69分）
18．【分析】方程组利用加减消元法求出解即可．
【解答】解： ，
+ 得：3x＝9，即x＝3，
①把x＝②3代入 得：y＝﹣2，
第14页（共21页）
①则方程组的解为 ．
【点评】此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与
加减消元法．
19．【分析】（1）直接利用平移的性质得出平移后对应点位置进而得出答案；
（2）利用轴对称图形的性质得出对应点位置进而得出答案．
【解答】解：（1）如图所示：△A B C ，即为所求；点B 坐标为：（﹣2，﹣1）；
1 1 1 1
（2）如图所示：△A B C ，即为所求，点C 的坐标为：（1，1）．
2 2 2 2
【点评】此题主要考查了轴对称变换以及平移变换，根据图形的性质得出对应点位置是解
题关键．
20．【分析】（1）由反比例函数y＝ 的性质：当k＜0时，在其图象的每个分支上，y随x的增
大而增大，进而可得：m﹣5＜0，从而求出m的取值范围；
（2）先将交点的纵坐标y＝3代入一次函数y＝﹣x+1中求出交点的横坐标，然后将交点的
坐标代入反比例函数y＝ 中，即可求出m的值．
【解答】解：（1）∵在反比例函数y＝ 图象的每个分支上，y随x的增大而增大，
∴m﹣5＜0，
解得：m＜5；
（2）将y＝3代入y＝﹣x+1中，得：x＝﹣2，
∴反比例函数y＝ 图象与一次函数y＝﹣x+1图象的交点坐标为：（﹣2，3）．
第15页（共21页）将（﹣2，3）代入y＝ 得：
3＝
解得：m＝﹣1．
【点评】本题主要考查函数图象的交点及待定系数法求函数解析式，掌握图象的交点的坐
标满足两个函数解析式是解题的关键．
21．【分析】根据已知条件易推知四边形BECD是平行四边形．结合等腰△ABC“三线合一”
的性质证得BD⊥AC，即∠BDC＝90°，所以由“有一内角为直角的平行四边形是矩形”
得到 ▱BECD是矩形．
【解答】证明：∵AB＝BC，BD平分∠ABC，
∴BD⊥AC，AD＝CD．
∵四边形ABED是平行四边形，
∴BE∥AD，BE＝AD，
∴BE＝CD，
∴四边形BECD是平行四边形．
∵BD⊥AC，
∴∠BDC＝90°，
∴ ▱BECD是矩形．
【点评】本题考查了矩形的判定．矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形．
22．【分析】（1）由小亮打第一场，再从其余三人中随机选取一人打第一场，求出恰好选中大
刚的概率即可；
（2）画树状图得出所有等可能的情况数，找出小莹和小芳伸“手心”或“手背”恰好相同
的情况数，即可求出所求的概率．
【解答】解：（1）∵确定小亮打第一场，
∴再从小莹，小芳和大刚中随机选取一人打第一场，恰好选中大刚的概率为 ；
（2）列表如下：
第16页（共21页）所有等可能的情况有8种，其中小莹和小芳伸“手心”或“手背”恰好相同且与大刚不
同的结果有2个，
则小莹与小芳打第一场的概率为 ＝ ．
【点评】此题考查了列表法与树状图法，用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数
之比．
23．【分析】可设第二批鲜花每盒的进价是x元，根据等量关系：第二批所购鲜花的盒数是第
一批所购鲜花的 ，列出方程求解即可．
【解答】解：设第二批鲜花每盒的进价是x元，依题意有
＝ × ，
解得x＝150，
经检验：x＝150是原方程的解．
故第二批鲜花每盒的进价是150元．
【点评】考查了分式方程的应用，列方程解应用题的关键是正确确定题目中的相等关系，
根据相等关系确定所设的未知数，列方程．
24．【分析】（1）本题可连接OD，由PD切 O于点D，得到OD⊥PD，由于BE⊥PC，得到
OD∥BE，得出∠ADO＝∠E，根据等腰三⊙角形的性质和等量代换可得结果；
（2）由（1）知，OD∥BE，得到∠POD＝∠B，根据三角函数的定义即可得到结果．
【解答】（1）证明：连接OD，
∵PD切 O于点D，
∴OD⊥P⊙D，
∵BE⊥PC，
∴OD∥BE，
∴∠ADO＝∠E，
第17页（共21页）∵OA＝OD，
∴∠OAD＝∠ADO，
∴∠OAD＝∠E，
∴AB＝BE；
（2）解：由（1）知，OD∥BE，
∴∠POD＝∠B，
∴cos∠POD＝cosB＝ ，
在Rt△POD中，cos∠POD＝ ＝ ，
∵OD＝OA，PO＝PA+OA＝2+OA，
∴ ，
∴OA＝3，
∴ O半径＝3．
⊙
【点评】本题考查了切线的性质，等腰三角形性质以及等边三角形的判定等知识点，正确
的画出辅助线是解题的关键．
25．【分析】（1）由勾股定理求出OB，作NP⊥OA于P，则NP∥AB，得出△OPN∽△OAB，得
出比例式 ，求出OP、PN，即可得出点N的坐标；
（2）由三角形的面积公式得出S是x的二次函数，即可得出S的最大值；
（3）分两种情况： 若∠OMN＝90°，则MN∥AB，由平行线得出△OMN∽△OAB，得出比
例式，即可求出x①的值；
若∠ONM＝90°，则∠ONM＝∠OAB，证出△OMN∽△OBA，得出比例式，求出x的值
②即可．
第18页（共21页）【解答】解：（1）根据题意得：MA＝x，ON＝1.25x，
在Rt△OAB中，由勾股定理得：OB＝ ＝ ＝5，
作NP⊥OA于P，如图1所示：
则NP∥AB，
∴△OPN∽△OAB，
∴ ，
即 ，
解得：OP＝x，PN＝ ，
∴点N的坐标是（x， ）；
（2）在△OMN中，OM＝4﹣x，OM边上的高PN＝ ，
∴S＝ OM•PN＝ （4﹣x）• ＝﹣ x2+ x，
∴S与x之间的函数表达式为S＝﹣ x2+ x（0＜x＜4），
配方得：S＝﹣ （x﹣2）2+ ，
∵﹣ ＜0，
∴S有最大值，
当x＝2时，S有最大值，最大值是 ；
（3）存在某一时刻，使△OMN是直角三角形，理由如下：
分两种情况： 若∠OMN＝90°，如图2所示：
则MN∥AB，①
此时OM＝4﹣x，ON＝1.25x，
∵MN∥AB，
∴△OMN∽△OAB，
∴ ，
第19页（共21页）即 ，
解得：x＝2；
若∠ONM＝90°，如图3所示：
②则∠ONM＝∠OAB，
此时OM＝4﹣x，ON＝1.25x，
∵∠ONM＝∠OAB，∠MON＝∠BOA，
∴△OMN∽△OBA，
∴ ，
即 ，
解得：x＝ ；
综上所述：x的值是2秒或 秒．
第20页（共21页）【点评】本题是相似形综合题目，考查了相似三角形的判定与性质、勾股定理、坐标与图形
特征、直角三角形的性质、三角形面积的计算、求二次函数的解析式以及最值等知识；本
题难度较大，综合性强，特别是（3）中，需要进行分类讨论，通过证明三角形相似才能得出
结果．
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