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2019年山东省济南市中考数学试卷
一、选择题（每小题4分，共48分）
1．﹣7的相反数是（ ）
A．﹣7 B．﹣ C．7 D．1
2．以下给出的几何体中，主视图是矩形，俯视图是圆的是（ ）
A． B．
C． D．
3．2019年1月3日，“嫦娥四号”探测器成功着陆在月球背面东经 177.6度、南纬45.5
度附近，实现了人类首次在月球背面软着陆．数字177.6用科学记数法表示为（ ）
A．0.1776×103 B．1.776×102 C．1.776×103 D．17.76×102
4．如图，DE∥BC，BE平分∠ABC，若∠1＝70°，则∠CBE的度数为（ ）
A．20° B．35° C．55° D．70°
5．实数a、b在数轴上的对应点的位置如图所示，下列关系式不成立的是（ ）
A．a﹣5＞b﹣5 B．6a＞6b C．﹣a＞﹣b D．a﹣b＞0
6．下面的图形是用数学家名字命名的，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是
（ ）A． 赵爽弦图 B． 笛卡尔心形线
C． 科克曲线 D． 斐波那契螺旋线
7．化简 + 的结果是（ ）
A．x﹣2 B． C． D．
8．在学校的体育训练中，小 杰投掷实心球的7次成绩如统计图所示，则这7次成绩的中
位数和平均数分别是（ ）
A．9.7m，9.9m B．9.7m，9.8m C．9.8m，9.7m D．9.8m，9.9m
9．函数y＝﹣ax+a与y＝ （a≠0）在同一坐标系中的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
10．如图，在菱形ABCD中，点E是BC的中点，以C为圆心、CE为半径作弧，交CD于点
F，连接AE、AF．若AB＝6，∠B＝60°，则阴影部分的面积为（ ）A．9 ﹣3π B．9 ﹣2π C．18 ﹣9π D．18 ﹣6π
11．某数学社团开展实践性研究，在大明湖南门A测得历下亭C在北偏东37°方向，继续
向北走105m后到达游船码头B，测得历下亭C在游船码头B的北编东53°方向．请计算
一下南门A与历下亭C之间的距离约为（ ）（参考数据：tan37°≈ ，tan53°≈
）
A．225m B．275m C．300m D．315m
12．关于x的一元二次方程ax2+bx+ ＝0有一个根是﹣1，若二次函数y＝ax2+bx+ 的图象
的顶点在第一象限，设t＝ 2a+b，则t的取值范围是（ ）
A． ＜t＜ B．﹣1＜t≤ C．﹣ ≤t＜ D．﹣1＜t＜
二、填空题（每小题4分，共24分．）
13．分解因式：m2﹣4m+4＝ ．
14．如图，一个可以自由转动的转盘，被分成了6个相同的扇形，转动转盘，转盘停止时，
指针落在红色区域的概率等于 ．15．一个n边形的内角和等于720°，则n＝ ．
16．代数式 与代数式3﹣2x的和为4，则x＝ ．
17．某市为提倡居民节约用水，自今年1月1日起调整居民用水价格．图中l、l分别表
1 2
示去年、今年水费y（元）与用水量x（m3）之间的关系．小雨家去年用水量为150m3，
若今年用水量与去年相同，水费将比去年多 元．
18．如图，在矩形纸片ABCD中，将AB沿BM翻折，使点A落在BC上的点N处，BM为折痕，
连接MN；再将CD沿CE翻折，使点D恰好落在MN上的点F处，CE为折痕，连接EF并延
长交BM于点P，若AD＝8，AB＝5， 则线段PE的长等于 ．
三、解答题
19．（6分）计算：（ ）﹣1+（π+1）0﹣2cos60°+
20．（6分）解不等式组 ，并写出它的所有整数解．21．（6分）如图，在▱ABCD中，E、F分别是AD和BC上的点，∠DAF＝∠BCE．求证：BF
＝DE．
22．（8分）为提高学生的阅读兴趣，某学校建立了共享书架，并购买了一批书籍．其中
购买A种图书花费了3000元，购买B种图书花费了1600元，A种图书的单价是B种图书
的1.5倍，购买A种图书的数量比B种图书多20本．
（1）求A和B两种图书的单价；
（2）书店在“世界读书日”进行打折促销活动，所有图书都按 8折销售学校当天购买
了A种图书20本和B种图书25本，共花费多少元？
23．（8分）如图，AB、CD是⊙O的两条直径，过点C的⊙O的切线交AB的延长线于点E，
连接AC、BD．
（1）求证；∠ABD＝∠CAB；
（2）若B是OE的中点，AC＝12，求⊙O的半径．
24．（10分）某学校八年级共400名学生，为了解该年级学生的视力情况，从中随机抽取
40名学生的视力数据作为样本，数据统计如下：
4.2 4.1 4.7 4.1 4.3 4.3 4.4 4.6 4.1 5.2
5.2 4.5 5.0 4.5 4.3 4.4 4.8 5.3 4.5 5.2
4.4 4.2 4.3 5.3 4.9 5.2 4.9 4.8 4.6 5.1
4.2 4.4 4.5 4.1 4.5 5.1 4.4 5.0 5.2 5.3
根据数据绘制了如下的 表格和统计图：
等级 视力（x） 频数 频率
A x＜4.2 4 0.1
B 4.2≤x≤4.4 12 0.3C 4.5≤x≤4.7 a
D 4.8≤x≤5.0 b
E 5.1≤x≤5.3 10 0.25
合计 40 1
根据上面提供的信息，回答下列问题：
（1）统计表中的a＝ ，b＝ ；
（2）请补全条形统计图；
（3）根据抽样调查结果，请估计该校八年级学生视力为“E级”的有多少人？
（4）该年级学生会宣传部有2名男生和2名女生，现从中随机挑选2名同学参加“防控
近视，爱眼护眼”宣传活动，请用树状图法或列表法求出恰好选中“1男1女”的概率．
25．（10分）如图1，点A（0，8）、点B（2，a）在直线y＝﹣2x+b上，反比例函数y＝
（x＞0）的图象经过点B．
（1）求a和k的值；
（2）将线段AB向右平移m个单位长度（m＞0），得到对应线段CD，连接AC、BD．①如图2，当m＝3时，过D作DF⊥x轴于点F，交反比例函数图象于点E，求 的值；
②在线段AB运动过程中，连接BC，若△BCD是以BC为腰的等腰三形，求所有满足条件
的m的值．
26．（12分）小圆同学对图形旋转前后的线段之间、角之间的关系进行了拓展探究．
（一）猜测探究
在△ABC中， AB＝AC，M是平面内任意一点，将线段AM绕点A按顺时针方向旋转与
∠BAC相等的角度，得到线段AN，连接NB．
（1）如图1，若M是线段BC上的任意一点，请直接写出∠NAB与∠MAC的数量关系是
，NB与MC的数量关系是 ；
（2）如图2，点E是AB延长线上点，若M是∠CBE内部射线BD上任意一点，连接MC，
（1）中结论是否仍然成立？若成立，请给予证明，若不成立，请说明理由．
（二）拓展应用
如图3，在△ABC中，AB＝8，∠ABC＝60°，∠BAC＝75°，P是BC上的任意点，
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
连接AP，将AP绕点A按顺时针方向旋转75°，得到线段AQ，连接BQ．求线段BQ
1 1 1 1 1 1
长度的最小值．
27．（12分）如图1，抛物线C：y＝ax2+bx经过点A（﹣4，0）、B（﹣1，3）两点，G是
其顶点，将抛物线C绕点O旋转180°，得到新的抛物线C′．
（1）求抛物线C的函数解析式及顶点G的坐标；
（2）如图2，直线l：y＝kx﹣ 经过点A，D是抛物线C上的一点，设D点的横坐标为
m（m＜﹣2），连接DO并延长，交抛物线C′于点E，交直线l于点M，若DE＝2EM，求
m的值；
（3）如图3，在（2）的条件下，连接AG、AB，在直线DE下方的抛物线C上是否存在点P，使得∠DEP＝∠GAB？若存在，求出点P的横坐标；若不存在，请说明理由．参考答案
一、选择题
1．解：﹣7的相反数为7，
故选：C．
2．解：A、主视图是圆，俯视图是圆，故A不符合题意；
B、主视图是矩形，俯视图是矩形，故B不符合题意；
C、主视图是三角形，俯视图是圆，故C不符合题意；
D、主视图是个矩形，俯视图是圆，故D符合题意；
故选：D．
3．解：177.6＝1.776×102．
故选：B．
4．解：∵DE∥BC，
∴∠1＝∠ABC＝70°，
∵BE平分∠ABC，
∴∠CBE＝ ∠ABC＝35°，
故选：B．
5．解：由图可知，b＜0＜a，且|b|＜|a|，
∴a﹣5＞b﹣5，6a＞6b，﹣a＜﹣b，a﹣b＞0，
∴关系式不成立的是选项C．
故选：C．
6．解：A、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项错误；
B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；
C、是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项正确；
D、不是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；
故选：C．
7．解：原式＝ + ＝ ＝ ，
故选：B．
8．解：把这7个数据从小到大排列处于第4位的数是9.7m，因此中位数是9.7m，
平均数为：（9.5+9.6+9.7+9.7+9.8+10.1+10.2）÷7＝9.8m，故选：B．
9．解：a＞0时，﹣a＜0，y＝﹣ax+a在一、二、四象限，y＝ 在一、三象限，无选项符
合．
a＜0时，﹣a＞0，y＝﹣ax+a在一、三、四象限，y＝ （a≠0）在二、四象限，只有D
符合；
故选：D．
10．解：连接AC，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝BC＝6，
∵∠B＝60°，E为BC的中点，
∴CE＝BE＝3＝CF，△ABC是等边三角形，AB∥CD，
∵∠B＝60°，
∴∠BCD＝180°﹣∠B＝120°，
由勾股定理得：AE＝ ＝3 ，
∴S ＝S ＝ ×6×3 × ＝4.5 ＝S ，
△AEB △AEC △AFC
∴阴影部分的面积S＝S +S ﹣S ＝4.5 +4.5 ﹣ ＝9 ﹣
△AEC △AFC 扇形CEF
3π，
故选：A．
11．解：如图，作CE⊥BA于E．设EC＝xm，BE＝ym．在Rt△ECB中，tan53°＝ ，即 ＝ ，
在Rt△AEC中，tan37°＝ ，即 ＝ ，
解得x＝180，y＝135，
∴AC＝ ＝ ＝300（m），
故选：C．
12．解：∵关于x的一元二次方程ax2+bx+ ＝0有一个根是﹣1，
∴二次函数y＝ax2+bx+ 的图象过点（﹣1，0），
∴a﹣b+ ＝0，
∴b＝a+ ，t＝2a+b，
则a＝ ，b＝ ，
∵二次函数y＝ax2+bx+ 的图象的顶点在第一象限，
∴﹣ ＞0， ﹣ ＞0，
将a＝ ，b＝ 代入上式得：
＞0，解得：﹣1＜t＜ ，﹣ ＞0，解得：t 或1＜t＜3，
故：﹣1＜t＜ ，
故选：D．
二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．）
13．解：原式＝（m﹣2）2，
故答案为：（m﹣2）2
14．解：由于一个圆平均分成6个相等的扇形，而转动的转盘又是自由停止的，
所以指针指向每个扇形的可能性相等，
即有8种等可能的结果，在这6种等可能结果中，指针指向红色部分区域的有2种可能
结果，
所以指针落在红色区域的概率是 ＝ ；
故答案为 ．
15．解：依题意有：
（n﹣2）•180°＝720°，
解得n＝6．
故答案为：6．
16．解：根据题意得： +3﹣2x＝4，
去分母得：2x﹣1+9﹣6x＝12，
移项合并得：﹣4x＝4，
解得：x＝﹣1，
故答案为：﹣1
17．解：设当x＞120时，l对应的函数解析式为y＝kx+b，
2
，得 ，
即当x＞120时，l对应的函数解析式为y＝6x﹣240，
2
当x＝150时，y＝6×150﹣240＝660，
由图象可知，去年的水价是480÷160＝3（元/m3），故小雨家去年用水量为150m3，需要缴费：150×3＝450（元），
660﹣450＝210（元），
即小雨家去年用水量为150m3，若今年用水量与去年相同，水费将比去年多210元，
故答案为：210．
18．解：过点P作PG⊥FN，PH⊥BN，垂足为G、H，
由折叠得：ABNM是正方形，AB＝BN＝NM＝MA＝5，
CD＝CF＝5，∠D＝∠CFE＝90°，ED＝EF，
∴NC＝MD＝8﹣5＝3，
在Rt△FNC中，FN＝ ＝4，
∴MF＝5﹣4＝1，
在Rt△MEF中，设EF＝x，则ME＝3﹣x，由勾股定理得，
12+（3﹣x）2＝x2，
解得：x＝ ，
∵∠CFN+∠PFG＝90°，∠PFG+∠FPG＝90°，
∴△FNC∽△PGF，
∴FG：PG：PF＝NC：FN：FC＝3：4：5，
设FG＝3m，则PG＝4m，PF＝5m，
∴GN＝PH＝BH＝4﹣3m，HN＝5﹣（4﹣3m）＝1+3m＝PG＝4m，
解得：m＝1，
∴PF＝5m＝5，
∴PE＝PF+FE＝5+ ＝ ，
故答案为： ．
三、解答题：（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
19．解：（ ）﹣1+（π+1）0﹣2cos60°+
＝2+1﹣2× +3
＝3﹣1+3
＝5
20．解：
解①得：x≤4；
解②得：x＞ 2；
∴原不等式组的解集为2＜x≤10；
∴原不等式组的所有整数解为3、4、5、6、7、8、9、10．
21．证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠B＝∠D，∠BAD＝∠BCD，AB＝CD，
∵∠DAF＝∠BCE，
∴∠ABF＝∠DCE，
在△ABF和△CDE中， ，
∴△ABF≌△CDE（ASA），
∴BF＝DE．
22．解：（1）设B种图书的单价为x元，则A种图书的单价为1.5x元，
依题意，得： ﹣ ＝20，
解得：x＝20，
经检验，x＝20是所列分式方程的解，且符合题意，
∴1.5x＝30．
答：A种图书的单价为30元，B种图书的单价为20元．
（2）30×0.8×20+20×0.8×25＝880（元）．
答：共花费880元．
23．解：（1）证明：∵AB、CD是⊙O的两条直径，
∴OA＝OC＝OB＝OD，∴∠OAC＝∠OCA，∠ODB＝∠OBD，
∵∠AOC＝∠BOD，
∴∠OAC＝∠OCA＝∠ODB＝∠OBD，
即∠ABD＝∠CAB；
（2）连接BC．
∵AB是⊙O的两条直径，
∴∠ACB＝90°，
∵CE为⊙O的切线，
∴∠OCE＝90°，
∵B是OE的中点，
∴BC＝OB，
∵OB＝OC，
∴△OBC为等边三角形，
∴∠ABC＝60°，
∴∠A＝30°，
∴BC＝ AC＝4 ，
∴OB＝4 ，
即⊙O的半径为4 ．
24．解：（1）由题意知C等级的频数a＝8，
则C组对应的频率为8÷40＝0.2，
∴b＝1﹣（0.1+0.3+0.2+0.25）＝0.15，
故答案为：8、0.15；
（2）
D组对应的频数为40×0.15＝6，
补全图形如下：（3）估计该校八年级学生视力为“E级”的有400×0.25＝100（人）；
（4）列表如下：
男 男 女 女
男 （男，男） （女，男） （女，男）
男 （男，男） （女，男） （女，男）
女 （男，女） （男，女） （女，女）
女 （男，女） （男，女） （女，女）
得到所有等可能的情况有12种，其中恰好抽中一男一女的情况有8种，
所以恰好选到1名男生和1名女生的概率 ＝ ．
25．解：（1）∵点A（0，8）在直线y＝﹣2x+b上，
∴﹣2×0+b＝8，
∴b＝8，
∴直线AB的解析式为y＝﹣2x+8，
将点B（2，a）代入直线AB的解析式y＝﹣2x+8中，得﹣2×2+8＝a，
∴a＝4，
∴B（2，4），
将B（2，4）在反比例函数解析式y＝ （x＞0）中，得k＝xy＝2×4＝8；
（2）①由（1）知，B（2，4），k＝8，∴反比例函数解析式为y＝ ，
当m＝3时，
∴将线段AB向右平移3个单位长度，得到对应线段CD，
∴D（2+3，4），即：D（5，4），
∵DF⊥x轴于点F，交反比例函数y＝ 的图象于点E，
∴E（5， ），
∴DE＝4﹣ ＝ ，EF＝ ，
∴ ＝ ＝ ；
②如图，∵将线段AB向右平移m个单位长度（m＞0），得到对应线段CD，
∴CD＝AB，AC＝BD＝m，
∵A（0，8），B（2，4），
∴C（m，8），D（（m+2，4），
∵△BCD是以BC为腰的等腰三形，
∴Ⅰ、当BC＝CD时，
∴BC＝AB，
∴点B在线段AC的垂直平分线上，
∴m＝2×2＝4，
Ⅱ、当BC＝BD时，
∵B（2，4），C（m，8），
∴BC＝ ，
∴ ＝m，
∴m＝5，
即：△BCD是以BC为腰的等腰三形，满足条件的m的值为4或5．26．解：（一）（1）结论：∠NAB＝∠MAC，BN＝MC．
理由：如图1中，
∵∠MAN＝∠CAB，
∴∠NAB+∠BAM＝∠BAM+∠MAC，
∴∠NAB＝∠MAC，
∵AB＝AC，AN＝AM，
∴△NAB≌△MAC（SAS），
∴BN＝CM．
故答案为∠NAB＝∠MAC，BN＝CM．
（2）如图2中，①中结论仍然成立．理由：∵∠MAN＝∠CAB，
∴∠NAB+∠BAM＝∠BAM+∠MAC，
∴∠NAB＝∠MAC，
∵AB＝AC，AN＝AM，
∴△NAB≌△MAC（SAS），
∴BN＝CM．
（二）如图3中，在AC上截取AN＝AQ，连接PN，作NH⊥BC于H，作AM⊥BC于
1 1 1 1 1 1 1 1 1
M．
∵∠CAB＝∠PAQ，
1 1 1 1
∴∠QAB＝∠PAN，
1 1 1
∵AA＝AP，AB＝AN，
1 1 1 1
∴△QAB≌△PAN（SAS），
1 1 1
∴BQ＝PN，
1
∴当PN的值最小时，QB的值最小，
1
在Rt△ABM中，∵∠ABM＝60°，AB＝8，
1 1 1 1 1 1
∴AM＝AB•sin60°＝4 ，
1 1 1
∵∠MAC＝∠BAC﹣∠BAM＝75°﹣30°＝45°，
1 1 1 1 1 1 1
∴AC＝4 ，
1 1
∴NC＝AC﹣AN＝4 ﹣8，
1 1 1 1
在Rt△NHC，∵∠C＝45°，
1 1
∴NH＝4 ﹣4 ，
根据垂线段最短可知，当点P与H重合时，PN的值最小，
∴QB的 最小值为4 ﹣4 ．
1
27．解：（1）将A（﹣4，0）、B（﹣1，3）代入y＝ax2+bx中，得解得
∴抛物线C解析式为：y＝﹣x2﹣4x，
配方，得：y＝﹣x2﹣4x＝﹣（x+2）2+4，∴顶点为：G（﹣2，4）；
（2）∵抛物线C绕点O旋转180°，得到新的抛物线C′．
∴新抛物线C′的顶点为：G′（2，﹣4），二次项系数为：a′＝1
∴新抛物线C′的解析式为：y＝（x﹣2）2﹣4＝x2﹣4x
将A（﹣4，0）代入y＝kx﹣ 中，得0＝﹣4k﹣ ，解得k＝ ，
∴直线l解析式为y＝ x﹣ ，
∵D（m，﹣m2﹣4m），
∴直线DO的解析式为y＝﹣（m+4）x，
由抛物线C与抛物线C′关于原点对称，可得点D、E关于原点对称，
∴E（﹣m，m2+4m）
如图2，过点D作DH∥y轴交直线l于H，过E作EK∥y轴交直线l于K，
则H（m， m﹣ ），K（﹣m， m﹣ ），
∴DH＝﹣m2﹣4m﹣（ m﹣ ）＝﹣m2 m+ ，EK＝m2+4m﹣（ m﹣ ）＝m2+
m+ ，
∵DE＝2EM
∴ ＝ ，
∵DH∥y轴，EK∥y轴
∴DH∥EK
∴△MEK∽△MDH
∴ ＝ ＝ ，即DH＝3EK
∴﹣m2 m+ ＝3（m2+ m+ ）
解得：m＝﹣3，m＝ ，
1 2∵m＜﹣2
∴m的值为：﹣3；
（3）由（2）知：m＝﹣3，
∴D（﹣3，3），E（3，﹣3），OE＝3 ，
如图3，连接BG，在△ABG中，∵AB2＝（﹣1+4）2+（3﹣0）2＝18，BG2＝2，AG2＝20
∴AB2+BG2 ＝AG2
∴△ABG是Rt△，∠ABG＝90°，
∴tan∠GAB＝ ＝ ＝ ，
∵∠DEP＝∠GAB
∴tan∠DEP＝tan∠GAB＝ ，
在x轴下方过点O作OH⊥OE，在OH上截取OH＝ OE＝ ，
过点E作ET⊥y轴于T，连接EH交抛物线C于点P，点P即为所求的点；
∵E（3，﹣3），
∴∠EOT＝45°
∵∠EOH＝90°
∴∠HOT＝45°
∴H（﹣1，﹣1），设直线EH解析式为y＝px+q，
则 ，解得
∴直线EH解析式为y＝﹣ x ，
解方程组 ，得 ， ，
∴点P的横坐标为： 或 ．
