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第六讲 溶液问题与十字交叉法
✎溶液问题：
溶质
浓度=
溶液
溶液=溶质+溶剂
纯浓度问题用溶质不变解题
例题1（2022江苏C）
某种杀虫剂每桶5公斤，浓度为40%，使用时需将浓度稀释到5%，每亩地喷洒60公斤。若某农户家
中有4亩地，则至少需要该杀虫剂多少桶？
A．3桶 B．4桶
C．5桶 D．6桶
【答案】D
【解析】每亩地需要60公斤，一共4亩地，则总共需要240公斤，240公斤中，杀虫剂的量为240×5%=12
公斤，每桶杀虫剂的量为5×40%=2公斤，故一共需要12÷2=6桶，对应到D选项。
例题2（2022深圳）
实验室有甲、乙、丙3瓶盐酸溶液，浓度分别为10%、40%、60%，实验员将3瓶溶液全部倒入一瓶中，
得到浓度为52%的盐酸溶液。已知乙溶液重量为甲溶液的1.5倍，则丙溶液重量为甲溶液的多少倍？
A．4.5 B．5.5
C．6.5 D．7.5
【答案】D
【解析】设丙为X，甲为1，则乙为1.5。根据溶质不变列式：1×10%+1.5×40%+X×60%=52%（1+1.5+X），
解得X=7.5，对应到D选项。
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例题3（2022湖北选调）
将一满容器浓度为 24%的溶液放置太阳下暴晒一段时间，经过一段时间蒸发水分后溶液浓度变为 36%
且无沉淀。然后再用浓度为12%的溶液将容器加满。请问容器内溶液浓度变为多少？
A．24% B．28%
C．30% D．32%
【答案】B
【解析】求出两次浓度的最小公倍数作为溶质，24与36的最小公倍数为72，则蒸发前的浓度列式为
第 2 页
7 2
3 0 0
，
蒸发后浓度列式为
7 2
2 0 0
，可知蒸发了100，故加入溶液后的浓度为
2
7
0
2
0
+
+
1
1
2
0 0
=28%，对应到B选项。
例题4（2019联考）
酒师调配鸡尾酒，先在调酒杯中倒入120毫升柠檬汁，再用伏特加补满，摇匀后倒出80毫升混合液
备用，再往杯中加满番茄汁并摇匀，一杯鸡尾酒就调好了。若此时鸡尾酒中伏特加的比例是24%，问调酒
杯的容量是多少毫升？
A．160 B．180
C．200 D．220
【答案】C
【解析】设调酒杯容量为X，根据溶质不变列式 2 4 % X （= X − 1 2 0 ） （
X −
X
8 0
） ，此时代入选项，仅C
选项符合。
例题5（2020浙江大学生）
实验室内有浓度分别为10%和25%的盐酸各500毫升，从两种溶液中分别倒出一部分配成浓度为15%
的盐酸600毫升。如果将剩余的盐酸混合，则该溶液的浓度为：
A．16.5% B．18.6%
C．20% D．21.25%
【答案】D
【解析】原溶液总溶质为 10%×500+25%×500=175，倒出的溶液溶质为 15%×600=90，故剩下的溶质为
175-90=85；剩下溶液质量为400，故剩下溶液浓度为
8 5
4 0 0
=21.25%，对应到D选项。
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✎十字交叉法：
例题6（2020浙江大学生）
实验室内有浓度分别为10%和25%的盐酸各500毫升，从两种溶液中分别倒出一部分配成浓度为15%
的盐酸600毫升。如果将剩余的盐酸混合，则该溶液的浓度为多少？
A．16.5% B．18.6%
C．20% D．21.25%
【答案】D
【解析】设剩余溶液浓度为X，因为原溶液两部分量相同，故总体浓度为（10%+25%）÷2=17.5%，将已知
数据代入十字交叉公式X 2.5%
2
17.5% = ，解得X=21.25%，对应到D选项。
3
15% X-17.5%
例题7（2022北京）
甲、乙两条生产线每小时分别可以生产15000件和9000件某种零件，产品合格率分别为99%和99.8%。
现接到36万件这种零件的生产任务，要求合格率不得低于99.5%，则两条生产线合作，至少需要多少小时
完成？
A．15 B．18
C．24 D．25
【答案】D 99% 0.3%
【解析】将题干的比率代入十字交叉公式 99.5% =
第 3 页
3
5
。
99.8% 0.5%
5
故乙生产线需要加工的产品为36× =22.5万件，需要的时间为22.5÷0.9=25小时，对应到D选项。
8
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例题8（2024联考）
高校管理学院某期培训班有不到100名学员参加，期中、期末两次考试平均分分别为68分和75分，
期中考试不及格学员平均分为53分，及格学员平均分为74分；期末考试不及格学员平均分为47分、及
格学员平均分为83分。问这期培训班有多少名学员参加？
A．42 B．54
C．63 D．77
【答案】C 53 6 47 8
【解析】将题干数据分别代入两个十字交叉公式 68 =
第 4 页
2
5
； 75 =
2
7
74 15 83 28
观察选项，仅C选项即是7又是9的倍数，当选。
例题9（2020山东）
由于改良了种植技术，农场2017年种植的A和B两种作物，产量分别增加了10%和25%。已知2017
年两种作物总产量增加了18%，问2017年A和B两种作物的产量比为多少？
A．7∶8 B．8∶7
C．176∶175 D．77∶100
【答案】D 10% 7%
7
【解析】将增长率代入十字交叉公式 18% =
8
25% 8%
此时求出的是前期量之比，2017年量之比为：7×（1+10%）:8×（1+25%）=77:100，对应到D选项。
例题10（2022甘肃）
某工厂要做如图①所示的竖式和横式的两种无盖纸盒若干个，需从仓库领取如图②中的长方形和正方
形纸板作侧面和底面，每次领取的纸板必须用完。工作人员领取记录如下表，仓库管理员在核查工作人员
四次领取纸板数的记录时发现有一次记录有误。问第几次记录有误？
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次数 正方形纸板（张） 长方形纸板（张）
第一次 562 933
第二次 420 860
第三次 502 1000
第四次 980 1015
A．一 B．二
C．三 D．四
【答案】D
【解析】竖式纸盒所需要的正方形和长方形之比为 1:4，横式纸盒所需要的正方形和长方形之比为 2:3，
则整体所用的正方形和长方形之比要在
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1
4
～
2
3
之间，观察表格，第四次明显不在范围内，D选项当选。
例题11（2016联考）
某高校艺术学院分音乐系和美术系两个系别，已知学院男生人数占总人数的 30%，且音乐系男女生人
数之比为1∶3，美术系男女生人数之比为2∶3，问音乐系和美术系的总人数之比为多少？
A．5∶2 B．5∶1
C．3∶1 D．2∶1
【答案】D 25% 10
【解析】将题干数据代入十字交叉公式 30 =
2
1
批注 [毛豆十三1]: 求人数，想盐水，求谁把谁放在分母上。
批注 [毛豆十三2]: 音乐系男生占总人数的比例
，对应到D选项。
40% 5 批注 [毛豆十三3]: 美术系男生占总人数的比例
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