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2020 年贵州省黔西南州中考数学试卷
一、选择题
1.2的倒数是（ ）
A. 2 B. C. D. -2
【答案】B
【解析】
【分析】倒数定义：乘积为1的两个数互为倒数，由此即可得出答案.
【详解】∵2× =1，
∴2的倒数是 ，
故选B .
【点睛】本题考查了倒数的定义，熟知乘积为1的两个数互为倒数是解题的关键.
2.某市为做好“稳就业、保民生”工作，将新建保障性住房360000套，缓解中低收入人群和新参加工作大
学生的住房需求．把360000用科学记数法表示应是（ ）
A. 0.36×106 B. 3.6×105 C. 3.6×106 D. 36×105
【答案】B
【解析】
【分析】
本题考查了科学记数法，科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，
要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥1时，n
是非负数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【详解】解： 360 000＝3.6×105，
故选B．
【点睛】此题考查科学记数法的表示方法，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
3.如图，由6个相同的小正方体组合成一个立体图形，它的俯视图为（ ）A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
找到从上面看所得到的图形即可．
【详解】解：从上面看可得四个并排的正方形，如图所示：
故选D．
【点睛】本题考查了三视图的知识，.从正面看到的图是正视图，从上面看到的图形是俯视图，从左面看到
的图形是左视图，能看到的线画实线，被遮挡的线画虚线.
4.下列运算正确的是（ ）
A. a3＋a2＝a5 B. a3÷a＝a3 C. a2•a3＝a5 D. (a2)4＝a6
【答案】C
【解析】
【分析】
根据合并同类项法则，把同类项的系数相加，所得结果作为系数，字母和字母的指数不变；同底数幂相除，
底数不变指数相减；同底数幂相乘，底数不变指数相加；幂的乘方，底数不变指数相乘；对各选项分析判
断后即可求解．
【详解】A、a3、a2不是同类项，不能合并，故A错误；
B、a3÷a＝a2，故B错误；
C、a2•a3＝a5，故C正确；
D、(a2)4＝a8，故D错误．
故选：C．
【点睛】本题考查了合并同类项、同底数幂的乘法、幂的乘方、同底数幂的除法，熟练掌握运算性质和法
则是解题的关键．5.某学校九年级1班九名同学参加定点投篮测试，每人投篮六次，投中的次数统计如下：4，3，5，5，2，
5，3，4，1，这组数据的中位数、众数分别为（ ）
A. 4，5 B. 5，4 C. 4，4 D. 5，5
【答案】A
【解析】
【分析】
根据众数及中位数的定义，结合所给数据即可作出判断．
【详解】解：本题考查了求一组数据的中位数，众数．将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排
列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数．如果这组数据的个数是偶数，
则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．出现次数最多的数据叫做这组数据的众数．将 4，3，
5，5，2，5，3，4，1按由小到大的顺序排列为：1，2，3，3，4，4，5，5，5，处在最中间的数是4，所
以中位数是4，其中5出现了3次，出现次数最多，所以众数是5，
故选：A．
【点睛】本题考查了众数、中位数的知识，解答本题的关键是掌握众数及中位数的定义．
6.如图，将一块三角板的直角顶点放在直尺的一边上，当∠2＝37°时，∠1的度数为（ ）
A. 37° B. 43° C. 53° D. 54°
【答案】C
【解析】
【分析】
先根据平行线 的性质得出 ，再根据 即可求解．
【详解】∵AB∥CD，
∴∠2＝∠3＝37°，
∵∠FEG＝90°，
∴
∴∠1＝90°－∠3＝90°－37°＝53°
故选：C．【点睛】本题主要考查平行线的性质和平角的定义，掌握平行线的性质是解题的关键．
7.如图，某停车场入口的栏杆AB，从水平位置绕点O旋转到A′B′的位置，已知AO的长为4米．若栏杆的
旋转角∠AOA′＝α，则栏杆A端升高的高度为（ ）
A. 米 B. 4sinα米 C. 米 D. 4cosα米
【答案】B
【解析】
【分析】
过点A′作A′C⊥AB于点C，根据锐角三角函数的定义即可求出答案．
【详解】解：如答图，过点A′作A′C⊥AB于点C．在Rt OCA′，sinα＝ ，所以A′C＝A′O·sinα．由题
△
意得A′O＝AO＝4，所以A′C＝4sinα，因此本题选B．
【点睛】本题考查解直角三角形，解题的关键是熟练运用锐角三角函数的定义，本题属于基础题型．
8.已知关于x的一元二次方程(m－1)x2＋2x＋1＝0有实数根，则m的取值范围是（ ）
A. m＜2 B. m≤2 C. m＜2且m≠1 D. m≤2且m≠1
【答案】D
【解析】
【分析】
根据二次项系数非零及根的判别式△≥0，即可得出关于m的一元一次不等式组，解之即可得出m的取值范
围．
【详解】解：因为关于x的一元二次方程x2－2x＋m＝0有实数根，所以b2－4ac＝22－4(m－1)×1≥0，解得m≤2．又因为(m－1)x2＋2x＋1＝0是一元二次方程，所以 m－1≠0．综合知，m的取值范围是m≤2且
m≠1，因此本题选D．
【点睛】本题考查了根的判别式以及一元二次方程的定义，根据二次项系数非零及根的判别式△≥0，找出
关于m的一元一次不等式组是解题的关键．
9.如图，在菱形ABOC中，AB＝2，∠A＝60°，菱形的一个顶点C在反比例函数y＝ （k≠0）的图象上，
则反比例函数的解析式为（ ）
A. y＝ B. y＝ C. y＝ D. y＝
【答案】B
【解析】
【分析】
根据菱形的性质和平面直角坐标系的特点可以求得点C的坐标，从而可以求得k的值，进而求得反比例函
数的解析式．
【详解】解：因为在菱形ABOC中，∠A＝60°，菱形边长为2，所以OC＝2，∠COB＝60°．
如答图，过点C作CD⊥OB于点D，
则OD＝OC·cos∠COB＝2×cos60°＝2× ＝1，CD＝OC·sin∠COB＝2×sin60°＝2× ＝ ．
因为点C在第二象限，所以点C的坐标为（－1， ）．
因为顶点C在反比例函数y═ 的图象上，所以 ＝ ，得k＝ ，
所以反比例函数的解析式为y＝ ，
因此本题选B．【点睛】本题考查待定系数法求反比例函数解析式、菱形的性质，解答本题的关键是明确题意，求出点C
的坐标．
10.如图，抛物线y＝ax2＋bx＋4交y轴于点A，交过点A且平行于x轴的直线于另一点B，交x轴于C，D
两点（点C在点D右边），对称轴为直线x＝ ，连接AC，AD，BC．若点B关于直线AC的对称点恰好
落在线段OC上，下列结论中错误的是（ ）
A. 点B坐标为(5，4) B. AB＝AD C. a＝ D. OC•OD＝16
【答案】D
【解析】
【分析】
由抛物线y=ax2+bx+4交y轴于点A，可得点A的坐标，然后由抛物线的对称性可得点B的坐标，由点B关
于直线 AC 的对称点恰好落在线段 OC 上，可知∠ACO=∠ACB，再结合平行线的性质可判断
∠BAC=∠ACB，从而可知AB=AD；过点B作BE⊥x轴于点E，由勾股定理可得EC的长，则点C坐标可
得，然后由对称性可得点D的坐标，则OC•OD的值可计算；由勾股定理可得AD的长，由交点式可得抛
物线的解析式，根据以上计算或推理，对各个选项作出分析即可．
【详解】解：因为抛物线y＝ax2＋bx＋4交y轴于点A，所以A（0，4）．因为对称轴为直线x＝ ，
AB∥x轴，所以B（5，4），选项A正确，不符合题意．如答图，过点B作BE⊥x轴于点E，则BE＝4，
AB＝5．因为AB∥x轴，所以∠BAC＝∠ACO．因为点B关于直线AC的对称点恰好落在线段OC上，所以∠ACO＝∠ACB，所以∠BAC＝∠ACB，所以BC＝AB＝5．在Rt BCE中，由勾股定理得EC＝3，所
△
以C（8，0），因为对称轴为直线x＝ ，所以D（－3，0）．在Rt ADO中，OA＝4，OD＝3，所以AD
△
＝5，所以AB＝AD，选项B正确，不符合题意．设y＝ax2＋bx＋4＝a(x＋3)(x－8)，将A（0，4）代入得4
＝a(0＋3)(0－8)，解得a＝ ，选项C正确，不符合题意．因为OC＝8，OD＝3，所以OC•OD＝24，选
项D错误，符合题意，因此本题选D．
【点睛】本题考查了二次函数的性质、等腰三角形的判定与性质及勾股定理，熟练掌握二次函数的相关性
质并数形结合是解题的关键．
二、填空题
11.多项式 分解因式的结果是______.
【答案】
【解析】
【分析】
先提出公因式a，再利用平方差公式因式分解．
【详解】解：a3-4a=a（a2-4）=a（a+2）（a-2）．
故答案为a（a+2）（a-2）．
【点睛】本题考查提公因式法和公式法进行因式分解，解题的关键是熟记提公因式法和公式法．
的
12.若7axb2与－a3by 和为单项式，则yx＝________．
【答案】8
【解析】
【分析】
直接利用合并同类项法则进而得出x，y的值，即可得出答案．【详解】解：因为7axb2与－a3by的和为单项式，所以7axb2与－a3by是同类项，所以x＝3，y＝2，所以yx＝
23＝8，因此本题答案为8．
【点睛】此题主要考查了单项式，正确得出x，y的值是解题关键．
13.不等式组 的解集为________．
【答案】－6＜x≤13
【解析】
【分析】
根据不等式组分别求出x的取值，然后画出数轴，数轴上相交的点的集合就是该不等式的解集．若没有交
集，则不等式无解．
【详解】 ，解得
在坐标轴上表示为：
∴不等式组的解集为﹣6＜ ≤13
故答案为：﹣6＜ ≤13．
【点睛】本题考查了一元一次不等式组的解题问题，熟练掌握其解法及表示方法是解题的关键．
14.如图，在Rt ABC中，∠C＝90°，点D在线段BC上，且∠B＝30°，∠ADC＝60°，BC＝ ，则BD
△
的长度为________．
【答案】
【解析】
【分析】
首先证明DB=AD=2CD，然后再由条件BC= 可得答案．【详解】解：∵∠C＝90°，∠ADC＝60°，
∴∠DAC＝30°，
∴CD＝ AD．
∵∠B＝30°，∠ADC＝60°，
∴∠BAD＝30°，
∴BD＝AD，
∴BD＝2CD．
∵BC＝ ，
∴CD＋2CD＝ ，
∴CD＝ ，
∴DB＝ ，
故答案为： ．
【点睛】此题主要考查了含30°角的直角三角形的性质，关键是掌握在直角三角形中，30°角所对的直角边
等于斜边的一半．
15.如图，正比例函数的图象与一次函数y＝－x＋1的图象相交于点P，点P到x轴的距离是2，则这个正
比例函数的解析式是________．
【答案】y＝－2x
【解析】
【分析】
首先将点P的纵坐标代入一次函数的解析式求得其横坐标，然后代入正比例函数的解析式即可求解．
【详解】∵点P到x轴的距离为2，
∴点P的纵坐标为2，∵点P在一次函数y＝－x＋1上，
∴2＝－x＋1，解得x＝－1，
∴点P的坐标为（－1，2）．
设正比例函数解析式为y＝kx，
把P（－1，2）代入得2＝－k，解得k＝－2，
∴正比例函数解析式为y＝－2x，
故答案为：y＝－2x．
【点睛】本题考查了用待定系数法求正比例函数解析式，及两函数交点问题的处理能力，熟练的进行点与
线之间的转化计算是解题的关键．
16.如图，对折矩形纸片ABCD，使AB与DC重合得到折痕EF，将纸片展平，再一次折叠，使点D落到
EF上点G处，并使折痕经过点A，已知BC＝2，则线段EG的长度为________．
【答案】
【解析】
【分析】
直接利用翻折变换的性质以及直角三角形的性质得出∠2=∠4，再利用平行线的性质得出∠1=∠2=∠3，进
而得出答案．
【详解】解：如答图，由第一次折叠得EF⊥AD，AE＝DE，
∴∠AEF＝90°，AD＝2AE．
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠D＝∠DAB＝90°，
∴∠AEF＝∠D，
∴EF∥CD，
∴△AEN∽△ADM，
∴ ＝ ＝ ，
∴AN＝ AM，∴AN＝MN，
又由第二次折叠得∠AGM＝∠D＝90°，
∴NG＝ AM，
∴AN＝NG，
∴∠2＝∠4．
由第二次折叠得∠1＝∠2，
∴∠1＝∠4．
∵AB∥CD，EF∥CD，
∴EF∥AB，∴∠3＝∠4，
∴∠1＝∠2＝∠3．
∵∠1＋∠2＋∠3＝∠DAB＝90°，
∴∠1＝∠2＝∠3＝30°．
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD＝BC＝2．
由第二次折叠得AG＝AD＝2．
由第一次折叠得AE＝ AD＝ ×2＝1．
在Rt AEG中，由勾股定理得EG＝ ＝ ＝ ，
△
故答案为： ．
【点睛】此题主要考查了翻折变换的性质以及矩形的性质，正确得出∠2=∠4是解题关键．
17.如图，是一个运算程序的示意图，若开始输入x的值为625，则第2020次输出的结果为_____．
【答案】1．
【解析】【分析】
依次求出每次输出的结果，根据结果得出规律，即可得出答案．
【详解】当x＝625时， x＝125，
当x＝125时， x＝25，
当x＝25时， x＝5，
当x＝5时， x＝1，
当x＝1时，x+4＝5，
当x＝5时， x＝1，
…
依此类推，以5，1循环，
（2020﹣2）÷2＝1010，
即输出的结果是1，
故答案为：1
【点睛】本题考查了求代数式的值，能根据求出的结果得出规律是解此题的关键．
18.有一人患了流感，经过两轮传染后，共有121人患了流感，每轮传染中平均每人传染了____人．
【答案】10
【解析】
【分析】
如果设每轮传染中平均每人传染了x人，那么第一轮传染中有x人被传染，第二轮则有x（x+1）人被传染，
已知“共有121人患了流感”，那么可列方程，然后解方程即可．
【详解】设每轮传染中平均每人传染了x人，
则第一轮传染中有x人被传染，
第二轮则有x(x+1)人被传染，
又知：共有121人患了流感，
∴可列方程：1+x+x(x+1)=121，解得， （不符合题意，舍去）
∴每轮传染中平均一个人传染了10个人.
故答案为10.
【点睛】本题考查由实际问题抽象出一元二次方程，解题的关键是找准等量关系.
19.如图图形都是由同样大小的菱形按照一定规律所组成的，其中第①个图形中一共有3个菱形，第②个图
形中一共有7个菱形，第③个图形中一共有13个菱形，…，按此规律排列下去，第⑦个图形中菱形的个数
为________．
【答案】57
【解析】
【分析】
根据题意得出第n个图形中菱形的个数为 ；由此代入求得第⑦个图形中菱形的个数．
【详解】解：第①个图形中一共有3个菱形， ；
第②个图形中共有7个菱形， ；
第③个图形中共有13个菱形， ；
…，
第n个图形中菱形的个数为： ；
则第⑦个图形中菱形的个数为 ．
故答案为：57．
【点睛】本题考查了整式加减的探究规律—图形类找规律，其关键是根据已知图形找出规律．
20.如图，在 中， ，点D为AB的中点，以点D为圆心作圆心角
为90°的扇形 ，点C恰好在 上，则图中阴影部分的面积为________．【答案】
【解析】
【详解】如解图，连接 ，过点 作 于点 ， 于点 ．
设 交 于点 ， 交 于点 ，
， ，点 为 的中点， ， ，
，四边形 是正方形， ，
则 ，
，
，
在 和 中， ，
，
，
．【点睛】
三、解答题
21.（1）计算：(－2)2－| |－2cos45°＋(2020－π)0；
（2）先化简，再求值：( )÷ ，其中a＝ －1．
【答案】（1）5－ ；（2） ，
【解析】
【分析】
（1）直接利用零指数幂的性质以及特殊角的三角函数值、绝对值的性质分别化简得出答案；
（2）直接将括号里面通分运算进而利用分式的混合运算法则计算得出答案．
【详解】解：（1）原式＝4－ －2× ＋1＝＝4－ － ＋1＝5－ ．
（2）解：原式＝[ ]÷ ＝ · ＝
· ＝ ．
当a＝ －1时，原式＝ ＝ ＝
【点睛】此题主要考查了实数运算以及分式的混合运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．
22.规定：在平面内，如果一个图形绕一个定点旋转一定的角度α（0°＜α≤180°）后能与自身重合，那么就
称这个图形是旋转对称图形，转动的这个角度α称为这个图形的一个旋转角．例如：正方形绕着两条对角
线的交点O旋转90°或180°后，能与自身重合（如图1），所以正方形是旋转对称图形，且有两个旋转角．
根据以上规定，回答问题：
（1）下列图形是旋转对称图形，但不是中心对称图形的是________；A．矩形 B．正五边形 C．菱形 D．正六边形
（2）下列图形中，是旋转对称图形，且有一个旋转角是60度的有：________（填序号）；
（3）下列三个命题：①中心对称图形是旋转对称图形；②等腰三角形是旋转对称图形；③圆是旋转对称
图形，其中真命题的个数有（ ）个；
A．0 B．1 C．2 D．3
（4）如图2的旋转对称图形由等腰直角三角形和圆构成，旋转角有45°，90°，135°，180°，将图形补充完
整．
【答案】（1）B；（2）(1)(3)(5)；（3）C；（4）见解析
【解析】
【分析】
（1）根据旋转对称图形的定义进行判断；
（2）先分别求每一个图形中的旋转角，然后再进行判断；
（3）根据旋转对称图形的定义进行判断；
（4）利用旋转对称图形的定义进行设计．
【详解】解：（1）矩形、正五边形、菱形、正六边形都是旋转对称图形，但正五边形不是中心对称图形，
故选：B．
（2）是旋转对称图形，且有一个旋转角是60度的有(1)(3)(5)．
故答案为：(1)(3)(5)．
（3）①中心对称图形，旋转180°一定会和本身重合，是旋转对称图形；故命题①正确；
②等腰三角形绕一个定点旋转一定的角度α（0°＜α≤180°）后，不一定能与自身重合，只有等边三角形是
旋转对称图形，故②不正确；
③圆具有旋转不变性，绕圆心旋转任意角度一定能与自身重合，是旋转对称图形；故命题③正确；
即命题中①③正确，
故选：C．
（4）图形如图所示：【点睛】本题考查旋转对称图形，中心对称图形等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决
问题．
23.新学期，某校开设了“防疫宣传”“心理疏导”等课程．为了解学生对新开设课程的掌握情况，从八年
级学生中随机抽取了部分学生进行了一次综合测试．测试结果分为四个等级：A级为优秀，B级为良好，
C级为及格，D级为不及格．将测试结果绘制了如图两幅不完整的统计图．根据统计图中的信息解答下列
问题：
（1）本次抽样测试的学生人数是________名；
（2）扇形统计图中表示A级的扇形圆心角α的度数是________，并把条形统计图补充完整；
（3）该校八年级共有学生500名，如果全部参加这次测试，估计优秀的人数为____；
（4）某班有4名优秀的同学（分别记为E，F，G，H，其中E为小明），班主任要从中随机选择两名同学
进行经验分享．利用列表法或画树状图法，求小明被选中的概率．
【答案】（1）40；（2）54°，见解析；（3）75；（4）树状图见解析，
【解析】
【分析】
（1）条形统计图中知B级12名，扇形统计图知B级占比30%，可得总人数；
（2）计算出A级所占百分比，再乘以360°即可；
（3）用A级所占百分比乘以全校总人数即可；
（4）根据概率的计算公式进行计算即可．
【详解】（1）∵条形统计图知B级的频数为12，扇形统计图中B级的百分比为30%，
∴12÷30%＝40（名）；
（2）∵A组的频数为6，∴A级的扇形圆心角α的度数为： ×360°＝54°．
∵C级频数为：40－6－12－8＝14（人），据此补条形图；
（3）该校八年级学生中成绩为优秀的有：
（4）画树状图得
∵共有12种等可能的结果，选中小明的有6种情况，∴选中小明的概率为 ＝
【点睛】熟练掌握条形统计图，扇形统计图，及概率的运用公式，是解题的关键．
24.“节能环保，绿色出行”意识的增强，越来越多的人喜欢骑自行车出行，也给自行车商家带来商机．某自
行车行经营的A型自行车去年销售总额为8万元．今年该型自行车每辆售价预计比去年降低200元．若该
型车的销售数量与去年相同，那么今年的销售总额将比去年减少10%，求：
（1）A型自行车去年每辆售价多少元；
（2）该车行今年计划新进一批A型车和新款B型车共60辆，且B型车的进货数量不超过A型车数量的两
倍．已知，A型车和B型车的进货价格分别为1500元和1800元，计划B型车销售价格为2400元，应如何
组织进货才能使这批自行车销售获利最多．
【答案】(1) 2000元；（2） A型车20辆，B型车40辆．
【解析】
【分析】
（1）设去年A型车每辆售价x元，则今年售价每辆为（x﹣200）元，由卖出的数量相同列出方程求解即
可；（2）设今年新进A型车a辆，则B型车（60﹣a）辆，获利y元，由条件表示出y与a之间的关系式，由a
的取值范围就可以求出y的最大值．
【详解】解：（1）设去年A型车每辆售价x元，则今年售价每辆为（x﹣200）元，由题意，得
，
解得：x=2000．
经检验，x=2000是原方程的根．
答：去年A型车每辆售价为2000元；
（2）设今年新进A型车a辆，则B型车（60﹣a）辆，获利y元，由题意，得
y=a+（60﹣a），
y=﹣300a+36000．
的
∵B型车 进货数量不超过A型车数量的两倍，
∴60﹣a≤2a，
∴a≥20．
∵y=﹣300a+36000．
∴k=﹣300＜0，
∴y随a的增大而减小．
∴a=20时，y =30000元．
最大
∴B型车的数量为：60﹣20=40辆．
∴当新进A型车20辆，B型车40辆时，这批车获利最大．
【点睛】本题考查分式方程的应用；一元一次不等式的应用．
25.古希腊数学家毕达哥拉斯认为：“一切平面图形中最美的是圆”．请研究如下美丽的圆．如图，线段
AB是⊙O的直径，延长AB至点C，使BC＝OB，点E是线段OB的中点，DE⊥AB交⊙O于点D，点P
是⊙O上一动点（不与点A，B重合），连接CD，PE，PC．
（1）求证：CD是⊙O的切线；
（2）小明在研究的过程中发现 是一个确定的值．回答这个确定的值是多少？并对小明发现的结论加
以证明．【答案】（1）见解析；（2） ，解析
【解析】
【分析】
本题考查了切线的判定与性质及相似三角形的判定与性质．（1）连接OD，DB，由已知可得DE垂直平分
OB，于是DB＝DO，而OB＝OD，所以DB＝DO＝OB，即 ODB是等边三角形，于是∠BDO＝60°，再由
等腰三角形的性质及三角形的外角性质可得∠CDB＝30°，△从而可得∠ODC＝90°，所以OD⊥CD，所以
CD是⊙O的切线；（2）连接OP，由已知条件得OP＝OB＝BC＝2OE，再利用“两组边成比例，夹角相等”
证明 OEP∽△OPC，最后由相似三角形的对应边成比例得到结论．
【详△解】解：（1）如答图，连接OD，DB，∵点E是线段OB的中点，DE⊥AB交⊙O于点D，∴DE垂
直平分OB，∴DB＝DO．∵DO＝OB，∴DB＝DO＝OB，∴△ODB是等边三角形，∴∠BDO＝∠DBO＝
60°．∵BC＝OB＝BD，且∠DBE为 BDC的外角，∴∠BCD＝∠BDC＝ ∠DBO．∵∠DBO＝60°，
△
∴∠CDB＝30°．∴∠ODC＝∠BDO＋∠BDC＝60°＋30°＝90°，∴OD⊥CD，∴CD是⊙O的切线；
（2）这个确定的值是 ．
证明：如答图，连接OP，∵OP＝OB＝BC＝2OE，∴ ＝ ＝ ，又∵∠COP＝∠POE，
∴△OEP∽△OPC，∴ ＝ ＝ ．【点睛】本题考查了切线的判定与性质及相似三角形的判定与性质，熟练掌握相关性质及定理是解题的关
键．
26.已知抛物线y＝ax2＋bx＋6（a≠0）交x轴于点A(6，0)和点B(－1，0)，交y轴于点C．
（1）求抛物线的解析式和顶点坐标；
（2）如图（1），点P是抛物线上位于直线AC上方的动点，过点P分别作x轴，y轴的平行线，交直线
AC于点D，E，当PD＋PE取最大值时，求点P的坐标；
（3）如图（2），点M为抛物线对称轴l上一点，点N为抛物线上一点，当直线AC垂直平分 AMN的边
MN时，求点N的坐标． △
【答案】（1）y＝－x2＋5x＋6，顶点坐标为( ， )；（2）P(3，12)；（3）( ， )或( ，
)
【解析】
【分析】
（1）将点A，B坐标代入抛物线解析式中，解方程组即可得出结论；
（2）先求出OA=OC=6，进而得出∠OAC=45°，进而判断出 PD=PE，即可得出当 PE的长度最大时，
PE+PD取最大值，设出点E坐标，表示出点P坐标，建立PE=-t2+6t=-（t-3）2+9，即可得出结论；
（3）先判断出NF∥x轴，进而求出点N的纵坐标，即可建立方程求解得出结论．
【详解】解：（1）∵抛物线y＝ax2＋bx＋6经过点A（6，0），B（－1，0），∴
解得a＝－1，b＝5，
∴抛物线的解析式为y＝－x2＋5x＋6．
∵y＝－x2＋5x＋6＝－(x )2＋ ，
∴抛物线的解析式为y＝－x2＋5x＋6，顶点坐标为（ ， ）．
（2）由（1）知，抛物线的解析式为y＝－x2＋5x＋6，
∴C（0，6），∴OC＝6．
∵A（6，0），
∴OA＝6，∴OA＝OC，∴∠OAC＝45°．
∵PD平行于x轴，PE平行于y轴，
∴∠DPE＝90°，∠PDE＝∠DAO＝45°，
∴∠PED＝45°，
∴∠PDE＝∠PED，
∴PD＝PE，
∴PD＋PE＝2PE，
∴当PE的长度最大时，PE＋PD取最大值．
设直线AC的函数关系式为y＝kx＋d，
把A（6，0），C（0，6）代入得
解得k＝－1，d＝6，
∴直线AC的解析式为y＝－x＋6．
设E（t，－t＋6）（0＜t＜6），则P（t，－t2＋5t＋6），
∴PE＝－t2＋5t＋6－(－t＋6)＝－t2＋6t＝－(t－3)2＋9．
∵－1＜0，∴当t＝3时，PE最大，此时－t2＋5t＋6＝12，
∴P（3，12）．
（3）如答图，设直线AC与抛物线的对称轴l的交点为F，连接NF．
∵点F在线段MN的垂直平分线AC上，
∴FM＝FN，∠NFC＝∠MFC．∵l∥y轴，
∴∠MFC＝∠OCA＝45°，
∴∠MFN＝∠NFC＋∠MFC＝90°，
∴NF∥x轴．
由（2）知直线AC的解析式为y＝－x＋6，
当x＝ 时，y＝ ，
∴F（ ， ），
∴点N的纵坐标为 ．
∵点N在抛物线上，
∴－x2＋5x＋6＝ ，解得，x＝ 或x＝ ，
1 2
∴点N 的坐标为（ ， ）或（ ， ）．
【点睛】此题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法，解一元二次方程，（2）中判断出PD=PE，
（3）中NF∥x轴是解本题的关键．本试卷的题干、答案和解析均由组卷网（http://zujuan.xkw.com）专业教师团队编校出品。
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